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Con Jesús y María Nuestra Madre de la Merced, eduquemos en la verdad, construyendo la paz.

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COMENTARIO PREVIO NOTACIÓN DE UN CONJUNTO

GEORGE CANTOR

Los objetos que conforman un conjunto son llamados ELEMENTOS, los cuales se encuentran encerrados entre llaves y separados por punto y coma. A los conjuntos por lo general se les denota por alguna letra mayúscula.

( 1845 – 1918) Nació en San Petersburgo, Rusia; su padre un comerciante danés, quería que su hijo estudiara ingeniería pero el prefirió las matemáticas. En el año de 1872 publicó su primer trabajo en la revista “Mathematische Annalen” sobre FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA y en el año 1874 publicó su trabajo sobre la teoría del infinito y la teoría de conjuntos. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos. (por ejemplo, la definición se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos. A pesar de todo sus ideas provocaron reacciones adversas, particularmente las de su maestro de la universidad Leopold Kronecker ( 1823 – 1891).



A = { a; e; i; o; u }



M = { 0; 2; 4; 6; 8; 10 }



Q = {manzana; naranja; plátano; piña}

RELACIÓN DE PERTENENCIA ( ∈ ) Un elemento pertenece (∈ ) a un conjunto si es que éste forma parte de él, caso contrario se dice que no pertenece ( ∉ ) A = { 1; 3; 5; 7 }

B = { a; e; i; o; u }

C = { a; { b }; c; { d } } 5∈ A

Estas críticas hicieron que Cantor se enfermara y terminó sus días en una clínica de salud mental.

a∉A 2∈B

∉ C a∈C {b}∈ C

o

{d}∈ C

∉B 1∈ A

7

i

A

∈B 3 ∈A

o

CONTENIDO TEÓRICO “La relación de pertenencia se da, de elemento a conjunto”

TEORÍA DE CONJUNTO

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS IDEA DE CONJUNTO En matemática se usa la palabra conjunto como colección, agrupación de varios objetos BIEN DEFINIDOS, llamados

Un conjunto queda determinado de dos maneras: EXTENSIÓN, COMPRENSIÓN. I . POR EXTENSIÓN O FORMA TABULAR: Un conjunto queda determinado por EXTENSIÓN O FORMA TABULAR cuando se nombran a todos y cada uno de sus elementos.

ELEMENTOS y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarios con alguna característica común.

A = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo} B = { a; e; i; o; u }

EJEMPLO:  Los ríos de la costa peruana.

C = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15 }

 Libros de matemática de la biblioteca de la I .E. “CERVELLO “.

D = { do; re; mi; fa; sol; la; si }

 Conjunto de los meses del año.  Presidente constitucional del Perú. II. POR COMPRENSIÓN FORMA CONSTRUCTIVA: Un conjunto queda determinado por COMPRENSIÓN O FORMA CONSTRUCTIVA cuando se nombra una

 Número natural entre 20 y 21

CONGREGACIÓN DE RELIGIOSAS MERCEDARIAS MISIONERAS

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Profesor: MORÁN ASENCIO MANUEL


ARITMÉTICA PRIMERO AÑO

Formación Integral de Personas Libres y Solidarias

propiedad o característica común de los elementos del conjunto. Dicha propiedad debe permitir identificar a los elementos sin ambigüedades. C = { ∆; ☼; □; ○} POR EXTENSIÓN TABULAR

O

POR COMPRENSIÓN O CONSTRUCTIVA

B ={ a; e; i; o; u }

B = { x/x es una vocal }

C = { 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15 }

C = { x/x es un número impar menor que 17 } D = { x/x es una nota musical }

D = { do; re; mi; fa; sol; la; si } Q = { a; b; c; d; ………; z }

Recuerda que:

II. DIAGRAMA DE LEWIS CARROL.: Si tiene 1 conjunto:

Q = { x/x es una letra del abecedario }

Si tiene 2 conjuntos :

Tienes un conjunto como: III. DIAGRAMAS LINEALES: Sirve para relacionar conjuntos y se emplean segmentos de recta, este diagrama se utiliza principalmente para representar la inclusión entre conjuntos. EJEMPLO.

    A = n 2 + 1 / n es entero;−2 ≤ n ≤ 2 1444 424444 3   "condiciones"   Para obtener dicho conjunto por extensión, tabulamos de la siguiente manera: n

n2 +1

-2 5

-1 2

0 1

1 2

1.

2 5

B 2.

Luego : A = { 1; 2; 2; 5; 5 } A = { 1; 2; 5 }

Si A ⊂ B representar mediante un diagrama lineal: A

Cuando los elementos de un conjunto se repitan, se escribe una sola vez.

Elabora un diagrama lineal para: A = { a; b; c } B = { a; b } ; C = { a; c }

;

A B

C

CARDINAL DE UN CONJUNTO REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN CONJUNTO.

El número cardinal de un conjunto nos indica cuantos elementos diferentes tiene dicho conjunto y se denota por:

I. DIAGRAMA DE VENN – EULER: Son regiones planas que nos permiten representar los conjuntos generalmente se emplean círculos, elipses, rectángulos, triángulos, etc. EJEMPLO:

 Card ( A)  n (A)  # (A)

: Cardinal del conjunto A : Se lee cardinal de A : número de elementos del conjunto A.

