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Démonstrations à  savoir pour le bac  scientifique S      Sans avoir la prétention d’être exhaustif, quelques ROC  sont détaillés dans ce document.    HOUPERT Nicolas_LYCEE BAZIN_CHARLEVILLE‐MEZIERES  10/02/2014   


Table des matières  CHAPITRE II_LES NOMBRES COMPLEXES ................................................................................................ 3  DEMONSTRATIONS .................................................................................................................................. 4  CHAPITRE III_LIMITES ET CONTINUITE .................................................................................................... 7  DEMONSTRATIONS .................................................................................................................................. 8  CHAPITRE V_FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES ............................................................ 10  DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 11  CHAPITRE VI_CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES ....................................................................... 13  DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 14  CHAPITRE X_CALCUL INTEGRAL ............................................................................................................ 15  DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 16  CHAPITRE XI_GEOMETRIE DANS L’ESPACE............................................................................................ 18  DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 19  CHAPITRE XII_PROBABILITES ................................................................................................................. 21  DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 22  CHAPITRE XIII_PROBABILITES A DENSITE .............................................................................................. 23  DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 24  CHAPITRE XIV_STATISTIQUES – ESTIMATION ....................................................................................... 26  DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 27       


CHAPITRE II_LES NOMBRES COMPLEXES   

PROPRIETES DU MODULE ET DE L’ARGUMENT 

1. |

|

| |

                             

7. arg

| |

|

5. arg 6. arg

| |

3.

| |

2.

4. |

| |

| | ,

8. arg

arg arg arg

arg

arg  , 

 


DEMONSTRATIONS   1. Posons   et  | | On a alors : |                                       |

, les écritures algébriques de z et z’.  |                          | 

                                    

²

                                     Par ailleurs, | | | |

|

                                       

√ ²

² |

| ²

| √ ²

²

                                                                                 En conclusion, on a bien : |      

²  |

| |

2. Utilisons la relation (1) en posant 

| |.

 , ainsi on aura : 

d’après la propriété (1) sur le produit et le module,  

| |

en simplifiant,                                                                           |1|

| |

 

1,                                                                                    1

| |

 

or |1|

d’où :                                                                                             

  . 

| |

    3. Soient z et z’ deux nombres complexes.   

On a :                                                                                             d’après la propriété (1) sur le produit et le module,           

| |

d’après la propriété (2) sur le produit et l’inverse,              

| |

en résumant,                                                                               

| | | |

| |

 . 

4.     5. Soit z un nombre complexe,  . Démontrons la relation (4) par récurrence.  Notons Pn la propriété suivante : « | | | |  »    • Vérifions que P0 est vraie :  | | |1| 1 | |   , P0 est donc vraie.    • Supposons que Pn est vraie c’est‐à‐dire que : | | | |    Montrons que Pn+1 est vraie.  


| | | | | | |      d‘après la propriété sur le module et le produit  |              | |      d’après l’hypothèse de récurrence                | |               | |   Pn+1 est donc vraie.    • En conclusion, Pn est vraie pour tout  .        , les écritures  cos 6. Posons  cos  et  |, | | |, .  arg trigonométriques de z et z’, où  arg  et    arg   cos arg cos cos cos   cos cos arg                   d’après les formules de linéarisation,  arg rr cos θ θ                                                                     par définition de la forme trigonométrique,  arg z arg z                                                                    par définition de arg(z) et arg(z’)        7. Utilisons la relation (5) en posant 

 , ainsi on aura :   

d’après la propriété (5) sur le produit et l’argument,    arg

arg

arg

en simplifiant,                                                                              arg 1

arg

arg

or arg(1)=0, d’où,                                                                                    0

arg

arg

finalement,                                                                                   arg

arg

    8. Soient z et z’ deux nombres complexes.  On a :                                                                                                         arg

arg

d’après la propriété (5) sur le produit et l’argument,                       arg

arg z

arg

d’après la propriété (6) sur l’inverse et l’argument                           arg

arg z

arg z

    9. Soit z un nombre complexe,  . Démontrons la relation (8) par récurrence.  arg  »  Notons Pn la propriété suivante : « arg(   • Vérifions que P0 est vraie :  arg( arg 1 0 0 arg    , P0 est donc vraie.   

