Issuu on Google+

คณิ ตศาสตร์พนื ฐาน ชันมัธยมศึกษาปี ที 4

เล่ม 1


สารบัญ หนา บทที่ 1 เซต

1

บทที่ 2 การใหเหตุผล

28

บทที่ 3 จํานวนจริง

52

บทที่ 4 เลขยกกําลัง

104


14 12. ในแตละสัปดาหจะตองเรียนวิชาคณิตศาสตร 3 วัน และเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 3 วัน และจะตอง เรียนทั้งวิชาคณิตศาสตรและวิชาภาษาอังกฤษในวันเดียวกันสัปดาหละ 1 วัน ให A = {D1, D2, D3} แทนเซตของวันที่ตองเรียนวิชาคณิตศาสตร B = {D3, D4, D5} แทนเซตของวันที่ตองเรียนวิชาภาษาอังกฤษ n(A) = 3 n(B) = 3 n(A ∩ B) = 1 ก. ใชแผนภาพ

U

A

D1 D2

D3

D4 D5

B

จากแผนภาพ n(A ∪ B) = 5 ข. โดยใชสูตร จากสูตร n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(A ∪ B) = 3 + 3 – 1 หรือ 5 1) จํานวนวันที่เรียนวิชาคณิตศาสตรอยางเดียวเทากับ n(A) – n(A ∩ B) = 3 – 1 หรือ 2 วัน 2) จํานวนวันที่เรียนภาษาวิชาอังกฤษอยางเดียวเทากับ n(B) – n(A ∩ B) = 3 – 1 หรือ 2 วัน 3) เนื่องจาก n(A ∪ B) = 5 หมายถึง จํานวนวันที่ตองเรียนวิชาคณิตศาสตร หรือวิชาภาษา อังกฤษในหนึ่งสัปดาหเทากับ 5 ดังนั้น จึงไมมีวันใดในสัปดาหที่ไมเรียนวิชาคณิตศาสตรหรือวิชาภาษาอังกฤษเลย

เฉลยแบบฝกหัด แบบฝกหัด 1.1 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

{จันทบุรี} {a, e, i, o, u} {10, 11, 12, 13, 14, …, 99} {2, 4, 6, 8} {101, 102, 103, …} {-99, -98, -97, …, -1} {4, 5, 6, 7, 8, 9} { } หรือ ∅


15 2. 1) 2) 3) 4)

B C D G

มีสมาชิก 1 จํานวน มีสมาชิก 7 จํานวน มีสมาชิก 9 จํานวน ไมมีสมาชิก หรือจํานวนสมาชิกเทากับศูนย

3. 1) 2) 3) 4)

N P R T

= = = =

4. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

เปนเซตอนันต เปนเซตจํากัด เปนเซตอนันต เปนเซตจํากัด เปนเซตอนันต เปนเซตอนันต

{x⏐x {x⏐x {x⏐x {x⏐x

เปนจํานวนเต็มคี่บวกตั้งแต 1 ถึง 5} เปนจํานวนเต็ม} = a2 และ a เปนจํานวนเต็มที่ไมเทากับศูนย} = 10n และ n เปนจํานวนเต็มบวก}

5. 1) เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4 ดังนั้น {x⏐x เปนจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4} เปนเซตวาง 2) เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2 ดังนั้น {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2} เปนเซตวาง 3) เนื่องจาก มีสมาชิก 2 ตัว คือ 5 และ 7 ดังนั้น {x | x เปนจํานวนเฉพาะที่มากกวา 3 และนอยกวา 10} ไมเปนเซตวาง 6. 1) A = B = C = D = ดังนั้น 2) E = F = หรือ ดังนั้น

{x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “กรรมกร”} หรือ A {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “มรรคา”} หรือ B {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “มกราคม”} หรือ C {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “รากไม”} หรือ D A=D {7, 14, 21, ..., 343} {x⏐x = 7n และ n เปนจํานวนนับที่มีคานอยกวา F = {7, 14, 21, ..., 343} E=F

= = = =

50}

{ก, ร, ม} {ม, ร, ค} {ม, ก, ร, ค} {ร, ก, ม}


16 1 และ n { 0, 1 , 2 , 3 , 4 ,... } 2 3 4 5

3) A = {x⏐x = B= 4)

5)

6)

7)

8)

1−

n เปนจํานวนนับ} หรือ A = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 ,... } 2 3 4 5

ดังนั้น A = B A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {5, 4, 3, 2, 1} จะเห็นวา สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เปนสมาชิกของเซต A ดังนั้น A = B C = {0, 1, 3, 7} D = {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มีคานอยกวา 10} หรือ D = { …, 5, 6, 7, 8, 9} เนื่องจาก 9 ∉ C แต 9 ∈ D ดังนั้น C ≠ D E = {12, 14, 16, 18} และ F = {14, 16, 12, 18} จะเห็นวา สมาชิกทุกตัวของเซต E เปนสมาชิกของเซต F และ สมาชิกทุกตัวของเซต F เปนสมาชิกของเซต E ดังนั้น E = F K = {x⏐x เปนจํานวนเต็มคูที่นอยกวา 10} หรือ K = { …, – 2, 0, 2, 4, 6, 8} L = {2, 4, 6, 8} เนื่องจาก – 2 ∈ K แต – 2 ∉ L ดังนั้น K ≠ L M = {x⏐x เปนจํานวนเต็ม และ x2 = 36} หรือ M = {– 6, 6} N = {6} เนื่องจาก – 6 ∈ M แต – 6 ∉ N ดังนั้น M ≠ N

แบบฝกหัด 1.3 1. (1) ผิด (2) ถูก (3) ถูก

(4) ผิด (5) ผิด (6) ผิด


17 2. (1) สับเซตทั้งหมดของ {1} คือ ∅, {1} (2) สับเซตทั้งหมดของ {1, 2} คือ ∅, {1}, {2}, {1, 2} (3) สับเซตทั้งหมดของ {-1 , 0 , 1} คือ ∅, {-1} , {0} , {1} , {-1,0} , {0,1} , {-1,1} , {-1,0,1} 3. (1) เพาเวอรเซตของ {5} คือ {∅, {5}} (2) เพาเวอรเซตของ {0, 1} คือ {∅, {0}, {1}, {0, 1}} (3) เพาเวอรเซตของ {2 ,3 ,4} คือ {∅, {2}, {3}, {4}, {2 ,3}, {2 ,4}, {3 ,4}, {2,3,4}} 4. สับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว ไดแก {1}, {2}, {3}, {4} สับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว ไดแก {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 5. 1) A = {1, 2, 3, 4, …, 10} B = {1, 3, 5, 7, 9}

2) A = {1, 2, 3, 4, …, 10} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {1, 3, 5}

3) A = {1, 2, 3, 4, …, 10} B = {1, 3, 5} C = {2, 4, 6}

2 4 6 8 10

135 B 7 9

2 4 6 8 10 79 B 135 C

A

U

U

A

7 8 9 10 A U 135

B

24 6

C


18

แบบฝกหัด 1.4 1. 1) A = {2, 3, 7} 1

4

3) A′ = {2, 3, 6}

5 237

6

2

A

3 1 4 A 5 7

U

U

2) A = {3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5, 7} A

B 4 35 1 7 2 6

2. 1) 2) 3) 4)

A∩B B∪C B∩C A∩C

3.

6

U

= ∅ = {1, 3, 4, 5, 6, 7} = {3, 5} = {4, 6}

5) 6) 7) 8)

A

C′ = {0, 1, 2, 7, 8} C′ ∩ A = {0, 2, 8} C′ ∩ B = {1, 7} (A ∩ B) ∪ B = {1, 3, 5, 7}

B

U

1) B′ A

B

U


19 2) A ∩ B′ A

B

U

3) A′ A

B

U

4) A′ ∪ B A

B

U

5) A′ ∪ B′ A

B

U


20 4.

A B 1 2 4 6 7 3 5 8 U

1) A′

2) (A ∪ B)′ A

6 7 8

A

B

B

U

U

3) A′ ∪ B A

4) A′ ∩ B B 4 67 5 8

A

6 7 8

B U

U

5. A

B

U

จาก n(U ) = 100, n(A) = 40, n(B) = 25 และ n(A ∩ B) = 6 จะได n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B) = 40 – 6 = 34 A U B


21 n(B – A)

= =

n(B) – n(A ∩ B) 25 – 6 = 19

A

U

B n(A ∪ B)

= =

n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 40 + 25 – 6 = 59

A

U

B n(A′)

= =

n(U ) – n(A) 100 – 40 = 60

A

U

B n(B′)

= =

n(A ∪ B)′ = = =

n(U ) – n(B) 100 – 25 = 75

A

n(U ) – n(A ∪ B) 100 – 59 41

A

เซต จํานวนสมาชิก

B U

B

A–B B–A A∪B 34 19 59

6.

U

A′ 60

B′ 75

(A ∪ B)′ 41

BU

A

C กําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ในแผนภาพดังตาราง เซต จํานวนสมาชิก

U

50

A 25

B 20

C 30

A∩B A∩C B∩C A∩B∩C 12 15 10 5


22 1) A ∪ C n(A ∪ C)

= n(A) + n(C) – n(A ∩ C) = 25 + 30 – 15 = 40

A C

2) A ∪ B ∪ C n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 25 + 20 + 30 – 12 – 15 – 10 + 5 = 43

A

A

A

A

U

B C

7. ให A B A∩B A∪B

=

U

B C

5) n((A ∩ B) – C) = n(A ∩ B) – n(A ∩ B ∩ C) = 12 – 5 = 7

U

B C

4) n(B – (A ∪ C)) = n(B) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 20 – 12 – 10 + 5 = 3

U

B C

3) (A ∪ B ∪ C)′ n(A ∪ B ∪ C)′ = n(U ) – n (A ∪ B ∪ C) = 50 – 43 = 7

แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มชา แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มกาแฟ แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มชาหรือกาแฟ n(A) = 60 คน n (A ∩ B) n(B) = 70 คน n (A ∪ B) = 120 คน

B

x คน

U


23 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 120 = 60 + 70 – x x = 130 – 120 x = 10 ดังนั้น จํานวนพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟเทากับ 10 คน 8. ให

แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตาง ๆ A แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดแขวนเพดาน A ∩ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ และชนิดแขวนเพดาน A ∪ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ หรือชนิดแขวนเพดาน n(A) = 60% n(B) = 45% n(A ∩ B) = 15% n(A ∪ B) = x% U

1) จํานวนลูกคาทีไ่ มใชพัดลมทัง้ สองชนิด หาไดดังนี้ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) A A = 60% + 45% – 15% = 90% C จํานวนลูกคาทีไ่ มใชพัดลมทัง้ สองชนิด คือ n(A ∪ B)′ = n( U ) – n(A ∪ B) = 100% – 90% หรือ 10% 2) จํานวนลูกคาทีใ่ ชพัดลมแบบใดแบบหนึ่งเพียงชนิดเดียว หาไดดังนี้ A จํานวนลูกคาทีใ่ ชพัดลมชนิดตั้งโตะเพียงชนิดเดียว คือ n(A ∪ B) – n(B) = 90% – 45% = 45% จํานวนลูกคาทีใ่ ชพัดลมแขวนเพดานเพียงชนิดเดียว คือ A n(A ∪ B) – n(A) = 90% – 60% = 30% ดังนั้น ลูกคาที่ใชพัดลมเพียงชนิดเดียว มี 45% + 30% หรือ 75%

BB U U

B U U

B


24 9. A

ให

U

B

แทนเซตของผูปวยทั้งหมดทีท่ ําการสํารวจ A แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหรี่ B แทนเซตของผูปวยที่เปนมะเร็งในปอด A ∪ B แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหรีห่ รือเปนมะเร็งในปอด A ∩ B แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหรีแ่ ละเปนมะเร็งในปอด (A ∪ B)′ แทนเซตของผูปวยที่ไมสูบบุหรี่ และไมเปนมะเร็งที่ปอด n ( U ) = 1,000 คน n(A) = 312 คน n(B) = 180 คน n(A ∪ B)′ = 660 คน n(A ∩ B) = x คน U

(A ∪ B)′ A

n(A ∪ B) = n(A ∪ B) = 340 = x =

U

B

n( U ) – n(A ∪ B)′ = 1,000 – 660 = 340 n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 312 + 180 – x 492 – 340 = 152

ดังนั้น จํานวนผูที่สูบบุหรี่และเปนมะเร็งที่ปอดเทากับ 152 คน คิดเปนรอยละ หรือ 48.72% ของจํานวนผูสูบบุหรี่ทงั้ หมด

152 × 100 312


25 10.

