Page 1

คณิ ตศาสตร์เพิม เติม ชันมัธยมศึกษาปี ที 6

เล่ม 1


สารบัญ หนา บทที่ 1 การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ก) เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ข) เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ค) เฉลยแบบฝกหัดระคน เฉลยแบบฝกหัด 1.2 เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ก) เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ข) เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ค)

1 1 13 20 25 37 41 42 43 46 54 58 61

บทที่ 2 การแจกแจงปกติ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 2.1 เฉลยแบบฝกหัด 2.2

67 67 70 71 73 74 77


หนา

บทที่ 3 ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 3.4

92 92 93 102 105 107

บรรณานุกรม

122


37

เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ก) 10

1. (1) ∑ c

=

i =1

5

i =1

i

− 2)3

3

(3) ∑ (f x i

4

(4) ∑ (x i =1

∑2 i =1

(2) ∑ (x

i =1

10

i

i

+ c)

= =

10(2) 20

=

(1 – 2)3 + (3 – 2)3 + (4 – 2)3 + (7 – 2)3 + (0 – 2)3

= =

–1 + 1 + 8 + 125 – 8 125

=

((10 × 1) + 2) + ((15 × 3) + 2) + ((5 × 4) + 2)

= =

12 + 47 + 22 81

− 3)(x i + 3)

4

∑ (x

=

i =1

4

i =1

5

2. ∑ (5yi − 50)

i

− 3)(x i + 3)

=

i =1

∑ (yi − 3)2

=

(1 – 3)(1 + 3) + (3 – 3)(3 + 3) + (4 – 3)(4 + 3)

= =

+ (7 – 3)(7 + 3) –8 + 0 + 7 + 40 39

5

5∑ yi − 50(5) i =1

= = 5

− 9)

(12 – 9) + (32 – 9) + (42 – 9) + (72 – 9) –8 + 0 + 7 + 40 39

= = = หรือ ∑ (x

2 i

=

i =1

5(10) – 250 –200 5

∑ (y i =1

= = =

2 i

− 6yi + 9)

5

5

i =1

i =1

∑ yi2 − 6∑ yi + 9(5) 30 – 6(10) + 45 15


38 4

3. ∑ (x i + 1)(4yi − 3)

4

∑ (4x y

=

i =1

i

i =1 4

− 3x i + 4yi − 3)

i

i =1

= = 4. (1) (2)

4

4

i =1

i =1

4∑ x i yi − 3∑ x i + 4∑ yi − 3(4)

=

4(4) – 3(5) + 4(–2) – 12 –19 10

2∑ x i2

=

2 2x12 + 2x 22 + " + 2x10

i =1

(x1 − X)f1 + (x 2 − X)f 2 + " + (x k − X)f k

=

1 {(y1 − Y) 2 f1 + (y 2 − Y) 2 f 2 + " + (y k − Y) 2 f k } n

=

(3) N

5. ∑ (x i − 3yi + 2zi + 1)

k

∑ (x i =1

i

1 k ∑ (yi − Y)2 fi n i =1

=

(x1 – 3y1 + 2z1 + 1) + (x2 – 3y2 + 2z2 + 1)

=

+ ... + (xN – 3yN + 2zN + 1) (x1 + x2 + ... + xN) – 3(y1 + y2 + ... + yN) + 2(z1+z2 + ... + zN) + (1 + 1 + ... + 1)

i =1

− X)f i

มี 1 อยู N ตัว

N

∑x

=

i =1

ดังนั้น

N

∑ (x i =1

(1)

คาเฉลี่ยเลขคณิต

i

i =1

N

∑x i =1

จุดกึ่งกลาง 70 95 µ

= =

N

− 3∑ yi + 2∑ z i + N

=

i − 3y i + 2z i + 1)

6. จากขอมูลทําตารางไดดังนี้ ชวงคะแนน 60 – 80 90 – 100

N

i =1

N

N

i =1

i =1

i − 3∑ y i + 2∑ z i + N

จํานวนนักเรียน 40 10 70(40) + 95(10) 40 + 10 2800 + 950 50

= 75 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาสถิติทั้ง 50 คน เทากับ 75 คะแนน


39 (2)

คาเฉลี่ยเลขคณิต

µ

= =

75(40) + 95(10) 40 + 10 3000 + 950 50

= 79 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตที่คํานวณได (79 คะแนน) จะไมเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต จากขอ (1) (75 คะแนน) (3)

จากคาเฉลี่ยเลขคณิตในขอ (1) เทากับ 75 คะแนน ดังนั้น คะแนนสอบวิชาสถิติรวม 50 คน เทากับ 50 × 75 = 3,750 คะแนน

7. คาเฉลี่ยเลขคณิตรวม

µ

= = =

40(165) + 45(168) + 50(167) + 45(164) 40 + 45 + 50 + 45 6600 + 7560 + 8350 + 7380 180 29890 180

= 166.06 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของสวนสูงของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 ทั้งหมดเทากับ 166.06 เซนติเมตร 8. กําหนดให จะได ดังนั้น

S Si S

= = =

10 + 1.4B 10 + 1.4Bi 10 + 1.4B

B

=

80 + 85 + 70 + 80 + 75 + 78 + 82 + 86 + 79 + 69 10 784 10

=

เมื่อ

i คือ 1, 2, ..., 10

= 78.4 จะได S = 10 + 1.4(78.4) = 119.76 นั่นคือ ราคาขายเฉลี่ยของสินคาชนิดนี้ เทากับ 119.76 บาท 9. ราคาเฉลี่ยของไขไก

µ

= =

50(2.30) + 30(2.00) + 20(1.70) 50 + 30 + 20 209 100

= 2.09 นั่นคือ เฉลี่ยแลวธนากรซื้อไขไกมาฟองละ 2.09 บาท


40 10. (1) จะแสดงวา เพราะวา

N

∑x =

∑x =

x1 + x2 + x3 + ... + xN

i =1 N i =1

i

i

= = = (2) จะแสดงวา เพราะวา

N

∑ (x

i

− µ) = 0

∑ (x

i

− µ)

i =1 N i =1

N (x1 + x2 + x3 + ... + xN) N ⎛ N ⎞ ⎜ ∑ xi ⎟ N ⎜ i =1 ⎟ ⎜ N ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

=

(x1 − µ) + (x 2 − µ) + (x 3 − µ) + " + (x N − µ)

=

(x1 + x2 + x3 + ... + xN) – (µ + µ + µ + " + µ) มี µ อยู N ตัว N

=

∑x i =1

= =

มี xmin อยู N ตัว

Nxmin <

− Nµ

Nµ – Nµ 0

(4) จะแสดงวา xmin < µ < xmax เนื่องจาก xmin + xmin + ... + xmin

จะได

i

<

x1 + x2 + x3 + ... + xN

<

xmax + xmax + ... + xmax

N

∑x < i =1

i

มี xmax อยู N ตัว Nxmax

N

Nx min N

<

xmin

<

∑x i =1

N

µ

i

<

Nx max N

<

xmax


41 (5) จะแสดงวา เนื่องจาก ดังนั้น

= =

axi + b

∑Y =

∑ (ax

Y

Yi

aX + b

n

n

i

i =1

i =1 n

=

i

+ b)

a ∑ x i + nb i =1

n

∑y

จะได ดังนั้น

i =1

n

i

a∑ xi

=

n

i =1

n

=

Y

nb n

+

aX + b

เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ข) 1. เรียงขอมูลจากนอยไปมาก จะได 11 11 15 16 18 22 22 22 28 36 มัธยฐานอยูตําแหนงที่

10 + 1 = 5.5 2

ดังนั้น มัธยฐานของขอมูลชุดนี้เทากับ

18 + 22 = 20 2

บาท

นักเรียนที่ตองจายคาใชจายรายวันเกินกวามัธยฐานมีอยู 5 คน 2. เรียงขอมูลจากนอยไปมาก จะได 44.3 466.4 974.0 1,080.8 มัธยฐานอยูตําแหนงที่

7 +1 2

1,724.4

2,148.8 5,270.9

=4

ดังนั้น มัธยฐานของจํานวนผูมีงานทําจําแนกตามประเภทอุตสาหกรรมในป พ.ศ. 2546 เทากับ 1,080.8 พันคน หรือ 1,080,800 คน 3. x1, x2, x3, ..., xN เปนขอมูลที่เรียงจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย (1) เมื่อ N เปนจํานวนคู ขอมูลที่อยูตรงกลางจะมี 2 จํานวน คือ x กับ x N 2

ดังนั้น มัธยฐาน คือ

xN + xN 2

2

+1

2

(2) เมื่อ N เปนจํานวนคี่ ขอมูลที่อยูตรงกลางจะมี 1 จํานวน คือ

xN 2

ดังนั้น มัธยฐาน คือ

N +1 2

xN 2

+1

+1


42

เฉลยแบบฝกหัด 1.1 (ค) 1. อายุของเด็ก 15 คน เรียงลําดับจากนอยไปมากไดดังนี้ 5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 จะได ฐานนิยมของอายุเด็ก 15 คน คือ 7 ป 2. จํานวนไขไกที่ใชบริโภคตอเดือนเรียงลําดับจากนอยไปมากดังนี้ 32 35 38 44 44 46 47 48 48 48 48 49 51 52 54 60 60 60 60 65 จะได ฐานนิยมของจํานวนไขไกที่แตละครอบครัวบริโภคตอเดือนคือ 48 และ 60 ฟอง คากึ่งกลางพิสัยของจํานวนไขไกที่แตละครอบครัวบริโภคตอเดือนคือ 48.5 ฟอง 3. เงินเดือนของพนักงาน 7 คน เรียงลําดับจากนอยไปมากดังนี้ 3400 3450 3500 3500 3500 3600 21000 คาเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนเทากับ

3400 + 3450 + 3(3500) + 3600 + 21000 7

= 5992.86

จะได มัธยฐานของเงินเดือนพนักงาน 7 คน คือ 3500 บาท ฐานนิยมของเงินเดือนพนักงาน 7 คน คือ 3500 บาท มัธยฐานและฐานนิยมจะเปนตัวแทนของเงินเดือนของพนักงาน 7 คน ไดดีกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตเพราะ มี ขอมูลที่มีคา สูง ผิด ปกติอยูคือ 21000 ถาใชคาเฉลี่ย เลขคณิตซึ่งคือ 5992.86 บาท จะไมใชตัวแทนที่ดี เนือ่ งจากพนักงาน 6 คนจาก 7 คน เงินเดือนนอยกวาคานี้ นัน่ คือมีขอ มูลผิดปกติทาํ ใหเกิดผลกระทบตอคา เฉลีย่ เลขคณิตแตไมมีผลกระทบตอคามัธยฐานหรือฐานนิยม 4. เนื่องจาก ระยะทาง = เวลา × ความเร็ว ระยะทาง ความเร็ว ดังนั้น เวลาที่ใชในการเดินทางระยะ d1, d2 และ d3 เทากับ จะได

เวลา

=

เนื่องจาก อัตราเร็วเฉลี่ย

=

จะได อัตราเร็วเฉลี่ย (v)

=

ระยะทางทั้งหมด เวลาที่ใชทั้งหมด

d1 d 2 , v2 v2

และ

d3 v3

ตามลําดับ

d1 + d 2 + d 3 d1 d 2 d 3 + + v1 v 2 v3

ซึ่งเปนคาเฉลี่ยฮารมอนิกถวงน้ําหนัก ถา d1 = 2500, d2 = 1200, d3 = 500,

v1 = 500,

v2 = 400 และ v3 = 250


43 จะได

v

=

v

=

2500 + 1200 + 500 2500 1200 500 + + 500 400 250 4200 10

= 420 ดังนั้น v เทากับ 420 ไมลตอชั่วโมง 5. (1) (2) (3) (4)

2 เพราะคาเฉลีย่ เลขคณิตไมใชคา กลางทีแ่ บงจํานวนขอมูลทัง้ หมดออกเปนสองสวนแตเปนมัธยฐาน 3 3 2 ฐานนิยมของขอมูลอาจมีมากกวา 1 คาก็ได กรณีที่ขอมูลชุดใดมีฐานนิยมมากกวา 2 คา อาจถือไดวาขอมูลชุดนั้นไมมีฐานนิยมได หรืออาจหาตัวแปรอื่นเชน เพศ มาแบงขอมูลที่มี ฐานนิยมมากกวาสองคาออกใหเห็นฐานนิยมเพียงคาเดียวภายใตแตละเพศหรือแตละกลุม (5) 2 ไมจําเปนขึ้นอยูกับการกระจายของขอมูลชุดนั้น ๆ

