Page 1

N

.

1. Γενικά - Ιστορικά στοιχεία Η ταχύτητα ενός σώματος, στη γενική περίπτωση, αλλάζει κατά τη διάρκεια της κίνησής του. Πως θα μπορούσαμε να περιγράψουμε αυτή τη μεταβολή της ταχύτητας, δηλαδή τη διανυσματική ποσότητα Δυ ; Ποια είναι η σημασία της; Μια σκέψη ήταν να συνδεθεί αυτή η μεταβολή με τη μετατόπιση. Από την εποχή του Γαλιλαίου, μελετούσαν το μέγεθος Δυ μ’ αυτόν τον τρόπο: συσχέτιζαν δηλαδή το πόσο μεταβάλλεται η ταχύτητα ενός σώματος σε σχέση με το πόσο είχε μετατοπιστεί στο ίδιο χρονικό διάστημα. Ο ίδιος ο Γαλιλαίος όμως, κατά τη διάρκεια της μελέτης της ελεύθερης πτώσης διαφόρων σωμάτων, παρατήρησε ότι ο λόγος της Δυ προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt ήταν ο ίδιος για όλα τα σώματα, ενώ ο λόγος της Δυ προς τη μετατόπιση Δx δεν παρέμενε σταθερός. Αυτή η παρατήρηση τον οδήγησε στην έννοια του «ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας», δηλαδή στην έννοια της επιτάχυνσης, όπως την αντιλαμβανόμαστε σήμερα. 2. Μέση διανυσματική επιτάχυνση Ορίζουμε ως μέση διανυσματική επιτάχυνση α του κινητού, στη διάρκεια ενός συγκεκριμένου χρονικού διαστήματος Δt το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που δίνεται από το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας Δυ του κινητού στο δεδομένο χρονικό διάστημα προς το χρονικό διάστημα αυτό.

α=

Δυ Μέση διανυσματική επιτάχυνση Δt

Λίγο πιο «συμπυκνωμένα» θα μπορούσαμε να πούμε ότι: Επιτάχυνση ονομάζεται ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας Από τον ορισμό της α φαίνεται ότι:  Δυ  Μέτρο : α   Δt  Μέση διανυσματική επιτάχυνση α  Κατεύθυνση :του Δυ    Μονάδα (S.I.) 1m / s2  1ms2 


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

38

ν

Παράδειγμα

(tαρχ)

(tτελ)

0 Έστω ότι ένα κινητό τη χρονική στιγμή tαρχ έχει ταχύτητα υαρχ και τη χρονική στιγμή tτελ έχει ταχύτητα υτελ. Έτσι, θα είναι: Δυ υτελ  υαρχ (1) α  Δt tτελ  tαρχ Αριθμητική εφαρμογή: Έστω υαρχ = 2m/s, tαρχ = 4,5s, υτελ = 7m/s και tτελ = 12,5s. Με αντικατάσταση στην τελευταία σχέση θα είναι: 7m / s  2m / s 5m / s (1)  α  α  α  0,625m / s2 ή α  6,25  101m / s2 12,5s  4,5s 8s Παρατηρήστε ότι α > 0, αφού Δυ > 0. Άρα, το κινητό επιταχύνεται και επομένως η επιτάχυνσή του έχει θετική αλγεβρική τιμή. Αν οι υπολογισμοί μας οδηγούσαν στο συμπέρασμα Δυ < 0 θα ήταν και α < 0, δηλαδή το κινητό θα επιβραδυνόταν.

3. Στιγμιαία επιτάχυνση Ορίζουμε ως στιγμιαία επιτάχυνση ή απλά επιτάχυνση ενός κινητού, το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που δίνεται από τη σχέση

α=

dυ dt

Στιγμιαία επιτάχυνση1

όπου dυ η (στοιχειώδης) μεταβολή της ταχύτητας του κινητού στη διάρκεια της (στοιχειώδους) χρονικής διάρκειας dt . Μονάδα στιγμιαίας επιτάχυνσης στο S.I. είναι το 1m/s2. Να σημειώσουμε στο σημείο αυτό ότι στην Α΄ Λυκείου θα μελετήσουμε την πιο απλή περίπτωση επιταχυνόμενων (και επιβραδυνόμενων) κινήσεων, κατά τις οποίες η μέση διανυσματική επιτάχυνση και η στιγμιαία επιτάχυνση ταυτίζονται. Γι’ αυτό και χρησιμοποιούμε το ίδιο σύμβολο α .

4. Ερωτήσεις κατανόησης 1. H έκφραση 1m/s2 δηλώνει ότι: α. H απόσταση του κινητού μεταβάλλεται κατά 1m σε κάθε ένα δευτερόλεπτο. β. Το διάστημα του κινητού μεταβάλλεται κατά 1m σε κάθε ένα δευτερόλε1

Δυ dυ  dt Δt 0 Δt

Πιο σωστά, ορίζουμε: α  όριο

Σελίδα 2 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

πτο. γ. H ταχύτητα του κινητού μεταβάλλεται κατά 1m/s σε κάθε ένα δευτερόλεπτο. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 2. H ταχύτητα ενός κινητού που κάνει ευθύγραμμη κίνηση ελαττώνεται μέχρι να μηδενιστεί. Μετά το κινητό συνεχίζει την κίνησή του σε αντίθετη κατεύθυνση. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λάθος προτάσεις. α. Το διάστημα που διανύει το κινητό συνέχεια αυξάνεται. β. Το διάστημα που διανύει το κινητό αυξάνεται και όταν γυρίσει προς τα πίσω αρχίζει να μειώνεται. γ. H μετατόπιση του κινητού συνέχεια αυξάνεται. 3. Ποιο από τα διαγράμματα της εικόνας ανταποκρίνεται σε ευθύγραμμη επιταχυνόμενη κίνηση; α α=0

α Α

α υ

υ Β

υ

υ Γ

Δ

4. Στην εικόνα φαίνονται τα διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου για δύο δρομείς που κινούνται ευθύγραμμα. υ Με ποια από τις παρακάτω προτάσεις συμφωνείτε; B α. Οι δύο δρομείς κινούνται με την ίδια επιτάχυνση. β. Οι δύο δρομείς κινούνται με την ίδια ταχύτητα. φ γ. Οι δύο δρομείς κινούνται ο ένας δίπλα στον άλΑ λο. φ δ. Στον ίδιο χρόνο διανύουν ίσες αποστάσεις. t 5. O οδηγός ενός αυτοκινήτου φρενάρει όταν βλέπει να ανάβει το πορτοκαλί φως στο σηματοδότη ενός δρόμου. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; α. H επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν αντίθετη φορά. β. H επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν την ίδια φορά. γ. H επιτάχυνση έχει ίδια φορά με τη μεταβολή της ταχύτητας. δ. H επιτάχυνση έχει αντίθετη φορά με τη μεταβολή της ταχύτητας. 6. Ένα σωματίδιο κινείται πάνω στον άξονα x΄Ox. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε... α. αν σε μια στιγμή έχει μηδενική ταχύτητα, μπορεί να έχει μη μηδενική επιτάχυνση. β. αν η μέση αριθμητική του ταχύτητα είναι μηδέν θα είναι μηδέν και η μέση διανυσματική του ταχύτητα. γ. με σταθερή ταχύτητα πρέπει να έχει μηδενική επιτάχυνση, δ. με θετική τιμή επιτάχυνσης πρέπει να κινείται προς τα θετικά του x΄Ox.