B

A

U

C ให

แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่ทําการสํารวจ A แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณิตศาสตร B แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาสังคมศึกษา C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาภาษาไทย A ∩ B แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา B ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาสังคมศึกษาและภาษาไทย A ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทย A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานททั้งสามวิชา A ∪ B ∪ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชา n (A ) = 37 คน n(A ∩ B) = 15 คน n(B) = 48 คน n(B ∩ C) = 13 คน n(C) = 45 คน n(A ∩ C) = 15 คน n(A ∩ B ∩ C) = 5 คน n(A ∪ B ∪ C) = x คน n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) x = 37 + 48 + 45 – 15 – 13 – 7 + 5 x = 100 ดังนั้น มีจํานวนผูที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชาเทากับ 100 คน 11. ให

U

แทนเซตของผูถือหุนในตลาดหลักทรัพยที่ถูกสํารวจทั้ง���มด A แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก B แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ข C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ค A∩B แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก และ ข B∩C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ข และ ค แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก และ ค A∩C A ∩ B ∩ C แทนเซตของผูถือหุนทั้งสามบริษัท U


26 จากจํานวนผูถือหุนที่สํารวจ หาผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใชหุนของทั้งสามบริษัทไดดังนี้ BU

A

C n (U ) = 3,000 คน n(A) = 200 คน n(B) = 250 คน n(C) = 300 คน n(A ∩ B) = 50 คน n(A ∩ C) = 30 คน n(B ∩ C) = 40 คน n(A ∩ B ∩ C) = 0 n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) n(A ∪ B ∪ C) = 200 + 250 + 300 – 50 – 40 – 30 + 0 = 630 จํานวนผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใชทั้งสามบริษัทนี้มีจํานวนหาไดจาก n(A ∪ B ∪ C)′ = n(U ) – n(A ∪ B ∪ C) = 3,000 – 630 = 2,370 คน 12. ให

แทนผูใชบริการขนสงทางรถไฟ รถยนต หรืออื่น ๆ ที่ถูกสํารวจ A แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟ B แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถยนต C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางเรือ A ∩ B แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟและรถยนต B ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถยนตและเรือ A ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟและเรือ A ∩ B ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทั้งทางรถไฟ รถยนต และเรือ (A ∪ B ∪ C)′ แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางแบบอื่น ๆ ที่ไมใช รถไฟ รถยนต เรือ n(A ∩ B) = 50 คน n (U ) = x คน n(A) = 100 คน n(B ∩ C) = 25 คน n(B) = 150 คน n(A ∩ C) = 0 คน n(C) = 200 คน n(A ∩ B ∩ C) = 0 คน n(A ∪ B ∪ C)′ = 30 คน U


27 n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 100 + 150 + 200 – 50 – 25 – 0 + 0 BU A = 375 คน ∴ จํานวนผูใชบริการขนสงที่ถูกทําการสํารวจ คือ n(U ) = n(A ∪ B ∪ C) + n(A ∪ B ∪ C)′ C x = 375 + 30 = 405 คน


39 8. ถาเพื่อนทุกคนที่ตั้งใจเรียนจะไมคุยระหวางเรียน สุภิตาไมคุยระหวางเรียน ให A แทนเซตของคนที่ตั้งใจเรียน B แทนเซตของคนที่ไมคุยระหวางเรียน c แทนสุภิตา B

c A

c A

B

แผนภาพที่ 1 แผนภาพที่ 2 จากแผนภาพที่ 1 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน และสุภิตาตั้งใจเรียน จากแผนภาพที่ 2 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน แตสุภิตาไมตั้งใจเรียน เนื่องจาก แผนภาพทั้งสองขัดแยงกัน จึงไมสามารถสรุปวา สุภิตาเปนคนที่ตั้งใจเรียน

เฉลยแบบฝกหัด แบบฝกหัด 2.1 1. การใหเหตุผลในคําตอบที่ไดแสดงไวเปนเพียงตัวอยางของการใหเหตุผลแบบอุปนัยในการ หาคา a อาจมีเหตุผลอื่นนอกเหนือจากที่ไดแสดงไวไดอีก 1) 12, 22, 32, 42, a จากจํานวนแรกคือ 12 = (1 × 10) + 2 22 = (2 × 10) + 2 32 = (3 × 10) + 2 42 = (4 × 10) + 2 จะได a = (5 × 10) + 2 หรือ 52 2) 12, 10, 8, 6, a จากจํานวนแรกคือ

จะได

12 10 8 6 a

= = = = =

6×2 5×2 4×2 3×2 2×2

หรือ 4


40 3) 5, 3, 1, -1, -3, a จากจํานวนแรกคือ

จะได

5 3 1 -1 -3 a

= 7–2 = 5–2 = 3–2 = 1–2 = –1 – 2 = –3 – 2 หรือ -5

4) 1, -1, 1, -1, 1, a เหตุผล พิจารณาแบบรูปที่กําหนดใหพบวา จํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคี่ คือ 1 และจํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคู คือ -1 เนื่องจาก a อยูในลําดับที่ 6 ซึ่งเปนจํานวนคู ดังนั้น a ควรเทากับ -1 5) 1, 4, 9, 16, 25, a จากจํานวนแรกคือ

จะได

1 4 9 16 25 a

6) -15, -5, 5, 15, a จากจํานวนแรกคือ -15 -5 5 15 จะได a 7) 1, -1, -3, -5, a จากจํานวนแรกคือ

จะได

1 -1 -3 -5 a

= = = = = =

12 22 32 42 52 62 หรือ 36

= = = =

-15 + 10 -5 + 10 5 + 10 15 + 10 หรือ 25

= 1–2 = –1 – 2 = –3 – 2 = –5 – 2 หรือ -7


41 8) -5, -3, -1, 1, a จากจํานวนแรกคือ -5

จะได 9) 1, 6, 11, 16, a จากจํานวนแรกคือ

จะได

-3 -1 1 a

= = = =

–5 + 2 –3 + 2 –1 + 2 1 + 2หรือ 3

1 6 11 16 a

= = = =

1+5 6+5 11 + 5 16 + 5หรือ 21

14 20 26 a

= = = =

8+6 14 + 6 20 + 6 26 + 6หรือ 32

10) 8, 14, 20, 26, a จากจํานวนแรกคือ 8

จะได

2. พิจารณาผลคูณที่กําหนดใหตอไปนี้ 1×9 = 9 6 × 9 = 54 11 × 9 = 99 2 × 9 = 18 7 × 9 = 63 12 × 9 = 108 3 × 9 = 27 8 × 9 = 72 13 × 9 = 117 4 × 9 = 36 9 × 9 = 81 14 × 9 = 126 5 × 9 = 45 10 × 9 = 90 15 × 9 = 135 จากผลคูณที่ไดพบวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณที่ไดมาบวกกัน ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ เชน 15 × 9 = 135 เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณมาบวกกัน จะได 1 + 3 + 5 = 9 ซึ่งหารดวย 9 ลงตัว โดยใชเหตุผลแบบอุปนัยจะสรุปไดวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณ ของจํานวนเต็มบวกใด ๆ กับ 9 มาบวกกัน ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ


42 3. 1) พิจารณาผลคูณของจํานวนที่มี 142,857 ตอไปนี้ 142,857 × 1 = 142,857 142,857 × 2 = 285,714 142,857 × 3 = 428,571 142,857 × 4 = 571,428 จากการสังเกตจํานวนที่เปนผลคูณพบวา ผลคูณที่ไดประกอบดวยเลขโดด 1, 4, 2, 8, 5 และ 7 เสมอ 2) โดยการใชเหตุผลแบบอุปนัย ผลคูณของ 142,857 × 5 และ 142,857 × 6 ควรจะประกอบ ดวยตัวเลขโดดชุดเดียวกับตัวคูณ 142,857 เมื่อหาผลคูณขางตนพบวา 142,857 × 5 = 714,285 และ 142,857 × 6 = 857,142 3)

หมายเหตุ

เนื่องจาก 142,857 × 7 พบวา 7 × 7 = 49 ซึ่งทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวย แทนดวยเลข 9 ซึ่ง 9 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857 142,857 × 8 พบวา 7 × 8 = 56 ซึ่งทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวยแทนดวย เลข 6 ซึ่ง 6 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857 ดังนั้น คําตอบที่ไดจากการคูณ 142,857 ดวย 7 หรือ 8 โดยใชขอสรุปขางตนไมเปนจริง 142,857 × 7 = 999,999 และ 142,857 × 8 = 1,142,856

4. พิจารณาผลคูณตอไปนี้ 1) 37 × 3 = 11 37 × 6 = 22 37 × 9 = 33 37 × 12 = 44 จากผลคูณในแบบรูปขางตนพบวา 37 × 3 × 1 = 111 37 × 3 × 2 = 222 37 × 3 × 3 = 333 37 × 3 × 4 = 444


43 2) จากแบบรูปขางตน และใชเหตุผลแบบอุปนัย จะไดวา 37 × 3 × 5 = 555 37 × 3 × 6 = 666 37 × 3 × 7 = 777 37 × 3 × 8 = 888 37 × 3 × 9 = 999 5. 1) 9 × 9 + 7 98 × 9 + 6 987 × 9 + 5 9,876 × 9 + 4

= = = =

88 888 8,888 88,888

98,765 × 9 + 3 = 888,888 = 2) 34 × 34 334 × 334 = 3,334 × 3,334 = 33,334

×

1,156 111,556 11,115,556

33,334=1,111,155,556

3) 2 2+4 2+4+8 2 + 4 + 8 + 16

= = = =

4–2 8–2 16 – 2 32 – 2

2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64 –2 4) 3

=

3+6

=

3+6+9

=

3 + 6 + 9 + 12

=

3 + 6 + 9 + 12 + 15

=

3(2) 2 6(3) 2 9( 4) 2 12(5) 2 15(6) 2


44 5) 5(6) = 6(6 – 1) 5(6) + 5(36) = 6(36 – 1) 5(6) + 5(36) + 5(216) = 6(216 – 1) 5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(216 × 6) = 6(1,296 – 1) หรือ 5(6) + 5(6 × 6) + 5(6 × 6 × 6) + 5(6 × 6 × 6 × 6) = 6(6 × 6 × 6 × 6 – 1) 6. 1) 1 + 2 + 3 + … + 148 + 149 + 150 มีจํานวน 151 ทั้งหมด 75 จํานวน 151 151 151 จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 150 = 151 × 75 หรือ 11,325 2) 1 + 2 + 3 + … + 298 + 299 + 300 มีจํานวน 301 ทั้งหมด 150 จํานวน 301 301 301 จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 300 = 301 × 150 หรือ 45,150 3) 1 + 2 + 3 + … + 498 + 499 + 500 มีจํานวน 501 ทั้งหมด 250 จํานวน 501 501 501 จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 500 = 501 × 250 = 125,250 4) 1 + 2 + 3 + … + 998 + 999 + 1,000 มีจํานวน 1,001 ทั้งหมด 500 จํานวน 1,001 1,001 1,001 จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 1,000 = 1,001 × 500 = 500,500


