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DERIVABILITE  CHAPITRE IV  HOUPERT N.     Contenus :  ¾ Fonctions sinus et cosinus  ¾ Calculs de dérivées : compléments    ¾ Algorithmique :  o Methode de Newton : math’x p46    ¾ AP :  o Etudier le signe d’une expression : math’x p60  o Signe d’une expression avec racine carrée : math’x p60  o Des problèmes de tangentes : math’x p61  o Fonctions continues à dérivées discontinues : math’x p61    ¾ QCM interactif    Objectifs :  ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Calculer les dérivées des fonctions   et    Calculer la dérivée d’une fonction   où   est dérivable  Connaitre les dérivées des fonctions sinus et cosinus   Connaitre quelques propriétés des fonctions sinus et cosinus  Connaitre les représentations graphiques de ces fonctions 


DERIVABILITE  CHAPITRE IV  HOUPERT N.    

Activité 1_Calculs de dérivées    1. On considère la fonction définie par  1 2 3 .  Calculer   de deux façons :  a. En développant le produit et en calculant la dérivée du polynôme obtenu ;  b. En dérivant directement en utilisant la dérivée d’un produit.    . 

2. Soit la fonction définie par  Calculer  .    3. Soit fonction définie sur  0, ∞  par 

a. Indiquer les limites de f aux bornes de son intervalle de définition.  b. Calculer f’ puis étudier son signe. Justifier l’existence d’un minimum que l’on  précisera.  c. Dresser le tableau de variations de f.    4. Soit la fonction g définie sur  1, ∞  par  1.  √ a. Sur quel intervalle peut‐on dériver la fonction g ? Calculer g’.  b. Déterminer les équations réduites des tangentes à la courbe représentative de la  fonction g aux points d’abscisses  0 et 3.    5. Soit les fonctions u et v définies par  2 1 et  cos sin .  On considère les fonctions  , .  a. Donner les expressions de   en fonction de  .  b. Dériver  .    6. Soit 

²

 et 

²

a. Calculer  ’. En déduire  ’ 1 .   en utilisant la factorisation du numérateur de g.  b. Déterminer lim c. Justifier  l’écriture 

, et retrouver le résultat du b. 

  Activité 2_TP math’x p136_Construction des courbes des fonction sinus et cosinus     


DERIVABILITE  CHAPITRE IV  HOUPERT N.     Activité 3_Comparer des cosinus et sinus à partir d’un cercle trigo   alors 

Si 0   Si   

0 alors 

Si   

 alors 

Si   

2  alors 

cos

cos

 

sin

sin

 

cos

cos

 

sin

sin

 

 

 

 

Activité 4_Résolution d’équations, inéquations trigonométriques Résoudre :  1. cos

 sur  – , √

2. cos

 sur  – ,

 

√2 sur  – ,

3. 2cos 2 4. 4cos 2

  5. sin

 

6. sin

 

 sur  0,2  

7. 2sin 4

2√3 sur  0,2  

Etudier sur  0,2  la fonction 

1 sur  0,2   √

√2 sur  0,2   √

8. sin 2

sin 2

sur  – ,

√2. 

Activité 5_Calcul de dérivées de fonctions trigonométriques 1. 2. 3. 4. 5.

cos

 

6. 7.

  cos   2 cos 2     sin 4

10. Sachant que 

3sin

cos sin

8. 9. 3

cos 2

sin 2

sin

  cos 4  

  ²

  6 ² , déterminer 

.    a. Etudier la parité de la fonction  .  b. Déterminer le domaine de définition de la fonction  .  c. Dresser le tableau de variations des fonctions 1, 4, 5, 6, 8, 9 sur l’intervalle  – , d. Représenter ces fonctions dans un repère adapté. 


DERIVABILITE  CHAPITRE IV  HOUPERT N.     Activité 6_Tangentes à une courbe  et A un point d’abscisse   de la courbe C 

Soit la fonction   définie sur   par  représentative de la fonction  . 

1. Préciser l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe représentative de  .  2. Démontrer que les tangentes à la courbe représentative de   au point A et au point A’  symétrique de A par rapport à l’origine O, sont parallèles.  3. Déterminer les équations des deux tangentes lorsque  1. 