EJEMPLO: CONJUNTO

A = { 1; 3; 5; 7}

CARDINAL

A={ } =ø

n(A)=0

B=={ ø }

n( B ) = 1

M ={ 1; 3; 5; 7; 3; 1 }

n( M ) = 4

ELEMENTOS A es un conjunto nulo o vacío B es un conjunto unitario M es un conjunto cuaternario

B = { a; e; i; o; u }

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PROBLEMAS DE CLASE

{

01. Si: M = n2 + 2 / n ∈ N ∧

2

∠ n ∠ 35

06. Si A = { 1; 2; 3 } B = { 1; 2; 4 } C = { 2; 3 ; 4; 5 } ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte sombreada del diagrama?. A) 2 B) 3 C) 4 D) 2,4 E) 1, 2 , 4

}

1º Cuántos elementos tiene M? 2º Encontrar la suma de los 5 primeros elementos de M. A) 25; 145 D) 33; 11

B) 30 ; 154 E) 32; 145

C) 31; 205

02. Sean los conjuntos A = { 2; 3; 5; 7; 11 } indicar verdadero ( V ) o falso ( F) las siguientes proposiciones.

{3} ⊂ A :

3∈ A

;

A) VVVF B) FVVF C) VVFF

φ⊂ A

;

D) VVVV

{3 ;5 } ∈ A E) FVVV

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Marcar (V) verdadero o (F) falso según resulte cada

03. Si: B = { ; 3; 7; 11; 15 ; 20 }

afirmación, respecto al conjunto Q

A = { ( 2 n +1 ) ∈ B / 4 ∠ n ∠ 8 } Hallar la suma de los elementos de A. A) 21

B) 18

{

C) 33

D) 36

04. Si: M = x 3 1 / x ∈ N ; 2 ≤ x ≤ 5

Q = { 2; 5; { 2 : 7 }; ø } 5. { 2; 5 } ⊂ Q 6. { 2; 7 } ⊂ Q

1. 2 Є Q 2. { 2; 7 } Є Q

E) 26

3. { ø } ⊂ Q 4. ø ∈ Z

}

A) VVVVVF D) FVFVFV

1º Determinar por extensión 2º Cuántos subconjuntos posee? 3º Cuántos subconjuntos propios posee? 4º Calcular el cardinal de M.

B) FFVFVF E) VVFVFF

C) VVFFVV

02. Colocar el valor de verdad a cada proposición: A = { 8; 3; { 2 } { 1 : 3 } } 05. Según el siguiente diagrama: Descubrir la alternativa correcta:

I )3 ∈ A

II )2 ∈ A

A) VVVV D) VFVF A) P = { 1; 2; 4; 5; 7 } B) Q = { 1; 2; 3 ;4; 5 } C) R = { 1; 2; 4; 5; 6 } D) P = { 1; 2; 5; 7 } E) Q = { 4; 1; 5; 6; 3 }

B) VFFV E) FFFF

IV )3 ∈ {1;3} C)FVVF

03. Dado el conjunto A = {∅ : 3; {2; ∅}; {∅}} Cuántas proposiciones son verdaderas?.

∗ ∅∈ A ∗ ∅⊂ A ∗ {∅}∈ P( A) ∗ ∅ ∉ P( A) A) 3

CONGREGACIÓN DE RELIGIOSAS MERCEDARIAS MISIONERAS

III )8 ∉ A

4

B) 4

∗ {3} ⊂ A ∗ {3}∈ P( A) ∗ ∅ ∈ P ( A) ∗1 ⊄ A C) 5

D) 6

E)7

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04. Dado el conjunto, cuántos enunciados son verdaderos:

04. Sean los conjuntos:

A = { 2; 3; 4 ; { 3 } ; { 4 }; { 3 : 4 } }

∗ n[P ( A)] = 64

∗ n( A) = 6

∗ ∗

{3}∈ A {2;3}∈ A {3} ⊂ A

A) 6

C = {son los cuadrados perfectos del

∗ {2;3}∈ P( A)

A) 1

∗ {2·;3;4} ⊂ A C) 5

D) 7

conjunto B}

Determinar el número de elementos de C

∗ {2} ⊂ A

B) 8

}

B = {x es par / x ∈ A}

∗ {2;3;4}∈ A

∗ 3∈ A ∗

{

A = ( x +1 ) / x ∈ Z + ∧ x p 30

B) 2

C) 4

D) 10

E) 16

E) 10

PROBLEMAS DOMICILIARIOS

01. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas. Si: A = { a; b; { c } ; { p : q } }

2. {c} ⊂ A 5. {q; p} ⊂ A

1. c ∈ A 4. q ∈ A A)0

B) 1

3. {a} ⊂ A

C)2

D)3

E) 4

02. Sean Los conjuntos : A = { 1; { 0 }; { 3 : 4 }; 7 } B = { 0; 4; { 3; 7 }; { 1 } }

1. {3;7} ⊂ A 4. {3;4}∈ A

Dadas las afirmaciones:

2. {0}∈ B 5. 1 ∉ B

3. {1;7} ⊄ A 4.{4} ⊂ B

Cuántas de las proposiciones son verdaderas A) 5

B) 4

C) 3

D)1

E) 2

03. Determinar por extensión el siguiente conjunto.

{

E = x 2 +1 / x ∈ Z ∧ -3 p x ≤ 4

}

Dar como respuesta la suma de sus elementos. A) 42

B) 15

C) 7

D) 41

E) 35

5

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COMENTARIO PREVIO

A) CONJUNTO FINITO: Conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos. EJEMPLO:

“TEORÍA DEL NÚMERO REAL Y TEORÍA DE CONJUNTOS”

 R = {x/x es un día de la semana }

En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor,R. DEdekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación de análisis.

 Q = { 3x + 2/ x ∈ N٨ 1 ≤ x ≤ 6 }

B) CONJUNTO INFINITO: Conjunto que tiene una cantidad ilimitada de elementos.

Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma de línea recta.

EJEMPLO:  A = { x ∈N / x > 8 }  B = { Las estrellas del sistema planetario}

Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números racionales. La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los números racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto límite, de conjunto derivado……

CONJUNTOS ESPECIALES I II

La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos. Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la “lógica matemática”, la cual forma una parte importante de los fundamentos de las matemáticas modernas.