45 7. 1) 2 + 4 + 6 + … + 96 + 98 + 100 มีจํานวน 102 ทั้งหมด 25 จํานวน 102 102 102 จะไดวา 2 + 4 + 6 + … + 1,000 = 102 × 25 หรือ 2,550 2) 1 + 2 + 3 + … + 122 + 123 + 124 + 125 มีจํานวน 125 ทั้งหมด 62 จํานวน 125 125 125 จะไดวา 1 + 2 + 3 + ... + 125 = (125 × 62) + 125 หรือ 7,875 3) 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n เมื่อ n เปนจํานวนนับที่เปนจํานวนคี่ จะเทากับ [(n – 1) + 1] บวกกัน

n −1 2

จํานวน แลวบวกกับ n

1 + 2 + 3 + ... + n = [(n – 1) + 1] ⎛⎜ n − 1 ⎞⎟ + n ⎝ 2 ⎠

=

⎛ n −1⎞ n⎜ ⎟+n ⎝ 2 ⎠

8. 1 3 6 10 15 21 จากจํานวนสามเหลี่ยมที่กําหนดให จะหาจํานวนสามเหลี่ยมถัดไปอีกสองจํานวนไดดังนี้ 1) จํานวนสามเหลี่ยมที่อยูถัดจาก 21 อีก 2 จํานวน ไดแก จํานวน 28 และ 36 ซึ่งแสดง ดวยภาพไดดังนี้

28

36


46 2) จํานวนจุดในแตละแถวตามแนวนอนจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 จุด จากรูปที่อยูกอนเปน 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 หรือแถวที่ n จะมีจํานวน n จุดเมื่อ n เปนจํานวนนับ 3) พิจารณาวา 72 เปนจํานวนสามเหลี่ยมหรือไม ไดดังนี้ พิจารณาจากจํานวนแรกคือ 1 จะพบความสัมพันธของจํานวนดังนี้ 3 = 1+2 6 = 3+3 10 = 6 + 4 15 = 10 + 5 21 = 15 + 6 28 = 21 + 7 36 = 28 + 8 45 = 36 + 9 55 = 45 + 10 66 = 55 + 11 78 = 66 + 12 จากการหาผลบวกขางตน พบวา 72 ไมใชจํานวนสามเหลี่ยม 9. 1) ผลคูณของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ จะหารดวย 2 ลงตัวเสมอ ไมเปนจริง เพราะ 1 และ 11 เปนจํานวนนับ 1 × 11 = 11 แต 11 หารดวย 2 ไมลงตัว 2) จํานวนนับใด ๆ ที่มีคามากกวา 4 จะเขียนไดในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไป สองจํานวน หรือมากกวาสองจํานวน ไมเปนจริง เพราะ 8 เปนจํานวนนับ และ 8 มีคามากกวา 4 แต 8 ไมสามารถเขียนในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไปไดโดยพิจารณาจากผลบวก ของจํานวนตอไปนี้ พิจารณาผลบวกของจํานวนถัดไปที่มีคาเทากับ 9 และ 10 มีดังนี้ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 2 + 3 + 4 = 9 และ 4 + 5 = 9 แตผลบวกของจํานวนนับที่มีคาเทากับ 8 มีดังนี้


47 8= = = =

4+4 3+5 2+6 1+7

3) กําลังสองของจํานวนนับใด ๆ จะเปนจํานวนคูเสมอ ไมเปนจริง เพราะ 1 เปนจํานวนนับ และ 12 = 1 แต 1 ไมเปนจํานวนคู 10. (1)

(4)

(3)

(2)

1)

2)

(1)

(4)

(3)

(2)

แบบฝกหัด 2.2 1. เหตุ 1) กบทุกตัววายน้ําได 2) สัตวที่วายน้ําได จะบินได ผล กบทุกตัวบินได C B A

ให

A B C

จาก���ผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา กบทุกตัวบินได สมเหตุสมผล

แทน แทน แทน

เซตของกบทุกตัว เซตของสัตวที่วายน้ําได เซตของสัตวที่บินได


48 2. เหตุ 1) จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม 2) จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนจริง ผล จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริง ให A B C B A C

แทน แทน แทน

เซตของจํานวนนับ เซตของจํานวนเต็ม เซตของจํานวนจริง

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริง สมเหตุสมผล 3. เหตุ 1) คนที่มีสุขภาพดีทุกคนเปนคนที่มีความสุข 2) ก มีความสุข ผล ก มีสุขภาพดี B B •c A A •c

ให A แทนเซตของคนมีสุขภาพดี B แทนเซตของคนมีความสุข c แทน ก

(1) (2) จากแผนภาพ (1) ก เปนคนมีความสุข แต ก สุขภาพไมดี จากแผนภาพ (2) ก เปนคนมีความสุข และ ก มีสุขภาพดี แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา ก มีความสุข แลว ก มีสุขภาพดี จึงไมสมเหตุสมผล 4. เหตุ 1) จํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว ทุกจํานวนเปนจํานวนคู 2) 7 หารดวย 2 ลงตัว ผล 7 เปนจํานวนคู A

B

ให A แทนเซตของจํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว B แทนเซตของจํานวนคู c แทน 7 จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา 7 เปนจํานวนคู สมเหตุสมผล •c


49 5. เหตุ 1) สุนัขบางตัวมีขนยาว 2) มอมเปนสุนัขของฉัน ผล มอมเปนสุนัขที่มีขนยาว ให A B •c

A B c

แทนเซตของสุนัข แทนเซตของสิ่งที่มีขนยาว แทนมอม

(1) A

B c• (2)

จากแผนภาพ (1) พบวา มอมเปนสุนัข แตขนไมยาว จากแผนภาพ (2) พบวา มอมเปนสุนัขขนยาว แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา มอมเปนสุนัขที่มขี นยาว ไมสมเหตุสมผล

6. เหตุ 1) มาทุกตัวมี 4 ขา 2) ไมมีสัตวทมี่ ีสี่ขาตัวใดทีบ่ ินได ผล ไมมีมาตัวใดบินได C B ให A A B C

แทนเซตของมา แทนเซตของสัตวที่มี 4 ขา แทนเซตของสัตวที่บินได

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา ไมมีมาตัวใดบินได สมเหตุสมผล 7. เหตุ 1) ไมมีจํานวนเฉพาะตัวใดหารดวย 2 ลงตัว 2) 21 หารดวย 2 ไมลงตัว ผล 21 เปนจํานวนเฉพาะ ให A แทนเซตของจํานวนเฉพาะ A B B แทนเซตของจํานวนทีห่ ารดวย 2 ลงตัว c แทน 21 •c (1) จากแผนภาพ (1) จะเห็นวา 21 ไมเปนจํานวนเฉพาะ จากแผนภาพ (2) จะเห็นวา 21 เปนจํานวนเฉพาะ A B • แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป c ดังนั้น ผลสรุปที่วา 21 เปนจํานวนเฉพาะไมสมเหตุสมผล (2)


50 8. เหตุ 1) วันที่มีฝนตกทั้งวัน จะมีทอ งฟามืดครึ้มทุกวัน 2) วันนี้ทองฟามืดครึ้ม ผล วันนี้มีฝนตกทัง้ วัน B •c B A A ให A แทนเซตของวันที่มีฝนตกทั้งวัน •c B แทนเซตของวันที่มีทองฟามืดครึ้ม (1) (2) c แทนวันนี้ จากแผนภาพ (1) พบวา วันนี้เปนวันที่ทอ งฟามืดครึ้ม แตฝนไมไดตกทั้งวัน จากแผนภาพ (2) พบวา วันนี้ฝนตกทั้งวัน และทองฟามืดครึ้ม แผนภาพ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา วันนี้ฝนตกทั้งวัน ไมสมเหตุสมผล 9. เหตุ 1) แมวบางตัวมีสองขา 2) นกทุกตัวมีสองขา ผล นกบางตัวเปนแมว ให A แทนเซตของแมว B แทนเซตของสัตวที่มีสองขา C แทนเซตของนก A

C

B

A

C

B

(1) (2) จากแผนภาพ (1) พบวา นกทุกตัวเปนแมว จากแผนภาพ (2) พบวา นกบางตัวเปนแมว จากแผนภาพ (3) พบวา นกทุกตัวไมเปนแมว แผนภาพที่ (3) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา นกบางตัวเปนแมว ไมสมเหตุสมผล

A

C (3)

10. เหตุ 1) ชายไทยทุกคนตองรับการเกณฑทหาร เมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ 2) มานะเปนชายไทย ผล มานะจะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุ 21 ปบริบูรณ

B


51

•c

B

A

ให

A B c

แทน เซตของผูที่ตองเขารับการเกณฑทหาร แทน เซตชายไทยที่อายุครบ 21 ปบริบูรณ แทน มานะ

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา มานะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ สมเหตุสมผล


65 7. จงแสดงคาของ x บนเสนจํานวน เมื่อ 1)

2)

⏐x⏐

>1

-4

-3

⏐x – 1 ⏐

= 0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2

-1

0

1

2

3

4

8. โรงงานจะผลิตสินคาไดไมเกินวันละ n ชิ้น และในเดือนพฤศจิกายนโกดังเก็บสินคาที่ผลิตได มากที่สุดจํานวน 27,000 ชิ้น จะหาวา โรงงานควรจะผลิตสินคาวันละไมเกินกี่ชิ้นไดดังนี้ เนื่องจากเดือนพฤศจิกายน มี 30 วัน ดังนั้นในเดือนพฤศจิกายนโรงงานแหงนั้นผลิตสินคาไดไมเกิน 30n ชิ้น แตโกดังเก็บสินคาที่ผลิตไดมากสุด จํานวน 27,000 ชิ้น จะไดวา 30n ≤ 27,000 30n 30

27,000 30

n ≤ 900 โรงงานควรจะผลิตสินคาไมเกินวันละ 900 ชิ้น

ดังนั้น

เฉลยแบบฝกหัด แบบฝกหัด 3.1 1. 1)

–9 −

จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

7 2

จํานวนตรรกยะ

5

จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

2 3

จํานวนตรรกยะ

2

จํานวนอตรรกยะ จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

0 1


66 2)

5

–7

จํานวนอตรรกยะ จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

7 3

จํานวนตรรกยะ

3.12

จํานวนตรรกยะ

5 4

จํานวนตรรกยะ

3)

2.01 0.666... – 13 0.010110111...

จํานวนตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ

4)

2.3030030003... 0.7575 – 4.63

จํานวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ

10

5)

–π 1 3 6 3 2 2

6)

จํานวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ

– 7.5

จํานวนตรรกยะ

25 – 17

จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

12 5

9

3.12 1 π 2

จํานวนตรรกยะ จํานวนเต็ม, จํานวนนับ, จํานวนตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ


67 2. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

จริง จริง เท็จ จริง จริง เท็จ จริง เท็จ

3. 1) 2) 3) 4)

8 เปนจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่นอยกวา 9 ไมมีจํานวนตรรกยะที่มากที่สุดที่นอยกวา 9 2 เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่มากกวา 1 ไมมีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 1

แบบฝกหัด 3.2 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

การสลับที่การคูณ การแจกแจง การเปลี่ยนหมูการบวก การสลับที่การคูณ การสลับที่การบวก การสลับที่การคูณ ปดของการบวก ปดของการบวก อินเวอรสของการบวก เอกลักษณการคูณ

2. 1) 2) 3) 4) 5)

ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง เปนจริงตามสมบัติการแจกแจง เปนจริงตามสมบัติการแจกแจง


68 3. เซตของจํานวนนับ เซตของจํานวนเต็มลบ เซตของจํานวนเต็ม เซตของจํานวนตรรกยะ

มีสมบัติขอ 1) และขอ 3) มีสมบัติขอ 1) มีสมบัติขอ 1), 2) และขอ 3) มีสมบัติขอ 1), 2), และขอ 3)

แบบฝกหัด 3.3.1 1. 1) (x + 1)(x – 1)

= =

x2 + (–x) + x + (–1) x2 – 1

2)

(x + 3)(x – 3)

= =

x2 + (–3x) + 3x+ (–9) x2 – 9

3)

(2x + 3)(2x – 3)

= =

4x2 + (–6x) + (6x) + (–9) 4x2 – 9

4)

(5x + 4)(5x – 4)

= =

25x2 + (–20x) + 20x + (–16) 25x2 – 16

5)

(3x + 1)(3x – 1)

= =

9x2 + (–3x) + 3x + (–1) 9x2 – 1

6)

(x – 5)(x – 5)

= =

x2 + (–5x) + (–5x) + 25 x2 – 10x + 25

7)

(5x – 4)(5x – 4)

= =

25x2 + (–20x) + (–20x) + 16 25x2 – 40x + 16

8)

(3x – 1)(3x – 1)

= =

9x2 + (–3x) + (–3x) + 1 9x2 – 6x + 1

9)

(2x + 1)(3x + 2)

= =

6x2 + 4x + 3x + 2 6x2 + 7x + 2

10)

(4x + 2)(x + 4)

= =

4x2 + 16x + 2x + 8 4x2 + 18x + 8


69 2. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

x2 – 25x x3 – 4x2 x4 – 4x 15x2 – 25x 81x2 – x 7x2 + 49x 88x3 + 8x2 13x4 + x2 5x3 + 15x2 100x4 + 10x3 x2 + 3x – 4 x2 + 10x + 25

13) x2 + 6x + 9 14) x2 + 4x + 4 15) x2 + 8x – 20 16) x2 – 10x + 25 17) x2 – 14x + 49 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

x2 + 6x – 16 x2 + 6x + 8 x2 + x – 30 x2 + 13x + 30 x2 + 8x + 7 x2 + 10x + 21 x2 – 5x – 50 x2 + 9x + 20

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

x(x – 25) x2(x – 4) x(x3 – 4) 5x(3x – 5) x(81x – 1) 7x(x + 7) 8x2(11x + 1) x2(13x2 + 1) 5x2(x + 3) 10x3(10x + 1) (x – 1)(x + 4) (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 (x + 3)(x + 3) (x + 3)2 (x + 2)(x + 2) (x + 2)2 (x – 2)(x + 10) (x – 5)(x – 5) (x – 5)2 (x – 7)(x – 7) (x – 7)2 (x – 2)(x + 8) (x + 2)(x + 4) (x – 5)(x + 6) (x + 3)(x + 10) (x + 1)(x + 7) (x + 3)(x + 7) (x + 5)(x – 10) (x + 5)(x + 4)


70 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35)

x2 – 10x – 11 x2 + 14x + 13 3x2 + 10x + 3 2x2 + x – 6 2x2 – x – 1 8x2 – 2x – 3 25x2 + 15x + 2 4x2 + 5x – 9 3x2 + 4x – 15 4x2 – 1

36)

25x2 – 1

37)

9x2 – 4

38)

x4 – x2

39)

x3 – 25x

40)

x4 – 4x2

3. 1) x2 + 4x – 32

2) x2 – 2x – 3

3) x2 – 4x + 2

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

(x + 1)(x – 11) (x + 1)(x + 13) (3x + 1)(x + 3) (2x – 3)(x + 2) (2x + 1)(x – 1) (4x – 3)(2x + 1) (5x + 2)(5x + 1) (4x + 9)(x – 1) (3x – 5)(x + 3) (2x)2 – 12 (2x – 1)(2x + 1) (5x)2 – 12 (5x – 1)(5x + 1) (3x)2 – 22 (3x – 2)(3x + 2) x2(x2 – 1) x2(x – 1)(x + 1) x(x2 – 25) x(x – 5)(x + 5) x2(x2 – 4) x2(x – 2)(x + 2)

= = = = = = = = = =

(x2 + 4x + 4) – 32 – 4 (x + 2)2 – 36 ((x + 2) – 6)((x + 2) + 6) (x – 4)(x + 8) (x2 – 2x + 1) – 3 – 1 (x – 1)2 – 4 ((x – 1) – 2)((x – 1) + 2) (x – 3)(x + 1) (x2 – 4x + 4) + 2 – 4 (x – 2)2 – 2


71

4) x2 + 8x – 5

5) x2 + 6x + 2

6) x2 + 8x + 14

7) x2 – 10x + 7

8) x2 + 7x + 11

= = = = = = = = = = = = = = = = = =

[(x – 2) – 2 ][(x – 2) + 2 ] [(x – (2 + 2 )][x – (2 – 2 )] (x2 + 8x + 16) – 5 – 16 (x + 4)2 – 21 [(x + 4) – 21 ][(x + 4) + 21 ] [x + (4 – 21 )][x + (4 + 21 )] (x2 + 6x + 9) + 2 – 9 (x + 3)2 – 7 [(x + 3) – 7 ][(x + 3) + 7 ] [x + (3 – 7 )][x + (3 + 7 )] (x2 + 8x + 16) + 14 – 16 (x + 4)2 – 2 [(x + 4) – 2 ][(x + 4) + 2 ] [x + (4 – 2 )][x + (4 + 2 )] (x2 – 10x + 25) – 25 + 7 (x – 5)2 – 18 [(x – 5) – 18 ][(x – 5) + 18 ) [x – (5 + 18 )][x – (5 – 18 )]

=

(x2 + 7x +

= = = 9)

x2 – 2x

10) x2 + 4x

= = = = = = = =

49 ) – 49 + 11 4 4 7 2 5 (x + ) − 4 2 [(x + 72 ) – 25 ][(x + 72 ) + 25 [x + ( 7−2 5 )][x + ( 7 +2 5 )]

(x2 – 2x + 1) – 1 (x – 1)2 – 1 [(x – 1) – 1][(x – 1) + 1] [x – (1 + 1)][(x – (1 – 1)] (x – 2)(x) (x2 + 4x + 4) – 4 (x + 2)2 – 4 [(x + 2) – 2][(x + 2) + 2]

]


72 = = 11) –2x2 – 8x + 8 = = = = = = 12) 8 + 4x – x2 = = = = = 13) –3x2 + 6x + 4 = = = = =

[x + (2 – 2)][x + (2 + 2)] (x)(x + 4) –2(x2 + 4x – 4) –2[(x2 + 4x + 4) – 4 – 4] –2(x + 2)2 + 16 –2[(x + 2)2 – 8] –2[((x + 2) – 8 )((x + 2) + 8 )] –2[(x + (2 – 8 ))(x + (2 + 8 ))] –(x2 – 4x – 8) –[(x2 – 4x + 4) – 8 – 4] – [(x – 2)2 – 12] –[((x – 2) – 12 )((x – 2 )+ 12 )] –[(x – (2 + 12 ))(x +(– 2 + 12 )] –3(x2 – 2x) + 4 –3[(x2 – 2x + 1) – 1] + 4 –3[(x – 1)2 – 1] + 4 –3(x – 1)2 + 7 –3[(x – 1)2 – 73 ]

=

− 3[(( x −1) −

7 7 )] )(( x −1) + 3 3

=

− 3[( x − (1+

7 7 ))] ))( x − (1− 3 3

14) 4x2 – 4x – 9 = = = = = = = =

4(x2 – x) – 9 1 1 4[( x 2 − x + ) − ] − 9 4 4 1 1 4[(x − ) 2 − ] − 9 2 4 1 2 4( x − ) − 1 − 9 2 1 2 4( x − ) − 10 2 1 2 10 4[( x − ) − ] 2 4 1 10 1 10 4[((x − ) − )((x − ) + )] 2 2 2 2 1+ 10 1− 10 4[( x − ( ))( x − ( ))] 2 2


73 15) –3x2 + 6x + 2

16) –2x2 + 2x + 1

= = = = = =

–3(x2 – 2x) + 2 –3[(x2 – 2x + 1) – 1] + 2 –3[(x – 1)2 – 1] + 2 –3(x – 1)2 + 3 + 2 –3(x – 1)2 + 5 –3[(x – 1)2 – 53 ]

=

–3[((x – 1) –

=

–3[(x – (1 +

=

–2(x2 – x) + 1

=

1 1 − 2[( x 2 − x + ) − ] + 1 4 4 1 2 1 − 2[( x − ) − ] + 1 2 4 1 2 1 − 2( x − ) + + 1 2 2 1 3 − 2( x − ) 2 + 2 2 –2[(x – 12 )2 – 34 ] –2[((x – 12 ) – 23 )((x – 12 )+ 23 –2[(x – (1+2 3 ) )(x – (1−2 3 ) )]

= = = = = =

5 3 5 3

5 3

)((x – 1) +

))(x – (1 –

5 3

)]

))]

)]

แบบฝกหัด 3.3.2 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

x2 + 7x + 10 x2 + 8x + 12 x2 – 3x – 18 x2 – 6x – 16 x2 + 5x – 24 x2 + x – 30 x2 – 14x + 48 21 – 10x + x2 2 + x – x2

= = = = = = = = =

0 0 0 0 0 0 0 0 0

จะได จะได จะได จะได จะได จะได จะได จะได จะได

(x + 2)(x + 5) (x + 2)(x + 6) (x + 3)(x – 6) (x + 2)(x – 8) (x + 8)(x – 3) (x + 6)(x – 5) (x – 8)(x – 6) (7 – x)(3 – x) (1 + x)(2 – x)

= = = = = = = = =

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

x = – 2, – 5 x = – 2, – 6 x = – 3, 6 x = – 2, 8 x = – 8, 3 x = – 6, 5 x = 8, 6 x = 7, 3 x = – 1, 2


74 จะได

(2x + 1)(x + 3) = 0, x = – 1 , – 3

11) 3x + 7x + 2 = 0

จะได

(3x + 1)(x + 2) = 0, x

12) 5x2 + 13x + 6 = 0

จะได

(5x + 3)(x + 2) = 0, x

13) 7x2 + 3x – 4 = 0

จะได

(7x – 4)(x + 1) = 0, x

14) 9x2 + 12x + 4 = 0

จะได

(3x + 2)(3x + 2) = 0, x

15) 4x2 + 8x + 3 = 0

จะได

(2x + 3)(2x + 1) = 0, x

16) 4x2 + 16x + 15 = 0

จะได

(2x + 3)(2x + 5) = 0, x

17) x2 – 9 18) 25 – x2

= 0 = 0

จะได จะได

(x + 3)(x – 3) (5 + x)(5 – x)

19) 9x2 – 16

= 0

จะได

(3x + 4)(3x – 4) = 0, x = − 4 ,

20) 36x2 – 25

= 0

จะได

(6x + 5)(6x – 5) = 0, x =

2. 1) x2 + 8x + 6 [x2 + 2(4)x] + 6 [x2 + 2(4)x + 42] + 6 – 42 (x + 4)2 – 10 (x + 4)2 x+4 x

= = = = = = =

0 0 0 0 10

x2 + 10x + 3 [x2 + 2(5)x] + 3 [x2 + 2(5)x + 52] + 3 – 52 (x + 5)2 – 22 (x + 5)2 x+5 x

= = = = = = =

0 0 0 0 22

10) 2x2 + 7x + 3 = 0 2

2)

