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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERRER CAMPUS MORELIA

Memoria del curso Ingeniería de Control

Néstor Adán Cerda Guerrero A01064323

Dr. Rosalino Rodríguez Calderón 08/Julio/2013 INTRODUCCIÓN El control automático ha desempeñado un papel importante en el avance de la ingeniería y la ciencia, en nuestro caso, ingeniería mecatrónica. Es importante que un


ingeniero mecatrónico este familiarizado con la teoría y la práctica de control automático. En teoría de control existen tres divisiones principales: teoría de control clásica, teoría de control moderna y la teoría de control robusta. En el curso de Ingeniería de control, solo tomamos el control clásico y moderno. Las diferencias que existen entre estas teorías de control se muestran en el diagrama 1.

Control Clásico

Control Moderno

Función de Transferencia

Espacio de Estados Una entrada

N

entradas Una salida M salidas Invariantes en el tiempo Variante e invariante en el tiempo Sistemas lineales Lineal o no lineal Diagrama . Control clásico y Control Moderno Cabe

mencionar,

que

el

control automático se ha convertido en una parte muy importante en los sistemas de vehículos espaciales, en los sistemas robóticos, en los procesos modernos de fabricación y en cualquier operación industrial que requiera operación de temperatura, presión, humedad, flujo, etc.

INDICE Introducción………………………………………………………………………………………...II 1.- Introducción a los Sistemas de control clásico y moderno…………………………IV 1.1. Características de los sistemas de control……….. 2.- Modelos Matemáticos de sistemas: Función de transferencia y Espacio de Estados............................................................................................................................VIII 3.- Características y Desempeño de los sistemas de control retroalimentados……XVI

2


4.- Estabilidad de los sistemas lineales con retroalimentación………………………XXIII 5.- Acciones básicas de control regulatorio y servocontrol…………………………XXVI 6.- Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en el lugar geométrico de las raíces………………………………………………………..….XXVII 7.- Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en la respuesta a la frecuencia……………………………………………………………..….XXXVII 8.- Diseño de la Ley de Control en sistemas diseñados en el espacio de estados…………………………………………………………………………………………...LIII

Conclusión……………………………………….………………...…………………………….LIX

Apéndice de Mat-Lab……………………………………………………………………………LX

Referencias………………………………………………………………….………………….LXII

Anexos…………………………………………………………………………………………..LXIII

1. Introducción a los sistemas de control clásico y moderno Como ya se mencionó anteriormente en la introducción, existen 3 tipos de sistemas de control: clásico, moderno y robusto. Antes de comenzar a analizar sistemas de control, es importante mencionar ciertos términos que serán usados durante el presente trabajo: Sistema de control.-Es un tipo de sistema que se caracteriza por la presencia de una serie de elementos que permiten influir en el funcionamiento de un sistema. La finalidad de un sistema de control es conseguir, mediante la 3


manipulación de las variables de control, un dominio sobre las variables de salida, de modo que estas alcancen unos valores prefijados. Sistema de control en lazo abierto.- Son los sistemas en los cuales la salida no tiene efecto sobre la acción de control. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Sistema de control en lazo cerrado.- Los sistemas de control realimentados se denominan también sistemas de control en lazo cerrado, es decir, el sistema mantiene una relación determinada entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la diferencia como medio de control. Variable controlada.- Es la cantidad o condición que se mide y controla. Normalmente es la salida del sistema. Set-point.- Valor al que se desea mantener una variable de proceso Perturbaciones.- Una perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema y es una entrada. Planta.- Puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de elementos de una máquina que funcionan juntos, y cuyo objetivo es efectuar una operación particular. O bien puede ser cualquier objeto físico que se va a controlar (como un dispositivo mecánico, etc.). Controlador.- Provee la excitación para la planta; está diseñado para controlar el comportamiento del sistema.  1.1 CARACTERISITCAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 4


Los sistemas de control se dividen en 2: los sistemas de control en lazo abierto y los sistemas de control en lazo cerrado. A continuación se mostrarán algunas de las características que presentan ambos, además de las partes que los componen.

Lazo abierto. •

El sistema de control de lazo abierto tiene un error muy grande ya que la salida y la entrada no son dependientes una de otra.

El sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar, ya que la estabilidad del sistema no es un problema importante.

Es aconsejable usar sistemas de control en lazo abierto cuando se conocen con anticipación las entradas y no existe una perturbación. Por otro lado, los sistemas de control de lazo cerrado solo tienen ventajas cuando se presentas perturbaciones.