 


•                      

Supposons que Pn est vraie c’est‐à‐dire que : arg(    Montrons que Pn+1 est vraie.   arg   arg arg       d‘après la propriété sur l’argument et le produit               arg               n arg z arg         d’après l’hypothèse de récurrence                arg 1   Pn+1 est donc vraie.    .  En conclusion, Pn est vraie pour tout   


CHAPITRE III_LIMITES ET CONTINUITE      •

Théorème des valeurs intermédiaires.  Soit f une fonction continue sur un intervalle I de  .  Soit  .   L’équation   possède alors au moins une solution sur I.     

Théorème des fonctions continues strictement monotones.    Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle   de  .  Soit  .   L’équation   possède alors une unique solution sur I.          Théorème des gendarmes     Soit   une fonction. Soit   deux fonctions telles que :    lim Alors lim  

               

lim

et telles que  .  

.


DEMONSTRATIONS    

Théorème des fonctions continues strictement monotones. 

Nous supposerons connus le théorème des valeurs intermédiaires dans le cadre de la démonstration  du théorème des fonctions continues strictement monotones.  Considérons f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I de  . Nous supposerons plus précisément et pour fixer les idées que la fonction f est STRICTEMENT  croissante.    Preuve de l’existence d’au moins une solution :  La fonction f est continue sur I et α  f I , donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires,  l’équation   possède au moins une solution sur  . Notons x0 une de ces solutions.   .  On a en particulier :    Preuve de l’unicité de cette solution :  Supposons qu’il y a deux solutions différentes x0 et x1 qui vérifient  Puisque x0   x1,   ‐ ‐

soit  x0 < x1 et dans ce cas  est impossible ;   soit  x0 > x1 et dans ce cas  est impossible ; 

et 

.

du fait de la croissance de f, et donc 

, ce qui 

du fait de la croissance de f, et donc 

, ce qui 

Par conséquent l’étude des deux cas conduit à une absurdité.  L’hypothèse de départ est donc  fausse.   Il n’existe donc qu’une unique solution à l’équation 

.

Théorème des gendarmes au voisinage  de  ∞ : 

Pour démontrer que lim , revenons à la définition de lim définie sur un intervalle contenant  ∞ :    « Tout intervalle ouvert contenant  , contient   pour   assez grand. »    

où f est une fonction 

Soit un intervalle I ouvert contenant  . Essayons de montrer que cet intervalle contient toutes les  valeurs de   pour   assez grand. 


Pour cela, utilisons les hypothèses du théorème :  Puisque :  lim ,  tout intervalle ouvert contenant   contient toutes les valeurs de  pour   assez grand.  Par exemple pour notre intervalle I qui contient   , il existe   tel que pour tout   ,  I contient toutes les valeurs de   . 

Puisque :  lim ,  tout intervalle ouvert contenant   contient toutes les valeurs de  pour   assez grand.  Par exemple pour notre intervalle I qui contient   , il existe   tel que pour tout   ,   I contient toutes les valeurs de   . 

Par conséquent, puisque  max , .  Ceci est illustré dans le repère ci‐dessous. 

         

, I contiendra toutes les valeurs de 

pour 


CHAPITRE V_FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES        •

Théorème d’existence de la fonction exponentielle    Il existe une unique fonction   dérivable sur   telle que   pour tout  ,  0 1.       

Propriété     Si une fonction   dérivable sur    vérifie  on a :  1 et donc  0.         

         

Croissances comparées et limite      o

lim

o

lim

0

o

lim

1

0

1, alors, pour tout réel  , 


DEMONSTRATIONS  

Théorème d’existence de la fonction exponentielle     L’existence d’une telle fonction est admise.  Unicité de la solution :  Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe une fonction g différente de  telle que : 

0

Posons :  dérivables sur  , 

1   définie et dérivable sur   en tant que quotient de deux fonctions   ne s’annulant pas. 