± 10 − 4 ± 10

± 22 − 5 ± 22

2 = – 1,–2 3 = – 3,–2 5 4 = ,–1 7 = −2 3 = −3, −1 2 2 3 5 =− ,− 2 2

= 0, x = – 3, 3 = 0, x = – 5, 5 3 5 − , 6

4 3 5 6


75 3) x2 + 4x + 2 [x2 + 2(2)x] + 2 [x2 + 2(2)x + 22] + 2 – 22 (x + 2)2 – 2 (x + 2)2 x+2 x

= = = = = = =

0 0 0 0 2

4) x2 + 6x + 3 [x2 + 2(3)x] + 3 [x2 + 2(3)x + 32] + 3 – 32 (x + 3)2 – 6 (x + 3)2 x+3 x

= = = = = = =

0 0 0 0 6

x2 + 8x – 1 [x2 + 2(4)x] – 1 [x2 + 2(4)x + 42] – 1 – 42 (x + 4)2 – 17 (x + 4)2 x+4 x

= = = = = = =

0 0 0 0 17

x2 – 4x – 2 [x2 – 2(2)x] – 2 [x2 – 2(2)x + 22] – 2 – 22 (x – 2)2 – 6 (x – 2)2 x–2 x

= = = = = = =

0 0 0 0 6

5)

6)

± 2 −2± 2

± 6 −3± 6

± 17

– 4±

17

± 6 2± 6


76 7) x2 – 6x + 4 [x2 – 2(3)x] + 4 [x2 – 2(3)x + 32] + 4 – 32 (x – 3)2 – 5 (x – 3)2 x–3 x

= = = = = = =

0 0 0 0 5

8) x2 – 10x – 2 [x2 – 2(5)x] – 2 [x2 – 2(5)x + 52] – 2 – 52 (x – 5)2 – 27 (x – 5)2 x–5 x–5 x

= = = = = = = =

0 0 0 0 27

9)

± 5 3± 5

± 27 ±3 3 5±3 3

x2 + 5x + 1

=

0

⎡ 2 ⎛5⎞ ⎤ ⎢ x + 2⎜ 2 ⎟ x ⎥ + 1 ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ 2 2 ⎡ 2 ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎤ ⎛5⎞ x 2 x 1 + − + + ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝2⎠ ⎢⎣

=

0

=

0

2

=

0

2

=

21 4

=

±

x

=

x

=

x

=

5 ± 2 5 − ± 2 −5± 2

5⎤ 21 ⎡ ⎢x + 2 ⎥ − 4 ⎣ ⎦

5⎤ ⎡ ⎢x + 2 ⎥ ⎦ ⎣ 5 x+ 2

21 4

21 4 21 2 21


77 10) x2 + 3x + 2 ⎡ 2 ⎛3⎞ ⎤ ⎢ x + 2⎜ 2 ⎟ x ⎥ + 2 ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ 2 2 ⎡ 2 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎤ ⎛3⎞ + + + − x 2 x 2 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝2⎠ ⎢⎣ 2

⎡ 1 ⎛ 3 ⎞⎤ ⎢ x + ⎜ 2 ⎟⎥ − 4 ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎡ ⎛ 3 ⎞⎤ ⎢ x + ⎜ 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ x+

2

3 2

x x=

− 3 ±1 , 2

=

0

=

0

=

0

=

0

=

1 4

=

±

=

=

− b ± b 2 − 4ac 2a

=

− (− 4) ± (− 4) 2 − 4(1)(− 21) 2(1) 4 ± 10 2

= =

7, – 3

จะได x2 – 4x = 0 2) จาก x2 = 4x ดังนั้น a = 1, b = – 4, c = 0 x

=

− b ± b 2 − 4ac 2a

=

− (− 4) ± (− 4) 2 − 4(1)(0) 2(1) 4±4 2

= =

4, 0

3 1 ± 2 4

x = – 1, – 2

3. 1) x2 – 4x – 21 = 0 a = 1, b = – 4, c = – 21 x

1 4


78 3)

จาก x2 – 2x = 6 จะได x2 – 2x – 6 = 0 ดังนั้น a = 1, b = – 2, c = – 6 x

=

− b ± b 2 − 4ac 2a

=

− (− 2) ± (−2) 2 − 4(1)(−6) 2(1)

=

2 ± 4 + 24 2(1)

=

2 ± 28 2 2±2 7 2

= 4)

1± 7

3x2 + 2x – 3 = 0 a = 3, b = 2, c = – 3 x

5)

=

=

− b ± b 2 − 4ac 2a

=

− 2 ± 2 2 − 4(3)(−3)

=

− 2 ± 4 + 36 2(3)

=

− 2 ± 40 2(3)

=

− 2 ± 2 10 2(3)

2(3)

=

− 1 ± 10 3

จาก 2x2 + 4x = 1 จะได 2x2 + 4x – 1 = 0 ดังนั้น a = 2, b = 4, c = – 1 x

=

− b ± b 2 − 4ac 2a

=

− 4 ± 4 2 − 4(2)(−1)

=

− 4 ± 16 + 8 2( 2)

=

− 4 ± 24 2( 2)

=

−4±2 6 2( 2)

2( 2)

=

−2± 6 2


79 6)

จาก 2x2 = x + 2 จะได 2x2 – x – 2 = 0 ดังนั้น a = 2, b = – 1, c = – 2 x

=

− b ± b 2 − 4ac 2a

=

1 ± 1 + 16 2( 2)

=

1 ± 17 4

=

− (−1) ± (−1) 2 − 4(2)(−2)

4. 1) x2 + (x + 3)2 = (x + 7)2 x2 + (x2 + 6x + 9) = x2 + 14x + 49 2x2 + 6x + 9 = x2 + 14x + 49 x2 – 8x – 40 = 0 หาคําตอบของสมการโดยใชสูตรไดดังนี้ − b ± b 2 − 4ac 2( a )

x =

และ

=

− (−8) ± (−8) 2 − 4(1)(− 40) 2(1)

=

8 ± 64 + 160 2 8 ± 224 2 8 ± 4 14 2

= =

2( 2)

A x B

x+7 x+3

a = 1, b = – 8, c = – 40

= 4 ± 2 14 เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนบวกเสมอ ดังนั้น x = 4 + 2 14 จะได AB = 4 + 2 14 BC = 4 + 2 14 + 3 = 7 + 2 14 AC = 4 + 2 14 + 7 = 11 + 2 14 A

2) x

B

x+6 x+2

C

x2 + (x + 2)2 = x2 + x2 + 4x + 4 = x2 – 8x – 32 =

(x + 6)2 x2 + 12x + 36 0

C


80 หาคําตอบของสมการโดยใชสูตรไดดังนี้ x =

− b ± b 2 − 4ac 2( a )

และ

a = 1,

=

− (−8) ± (−8) 2 − 4(1)(−32)

=

8 ± 64 + 128 2 8 ± 192 2 8±8 3 2

= = =

b = – 8, c = – 32

2(1)

4±4 3

เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนจํานวนบวกเสมอ 4+4 3 ดังนั้น x = จะได AB = 4+4 3 BC = 4+4 3+2 = 6+4 3 AC = 4+4 3+6 = 10 + 4 3 3) 2

2

x + (2x + 3) x2 + 4x2 + 12x + 9 5x2 + 12x +9 4x2 – 6x – 8

2

= = = =

(3x + 1) 9x2 + 6x + 1 9x2 + 6x + 1 0

A 3x + 1

x B

2x + 3

หาคําตอบของสมการโดยใชสูตร ไดดังนี้ x =

− b ± b 2 − 4ac 2a

และ a = 4, b = – 6, c = – 8

=

− (−6) ± (−6) 2 − 4(4)(−8)

=

6 ± 36 + 128 2( 4)

=

6 ± 164 2( 4)

2(4)

C


81 =

6 ± 2 41 2(4)

=

3 ± 41 4

เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนจํานวนบวกเสมอ ดังนั้น

x

=

จะได

AB

=

BC

=

AC

=

3 + 41 4 3 + 41 4 ⎡ 3 + 41 ⎤ 2⎢ ⎥+3 ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎡ 3 + 41 ⎤ 3⎢ ⎥ +1 ⎣⎢ 4 ⎥⎦

=

(9 + 41) 2

=

(13 + 3 41) 4

5. 5

x x

ถากลองกระดาษในรูปขางบน มีความจุ 320 ลูกบาศกเซนติเมตร จะหาวา กลองใบนี้ซึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีความกวางเทาใดไดดังนี้ ปริมาตรของกลอง = 5⋅x⋅x หรือ 5x2 5x2 = 320 x2

=

320 5

หรือ 64

จะได x = ±8 เนื่องจากความกวางของกลองตองเปนจํานวนจริงบวก ดังนั้น ฐานของกลองจะมีความกวางเทากับ 8 เซนติเมตร


82 ax

6. ax

a

x

x2

ax

ax

x (1)

(2)

กลองในรูปที่ (1) ทําจากกระดาษในรูปที่ (2) ซึ่งมีพื้นที่เทากับ x2 + 4ax กําหนดให a 1 4

1 1 2

x2 + 4ax 20 165 80

หาคาของ x ไดดังนี้ 1) จาก

a=

1 4

จะได x2 + 4ax = x2 + x

x2 + x = 20 x2 + x – 20 = 0 (x + 5)(x – 4) = 0 x = 4, – 5 เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก ดังนั้น x = 4 เซนติเมตร

และ

จะได x2 + 4ax = x2 + 4x x2 + 4x = 165 x2 + 4x – 165 = 0 (x + 15)(x – 11) = 0 x = 11, – 15 เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก ดังนั้น x = 11 เซนติเมตร

2) a = 1 และ


83 3) a =

1 2

จะได x2 + 4ax = x2 + 2x

= 80 x2 + 2x x2 + 2x – 80 = 0 (x + 10)(x – 8) = 0 x = 8, – 10 เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก ดังนั้น x = 8 เซนติเมตร

และ

7. ถาความสูง (h) ของลูกเทนนิส เมื่อวัดจากพื้นขณะที่นักกีฬาตีลูกขึ้นไปนาน t วินาที หาไดจากสูตร h = 1 + 15t – 5t2 จะหาวา นานเทาใดหลังจากที่นักกีฬาตีลูกเทนนิส แลวลูกเทนนิสอยูสูงจากพื้นดิน 10 เมตร จาก h = 10 10 จะได 1 + 15t – 5t2 = 5t2 – 15t + 9 = 0 จาก

t =

− b ± b 2 − 4ac 2a

t =

− (−15) ± (−15) 2 − (4)(5)(9)

= = ≈ ≈

และ a = 5, b = – 15, c = 9

2(5) 15 ± 45 10 15 ± 3 5 10 15 ± 6.7 10

0.83 หรือ 2.17 วินาที

เขียนภาพแทนการตีลูกเทนนิสของนักกีฬาไดดังนี้

h 0

t1

t2


84 นอกจากการหาคาของ t โดยใชสูตรแลว อาจจะใชวิธีการประมาณคาของ 1 + 5t – 15t2 ที่มีคาใกล 10 มากที่สุด โดยใชเครื่องคิดเลขไดดังตัวอยางตอไปนี้ t (วินาที) 1 + 15t – 5t2 (เมตร) 1 11 0.9 10.45 0.8 9.8 0.85 10.13 0.84 10.07 *0.83 *10.0055 0.82 9.938 จากตารางพบวา คาประมาณของ t ที่เทากับ 0.83 วินาที เปนคาที่ทําให 1+ 5t – 5t2 มีคา ใกล 10 เมตร มากที่สุด 8. ตนทุนในการผลิตสินคาบริษทั แหงหนึง่ เทากับ1 600x – 5x2 เมือ่ x แทนราคาตนทุนสินคาตอหนวย และถาตนทุนสินคาตอหนวยสูงกวา 50 บาท ถาตองการกําไรชิ้นละ 25% โดยมีตนทุนในการ ผลิตเทากับ 16,000 บาท จะหาวาตองขายสินคาในราคาชิ้นละเทาใดไดดังนี้ = 16,000 ให 600x – 5x2 5x2 – 600x + 16,000 = 0 x2 – 120x + 3,200 = 0 จาก จะได

x x

=

− b ± b 2 − 4ac 2a

=

− (−120) ± (−120) 2 − 4(1)(3,200)