El sistema de control de lazo abierto es de tipo secuencial.

Partes que lo componen.- Señal de referencia, Controlador, Planta, Salida y Perturbaciones.

Lazo cerrado. •

El sistema de control de lazo cerrado hace posible usar componentes relativamente poco precisos y baratos para obtener el control adecuado.

La señal de salida y la de entrada tienen un efecto significativo en la señal de control.

Tiene costos y potencias muy grandes.

5


Una combinación adecuada de controles en lazo abierto y cerrado es menos costosa y ofrecerá un comportamiento satisfactorio del sistema global.

Partes que lo componen.- Señal de referencia, Controlador, Planta, Salida, Señal de retroalimentación y Perturbaciones. La imagen 1 y 2 muestran los sistemas de control en lazo cerrado y lazo abierto respectivamente.

Imagen 2. Sistema de control en lazo cerrado

Imagen 3. Sistema de control en lazo abierto

6


2. Modelos matemáticos de sistemas: Función de transferencia y Espacio de Estados La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describe en términos de ecuaciones diferenciales. Los modelos matemáticos pueden tomar muchas formas diferentes, según sea el sistema particular que se está estudiando y las circunstancias, una representación matemática determinada puede ser más adecuada que otras para un mismo sistema. Como se mostró en el diagrama 1, el control clásico se usan las funciones de transferencia y en el control moderno se usan los espacios de estados. Función de transferencia La función de transferencia de un sistema descrito mediante ecuaciones diferenciales lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la trasformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales sean cero. En pocas 7


palabras, es el cociente de la salida del sistema entre la salida del sistema en el dominio de Laplace. La imagen 4 muestra un ejemplo de un sistema con su respectiva función de transferencia

Imagen 4. Función de transferencia de algún sistema

Para tener más claro lo que es una función de transferencia, el siguiente ejemplo explica paso a paso como obtenerla. EJEMPLO: Obtener las ecuaciones diferenciales del sistema mostrado en el diagrama2, eo(t)=? Además de obtener su función de transferencia correspondiente.

Diagrama 2. Sistema para el ejemplo Imagen 5. Procedimientos y resultados del ejemplo

El ejemplo

anterior

muestra

cómo se puede determinar la función de transferencia de un circuito eléctrico. Pero un 8


sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones de cada componente, en ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada diagramas de bloques. Diagramas de bloques. El diagrama de bloques es una representación gráfica del funcionamiento de un sistema, que se hace mediante bloques y sus respectivas relaciones, además, definen todo el proceso interno, sus entradas y sus salidas. En resumen se puede decir que un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de señales. Un diagrama así indica las interrelaciones que existen entre los diferentes componentes. A diferencia de una representación matemática abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de señales del sistema real. La imagen 6 muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que señala el bloque indica la entrada y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Estas flechas se conocen como señales.

Punto

de

Imagen 6. Elemento de un diagrama de bloques.

suma.- Un circulo

con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. El signo más o el signo menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. La imagen 7 ilustra un punto de suma y no de resta.

9


Otro

Imagen 7. Punto de suma y resta

punto

importante que es

necesario mencionar son los puntos de ramificación. Con estos elementos es básicamente como se realizan los diagramas de bloques.

La imagen 8 muestra un sistema de control en lazo cerrado con los elementos mencionados anteriormente.

La función de

Imagen 8. Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado

transferencia

de

un diagrama de bloques es muy sencilla de obtener, siempre y cuando se tenga cuidado de redibujar el diagrama correspondiente. Además de existir tablas de bloques equivalentes, véase la tabla 1.

10


Tabla 1. Tabla con equivalencias de bloques

A continuación se muestra un ejemplo de cómo obtener la función de transferencia de un diagrama de bloques. EJEMPLO:  Obtener la función de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado del siguiente diagrama a bloques.  Si G(s)=K y Gp(s) es la función del paso 2, obtener la función de transferencia del paso anterior.

Diagrama 3. Diagrama a bloques del ejemplo

11

Imagen 9. Procedimiento del paso 1


Imagen 10. Procedimiento del paso 2

Espacio de estados. En esta unidad solo se presentará un material introductorio sobre el análisis de sistemas de control en el espacio de estados. En la unidad 8 se profundizará en el diseño de la Ley de Control en sistemas diseñados en el espacio de estados. 12


Antes de continuar se deben definir: estado, variables de estado, vector de estado, espacio de estados. Estado.- es el conjunto de variables tales que el conocimiento de esas variables, determinan el comportamiento del sistema a esas variables. Variables de estado.- es un conjunto de variables que determinen el estado del sistema, se necesitan n variables para describir totalmente el comportamiento de un sistema dinámico X1, X2, X3, .......Xn Vector de estado.- Si se necesitan n variables de estado para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces esa n variables de estado se pueden considerar como las componentes de un vector x. Espacio de estados.- El espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, eje x2,…, x n donde x1, x2,…, x3 son las variables de estado.