Σελίδα 3 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

38

ν

7. Στον πίνακα φαίνονται οι χρονικές στιγμές και οι αντίστοιχες θέσεις ενός υλικού σημείου που κινείται ευθύγραμμα.

Χρόνος t (s)

Θέση x (m)

0,0

0

2,0

12

4,0

36

6,0

48

8,0

96

10,0

142

12,0

190

14,0

226

16,0

250

18,0

262

Ταχύτητα (m/s)

Επιτάχυνση (m/s2)

6,0 +3,0 12,0

α. Συμπληρώστε τον πίνακα με τις αλγεβρικές τιμές της μέσης διανυσματικής ταχύτητας και μέσης επιτάχυνσης. β. Χαράξτε τις γραφικές παραστάσεις θέσης-χρόνου, ταχύτητας-χρόνου και επιτάχυνσης-χρόνου. γ. Στη γραφική παράσταση θέσης-χρόνου, επιλέξτε ένα σημείο μεταξύ 0s και 4s και ένα σημείο μεταξύ 6s και 10s. Φέρτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στα σημεία αυτά. δ. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: 1. Συμφωνούν οι αλγεβρικές τιμές των μέσων διανυσματικών ταχυτήτων που υπολογίσατε συμπληρώνοντας τον πίνακα με τις στιγμιαίες ταχύτητες που προκύπτουν από τις εφαπτόμενες που χαράξατε; 2. Χωρίστε τις γραφικές παραστάσεις σε τρία τμήματα: (α) από 0s έως 8s, (β) από 8s έως 12s και (γ) από 12s έως 20s.  Τι παρατηρείτε για τις μορφές των γραφικών παραστάσεων (καμπύλες, πλάγιες ευθείες, οριζόντιες ευθείες);  Τι παρατηρείτε για τα πρόσημα των αριθμητικών τιμών (θετικά, αρνητικά, μηδέν);  Κάτω από ποιες προϋποθέσεις το υλικό σημείο μπορεί να κινείται αλλά να έχει μηδενική επιτάχυνση;  Κάτω από ποιες προϋποθέσεις το πρόσημο της ταχύτητας είναι το ίδιο με το πρόσημο της επιτάχυνσης; Σελίδα 4 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

38

ν

Ποιο γενικό συμπέρασμα μπορείτε να εξάγετε στις περιπτώσεις κατά τις οποίες το πρόσημο της ταχύτητας είναι αντίθετο από το πρόσημο της επιτάχυνσης;

Σελίδα 5 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση Εξίσωση ταχύτητας στην Ε.Ο.Μ.Κ. 5. Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται η κίνηση κατά την οποία α = σταθ . Πιο συγκεκριμένα, θα ισχύει: α  0  Δυ  0  υτελ  υαρχ  επιταχυνόμενη κίνηση  Δυ α  α  0  Δυ  0  υτελ  υαρχ  επιβραδυνόμενη κίνηση Δt  α  0  Δυ  0  υτελ  υαρχ  υ  σταθ (Ε.Ο.Κ.) ή υ  0

6. Εξίσωση ταχύτητας - χρόνου στην Ε.Ο.Μ.Κ. Ας θεωρήσουμε ότι ένα υλικό σημείο, το οποίο θα το αποκαλούμε «σώμα» ή «κινητό», ξεκινά τη χρονική στιγμή t0 έχοντας ταχύτητα υ0 και κινούμενο ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση, αναπτύσσει ταχύτητα υ τη χρονική στιγμή t. Για την ταχύτητα υ ισχύουν τα εξής: Δυ Ε.Ο.Μ.Κ.: α   Δυ  α  Δt  υ  υ0  α  t  t0   Δt

υ = υ0 + α  t - t0 

Εξίσωση ταχύτητας στην Ε.Ο.Μ.Κ.

Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα του κινητού μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο. Αυτό φαίνεται από το ότι η ταχύτητα είναι ανάλογη της πρώτης δύναμης του χρόνου, κάτι που μαθηματικά μας παραπέμπει στην εξίσωση ευθείας, δηλ. την y = αx+β. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι στην Ε.Ο.Μ.Κ. η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο είναι ευθεία. Η γραφική αυτή παράσταση φαίνεται παρακάτω: υ

υ

α>0

υ

α<0

υ0 Δυ > 0

θ

υ0 t0

Δt

θ

υ

t

t

t0

Δt

t

Σχήμα 2

Σχήμα 1

Σημαντικές παρατηρήσεις από τις γραφικές παραστάσεις υ(t):

Σελίδα 6 από 26

Δυ < 0

t


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

α. Θετική κλίση της ευθείας (σχήμα 1) σημαίνει ότι Δυ > 0 και α > 0, δηλαδή το κινητό επιταχύνεται (αυξάνει την αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του). Αντίστοιχα, αρνητική κλίση της ευθείας (σχήμα 2) σημαίνει ότι Δυ < 0 και α < 0, δηλαδή το κινητό επιβραδύνεται (μειώνει την αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του). β. Η κλίση (ή αλλιώς ο συντελεστής διεύθυνσης), δηλαδή η εφθ ισούται αριθμητικά με την αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης του κινητού. Κι αυτό διότι υ  υ0 Δυ απέναντι κάθετη εφθ     εφθ  α προσκείμενη κάθετη t  t0 Δt Προσέξτε ότι ακριβώς τα ίδια έχουμε να παρατηρήσουμε και για την περίπτωση κατά την οποία είναι α < 0.

7. Εξίσωση επιτάχυνσης - χρόνου στην Ε.Ο.Μ.Κ. Η επιτάχυνση στην Ε.Ο.Μ.Κ. είναι σταθερή. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο είναι ευθεία παράλληλη με τον άξονα των χρόνων. Προφανώς, όταν γνωρίζουμε τα χρονικά όρια της κίνησης, δηλαδή για tαρχ  t  tτελ η γραφική παράσταση θα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο με τον άξονα των χρόνων.