=

120 ± 14,400 − 12,800 2 120 ± 1,600 = 120 ± 40 2 2

=

และ

a = 1,

2(1)

จะได x = 80 หรือ 40 จากโจทย ราคาสินคาตอหนวยตองสูงกวา 50 บาท ดังนั้น ราคาสินคาตอหนวย จะตองเทากับ 80 บาท ตองการกําไร 25% จะหาไดจาก

80 ×

25 100

หรือ 20 บาท

นั่นคือ จะตองขายสินคาชิ้นละ 80 + 20 หรือ 100 บาท

b = – 120, c = 3,200


85 9. ถาผลคูณของจํานวนถัดไปที่เปนจํานวนคี่ที่เปนบวกสองจํานวนมีคาเทากับ 35 จะหาจํานวนทั้งสองไดโดย ให x เปนจํานวนคี่จํานวนแรก ให x + 2 เปนจํานวนคี่ที่เปนบวกที่เปนจํานวนถัดไป จะได x(x + 2) = 35 x2 + 2x – 35 = 0 (x + 7)(x – 5) = 0 x = – 7, 5 เนื่องจากโจทยกําหนดจํานวนคี่เปนจํานวนบวก ดังนั้น x จะตองเทากับ 5 สรุปวา จํานวนแรก คือ 5 และจํานวนที่สองคือ 7 ตรวจสอบคําตอบ 5 × 7 = 35 10. 1) ถา ให จะได และ 2) ถา ให จะได และ 3) ถา ให จะได และ

x2 + 10x + c = 0 c = –24 x2 + 10x – 24 (x + 12)(x – 2) x = –12 หรือ x2 + 10x + c = c=9 x2 + 10x + 9 (x + 9)(x + 1) x = –9 หรือ

และ

c<0

= 0 = 0 2 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ

0 และ

c>0

= 0 = 0 –1 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ

x2 + bx + 9 = 0 และ b > 6 b = 10 x2 + 10x + 9 = 0 (x + 9)(x + 1) = 0 x = –9 หรือ –1 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ


86 11. ถาระยะเบรกของรถคันหนึ่งแทนดวยสูตร d =

s+

s2 20

เมตร

เมื่อ d คือ ระยะเบรก และ s คืออัตราเร็วของรถมีหนวยเปนกิโลเมตร / ชั่วโมง หาระยะเบรกของรถคันนี้เมื่อรถคันนี้วิ่งดวยอัตราเร็วตางกัน ไดดังนี้ 1) s = 40 กิโลเมตร / ชั่วโมง d =

40 +

( 40) 2 20

= 40 + 80

= 120 2) s = 100 กิโลเมตร / ชั่วโมง d = 100 + (100) 20

2

เมตร เมตร

= 100 + 500 เมตร = 600

เมตร x

12. 35 ซม.

หยุด

x

ถาตัดปายรูปแปดเหลี่ยมจากแผนโลหะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหไดปายรูปแปดเหลี่ยมทีแ่ ตละ ดานยาว 35 ซม. จะหาวา ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสควรจะยาวดานละเทาใด จึงจะไดปายตาม ขนาดที่เขียนไวในรูปไดดังนี้ หาความยาวของ x โดยใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก x จาก x2 + x2 = 352 x 35 2 2 2x = 35 x2 จะได x

= =

35 2 2 35

2

หรือ

35 2 2

จะไดวา รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสควรจะมีความยาวดานละ 2x + 35 หรือ ซึ่งมีคาประมาณ 84.50 ซม.

⎛ 35 2 ⎞ ⎟ + 35 2⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝


87

แบบฝกหัด 3.4.1 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

n< 5 n > –4 n< 0 n≤ 0 n≤ 2 –1 < n ≤ 3 – 10 < n < 4 0≤n≤5

จะได จะได จะได จะได จะได จะได จะได จะได

2. 1)

n n n n n n n n

= = = = = = = =

0 , 1, – 2 6, – 1, 0 – 2, – 5 0, – 4, – 1 – 2, 2, 0 2, 3, 0 – 1, 0 1, 0, 5

x+2 > 2 x+2–2 > 2–2 x > 0 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x > 0} -3

2)

-2

-1

0

1

2

x–4 ≤ 2 x–4+4 ≤ 2+4 x ≤ 6 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x 3

3)

4

5

6

7

8

3

6} 9

3+ y < 7 3+y–3 < 7–3 y < 4 เซตคําตอบของอสมการคือ {y⏐y < 4} 1

2

3

4

5

6

7


88 4)

y – 2 ≥ –1 y – 2 + 2 ≥ –1 + 2 y ≥ 1 เซตคําตอบของอสมการคือ {y⏐y -2

5)

-4

-1

0 1 2 3 4 x+3 < 2 x+3–3 < 2–3 x < –1 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x < –1} -3

-2 -1 0 1 x–9 ≤ 0 x–9+9 ≤ 0+9 x ≤ 9 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x

6)

1}

6

7

8

9 10 2x ≥ 4

7)

2

11

9} 12

1 1 2 x ( ) ≥ 4( ) 2 2

x≥ 2 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x -2

-1

0

1

2

3

2} 4

1 x ≥ 3 3

8)

1 x (3) ≥ 3 × 3 3

x≥ 9 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x 6

7

8

9

10

9}

11 12


89 x ≤ −1 2

9)

x (2) ≤ − 1(2) 2

x ≤ –2 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x -4

-3

-2

10)

-1 10

0

–2}

1

2

5x

1 1 10( ) ≤ 5x ( ) 5 5

2 ≤ x เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x -2

-1

0

1

2

2}

3

4

x > 0 7

11)

x (7) > 0(7) 7

x >0 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x > 0} -3

-2

-1

0

1

2

3

x < 0 4

12)

x (4) < 0(4) 4

x <0 เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x < 0} -3

-2

-1

0

1

2

3


90 1 2 1 x – 1 + 1 ≤ +1 2 3 x ≤ 2

13)

x −1 ≤

เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐ x 0

1

3 2

2

3 2

} 3

5x + 1 ≤ 4 5x + 1 – 1 ≤ 4 – 1 5x ≤ 3

14)

1 1 5x ( ) ≤ 3( ) 5 5 3 x≤ 5

เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐ x 0

1

3 5

15)

3 } 5

2

3

–3 + 3x ≤ 2 –3 + 3x + 3 ≤ 2 + 3 3x ≤ 5 x≤

5 3

เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐ x 0

1

5 } 3

2

5 3

3

แบบฝกหัด 3.4.2 1.

–3x ≥ 9 1 1 − 3x (− ) ≤ 9(− ) 3 3

x ≤ –3 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0


91 2.

x ≤ 2 3

x (− )(−3) ≥ 2(−3) 3

x -9

-8

-7

3.

-6 −

–6

-5

-4

-3

-4

-3

x < 1 6

x (− )(−6) > 1( −6) 6

x > –6 -9

-8

-7

4.

-6

-5

– 4x ≤ 20 1 1 (−4x )(− ) ≥ 20(− ) 4 4

x ≥ –5 -9 5.

-8

-7

-6

-5

-4

-3

18 + 6x > 0 18 + 6x – 18 > 0 – 18 6x > –18 6x 6

− 18 6

>

x > –3 -6

-5

-4

6.

-3 −

-2

-1

0

2

3

x ≥ 0 5

x (− )(−5) ≤ 0(−5) 5

x≤ 0 -3

-2

-1

0

1


92 7.

–3x

12

1 1 − 3x (− ) ≤ 12(− ) 3 3

x -6

-5

8.

-4

− −

–4

-3

-2

-1

0

-6

-5

-4

-6

-5

-4

0

1

2

x < 1 7

x (−7) > 1(−7) 7

x > –7 -10 9.

-9

-8

-7

–3x – 21 ≥ 0 –3x – 21 + 21 ≥ 0 + 21 –3x ≥ 21 ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ − 3x ⎜ ⎟ ≤ 21⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠

x -10 10.

-9 −

–7

-8

-7

x −1 > 0 2

x −1+1 > 0 +1 2 x − > 1 2 x (− )(−2) < 1(−2) 2

x < –2 -4

-3

-2

-1


93

แบบฝกหัด 3.4.3 1. 1)

4x + 2 4x + 2 – x 3x + 2 3x + 2 – 2 3x 1 3x ( ) 3

2)

3)

4)

> > > > > >

x+7 x+7–x 7 7–2 5

>

2x – 1 2x – 1 – x x–1 x–1+1 x

< < < < <

x+9 x+9–x 9 9+1 10

8x – 5 8x – 5 – 3x 5x – 5 5x – 5 + 5 5x

3x + 15 3x + 15 – 3x 15 15 + 5 20

1 5x ( ) 5

1 20( ) 5

x

4

3x – 2 3x – 2 – x 2x – 2 2x – 2 + 2 2x

x x–x 0 0+2 2

1 2x ( ) 2

1 2( ) 2

x

1

≥ ≥ ≥

≤ ≤ ≤ ≤

1

5 3

2

3

1 5( ) 3 5 3

x

0

6

7

1

-2

8

2

-1

9

10

4

5

3

0

1

2

11 12

6

3

7

4


94 5)

8 – 3x > x 8 – 3x + 3x > x + 3x 8 > 4x

-2

-1

0

1

2

3

4

1 1 8( ) > 4x ( ) 4 4

2 > x หรือ x < 2 6)

7)

5 – 3m 5 – 3m + 4m 5+m 5+m–5 m

6 – 3m 6 – 3m + 3m 6

≤ ≤ ≤ ≤

≥ ≥

6 – 4m 6 – 4m + 4m 6 6–5 1

8)

≥ ≤

-1

0

1

2

3

4

-2

-1

0

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3m 3m + 3m 6m

1 1 6( ) ≥ (6m)( ) 6 6

1 m

-2

m 1

3m < m – 2 3m – m < m – 2 – m 2m < –2 1 1 2 m ( ) < − 2( ) 2 2 m < –1

9)

4(m – 3) 4m – 12 4m – 12 – 3m m – 12 m – 12 + 12 m

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

3(m – 2) 3m – 6 3m – 6 – 3m –6 – 6 + 12 6


95 10)

m+2 m+2 m+2–m 2 2 – 12 –10 1 −10( ) 5

–2 11)

< < < < < < <

6(2 + m) 12 + 6m 12 + 6m – m 12 + 5m 12 + 5m – 12 5m 5m ( 15 )

<

m หรือ m > –2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

x2 < 9 x2 – 9 < 0 (x – 3)(x + 3) < 0 พิจารณาคาของ (x – 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้ ชวง x (x – 3)(x + 3) คาของ (x – 3)(x + 3) (– ∞, – 3) –5 (– 8)(– 2) = 16 มีคาเปนบวก (– 3, 3) 0 (– 3)(3) = – 9 มีคาเปนลบ (3, ∞) 5 (2)(8) = 16 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x + 3) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (–3, 3) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้ (x – 3)(x + 3) < 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x2 > 4 x2 > 4 x2 – 4 > 0 (x – 2)(x + 2) > 0 พิจารณาคาของ (x – 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2), (– 2, 2), (2, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้ 12)


