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CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES  CHAPITRE 6  HOUPERT N.    Contenus :  ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Limites finies ou infinies d’une suite  Limites et comparaison  Opérations sur les limites  Comportement à l’infini d’une suite  ,   Suite majorée, minorée, bornée.    ¾ Algorithmique :  o Transcription d’un algorithme : math’x 32p118  o Lecture d’un algo : math’x 53p120  o Algorithme de dichotomie : math’x 65p122  o Boucle pour : math’x 109p127  o Algorithme pour une construction géométrique : math’x 108p126    ¾ AP :  o Emettre des conjectures avec une calculatrice : math’x p131  o Montrer la convergence d’une suite du type   : math’x p131  o Aborder un VRAI/FAUX  : math’x p132  o Approximation du nombre d’or  : math’x p133  o Approximation de   : math’x p133  o Approximation de   : math’x p134    ¾ QCM interactif    Objectifs :  ¾ Dans le cas d’une limite infinie, étant donnée une suite   croissante et un nombre réel A,  déterminer à l’aide d’un algo un rang à partir duquel   est supérieur à A.  ¾ Démontrer que si   et   sont  deux suites telles que :    à partir d’un certain rang ;  o ∞  ;  o lim Alors lim

¾ ¾ ¾ ¾

∞.

Etudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites.  Démontrer que la suite  , avec  1a pour limite  ∞.  Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique.  Utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées.


CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES  CHAPITRE 6  HOUPERT N.    Activité 1_Limite de suites Déterminer la limite éventuelle des suites numériques suivantes :  1

1.

 

2. 3.

7

4. 5.

3 5

6. 7.

8.

2 4  

9.

²

Activité 2_Limites de suites à l’aide du théorème de comparaison   1. Démontrer  l’inégalité associée à la suite.    Rappel :    2. En déduire la limite de la suite.    a. b. c. d.

                 et   |

sin 2 ²

|

équivaut à |

|

     et      |

              et    |

²

               et     

Activité 3_Limites de suites définies par récurrence 6 Soit 

une suite définie par : 

. 2

1. Représenter graphiquement les 5 premiers termes de la suite sans calculs.   Conjecturer alors la limite possible de la suite.   2. Posons  3.   est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.  Montrer que  3. En déduire une expression de   en fonction de n.  4. Montrer que la suite   est convergente et préciser sa limite.  ) est convergente et donner la limite de la suite  .  5. En déduire que la suite  ∑   , déterminer la valeur de  .  6. Pour tout  , on pose  En déduire lim . 


CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES  CHAPITRE 6  HOUPERT N.    Activité 4_Principe de récurrence et théorème de comparaison Soit 

1

une suite définie par : 

2

.

1

  pour tout 

1. Montrer par récurrence que  .  2. En déduire lim

.

Activité 5_Suite définie par récurrence et théorème de convergence Soit

0

une suite définie par : 

.  4

3

1. Montrer que 0 4 .   est strictement croissante.  2. Montrer que  3. Etudier la convergence de   et déterminer la limite de 

.

Activité 6_Suite définie par récurrence et trigonométrie Soit

2cos

une suite définie par : 

2

0;

 où 

1. Exprimer cos  2  en fonction de cos  ² .  2. Déterminer les trois premiers termes de la suite 

4. Soit

la suite définie par 

5. En déduire que la suite 

en fonction de  . 

,

3. Montrer par récurrence que pour tout 

.

2 cos

.

. Déterminer la limite de la suite 

.

est convergente et déterminer sa limite. 

Activité 7_Suites imbriquées On  définit deux suites 

et 

par :   1 4 1 3

On note 

la suite définie par 

3 2

1 12

.

1. Montrer que   est une suite à termes positifs.  On pourra procéder par récurrence.    est une suite géométrique, dont on précisera la raison.  2. Montrer que 


CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES  CHAPITRE 6  HOUPERT N.    3. 4. 5. 6. 7.

Etudier la convergence de la suite   et déterminer la limite éventuelle de   est croissante.  Montrer que la suite  Montrer que la suite   est décroissante.  .  En déduire que pour tout entier naturel n,    Montrer que les deux suites   et   sont convergentes. 

.

Nous admettrons dans la suite que les deux suites convergent vers la même limite  .  8. Posons   la suite définie par  9. Déterminer cette constante.  10. En déduire la valeur de  . 

3

8

. Montrer que 

est une suite constante.  

Activité 8_Suite et fractale

Construisons et étudions quelques propriétés du fameux triangle de Sierpinski.  1. Commencer à partir d'un triangle plein du plan. Le triangle canonique de Sierpinski se  construit à partir d'un triangle équilatéral de coté 1.  2.  Tracer les trois segments qui joignent deux à deux les milieux des côtés du triangle,  ce qui délimite 4 nouveaux triangles.  3. Enlever le petit triangle central. Il y a maintenant trois petits triangles qui se touchent  deux à deux par un sommet, dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles du  triangle de départ (obtenue par une homothétie de rapport …  ), et dont l'aire est  divisée par ....  4. Recommencer à la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus.  5. Compléter le tableau suivant :    Triangle de Sierpinski de  rang n 

Aire du triangle de  Sierpinski An

1

2

3

4

5


CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES  CHAPITRE 6  HOUPERT N.   