α

α

α>0

tαρχ

tτελ

0

α

α<0 x

α 0

t

tαρχ

tτελ

t Σχήμα 2

Σχήμα 1

Σελίδα 7 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Σημαντική παρατήρηση από τη γραφική παράσταση α(t): Το εμβαδό του χωρίου που προσδιορίζεται από τον (οριζόντιο) άξονα των χρόνων, τη γραφική παράσταση α(t) και τις δύο κάθετες στον άξονα των χρόνων που αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές της έναρξης και της λήξης της κίνησης ισούται αριθμητικά με το μέτρο της μεταβολής ταχύτητας του κινητού. Πιο συγκεκριμένα: α

α

α>0

α

Εμβ = α·Δt ή Εμβ =

0

tαρχ

tτελ

t

tαρχ

tτελ

t

0 α

α<0 x Εμβ = α·Δt ή Εμβ =

Ερωτήσεις - Ασκήσεις 1. Αυτοκίνητο ξεκινά με αρχική ταχύτητα υ0 = 8m/s, κινείται με σταθερή επιτάχυνση και σε χρόνο 16s διπλασιάζει την ταχύτητά του. α. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του αυτοκινήτου. γ. Να κατασκευάσετε τα διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου και επιτάχυνσης - χρόνου. δ. Να υπολογίσετε (με χρήση των σχέσεων που μάθατε για την Ε.Ο.Μ.Κ. αλλά και από τα διαγράμματα) σε πόσο χρόνο το αυτοκίνητο θα αναπτύξει ταχύτητα 32m/s. υ 2. Ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα. Στο σχήμα φαίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με τον χρόνο. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 0 t1 t2 t3 t α. Από 0 μέχρι t1 το σώμα επιταχύνεται, δηλαδή αυξάνει την ταχύτητά του. β. Από t1 μέχρι t2 το σώμα ηρεμεί. γ. Το σώμα τη χρονική στιγμή t3 έχει επιστρέψει στην αρχική του θέση. δ. Το μέτρο της επιτάχυνσής του κατά το χρονικό διάστημα t2 μέχρι t3 είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο στο χρονικό διάστημα 0 μέχρι t1. ε. Τη χρονική στιγμή t3 το κινητό σίγουρα ακινητοποιείται. στ. Η κίνηση γίνεται σίγουρα στο θετικό ημιάξονα Οx.

Σελίδα 8 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Φύλλο εργασίας Επιτάχυνση A. Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο και στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τρεις διαδοχικές θέσεις του Α, Β και Γ. Στο σχήμα δίνονται τα μέτρα των ταχυτήτων του αυτοκινήτου καθώς και ένα χρονόμετρο που μετρά δευτερόλεπτα.

12m/s

4m/s

Α

6m/s

Γ

B

Θεωρούμε την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική. 1) Για την κίνηση από την θέση Α μέχρι την θέση Β, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, με τις αλγεβρικές τιμές των μεγεθών που αναγράφονται, ενώ στις τρεις τελευταίες στήλες να σχεδιάστε τα διανύσματα που αναφέρονται. υαρχ (m/s) υτελ (m/s) Δυ (m/s) Δt (s) α (m/s2

υ

Δυ

a

i) Η επιτάχυνση που υπολογίσατε παραπάνω είναι (μέση, στιγμιαία)…………… ii) Η κίνηση χαρακτηρίζεται ως …………..………….. (επιταχυνόμενη, επιβραδυνόμενη). 2) Για την κίνηση από την θέση Β μέχρι την θέση Γ, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, με τις αλγεβρικές τιμές των μεγεθών που αναγράφονται, ενώ στις τρεις τελευταίες στήλες να σχεδιάστε τα διανύσματα που αναφέρονται. υαρχ (m/s) υτελ (m/s) Δυ (m/s) Δt (s) α (m/s

2

υ

Δυ

a

i) Η κίνηση χαρακτηρίζεται ως …………..………….. (επιταχυνόμενη, επιβραδυνόμενη).

Σελίδα 9 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

B. Το ίδιο αυτοκίνητο κινείται τώρα προς τα αριστερά (εμείς συνεχίζουμε να θεωρούμε θετική φορά, αυτήν προς τα δεξιά).

5m/s

11m/s

Γ

7m/s

Α

B

3) Για την κίνηση από την θέση Α μέχρι την θέση Β, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, με τις αλγεβρικές τιμές των μεγεθών που αναγράφονται, ενώ στις τρεις τελευταίες στήλες να σχεδιάστε τα διανύσματα που αναφέρονται. υαρχ (m/s) υτελ (m/s) Δυ (m/s) Δt (s) α (m/s2

υ

Δυ

a

i) Η επιτάχυνση που υπολογίσατε παραπάνω είναι (μέση, στιγμιαία)…………… ii) Η κίνηση χαρακτηρίζεται ως …………..………….. (επιταχυνόμενη, επιβραδυνόμενη). 4) Για την κίνηση από την θέση Β μέχρι την θέση Γ, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, με τις αλγεβρικές τιμές των μεγεθών που αναγράφονται, ενώ στις τρεις τελευταίες στήλες να σχεδιάστε ξανά τα διανύσματα που αναφέρονται. υαρχ (m/s) υτελ (m/s) Δυ (m/s) Δt (s) α (m/s

2

υ

Δυ

a

i) Η κίνηση χαρακτηρίζεται ως …………..………….. (επιταχυνόμενη, επιβραδυνόμενη). 5) Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες. i) Η επιτάχυνση έχει πάντα την κατεύθυνση της ταχύτητας. ii) Η επιτάχυνση έχει πάντα την κατεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας. iii) Θετική επιτάχυνση, σημαίνει ότι το διάνυσμά της κατευθύνεται προς την θετική φορά του άξονα. iv) Θετική επιτάχυνση σημαίνει ότι η κίνηση του αυτοκινήτου είναι επιταχυνόμενη. v) Αρνητική επιτάχυνση σημαίνει ότι το αυτοκίνητο επιβραδύνεται. 6) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν την ίδια φορά, τότε το μέτρο της ταχύτητας …………………. και η κίνηση χαρακτηρίζεται ως ……………………. Σελίδα 10 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

38

ν

ii) Όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν αντίθετη φορά, τότε το μέτρο της ταχύτητας ……. ……..……. και η κίνηση χαρακτηρίζεται ως …………………….