Activité 7_Dérivabilité en un point Etudier la dérivabilité en 2 de chacune des 4 fonctions suivantes :  1. 2.   3. 4.

²

, ∞ 

2 √ 2 sin √ sin √ 2

2, ∞   2

2, ∞   2, ∞ . 

Dans chaque cas, on indiquera une équation de la tangente à la représentation graphique de la  fonction f au point d’abscisse 2.    Activité 8_Dérivées de fonctions composées Déterminer les intervalles sur lesquelles la fonction est dérivable puis calculer la dérivée.  1  

1. 2. 3. 4.

²

1  ²

   

  Activité 9_Exemple de non-dérivabilité 1. Montrer que la fonction  √ n’est pas dérivable en 0.    | ² 2 2. Soit la fonction f définie sur   par  3|.  a. EXPERIMENTATION  i. Obtenir sur l’écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction f. 


DERIVABILITE  CHAPITRE IV  HOUPERT N.     ii. Utiliser la représentation graphique de f pour dresser le tableau de variations  de f. On indiquera les limites de la fonction f en  ∞ et en   ∞.  iii. Obtenir sur le même écran le tracé de la parabole d’équation    2 3.   b. DEMONSTRATION  i. Indiquer l’expression de   sans le symbole valeur absolue.  ii. Justifier les limites de la fonction f en  ∞ et en   ∞ et sa dérivabilité sur les  trois intervalles ouverts mis en évidence à la question précédentes.  iii. Justifier les variations de f sur chacun des intervalles.    c. NOMBRES DERIVEES A DROITE ET A GAUCHE  i. On se propose d’’étudier la dérivabilité de f en ‐1.  Pour cela indiquer l’expression du quotient 

 sans utiliser le  1

symbole valeur absolue. (Vous considérerez   et lim .  ii. Déterminer lim

1) 

Note :   Ces deux limites sont des nombres réels.  La première des limites est le nombre dérivé à droite en  1  et la seconde est le nombre dérivé  gauche en  1.  Lorsque les nombres dérivés à droites et à gauche en un réel   sont égales, alors la fonction   est  dérivable en  .  iii. Que peut‐on en conclure pour la dérivabilité de  en  1 ?  iv. Etudier la dérivabilité de   en s’inspirant des questions i, ii et iii.  Quels sont les nombres dérivés à gauche et à droite en 3 ?  La fonction   est‐elle dérivable en 3 ?    Activité 10_Dérivées successives

On utilise la formule de Mac Laurin pour approcher une fonction   au voisinage de 0 :   !

!

!

²

!

  est une bonne approximation de   au voisinage de 0. 

L’expression ci‐dessus est un polynôme de degré n au voisinage de 0. Plus l’ordre est grand, plus la  précision est élevée.  1. Donner par exemple une approximation de la fonction  un polynôme de degré 1 puis 3 puis 5.   Construire sur la calculatrice les 4 courbes obtenues. 

sin

 au voisinage de 0 par 


DERIVABILITE  CHAPITRE IV  HOUPERT N.     Constater l’amélioration.    2. Donner des approximations de la fonction 

 au voisinage de 0 par des polynômes 

de degré 1 jusqu’à 4.  Construire sur la calculatrice les 4 courbes obtenues.  Constater l’amélioration.  

Activité 11_Application de la dérivation à un chapitre du cours adulé de physique : la cinématique   Galilée laisse tomber une boule du haut de la tour de sa ville natale, Pise, qui culmine à 55m.  Il fut l’un des premiers à étudier le mouvement et en particulier le mouvement d’un objet soumis à  son poids.  Suite à son expérience,  il constate effectivement ce que Newton constatera des années plus tard,  que le poids de la boule est proportionnel à l’accélération qu’elle subit. En d’autres termes :            (1), où   désigne le poids de la boule, m sa masse, et   l’accélération de la boule au  cours de sa chute.  1. Faire un schéma représentant l’expérience de Galilée .  2. L’expérience étant verticale, projetez la relation (1) selon  .  3. En déduire l’expression de   en fonction de  où   désigne l’accélération de la pesanteur.  Notons  4. 5. 6. 7.

 la hauteur de la boule et 

 la vitesse de la boule au moment  . 