La fractale s'obtient après un nombre infini d'itérations. À chaque étape, l'aire de l'ensemble   diminue, elle est multipliée par  ……………………………….    6. En déduire la valeur de   en fonction de  .  7. Déterminer la limite de   lorsque   tend vers  ∞.  8. Où trouve‐t‐on ce fameux triangle de Sierpinski ?     • sur le logo de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées   • la triforce est le symbole gravé sur la main de Link, le héros de  ZELDA :   Il s'agit de trois triangles représentant chacun une force :   Courage, Force, et Sagesse. Ces trois mots correspondent à trois déesses :  Courage = Farore  Force = Din  Sagesse = Nayru 

• •

sur les veste de ski de la marque quicksilver ;  sur les vêtements de la marque le coq sportif (geogebra, insérer  une image) 

sur ce coquillage Cymbolia innexa REEVE qui arbore sur sa  coquille des motifs identiques en tout point avec le triangle  de Sierpinski que nous avons vu plus haut. 

                    9. Si on le construit à partir d'un triangle de Pascal avec 2  lignes et que l'on colore les nombres  pairs en blanc et les nombres impairs en noir, alors le résultat est une approximation du  triangle de Sierpinski. 


CONVEERGENCE DE SUITESS NUMER RIQUES  CHAPITR RE 6  HOUPER RT N.   

10. Remarque : Quel est le rapport entree le triangle d de Pascal et le chiffre 11 ? 

 Activité é 9_Approfo ondissementt sur la convvergence Soit une suite 

 d définie par : 

n.  pour tout enttier naturel n

Conjecturer les variation ns de la suite et son comp portement à l’infini.  1. C 2. On définit la O  fonction f teelle que   pression de ff en fonction de  .  Donner l’exp 3. Montrer quee l’équation  ossède exactement deux solutions rééelles dont on n   po d donnera des s valeurs app prochées.  4. Démontrer p par récurrence que la suiite   est sstrictement d décroissantee.  5. Donner un m minorant de    6. En déduire q que la suite   est convvergente.  7. Déterminer sa limite  .    é 10_De l’écriture décimale à l’éc criture ratio onnelle  Activité Considérrons le nomb bre 

.


CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES  CHAPITRE 6  HOUPERT N.    Le but de l’exercice est d’écrire p sous forme de fraction.  Soit la suite 

définie par : 

       

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.  2. Déterminer l’expression de p en fonction de   .   la suite donnant l’expression de p avec 3n décimales.  3. Soit  Montrer que 

.

4. En déduire une écriture fractionnaire de p.  5. A l’aide de la calculatrice, vérifier le résultat obtenu.    Activité 11_Comportement d’un processus itératif

1. Étudier la suite   λ          (1)    a. Calculer  en fonction de   et n.  b. On se donne par exemple  0,2.       2. Conjecturer le comportement des suites suivantes au voisinage de  ∞.    a. 1                                                 (2)  b.

                                           (3) 

(on se donnera par exemple   2 ; 3.     c. λ 1                                          (4)  (on prendra λ 2)     Que se passe‐t‐il si l’on change la valeur de  ?   Toutes ces suites peuvent s’écrire sous la forme .   Soit   une solution de l’équation . On l’appelle point fixe.  3. Vérifier que les limites trouvées à l’exercice précédent sont des points fixes.  Utilisez alors le théorème du point fixe pour démontrer ces conjectures.     


CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES  CHAPITRE 6  HOUPERT N.    Activité 12_Suite chaotique 

1. Reprendre la suite (4) pour les valeurs λ 3,20 ;  λ 3,45 ;  λ 4 pour des  valeurs de n allant au moins jusqu’à 20.  2. Pouvez‐vous au moins décrire ce qui se passe ?     3. Pour λ 4, comparer les suites obtenues avec  0,200000 et  0,200010      On peut tirer deux conclusions :   – Le point fixe n’est pas nécessairement limite de la suite, même si la limite l est  nécessairement point fixe.   – Dans une suite  , il est possible que la limite ne dépende pas de la  condition initiale, mais il est aussi possible que les valeurs successives de   en  dépendent très fortement. On dit alors que la suite est chaotique.  

Activité 13_e est irrationnel

On pose, pour tout         

:  1

!

!

!

1. Démontrer que les suites  commune est e. 

 et 

et 

1

!

!

!

!

1

!

!

b. Démontrer que 0

!

!

!

!

   

sont adjacentes. On admet que leur limite 

2. Supposons que e soit rationnel c'est‐à‐dire que  a. Démontrer que  1

!

,    1

!

!

1

!

,  

!

!

!

.

!

!

!

!

.

1 et que 

est un entier. 

c. Conclure.  3. Valeurs approchées de e  a. Vérifier, à l'aide d'une calculatrice, que 0

3. 10 . 

b. En déduire les valeurs approchées décimales à 10  par défaut et par excès  de e. 


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FE6_Convergence des suites  
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