III

CONCEPTO Carece de elementos Tiene un solo elemento Contiene a todos los conjuntos posibles de un mismo tipo

NOTACIÓN Ø; { } A={4}

U

EJEMPLOS

El campo de aplicación de análisis matemático creció rápidamente merced a un sinfín de investigadores de loa métodos matemáticos de la física y la mecánica: Green, Stokes, Thomsonn, Hamilton, Maxwell…. Entre estas aplicaciones cabe destacar la creación del aparato analítico para la investigación de los fenómenos electromagnéticos, la teoría matemática de la conductividad del calor, o la construcción del aparato matemático de la nueva mecánica.



A = { X/ x ∈ N ٨ 5 < x < 6 } ………………… ( I )



B = { Presidente constitucional del Perú }……….( II )



U = {Todos los seres animales } ………………..( III) A = { Gallina; perro; mariposa; pavos }

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. SUBCONJUNTO O INCLUSIÓN ( ⊂ ) Un conjunto A es subconjunto o esta incluido en B, cuando todos los elementos del conjunto A, son también elementos del conjunto B.

CONTENIDO TEÓRICO CLASES DE CONJUNTO

EJEMPLO 1º A = { a; b; c }

CLASES DE CONJUNTOS

A ⊂

De acuerdo ala cantidad de elementos diferentes que posee un conjunto se clasifican en: CONGREGACIÓN DE RELIGIOSAS MERCEDARIAS MISIONERAS

CONJUNTO VACIO O NULO UNITARIO O SINGLETON UNIVERSAL O REFERNCIAL

6

B = { a; b; c; d; e } B :

B ⊃ A

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OBSERVACIÓN A ⊂ B ↔ ↔ ∀x; x ∈ A → x ∈ B

Se lee:

La relación de subconjunto o inclusión se utiliza de conjunto a conjunto.

“A es subconjunto de B 2. SUBCONJUNTO PROPIO: Se dice que A es subconjunto propio de B si está incluido en B y existe por lo menos un elemento de B que no pertenece a A. Si: A = { 1; 2 } B = { 1; 2; 3 }

“A incluido en B” “A esta contenido en el conjunto B” 2º

Si: A = { 1; 2; 3 } A⊄ B ;

B = { 2; 3; 4; 5 } B⊃A

A⊂ B

A ⊄ B ↔ ∃x / x ∈ A ∧ x ∉ B Se lee:

“ A no esta incluido en B”

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

“A no es subconjunto de B”

1º Determinar los subconjuntos de A. A = { 5; 9 } Calculamos: {1 5}; {9} ; {{ 5;9} ; ∅ { 23 subconjunt o subconjunto Subconjunto vacío binario unitarios

“A no esta contenido en B”

INCLUSIÓN

A≠ B

A ⊂ B ↔ ( A ⊂ B) ∧ (∃x ∈ B / x ∉ A) Se lee: A es subconjunto propio de B A es una parte propia de B

NO INCLUSIÓN

OBSERVAMOS: 1. n ( A ) = 2 →

A⊂ A

2. Subconjunto propios son: { 5 } ; { 9} ; ø * no se considera el mismo conjunto * obedece a la fórmula: 22 – 1 = 3

A⊄ B

A⊂ A

2

subconjuntos = 4 → 2

CONCLUSIÓN * Subconjuntos: 2 n( A) ; n = número de elementos * Subconjuntos Propios: 2 n − 1

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN . I . REFLEXIVA: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

2º Determinar los subconjuntos de B

A⊂ A

B = { a; b; c } { a }; { b }{ c } …………………… { a; b };{ a; c }; { b; c }…………….. { a; b; c } ………………………. Ø ……………………………..

2. El conjunto nulo o vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

Subconjunto unitarios Subconjuntos binarios Subconjunto ternario Subconjunto nulo o vacío

∅⊂ A OBSERVAMOS: 1. n (B) = 3 → subconjuntos : 2 n( B) = 2 3 = 8

3. TRANSITIVA: Si un conjunto A está incluido en otro B y éste en un tercero C, entonces el conjunto A esta incluido en el conjunto C.

A⊂ B ; B⊂C

2. Subconjuntos propios: { a };{ b }; { c } ; { a; b} ;{ a; c } ; { b; c } ; ø = 7 → 2 n( B ) − 1 = 2 3 − 1 = 7

A⊂C

3. Los subconjuntos de un conjunto se forman combinando los elementos del mismo.

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Con Jesús y María Nuestra Madre de la Merced, eduquemos en la verdad, construyendo la paz. 3. IGUALDAD DE CONJUNTOS: Dos conjuntos son iguales si es que ambos tienen los mismos elementos. NOTACIÓN:

5. CONJUNTO POTENCIA DE UN CONJUNTO : Llamado también conjunto de partes de un conjunto, y es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

A=B

Se define :

P( A) = {x / x ⊂ A};

x ∈ P( A) ↔ x ⊂ A

A= B ↔ A⊂ B∧B ⊂ A

P( A) = 2 n( A) = {x / x ⊂ A} EJEMPLO: A = { 1; 4; 7; 10 }

B = { 7; 1; 10; 4 }

Si A = { 1 ; 2 }

A = B = { 1; 4; 7; 10 }

P(A) = {{1};{2} ;{1;2};ø} → nP(A)=4

n[P( A)] = 2 n( A) = 2 2 = 4

PROPIEDADES: 1º A = A ……….. ……………… Propiedad reflexiva 2º

A = B ↔ B = A …………..… Propiedad simétrica

A = B ^ B = C → A = C …..Propiedad transitiva

Calcular P( A )

PRÁCTICA DE CLASE EJEMPLO ILUSTRATIVO: 1º Dado : A = { 2 ; 3 }

B = { x Є< x < 4 }

C = {xЄN/2≤x≤3}

01. Si los conjunto A y B son iguales.

{

Verificar si se cumple las propiedades de igualdad de conjuntos. Resolución: A={2;3} = {2;3}

………….. Prop. Reflexiva

A={2;3} yB={2;3}

……….. Prop. Simétrica

A={2;3}

B={2;3}

Calcular la suma de los elementos de: M = {n / n ∈ N ∧ y p n p x }

C = { 2 ; 3 } … Prop. Transitiva

A) 23

B⊂ A

B) 24

C) 30

D) 22

E) 31

02. Si: “T” es un conjunto unitario. Determinar el valor numérico de:

a b R =  +  en: T = {3a − 2b; a + b; 25}  3 2

EJEMPLO ILUSTRATIVO A = { 2; 4; 6 }

242 :

B = { 3 y _ 1 ; 1025 }.