Donner la valeur de  0 0 .   Quel est le rapport entre   ? entre  ? entre  A l’aide de (3), exprimer   en fonction de   et  0 .  En déduire   en fonction de   et de  0 . 

 ? 

Interprétation :  

8. 9.

10. 11.

Dans la suite, on prendra  10 . .  Des ouvriers travaillent justement sur la tour de Pise sur un échafaudage de 10m de haut,  au bout de combien  de temps l’ouvrier se prend‐il la boule sur la tête ?  Galilée a mis au point un système permettant de mesurer le temps que met la boule pour  tomber du haut jusqu’en bas de la tour. Son outil de mesure donne une valeur de 4  secondes. Quelle est la marge d’erreur de son outil ?  Que pouvez‐vous dire si Galilée choisit une boule plus grosse (ie de masse plus élevée) ?  <Cela correspond‐il à la réalité ? qu’as‐omis de considérer Galilée dans ses calculs ? 


DERIVABILITE  CHAPITRE IV  HOUPERT N.     Activité 12_Dans la tête de Michalak Le segment [AB] représente la ligne d’essai d’un terrain de rugby.  Les poteaux de but sont représentés par les points P et Q. On sait que  5,6 .   Un essai a été marqué en E, à gauche du poteau E et à 10  de celui‐ci.    La transformation consiste à taper au pied, à partir d’un point T au choix sur la perpendiculaire à la  ligne d’essai passant par E, et tenter de mettre le ballon entre les poteaux.    Déterminer la position optimale et l’angle que doit choisir Michalak pour avoir un maximum de  réussite.    Vous vous aiderez du logiciel geogebra.      Activité 13_Apprendre à chercher Dans  un repère orthonormal  , , , M est le point de coordonnées  , 0  avec 0 3, N est le  point de coordonnées  0, avec  0, tel que  3 et J le point du segment [MN] tel que  2.  Déterminer et tracer le lieu L de points J lorsque m décrit l’intervalle  0,3 .  2

1. Prouver que 3 Montrer que  2. Prouver que 

9 2 1

². Déduisez‐en les coordonnées  ,

 de J en fonction de m. 

² et donc que J appartient à la courbe représentative C de f définie 

sur [0,1] par  2 1 ².  3. Prouver que  0,1 .  Quel est donc le lieu de J ?  Etudier les variations de  et la dérivabilité de  au point 1. Tracer L et C.                 


DERIVABILITE  CHAPITRE IV  HOUPERT N.     Activité 14_Construction de la fonction exponentielle Des mesures en laboratoire ont montré que la vitesse d’augmentation du nombre de bactéries dans  un bouillon de culture, est égale, à chaque instant au nombre de bactéries présentes dans le bouillon  à cet instant.  Notons P la fonction qui à chaque instant t, exprimé en heures, associe le nombre P(t) de bactéries,  exprimé en centaines. On suppose que cette fonction P est dérivable sur  0, ∞  et qu’au début de  l’expérience, il y a une centaine de bactéries dans le bouillon.  0

1. Compléter le système différentiel (E) suivant : 

 

On souhaite à présent avoir une représentation graphique de cette fonction P.  L’idée est d’utiliser l’approximation affine suivante :  pas de calcul, c’est‐à‐dire plus h est petit, plus l’approximation sera précise. 

, où h correspond au 

INTRODUCTION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE 

a  P(a)   

2. Posons  0,1.  Montrer que P vérifie :  1 , pour tout  0, ∞ .    3. A l’aide de la relation précédente, compléter le tableau suivant :     0  0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  0,6  0,7  0,8  1                 

0,9   

4. A l’aide d’un tableur, construire la courbe correspondant au nuage de point précédent.  5. Affiner votre pas en choisissant  0,01.  6. Sur votre feuille de tableur regrouper sur un même graphique les courbes des fonctions P  avec un pas de 0,1, et 0,01 ainsi que la courbe de la fonction  .  Que constatez‐vous ?  On note dès lors exponentielle la fonction P décrite ci‐dessus.  CALCUL DE 

1  

7. Montrer à l’aide de 2. que :  En déduire  0

1 1

 pour tout n 

  1

9. En utilisant le tableur,  donner une valeur approchée de 

1 . 

8. En choisissant 

, montrer que exp 1

*. 

1   


FE4_Derivabilite