Issuu on Google+

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° GRAU Relembrando: O que é uma função? Devido a generalização as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções. O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de: uma equação, um relacionamento gráfico; diagramas representando os dois conjuntos; uma regra de associação; uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. Um pouco de história: O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que a introdução do método analítico na definição de função (séc., XVI, séc. XVII) veio revolucionar a Matemática. A origem da noção de função:

Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano. Vai ser a partir desta época que uma nova teoria, o Cálculo Infinitesimal, vai surgir e que se acaba por revelar capital no desenvolvimento da Matemática contemporânea. A noção de função vai ser um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. Portanto a noção de função não é muito antiga. No entanto, aspectos muito simples deste conceito podem ser encontrados em épocas anteriores (por exemplo, na mais elementar operação de contagem). Mas o seu surgimento como conceito claramente individualizado e como objeto de estudo corrente em Matemática remonta apenas aos finais do Século XVII.


A origem da noção de função confunde-se assim com os primórdios do Cálculo Infinitesimal. Ela surgia de forma um tanto confusa nos "fluentes" e "fluxões" de Newton (1642 1727). Newton aproxima-se bastante do sentido actual de função com a utilização dos termos "relatia quantias" para designar variável dependente, e "genita" para designar uma quantidade obtida a partir de outras por intermédio das quatro operações

Newton(1642-1727)

aritméticas fundamentais.

Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus". Leibniz uso o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades Leibniz(1646-

geométricas como as sub tangentes e sub normais. “Introduziu

1716)

“igualmente

a

terminologia

de

“constante”,

“variável”

e”

parâmetro”.

Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se indispensável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a palavra "função" foi adoptada na correspondência trocada entre 1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667-1748). O termo "função" não aparecia ainda num léxico matemático surgido em 1716. Mas, dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a ter grande divulgação, contendo a sua definição de função de uma certa variável como uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes.


Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação f(x). Euler(1707-1783) A noção de função era assim identificada na prática com a de expressão analítica, situação que haveria de vigorar pelos Séculos XVIII e XIX, apesar de cedo se perceber que conduzia a diversas incoerências e limitações (de facto, uma mesma função pode ser

representada

por

diversas

expressões

analíticas

diferentes).

Esta noção, associada às noções de continuidade e de desenvolvimento em série, conheceu sucessivas ampliações e clarificações, que lhe alteraram profundamente a sua natureza

e

significado.

Como consequências da evolução do estudo das funções surgem numerosas aplicações da Matemática a outras ciências. Pois, os cientistas partindo de observações procuravam uma fórmula (uma função) para explicar os sucessivos resultados obtidos. A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis.

Assim o conceito de função que hoje nos parece simples é resultado de uma evolução histórica conduzindo sempre cada vez mais à abstração, e que só no século XIX teve o seu

final.

Na atualidade as funções estudadas na Análise Infinitesimal, e usadas nas aplicações, retêm

no

fundamental

a

ideia

de

dependência

entre

variáveis.

A noção de função é de importância central na concepção e no estudo de modelos (dinâmicos, probabilísticos, de distribuição espacial,...), qualquer que seja a sua natureza, continuando por isso a ser uma noção-chave na Matemática atual. A noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números. A noção matemática de funções é bem mais ampla. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contradomínio (conjunto de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado


exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é o conjunto imagem ou chamado simplesmente imagem. Definição formal Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é: diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y. Se você deseja relembrar as propriedades da função, poderá assistir ao vídeo abaixo:

http://www.youtube.com/watch?v=l9 8UScQdom4

Definição de função de 1° grau: Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.


Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,

Marcamos os pontos (0, -1) e

e outro ponto é

.

no plano cartesiano e ligamos os dois com uma

reta.

x

y

0

-1 0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Vamos ver um vídeo para ajudar a nossa visualização?


http://www.youtube.com/watch?v=DafkPAx8QwE&feature=fvsr Trabalhando os gráficos da função afim com o uso do aplicativo winplot: O endereço abaixo você encontrará um tutorial com as principais informações de como utilizar o aplicativo winplot: http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html

Caso você deseja baixar o aplicativo clique aqui: http://www.baixaki.com.br/download/winplot.htm Vamos trabalhar com o aplicativo winplot?