Σελίδα 11 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Εξίσωση θέσης στην Ε.Ο.Μ.Κ. Ένα πολύ χρήσιμο χαρακτηριστικό του διαγράμματος ταχύτητας - χρόνου (σ’ οποιαδήποτε κίνηση, όχι μόνο στην Ε.Ο.Μ.Κ.) είναι ότι το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση ισούται αριθμητικά με τη μετατόπιση του σώματος μέσα σ’ ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης είναι πολύπλοκη και δε θα μας απασχολήσει σ’ αυτή τη φάση. Ας δούμε τα παρακάτω διαγράμματα t υ

υ0

-υ0

υ0

υ

0

t Σχήμα (α)

0

t Σχήμα (β)

υ0 t1

t2

0 Σχήμα (γ)

Σχήμα (δ)

Θα πρέπει να μπορείτε να αναγνωρίσετε ότι: 

Σχήμα (α)

Κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση με θετική επιτάχυνση

Σχήμα (β)

Κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση με αρνητική επιτάχυνση

Σχήμα (γ)

Κίνηση προς την αρνητική κατεύθυνση με αρνητική επιτάχυνση

Σχήμα (δ)

Κίνηση με αρνητική επιτάχυνση και αλλαγή κατεύθυνσης τη χρονική στιγμή t1: Για 0  t  t1 το σώμα κινείται στο θετικό ημιάξονα Οx και για t1  t  t2 προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Αν δεν μπορείτε να αναγνωρίσετε τα χαρακτηριστικά των παραπάνω κινήσεων, μια επανάληψη στο φυλλάδιο 04 είναι επιβεβλημένη!!! Ας προχωρήσουμε στον προσδιορισμό της εξίσωσης θέσης στην Ε.Ο.Μ.Κ....

Σελίδα 12 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Εξίσωση θέσης στην Ε.Ο.Μ.Κ. Έστω λοιπόν ότι ένα σώμα ξεκινά την t0 = 0 να κινείται ευθύγραμμα πάνω στον x΄Οx με σταθερή επιτάχυνση α , έχοντας αρχική ταχύτητα υ0. Έχουμε ήδη βρει τη σχέση που συνδέει την αρχική και την τελική ταχύτητα: υ = υ0 + αt

(1)

Η σχέση αυτή απεικονίζεται γραφικά παρακάτω:

Β

υ

υ - υ0 Α υ0

Γ Δ

Ο

t

Το εμβαδό μπορεί να υπολογιστεί από το άθροισμα των επιμέρους γραμμοσκιασμένων εμβαδών, δηλαδή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου (ΑΓΔΟ) και του τριγώνου (ΑΒΓ) ή του τραπεζίου (ΑΒΔΟ). Ας πάμε με τον πρώτο τρόπο: Εμβ Δx Εμβ   ΑΒΓ    ΑΓΔΟ    Δx 

Όμως

1  υ  υ0  αt

Έτσι

 3   Δx  2 

1 υ  υ0  t  υ0t 2

(2) (3)

1 2 αt  υ0t ή τελικά 2

1 Δx = υ0 t + αt2 2

(4)

Παρατηρήσεις t0 0 1. Στη σχέση (4) έχουμε δεχτεί ότι Δt  t  t0   Δt  t . Αν όμως είναι t0  0 η τελευταία σχέση γίνεται: 1 2 Δx  υ0  Δt   α  Δt  2 x0 0 2. Ακόμη, αν x0 = 0 τότε Δx  x  x0   Δx  x . Αν όμως είναι x0  0 η τελευταία σχέση γίνεται: 1 1 2 2 x  x0  υ0  t  t0   α  t  t0   x  x0  υ0  t  t0   α  t  t0  2 2

Η παραπάνω σχέση, που είναι η εξίσωση θέσης στην Ε.Ο.Μ.Κ. στην πλέον ανεπτυγμένη της μορφή, είναι γεγονός ότι δεν συναντιέται πολύ συχνά.

Σελίδα 13 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

3. Εφαρμογή στην τάξη: Να δείξετε ότι στην Ε.Ο.Μ.Κ. υ2  υ20  2αx 1 Η γραφική παράσταση της x = υ0 t + αt2 2 Αφού η θέση (x: εξαρτημένη μεταβλητή) είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου t2 (t: ανεξάρτητη μεταβλητή), καταλαβαίνουμε ότι η γραφική παράσταση x - t θα είναι παραβολή η οποία για t = 0 μας δίνει x = 0, δηλαδή διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Έτσι:

x

Ο

t

Ας δούμε ένα αριθμητικό παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι η κίνηση ενός αθλητή αντιστοιχεί – κατά προσέγγιση - σε μία ευ2 θύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, με επιτάχυνση α=2m/s . Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιμές για τη θέση του αθλητή για κάθε ένα δευτερόλεπτο. Χρόνος (s)

Θέση (m)

0

0

1

1

2

4

3

9

4

16

5

25

6

36

7

49

8

64

9

81

10

100

x(m) 100

64

36

16 4 0

2

Σελίδα 14 από 26

4

6

8

10

t(s)


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

38

ν

Ερωτήσεις 1. Πότε μία ευθύγραμμη κίνηση λέγεται ομαλά μεταβαλλόμενη και πότε χαρακτηρίζεται ως επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη; 2. Να γραφούν οι εξισώσεις και οι νόμοι για κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α. στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα. β. στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα. 3. Να αποδειχτεί η εξίσωση της θέσης στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με τη βοήθεια του διαγράμματος υ-t. Ασκήσεις 1. Κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση 2 μέτρου 2 m/s και αρχική ταχύτητα 10m/s. Να βρεθούν: α. Το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο διπλασιάζεται η ταχύτητά του και β. η μετατόπιση του κινητού σε αυτό το χρονικό διάστημα. 2

2. Αυτοκίνητο επιταχύνεται από την ηρεμία με επιτάχυνση 2m/s και κινείται σε ευθεία γραμμή για 20s. Στη συνέχεια κινείται με την ταχύτητα που απέκτησε ευθύγραμμα για 40s. α. Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα του αυτοκινήτου. β. Να γίνουν τα διαγράμματα επιτάχυνσης- χρόνου, ταχύτητας – χρόνου και θέσης – χρόνου του αυτοκινήτου για όλη την κίνηση. γ. Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για όλη την κίνηση. 3. Μία μοτοσυκλέτα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με ταχύτητα 18km/h για χρόνο 2 8s και στη συνέχεια επιταχύνεται με επιτάχυνση 9m/s . Να βρείτε την ταχύτητά της μετά από 6s και το ολικό διάστημα της κίνησης. 4. Ο διάδρομος απογείωσης ενός αεροπλανοφόρου έχει μήκος 350m. Η ταχύτητα απογείωσης του αεροπλάνου είναι 180Km/h. Να βρεθεί η επιτάχυνσή του και ο χρόνος που χρειάζεται για την απογείωση. Να θεωρήσετε ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη. 5. (Λίγο πιο δύσκολη...) Κινητό ξεκινά από την ηρεμία και εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Αν κατά τη διάρκεια του τρίτου δευτερολέπτου της κίνησής του, η μετατόπιση του είναι 16m να υπολογισθεί το μέτρο της επιτάχυνσής του. 6. Δρομέας των 200m μπορεί να αναπτύξει μέγιστη ταχύτητα μέτρου 10m/s έχοντας σταθερή επιτάχυνση 5m/s2 για όσο χρόνο επιταχύνεται. Να βρεθεί το ρεκόρ του δρομέα. 7. Να αποδείξετε ότι στην περίπτωση της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης, η τιμή της μέσης ταχύτητας ισούται µε το ημιάθροισμα των τιμών αρυ  υ0 χικής και τελικής ταχύτητας, δηλαδή: υμ  . 2 Σελίδα 15 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Ομαλά Επιβραδυνόμενη Κίνηση \Τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνουν ευθύγραμμες ομαλά επιβραδυνόμενες κινήσεις. t υ0