3.

Características

y

desempeño

de

los

sistemas

de

control

retroalimentados. En la unidad anterior, se planteó que el primer paso para analizar un sistema de control era obtener un modelo matemático del mismo. Una vez obtenido el modelo, existen varios métodos para el análisis del comportamiento del sistema. 13


En el análisis y diseño de sistemas de control, se debe tener una base de comparación del comportamiento de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las señales de entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada. Las señales de prueba son: impulso, escalón y rampa. Tal y como se muestran en la imagen11 respectivamente.

La forma de la

Imagen 11. Señales típicas de prueba

entrada a la

que estará sometido el sistema, estará sujeto con mayor frecuencia en una operación normal determina cuál de las señales de entrada típicas se debe utilizar para analizar las características del sistema. Como diseñador de controladores, se debe saber con seguridad que señales de prueba utilizar. Polos y ceros. Los sistemas de primer y segundo orden, incluso los de orden superior, tienen polos y ceros. Los ceros son aquellos que en el numerador, al igualarlo a cero y resolviendo la ecuación, nos da algunos valores. Los ceros normalmente se representan con un círculo. En cambio los polos son aquellos que en el denominador, al igualarlo a cero y resolviendo la ecuación, nos da algunos valores. Los polos normalmente se representan con una cruz. Los polos y ceros ayudan a saber si el sistema en lazo cerrado es estable o inestable, ya que si todos los polos y ceros se encuentran del lado izquierdo del semiplano complejo, se dice que el sistema es estable, de lo contrario, es inestable. La imagen 12 muestra un sistema estable y no inestable sucesivamente.

14


Imagen 12. Sistema estable e inestable

de

Sistemas primer

orden. Los sistemas de primer orden, como su nombre lo indica, son sistemas en los cuales, su función de transferencia es de primer orden. El desempeño del sistema va a variar dependiendo si la retroalimentación es negativa o positiva. La imagen 13 muestra un ejemplo de como varia la respuesta.

Imagen 13. Retroalimentación negativa en comparación con la retroalimentación positiva

15


Sistemas de segundo orden. Los sistemas de segundo orden, como su nombre lo indica, son aquellos sistemas donde el denominador es una función de segundo orden. La ecuación 1 muestra la forma estándar del sistema de segundo orden.

Dónde:

ζ =Factor

Ecuación 1. Forma estándar del sistema de segundo orden

de

amortiguamiento Wn=Frecuencia natural no amortiguada El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describirá a continuación en términos de 2 parámetros

ζ

y

ωn

. Si 0< ζ < ¿ 1, los polos en

lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si se

denomina

corresponden a

ζ =0 , la respuesta transitoria no se amortigua. Si

críticamente

amortiguado.

Los

sistemas

ζ =1 , el sistema

sobre

amortiguados

ζ =1

La imagen 14 muestra una familia de curvas con diversos valores de

ζ ,

donde la abcisa es la variable adimensional W n.

16


Imagen 14. Curvas de respuesta a escalón unitario con distintos valores de

ζ

En

muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico muestra con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una estrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente: 1.- Tiempo de retardo td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance por primera vez la mitad del valor final. 2.- Tiempo de subida tr: el tiempo de subida es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 95% o de 0 al 100% de su valor final. 3.- Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobre elongación. 4.- Sobre elongación máxima, M p: la máxima sobre elongación es el máximo valor del pico de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. 5.- Tiempo de asentamiento, t s: El tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del

17


tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 o 5%).

Las

Imagen 15. Curva de respuesta a escalón unitario con td, tr, Mp y ts

expresiones que se muestran en la imagen 16, ayudan a encontrar algunas de las variables de desempeño deseadas.

Imagen 16. Expresiones que ayudan con los cálculos

18


El siguiente ejemplo ayudará a comprender mejor lo mencionado con anterioridad. EJEMPLO: Diseñar un controlador con las siguientes especificaciones: •

Mp

Sobrepico

menor al 25%. En este diseño se consideró un sobrepico de

15%. •

Tiempo de establecimiento

ts

menor a 10 segundos. Se consideró un tiempo

de establecimiento de 5 segundos. •

Error de estado estable menor al 4%. Se consideró un error de estado estable del 2%.