4. CONJUNTOS COMPARABLES: Dos conjuntos son comparables si y solamente si uno de ellos está incluido en otro, es decir: A⊂ B

}

A = 2 x +1 ;

A) 5

B = { x/x Є N ٨ 1 < x < 8 }

B) 10

C) 15

D) 12

E) NA

03. Hallar N , Si A = B A = { 2; 3; 3,; 3; 3; 3 }

B = { 3; x; x; x; }

Si: N = A U B , Cuántos subconjuntos propios tiene? A)2 CONGREGACIÓN DE RELIGIOSAS MERCEDARIAS MISIONERAS

8

B) 12

C) 3

D) 1

E) 8

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04. Dado el conjunto:

10. Decir cuántas de las proposiciones son verdaderas

A = { ø; 2; { 1; 5} ; {3 } }

A={3; 7; {5;7}; {8}; {1; 3; 8};8;ø}

¡Cuántas de las afirmaciones son verdaderas?

∗ ∅∈ A ∗ {∅} ⊂ A ∗ {5;7}∈ A ∗ {5;7} ⊂ A

I. { ø } ∉ A II . {2,3} ⊂ A

V . {1;3;5}∈ A A) 1 B) 2

III . 2 ∈ A C) 3

{3} ⊄ A

IV . D) 4

A) 4

E) 5

B) 5

 3x + 1  05. Dado el siguiente conjunto: A =  ∈ Z / 1 ≤ x ≤ 3 .  2  Calcular : n ( A) A) 3

B) 2

C) 5

D) 6

∗ {1;3;8} ⊂ A ∗ {{5;7}{8}} ∈ A ∗ {{5;7}{8}} ⊂ A ∗ {3;7} ⊂ A C) 7

D) 3

E) 6

PROBLEMAS PROPUESTOS

E) 4 01. Si: R = { { a }; b; { c } ; { d; e} } Cuál es la relación correcta:

A) {c} ⊂ R D) {d ; e} ⊂ R

06. Dado el conjunto: A = {2 x + 1 / x ∈ N ; 2 x − 3 〈 10}

B) a ⊂ R C) b ⊂ R E ) {{d ; e}} ⊂ R

¿Cuál es la alternativa correcta? 02. Si: A = { 3a – b ; 16 } A) 6 ∈ A D) {4;5} ⊂ A

B) 9 ⊂ A

C) 11 ∈ A E) {5;7}∈ A

;

B = { a + b } , además A = B

( conjuntos iguales) . Calcular: M = aa + bb A) 148

B) 186

C) 176

D) 172

E) 182

03. Si: M = { 1; 2; 3 } y P es el conjunto formado por todos los

07. Dado el conjunto: B = {´1 ; 2 ; m ; n ; {m; n } ; ø } ¿Cuántas de las proposiciones son correctas?.

elementos que son los dobles o los triples de los elementos

{n} ⊂ B {1} ⊂ B {m; n} ⊂ B {m;2; ∅} ⊂ B 2∈ B

del conjunto M, determinar la suma de los elementos de P.

A) 2

B) 3

C) 4

{{m; n}} ⊂ B

A) 16

D) 5

E) 6

B) 20

C) 22

D) 24

E) 26

04. De la siguiente expresión: n ( A ) = 3 ; n ( B ) = 4 . Determinar el máximo valor de los elementos de:

n[P( A) U P ( B )]

07. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda I . ( A I B ) = n( A ) II .

{a; a} ⊂

III .

{m } ⊂ {m ; n ; p}

A) VFF

entonces : A ⊂ B

{ 3 ; 3 ; 3 } entonces

B) VFV

C) FVV

A) 24

a =6

D) FFF

B) 23

C) 22

D) 21

E) 20

05. Dado los conjuntos iguales : A = B ;

E) FVF

A = { a2+3; b – 5 }

B = { b + 59 ; a – 19 }.

Calcular el valor de : ( a + b ) 09. Dado el conjunto: A = { 2 ; 3 ; { 2 ; 3} ; 4 ; 5 } A) 14

Cuántas de las proposiciones son correctas?

1)2 ∈ A 2)3 ∈ A 3){2} ⊂ A 5){2;4} ⊂ A 6){5} ∈ A A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

4){2;3} ∉ A

B) 7

C) -14

D) - 7

E) 0

06. Determinar la suma de los elementos del conjunto “M” por extensión:

{

(

)

}

M = x − 1 / 17 − x ∈ N ∧ x ∈ N A) 28 B) 34 C) 42 D) 36

E) 6

9

E) 48

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Con Jesús y María Nuestra Madre de la Merced, eduquemos en la verdad, construyendo la paz. 07. Si : A =

{x / x ∈ Z

∧ 1 p x

p

6} .

04. Dado los siguientes conjuntos:

Encontrar el valor de n[P(A)] A) 4

B) 15

C) 26

A = { a + 2b ; a – b } D) 16

08. Dado el conjunto: S = { x/x es una letra de la palabra matemática }

son dos

D) 64

A) 48

D) { -1; 0; 1 }

D) 55

E) 70

conjuntos

tales que: n ( A U B ) = 30

;

n ( B – A ) = 8.