-υ0

υ

-υ t

0 Σχήμα (α)

υ0 0

t1

t2

0 Σχήμα (β)

Σχήμα (γ)

Θα πρέπει να μπορείτε να αναγνωρίσετε ότι: 

Σχήμα (α)

Κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση με αρνητική επιτάχυνση

Σχήμα (β)

Κίνηση προς την αρνητική κατεύθυνση με αρνητική επιτάχυνση

Σχήμα (δ)

Κίνηση με αρνητική επιτάχυνση και αλλαγή κατεύθυνσης τη χρονική στιγμή t1: Για 0  t  t1 το σώμα κινείται στο θετικό ημιάξονα Οx και για t1  t  t2 προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Το χαρακτηριστικό της ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης είναι η αρνητική τιμή της επιτάχυνσης. Ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση  α < 0  Δυ < 0  υτελ < υαρχ Ας δούμε πως διαμορφώνονται οι εξισώσεις ταχύτητας και θέσης, σε σχέση με αυτές που είδαμε στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Έστω λοιπόν ένα σώμα το οποίο τη χρονική στιγμή t0 , διερχόμενο από τη θέση x0 = 0 με ταχύτητα υ0 αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση α (α<0).

1. Εξίσωση ταχύτητας Τη χρονική στιγμή t υπολογίζουμε την ταχύτητα του σώματος. Έχουμε: Δυ (1) α  Δυ  α  Δt  υ  υ0  α  t  t0   υ  υ0  α  t  t0  Δt Ποια είναι η διαφορά της εξίσωσης (1) με την αντίστοιχη της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης; Καμιά... Απλά, αν θέλουμε να φανεί ότι η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη, θα τη γράψουμε όπως παρακάτω: υ  υ0  α Δt

Ταχύτητα στην Ομαλά Επιβραδυνόμενη κίνηση

Σελίδα 16 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Η γραφική παράσταση της υ(t) φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρήστε την αρνητική κλίση της ευθείας, για την οποία: π εφθ < 0 αφού  θ  π (2ο τεταρτημόριο). 2

υ

α<0

υ0 θ

υ t0

2. Εξίσωση θέσης Θεωρώντας τις ίδιες αρχικές συνθήκες, ξεκινάμε με την εξίσωση ταχύτητας: υ  υ0  αt Η σχέση αυτή απεικονίζεται γραφικά παρακάτω:

Δt

t

(1)

Β

υ0

υ0 - υ Α υ

Γ Δ Ο

t

Το εμβαδό μπορεί να υπολογιστεί από το άθροισμα των επιμέρους γραμμοσκιασμένων εμβαδών, δηλαδή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου (ΑΓΔΟ) και του τριγώνου (ΑΒΓ) ή του τραπεζίου (ΟΒΓΔ). Ας πάμε με τον δεύτερο τρόπο: υ  υ0 Εμβ Δx (2) Εμβ   ΟΒΓΔ    Δx  t 2 υ0  α t  υ0 υ0t  α t2  υ0t 1  Δx  t  2  2 2 2υ0t  α t2 2υ t 1 1 0 Δx    α t2  Δx  υ0t  α t2 (3) 2 2 2 2 Η παραπάνω σχέση, ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες μπορεί να πάρει τις παρακάτω μορφές: 1 2  x0  0, t0  0 x  x0  υ0  t  t0   α  t  t0  2 1 2  x0  0, t0  0 x  x0  υ0t  α t 2 1 x  υ0t  α t2 που είναι και η πιο συνηθισμένη...  x0  0, t0  0 2 Τελικά, θα θυμόμαστε ότι Δx  υ0 t 

1 α t2 2

Θέση στην Ομαλά Επιβραδυνόμενη κίνηση

Σελίδα 17 από 26

Δυ < 0

t


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

1 2 αt 2 Αφού η θέση (x: εξαρτημένη μεταβλητή) είναι ανάλογη του τετραγώνου του 2 χρόνου t (t: ανεξάρτητη μεταβλητή), καταλαβαίνουμε ότι η γραφική παράσταση x - t θα είναι παραβολή η οποία στρέφει τα κοίλα κάτω, δηλαδή είναι όπως παρακάτω:

Για τη γραφική παράσταση της x = υ0 t -

x

Ο

t

Ας δούμε ένα αριθμητικό παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι η κίνηση ενός αυτοκινήτου που επιβραδύνεται αντιστοιχεί – κατά προσέγγιση - σε μία ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, με επιτάχυνση α  8m / s2 . Θεωρώντας υ0 = 40m/s, κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών θέσης χρόνου και την αντίστοιχη γραφική παράσταση.

x(m) Χρόνος (s)

Θέση (m)

0

0

1

36

2

64

3

84

4

96

5

100

100 96 84 64

36

0

1

2

Σελίδα 18 από 26

3

4

5

t(s)


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Ακινητοποίηση σώματος Έστω ένα σώμα το οποίο τη χρονική στιγμή t0 , διερχόμενο από τη θέση x0 = 0 με ταχύτητα υ0 αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση α (α<0). Η κίνηση διαρκεί μέχρι το σώμα να μηδενίσει την ταχύτητά του (υ < 0), δηλαδή να ακινητοποιηθεί. Ας ονομάσουμε xstop και tstop τη θέση και τη χρονική στιγμή της ακινητοποίησης αντίστοιχα. Έχουμε διαδοχικά: υ υ 0 υ  υ0  α t   0  υ0  α tstop  α tstop  υ0  tstop  0 (4) α 2

υ  υ 1 1 1 t tstop (4) x  υ0t  α t2    xstop  υ0tstop  α t2stop    xstop  υ0 0  α  0   2 2 α 2 α  

xstop 

υ20 α

υ2 υ2 2υ2 υ2 2υ2  υ20 υ2 1 υ20 α 2  xstop  0  0  0  0  0  xstop  0 2 α α 2α 2α 2α 2α 2α

(5)