1. Cálculo de

ζ

(factor de amortiguamiento) y

ω (n )

(frecuencia natural no

amortiguada) de acuerdo a las especificaciones de diseño.

−(

M p =e

ζ

√ 1−ζ 2

despejando ζ y sustituyendo M p=0.15

ζ=

ln (M p ) π

[

ln ( M p ) 1+ π

]

2

=

ln 0.15 π

[

ln (0.15) 1+ π

]

2

=0.5896

Ecuación para determinar la frecuencia natural no amortiguada con error de estadoestable de 2

ω n=

4 4 = =1.357 ζ t s (0.5896)(5)

19


2. A continuación se calcularon los polos deseados utilizando la ecuación general para sistemas de segundo orden, y tomando en cuenta los valores de

ζ

y

ωn

. Se recuerda que los polos deseados son las raíces del

polinomio del denominador en esta ecuación general, y son usados para verificar que los polos de nuestro sistema sí estén dentro del gráfico del lugar de las raíces.

s 2+2 ( 0.5896 ) (1.357 ) s+ 1.3572=0 s1,2 =−0.8 ± 1.0959 En las unidades siguientes hablaremos un poco de como diseñar por completo los controladores. Por el momento el ejercicio termina hasta aquí.

4. Estabilidad de los sistemas lineales con retroalimentación. El diseño de controladores se basa en el cálculo de las constantes tales que ubiquen los polos de lazo cerrado en el lugar correcto para obtener la respuesta deseada del sistema de control. En el diseño de controladores existen varios métodos, los más comunes son: Heurístico y Matemático. El método Heurístico, que como su nombre lo dice, es un método basado en la experiencia que puede utilizarse como ayuda para resolver problemas de 20


diseño, desde calcular los recursos necesarios hasta en planear las condiciones de operación de los sistemas. Uno de los métodos heurísticos que se utilizó en el curso de ingeniería de control fue el método de la curva de reacción. Este método tiene por objetivo encontrar ciertos parámetros para poder determinar las contantes Kp, Ki y Kd. Los pasos para el diseño de controladores por el método de la curva de reacción se muestran a continuación: 1.- Se obtiene la respuesta al escalón a lazo abierto 2.- Se traza una línea tangente en el punto de inflexión 3.- Se miden los parámetros L y T 4.- Se usan las tablas de Ziegler-Nichols

Tabla 2. Tabla de Ziegler-Nichols para el método de la curva de reacción Imagen 17. Método de la curva de reacción

Otro

de

los

métodos heurísticos

utilizados en el curso de ingeniería de control fue el método de oscilación. Los pasos para el diseño de controladores se muestran a continuación: 1.- Se coloca un bloque proporcional con ganancia pequeña en lazo cerrado. Se ve la respuesta al escalón. 2. Se aumenta la ganancia hasta lograr una oscilación constante. 3. Se miden la ganancia Ku y el periodo de las oscilaciones Tu. 4. Se usan las tablas de Ziegler-Nichols

21


Tabla 3. Tabla de Ziegler-Nichols para el método de oscilación

5.- Acciones básicas de control regulatorio y servocontrol 22


Controladores automáticos.- Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reduce la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control. Clasificación de los controladores industriales.- Los controladores industriales se clasifican, de acuerdo con sus acciones de control como: 1. De dos posiciones o controladores on-off 2. Controladores proporcionales 3. Controladores integrales 4. Controladores proporcionales-integrales 5. Controladores proporcionales-derivativos 6. Controladores proporcionales-integrales-derivativos

6.- Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en el lugar geométrico de las raíces

23


La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la localización de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por tanto, es importante que nosotros como diseñadores conozcamos cómo se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme varían la ganancia de lazo. Es necesario que el diseñador tenga en cuenta lo siguiente: Para la imagen 18 el tiempo de asentamiento queda determinado por el valor de atenuación de σ de los polos dominantes en lazo cerrado.

Imagen 18. Determinación del tiempo de asentamiento por la posición de los polos

Para la imagen 19 el lugar geométrico de frecuencia constante queda determinado por polos con parte imaginaria igual.

Imagen 19. Determinación del lugar geométrico de frecuencia por la posición de los polos

24


Para la imagen 20 el lugar geométrico de factor de amortiguamiento relativo constante queda determinado por los polos sobre una línea de pendiente dada.