1) Considere a função y=ax, fazer o gráfico com a=1 e a=-1. Após traçar o gráfico para diferentes valores de “a”, o que acontece quando varia o parâmetro? 2) Considere f(x)=ax+b fazer o gráfico da função com a=1 e b=0. Agora vamos traçar gráficos para diferentes valores de “a” e “b”. O que você observou? 3) Considere f(x)=x+a fazer o gráfico para a=0. Agora vamos traçar gráficos para diferentes valores de “a”. O que você observou? 4) Vamos construir o gráfico da função y = 3x -1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua. Para x = 0, temos y = 3. 0 – 1 = -1; portanto um ponto é (0, -1) Para y = 0, temos 0 = 3x – 1; portanto, x = 1/3 e outro ponto é (1/3, 0)


Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 5) Construa o gráfico da função y = -2x + 3 6) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5)

Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0

ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos: 1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0

2x - 5 = 0

2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: g(x) = 0

3x + 6 = 0

x = -2

3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: h(x) = 0

-2x + 10 = 0

x=5

4. Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-10

-7

-4

-1

2

5

8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a


função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); Justificativa: •

para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Sinal Estudar o sinal de qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz 1º) a > 0 (a função é crescente) y>0

ax + b > 0

x>

y<0

ax + b < 0

x<

. Há dois casos possíveis:


Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente) y>0

ax + b > 0

x<

y<0

ax + b < 0

x>

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.

Exercícios resolvidos: Determine a função f(x) = a.x + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = –10. Com f(x) = a.x + b e f(2) = 5 então, 5 = 2.a + b e f(3) = –10 então, –10 = 3.a + b daí, na primeira equação b = 5 – 2.a e na segunda equação, b = –10 – 3.a, e portanto, 5 – 2.a = –


10 – 3.a onde 3.a – 2.a = –10 – 5 ou a = –15 e sendo assim, 5 = 2.(–15) + b, ou seja, b = 35. Logo, a função procurada é: f(x) = –15x + 35

Agora é com você: 1)

Observando o gráfico de uma função e responda:

a.

Quantas raízes tem esta função? Quais são elas?

b.

Escreva os intervalos de x em que esta função é:

i.

Crescente.

ii.

Decrescente.

iii.

Constante.

c.

Escreva seu Conjunto-Imagem.

d.

Escreva o estudo da variação de sinais dessa função.

2)

Dona Marta necessita dos serviços de um encanador. Conhece dois que são bons

e igualmente eficientes: Luiz, que cobra 5 reais pela visita e mais 4 reais para cada hora de serviço, e Mário, que cobra 10 reais pela visita e 2 reais para cada hora de serviço. a.

Indicando por x o número de horas de trabalho, escreva as funções f e g que

fornecem o custo do serviço, em reais, cobrado por Luiz e Mário, respectivamente. b.

Determine o número de horas de serviço para que o valor cobrado seja o mesmo.

c.

Para um serviço de 5 horas, quanto Luiz cobraria a mais que Mário?

d.

Se num determinado serviço Mário cobrasse 3 reais a menos que Luiz, qual seria

o tempo previsto para a execução do serviço?

Respostas: 1) a) duas b) – 2 e 3 c) crescente: - 3<x<- 1 constante: -1<x<2 f(x) < 0 se -1<5)

decrescente:

2<x<3

c) Im=[-2,2] d) f(x) > 0 se -2<x<3, f(x)=0 se x = -2 ou x = 3,


2) a) l ( x) = 5 + 4 x e M ( x) = 10 + 2 x b) 2,5 horas

VOCÊ SE PERDEU? VAI UMA REVISÃO? http://www.youtube.com/watch?v=2TT2Dq0fOZ8

c) 5 reais

d) 4 hx< - 2.


FUNÇÃO AFIM