6. รายการที่เสียหาย ที่ดิน บาน/อาคารสิ่งปลูกสราง อุปกรณ ยานพาหนะ อื่นๆ

คาเฉลี่ยเลขคณิตของความเสียหาย(ลานบาท) 43.75 128.8 62.14 50.67 38.45

7. เราไมสามารถหาคากลางโดยใชมัธยฐาน ฐานนิยม หรือคากึ่งกลางพิสัยไดเนื่องจาก วัตถุประสงค ของการนําคากลางของขอมูลในตารางมาใชเพื่อตองการทราบขอมูลเกี่ยวกับมูลคาความเสียหายโดย ประมาณ ซึ่งถาใชคามัธยฐาน ฐานนิยม หรือคากึ่งกลางพิสัยอาจทําใหไดคากลางที่มีคาต่ําหรือสูง เกินไป

เฉลยแบบฝกหัดระคน 1. จุดเดนที่แตกตางระหวางการใชคาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน มีดังนี้ 1.1 คาเฉลี่ยเลขคณิตเมื่อคูณกับจํานวนขอมูลทั้งหมด จะเทากับผลรวมของขอมูลทุก ๆ คาเสมอ แตถาใชมัธยฐานคูณกับจํานวนขอมูลทั้งหมดผลลัพธอาจจะเทากับหรือไมเทากับผลรวมของ ขอมูลทุก ๆ คาก็ได


44 1.2 ผลรวมของผลตางระหวางแตละคาของขอมูลกับคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนั้น ๆ จะเทากับ 0 เสมอ แตผลรวมของผลตางระหวางแตละคาของขอมูลกับมัธยฐานของ ขอมูลชุดนั้น ๆ จะเทากับ 0 หรือไมเทากับ 0 ก็ได 1.3 ผลรวมของผลตางกําลังสองระหวางแตละคาของขอมูลกับคาเฉลี่ยเลขคณิตจะมีคานอยที่สุด แตผลรวมของคาสัมบูรณของผลตางระหวางขอมูลแตละคากับมัธยฐานของขอมูลชุดนั้นจะมีคา นอยที่สุด 1.4 คาเฉลี่ยเลขคณิตคํานวณจากขอมูลทุกคา แตมัธยฐานคํานวณจากคาที่อยูในตําแหนงกึ่งกลาง ของขอมูลที่เรียงลําดับไวจึงไมถูกกระทบจากคาของขอมูลที่สูงหรือต่ํากวาปกติ 2. ขอมูลที่มีการแจกแจงแบบสมมาตร คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยม จะมีคาเทากัน ดังรูป

คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ขอมูลที่มีการแจกแจงแบบเบ คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยม จะมีคาไมเทากัน ซึ่ง แยกได 2 กรณี คือ กรณีที่ 1 แจกแจงแบบเบซาย (เบทางลบ) จะได คาเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม ดังรูป

คาเฉลี่ย ฐานนิยม มัธยฐาน กรณีที่ 2 แจกแจงแบบเบขวา (เบทางบวก) จะได ฐานนิยม < มัธยฐาน < คาเฉลี่ยเลขคณิต ดังรูป

ฐานนิยม คาเฉลี่ย มัธยฐาน


45 3. สําหรับขอมูลตัวอยางซึ่งไมมีคาผิดปกติ และเปนตัวแทนของประชากร ตัวอยางที่นํามาศึกษาบางครั้ง อาจมีจํานวนนอย การวิเคราะหขอมูลจึงควรพิจารณาเลือกการใชคากลางใหเหมาะสมดังนี้ 1. ในกรณีที่ขอมูลมีจํานวนนอย ไมควรใชฐานนิยม ฐานนิยมอาจมีคาแตกตางกันมากระหวาง ขอมูลชุดหนึ่งกับขอมูลอีกชุดหนึ่งที่มีจํานวนเทากัน 2. ในกรณีที่ขอมูลสามารถเรียงลําดับไดและเปนขอมูลตอเนื่องดวยควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตจะ เหมาะสมกวาใชมัธยฐานเปนตัวแทนของคากลาง 3. ในกรณีที่ขอมูลมีการแจกแจงความถี่ที่มีความกวางของแตละอันตรภาคชั้นไมเทากัน ควรใช มัธยฐานเปนตัวแทนของคากลาง 4. ในกรณีที่ตองการหาคากลางเพื่อตองนําไปใชในการคํานวณทางสถิติขั้นสูงตอไป ควรใช คาเฉลี่ยเลขคณิตเปนตัวแทนของคากลางของขอมูลนั้น ๆ เพราะคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนคากลาง ที่ไดจากการนําทุก ๆ คาของขอมูลมาเฉลี่ย 5. (1) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ

1+ 2 + 3 3

= 2

1+ 2 + 6 3

= 3

1+ 2 + 9 3

= 4

มัธยฐาน คือ 2 (2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ 2 (3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ 2 (4) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ

1 + 2 + 297 3

= 100

1+ 2 + 3 + 4 4

= 2.5

มัธยฐาน คือ 2 (5) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ

2+3 2

(6) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ 3

= 2.5 1+ 2 + 3 + 4 + 5 5

= 3


46 (7) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ มัธยฐาน คือ

3+ 4 2

(8) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6

= 3.5

= 3.5 1 + 2 + " + 98 + 99 99

=

4950 99

= 50

มัธยฐาน คือ 50 6. จากผลลัพธที่ไดจากขอ 5 เมื่อเปรียบเทียบคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐาน จะไดวา (1), (5), (6), (7) และ (8) ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน (2), (3) และ (4) ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานไมเทากัน จากการสังเกตผลลัพธจาก (4) และ (8) จะเห็นวา (4) ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานไมเทากัน แต (8) ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน เพราะ (4) มีขอมูล 247 ที่สูงผิดปกติทําใหคาเฉลี่ย เลขคณิตและมัธยฐานแตกตางกันมาก สวน (8) ไมมีขอมูลที่ผิดปกติและความแตกตางของขอมูล แตละหนวยมีคาเทากัน ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตจึงมีคาเทากับมัธยฐาน 7. จากขอมูลเปนปริมาณรอยละของเมทิลแอลกอฮอล ซึ่งเปนขอมูลเชิงปริมาณและควรใชคาเฉลี่ย เลขคณิตเปนคากลางของขอมูล ซึ่งคํานวณไดผลดังตาราง หองปฏิบัติการ LAB 1 LAB 2 LAB 3 LAB 4

คาเฉลี่ยเลขคณิต 85.06 84.72 84.77 84.24

จากคากลางที่ไดจะเห็นวา คากลางของขอมูลในหองปฏิบัติการ LAB 2 และ LAB 3 มีคาใกลเคียงกัน

เฉลยแบบฝกหัด 1.2 1. คะแนนสอบเรียงลําดับจากนอยไปมาก ดังนี้ 43 45 48 49 50 55 56 56 58 60 65 66 67 69 74 80 80 82 84 85

51 60 75 92

53 62 76 94

54 63 76 96

54 65 77 97

54 65 78 98


47 (1) คะแนนสอบที่มีนักเรียนประมาณครึ่งหนึ่งของชั้นไดคะแนนต่ํากวาคือ คะแนนที่ Q2 เนื่องจาก Q2 อยูในตําแหนงที่ นั่นคือ Q2 =

65 + 65 2

2(40 + 1) 4

= 20.5

= 65 คะแนน

ดังนั้น นักเรียนจะตองสอบไดคะแนน 65 คะแนน จึงจะมีนักเรียนประมาณครึ่งหนึ่ง ของชั้นไดคะแนนต่ํากวา (2) คะแนนสอบที่มีนักเรียนประมาณหนึ่งในสี่ของชั้นไดคะแนนสูงกวาคือ คะแนนที่ Q3 เนื่องจาก Q3 อยูในตําแหนงที่

3(40 + 1) 4

= 30.75

ดังนั้น Q3 มีคาอยูระหวาง 78 กับ 78 นั่นคือ Q3 = 78 คะแนน ดังนั้น นักเรียนจะตองสอบไดคะแนน 78 คะแนน จึงจะมีนักเรียนประมาณหนึ่งในสี่ ของชั้นไดคะแนนสูงกวา (3) คะแนนสอบที่มีนักเรียนสอบไดนอยกวาอยู 6 ใน 10 คือ คะแนนที่ D6 เนื่องจาก D6 อยูในตําแหนงที่

6 (40 + 1) 10

= 24.6

ดังนั้น D6 มีคาอยูระหวาง 69 กับ 74 ตําแหนงตางกัน 1 คะแนนเพิ่มขึ้น 5 คะแนน ตําแหนงตางกัน 0.6 คะแนนเพิ่มขึ้น 5 × 0.6 = 3 คะแนน นั่นคือ D6 = 69 + 3 = 72 คะแนน ดังนั้น นักเรียนจะตองสอบไดคะแนน 72 คะแนน จึงจะมีผูที่สอบไดนอยกวา 6 ใน 10 2. เวลา (นาที) ที่ใชในการทําขอสอบเรียงลําดับจากนอยไปมาก ดังนี้ 30 35 39 40 42 43 44 45 49 50 51 52 53 55 57 58 61 62 63 65 69 70 72 73

46 58 75

48 60 80

(1) เวลาในการทําขอสอบที่มีจํานวนนักเรียนซึ่งใชเวลานอยกวาอยูประมาณรอยละ 55 คือ เวลาที่ P55 เนื่องจาก P55 อยูในตําแหนงที่

55 (30 + 1) 100

ดังนั้น P55 มีคาอยูระหวาง 57 กับ 58 ตําแหนงตางกัน 1 เวลาเพิ่มขึ้น 1 นาที ตําแหนงตางกัน 0.05 เวลาเพิ่มขึ้น 0.05 นาที

= 17.05


48 นั่นคือ P55 = 57 + 0.05 = 57.05 นาที ดังนั้น สมชายใชเวลาในการทําขอสอบ 57.05 นาที จึงจะมีนักเรียนซึ่งใชเวลา ในการทําขอสอบนอยกวาประมาณรอยละ 68 เวลาในการทําขอสอบที่มีจํานวนนักเรียนซึ่งใชเวลานอยกวาอยูประมาณรอยละ 68 คือ เวลาที่ P68 อยูในตําแหนงที่

68 (30 + 1) 100

= 21.08

ดังนั้น P68 มีคาอยูระหวาง 61 กับ 62 ตําแหนงตางกัน 1 เวลาเพิ่มขึ้น 1 นาที ตําแหนงตางกัน 0.08 เวลาเพิ่มขึ้น 0.08 นาที นั่นคือ P68 = 61 + 0.08 = 61.08 นาที จึงจะมีนักเรียนซึ่งใชเวลาในการทําขอสอบ นอยกวาประมาณรอยละ 68 (2) เวลาในการทําขอสอบที่มีจํานวนนักเรียนใชเวลานอยกวาอยู 8 ใน 10 คือ D8 เนื่องจาก D8 อยูในตําแหนงที่

8 (30 + 1) 10

= 24.8

ดังนั้น D8 มีคาอยูระหวาง 65 กับ 69 ตําแหนงตางกัน 1 เวลาเพิ่มขึ้น 4 นาที ตําแหนงตางกัน 0.8 เวลาเพิ่มขึ้น 0.8 × 4 = 3.2 นาที นั่นคือ D8 = 65 + 3.2 = 68.2 นาที ดังนั้น ดวงจันทรใชเวลาในการทําขอสอบ 68.2 นาที (3) นักเรียนที่ใชเวลาในการทําขอสอบมากกวานักเรียนที่เขาแขงขันประมาณ 3 ใน 4 คือ นักเรียนที่ใชเวลาในการทําขอสอบมากกวาเวลาที่ใช Q1 เนื่องจาก Q1 อยูในตําแหนงที่

40 + 1 4

= 10.25

ดังนั้น Q1 มีคาอยูระหวาง 48 กับ 49 นาที ตําแหนงตางกัน 1 เวลาเพิ่มขึ้น 1 นาที ตําแหนงตางกัน 0.25 เวลาเพิ่มขึ้น 0.25 นาที นั่นคือ Q1 = 48 + 0.25 = 48.25 นาที ดังนั้น นักเรียนที่ไดรับรางวัลเปนกลองดินสอใชเวลาในการทําขอสอบนอยที่สุด 48.25 นาที