Imagen 20. Determinación del lugar geométrico de factor de amortiguamiento por la posición de los

Como se vio en las imágenes anteriores: Mientras el polo se encuentra más cerca del eje real la frecuencia natural disminuirá. Mientras más alejado esté del eje imaginario, el tiempo de asentamiento será menor. Mientras el ángulo que forme con respecto al eje real sea mayor, el factor de amortiguamiento disminuirá. La imagen 21 muestra un resumen de lo mencionado anteriormente.

Imagen 21. Resumen de colocación de polos

Una

vez

que

quedó

claro

cómo

afecta la posición de los polos en el plano s, pasaremos a describir el proceso del método del lugar de las raíces. El lugar de las raíces es una gráfica de las raíces de la ecuación de lazo cerrado ( 1+KG(s)H(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro parámetro desde 0 hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto ( G(s) ), véase el Diagrama 4. De forma inicial, 25


al evaluar la ecuación característica de nuestro sistema en lazo abierto, se tienen dos condiciones: la condición de ángulos y la condición de magnitud. Se grafican los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Cabe mencionar que siempre son simétricos al eje real, por tanto, solo es necesario construir la mitad superior de los lugares de las raíces y dibujar la imagen especular de la mitad superior en el plano S inferior. También se puede decir que es un método que indica la forma en que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla con especificaciones de comportamiento del sistema. Es muy útil cuando se quieren obtener resultados aproximados con mucha rapidez

Diagrama 4. Sistema de control en lazo cerrado

Parámetros involucrados

en un gráfico del

lugar de las raíces. Por lo general, el parámetro involucrado es la ganancia(K), aunque es posible utilizar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto. ¿De dónde se obtiene el grafico de lugar de las raíces? Se obtiene de evaluar la respuesta del sistema al modificar el parámetro K desde 0 a infinito, de forma que tenemos un espacio en el que los polos de lazo cerrado se pueden mover conforme a la modificación que se vaya haciendo Procedimiento para construir el grafico del lugar de la raíces basado en las 8 reglas básicas. 1.Ubicar los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano complejo S. 26


2.Determinar los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. 3.Determinar las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. 4.Encontrar puntos de desprendimiento (ruptura) y de ingreso. 5.Determinar el ángulo de salida de un ángulo geométrico de las raíces a partir de un polo complejo. 6.Encontrar los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces cruzan al eje imaginario. 7.Tomar una serie de puntos de prueba y trazar los lugares geométricos. 8.Determinar los polos en lazo cerrado Durante el curso, nunca graficamos el lugar de las raíces de manera manual, sin embargo se usó el software Mtat-Lab para facilitar el proceso. Los comandos utilizados se pueden apreciar en el apéndice de Mat-Lab al final del documento. Sin embargo, durante el curso, si se realizaron cálculos mediante el método del lugar de las raíces. El siguiente ejemplo muestra cómo se usa este método en la elaboración de controladores, ya sean P, PI o PID. EJEMPLO: Diseñar el sistema de control para controlar la velocidad de un motor de corriente directa de imán permanente. Dicha actividad se debe realizar siguiendo los pasos siguientes: Planta 1.Obtener la función de transferencia de un motor de CD de imán permanente. Puede apoyarse del capítulo 11 de la siguiente referencia. Alciatore, David G, “Introduction to mechatronics and measurement systems”, 3rd ed., cGraw-Hill, 2007

2.-Obtener la hoja de datos de un motor de CD de 12V, o cercano, y poco par. De ésta los parámetros requeridos por la función de transferencia del punto anterior. Diseño y Simulación 27


3. Seleccionar un controlador (P, PI o PID) y diseñarlo usando LGR, de tal forma que permita obtener una respuesta con las siguientes característica: menos de 10 segundos de tiempo de establecimiento (considerar error del 2%) y un sobrepico menor al 15%. Simulación 4. Verificar el diseño del paso anterior con gráficos de LGR, respuesta al escalón y respuesta a la rampa, usando MatLab. Lo primero que se tuvo que realizar fue una investigación para poder saber la función de transferencia de un motor DC de imán permanente. Para esto, se recurrió al libro Alciatore, David G, “Introduction to mechatronics and measurement systems”, 3rd ed., cGraw-Hill, 200. La función de transferencia se muestra a continuación. W (s ) Kp = V ( s) ( Is+ c ) ( Ls+ R ) +KeKt