Determinar el valor de: n (A ) + n ( B )

E) 32

09. Determine por extensión el conjunto: A = {( x − 1) / x ∈ N ;4 x 〈 9} A){ 0; 1 } B) { 0; 1; 2 }

C) 45

n ( A – B ) = 10 ;

Encontrar el cardinal del conjunto potencia de S C) 49

B) 50

05. Si: n ( P ) = significa: número de elementos de P . A y B

¿Cuántos subconjuntos tiene S? B) 36

B = { 6 ; 21 } , son iguales y

( a, b ) ∈ N. Calcular: “ a , b “

E) 8

A) 44

A) 60

;

C) { -1; 0 }

B) 30

C)24

D) 42

E) NA

06. Si A tiene 16 subconjuntos; B tiene 8 subconjuntos y ( A U B ) tiene 32 subconjuntos. ¿Cuántos subconjuntos tiene ( A ∩ B ) A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) NA

E) { 0; 2 }

10. Sean los conjuntos. A = { 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 6}

07. Dado los conjuntos unitarios:

B = { 2x/ x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 6}

A={(m+n); (n+p);8}

Determinar el valor de: n ( A) + n ( A ∩ B ) A) 7

B) 6

C) 5

Determinar el valor de: “ m + n – p “

D) 4

E) 3

A) 1

TAREA DOMICILIARIA

A) 12

Señale cual de las siguientes proposiciones es verdadera.

B) 10

C) 6

A) 1

D) 8

B) 18

C) 20

D) 4

E) 5

D) 32

B) 15

C) 3

D) 8

E) 9

B) 2

C) 3

D) 4

E) φ

10. Dado A = {2 x + 3 /(2 x + 3) ∈ N ∧ 0 〈 x 〈 6}

E) NA

Determinar: n [ P ( A ) A) 1024

03. Descubrir el número de subconjuntos que tiene el siguiente conjunto. A = {x 2 / x ∈ Z ∧ −5 〈 3x + 1 〈 13} A) 16

C)3

09. Cuántos subconjuntos propios tiene: R = { 0; { 1; 2 }}

C ) {2} ∈ A

02. El conjunto P tiene 258 subconjuntos más que un conjunto unitario. Indicar el cardinal del primer conjunto. A) 12

B) 2

08. Dado el conjunto: B = {( x + 3) / x ∈ Z ; x 2 〈 9} . Calcular la suma de los elementos del conjunto B.

01. Dado el conjunto “A” A={1; 2 ; {2;a}; {2; 1; b}}

A) 2 ∈ {2; a} B) 1 ∈ {2;1; b} D ) {2; a} ∈ A E ) {2; a} ∈ {2;1; b}

B = { ( m + p ) ; 10 }

B) 512

C) 128

D) 256

E) 2048

E) NA

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10

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ARITMÉTICA PRIMERO AÑO

Formación Integral de Personas Libres y Solidarias

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CONTENIDO TEÓRICO

DIFERENCIA

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen aB.

( A-B)

REUNIÓN:

Conjunto formado por todos los elementos comunes a ambos conjuntos.

⇒ ( A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}

comunes y no

(A U B ) ó ( A V B ) ⇒ ( AUB = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

(A–B)

(A–B)=A

(A–B)=B

PROPIEDADES: (AUB)

(AUB)

(AUB)=B

1ª ( A – B ) ≠ B - A

3º A - ø = A

2º A – B = A ∩ B´

4º A - U = ø 5º ø – A = ø

PROPIEDADES: 1º ( A U A ) = A

6º A ∩ ( B - C ) = ( A ∩ B ) – ( A ∩ C )

2º A U ( B U C ) = ( A U B ) U C

3º ( A U B ) = ( B U A )

4º A U ø = A

5º A U U = U DIFERENCIA SIMETRICA Conjunto formado por la diferencia de ( A U B ) y ( A ∩ B) INTERSECCIÓN: Conjunto formado por los elementos comunes de A y B. (A ∆ B ) = ( A – B ) U ( B – A )

(A ∩ B ) ó ( A ∧ B ) ⇒ ( A I B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}

(A∩B)

(A∩B={ }

(A ∆ B ) = ( A U B ) – ( A ∩ B )

(A∩B)=A

(A∆B)

PROPIEDADES: 1ª ( A ∩ A ) = A

IDEMPOTENCIA

2º ( A ∩ B ) = ( B ∩ A )

CONMUTATIVA

IDENTIDAD

5º A ∩ U = A

IDENTIDAD

(A∆B)=B-A

PROPIEDADES:

3º ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) ASOCIATIVA 4º A ∩ ø = ø

( A ∆ B) = A U B

1º ( A ∆ B ) = B ∆ A

4º A ∆ ø = A

2º ( A ∆ B ) ∆ C = A ∆ ( B ∆ C )

5º A ∆ U = U - A

3º A ∆ A = ø

11

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Con Jesús y María Nuestra Madre de la Merced, eduquemos en la verdad, construyendo la paz. 03. Dados los siguientes conjuntos:

COMPLEMENTO Dado el conjunto Universal y un subconjunto A . Entonces el complemento de A está formado por los elementos que pertenecen a U , pero que no pertenecen a A.

A = { x/x es un número natural divisor de 12} B = { x/x es un número natural divisor de 18 }

A c ; A´⇒ A´= {x / x ∈ U ∧ x ∉ A}

C = { x/x es un número natural divisor de 16 } Calcular: ( A – B ) ∩ ( B – C ) A) { 4; 6; 12 } E) ø

B) { 4; 12}

C) {3; 6; 9; 12}

D){ 7 }

Resolución Si: A ⊂ B ⇒ C A = B − A

A = { 1; 2; 3; 4; 6; 12} B = { 1; 2; 3; 6; 9; 18 } C = { 1; 2; 4; 8; 16 }

PROPIEDADES: 1ª A U A´= U

4º ø´ = U

2º A ∩ A ´= ø

5º ( A´ ) ´ = A

A – B = { 4; 12 } B – C = {3; 6; 9; 18 } Luego: (A – B ) ∩ ( B – C ) = ø

04. Si: n ( A U B U C ) = 93

3º U ´ = ø

; n ( A ) = n ( B ) = 41 n [ (A ∩ B ) – C ] = 9 ;

n ( C ) = 46 ; n[(B∩C)–A]=7

;

n [ A – (B U C ) ] = 18.