96 ชวง (– ∞, – 2) (– 2, 2) (2, ∞)

x –3 0 3

(x – 2)(x + 2) (– 5)(– 1) = 5 (– 2)(2) = – 4 (1)(5) = 5

คาของ (x – 2)(x + 2) มีคาเปนบวก มีคาเปนลบ มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 2)(x + 2) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 2) ∪ (2, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้ (x – 2)(x + 2) > 0 -4

-3

-2

(x – 2)(x + 2) > 0 -1

0

1

2

3

4

x2 + 2x > 3 x2 + 2x – 3 > 0 (x – 1)(x + 3) > 0 พิจารณาคาของ (x – 1)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 1), (1, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

13)

ชวง (– ∞, – 3) (– 3, 1) (1, ∞)

x –5 0 5

(x – 1)(x + 3) (– 6)(– 2) = 12 (– 1)(3) = –3 (4)(8) = 32

คาของ (x – 1)(x + 3) มีคาเปนบวก มีคาเปนลบ มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 1)(x + 3) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 3) ∪ (1, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้ (x – 1)(x + 3) > 0 (x – 1)(x + 3) > 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


97 x2 – 4x < 5 x2 – 4x – 5 < 0 (x – 5)(x + 1) < 0 พิจารณาคาของ (x – 5)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 5), (5, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

14)

ชวง (– ∞, – 1) (– 1, 5) (5, ∞)

x –2 0 15

(x – 5)(x + 1) (– 7)(– 1) = 7 (– 5)(1) = – 5 (10)(16) = 160

คาของ (x – 5)(x + 1) มีคาเปนบวก มีคาเปนลบ มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 5)(x + 1) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (– 1, 5) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้ (x – 5)(x + 1) < 0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

15) (x – 1)(x + 1) > 0 พิจารณาคาของ (x – 1)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 1), (1, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้ ชวง (– ∞, – 1) (– 1, 1) (1, ∞)

x –2 0 2

(x – 1)(x + 1) (– 3)(– 1) = 3 (– 1)(1) = – 1 (1)(3) = 3

คาของ (x – 1)(x + 1) มีคาเปนบวก มีคาเปนลบ มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 1)(x + 1) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 1) ∪ (1, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้ (x – 1)(x + 1) > 0 -4

-3

-2

(x – 1)(x + 1) > 0 -1

0

1

2

3

4


98 16)

x2 – 6x + 9 < 0 (x – 3)(x – 3) < 0 พิจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้ ชวง (– ∞, 3) (3, ∞)

x 0 5

(x – 3)(x – 3) (– 3)(– 3) = 9 (2)(2) = 4

คาของ (x – 3)(x – 3) มีคาเปนบวก มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x – 3) ≥ 0 เสมอ จึงไมมีคา x ที่ทําให (x – 3)2 มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย แสดงวา ไมมีจํานวนจริงใดที่ทําให (x – 3)2 < 0 (x – 3)2 -4

-3

-2

-1

0

0

1

2

3

4

x2 + 6x + 9 < 0 (x + 3)(x + 3) < 0 พิจารณาคาของ (x + 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

17)

ชวง (– ∞, – 3) (– 3, ∞)

x –5 0

(x + 3)(x + 3) (– 2)(– 2) = 4 (3)(3) = 9

คาของ (x + 3)(x + 3) มีคาเปนบวก มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา คาของ (x + 3)(x + 3) ≥ 0 เสมอ เมื่อ x อยู ในชวง (– ∞, – 3] ∪ [– 3, ∞) หรือ (– ∞, ∞) จึงไมมีคา x ที่ทําให (x + 3)(x + 3) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย x2 + 6x + 9 -4

-3

-2

-1

0

0 1

2

3

4


99 x2 + 4x + 4 ≥ 0 (x + 2)(x + 2) ≥ 0 พิจารณาคาของ (x + 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2], [– 2, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้ 18)

ชวง (– ∞, – 2] [– 2, ∞)

x –5 0

(x + 2)(x + 2) (– 3)(– 3) = 9 (2)(2) = 4

คาของ (x + 2)(x + 2) มีคาเปนบวก มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x + 2)(x + 2) มีคามากกวาหรือเทากับศูนย เมื่อ x เปนจํานวนจริง หรือ เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, –2 ] ∪ [–2 , ∞) หรือ (– ∞, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้ x2 + 4x + 4 -4

-3

-2

-1

0

0

1

2

3

4

(x – 3)2 > 0 (x – 3)(x – 3) > 0 พิจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

19)

ชวง (– ∞, 3) (3, ∞)

x 0 5

(x – 3)(x – 3) (– 3)(– 3) = 9 (2)(2) = 4

คาของ (x – 3)(x – 3) มีคาเปนบวก มีคาเปนบวก

เมื่อเลือก x คาอื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x – 3) มีคาเปนบวกหรือมากกวาศูนย เมื่อ x เปนจํานวนจริง ที่ไมเทากับ 3 หรือ เ���ื่อ x อยูในชวง (– ∞, 3) ∪ (3, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้ (x – 3)2 > 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

(x – 3)2 = 0

4


100 x2 – 9x – 10 < 0 (x – 10)(x + 1) < 0 พิจารณาคาของ (x – 10)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 10), (10, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

20)

ชวง (– ∞, – 1) (– 1, 10) (10, ∞)

x –2 0 11

(x – 10)(x + 1) (– 12)(– 1) = 12 (– 10)(1) = – 10 (1)(12) = 12

คาของ (x – 10)(x + 1) มีคาเปนบวก มีคาเปนลบ มีคาเปนบวก

เมื่อเลือก x คาอื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 10)(x + 1) มีคาเปนลบหรือนอยกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (–1, 10) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้ x2 – 9x – 10 < 0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2. ลิฟทของที่ทํางานแหงหนึ่งสามารถจุคนได n คน โดยที่น้ําหนักเฉลี่ยของแตละคนเทากับ 80 กิโลกรัม ถาลิฟทตัวนี้บรรทุกน้ําหนักไดมากที่สุด 1,650 กิโลกรัม ให n แทนจํานวนคนที่อยูในลิฟท จะได 80 n ≤ 1650 80n (

1 ) ≤ 80

n

1650( 20

1 ) 80

5 8

สรุปไดวา ลิฟทตัวนี้บรรจุคนไดไมเกิน 20 คน 3. ที่จอดรถของศูนยการคาแหงหนึ่งมีพื้นที่ไมเกิน 8,000 ตารางเมตร และจะตองแบงเปนทางเดิน ของรถ 950 ตารางเมตร กําหนดใหพื้นที่สําหรับจอดรถ 1 คัน เทากับ 20 ตารางเมตร จะหาจํานวนรถที่ลูกคานํามาจอดในที่จอดรถไดมากที่สุดไดดังนี้ ให x เปนจํานวนรถที่นํามาจอดในบริเวณที่จอดรถ จะได 20x < 8,000 – 950 20x < 7,050


101 20 x (

1 ) 20

<

x <

7,050( 352

1 ) 20

1 2

สรุปไดวา ลูกคานํารถมาจอดไดมากที่สุด 352 คัน 4. บริษัท ก คิดคาเชารถวันละ 1,800 บาท โดยไมคิดคาใชจายอื่นอีก บริษัท ข คิดคาเชารถวันละ 1,000 บาท และคิดคาเชาเพิ่มจากจํานวนกิโลเมตรที่นํารถไปใช อีกกิโลเมตรละ 2 บาท 1) ใหจํานวนระยะทางที่รถวิ่งแทนดวย x จะได 1000 + 2x ≤ 1800 2x ≤ 800 x ≤ 400 สรุปวา ถาเชารถจากบริษัท ข โดยจายคาเชา 1,800 บาท/วัน จะใชวิ่งไดมากที่สุด 400 กิโลเมตร 2) ถาตองการใชรถวันละประมาณ 600 กิโลเมตร ถาเชารถจากบริษัท ก จะตองจายคาเชารถ 1,800 บาท ถาเชารถจากบริษัท ข จะตองจายคาเชารถ 1,000 + 2(600) หรือ 2,200 บาท ดังนั้น ถาตองการใชรถวันละประมาณ 600 กิโลเมตร ควรเชารถจากบริษัท ก จึงจะประหยัดคาเชารถ 5. แมคาขายไกยางตัวละ 80 บาท โดยมีคาใชจายที่เปนคาเชารานวันละ 100 บาท และคาใชจายอื่น รวมทั้งคาไกสดคิดเปนตนทุนแลวตัวละ 60 บาท ให x แทนจํานวนไก (ตัว) ที่ขายไดในหนึ่งวัน ขายไกยาง 1 ตัว ตองการกําไร 80 – 60 = 20 บาท 20x – 100 ≥ 500 20x ≥ 600 x ≥ 30 ดังนั้น ถาตองการกําไรจากการขายไกยางวันละไมต่ํากวา 500 บาท ตองขายไกยางใหได มากกวาวันละ 30 ตัว


102

แบบฝกหัด 3.5 1. จงหาคาของ 1) ⏐8⏐ +⏐3⏐ 2) ⏐9⏐ – ⏐2⏐ 3) ⏐– 8⏐+ ⏐2⏐ 4)

⏐– 12⏐+ ⏐–6⏐

5) 6) 7) 8) 9)

⏐– 6⏐–⏐6⏐

10) ⏐0⏐ 11) ⏐3 – π⏐ 12) ⏐4 – π⏐

= 12 + 6 = 18

13)

= ⏐– 13⏐–⏐– 5⏐ = ⏐4 + 9⏐ = ⏐10 – 10⏐ = ⏐– 10⏐ =

2. กําหนดให 1) x – 2 2) y – 5 3) 2x 4) y2 5) x + y 6) x – y 7) xy 8)

= 8 + 3 = 11 = 9–2 = 7 = 8 + 2 = 10

x y

6–6 = 0 13 – 5 = 8 13 0 10

x = ⏐– 2⏐ และ y = ⏐– 2⏐– 2 = ⏐5⏐– 5 = 2⏐– 2⏐ = (⏐5⏐)2 = ⏐– 2⏐+ ⏐5⏐ = ⏐– 2⏐– ⏐5⏐ = ⏐– 2⏐⏐5⏐ =

−2 5

= ⏐5⏐ = 2–2 = 5–5 = 2(2) = 52 = 2+5 = 2–5 = 2(5)

2) ⏐x⏐ > 7

−5 −5

–3 – ⏐–3⏐ –3 ⏐3⏐ ⏐–1⏐–⏐–2⏐ –⏐16.25⏐+ 20 2⏐33⏐

= = = = = = =

=

−5 5

= –1

= = = = =

–3–3 – 3(3) 1–2 –16.25 + 20 2(33)

= = = = =

0 0 4 25 7 –3 10

2) ⏐– 4⏐ = ⏐4⏐ 4) –⏐4⏐ < ⏐4⏐ 6) –⏐–2⏐ = –2

∴ x = –7, 7 ∴ x < –7 , x > 7

π– 3

=

2 5

=

3. 1) ⏐–3⏐ > –⏐–3⏐ 3) –5 = –⏐5⏐ 5) –⏐–6⏐ < ⏐–6⏐ 4. 1) ⏐x⏐ = 7

14) 15) 16) 17) 18)