Η κατάσταση που περιγράψαμε φαίνεται στα παρακάτω σχήματα: υ

x

υ0

xstop

t 0

t

0

tstop

Εργασία στην τάξη Συζητάμε για:  Το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης υ(t), του οριζόντιου άξονα του χρόνου και των χρονικών ορίων της κίνησης. Τι εκφράζει, με τι ισούται.  Την κλίση της καμπύλης x)t) σε διάφορα σημεία της. Τι εκφράζει και που ελαχιστοποιείται.  Περιγράφουμε πλέον πολύ εύκολα την κατάσταση που απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα και κάνουμε το αντίστοιχο διάγραμμα υ(t).

tstop

x xακ

Σελίδα 19 από 26

0

tstop

tολ

t


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

38

ν

Χρόνος αντίδρασης Όταν σε κάποια κατάσταση απαιτείται μια άμεση ενέργειά μας, περνά κάποιος χρόνος πριν προλάβουμε να ανταποκριθούμε πραγματικά. Ο χρόνος αντίδρασης είναι ο χρόνος που ένα άτομο χρειάζεται για να παρατηρήσει, να σκεφτεί και να ενεργήσει. Για παράδειγμα, αν ένα άτομο οδηγεί και ξαφνικά ένας πεζός εμφανιστεί μπροστά του, τότε ο χρόνος που παρέρχεται πριν εφαρμόσει το φρένο του αυτοκινήτου είναι ο χρόνος αντίδρασης. Είναι προφανές ότι ο χρόνος αντίδρασης εξαρτάται την πολυπλοκότητα της κατάστασης και από το άτομο. Μπορείτε να μετρήσετε το χρόνο αντίδρασής σας με ένα απλό πείραμα. Πάρτε ένα χάρακα και να ζητήστε από το φίλο σας ή τη φίλη σας να τον αφήσει να πέσει κάθετα μέσα από το διάκενο μεταξύ του αντίχειρα και το δείκτη σας, όπως στην εικόνα. Αφού τον «πιάσετε στον αέρα», βρείτε την απόσταση d που διένυσε ο χάρακας. Για παράδειγμα, αν είδατε στο χάρακα d = 21,0cm, υπολογίστε τον αντίστοιχο χρόνο αντίδρασης, θεωρώντας ότι g = 10m/s2.

Ερωτήσεις - Ασκήσεις 1. Κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση α=-2 m/s2 και αρχική ταχύτητα 10m/s μέχρι που ακινητοποιείται. Να βρεθούν: α. Το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο υποδιπλασιάζεται η ταχύτητά του. β. Η μετατόπιση του κινητού σε αυτό το χρονικό διάστημα. γ. Το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο ακινητοποιείται. δ. Τη θέση ακινητοποίησης, με δεδομένο ότι την t0 = 0 βρισκόταν στο x0 = 0. υ (m/s)

2. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και στο σχήμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο. 8 Α. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; α. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι 8m/s. β. Ο ρυθμός μεταβολής της θέσης είναι σταt (s) θερός από 0s-2s. 0 2 6 γ. Από 2s-6s η επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση της ταχύτητας. δ. Από 2s-6s η επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας. ε. Από 0-2s η ταχύτητα έχει την κατεύθυνση της μεταβολής της θέσης. Β. Να βρεθεί η μετατόπισή του από 0s-6s. Γ. Να βρεθεί η επιτάχυνσή του στο χρονικό διάστημα από 2s-6s. Δ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα έχει ταχύτητα υ1 = 5,2m/s; Ε. Πόση είναι η μετατόπιση του σώματος από 0s-2,5s; 3. Ένα σώμα κινείται στον άξονα x΄Οx με ταχύτητα υ0 = 10m/s και τη στιγμή t0 = 0 διέρχεται από τη θέση x0 = 0 αποκτώντας σταθερή επιτάχυνση -4m/s2. Να κατασκευάσετε σε μιλλιμετρέ χαρτί τις γραφικές παραστάσεις α(t), υ(t) και x(t). Σελίδα 20 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

4. Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υ = 30m/s και τη χρονική στιγμή t0 = 0 περνά από το σημείο Ο. Μετά από 2 δευτερόλεπτα το αυτοκίνητο αρχίζει να επιβραδύνεται μειώνοντας την ταχύτητά του με σταθερό ρυθμό, με αποτέλεσμα να σταματήσει σε απόσταση 135m από το Ο. α. Για πόσο χρονικό διάστημα επιβραδύνεται το όχημα; β. Να γίνουν τα διαγράμματα σε συνάρτηση με το χρόνο της απόστασης του αυτοκινήτου από το Ο, της ταχύτητάς του και της επιτάχυνσής του. 5. Δύο σώματα κινούνται πάνω στην ίδια x (m) (2) ευθεία ξεκινώντας ταυτόχρονα από το (1) A ίδιο σημείο. Στο σχήμα δίνεται το διάB γραμμα θέσης-χρόνου για το καθένα 16 απ’ αυτά. A. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες: α. Το σώμα (2) κινείται με σταθε0 ρή ταχύτητα. 5 8 t(s) β. Τη χρονική στιγμή t2 = 8s τα δύο σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα. γ. Το σώμα (1) τη στιγμή t1 = 5s βρίσκεται στη θέση xΑ (το μέγιστο της καμπύλης) και έχει μηδενική ταχύτητα. B. Αν το κινητό (1) έχει σταθερή επιτάχυνση, να βρεθεί η αρχική του ταχύτητα και η επιτάχυνσή του. Γ. Ποια η απόσταση μεταξύ των σωμάτων στη στιγμή t1 = 5s. 2

6. Αυτοκίνητο επιταχύνεται από την ηρεμία με 2m/s και κινείται σε ευθεία γραμμή για 20s. Στη συνέχεια κινείται με την ταχύτητα που απέκτησε ευθύγραμμα για 40s και τέλος επιβραδύνεται ομαλά μέχρι να σταματήσει σε 10s. α. Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα του αυτοκινήτου. β. Να γίνουν τα διαγράμματα επιτάχυνσης- χρόνου, ταχύτητας – χρόνου και θέσης – χρόνου του αυτοκινήτου για όλη την κίνηση. γ. Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για όλη την κίνηση. 7. Το διάγραμμα υ(t) αναφέρεται υ (m/s) στην ευθύγραμμη κίνηση ενός κινητού. Αν τη χρονική στιγμή t0 = 0s το κινητό περνάει από τη 9 θέση x0 = 0: α. Να περιγράψετε τα είδη της 5 κίνησης του κινητού. β. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα α(t) για όλη την κίνηση του 0 κινητού. 10 13 4 -3 γ. Να υπολογίσετε το διάστημα και τη μετατόπιση του κινητού για όλη την κίνηση. δ. Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του κινητού από 0s 21s. ε. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα x(t) για όλη την κίνηση του κινητού. Σελίδα 21 από 26

21 t(s)