D’où : 

0

²

²

Donc :   est une fonction constante.   Déterminons sa valeur : on sait que  0

1,

en conséquence,  1 pour tout   réel, d’où  l’hypothèse de départ.  Finalement, il existe une unique fonction vérifiant 

. En contradiction avec 

0

, c’est  1

.

Propriété :   0 1.  Soit une fonction   dérivable sur    vérifie   Posons  .   est dérivable sur   en tant que produit de deux fonctions  dérivables.     Ainsi,   , car                            0  Donc  .   Or  0 0 0 1 1 1.   D’où :  1. Ainsi, par définition de  :  1.  0, alors 0. (*)  Si il existe    tel que  1.  Or pour  tout  , 1, en particulier pour  Ce qui donne une contradiction avec (*). Donc  ne s’annule pas sur  .  

Croissances comparées  

Pour montrer que lim  est dérivable sur   et 

∞ , nous allons étudier la fonction  2 . 

² sur ] 0, ∞ [.  


’ est dérivable sur  et

2.

0

ln 2

2  

+  

1

+∞

2‐2ln(2)>0 2

+  

 

+  

1

Donc sur l’intervalle ] 0, ∞ [ ,  la fonction h est strictement positive.  ² 0  En conséquence, on a :  ²  D’où :  Ainsi : 

∞ alors 

D’après le théorème de comparaison sur les limites, puisque lim lim

∞.

0

Utilisons la croissance comparée précédente pour calculer lim Puisque  0 par définition du  , il existe un réel   tel que :    En conséquence :    lim

lim

X

0 d’après la croissance comparée 

précédente.   Prérequis : La fonction exponentielle est dérivable en 0 et  exp lim avec 

lim

avec 

0

1.

. Or la fonction 

est dérivable sur   

.  

En conséquence : lim

 

lim

.

lim

0

1.


CHAPITRE VI_CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES     

THEOREME DE COMPARAISON 

deux suites.  Soit   et  Si pour tout entier naturel   supérieur à un certain entier naturel   et  lim ∞, alors lim ∞.         

SUITE CROISSANTE NON MAJOREE 

Une suite croissante non majorée tend vers  ∞.                           


DEMONSTRATIONS    

THEOREME DE COMPARAISON 

Prérequis : Dire qu’une suite   a pour limite  ∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme  , ∞  contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.  .  

Appliquons ce prérequis à notre suite 

Puisque lim ∞, alors tout intervalle ouvert de la forme  , ∞  contient tous les termes  de la suite à partir d’un certain rang  .   , il existe un rang  , tel que 

C’est‐à‐dire que pour tout  Or 

, il existe un rang  , tel que 

, ainsi : pour tout 

. . 

Donc tout intervalle ouvert de la forme  , ∞  contient tous les termes de la suite  rang  . 

à partir du 

∞.

C’est la définition de lim  

SUITE CROISSANTE NON MAJOREE 

Prérequis : Dire qu’une suite   a pour limite  ∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme  , ∞  contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.  Appliquons ce prérequis à notre suite  Soit 

.  

.

Si la suite    était toujours en dessous de  , elle serait majorée par  . Or par hypothèse la suite   n’est pas majorée.   Donc il existe un rang  , tel que  Pour tout  Donc pour tout 

,

car la suite est croissante.  ,

.

Ainsi, l’intervalle ouvert de la forme     

.

, ∞ contient tous les termes de la suite à partir du rang  . 


CHAPITRE X_CALCUL INTEGRAL     

Primitive d’une fonction continue  

Soit f une fonction continue sur I, et 

. Alors 

est l’unique primitive de f 

qui s’annule en  .       

Croissance de l’intégrale   

Si  et   sont deux fonctions continues sur un intervalle  ,  alors :    

, et si pour tout 

     

Formule d’intégration par parties (hors programme): 

Soient Alors :               

deux fonctions dérivables sur  ,

.  

,

,


DEMONSTRATIONS  

Primitive d’une fonction continue. 