49 3. จํานวนนักเรียนจําแนกตามคะแนนสอบ ชวงคะแนน 55 – 64 65 – 74 75 – 84 85 – 94 95 – 104 105 – 114 115 – 124 125 – 134 135 – 144

ความถี่ 3 21 78 182 305 209 81 21 5

(1) ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ

ความถี่สะสม 3 24 102 284 589 798 879 900 905 2 (905) 4

= 452.50

ตําแหนงที่ของ Q2 อยูระหวางความถี่สะสม 284 กับ 589 ในอันตรภาคชั้น 85 – 94 กับ 95 – 104 ความถี่สะสมตางกัน 305 คะแนนสอบเพิ่มขึ้น 10 คะแนน ความถี่สะสมตางกัน 168.5 คะแนนสอบเพิ่มขึ้น 10 × 168.5 = 5.52 คะแนน จะได Q2 เทากับ 94.5 + 5.52 = 100.02 คะแนน ตําแหนงที่ของ D5 เทากับ 5 (905) = 452.5

305

10

ซึ่งตรงกับตําแหนงที่ของ Q2 จะได D5 = Q2 = 100.02 ตําแหนงที่ของ P50 เทากับ 50 (905) = 452.5 100

ซึ่งตรงกับตําแหนงที่ของ Q2 จะได P50 = D5 = Q2 = 100.02 คะแนน (2) ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

905 4

= 226.25

ตําแหนงที่ของ Q1 อยูระหวางความถี่สะสม 102 กับ 284 ในอันตรภาคชั้น 75 – 84 กับ 85 – 94 ความถี่สะสมตางกัน 182 คะแนนสอบเพิ่มขึ้น 10 คะแนน ความถี่สะสมตางกัน 124.25 คะแนนสอบเพิ่มขึ้น 10 × 124.25 = 6.83 คะแนน จะได Q1 เทากับ 84.5 + 6.83 = 91.33 คะแนน

182


50 ตําแหนงที่ของ D1 และ D3 เทากับ

905 10

= 90.5 และ

ตําแหนงที่ของ D1 อยูระหวางความถี่สะสม 24 กับ 102 ในอันตรภาคชั้น 65 – 74 กับ 75 – 84 จะได D1 เทากับ 74.5 + (10 × 66.5 ) = 83.03

3 (905) 10

= 271.5 ตามลําดับ

78

ตําแหนงที่ของ D3 อยูระหวางความถี่สะสม 102 กับ 284 ในอันตรภาคชั้น 75 – 84 กับ 85 – 94 จะได D3 เทากับ 84.5 + (10 × 169.5 ) = 93.81 182

ดังนั้น D1 + D3 = 83.03 + 93.81 = 176.84 คะแนน ตําแหนงที่ของ P25 เทากับ 25 (905) = 226.25 100

ซึ่งตรงกับตําแหนงที่ของ Q1 จะได P25 เทากับ 91.33 คะแนน นั่นคือ Q1 เทากับ P25 แต Q1 หรือ P25 ไมเทากับ D1 + D3 4. จํานวนนักเรียนจําแนกตามหองและคะแนนสอบ ชวงคะแนน จํานวนนักเรียน หอง ก. 0 1–5 1 6 – 10 0 11 – 15 3 16 – 20 2 21 – 25 2 26 – 30 5 31 – 35 4 36 – 40 6 41 – 45 7 46 – 50 3 51 – 55 4 56 – 60 2 61 – 65 0 66 – 70 1 71 – 75

ความถี่สะสม หอง ก. 0 1 1 4 6 8 13 17 23 30 33 37 39 39 40

จํานวนนักเรียน หอง ข. 1 0 1 4 0 3 4 5 5 6 4 3 3 0 1

ความถี่สะสม หอง ข. 1 1 2 6 6 9 13 18 23 29 33 36 39 39 40

จํานวนนักเรียน ทั้ง 2 หอง 1 1 1 7 2 5 9 9 11 13 7 7 5 0 2

ความถี่สะสม ทั้ง 2 หอง 1 2 3 10 12 17 26 35 46 59 66 73 78 78 80


51 25 (40) = 10 100

(1) ตําแหนงที่ของ P25 ของคะแนนสอบหอง ก เทากับ

ตําแหนงที่ของ P25 ของคะแนนสอบหอง ก อยูระหวางความถี่สะสม 8 กับ 13 ในอันตรภาคชั้น 26 – 30 กับ 31 – 35 จะได P25 ของคะแนนสอบหอง ก คือ

30.5 + (

5× 2 ) 5

= 32.5

นั่นคือ P25 ของคะแนนสอบหอง ก เทากับ 32.5 คะแนน 25 (40) 100

ตําแหนงที่ของ P25 ของคะแนนสอบหอง ข เทากับ

= 10

ตําแหนงที่ของ P25 ของคะแนนสอบหอง ข อยูระหวางความถี่สะสม 9 กับ 13 ในอันตรภาคชั้น 26 – 30 กับ 31 – 35 จะได P25 ของคะแนนสอบหอง ข คือ

30.5 + (

5 ×1 ) 4

= 31.75

นั่นคือ P25 ของคะแนนสอบหอง ข เทากับ 31.75 คะแนน ตําแหนงที่ของ P50 ของคะแนนสอบทั้งหมด เทากับ

50 (80) 100

= 40

ตําแหนงที่ของ P50 ของคะแนนสอบทั้งหมดอยูระหวางความถี่สะสม 35 กับ 46 ในอันตรภาคชั้น 36 – 40 กับ 41 – 45 จะได P50 ของคะแนนสอบทั้งหมด คือ

40.5 + (

5×5 ) 11

= 42.77

นั่นคือ P50 ของคะแนนสอบทั้งหมด เทากับ 42.77 คะแนน (2) ตําแหนงที่ของ Q3 ของคะแนนสอบหอง ก เทากับ

3 (40) = 30 4

ตําแหนงที่ของ Q3 ของคะแนนสอบหอง ก อยูตรงกับความถี่สะสม 30 พอดี ในอันตรภาคชั้น 46 – 50 จะได Q3 ของคะแนนสอบหอง ก เทากับ 50.5 คะแนน ตําแหนงที่ของ Q2 ของคะแนนสอบหอง ข เทากับ

2 (40) = 20 4

ตําแหนงที่ของ Q2 ของคะแนนสอบหอง ข อยูระหวางความถี่สะสม 18 กับ 23 ในอันตรภาคชั้น 36 – 40 กับ 41 – 45 จะได Q2 ของคะแนนสอบหอง ข เทากับ

40.5 + (

5× 2 ) 5

= 42.5 คะแนน

จะเห็นวา Q3 ของคะแนนสอบหอง ก มากกวา Q2 ของคะแนนสอบหอง ข ดังนั้น ถานักเรียนในหอง ก สอบไดคะแนนเทากับ Q3 ถาเขาไปอยูหอง ข เขาจะสอบได คะแนนสูงกวานักเรียนหอง ข มากกวาครึ่งหอง


52 5. ความถี่สะสมจําแนกตามคะแนน ชวงคะแนน ความถี่ ความถี่สะสม

46 – 55 3 3

56 – 65 4 7

(1) ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

30 4

66 – 75 8 15

76 – 85 9 24

86 – 95 96 – 105 4 2 28 30

= 7.5

ตําแหนงที่ของ Q1 อยูระหวางความถี่สะสม 7 กับ 15 ในอันตรภาคชั้น 56 – 65 กับ 66 – 75 10 × 0.5 65.5 + ( ) = 66.13 8 Q3 เทากับ 3 (30) = 22.5 4

จะได Q1 เทากับ ตําแหนงที่ของ

คะแนน

ตําแหนงที่ของ Q3 อยูระหวางความถี่สะสม 15 กับ 24 ในอันตรภาคชั้น 66 – 75 กับ 76 – 85 10 × 7.5 75.5 + ( ) = 9 D2 เทากับ 2 (30) = 10

จะได Q3 เทากับ

83.83 คะแนน

ตําแหนงที่ของ

6

ตําแหนงที่ของ D2 อยูระหวางความถี่สะสม 3 กับ 7 ในอันตรภาคชั้น 46 – 55 กับ 56 – 65 10 × 3 55.5 + ( ) 4 D9 เทากับ 9 (30) 10

จะได D2 เทากับ

= 63 คะแนน

ตําแหนงที่ของ

= 27

ตําแหนงที่ของ D9 อยูระหวางความถี่สะสม 24 กับ 28 ในอันตรภาคชั้น 76 – 85 กับ 86 – 95 จะได D9 เทากับ

10 × 3 85.5 + ( ) 4

(2) ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ

2 (30) 4

= 93 คะแนน = 15

ตําแหนงที่ของ Q2 ตรงกับความถี่สะสม 15 ในอันตรภาคชั้น 66 – 75 พอดี จะได Q2 เทากับ 75.5 คะแนน จากขอ (1)

1 (Q1 + Q3 ) 2

=

1 (66.13 + 83.83) 2

=

74.98 คะแนน

ดังนั้น คาของ Q2 มากกวาคาของ

1 (Q1 + Q3 ) 2


53 6. จํานวนนักเรียนจําแนกตามคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 จํานวนนักเรียน 1 4 10 22 45 30 8 ความถี่สะสม 1 5 15 37 82 112 120 (1) กลุมนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดมี 20% ของนักเรียนทั้งหมดเทากับ

20 (120) 100

= 24 คน

ดังนั้น นักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสุดในกลุมนี้จะอยูในตําแหนงที่ 120 – 23 = 97 ซึ่งอยูระหวาง ความถี่สะสม 82 กับ 112 ในอันตรภาคชั้น 70 – 79 กับ 80 – 89 จะได คะแนนต่ําสุดของกลุมนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดเทากับ 79.5 + (10 × 15 ) = 84.5 คะแนน 30

(2) กลุมนักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสุดมี 15% ของนักเรียนทั้งหมดเทากับ

15 (120) 100

= 18 คน

ดังนั้นนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดในกลุมนี้จะอยูในตําแหนงที่ 18 ซึ่งอยูระหวางความถี่สะสม 15 กับ 37 ในอันตรภาคชั้น 50 – 59 กับ 60 – 69 จะไดคะแนนสูงสุดของกลุมนักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสุดเทากับ

10 × 3 59.5 + ( ) = 60.86 คะแนน 22

(3) คะแนน 75 ตรงกับอันตรภาคชั้น 70 – 79 คะแนนตางกัน 79.5 – 69.5 = 10 คะแนน ความถี่สะสมตางกัน 82 – 37 = 45 คะแนนตางกัน 75 – 69.5 = 5.5 คะแนน ความถี่สะสมตางกัน

45(5.5) 10

= 24.75

จะได คะแนน 75 ตรงกับความถี่สะสม 37 + 24.75 = 61.75 ขอมูลทั้งหมด 120 อยูที่ความถี่สะสม 61.75 ขอมูลทั้งหมด 100 อยูที่ความถี่สะสม

61.75 × 100 120

= 51.46

ดังนั้น นักเรียนที่สอบได 75 คะแนน จะไดคะแนนเปนเปอรเซ็นไทลที่ 51.46


54

เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ก) 1. กําลังผลิตไฟฟาจําแนกตามเขื่อนเรียงจากนอยไปหามากดังนี้ 1.06 1.28 6.00 9.00 17.50 25.20 36.00 38.00 40.00 72.00 136.00 240.00 300.00 500.00 720.00 743.90 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

16 + 1 4

= 4.25

ดังนั้น Q1 มีคาอยูระหวาง 9.00 กับ 17.50 จะได Q1 เทากับ 9.00 + (8.5 × 0.25) = 11.125 เมกกะวัตต ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ

3 (16 + 1) 4

= 12.75

ดังนั้น Q3 มีคาอยูระหวาง 240.00 กับ 300.00 จะได Q3 เทากับ 240.00 + (60 × 0.75) = 285.00 เมกะวัตต 285.00 − 11.125 = 136.94 2 1.06 + 1.28 + " + 743.90 = 2885.94 = 16 16

ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ

เมกะวัตต

คาเฉลี่ยเลขคณิต =

180.37 เมกะวัตต

n

เนื่องจากสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ

∑x i =1

i

−X

n 179.31 + 179.09 + " + 563.53 16 3204.08 = = 16

200.26 เมกะวัตต

2. การวัดการกระจายของขอมูลชุดนี้โดยใชพิสัย คาที่วัดไดจะมีความถูกตองพอที่จะเชื่อถือได เพราะคา ของขอมูลมีคาใกลเคียงกันไมมีคาที่สูงหรือต่ําผิดปกติ 3. ปริมาณการผลิตไมสักในประเทศไทยจําแนกตามจังหวัดในป พ.ศ. 2545 เรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 39 44 45 50 426 678 884 6,284 (1) พิสัยเทากับ 6,284 – 39 = 6,245 ลูกบาศกเมตร ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

8 +1 4

= 2.25

ดังนั้น Q1 มีคาอยูระหวาง 44 กับ 45 จะได Q1 เทากับ 44.25 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ

3 (8 + 1) 4

= 6.75

ดังนั้น Q3 มีคาอยูระหวาง 678 กับ 884 จะได Q3 มีคาเทากับ 678 + (206 × 0.75) = 832.50 ลูกบาศกเมตร


55 832.50 − 44.25 = 394.125 2 39 + 44 + 45 + 50 + 426 + 678 + 884 + 6, 284 8 8, 450 = 1,056.25 ลูกบาศกเมตร 8

ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ คาเฉลี่ยเลขคณิต = =

n

เนื่องจากสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย =

∑x i =1

i

ลูกบาศกเมตร

−X

n

จะไดสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = =

10,17.25 + 10,12.25 + 1,011.25 + 1,006.25 + 630.25 + 378.25 + 172.25 + 5, 227.75 8 10, 455.50 = 1,306.94 ลูกบาศกเมตร 8

(2) เมื่อเปรียบเทียบคาพิสัย สวนเบี่ยงเบนควอรไทล และสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย แลวการวัดการกระจาย ของขอมูลชุดนี้ไมควรใชพิสัย เพราะคาสูงสุดของชุดนี้สูงกวาคาอื่น ๆ มาก (3) การวัดการกระจายของขอมูลชุดนี้ควรใชสวนเบี่ยงเบนควอรไทลจะเหมาะสมที่สุดเพราะคาของ ขอมูลมีคาแตกตางกันมาก 4. การแจกแจงความถี่ของรายได รายได 1500 – 1599 1600 – 1699 1700 – 1799 1800 – 1899 1900 – 1999 2000 – 2099 2100 - 2199

จุดกึ่งกลาง xi 1549.5 1649.5 1749.5 1849.5 1949.5 2049.5 2149.5

จํานวนคนงาน ความถี่สะสม fi 20 20 70 90 120 210 100 310 60 370 20 390 10 400 400

fixi

xi − X

fi x i − X

30990 115465 209940 184950 116970 40990 21495 720800

252.5 152.5 52.5 47.5 147.5 247.5 347.5

5050 10675 6300 4750 8850 4950 3475 44050


56 720800 400 Q1 เทากับ 400 4

จากตาราง จะได ตําแหนงที่ของ

X

=

= 1802 = 100

ตําแหนงที่ของ Q1 อยูระหวางความถี่สะสม 90 กับ 210 ในอันตรภาคชั้น 1600 – 1699 กับ 1700 – 1799 จะได Q1 เทากับ 1699.5 + (100 × 10 ) = 1707.83 120

ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ

3 (400) 4

= 300

ตําแหนงที่ของ Q3 อยูระหวางความถี่สะสม 210 กับ 310 ในอันตรภาคชั้น 1700 – 1799 กับ 1800 – 1899 จะได Q3 เทากับ 1799.5 + (100 × 90 ) = 1889.5 100

ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ จากตารางสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ

1889.5 − 1707.83 2 44050 = 110.125 400

=

181.67 2

= 90.835 บาท

บาท

พิสัยเทากับ 2199.5 – 1499.5 = 700 บาท เปรียบเทียบคาของสวนเบี่ยงเบนควอรไทล และสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยกับคาพิสัย จะพบวาพิสัยมีคาสูงกวาสวนเบี่ยงเบนควอไทลและสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมาก 5. (1) สวนเบี่ยงเบนควอรไทลของอัตราเร็วในการวิ่งของสัตวเลี้ยงเทากับ สวนเบี่ยงเบนควอรไทลของอัตราเร็วในการวิ่งของสัตวปาเทากับ (2) สัตวปามีการกระจายของขอมูลมากกวาสัตวเลี้ยง 6. (1) ขอมูล 1 2 3 4 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

5 6 6 +1 4

= 1.75

จะได Q1 เทากับ 1.75 ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ

2 (6 + 1) 4

= 3.50

3 (6 + 1) 4

= 5.25

จะได Q2 เทากับ 3.50 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ จะได Q3 เทากับ 5.25 สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ

5.25 − 1.75 2

= 1.75

40 − 30 = 2 43.5 − 27.5 2

5 = 8


57 (2) ขอมูล 1 2 3 4 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

5 6 7 7 +1 4

= 2

จะได Q1 เทากับ 2 ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ

2 (7 + 1) 4

= 4

3 (7 + 1) 4

= 6

6−2 2

= 2

จะได Q2 เทากับ 4 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ จะได Q3 เทากับ 6 สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ (3) ขอมูล 1 2 3 4 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

5 6 7 8 8 +1 4

= 2.25

จะได Q1 เทากับ 2.25 ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ

2 (8 + 1) 4

= 4.5

3 (8 + 1) 4

= 6.75

จะได Q2 เทากับ 4.5 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ จะได Q3 เทากับ 6.75 สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ (4) ขอมูล 1 2 3 4 ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

6.75 − 2.25 2

= 2.25

5 6 7 8 9 9 +1 4

= 2.5

จะได Q1 เทากับ 2.5 ตําแหนงที่ของ Q2 เทากับ

2 (9 + 1) 4

= 5

3 (9 + 1) 4

= 7.5

จะได Q2 เทากับ 5 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ จะได Q3 เทากับ 7.5 สวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ

7.5 − 2.5 2

= 2.5


58

เฉลยแบบฝก 1.3 (ข) 1. ราคาเครื่องสําอางชนิดหนึ่งที่นํามาเปนตัวอยางจากรานคา 8 แหง เรียงจากนอยไปมากดังนี้ 400 410 410 410 410 415 425 640 พิสัยเทากับ 640 – 400 = 240 บาท คาเฉลี่ยเลขคณิต

(X)

=

400 + 4(410) + 415 + 425 + 640 8 n

∑ (x

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) =

i =1

n

= = ตําแหนงที่ของ Q1 เทากับ

8 +1 4

= 440 บาท

− X) 2

(−40) 2 + 4(−30) 2 + (−25) 2 + (−15) 2 + (200) 2 8 −1 46050 = 81.11 บาท 7

= =

3520 8

n −1

=

สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

i

=

∑x i =1

i

−X

n 40 + 4(30) + 25 + 15 + 200 8 400 = 50 บาท 8

= 2.25

จะได Q1 เทากับ 410 ตําแหนงที่ของ Q3 เทากับ

3 (8 + 1) 4

= 6.75

จะได Q3 เทากับ 415 + (10 × 0.75) = 422.5 จะไดสวนเบี่ยงเบนควอรไทลเทากับ

422.5 − 410 2

= 6.25 บาท

ดังนั้น การวัดการกระจายของขอมูลชุดนี้ ควรใชสวนเบี่ยงควอรไทลจึงเหมาะสมกับขอมูลที่สุด เนื่องจากราคาเครื่องสําอาง 640 บาท เปนคาที่สูงผิดปกติเมื่อเปรียบเทียบกับคาอื่นๆ


59 2. ปริมาณน้ําฝนจําแนกตามจังหวัด จังหวัด ขอนแกน ชัยภูมิ นครพนม มุกดาหาร รอยเอ็ด เลย สกลนคร สุรินทร หนองคาย อุดรธานี รวม

ปริมาณน้ําฝน (xi) 1,402.6 927.5 2,995.9 1,901.7 1,357.2 1,414.8 1,888.6 1,857.9 2,247.5 1,777.0 17770.7

จากตัวอยางที่ 3 จะได

X

เนื่องจากความแปรปรวน s2

xi – X –374.47 –849.57 1218.83 124.63 –419.87 –362.27 111.53 80.83 470.43 –0.07

(xi – X )2 140227.78 721769.19 1485546.57 15532.64 176290.82 131239.55 12438.94 6533.49 221304.39 0.005 2910883.36

= 1,777.07 มิลลิเมตร = =

(x i − X) 2 ∑ n −1 i =1 2910883.36 10 − 1 n

= 323,431.49 มิลลิเมตร ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 568.71 มิลลิเมตร 3. ราคาสินคาชนิดหนึ่งที่ขายตามรานตาง ๆ ในสองทองที่ ทองที่ที่หนึ่ง ทองที่ที่สอง

50 52 45 40 50 51

ราคา (บาท) 55 54 48 53 52 51 51 62 53 49

หา

X

และ s2 ของทั้งสองทองที่รวมกัน

X

=

50 + 52 + 45 + " + 48 + 53 + 40 + 50 + " + 53 + 49 = 816 = 51 บาท 7+9 16 (−1) 2 + 12 + (−6) 2 + 42 + 32 + (−3) 2 + 22 + (−11) 2 + (−1) 2 + 12 + 112 + 22 + (−2) 2 (7 + 9) − 1 328 = 21.87 15

s2 = =

ดังนั้นความแปรปรวนของสินคาในสองทองที่ เทากับ 21.87 บาท


60 4. อายุของครอบครัวนี้เปน 45 42 20 17 16 14 45 + 42 + 20 + 17 + 16 + 14 = 154 = 25.67 ป 6 6 4930 452 + 422 + 202 + 17 2 + 162 + 142 − 658.9489 − (25.67) 2 = 6 6

จะไดวา คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ ความแปรปรวน เทากับ

= 162.72 ป สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 12.76 ป ในอีก 5 ปขางหนา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของอายุสมาชิกในครอบครัวนี้จะมี คาเทาเดิม เนื่องจากขอมูลแตละคาเพิ่มขึ้นเทาเดิม 5. จากขอมูล n = 20

= 10 และ s = 2

X 20

ผลรวมของขอมูล ∑ x i เทากับ 20 × 10 = 200 i =1

n

เพราะวา จะได

∑x

s2 = 20

i =1

n −1

∑x = i =1

2 i

2 i

− (X) 2

(s 2 + (X) 2 )(n − 1)

= (104)(19) = 1976 แตบันทึกขอมูลผิดพลาดจาก 12 บันทึกเปน 8 ดังนั้น

20

∑ x ที่ถูกตองเทากับ 200 – 8 + 12 = 204 i =1 20

∑x i =1

i

ที่ถูกตองเทากับ 1976 – 64 + 144 = 2056

2 i

จะได คาเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกตองเทากับ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกตองเทากับ n

6. จากสูตร s1 =

∑ (x i =1

i

− X)

204 = 10.2 20 2056 − (10.2) 2 20 − 1 n

2

และ s2 =

n −1

∑ (x i =1

i

=

4.17

= 2.04

− X) 2

n

เมื่อใช n – 1 เปนตัวหารจะใหผลลัพธมากกวาใช n เปนตัวหาร n

และนิยมใชสูตร s1 =

∑ (x i =1

i

− X) 2

n −1

เปนสูตรที่ใชประมาณสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ

ประชากร (σ) ซึ่งเปนการใชขอมูลตัวอยางไปสรุปผลขอมูลประชากร สูตรที่หารดวย n – 1 ใหขอ ผิดพลาดในการสรุปผิดนอยกวา (Watkins, 2004 p. 65)


61 7. จากตัวอยางที่ 7 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานและคาเฉลี่ยของอายุขัยของสัตวเลี้ยงลูกดวยนมเปน 4.67 ป และ 11 ป ตามลําดับ หมายความวา สัตวเลี้ยงลูกดวยนมที่นํามาเปนตัวอยางมีอายุตางจาก 11 ป โดย เฉลี่ย4.67 ป ดังนั้นคําตอบจึงใช แตไมไดหมายความวาตองมีบางตัวอายุ 11 – 4.67 = 6.33 ป หรือมี บางตัวอายุ 11 + 4.67 = 15.67 ป เพราะสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเหมือนกับการเฉลี่ยความแตกตาง ของขอมูลจากคากลางดังนั้นขอมูลแตละตัวไมจําเปนตองตรงกับคาที่ไดจากการบวกและลบสวนเบี่ยง เบนมาตรฐานกับคากลาง 8. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหนวยเปนป มัธยฐานมีหนวยเปนป พิสัยมีหนวยเปนป กึ่งชวงควอรไทลมีหนวยเปนป