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

8. Μοτοσικλετιστής, κινούμενος ευθύγραμμα και με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 2 1m/s , αρχίζει να καταδιώκει αυτοκίνητο, όταν αυτό περνάει από δίπλα του κινούμενο ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου 72Km/h. α. Σε πόσο χρόνο ο μοτοσικλετιστής θα φθάσει το αυτοκίνητο; β. Σε ποιο σημείο θα συναντηθούν; γ. Τι ταχύτητα θα έχει εκείνη τη στιγμή ο μοτοσικλετιστής; δ. Να γίνει το διάγραμμα υ(t) για τα δύο κινητά σε κοινούς άξονες. ε. Να γίνει το διάγραμμα x(t) για τα δύο κινητά σε κοινούς άξονες. στ. Πόσο θα απέχουν τα δύο κινητά τη στιγμή κατά την οποία ο μοτοσικλετιστής θα έχει ταχύτητα 50m/s; 9. Δύο υλικά σημεία (1) και (2) κινούνται στον άξονα x΄x έχοντας αντίστοιχα εξισώσεις κίνησης x1 = –100 + 4t + t2 (SI) και x2 = 134 – 4t – t2 (SI). α. Πόση απόσταση d0 απέχουν μεταξύ τους τα δύο υλικά σημεία τη χρονική στιγμή t = 0; β. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις των ταχυτήτων των δύο υλικών σημείων. γ. Αν τα δύο υλικά σημεία συναντιούνται σε κάποιο σημείο, έστω Σ, να βρείτε τη χρονική στιγμή της συνάντησης και τη θέση του σημείου Σ. δ. Υπάρχει χρονική στιγμή που τα δύο υλικά σημεία έχουν ταχύτητες με ίσες αλγεβρικές τιμές; Αν ναι, ποια είναι αυτή; ε. Υπάρχει χρονική στιγμή που τα δύο υλικά σημεία έχουν ταχύτητες με ίσα μέτρα; Αν ναι, ποια είναι αυτή; 10.Χρόνος αντίδρασης οδηγού Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με ταχύτητα μέτρου 20m/s. Ξαφνικά ο οδηγός αντιλαμβάνεται εμπόδιο σε απόσταση 24m και εφαρμόζει τα φρένα που δίνουν στο αυτοκίνητο σταθερή επιβράδυνση 10m/s2. Αν ο χρόνος αντίδρασης του οδηγού είναι 0,4s: α. εξετάσετε αν οδηγός θα αποφύγει τη σύγκρουση. β. να υπολογίσετε την επιβράδυνση που θα έπρεπε να είχε το αυτοκίνητο για να φθάσει στο εμπόδιο με μηδενική ταχύτητα. γ. να υπολογίσετε την ταχύτητα με την οποία τελικά θα συγκρουστεί το αυτοκίνητο. 11.Το παρακάτω διάγραμμα υ(t) αναφέρεται στην ευθύγραμμη κίνηση ενός κινητού. υ (m/sec) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 t (sec) 5

10

15

-1 -2 -3 -4 -5

Σελίδα 22 από 26

20

25

30


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Αν τη χρονική στιγμή to = 0s το κινητό περνάει από τη θέση xo = 0m, Α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα (αν χρειαστεί να γίνουν πράξεις, αυτές να φαίνονται). t (s)

Είδος κίνησης

α (m/s2)

Δx (m)

0-5 5-10 10-15 15-20 20-30 Β. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου και θέσης – χρόνου για το χρονικό διάστημα 0-30s. Γ. Να υπολογίσετε το διάστημα και τη μετατόπιση του κινητού για το χρονικό διάστημα 0-30s.

Ασκήσεις Β΄ Ομάδας 12.Δύο υλικά σημεία (1) και (2) μπορούν να κινούνται κατά μήκος του άξονα x΄Ox και τη χρονική στιγμή t0 = 0 βρίσκονται αντίστοιχα στις θέσεις x01  2m και x02 = 10m. Τα υλικά σημεία έχουν τη χρονική στιγμή t0 = 0 ταχύτητες με μέτρα 2 αντίστοιχα υ01 = 8m/s και υ02 = 2m/s και σταθερή επιτάχυνση μέτρου α = 2m/s το καθένα. Να βρεθούν: α. η θέση του σημείου Σ στο οποίο θα συναντηθούν και β. τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο κινητών τη στιγμή της συνάντησης. 13.Αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υ0 = 72km/h όταν ο οδηγός αντιλαμβάνεται ότι ο σηματοδότης που απέχει εκείνη τη στιγμή απόσταση d = 100m από το αυτοκίνητο έχει «ανάψει» πορτοκαλί το οποίο διαρκεί t0 = 3s μέχρι να γίνει κόκκινο. Η μέγιστη σταθερή επιτάχυνση που μπορεί να 2 πετύχει πατώντας αμέσως γκάζι είναι α1 = 6m/s και η ελάχιστη πατώντας αμέσως φρένο χωρίς να κινδυνέψει είναι α2 = –8m/s2. Να ελέγξετε σε κάθε περίπτωση το αποτέλεσμα της επιλογής του οδηγού σε σχέση με το αν θα προλάβει να περάσει ή να σταματήσει πριν «ανάψει» κόκκινο. 14.Υλικό σημείο κινείται πάνω στον άξονα x΄Οx και τη χρονική στιγμή t0 = 0 βρίσκεται στη θέση x0 = –2m έχοντας ταχύτητα αλγεβρικής τιμής υ0 = 4m/s και επιτάχυνση αλγεβρικής τιμής α1 = 2m/s2. Τη χρονική στιγμή t1 = 3s το υλικό σημείο αποκτά επιτάχυνση αλγεβρικής τιμής α2 = –4m/s2 μέχρι τη χρονική στιγμή t3 = 5s. Στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα, ίση με αυτή που απέκτησε από τη χρονική στιγμή t3, μέχρι τη χρονική στιγμή t4 = 10s. Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας – χρόνου και θέσης– χρόνου για το χρονικό διάστημα από t0 έως t4. Σελίδα 23 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