Existence :     Nous supposerons dans cette démonstration que la fonction f est continue et croissante.  ¾ Montrons que F définie par 

est une primitive de f,   ,

ie montrons que pour tout  a 

.   où h est un réel positif. 

Pour cela, nous allons calculer le taux d’accroissement suivant :  Puisque :   

 

   

d’après la propriété sur les changements de bornes 

de l’intégrale.                                       

  (**)  d’après la relation de Chasles sur les intégrales. 

Or  , , en conséquence,  .  De plus, puisque f est une fonction croissante, on a :  .  Après intégration entre a et a+h et en accord avec la croissance de l’intégrale,     

Ce qui se traduit par :    

ie :                                                   D’où :                                                      

et d’après (**),                                      

Faisons tendre h vers 0 :                    lim

lim

lim

Or lim  trivialement,   par définition de la continuité de f       lim Donc d’après le théorème des gendarmes, on peut conclure que :   lim C’est‐à‐dire que la fonction F est dérivable pour tout  F est donc bien une primitive de f. 

et vérifie 

.


0 d’après une convention du cours. 

¾ Montrons que F s’annule en   :   

Croissance de l’intégrale  

Prérequis :   et   sont deux fonctions continues sur  , 0 sur  ,

Si

Pour tout  , : 

0

, alors  .

Posons

 

.

, alors 

. Puisque par hypothèse, 

Utilisons le prérequis. Ainsi, 

0. D’où, 

0.  

D’après le prérequis,  Par conséquent, 

0.

.   0. 

Finalement,      

Formule d’intégration par parties (hors programme): 

Soient 

deux fonctions dérivables sur un intervalle  ,

est donc dérivable sur [a,b]   Or                                                                       soit encore pour tout  ,  :                 en intégrant cette relation entre a et b :                                                                              D’où :                                                                 

       

Finalement :                                                                                


CHAPITRE XI_GEOMETRIE DANS L’ESPACE     

EQUATION DE DROITE  

La représentation paramétrique de la droite  ∆ passant  par D  

de vecteur directeur 

,

est    

 

EQUATION DE PLAN 

La représentation paramétrique du plan (P) passant par D  

de vecteur normal 

est : 

0    

ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE   est le plan défini par les droites   et  , sécantes en   et de vecteurs directeurs   et  .  ∆  est la droite passant par   et de vecteur directeur le vecteur   orthogonal aux vecteurs   et  . 

Alors ∆  est orthogonale à toute droite du plan 

.

 

• Soit

DISTANCE POINT PLAN   un plan de l’espace d’équation  0. Soit D  

égale à :     

,

un point de l’espace. Alors la distance de   au plan 

|

| ²

²

²

.

est 


DEMONSTRATIONS  

EQUATION DE DROITE   , ,

Soit

un point de la droite  ∆ . Les vecteurs 

tel que : 

et  sont donc colinéaires. Il existe donc 

. ,

. D’où : 

A l’aide des coordonnées : 

,

Finalement,    

 

• Soit écrire : 

EQUATION DE PLAN  , ,

un point du plan  .

. Les vecteurs 

et  sont donc orthogonaux. On peut donc 

0.  

A l’aide des coordonnées : 

.

0.    0. 

D’où : 

0. Nous obtenons l’équation voulue en posant 

Ainsi :  . 

La représentation paramétrique du plan (P) passant par D  

de vecteur normal 

est : 

0  

ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE 

est le plan défini par les droites   et  , sécantes en   et de vecteurs directeurs   et  .  ∆  est la droite passant par   et de vecteur directeur le vecteur   orthogonal aux vecteurs   et  .  Alors  ∆  est orthogonale à toute droite du plan  Soit 

une droite du plan 

linéaire des vecteurs 

et 

.

. Notons   son vecteur directeur. Puisque   : il existe  ,  tels que : 

,  est combinaison 


Montrons que  ∆. Calculons pour cela le produit scalaire :  . . 0, car    est orthogonal aux vecteurs   et  .  Ainsi,  ∆  est orthogonale à 

.

.

.

Finalement, ∆  est orthogonale à toute droite 

du plan. 