เฉลยแบบฝกหัด 1.3 (ค) 1. อายุของบุตรในครอบครัวที่หนึ่ง (ป) 6 5 3 1 อายุของบุตรในครอบครัวที่สอง (ป) 25 24 22 21 17 (1) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพิสัย =

x max − x min x max + x min 6 −1 6 +1 25 − 17 25 + 17

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของพิสัยของครอบครัวที่หนึ่ง = สัมประสิทธิ์ของพิสัยของครอบครัวที่สอง =

= 0.714 = 0.190

จะได อายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง (2) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนควอรไทล = ตําแหนงที่ของ Q1 ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ

Q3 − Q1 Q3 + Q1

4 +1 4

จะได Q1 ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ 1 + (2 × 0.25) ตําแหนงที่ของ Q3 ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ

3 (4 + 1) 4

จะได Q3 ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ 5 + (1 × 0.75)

= 1.25 = 1.5 = 3.75 = 5.75

สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนควอรไทลครอบครัวที่หนึ่งเทากับ ตําแหนงที่ของ Q1 ของครอบครัวที่สองเทากับ

5 +1 4

จะได Q1 ของครอบครัวที่สองเทากับ 17 + (4 × 0.5) ตําแหนงที่ของ Q3 ของครอบครัวที่สองเทากับ

3 (5 + 1) 4

จะได Q3 ของครอบครัวที่สองเทากับ 24 + (1 × 0.5)

5.75 − 1.5 5.75 + 1.5

= 1.5 = 19 = 4.5 = 24.5

= 0.586


62 สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนควอรไทลที่สองเทากับ

24.5 − 19 24.5 + 19

= 0.126

จะได อายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง (3) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย =

M.D. X

6 + 5 + 3 +1 = 3.75 4 M.D. ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ 2.25 + 1.25 + 0.75 + 2.75 = 4 สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยครอบครัวที่หนึ่งเทากับ 1.75 = 3.75 25 + 24 + 22 + 21 + 17 X ของครอบครัวที่สองเทากับ = 21.8 5 M.D. ของครอบครัวที่สองเทากับ 3.2 + 2.2 + 0.2 + 0.8 + 4.8 = 5 สัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยครอบครัวที่สองเทากับ 2.24 = 21.8 X

ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ

1.75 0.467 2.24 0.103

จะไดอายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง (4) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน = s ของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ

s X

(2.25) 2 + (1.25) 2 + (−0.75) 2 + (−2.75) 2 4 −1 14.75 = 3

=

2.217

สัมประสิทธิ์การแปรผันของครอบครัวที่หนึ่งเทากับ s ของครอบครัวที่สองเทากับ

2.217 3.75

= 0.591

(3.2)2 + (2.2)2 + (0.2) 2 + (−0.8) 2 + (−4.8)2 5 −1 38.8 = 4

=

3.114

สัมประสิทธิ์การแปรผันของครอบครัวที่สองเทากับ

3.114 21.8

= 0.143

จะได อายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง ผลของการเปรียบเทียบที่ไดจากขอ (1) – (4) เหมือนกัน สรุปไดวา อายุของบุตรครอบครัวที่หนึ่งมีการกระจายมากกวาอายุของบุตรครอบครัวที่สอง


63 2. จากโจทยเรียงลําดับขอมูลจากนอยไปหามากไดดังนี้ ราคาขาวเปลือก (บาท) 71 72 73 74 ราคาขาวสาร (บาท) 110 112 114 115 X

ของราคาขาวเปลือก เทากับ

71 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 6

75 117 =

76 118

441 6

= 73.5

(−2.5) 2 + (−1.5) 2 + (−0.5) 2 + (0.5) 2 + (1.5) 2 + (2.5) 2 6 −1 17.5 = = 1.871 5 สัมประสิทธิ์การแปรผันของราคาขาวเปลือกเทากับ 1.871 = 0.025 73.5 110 + 112 + 114 + 115 + 117 + 118 X ของราคาขาวสาร เทากับ = 686 = 114.33 6 6

s ของราคาขาวเปลือกเทากับ

(−4.33) 2 + (−2.33) 2 + (−0.33) 2 + (0.67) 2 + (2.67) 2 + (3.67) 2 6 −1 45.3334 = = 3.011 5 3.011 สัมประสิทธิ์การแปรผันของราคาขาวสารเทากับ = 0.026 114.33 76 − 71 สัมประสิทธิ์ของพิสัยของราคาขาวเปลือก เทากับ = 0.034 76 + 71 118 − 110 = 0.035 สัมประสิทธิ์ของพิสัยของราคาขาวสารเทากับ 118 + 110

s ของราคาขาวสารเทากับ

จากคาที่ไดจะสรุปไดวา ราคาของขาวเปลือกตอถังมีการกระจายนอยกวาราคาขาวสารตอถัง 3. เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ

s X

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของจํานวนเงินที่นักเรียน ป.2 ไดเทากับ สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของจํานวนเงินที่นักเรียน ป.6 ไดเทากับ สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของจํานวนเงินที่นักเรียน ม.3 ไดเทากับ สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของจํานวนเงินที่นักเรียน ม.6 ไดเทากับ

40 20 40 22 51 25

24 18

= 0.272

= 0.316 = 0.287 = 0.286

จะเห็นวา การกระจายของจํานวนเงินที่นักเรียน ป.2 ไดมาใชนอยที่สุด หมายความวานักเรียน ป. 2 ไดเงินจากผูปกครองใกลเคียงกันมากกวานักเรียน ป. 6, ม. 3 และ ม. 6 และการกระจายของจํานวน เงินที่นักเรียน ป.6 ไดมาใชมากที่สุด หมายความวานักเรียน ป. 6 ไดเงินจากผูปกครองแตกตางกัน มากกวานักเรียนหองอื่น ๆ


64 4. เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพิสัยเทากับ จะได

0.0625 =

x max − x min x max + x min

170 − x min 170 + x min

10.625 + 0.0625xmin = 170 – xmin 1.0625xmin = 159.375 = 150 xmin ดังนั้น ความสูงของนักเรียนคนที่เตี้ยที่สุดในชั้นเทากับ 150 เซนติเมตร 5. เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเทากับ จะได

0.12

=

X

=

8.5 X 8.5 0.12

=

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ จะได สัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ 6. 3 (1) 2 (2) 2 (3) 2 (4) 2 3 3 3 2

(5) (6) (7) (8) (9)

M.D. X

70.83 s X 10 70.83

= 0.141

ไมจําเปน ขึ้นอยูกับคาของขอมูลที่นํามาคํานวณ ไมจําเปน เพราะเปนสวนเบี่ยงเบนควอรไทลหาจากคาควอรไทลที่ 3 และ 1 จะไดผล อยางไรอยูที่คาของตัวเลขซึ่งไมจําเปนตองเทากับมัธยฐาน สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยตองมีคามากกวาหรือเทากับศูนยเสมอเพราะสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเปน การเฉลีย่ ผลตางโดยใชจาํ นวนมากเปนตัวตัง้ จํานวนนอยเปนตัวลบจึงไมมที างนอยกวาศูนย สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตองมีคามากกวาหรือเทากับศูนยเสมอ เชน กรณีที่สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 1

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานใชวัดการกระจายสําหรับขอมูลเพียงชุดเดียว ไมสามารถนํามาใช เปรียบเทียบกับการกระจายของขอมูล 2 ชุด ถาตองการเปรียบเทียบขอมูล 2 ชุด ตองใช สัมประสิทธิ์การแปรผัน


65 7. ถามีขอมูลผิดปกติจะมีผลกระทบตอการหาคาเฉลี่ยเลขคณิต เพราะตองใชทุกคาของขอมูลมาคํานวณ สวนการวัดการกระจายที่มีการเปลี่ยนแปลงไปมากเนื่องจากคาผิดปกติ คือ คาพิสัย เพราะตองใชคา มากสุด และคานอยสุดในการคํานวณในกรณีที่ขอมูลผิดปกติ จะไมมีผลกระทบหรือมีผลกระทบนอย ตอคากลางที่คํานวณโดยการหาคามัธยฐานหรือฐานนิยม สวนการวัดการกระจายที่ไมมีผลกระทบ หรือมีผลกระทบนอย คือ คาสวนเบี่ยงเบนควอรไทล เพราะไมไดเอาคาต่ําสุด หรือสูงสุดมาใช คํานวณ 8. จังหวัด กระบี่ พังงา ระนอง ตรัง ภูเก็ต สตูล

ความเสียหายรวม (ลานบาท) 321.3 1,077.4 203.3 43.0 188.6 109.2

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสัมประสิทธิ์ของพิสัย X

=

321.3 + 1, 077.4 + 203.3 + 43.0 + 188.6 + 109.2 6

=

323.8 n

∑ (x

i

− X) 2

จาก

s

=

จะได

s

=

(321.3 − 323.8) 2 + (1, 077.4 − 323.8) 2 + " + (109.2 − 323.8) 2 6 −1

=

145124.1

สัมประสิทธิ์ของพิสัย

i =1

n −1

= =

= 380.95

x max − x min x max + x min 1, 077.4 − 43.0 1, 077.4 + 43.0

=

1034.40 1120.40

=

0.923


66 9. จากตาราง หนวย ทดลอง 1 2 3

LAB 1 85.06 85.25 84.87

หองปฏิบัติการ LAB 2 LAB 3 84.99 84.48 84.28 84.72 84.88 85.10

สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย =

M.D. X n

M.D

=

LAB 4 84.10 84.55 84.05

∑x i =1

i

−X

n

คาเฉลี่ยของรอยละเมทิลแอลกอฮอลของหองปฏิบัติการที่ 3 คือ จะได

84.48 + 84.72 + 85.10 = 84.77 3 84.48 − 84.77 + 84.72 − 84.77 + 85.10 − 84.77 M.D. = 3

= 0.223 สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของรอยละของเมทิลแอลของหองปฏิบัติการที่ 3 คือ 0.223 84.77

= 0.0026

คาเฉลี่ยของรอยละของเมทิลแอลกาฮอลของหองปฏิบัติการที่ 4 คือ จะได

84.10 + 84.55 + 84.05 = 84.23 3 84.10 − 84.23 + 84.55 − 84.23 + 84.05 − 84.23 M.D. = 3

= 0.21 สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของรอยละของเมทิลแอลกอฮอลของหองปฏิบัติการที่ 4 คือ 6.21 84.23

= 0.0025


107

เฉลยแบบฝก 3.4 1. (1) และ (2) แผนภาพการกระจายของขอมูล และกราฟที่ใชแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ํา แตละชนิดที่จับไดในป พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2543

พ.ศ. 2543 Y 200 180 160 140

* * *

*

120 100 80 60

** * *

40 20

** 0

20 40 60

80 100 120 140 160 180 200

X พ.ศ. 2542

(3) เนื่องจากความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําแตละชนิดที่จับไดอยูในรูปเสนตรง ใหปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 (Y) เปนตัวแปรตาม และปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 (X) เปนตัวแปรอิสระ สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bx คือ n

=

∑ yi และ

i =1 n

∑x y i =1

i

n

an + b∑ x i i =1

i

=

n

n

i =1

i =1

a ∑ x i + b∑ x i2


108 ตารางพจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) yi 152.9 35.2 58.2 53.4 11.0 12.8 42.6 164.0 143.1 197.9

xi 164.1 47.9 51.6 59.9 10.1 14.1 44.3 182.8 134.7 206.0 10

∑ xi i =1

26928.81 2294.41 2662.56 3588.01 102.01 198.81 1962.49 33415.84 18144.09 42436.00

10

= 915.50 ∑ y = 871.10 i =1

n

n

i

n

xiyi 25090.89 1686.08 3003.12 3198.66 111.10 180.48 1887.18 29979.20 19275.57 40767.40

x i2

10

∑ x i2 i =1

10

= 131733.03 ∑ x i =1

i

yi

= 125179.68

n

แทนคา ∑ y , ∑ x , ∑ x และ ∑ x y ในสมการปกติดวยคาในตาราง จะได i =1

i

i =1

i

2 i

i =1

i =1

i

i

871.10 125179.68 (1) × 91.55, (2) – (3)