38

ν

15.Δύο υλικά σημεία Κ και Λ μπορούν να κινούνται στους παράλληλους άξονες x΄x και ψ΄ψ αντίστοιχα οι οποίοι απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 20m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 τα δύο υλικά σημεία απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με d έχοντας αντίστοιχα ταχύτητες υ0Κ = 2m/s και υ0Λ = 4m/s και σταθερές επιταχύνσεις αΚ = 4m/s2 και αΛ = 2m/s2. α. Ποια χρονική στιγμή το τετράπλευρο που αντιστοιχεί στην επιφάνεια που διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα δύο υλικά σημεία, θα γίνει στιγμιαία ορθογώνιο παραλληλόγραμμο; β. Βρείτε τη χρονική εξίσωση του εμβαδού της επιφάνειας που διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα δύο υλικά σημεία. γ. Ποια χρονική στιγμή το εμβαδόν της επιφάνειας του ερωτήματος (β) θα είναι ίσο με 450m2; 16. Τρένο Α κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου 40m/s. Ξαφνικά ο οδηγός του Α αντιλαμβάνεται ότι μπροστά του και στην ίδια γραμμή κινούμενο με την ίδια φορά με αυτόν και σε απόσταση 195m βρίσκεται και ένα δεύτερο τρένο Β το οποίο έχει σταθερή ταχύτητα μέτρου 10m/s. Εφαρμόζει αμέσως τα φρένα του τρένου Α πιστεύοντας ότι θα τα καταφέρει να μην συγκρουσθεί αφού η επιβράδυνση είναι σταθερή με μέτρο 2m/s2. Να αποδείξετε ότι δεν θα καταφέρει να αποφύγει τη σύγκρουση με το τρένο Β και να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του τρένου Α όταν συγκρούεται με το Β. 17.Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν από την ηρεμία και από το ίδιο σημείο κινούμενα ευθύγραμμα και προς την ίδια κατεύθυνση. Το πρώτο αυτοκίνητο έχει σταθερή επιτάχυνση μέτρου 2m/s2 και το δεύτερο, το οποίο ξεκίνησε και 1s αργότερα, έχει σταθερή επιτάχυνση μέτρου 3m/s2. α. Σε πόσο χρόνο από την αναχώρηση του δεύτερου αυτοκινήτου θα συναντηθούν; β. Σε ποιο σημείο θα συναντηθούν; γ. Να κατασκευάσετε σε κοινούς άξονες τα διαγράμματα υ(t) και x(t) για τα δύο αυτοκίνητα. 18.Δύο φανάρια απέχουν μεταξύ τους απόσταση 300m. Ένα αυτοκίνητο μπορεί να έχει μέγιστη επιτάχυνση μέτρου 4m/s2, μέγιστη επιβράδυνση μέτρου 2m/s2 και μπορεί να αναπτύξει μέγιστη ταχύτητα μέτρου 20m/s (υπάρχει και όριο ταχύτητας στο δρόμο αυτό!). Να υπολογίσετε το χρόνο που χρειάζεται το αυτοκίνητο για να καλύψει την απόσταση από φανάρι σε φανάρι.

Σελίδα 24 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

Συμπληρωματικές Ασκήσεις στην Ε.Ο.Μ.Κ. Οι ασκήσεις αυτές θα σας βοηθήσουν στην επανάληψή σας στην Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόνη Κίνηση (Ε.Ο.Μ.Κ.).

1. Δίνεται το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου για μια ευθύγραμμη κίνηση. α. Να αναγνωρίσετε την κάθε μια από τις διαδοχικές κινήσεις του σώματος. β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος. γ. Να υπολογίσετε την ολική μετατόπιση του κινητού μέχρι τα 20s.

υ(m/s)

40 20

2. Στο διάγραμμα αποδίδεται γραφικά η 10 ταχύτητα ενός κινητού (που κινείται υ(m/s) ευθύγραμμα) σε συνάρτηση με το χρόνο. α. Να περιγράψετε την κίνηση του κινητού για κάθε χρονικό διάστημα 4 από 0 έως 8s. β. Να υπολογίσετε τις επιταχύνσεις για κάθε μία από τις επιμέρους κι0 νήσεις του κινητού και στη συνέ2 χεια να κάνετε τη γραφική παράσταση επιτάχυνσης - χρόνου. γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση -4 θέσης - χρόνου για όλη την κίνηση. δ. Να προσδιορίσετε τη συνολική μετατόπιση και το μέτρο της μέσης ταχύτητας του κινητού για όλο το χρονικό διάστημα.

t(s)

20

6 4

8 t(s)

3. Οι εξισώσεις κίνησης δύο υλικών σημείων τα οποία κινούνται κατά μήκος του προσανατολισμένου άξονα Ox είναι: 2 x1 = 10t και x2 = 4t (στο S.I.) α. Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα κινητά συναντώνται καθώς και τη θέση που συναντώνται. β. Να κατασκευάσετε τα κοινά διαγράμματα επιτάχυνσης – χρόνου, ταχύτητας – χρόνου και θέσης – χρόνου. 4. Ένα αυτοκίνητο έχει ταχύτητα υ = 72km/h. Ο οδηγός ξαφνικά πατάει φρένο και προκαλεί επιβράδυνση 1m/s2. α. Σε πόση απόσταση η ταχύτητά του θα γίνει η μισή της αρχικής; β. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει; γ. Ποιο διάστημα θα διατρέξει μέχρι να σταματήσει.; δ. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου.

Σελίδα 25 από 26


Επιτάχυνση & Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

ν

38

5. Ένα κινητό βρίσκεται σε ευθύγραμμο δρόμο και ξεκινά από την ηρεμία με σταθερή επιτάχυνση και μετά από χρόνο Δt1 = 4s έχει ταχύτητα μέτρου υ1 = 30m/s. Συνεχίζει την κίνησή του για 2s ακόμα με σταθερή ταχύτητα και τέλος επιβραδύνεται ομαλά μέχρι να σταματήσει σε 2s. α. Να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου. β. Να βρεθεί η συνολική μετατόπιση του κινητού. γ. Η μέση ταχύτητα του κινητού και η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσής του όπου η κίνησή του είναι μεταβαλλόμενη. 6. Κινητό που κινείται ευθύγραμμα έχει αρχική ταχύτητα μέτρου υ0 = 10m/s και επιτάχυνση α = 2m/s2. Η μετατόπισή του κατά τα τελευταία 4s της κίνησής του είναι ίση με 88m. Ζητούνται: α. Η τελική ταχύτητα του κινητού. β. Ο ολικός χρόνος κίνησης. γ. Η συνολική μετατόπιση του κινητού.

Άσκηση - Πρόκληση!!! Ένας αεροπόρος με σκάφανδρο, καταρρίπτοντας το παγκόσμιο ρεκόρ ελεύθερης πτώσης, πέφτει από ύψος 31km κατακόρυφα προς τη Γη. Αρχικά κινείται με επιτάχυνση α = 9m/s2 μέχρι το ύψος 11km, οπότε (λόγω τριβών από την ατμόσφαιρα) επιβραδύνεται ομαλά, μέχρι η ταχύτητά του να γίνει v2 = 100m/s, σε ύψος h3 = 2km. Στο ύψος αυτό ανοίγει το αλεξίπτωτό του και φθάνει στη Γη με σταθερή ταχύτητα v3 = 5 m/s. Να βρείτε τη συνολική χρονική διάρκεια της πτώσης του. (18ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός Αστρονομίας 2013 - 1η φάση - ΕΥΔΟΞΟΣ)

Σελίδα 26 από 26

N

.

Μκin  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you