Calcular: n ( A ∩ B ∩ C )

PROBLEMAS EXPLICATIVOS

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

01. Mostrado los conjuntos: A = { 1; 2; { 1; 2} ; 3 } B = { { 2; 1 } ; { 1; 3 }; 3 } Determinar el conjunto: [( A − B) I B ] U ( B − A) A) { 1; 3 } B) {{ 2; 1 }} C) {{ 1; 3 }} D) { 3 }

Resolución c +x + 27 = 41 a + x + 16 = 41 b + c + x + 7 = 46 c + x = 14 a + x = 25 b + c + x = 39 → b = 25 a+ b+ c + 18 + 9 + 7+ x =93 a + b + c + x = 60 a = 20 y x = 5

E) { 1 }

Resolución ( A – B ) = { 1; 2 } ( B - A ) = { 1; 2 }

(A–B)∩B=ø øU(B–A) =(B-A) ( B – A ) = { 1; 3 } Clave A

05. Se tiene los siguientes datos: n ( A ) = 32 ; n ( B ) = 27 ;

02. Dado los siguientes conjuntos: N = { a; b; e; f; g }

P = { a; b; c; d; f }

n ( A ∩ B ) = 11. Entonces el número de elementos de

Q = { a; d; e; f; i }

( A U B ) es

Cuál de las siguientes expresiones es incorrecta.

A) 70 A) N - P = { e; g } C) N ∩ P = { a; b; f} E) ( N ∩ Q ) – P = { e }

B) Q – P = { e; i } D) P ∆ Q = { a; b; e; i }

B) 68

C) 48

D) 59

E) 43

Resolución N ( A U B ) = 21 + 11 + 16 N ( A U B ) = 48

Resolución A) Correcta D) Incorrecta

n(A∩B∩C)=x=5

B) correcta E) Correcta

C) correcta

Clave D CONGREGACIÓN DE RELIGIOSAS MERCEDARIAS MISIONERAS

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Formación Integral de Personas Libres y Solidarias

06. De un grupo de 80 personas; 30 leen la revista A, 70 leen la revista B y 25 leen las dos revistas. ¿Cuántos no leen ninguna de dichas revistas?.

04. Si: A y B

son conjuntos incluidos en el U tales que

n ( A ) = 12

;

n ( B) = 16

;

n ( A ∩ B´ ) = 7 .

Calcular: n ( A ∆ B ) A) 0

B) 5

C) 50

D) 15

E) 25

A) 18

B) 20

C) 23

D) 17

E) 16

Resolución X + 75 = 80 X=5

05. Sean los siguientes conjuntos: n ( A ) = 36

; n ( B ) = 29 ;

n ( A ∩ B ) = 15. Encontrar el cardinal de ( A U B ) A) 50

B) 60

C) 29

D) 15

E) 36

D) 4

E) 5

06. Dado los conjuntos:

A = {x ∈ N / 2 ≤ x ≤ 8 } B = {x ∈ N / 6 〈 x 〈 10}

PRÁCTICA DE CLASE

C = { 6; 7; 8 }

c

01. Simplificar: ( AUB )c I ( A I B ) c    C ) Ac I B c A) A ∩ B B) ( A I B )c

Determinar n [ ( A ∩ B ) ∩ C ] D) A U B

A) 1

E) A c I B

B) 2

C) 3

07. Mostrado el siguiente conjunto:

02. ¿Qué operación corresponde el siguiente diagrama de VENN – EULER? A) ( A ∩ B) U C B) A U ( B ∩ C ) C) (A ∩ B ) U ( A ∩ C ) D) ( A U B ) ∩ C E) ( A ∩ C ) U B

A = { x/x es divisor de 18} B = { x/x es divisor de 30 } Calcular: ( A U B ) Calcular el valor de la suma algebraica de sus elementos. A) 40

B) 60

C) 99

D) 120

E) 100

08. Dado los siguientes conjuntos: A = { 1; 5; 8 }

B={2}

C = { 4; 5; 9}

D = { 7; 8; 9}

Determinar la cantidad de elementos de ( A – C ) – ( D – B ) A) 1

03. La parte sombreada del diagrama de VENN – EULER mostrado, corresponde a la operación: A) A U (B ∩ C)

B) 2

09. Sean los conjuntos: U = { 1; 2; 3; 4; 5 }

B) A ∩ ( B U C )

C) 3

D) 4

A = { 1; 2; 3 }

E) 5

B = { 3; 4; 5 }

C = { 2; 3; 5 }

C)(AU B ) ∩C D) ( A ∩ B ) U C

Redescubrir: ( A´ U B´ ¨) ∆ C´

E) ( A ∩ B ) ∩ C

A) ø

13

B) { 2; 5 }

C) { 1; 4 }

D) { 1; 2 }

E) { 3 }

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Con Jesús y María Nuestra Madre de la Merced, eduquemos en la verdad, construyendo la paz. 06.

10. Dado los conjuntos:

{

En un salón de 100 alumnos que practican álgebra y/o geometría; 80 practican álgebra; 60 practican geometría.

}

¿Cuántos practican solamente un curso?