= 10a + 915.50b ---------- (1) = 915.50a + 131733.03b ---------- (2) 79749.205 = 915.5a + 83814.025b ---------- (3) 45430.475 = 47919.005b b = 0.948 และ a = 0.321 จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําแตละชนิดที่จับไดในป พ.ศ. ∧

2542 และป พ.ศ. 2543 คือ Y = 0.948 X + 0.321 ถาปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 เทากับ 50,000 ตัน (x = 50.00) จะได ∧

= 0.948(50.00) + 0.321 = 47.72 นั่นคือ ปริมาณสัตวน้ําชนิดนี้ถาป พ.ศ. 2542 จับได 50,000 ตัน ในป พ.ศ. 2543 จะจับได 47,720 ตัน Y


109 (4) ถาตองการทํานายปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 ใหปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 เปนตัวแปรตาม (X) และปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 เปนตัวแปรอิสระ (Y) สมการของความสัมพันธ X = a + bY คือ 10

∑x i =1 10

และ

i =1

an + b∑ yi i =1

∑x y i

10

=

i

=

i

n

10

i =1

i =1

a ∑ yi + b∑ yi2

พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) xi 164.1 47.9 51.6 59.9 10.1 14.1 44.3 182.8 134.7 206.0

yi 152.9 35.2 58.2 53.4 11.0 12.8 42.6 164.0 143.1 197.9

10

23378.41 1239.04 3387.24 2851.56 121 163.84 1814.76 26896 20477.61 39164.41

10

10

∑ x = 915.50 ∑ y = 871.10 i =1

i

i =1

n

n

i =1

915.50 125179.68 (1) × 87.11, (2) – (3), 45430.475 b และ a

i

n

i =1

i

i =1

i

yi

i =1

n

2 i

i =1

i

yi

, ∑ y ดวยคาในตาราง จะได i =1

2 i

= 10a + 871.10b = 871.10a + 119493.87b 79749.205 = 871.10a + 75881.52b = = =

10

∑ y = 119493.87 ∑ x

i

แทนคา ∑ x , ∑ y , ∑ x

xiyi 25090.89 1686.08 3003.12 3198.66 111.10 180.48 1887.18 29979.20 19275.57 40767.40

yi2

43612.35b 1.042 0.78

---------- (1) ---------- (2) ---------- (3)

= 125179.68


110 จะไดสมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 กับ ∧

ป พ.ศ. 2542 คือ X = 1.042 Y + 0.78 ถาปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 เทากับ 85,000 ตัน (Y = 85) จะได ∧

= 1.042(85) + 0.78 = 89.35 นั่นคือ ปริมาณสัตวน้ําชนิดนี้ที่จับไดในป พ.ศ. 2542 เทากับ 89,350 ตัน X

2. แผนภาพการกระจายของราคายางพาราแผนดิบที่ขายไดในป พ.ศ. 2546

ราคา (บาท/กก. ) Y 48 46

*

44 42 40 38 36 34 32 0

* * *

*

*

*

*

*

*

*

*

ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.

X เดือน

พิจารณาจากแผนภาพการกระจายจะไดความสัมพันธระหวางเวลากับราคายางพาราแผนดิบอยูใน รูปเสนตรง ตองการทํานายราคายางพาราแผนดิบ ใหเวลา (X) เปนตัวแปรอิสระ และราคายางพาราแผนดิบ (Y) เปนตัวแปรตาม สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX คือ n

=

∑yi และ

i =1 n

∑x y i =1

i

n

an + b∑ x i i =1

i

=

n

n

i =1

i =1

a ∑ x i + b∑ x i2


111 พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค. รวม

xi –11 –9 –7 –5 –3 –1 1 3 5 7 9 11

yi 32.41 36.32 40.00 37.29 36.64 38.03 36.59 38.22 39.41 45.41 43.39 41.36

121 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121

xiyi –356.51 –326.88 –280.00 –186.45 –109.92 –38.03 36.56 114.66 197.05 317.87 390.51 454.96

∑x = 0

∑ y = 465.07

∑ x = 572

∑ x y = 213.82

12

i =1

แทนคา

n

n

12

i

n

x i2

i

i =1

12

i =1

2 i

12

i =1

i

i

n

∑ y , ∑ x , ∑ x และ ∑ x y ดวยคาในตารางจะได i =1

i

i =1

i

i =1

2 i

i =1

i

i

465.07 = 12a ---------- (1) 213.85 = 572b ---------- (2) จาก (1) จะได a = 38.76 จาก (2) จะได b = 0.37 จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับราคายางพาราแผนดิบคือ Y = 38.76 + 0.37 X เมื่อ x = 1 แทนเดือนกรกฎาคม และ 2 หนวยของ x เทากับ 1 เดือน ในป พ.ศ. 2547 เดือน ม.ค., x = 13 จะได Y = 38.76 + 0.37(13) = 43.57 เดือน ก.พ., x = 15 จะได Y = 38.76 + 0.37(15) = 44.31 เดือน มี.ค., x = 17 จะได Y = 38.76 + 0.37(17) = 45.05 เดือน เม.ย., x = 19 จะได Y = 38.76 + 0.37(19) = 45.79 เดือน พ.ค., x = 21 จะได Y = 38.76 + 0.37(21) = 46.53 เดือน มิ.ย., x = 23 จะได Y = 38.76 + 0.37(23) = 47.27 ∧

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧


112 ∧

เดือน ก.ค., x = 25 จะได Y = 38.76 + 0.37(25) = 48.01 เดือน ส.ค., x = 27 จะได Y = 38.76 + 0.37(27) = 48.75 เดือน ก.ย., x = 29 จะได Y = 38.76 + 0.37(29) = 49.49 เดือน ต.ค., x = 31 จะได Y = 38.76 + 0.37(31) = 50.23 เดือน พ.ย., x = 33 จะได Y = 38.76 + 0.37(33) = 50.97 เดือน ธ.ค., x = 35 จะได Y = 38.76 + 0.37(35) = 51.71 นั่นคือ ราคายางพาราแผนดิบในป พ.ศ. 2547 ตั้งแตเดือนมกราคมถึงเดือนธันวาคม โดยประมาณ เทากับ 43.57, 44.31 45.05, 45.79, 46.53, 47.27, 48.01, 48.75, 49.49, 50.23, 50.97 และ 51.71 บาทตอกิโลกรัม ตามลําดับ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

3. แผนภาพการกระจายของปริมาณการนําเขาขาวที่ประเทศหนึ่งในทวีปเอเชียนําเขาจากประเทศไทย ระหวางป พ.ศ. 2538 – 2545 ปริมาณขาว (หมื่นตัน)

Y 26

*

25

*

*

* *

23

*

2545

2543

2542

2541

2540

2539

X พ.ศ. 2538

0

2544

24

*

*

พิจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางเวลากับปริมาณนําเขาขาวอยูในรูป พาราโบลาตองการทํานายปริมาณการนําเขาขาว ใหเวลา (X) เปนตัวแปรอิสระ และปริมาณนําเขาขาว (Y) เปนตัวแปรตาม


113 สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX + cX2 คือ n

∑y i =1 n

=

∑x y

=

i =1

2 i

n

an + b∑ x i + c∑ x i2 i =1

∑ x i yi i =1 n

n

=

i

i

i =1

n

n

n

i =1 n

i =1 n

i =1 n

i =1

i =1

i =1

a ∑ x i + b∑ x i2 + c∑ x 3i a ∑ x i2 + b∑ x 3i + c∑ x i4

พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1), (2) และ (3) พ.ศ. 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 รวม

xi –7 –5 –3 –1 1 3 5 7 0

แทนคา

∑ x , ∑ y , ∑ x , ∑ x , ∑ x , ∑ x y และ ∑ x y

yi 23.7 23.9 24.8 25.5 25.2 24.6 23.1 23.5 194.3

n

i =1

n

i

i =1

n

i

i =1

2 i

x i2

x 3i

x i4

49 25 9 1 1 9 25 49 168

–343 –125 –27 –1 1 27 125 343 0

2401 625 81 1 1 81 625 2401 6216

n

i =1

3 i

n

i =1

4 i

n

i =1

xiyi –165.9 –119.5 –74.4 –25.5 25.2 73.8 115.5 164.5 –6.3 n

i

i

i =1

2 i

x i2 yi

1161.3 597.5 223.2 25.5 25.2 221.4 577.5 1151.5 3983.1

i

ดวยคาในตาราง จะได 194.3 = 8a + 168c ---------- (1) –6.3 = 168b ---------- (2) 3983.1 = 168a + 6216c ---------- (3) จาก (2) จะได b = –0.038 (1) × 21 4080.3 = 168a + 3528c ---------- (4) (4) – (3) 97.20 = –2688c c = –0.036 และ a = 25.04 จะได สมการพาราโบลาที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับปริมาณนําเขาขาว คือ ∧

∧ 2

= 25.04 – 0.038 X – 0.036 X และ 2 หนวยของ x เทากับ 1 ป Y

เมื่อ x = 1 แทน พ.ศ. 2542


114 จะได Y = 25.04 – 0.038(17) – 0.036(17)2 = 13.99 นั่นคือ ปริมาณการนําเขาขาวของประเทศนี้จากประเทศไทยในป พ.ศ. 2550 เทากับ 13.99 หมื่นตัน หรือประมาณ 139,900 ตัน

ในป 2550, x = 17

4. แผนภาพการกระจายของตนทุนการผลิตสินคาตอหนวย (บาท) กับจํานวนสินคาที่ผลิตได ตนทุนตอหนวย (บาท)

Y 60 50

*

*

*

*

*

40

*

*

30

*

20

*

*

10 0

1

2

3

5

4

6

7

8

9

10

X จํานวนที่ผลิต

พิจารณาจากแผนภาพกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางตนทุนการผลิตกับจํานวนสินคาอยูในรูป เสนตรงตองการทํานายตนทุนการผลิต ใหจํานวนสินคา (X) เปนตัวแปรอิสระ และ ตนทุนการผลิตสินคานี้ (Y) เปนตัวแปรตาม a + bX คือ สมการปกติของความสัมพันธ Y = n

∑ yi

=

i =1

และ

n

∑ x i yi i =1

n

an + b∑ x i i =1

=

n

n

i =1

i =1

a ∑ x i + b∑ x i2


115 พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) yi 58 56 55 50 45 40 37 30 26 20 417

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

xiyi 58 112 165 200 225 240 259 240 234 200 1933

x i2

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

แทนคา ∑ x i , ∑ yi , ∑ x i2 และ ∑ x i yi ดวยคาในตาราง จะได 417 = 10a + 55b ---------- (1) 1933 = 55a + 385b ---------- (2) (1) × 5.5, 2293.5 = 55a + 302.5b ---------- (4) (3) – (2), 360.5 = –82.5b b = –4.37 และ a = 65.73 จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางตนทุนการผลิตสินคาตอหนวยกับจํานวนสินคา ∧

ที่ผลิตได คือ Y = –4.37 X + 65.73 ถาจํานวนสินคาที่ผลิตไดเปน 7 หนวย (x = 7) จะได ∧

= 65.73 – 4.37(7) = 35.14 นั่นคือ ถาจํานวนสินคาที่ผลิตไดเปน 7 หนวย ตนทุนการผลิตสินคาตอหนวยมีคาประมาณ 35.14 บาท Y


116 5. (1) กราฟแสดงความสัมพันธระหวางแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาสองลูกในแตละครั้ง แตมจากลูกเตาลูกที่ 2

Y 6

*

5

*

4

*

3 2

* *

* *

1

*

*

* 1

2

3

4

5

6

X แตมจากลูกเตาลูกที่ 1

จากกราฟ ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาสองลูก ควรอยูใน รูปเสนตรง (2) โดยแทจริงแลวแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาทั้งสองในแตละครั้งไมควรมีความสัมพันธกัน


117 6. แผนภาพการกระจายของมูลคาของสินคาขาเขาที่ประเทศไทยนําเขาจากตางประเทศระหวางป พ.ศ. 2536 – 2545 มูลคาสินคา (พันลานบาท)

Y 30 25

*

20 15

*

*

*

*

*

10

*

*

*

*

2545

2544

2543

2542

2541

2540

2539

2536

2537

2538

X พ.ศ.