= 0 = – (3 – π) = 4–π

-14

-7

0

7

14

-14

-7

0

7

14

–6 –9 –1 3.75 66


103 3) ⏐x⏐

7 ∴ x≤ –7, x≥7

4) ⏐x⏐ > 0

∴ x<0, x>0

5) ⏐x⏐

∴ –4

4

6) ⏐x⏐ < 4

x ≤4

∴ –4 < x < 4

-14

-7

0

7

14

-14

-7

0

7

14

-8

-4

0

4

8

-8

-4

0

4

8

5. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย 1) ⏐x⏐ = – x เปนเท็จ เพราะมีคา x บางคา เชน และ –1 ≠ 1 2) –⏐x⏐ < x เปนเท็จ เพราะมีคา x บางคา เชน 3) ⏐x⏐ > x เปนเท็จ เพราะมี x = 2, ⏐2⏐ = 4) ⏐x⏐ < x เปนเท็จ เพราะมี x = –1, ⏐–1⏐=

x = 1, ⏐1⏐ = 1 แต – x = – 1 x = –2 , –⏐–2⏐ = –2 แต –2 < –2 2 แต 2 > 2 1 แต 1 < –1


115 10. ให r แทนรัศมีของพื้นที่หนาตัดที่เปนรูปวงกลม h แทนความสูงของบอน้ํา ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h 2 πr h = 2,200 22 2 rh 7

2,200

r2h

2,200 × 7 22

≈ 100 × 7 r2h จะไดวา ถารัศมีของพื้นที่หนาตัดเทากับ 10 เมตร ความสูงของบอน้ําจะเทากับ 7 เมตร ถารัศมีของพื้นที่หนาตัดเทากับ 7 เมตร หรือประมาณ 2.6 เมตร ความสูงของบอน้ําจะเทากับ 100 เมตร

11. ใหความลึกของอางน้ํา เทากับ h เมตร จะหาคา h ไดดังนี้ = 8.64 × 1015 (4.8 × 1012)h h

=

8.64 × 1015 4.8 × 1012

h = 1.8 × 103 เมตร จะได ความลึกของอางเก็บน้ําแหงนี้เทากับ 1.8 × 103 เมตร

เฉลยแบบฝกหัด แบบฝกหัด 4.1 1. 1) 2) 3) 4)

4

256

3

8y 6

5

− 32

2. 1) 2) 3. 1) 2) 3)

= = = =

8x 2

5 2

=

21

=

15 3

2a 2 ⋅ 3 4a

2 ⋅ 12 3

54 ⋅ 3 4

23 x 2 4

44

3

(2 y 2 ) 3

5

(−2) 5

5 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 21 = 15

= 3× 7 3× 5

= = =

= = = =

2 2x

4 2y2 –2

10 2

= 3

7 5 8a 3

24 3

216

=

7

×

5

= = =

5 5

= 3

35 5

( 2a ) 3 22 ⋅ 6

3

63

= = =

2a 2 6

6


116 4)

=

3 ⋅ 9 ⋅ 27

4. 1) (a + b) x – (a – b) = a x + b x − [a = a x +b x −a = 2b x 2)

a

3)

3

= = = =

x − b x] x +b x

− 12a +

a 3

2

4a

36a

25

3

3

+

4a 3

(1 − 36 + 4)a 3 (1 − 6 + 4)a 3 −

a 3

=

−a 3 3

3 5 ( 10 + 2 5 )

= = = 5)

x

3 8 − 2 + 32

= 3 23 − 2 + = 6 2− 2+4 = (6 – 1 + 4) 2 = 9 2

4)

3 ⋅ 9 ⋅ 27

3 50 + 6 25

3 52 ⋅ 2 + 6 52 15 2 + 30

( 3 + 2 )( 3 − 2 )

= 3⋅ = 3− = 1

3− 3⋅ 2 + 2⋅ 3− 2⋅ 2 6 + 6 −2

=

27 ⋅ 27

=

27


117

แบบฝกหัด 4.2 รูปกรณฑ

เลขยกกําลัง 1

1. 1)

9

92 1

2)

3

64

3)

5

32

4)

− 144

5)

169

64 3 1

32 5 1

− (144) 2 1

169 2

614.125

1 (614.125) 3

− 216

1 (−216) 3

6)

3

7)

3

8)

5

− 243

9)

3

2

(27)

1 (−243) 5 2 27 3 1

10)

( 4 81) 3

(81 4 ) 3

11)

4

813

(813 ) 4

12)

4

16 5

16 4

2. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

1

5

9 49 3

8

3

27 8

− 3 − 27 3

0 4

7) 8) 9) 10)

64 4

81 3

( − 125 ) 3

4

562 4

3

= = =

3 7 2

=

3 2

= =

– (–3) 0

=

4 8

=

=

3 3

= 1

=

1 ⎧⎪ ⎫ 3⎪ − ( 125 ) ⎨ ⎬ ⎪⎩ ⎪⎭

=

562

= 3 1 2

3

=

–125


118 11)

3

= = = =

63

=

216

12)

1 27 3

=

1 3 3 (3 )

=

3

13)

1 − 16 4

=

4

16 −1

=

(

=

(

1 4 ) 24

=

1 25 2

=

1 2 2 (5 )

=

–16 + 2

=

–14

=

(5 4 ) 4

=

53

=

125

=

4 4

=

1

=

25

36 2

14)

1 25

1 2 1

15) –24 + 4 2 3

36 3 (6 2 ) 3 (6 3 ) 2

1

3

=

1

1 4 ) 16 1 2

= 5

16)

625 4 1

1

17)

16 2 22

=

(4 2 ) 2 22

18)

(0.008)

=

3

=

0.2-2

=

1 0.04

8

=

23

=

2 2

16 27

=

24 33

=

23 2 3

72x 3

= =

23 ⋅ 32 x 3

= =

2 ⋅ 3 ⋅ x 2x

3. 1) 2) 3) 4)

3

54 xy 4

5) 6)

4

2 3

32a 4 b2

=

(3x 2 ) 4

=

3

(0.008) −2

2 ⋅ 33 xy 4 25 a 4 b2

3x2 1

4. 1) เนื่องจาก (a 2 + 25) 2 = ดังนั้น 2) เนื่องจาก ดังนั้น

1

(a 2 + 25) 2

1

36a 2

a 2 + 52

a+5

=

36 a

6 a

1

36a 2

=

3

(0.2) 3⋅( −2 )

=

6x 2x

3y 2 6 x

=

4a 2 b

2,

b≠0


119 1

3) เนื่องจาก

((−4) 2 ) 2

=

(−4) 2

=

4

1

ดังนั้น

((−4) 2 ) 2 1 2 2

=

4) เนื่องจาก ((4) )

( 4)2

1 2 2

ดังนั้น ((4) ) = 5) เนื่องจาก ((−1) −1 ) −1 = ดังนั้น ((−1) −1 ) −1 = 6) เนื่องจาก (–1)-1(–1)-1 = 7) เนื่องจาก

a

3 2

-4 = 4

= 4

4 (-1)(-1× -1) = (–1)1 = –1 –1 (–1)(–1+ –1) = (–1)–2 = 1 2 = 1 (-1) 1

ดังนั้น (–1)-1(–1)-1 = −

=

=

1 3

a2

ดังนั้น

a

3 2

1

2 3

a

8) เนื่องจาก

2 2 − a3b 3

2 2 − 3 a b 3

ดังนั้น 9) เนื่องจาก ดังนั้น 10) เนื่องจาก

1

=

a

4 (a 3

3 )4

=

a

=

a2 ⋅a2

1 a2 −

1 2

a 2 27 3

=

32 2

4

3

( 43 × 43 ) = a

1

=

1 2

⎛ a ⎞3 ⎜ ⎟ ⎝b⎠

=

2 b3

3 )4

1 a2

ดังนั้น

2

4 (a 3

a

5. 1)

=

a

2 3

1

= a

a

27 2 32

3

= 2 4 + 3

2)

53 × 53

=

53

3)

8 × 2-2

=

4)

2-2 × 16

=

1 × 16 4

5)

5 83

1 4

36 32

32 32

= 6

=

53

=

2

=

4

=

= 1 52

=

25

5

×8

4 3

=

83 4 83

=

5 4 − 3

83

=

1

83

=

3

8

=

3

23

= 2


120 1

5

6)

22 × 22 2

7) 8) 6. 1) 2) 3) 4) 5)

1 5 + −1 2 )

=

(2 2

3

3

23 × 8 2

=

8×82

=

2+7 3

8 1 83

+7

1 27 3

> < > >

5+ 3 3− 2

5 3⋅4 3 3 11

8

6 2 − 2

=

(2 2

=

(8

=

9 3

)

3 1 1+ − 2 2

)

4

=

(2 2 )

= 4

=

82

= 64

=

3

5+3 3−2 32 + 2 2 3

3 3

=

11

7. ในวันที่มีอากาศสดใส ผูที่ยืนอยูบนชั้นบนสุดของตึกสูงสามารถมองไปไดไกลเปนระยะที่ คํานวณไดจากสูตรดังนี้ d = 1 .2 h เมื่อ d แทนระยะที่สามารถมองไปไดไกลจากตึกสูง h แทนความสูงของตึก ณ จุดที่ยืน ถายืนอยูบนตึกที่สูง 1,454 เมตร จะหาระยะที่สามารถมองไดไกลที่สุดไดดังนี้ d = 1.2 1,454 d ≈ 1.2(38.131351) d ≈ 45.757621 ดังนั้น สามารถมองไดไกลที่สุดประมาณ 45.76 เมตร 8. น้ําหนักของปลาวาฬ (W) มีหนวยเปนตัน และความยาว (L) มีหนวยเปนฟุต สามารถคํานวณน้ําหนักของปลาวาฬไดจากสูตร 12 (0.0016)L 5

W = จะหาน้ําหนักของปลาวาฬที่มีความยาว 25 ฟุต ไดดังนี้ W

= =

12

0.0016( 25) 5 0.0016

5

2512


121 0.0016 5 5 24 = 0.0016 × 5 4 5 5 4 = ≈ 3.623898318 ดังนั้น ปลาวาฬที่ยาว 25 ฟุต จะมีน้ําหนักประมาณ 3.6 ตัน

9. ชายผูหนึ่งฝากเงินไวกับธนาคารแหงหนึ่งโดยมีขอตกลงวา เขาจะฝากเงินกับธนาคาร 100,000 บาท โดยธนาคารจะตองจายดอกเบี้ยใหปละ 4% ถา 50 ป ตอมาเงินที่ฝากไว จะมีคาเทากับ 100,000(1.04)50 บาท จะหาจํานวนเงินทีช่ ายผูนี้จะไดรบั ถาเขาไปปดบัญชีกับ ธนาคารไดดังนี้ ถาเขาปดบัญชีจะไดเงิน เทากับ 100,000(1.04)50 ≈ 100,000(7.106683346) ≈ 710,668.3346 ดังนั้น ถาเขาปดบัญชี เขาจะไดเงินประมาณ 710,668 บาท หมายเหตุ การหาคาของ (1.04)50 อาจทําใหงายขึ้นโดยให (1.04)50 = (1.04)5×5×2 แลวใชเครื่องคิดเลขหาคา (1.04)5 จากนั้นจึงหาคา ((1.04)5)5 และ [((1.04)5)5]2 ตามลําดับ 10. นักวิทยาศาสตรพบวา สามารถหาคาประมาณของพื้นที่ผิวหนังของมนุษย (S) ไดจากสูตร S = (0.1091)(w⋅h)0.5 ตารางฟุต เมื่อ h แทนดวยความสูงที่มีห���วยเปนนิ้ว w แทนดวยน้ําหนักที่มีหนวยเปนปอนด คาประมาณของพื้นที่ผิวหนังของคนที่สูง 5 ฟุต 4 นิ้ว และหนัก 180 ปอนด หาไดดังนี้ S = (0.1091)(180 × 64)0.5 1 × 5) 2

S = (0.1091) (2 × 3 × 8 (0.1091) × 2 × 3 × 8 × 5 S = จะได คาประมาณของพืน้ ที่ผิวหนังของคนที่สูง 5 ฟุต 4 นิ้ว เทากับ 11.70948 หรือ 11.7 ตารางฟุต 2

2

2


basic-m4-1-finished