Como siguiente paso, se recurrió al datasheet del motor, para poder sustituirlas en la función de transferencia. Por lo cual, nos quedó la siguiente función de transferencia. W (s ) 1.3e9 = V ( s) s 2 +1.5e6s+ 4.2e7 Posteriormente, se tuvo que diseñar un controlador de tipo PID, ya que los controladores de tipo P y PI no cumplían con las condiciones de ángulo y de magnitud. Este controlador tenía que tener una respuesta con las siguientes características: menos de 10 segundos de tiempo de establecimiento (considerar error del 2%) y un sobrepico menor al 15%. La función de transferencia se puede considerar de primer orden, ya que el coeficiente de s^2 es muy pequeño. Por lo tanto, el diseño se hizo con una función de transferencia de grado 1. W (s ) 12e-3 = V ( s) 1.29e-5 s+ 3.667e-4 28


Para realizar el controlador PID, se debe añadir dicho controlador a la función de transferencia y así poder determinar las constantes kp, ki y kd.

kd

(

s2 +

kp ki s+ kd kd s

)(

12e-3 1.29e-5 s+ 3.667e-4

)

Dejando la expresión anterior, como: kd

(

2

s +bs +c s

)( 1.29e-512e-3 s+3.667e-4 )

Como siguiente paso, se deben determinar los polos y ceros en lazo abierto y localizarlos en el plano complejo. Polos: S1=0, S2=-28. Ceros: (sabemos que son 2, por la ecuación de segundo grado) Ahora se deben determinar los polos deseados, con las características mencionadas, para esto, se pueden usar las siguientes ecuaciones para determinar los valores del factor de amortiguamiento y la frecuencia natural. Mp=0.09

ts=5s −ξπ

Mp=e √1−ξ

2

(

−ξπ

2 ln ( 0.09 )=ln e √ 1−ξ

(

(−2.40 )2= −ξπ 2 √1−ξ

)

)

2

ξ =0.65 (Factor de amortiguamiento)

ω n=

4 4 = tsξ 10s∗0.65 ω n=1.21

(Frecuencia natural no amortiguada)

ω d =ω n √1−ξ 2

29


Finalmente se obtienen los polos deseados: s=−0.78 ± 0.92i Con esto, podemos hacer la gráfica para poder ver si la condición de magnitud y de ángulo se cumple. X X

X

Con la gráfica en el plano complejo, se determinaron los ángulos de los polos con respecto al eje real. Los ángulos resultantes fueron los siguientes: α1=130° y α2=1.93° Posteriormente, se realizó la condición de ángulo, para poder determinar los ángulos a los que se encontraban los ceros.

( θ1−θ2 ) −( 130+1.93 )=∓ 180 ( 2k+1 ) θ1=156 °

y θ2=154 °

Con estos ángulos, podemos conocer las distancias a las que se encuentran los ceros. Esto se hace con algunas relaciones trigonométricas y poder determinar s1 y s2. Los valores que se obtuvieron fueron: s1=1.28 y s2=1.10. Con los valores de los ceros que se encontraron en el paso anterior, se puede conocer los valores de kp/kd y ki/kd.

( s 2+ bs+ c )

(1.28)^2+b(1.28)+c=0 (ecuación 1) (1.10)^2+b(1.10)+c=0 (ecuación 2) Resolviendo el sistema de ecuaciones: b=-2.38 y c=1.408. Una vez obtenidos los valores de b y c, se prosigue a hacer la condición de magnitud, para poder conocer el valor de kd y como consiguiente, se pueden determinar los valores de ki y kp tomando en cuenta que: b=kp/kd y c=ki/kd. Los valores que se obtuvieron fueron: kd=7.61e-3, ki=0.0107 y kp= -0.018 30


Simulación Para la etapa de simulación, se utilizó Simulink. La imagen 22 muestra el sistema de control.

La gráfica que

Imagen 22. Sistema de control en Simulink

arrojó se muestra en

las imágenes 23 y 24.

Imagen 23. Respuesta del sistema

Se llegó a la

Imagen 23. Respuesta del sistema (zoom)

conclusión de que el

controlador PID que se diseñó funcionaba correctamente, ya que la respuesta del sistema cumple con las especificaciones que se otorgaron al principio.

31


7.- Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en la respuesta a la frecuencia Con el término respuesta en frecuencia, se quiere hacer referencia a la

respuesta de un sistema en estado estacionario a una entrada sinusoidal. En los métodos de respuesta en frecuencia, a frecuencia de la señal de entrada se varía en un cierto rango, para estudiar la respuesta resultante. A continuación se mostrará uno de los métodos de respuesta en frecuencia para el análisis y diseño de sistemas de control. Diagramas de Bode. El diagrama de bode es un tipo de representación gráfica de funciones complejas (en nuestro caso funciones de transferencia) dependientes de una variable real (la frecuencia angular)

En un diagrama de Bode se representan por un lado el módulo de la función y por otro la fase

.