A = x ∈ N / 4 ≤ x 2 ≤ 100 B = {x ∈ N / 2 x − 1 ≤ 11}

A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

07. La parte sombreada del esquema corresponde: Calcular la suma de los elementos de (A U B ) A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

A) (A ∩ B ) U ( B – C )

E) 55

B) ( A – B ) U ( C - B ) C) C – ( A ∩ B ) D) (C - B ) U ( A ∩ B ) E) NA

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Sean A y B conjuntos tales que: n ( A ) = 6 ; n ( B ) = 3 n ( A ∩ B ) = 2 . Calcular n [ P ( A ∆ B ) ] A) 2

B) 4

C) 8

D) 16

08. La siguiente gráfica corresponde a la operación: A) ( A ∩ B ) – C

E) 32

B) A ∆ ( B U C ) C) ( A U B ) ∆ C

02. Sea A y B dos conjuntos tales que: n ( A U B ) – n ( A ) = 4 ;

D) ( A ∆ B ) ∆ C

n ( A ∆ B ) = 10 ; n ( B ) = 12 . Calcular: n ( A U B ) A) 48

B) 16

C) 18

D) 24

E) ( A ∆ B ) ∩ C

E) 8

09.

03. Sea los conjuntos : U = { 1; 2; 3; 4; 5…………; 10 } A = { 2; 4; 5; 8; 10 }

B = { 3; 4; 6; 8; 9 }

Dado el siguiente diagrama: simplifica la expresión:

[A I B I (B´ U D´ )] U B

A) A

Determinar: ( A´- B ) ∩ ( B´ - A ) A) {1; 7 }

B) { 1; 6 } C) { 2; 8 }

D) { 1; 8 }

B) A – B

E) NA

C) B U D´ D)BUD

04. Si: A = { x/x es un número par entre 10 y 20}

E) B

B = { n / n es un número primo menor que 18} Determinar el valor de n(A U B ) – n ( A – B ) A) 15

B) 10

C) 11

D) 17

10. Simplificar: [ (A´ U B ) ∩ ( B´ U A ) ]´ U ( A ∩ B )

E) 21

A) A

B) B

C) A c

D) A U B E) A ∩ B

05. Sean A y B dos conjuntos tales que: A – B = { 1; 6} y ( A U B ) = { 0; 1: 3; 4; 6; 8 }

11. En una peña criolla trabajan32 artistas. De éstos, 16 bailan,

Determinar los elementos de “B” A) { 0; 3; 4; 8}

B) {0; 1; 4; 6}

D) { 0; 4; 6; 8}

E) { 1; 3 }

25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan no bailan es:

C) {1; 4; 8 }

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A) 4

14

B) 5

C) 2

D) 1

E) 3

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Formación Integral de Personas Libres y Solidarias

05ª Si: A = {x / x ∈ N ;2 〈 x ≤ 7} ; B = {x / x ∈ N ;4 〈 x ≤ 8} Determine por extensión el conjunto ( A ∩ B )

B) En una encuesta a 600 televidentes se supo que:  250 veían “24 horas”  220 veían América Noticias  100 veían los 2 programas

06. Mostrado lo siguientes conjuntos: P = x / 5 〈 x 2 ≤ 144; x ∈ N

{

¿Cuántos no veían ninguno de dichos programas? A) 100

B) 250

C) 220

D) 230

E) 240

}

Q = {x / x ∈ N : 3 x − 4 ≤ 20} Calcular: n [ P U Q ] A) 11 B) 12 C) 13

TAREA DOMICILIARIA 01. ¿A qué es igual la parte sombreada?.

07. Sea: A = { 1; 2; 3; 4}

D) 14

B = { 2; 4; 6}

E) NA

C = { 2; 3; 4}

Determinar el número de elementos de: M={(A–B)U(A–C)U(B–C)}

I. C – ( A ∩ B ) II. ( C – A ) U ( C – B ) III. C ∆ ( A ∩ B )

A) Sólo I

B) sólo II

C) I y II

D) Sólo III

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

08. Dado los conjuntos: A = { 1; { 1, 2 }; 2} B = { { 2 }; 1; { 1; 2}} C = (AUB)–(A∩B) Cuántos subconjuntos tiene C.

E) I; II; III

A) 2

02. Cuál de las siguientes expresiones representa a la parte sombreada. A) B – ( A ∩ C ) B) ( A – C ) ∩ ( C – A ) C) [( A – C ) ∩ B] ∩ [( C – A ) ∩ B ] D) ( A ∩ B ) U ( B ∩ C ) E) ( A ∆ C ) ∩ B

B) 4

C) 8

D) 16

E) 32

09 Si n ( A ) = cantidad de elementos diferentes de A , Luego: A U B = U n ( A U B ) = 38 n(A–B)=8 n ( A ∩ B ) = 12 Calcular: n ( B – A ) A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

10. Si: n ( A ) = 18 ; n ( B ) = 24 ; n ( A ∩ B ) = 15 03.

Dado los siguientes conjuntos: U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 }

A = { 1; 2; 3; 4; 5 }

Determinar el número de elementos de ( A U B )

B = { 3; 4; 5; 6; 7 }

C = { 1; 2; 3 }

A) 24

B) 25

C) 26

D) 28

E) 27

Determinar: {[( A U B ) ∩ ( A U C ) ] – C } U B´ A) { 1; 2; 3; 4 }

B) { 1; 2; 4; 5 }

C) ø

D) { 1; 2; 3}

11. Simplificar: ( A ∩ B ) U ( A U B´ )´

E) { 3; 4; 5; 6; 7 }

04. Dado los conjuntos: B = { 2; 4; 6 }

A) A ∩ B

U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6}

D) A

E) A´

12. Simplificar: [ ( A ∆ B ) U ( A ∩ B ) ] – ( A – B ) (OLIMPIADA INTERESCOLAR DE MATEMÁTICA)

Determinar: A) 1

C) B

A = { 1; 3; 5}

C = { 1: 4 } .