DISTANCE POINT PLAN 

Appelons H   plan  Ainsi, 

le projeté orthogonal de D sur le plan 

. Appelons 

le vecteur normal au 

. .

  .

A l’aide des coordonnées, 

.

|

|. D’où :  Or  Ainsi,       

|

.

|   0. 

, donc  |

|

|

| ²

²

²

.


CHAPITRE XII_PROBABILITES      Soient deux évènements A et B associés à une expérience aléatoire.   

FORMULE DES PROBABILITES TOTALES   

   

INDEPENDANCE Si   et   sont deux évènements indépendants, alors   et   le sont aussi. 

 


DEMONSTRATIONS  

FORMULE DES PROBABILITES TOTALES 

Nous savons que l’univers Ω peut s’écrire : Ω Ω

De plus, 

Or les évènements  En effet,  B

A

B

B

B et  B

B

B

B. B . 

B sont incompatibles.   A B B A  

Ainsi,

.

 

INDEPENDANCE

B

B

, car A et B sont indépendants  B

1

Par conséquent,   et   sont aussi indépendants.             


CHAPITRE XIII_PROBABILITES A DENSITE     

LOI EXPONENTIELLE  

Soit  une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre  .   On rappelle que pour tout  1.

0,

.

.

2. X suit une loi de durée de vie sans vieillissement :  3.

.

 

ESPERANCE ET VARIANCE DE LA LOI NORMALE STANDARD 

Si la variable aléatoire suit la loi normale standard, alors son espérance est 0 et sa variance est 1.       

INTERVALLE CENTRE EN 0 DE PROBABILITE DONNEE    Z est une variable aléatoire qui suit la loi  0,1 .  Etant donné un nombre  , 0 1, il existe un unique nombre strictement positif  que :    1 . 

         

tel 


DEMONSTRATIONS    

LOI EXPONENTIELLE  

Soit   une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre  .   On rappelle que pour tout  1

0,

. 1

1

..

  X suit une loi de durée de vie sans vieillissement :   .      lim

lim

.  

. Ainsi   est dérivable et 

Posons

.

.

Donc : 

.

Par conséquent,   0 . 

D’où :  Revenons à l’expression de l’espérance :  lim

lim

0

.

ESPERANCE ET VARIANCE DE LA LOI NORMALE STANDARD  ²

Posons

la fonction de Laplace‐Gauss (densité de la loi normale standard) 


. Or  est dérivable sur   donc : 

Vérifions que  ²

Soit 

.

. D’où : 

0. 0

lim

Donc : lim Soit 

lim

.

.

0. lim

lim

.

Par ailleurs,  lim

lim

0.

 

INTERVALLE CENTRE EN 0 DE PROBABILITE DONNEE 

Prérequis : Si Z est une variable aléatoire suivant la loi standard  est continue et strictement croissante. De plus, elle vérifie : 

0,1 , sa fonction de répartition   

0

1.

et lim

Soit 

0,1 . Démontrons qu’il existe un nombre strictement positif   1

Si 0

et un seul tel que 

. 1

1,

1.  

La fonction  est continue et strictement croissante sur  0, ∞ .  0, ∞

Son intervalle image 

, 1 contient  . 

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation  solution notée  Ainsi,  2 1    

1

.   1

1

possède une unique 

1

.

2

1


CHAPITRE XIV_STATISTIQUES – ESTIMATION       

INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE AU SEUIL 1

Pour tout nombre  Alors la probabilité           

0,1 , on pose   tend vers 1

;

lorsque   tend vers  ∞. 

.  

.


DEMONSTRATIONS  

INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE AU SEUIL 1

.

Soit   une variable aléatoire suivant la loi binomiale  Laplace :  lim

1

1

ce qui signifie  Finalement,   

.  

1 1

équivaut à :  en divisant par 

, donc d’après le théorème de Moivre‐

,  

Or équivaut à : 

,

0 : 

1

, avec   tend vers 1

.  lorsque   tend vers  ∞. 

ROC en Terminale S  
ROC en Terminale S  
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