0

(1) พิจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางเวลากับมูลคาสินคาขาเขาที่ ประเทศไทยนําเขาจากตางประเทศอยูในรูปเสนตรงตองการทํานายมูลคาของสินคาใหเวลา (X) เปนตัวแปรอิสระ และ มูลคาของสินคา (Y) เปนตัวแปรตามสมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX คือ n

=

∑ yi i =1

และ

i =1

n

∑x y i =1

i

n

an + b∑ x i

i

=

n

n

i =1

i =1

a ∑ x i + b∑ x i2


118 พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2) พ.ศ. 2536 2537 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 รวม

yi 11.71 13.69 18.35 18.57 19.24 17.74 19.10 24.94 27.55 27.75 198.64

xi –9 –7 –5 –3 –1 1 3 5 7 9 0 n

n

n

xiyi –105.39 –95.83 –91.75 –55.71 –19.24 17.74 57.30 124.70 192.85 249.75 274.42

x i2

81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330

n

แทนคา ∑ y , ∑ x , ∑ x และ ∑ x y ดวยคาในตาราง จะได i =1

i

i =1

i

i =1

2 i

i

i =1

i

198.64 = 10a ----------(1) 274.42 = 330b ----------(2) จาก (1) จะได a = 19.8 จาก (2) จะได b = 0.832 จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับมูลคาของสินคาขาเขาที่ประเทศไทยนําเขา คือ

Y

= 19.8 + 0.832 X เมื่อ x = 1 แทน พ.ศ. 2541 และ 2 หนวยของ x เทากับ 1 ป

(2) ในป พ.ศ. 2546, พ.ศ. 2547,

x = 13

x = 11

จะได จะได

Y

= 19.8 + 0.832(11) =

= 19.8 + 0.832(13) =

30.62

= 19.8 + 0.832(15) =

32.28

= 19.8 + 0.832(17) =

33.94

Y

พ.ศ. 2548,

x = 15

จะได

Y

พ.ศ. 2549,

x = 17

จะได

Y ∧

28.95

พ.ศ. 2550, x = 19 จะได Y = 19.8 + 0.832(19) = 35.61 นั่นคือ มูลคาของสินคาโดยประมาณที่ประเทศไทยนําเขาระหวางป พ.ศ. 2546 – 2550 เปน 28.95, 30.62, 32.28, 33.94 และ 35.61 พันลานบาท ตามลําดับ


119 7. 2 (1)

ถาขอมูลประกอบดวยตัวแปรสองตัวแลว ตัวแปรทั้งสองนั้นอาจจะมีความสัมพันธ เชิงฟงกชันหรือไมมีก็ได

3 (2) 3 (3) 2 (4)

คาที่ไดจากการทํานายสวนใหญ จะเปนเพียงคาประมาณ ซึ่งอาจจะไมเทากับคา ที่ควรเปนจริง ถาขอมูลมีจํานวนนอย ไมควรนํามาสรางความสัมพันธ เพราะความสัมพันธที่สรางขึ้น อาจจะไมสามารถแทนความสัมพันธที่ควรจะเปนจริงได ขอมูลอนุกรมเวลาจะตองประกอบดวยตัวแปรอยางนอย 2 ตัว โดยที่มีตัวแปรตัวหนึ่ง ใชแทนเวลา การกําหนดคาของตัวแปรที่ใชแทนเวลา จะกําหนดคาเปนบวกหรือเปนลบก็ได เพราะสมการ y = 0.85x จะใชทํานายรายจายโดยเฉลี่ยตอเดือนของครอบครัวที่อาศัยอยู ในจังหวัดชลบุรีเทานั้น ไมสามารถนําไปใชทํานายรายจายของครอบครัวที่จังหวัดอื่นได

2 (5) 2 (6) 2 (7) 2 (8) 3 (9) 3 (10)

8. (1) แผนภาพการกระจายของขอมูล Y และ X Y จํานวนชิ้นงานที่คนงานทําไมสําเร็จ 40

*

32

* *

24 16

* * * * ** * *

*

*

8 0

2

4 ∧

6

8 ∧

10

12

14

X ระยะเวลาฝกงาน (สัปดาห)

(2) จากสมการ Y = 35.57 – 1.40 X ที่ใชประมาณจํานวนของเสีย (ชิ้นงานที่คนงานทําไมสําเร็จ) จากระยะเวลาฝกทักษะคนงาน พบวา เมื่อเรานําขอมูลระยะเวลาฝกทักษะของคนงานแทนใน สมการขางตน ทําใหสามารถวิเคราะหขอมูลไดวา เมื่อระยะเวลาฝกงานของคนงานเพิ่มมากขึ้นจํานวนของเสียจะลดนอยลง ในทํานอง เดียวกัน ถาระยะเวลาฝกงานของคนงานนอยจํานวนของเสียจะมีคามาก


120 (3) จากสมการ ระยะเวลา ฝกงาน (สัปดาห)

7

Y

= 35.57 – 1.40 X จะไดคา

9

6

14

8

Y

และคา Y – Y ดังนี้

12

10

4

2

11

1

25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 0.23 –2.97 0.83 0.03 –1.37 –0.77 2.43 –3.97 5.23 1.83 –2.17 0.63

Y ∧

Y– Y

(4) ผลตางของ Y – Y ควรมีคาต่ํา เพราะนั่นหมายความวา สมการ Y ที่ใชประมาณจํานวน ของเสีย มีคาใกลเคียงกับความเปนจริง ∧

หากคาของ Y – Y มีคาสูง แสดงวา สมการ Y นั่น ไมเหมาะสมใชประมาณจํานวนของเสีย 9. (1) แผนภาพการกระจายของขอมูลปริมาณน้ําหนักที่ลดลง (DX) และปริมาณไทรกลีเซอไรด ที่เปลี่ยนแปลงเมื่อคนไขลดน้ําหนักเปนเวลา 8 สัปดาห (DY)

400 300 200 DY

8

*

100

* ** * * * * * * * * * ** * * **** * * * * *

0 -100

** * * * **

*

-200 -10

-5

0

DX (2) จากแผนภาพไมมีขอมูลผิดปกติ และลักษณะกราฟแสดงความสัมพันธระหวาง DX และ DY เปนกราฟรูปเสนตรง


121 (3) สามารถใชสมการปกติ และผลรวมของขอมูลจากตาราง ดังนี้ 34

∑ (DY)i

34

an + b∑ (DX)i

=

i =1

i =1

34

∑ (DX)i (DY)i i =1 34

แทนคา ∑ (DX)i = –139.2, i =1

34

34

34

i =1

i =1

a ∑ (DX)i + b∑ (DX)i2

= 34

∑ (DY)i i =1

= –747,

34

∑ (DX) (DY) = 4,545.7 i =1

i

i

∑ (DX) = 798.76 2 i

i =1

จะได สมการปกติ คือ –749 = a (34) + b(–139.20) ---------- (1) 4,545.7 = a(–139.20) + b(798.76) ---------- (2) จะได a = 4.42, b = 6.46 ดังนั้น สมการที่ใชประมาณคาของ DY จากคาของ DX คือ ∧

= 4.42 + 6.46 DX หรือถาน้ําหนักเพิ่มขึ้น 1 หนวย อาจทําใหปริมาณไทรกลีเซอไรดเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 6.46 หนวย หรือ ถาน้ําหนักลดลง 1 หนวย อาจทําใหปริมาณไทรกลีเซอไรดลดลงโดยเฉลี่ย 6.46 หนวย DY

(4) จากสมการที่ใชประมาณคา DY ในขอ 3 เมื่อ

DX

=

-5

จะได

= 4.42 + 6.46(-5) = -27.88 ดังนั้น DY ที่พยากรณไดเมื่อ DX = -5 คือ -27.88 หมายความวา ถาน้ําหนักลดลง 5 กิโลกรัม ปริมาณไทรกลีเซอไรดจะลดลงโดยเฉลี่ย 27.88 มิลลิกรัมตอเดซิลิตร DY

หมายเหตุ จะเห็นวาการรวมและไมรวมคาผิดปกติใหผลลัพธที่ตางกัน ในบางกรณีอาจใหผลลัพธที่ตาง กันมากโดยเฉพาะกรณีที่รวมคาผิดปกติหลายคา ซึ่งอาจมีผลกระทบมากตอสมการความสัมพันธจน อันตรายหรือใชในความหมายที่ผิดได อยางไรก็ตามในการศึกษาในระดับที่สูงขึ้นเราสามารถตรวจ สอบหาคาผิดปกติโดยใชวิธีการทางสถิติไดตอไป


74

เฉลยแบบฝกหัด 2.1 75 − 70 15 1 = 3 80 − 80 คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.4 = 20 = 0 คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 สูงกวาคามาตรฐานของ คะแนนในชั้น ม.4 แสดงวาวิชัยเรียนคณิตศาสตรในชั้น ม.3 ไดดีกวา

1. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3

2. ถาให µ คือคาเฉลี่ยเลขคณิตจะไดวา

1

=

=

12 − µ 1.1

= 12 – 1.1 µ = 10.9 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเปน 10.9 วินาที µ

3. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย

=

คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ

=

คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร

=

ดังนั้น จิตราเรียนวิชาวิทยาศาสตรไดดีที่สุด

80 − 85 15 60 − 75 20 70 − 65 5

=

1 3 3 − 4

=

1

=

x − 25 2 x = 4 + 25 x = 29 ดังนั้น คนงานที่มีอายุตั้งแต 29 ปขึ้นไป จึงจะมีโอกาสไดรับเลือกเขาเปนคนงานของโรงงานนี้

4. คามาตรฐานของอายุคนงาน

2

5. คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนาย ก

=

คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนาย ก

=

คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนาย ก

=

=

70 − 70 5 75 − 70 10 75 − 80 15

= = =

0 1 2 −

1 3


75 ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยของวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนาย ก

คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนางสาว ข

=

คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนางสาว ข

=

=

0 + 12 − 13 3 1 18

=

1

=

–2

=

75 − 70 5 50 − 70 10 95 − 80 15

1 1− 2 +1 ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยอขงวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนางสาว ข = 3 = 0 แตเกณฑของหนวยงานผูสอบคัดเลือกไดจะตองไดคามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา ไมต่ํากวา 0 ดังนั้น นาย ก และนางสาว ข จะสอบคัดเลือกไดทั้งสองคน คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนางสาว ข

=

=

6. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ σ จะไดวา 3 = และ

µ + 3σ

=

650

1.9

=

540 − µ σ

650 − µ σ

(1)

= 540 (2) = 110 จาก (1) และ (2) จะได 1.1σ σ = 100 และ µ = 650 – 300 µ = 350 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ 350 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนสอบคือ 100 คะแนน µ + 1.9σ

7. (1) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐอลาสกา =

90 − 289 54

= –3.69 ดังนั้น โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงนอยกวารัฐอื่น ๆ


76 240 − 289 54 = –0.91 166 − 200 คามาตรฐานของผูปวยโรคมะเร็งในรัฐคาลิฟอรเนีย = 31 = –1.10 ดังนั้น ในรัฐคาลิฟอรเนียโรคหัวใจมีความรุนแรงมากกวาโรคมะเร็ง เมื่อเทียบกับที่พบ ในรัฐอื่น ๆในระดับประเทศ

(2) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐคาลิฟอรเนีย

=

8. เนื่องจาก zi (1)

(2)

(3)

(4)

2

=

x x

= =

–1

=

x x

= =

–1.5

=

x x

= =

x i −µ σ x − 20

5 10 + 20 30

x − 25 3 –3 + 25 22 x − 100 10 –15 + 100 85

2.5

=

x − ( −10 ) 0.2

0.5 x x

= = =

x + 10 0.5 – 10 –9.5

=


77

เฉลยแบบฝกหัด 2.2 1. (1) ให x เปนคาของขอมูล โดยกําหนดให จาก

z

=

จะได

z

= =

µ

= 400 และ

σ

= 100

x −µ σ 538 − 400

100 1.38

1.38

0

Z

จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.38 เทากับ 0.4162 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเมื่อ z > 1.38 เทากับ 0.5 – 0.4162 = 0.0838 นั่นคือ มีขอมูล 8.38% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 538 (2) จะได

z

= =

-2.21

179 − 400 100 –2.21

0

Z

จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –2.21 ถึง z = 0 เทากับ 0.4864 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > –2.21 เทากับ 0.5 + 0.4865 = 0.9864 นั่นคือ มีขอมูล 98.64% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 179


