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LIMITES ET CONTINUITE DES FONCTIONS  CHAPITRE 3  HOUPERT N.    Contenus :  ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Limite finie ou infinie d’une fonction à l’infini  Limite infinie d’une fonction en un point  Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions  Limites et comparaison  Asymptote parallèle à l’un des axes de coordonnées  Continuité sur un intervalle  Théorème des valeurs intermédiaires    ¾ Algorithmique :  o Manipulation de boucle tant que : transmath 58p70 declic p53, 3p64, 94p78, 110p83    ¾ AP : math’x p195  o Interpréter graphiquement des limites  o Equations avec des paramètres     ¾ QCM interactif   

Objectifs :  ¾ Déterminer la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux  fonctions  ¾ Déterminer les limites par minoration, majoration, et encadrement  ¾ Interpréter graphiquement les limites obtenues  ¾ Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où la fonction est strictement  monotone.   


LIMITES ET CONTINUITE DES FONCTIONS  CHAPITRE 3  HOUPERT N.   

Activité 1_Limite d’une fonction rationnelle ²

Soit  la fonction définie par 

sur 

∞, 2

2, ∞ .

1. Déterminer   lim   et  lim .  2. A l’aide d’une calculatrice, conjecturer le comportement de la fonction   au voisinage de 2.  3. a.   Etudier  lim  et  lim .  b.   Que peut‐on en déduire pour la représentation graphique de la fonction  .    Activité 2_Domaine de définition et limites aux bornes  Vous déterminerez le domaine de définition des fonctions suivantes puis vous calculerez TOUTES les  limites aux bornes de leur ensemble de définition.  1. 2. 3.

²

4.

²

5.

²

6.

²

²

Activité 3_Asymptote oblique Soit f la fonction définie par 

²

.

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction  .  2. Etudier les limites de f en  ∞ et  ∞.  3. Montrer qu’il existe trois réels a, b, c tels que  4. Déterminer lim donnerez l’équation.  5. En étudiant le signe de  son asymptote. 

.

. En déduire l’existence d’une asymptote oblique dont vous  , vous déterminerez la position de la courbe par rapport à 

Activité 4_Limites de fonctions radicales Soit f une fonction définie par 

²

²

2

2 .

1. Déterminer l’ensemble de définition de f. 


LIMITES ET CONTINUITE DES FONCTIONS  CHAPITRE 3  HOUPERT N.    2. Donner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.  ²

Répondre aux mêmes questions avec la fonction 

2

.

Activité 5_Attention à la calculatrice Soit f la fonction définie par 

²

 . 

1. Construire la courbe de la fonction f sur votre calculatrice avec une fenêtre d’affichage de ‐10  à 10 sur les abscisses et de ‐1 à 10 sur les ordonnées.  2. Conjecturer les limites de f en  ∞ et  ∞ au vu de l’écran de calculatrice.  3. Par le calcul, déterminer les limites en  ∞ et  ∞.  Activité 6_Continuité de fonctions 2

7

3

1

Soit f la fonction définie sur   par  3

3 15

3

1. f est –elle continue sur  ∞, 3  ? sur  3, ∞  ?  2. f est‐elle continue en 3 ?  Activité 7_Continuité de fonctions √

Soit f la fonction définie sur   par 

0

0.

Quelle valeur faut‐il donner à m pour que f soit continue ? Activité 8_Continuité de fonctions Soit   la fonction définie sur [0,2] par 

.

1. Compléter :  … 0,1 … 1,2   … 2 2. Représenter graphiquement la courbe représentative de f.  3. f est‐elle continue sur [0,2] ?  Soit f la fonction définie sur [0,2] par 

.

1. Compléter :  … 0,1 … 1,2   … 2 2. Représenter graphiquement la courbe représentative de f. 


LIMITES ET CONTINUITE DES FONCTIONS  CHAPITRE 3  HOUPERT N.    3.

est‐elle continue sur [0,2] ? 

Soit  la fonction définie sur  0,2  par 

².

4. Compléter :  … … … 5. f est‐elle continue sur [0,2] ? 

0,1 1,2 2

Activité 9_Image d’intervalles Déterminer 

dans les cas suivants :

1. Soit  la fonction f définie sur 

0,3 par 

2 1

2. Soit  la fonction f définie sur   par 

²

3.

.

Activité 10_Théorème des valeurs intermédiaires ²

Soit f la fonction définie sur   par 

1.

1. Démontrer que l’équation  0 possède une unique solution sur l’intervalle  0, ∞ .  Vous noterez α cette solution.  2. Donner un encadrement de α à 10‐2 près.  3. En remarquant que  0, donner une valeur exacte de α .   Soit f la fonction définie sur 

par

.

²

1. Démontrer que l’équation  1 possède une unique solution sur l’intervalle  0, ∞ .  Vous noterez α cette solution.  2. Donner un encadrement de α à 10‐2 près.  3. Donner une valeur exacte de α .     Activité 11_Théorème de comparaison Soit f la fonction définie par 

5

.

1. Déterminer l’ensemble de définition de  .  2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 


LIMITES ET CONTINUITE DES FONCTIONS  CHAPITRE 3  HOUPERT N.    Déterminer les limites suivantes :  3. lim 4. lim

²

cos

5. lim

6. lim

Activité 12_Une fonction particulière Un fabricant de gommes expédie ses gommes dans de petits cartons d'emballage rectangulaires de  périmètre 7 cm, avec une largeur   et une longueur  .  Sachant que chaque gomme est posée sur sa base qui est un carré de côté 1 cm, et que les gommes   de gommes  sont rangées en une seule couche, représenter la fonction   donnant le nombre  que peut contenir un carton en fonction de la largeur  .    Activité 13_Construction de √2 par origami 92p57 math’x   

FE3_Limites et continuite  
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