Está formado por dos gráficas una es la gráfica del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia sinusoidal. Y la otra es la gráfica del ángulo de fase; ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica. La representación común de la magnitud logarítmica G(jw) es 20 log |G(jw)|, donde la base del logaritmo es 10. La unidad utilizada en esta representación para la magnitud es el decibelio, por lo general abreviado como dB La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicación de magnitudes, se convierte en suma.

32


Los factores básicos que suele representar una función de transferencia arbitraria G(jw)H(jw) son: •

La ganancia K

Los factores integrales y derivativos

Los factores de primer orden

Los factores cuadráticos

±1

( jw )

(1+ jwT )± 1

[1+ 2ζ

jw jw 2 ±1 + ] wn wn

( )( )

Ganancia K La curva para

es una línea recta horizontal

para la

ganancia K en la magnitud de 20logK db. El ángulo de fase es cero. Si se varia la ganancia K en la función de transferencia se eleva o desciende la curva del logaritmo para no afectar el ángulo de fase Si aumentamos el valor numérico en factor de 10, el valor en decibeles aumenta un factor de 20.

Imagen 24 .Diagrama de Bode para la magnitud y para el ángulo de fase respectivamente

33


Si expresamos el reciproco de un número en decibeles •

Los factores integrales y derivativos Termino

( jw )± 1

( jw )−1

La magnitud logarítmica en decibeles es

El ángulo de fase

1 jw

es una constante igual a -90°

Octava: banda de frecuencias w1 a 2w1

Pendiente -20db/

Imagen 25. El gráfico -20log(w) db es una recta

Termino

década o

-6db/octava

( jw )1

La magnitud logarítmica en decibeles es

El ángulo de fase de jw es una constante igual a 90°

34


Pendiente

20db/

Imagen 26. El gráfico -20log(w) db es una recta

década o 6db/octava

Angulo de fase

Pendientes-

Imagen 27. Diagrama de Bode

20ndb/década

y

20ndb/década respectivamente y pasan por el punto (0dbenw=1)

Los factores de primer orden Termino

(1+ jwT )± 1 (1+ jwT )−1

La magnitud logarítmica en decibeles

35


Si recta 0 db. Si

línea recta con pendiente -20 db/década

Si Curva de logaritmo de la magnitud

Imagen 28. Curva de logaritmo de la magnitud

−1

Angulo de fase (1+ jwT ) El Angulo de fase está dado por

36


EL ERROR

Imagen 29. Gráficas del error

Termino

(1+ jwT )1

La magnitud logarítmica en decibeles es

Si

Si

recta 0 db.

línea recta con una pendiente 20

db/década . Si

37


Imagen 30. Curva del logaritmo de magnitud

Angulo de fase (1+ jwT ) El รกngulo de fase estรก dado por

38


Los factores cuadráticos

[1+ 2 ζ

jw jw 2 ±1 + ] wn wn

( )( )

Generalizaciones ζ >1 se puede escribir como dos de primer orde con polos reales

a) Si

b) Si 0< ζ <1

producto de dos factores complejos conjugados

Las aproximaciones asintóticas no son exactas para valores bajos de

ζ

porque la

magnitud y la fase del valor cuadratico dependen de la frecuencia de cruce y del factor de amortiguamiento Factor

[1+ 2 ζ

ζ

jw jw 2 −1 + ] wn wn

( )( )

La magnitud logarítmica en decibeles es

Si w<<

wn

Si w>>

wn

magnitud≈-20log1=0 db recta 0 db 2

w magnitud≈-20log w 2 =-40log n

w wn

db linea recta con una

pendiente .40 db/ decada Si w>>

wn

magnitud=- 40log

w wn

=-40 log 1 db= 0 db

39


Imagen 31. Gráfica de los factores cuadráticos

[1+ 2 ζ

Angulo de fase

jw jw 2 −1 + ] wn wn

( )( )

Donde ԑ = ζ

40


Imagen 32. Diagrama de Bode, factores cuadráticos

Ejemplo Hacer el diagrama de bode para la siguiente función de transferencia

1.

Se pone G(jw) en forma general, donde los factores de primer orden y el factor de segundo orden están en línea con 0 db.

41


2.

Identificar los factores ue componen la funci贸n

Compuesta por

3. Encontrar la frecuencia de corte de cada factor

42


4.