n ( A U C )c I B    B) 2 C) 3 D) 4

B) A U B

A) A - B

E) 5

15

B) B - A

C) B

D) A

E) φ

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Con Jesús y María Nuestra Madre de la Merced, eduquemos en la verdad, construyendo la paz. 08. De un grupo de personas se sabe que el 71% no lee la revista A, el 67% no lee la revista B, el 24% leen la revista A o la revista B pero no los dos a la vez. ¿Qué porcentaje no lee ninguna de las dos revistas? A) 19% B) 24% C) 57% D) 29% E) 33%

PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS

01. Una academia deportiva tiene 80 miembros de los cuales, 30 no practican ni atletismo ni fulbito; 20 practican atletismo y 6 practican atletismo y fulbito. ¿Cuántos practican sólo uno de estos deportes? A) 30 B) 38 C) 20 D) 44 E) 25

09. En una encuesta realizada a 160 personas, 94 tienen refrigeradora; 112 tienen cocina a gas y 10 no tienen ninguno de los artefactos mencionados. ¿Cuántos tienen cocina a gas solamente? A) 40 B) 38 C) 20 D) 56 E)19

02. De un grupo de 65 alumnos; 30 prefieren comunicación, 40 prefieren lógico matemático; 5 prefieren otros cursos. ¿Cuántos alumnos prefieren lógico matemático y comunicación? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

10. En un salón de 600 alumnos, 100 no estudian inglés ni francés y 50 estudian francés e inglés. Si 450 estudian francés.¿Cuántos estudian sólo inglés?

03. En un salón de 100 alumnos; 65 aprobaron Raz. Matemático, 25 aprobaron Raz. Matemático y Raz. Verbal; 15 aprobaron solamente Raz. Verbal. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

A) 100

C) 80

D) 90

E) 250

11. En una encuesta realizada a 35 personas sobre las preferencias de los artículos A y B se tiene el siguiente resultado: 19 personas no prefieren A, 13 personas no prefiere B, 6 personas no prefieren alguno de estos artículos. ¿Cuántos prefieren A y B? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

04. De los 60 alumnos que componen un salón de clases, 32 juegan fútbol y 25 juegan básquet. ¿Cuántos juegan exclusivamente un deporte si 10 no practican ninguno? A) 43 B) 45 C) 4 D) 31 E) 39

12. Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino? (CONCURSO NACIONAL DE MATEMÁTICA)

05. En una asamblea de 70 integrantes de un club, 45 estudian, 48 trabajan, 8 no trabaja ni estudia. ¿Cuántos trabajan pero no estudian? A) 14 B) 17 C) 25 D) 31 E) 39

A) 1

B) 11

C) 13

D) 12

E) 5

13. De 150 alumnos, 104 no postulan a la UNS; 109 no postulan a San Pedro y 70 no postulan a ninguna de estas dos universidades. ¿Cuántos postulan a ambas universidades?

06. En un salón de clases de 60 alumnos se observa que a 40 alumnos les gusta matemática, a 30 les gusta comunicación y a 12 alumnos no les gusta ninguno de estos cursos. ¿A cuántos alumnos les gusta solamente matemática? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

A) 10

B) 12

C) 15

D) 13

E) 7

14. De 40 personas se sabe que: 15 no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan.¿Cuántas personas realizan sólo una de las actividades? A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

07. En un avión hay 100 personas de los cuales 50 no fuman y 30 no beben. ¿Cuántas personas hay que fuman y beben, sabiendo que hay 20 personas que solamente fuman? A) 10 B) 30 C) 20 D) 50 E) 70

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B) 50

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Formación Integral de Personas Libres y Solidarias

15. De un grupo de 200 personas entre salseros y rockeros, a 120 no les gusta la salsa y a 130 no les gusta el rock. Si a 80 no les gusta salsa ni el rock. ¿A cuántas personas les gustan ambas músicas?

19. De un grupo de personas; 29 tienen radio; 16 televisores; 12 plancha; 8 radio y televisor; 7 televisor y plancha; 9 radio y plancha. Si 5 tienen los 3 artefactos. ¿Cuántos tienen sólo uno de ellos?

(CONCURSO NACIONAL DE MATEMÁTICA) A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

A) 9

E) 50

B) 12

C) 13

D) 24

E) 16

16. En un grupo de 55 personas, 25 hablaban español, 32 quechua, 33 inglés y 5 los tres idiomas. Luego el número de personas que hablan sólo dos de estos idiomas es: A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 28

20. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 hablan francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dos de estos idiomas?

17. En un aula, 40 alumnos tienen el libro de Aritmética, 30 de física y 30 de geometría. Además:  A 12 de ellos les falta sólo el libro de física, a 8 sólo el de geometría, y a 6 sólo de aritmética.  5 alumnos tienen los tres libros y 6 no los tienen ¿Cuántos alumnos hay en el aula?

21. En un salón se encuentran 52 alumnos de los cuales 30 son hombres, 12 mujeres no tienen 18 años. Si 30 personas tienen 18 años, ¿Cuántos hombres tienen 18 años? A) 10 B) 12 C) 22 D) 20 E) 30

A) 25

B) 22

C) 26

D) 21

E) 24

(CONCURSO NACIONAL DE MATEMÁTICA) A) 50

B) 60

C) 70

D) 80

E) 90

18. En un barrio donde hay 29 personas, 16 compran en el mercado; 15 en la bodega y 18 en el supermercado, 5 en, los dos últimos sitios, únicamente; 6 en los 2 primeros, únicamente; y 7 en el primero y el último, únicamente. ¿Cuál es el número de personas que compran solamente en el mercado? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

17

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Con Jesús y María Nuestra Madre de la Merced, eduquemos en la verdad, construyendo la paz.

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Teoría de Conjuntos  

Conjunto de temas relacionados con la teoría de conjuntos

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