78 (3) จะได

z

= =

356 − 400 100 –0.44

Z

-0.44 0

จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.44 ถึง z = 0 เทากับ 0.1700 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.44 เทากับ 0.5 – 0.1700 = 0.3300 นั่นคือ มีขอมูล 33% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 356 (4) จะได

z

= =

621 − 400 100 2.21

0

2.21

Z

จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.21 เทากับ 0.4864 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปก เมื่อ z < 2.21 เทากับ 0.5 + 0.4864 = 0.9864 นั่นคือ มีขอมูล 98.65% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 621


79 (5) จะได

z1

=

z2

=

318 − 400 100 671 − 400 100

-0.82 0

=

–0.82

=

2.71

Z

2.71

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.71 เทากับ 0.4966 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.82 ถึง z = 0 เทากับ 0.2939 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –0.82 < z < 2.71 เทากับ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905 นั่นคือ มีขอมูล 79.05% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 318 และ 671 (6) จะได

z1

=

z2

=

484 − 400 100 565 − 400 100

0 0.84 1.65

=

0.84

=

1.65

Z

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.84 เทากับ 0.2995 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.65 เทากับ 0.4505 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ 0.84 < z < 1.65 เทากับ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510 นั่นคือ มีขอมูล 15.09% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 484 และ 565


80 (7) จะได

z1

=

z2

=

249 − 400 100 297 − 400 100

=

–1.51

=

–1.03

Z

-1.51 -1.03 0

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.51 ถึง z = 0 เทากับ 0.4345 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.03 ถึง z = 0 เทากับ 0.3485 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.51 < z < –1.03 เทากับ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860 นั่นคือ มีขอมูล 8.6% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 249 และ 297 2. (1) ให x เปนน้ําหนักของกาแฟ (กรัม) โดยกําหนด จาก

z

=

จะได z1

=

z2

=

x −µ σ 115 − 115.5

µ

≈ 0.3 115.5 − 115.5 = 0.3

-1.667 0

= 115.5 และ

σ

= 0.3

–1.667 0

Z

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.66 เทากับ 0.4515 และ z = 0 ถึง z = 1.67 เทากับ 0.4525 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.001 × 0.007 0.4515 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.4522 ⎝ ⎠


81 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.667 < z < 0 เทากับ 0.4522 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 45.22% ของขวดกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนัก ระหวาง 115 กรัม และ 115.5 กรัม (2) จะได

z1

=

z2

=

114.9 − 115.5 = 0.3 115.5 − 115.5 = 0.3

-2

0

–2 0

Z

จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2 < z < 0 เทากับ 0.4772 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 47.72% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 114.9 กรัม และ 115.5 กรัม (3) จะได

z1

=

z2

=

115.2 − 115.5 = 0.3 115.9 − 115.5 ≈ 0.3

-1 0 1.333

–1 1.333

Z

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.33 เทากับ 0.4082 และ z = 0 ถึง z = 1.34 เทากับ 0.4099 จะได พื้นที่เสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.333 เทากับ 0.0017 × 0.003 0.4082 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.4087 ⎝ ⎠


82 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1 ถึง z = 0 เทากับ 0.3413 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1 < z < 1.333 เทากับ 0.4087 + 0.3413 = 0.75 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 75% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 115.2 กรัม และ 115.9 กรัม (4) จะได

z1

=

z2

=

114.7 − 115.5 0.3 115 − 115.5 0.3

–2.667

–1.667

Z

-2.667 -1.667 0

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.66 เทากับ 0.4961 และ z = 0 ถึง z = 2.67 เทากับ 0.4962 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.667 เทากับ 0.4961+0.00007=0.49617 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2.667 < z < –1.667 เทากับ 0.49617–0.4522 = 0.0440 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.4% ของกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 114.7 กรัม และ 115 กรัม 115.5 − 115.5 = 0 0.3 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > 0 เทากับ 0.5 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 50% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา 115.5 กรัม

(5) จะได

z

=

0

Z


83 115 − 115.5 ≈ –1.667 0.3 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1.667 เทากับ 0.5 – 0.4522 = 0.0478 นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.78% ขวดกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา 115 กรัม

(6) จะได

z

=

Z

-1.667 0

3. (1) ให x เปนคะแนนสอบของนายไผท โดยกําหนด จาก

z

=

จะได

z

=

x − µ σ 62 − 64

8

-0.25 0

µ

=

= 64 และ

σ

=8

–0.25

Z

จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.25 ถึง z = 0 เทากับ 0.0987 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.25 เทากับ 0.5 – 0.0987 = 0.4013 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนไผท คือ 40.13 ในกลุมนักเรียนชาย


84 (2) ให x เปนคะแนนสอบของอาภัสรา โดยกําหนด µ = 60 และ σ = 10 73 − 60 = 1.3 จาก z = 10 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.3 เทากับ 0.4032

0

1.3

Z

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.3 เทากับ 0.5 + 0.4032 = 0.9032 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 90.32 ในกลุมนักเรียนหญิง คะแนนของอาภัสราในกลุมนักเรียนชาย โดยกําหนด 73 − 64 จะได z = 1.125 8 =

0 1.125

Z

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.12 เทากับ 0.3686 และ z = 0 ถึง z = 1.13 เทากับ 0.3708 0.0022 × 0.005 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงระหวาง z = 0 ถึง z = 1.125 เทากับ 0.3686 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ ⎝ ⎠ = 0.3697 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.125 เทากับ 0.5 + 0.3697 = 0.8697 นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 86.97 ในกลุมนักเรียนชาย


85 4. (1) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P25 เทากับ 0.25

0.25

Z

P25 0

จากตาราง

พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2518 คา z เทากับ 0.68 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2486 คา z เทากับ 0.67 0.01 × 0.0014 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.25 คา z เทากับ 0.67 + ⎛⎜ 0.0032 ⎞⎟ ≈ 0.6744 ⎝ ⎠ จาก

z = –0.6744 =

x − µ σ x − 72

12 x = 72 – 8.0928 x = 63.91 นั่นคือ คะแนน ที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 คือ 63.91

(2) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P90 เทากับ 0.90 – 0.5 = 0.4

0

P90

Z

จากตาราง

พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4015 คา z เทากับ 1.29 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3997 คา z เทากับ 1.28 0.01 ×0.0003 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4 คา z เทากับ 1.28 + ⎛⎜ 0.0018 ⎞⎟ ⎝ ⎠

1.2817


86 x − 72 12 x = 72 + 15.3804 x = 87.38 นั่นคือ คะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 คือ 87.38

จาก

1.2817

=

5. ให x เปนความหนาของแผนพลาสติก จาก

z

=

จะได

z1

=

z2

=

x −µ σ

0.0595 − 0.0625 0.0025 0.0659 − 0.0625 0.0025

-1.2

0

=

–1.2

=

1.36

Z

1.36

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.36 เทากับ 0.4131 และจะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.2 เทากับ 0.3849 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.2 < z < 1.36 เทากับ 0.4131 + 0.3849 = 0.7980 นั่นคือ มีแผนพลาสติก 79.8% ของพลาสติกทั้งหมดที่ผลิตไดมีความหนาอยูระหวาง 0.595 เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร 6. เพราะวา 50.04% ของนาฬิกาทั้งหมดที่ผลิตไดมีความคลาดเคลื่อนระหวาง x กับ 0.136 วินาที จาก

z

=

z

=

x −µ σ

0.136 − 0.00 0.4

=

0.34


87

50.04% X

Z

0 0.136

จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.34 เทากับ 0.1331 จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก z = 0 ถึง x เทากับ 0.5004 – 0.1331 = 0.3673 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3686 คา z เทากับ 1.12 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3665 คา z เทากับ 1.11 0.01 × 0.0008 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3673 คา z เทากับ 1.11 + ⎛⎜ 0.0021 ⎞⎟ ≈ 1.1138 ⎝ ⎠ x − 0.00 จะได –1.1138 = 0.4 x = –0.446 นั่นคือ x เทากับ –0.446 วินาที 7.

Z

X = 11.88 µ = 12.00

จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก x = 11.88 ถึง µ = 12.00 เทากับ 0.5–0.1151 = 0.3849 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3849 คา z เทากับ 1.20 จาก

z = –1.20 = σ

=

x −µ σ 11.88 − 12.00 σ − 0.12 = − 1.2

0.1

ดังนั้น ความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทนี้เทากับ 0.01


88 8. (1) กําหนด

σ

= 3, x = 6 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.09

0.41 0.09 X=6

จากตาราง

Z

0

พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4099 คา z เทากับ 1.34 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4115 คา z เทากับ 1.35 × 0.0001 ⎞ ⎟ 0.0016 ⎠

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.09 คา z เทากับ 1.34 + ⎛⎜ 0.01 จะได

–1.3406

=

6−µ 3

= 1.3406

= 6 + 4.0218 µ = 10.0218 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตประมาณ 10.0218 เปนคา a ที่ตองการ µ

(2) กําหนด µ = 10, x = 12 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.60 จากรูป พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง µ ถึง x = 12 เทากับ 0.6 – 0.5 = 0.1

µ X = 12

จากตาราง

พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1026 คา z เทากับ 0.26 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.0987 คา z เทากับ 0.25 0.01 × 0.0013 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1 คา z เทากับ 0.25 + ⎛⎜ 0.0039 ⎞⎟ ⎝ ⎠ จะได

0.2533

=

σ

=

12 − 10 σ 2 0.2533

7.90 ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.90 เปนคา b ที่ตองการ σ

0.2533


89 (3) กําหนด µ = 10, σ = 2 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.18 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1808 คา z เทากับ 0.47 พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1772 คา z เทากับ 0.46

µ

X

0.01 × 0.0028 ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.18 คา z เทากับ 0.46 + ⎛⎜ 0.0036 ⎞⎟ = 0.4678 ⎝ ⎠ x − 10 จะได –0.4678 = 2 x = 10 – 0.9356 x = 9.0644 ดังนั้น คะแนนที่สนใจศึกษาประมาณ 9.06 เปนคา c ที่ตองการ

(4) กําหนด จะได

µ

= 3, z

σ

= 1 และ x = 2 =

2−3 1

=

–1

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1 เทากับ 0.5 – 0.3413 = 0.1587

z = –1

µ

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนนที่ต่ํากวา 2 เทากับ 0.1587 เปนคา d ที่ตองการ


90 9. (1) ให x เปนคะแนนสอบ SAT โดยกําหนด จาก

z

=

จะได

z1

=

µ

= 505 และ

σ

= 111

x −µ σ 400 − 505

= –0.946 111 600 − 505 z2 = = 0.856 111 จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.94 เทากับ 0.3264 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.95 เทากับ 0.3289 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.946 เทากับ 0.0025 × 0.006 0.3264 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.3279 ⎝ ⎠

-0.946

Z

0 0.856

จากตาราง

พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.85 เทากับ 0.3023 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.86 เทากับ 0.3051 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.856 เทากับ 0.0028 × 0.006 0.3023 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.30398 ⎝ ⎠

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่อยูระหวาง 400 และ 600 เทากับ 0.3279 + 0.30398 = 0.63188 (2) จะได

z

=

700 − 505 111

0

1.757

1.757

Z


91 จากตาราง

พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.75 เทากับ 0.4599 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.76 เทากับ 0.4608 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.757 เทากับ 0.0009 × 0.007 0.4599 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.46053 ⎝ ⎠ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่มากกวา 700 เทากับ 0.5 – 0.46053 = 0.03947 (3) จะได

z

=

450 − 505 111

-0.495 0

–0.495

Z

จากตาราง

พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.49 เทากับ 0.1879 พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.50 เทากับ 0.1915 จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.495 เทากับ 0.0036 × 0.005 0.1879 + ⎛⎜ 0.01 ⎞⎟ = 0.1897 ⎝ ⎠ ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่นอยกวา 450 เทากับ 0.5 – 0.1897 = 0.3103

add-m6-1-finished  

เฉลยแบบฝึกหัด คณิตศาสตร์เพิ่มเติมชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 1

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you