Se hayan los valores aproximados de cada uno de los factores de la funci贸n

43


5. Se grafica cada una de las funciones independientemente

6.

La funci贸n

Imagen 33. Funciones independientes

de transferencia G(jw)

resulta de la suma de las funciones

44


Para diagramas de ángulos de fase se procede de la misma manera. Compensadores de atraso y adelanto En ocasiones es necesario modificar las características del sistema que se desea controlar para poder obtener la respuesta que se requiere, para conseguir esto se agregan al sistema compensador, estos elementos pueden ser dispositivos neumáticos, eléctricos, hidráulicos, etc. Los compensadores son de diferentes tipos: de adelanto, de atraso y de adelantoatraso. Estos compensadores agregan beneficios al sistema para de esta manera poder determinar cuál se debe utilizar, la desventaja es que al mismo tiempo agregan complejidad al sistema, los compensadores de atraso y adelanto, aumentan el orden del sistema en 1, mientras que los de atraso-adelanto aumentan el orden del sistema en 2. La compensación de adelanto mejora la respuesta transitoria y produce un pequeño cambio en la precisión en estado estable. Sin embargo puede generar ruido 45


por las ganancias en alta frecuencia. Es comúnmente utilizada para mejorar los márgenes de estabilidad. Este tipo de compensación aumenta el ancho de franja del sistema, lo que le da mayor velocidad para responder. Para realizar algún compensa de adelanto, se deben de seguir los siguientes pasos: •

Se construyen los diagramas de Bode del sistema con la ganancia modificada.

Se calcula el ángulo de adelanto de fase necesario para cumplir con la especificación.

Se determina el factor de atenuación alpha.

Se calcula la ganancia a atenuar.

En el diagrama de Bode obtenido anteriormente, se localiza dicha ganancia y se ubica la frecuencia a la cual se produce. Esta frecuencia será la nueva frecuencia de cruce de ganancia (Wm). Esta frecuencia permitirá definir el valor de las singularidades del compensador.

Se determina la posición del cero y del polo del compensador.

Se ajusta la ganancia del compensador

46


La compensación de atraso aumenta el tiempo de respuesta en estado estable (por la reducción del ancho de franja del sistema), además disminuye el ruido. Debido a la baja ganancia en alta frecuencia del sistema, se puede aumentar la ganancia total del sistema y con ello mejorar incrementar la ganancia en baja frecuencia del sistema y mejorarse la precisión del sistema en estado estable. Para realizar algún compensa de atraso, se deben de seguir los siguientes pasos: •

Se construyen los diagramas de Bode del sistema con la ganancia modificada.

Con los datos de especificación del compensador, se calcula el ángulo que se requiere.

En el diagrama de Bode se identifica y se determina la frecuencia donde se produce. Esta frecuencia será la frecuencia de cruce.

Se determina cuando vale la magnitud d esta frecuencia.

Se determina el factor de atenuación beta.

Se determina la posición del cero y del polo del compensador.

Se obtiene la ganancia del compensador.

47


8.- Diseño de la Ley de Control en sistemas diseñados en el espacio de estados En este capítulo analizaremos el método de diseño en el espacio de estados

basados en el método de asignación de polo. El método de asignación de polos es el análogo al método del lugar de las raíces ya que se colocan los polos en lazo cerrado en posiciones deseadas. La diferencia básica es que en el diseño del lugar de las raíces se sitúan solo los polos de lazo cerrado dominantes, mientras que en el diseño por asignación de polos se colocan todos los polos en lazo cerrado en las posiciones que se deseen. En el capítulo 2 se mencionaron algunos conceptos acerca de espacio de estados, por lo que es conveniente regresar y retomar el capítulo 2. Esta técnica consiste en igualar la ecuación característica del sistema con la ecuación característica deseada, basada en los requisitos de respuesta transitoria. Las siguientes ecuaciones son básicas para el diseño de controladores con ecuaciones de estado.

El valor de la ganancia K0 debe ser tal que la ganancia de la función de transferencia después del tiempo sea igual a 1.

En Sistemas de Control, se sabe que el diseño de controladores se reduce a encontrar los valores de constantes que, modificando matemáticamente la planta, permiten ubicar a los polos de lazo cerrado en determinada posición, de manera 48


que la respuesta del sistema cumpla con el comportamiento deseado. Esto no es una excepción en sistemas que han sido modelados en el Espacio de Estados. A continuación se muestra el procedimiento para diseñar un controlador utilizando el método de colocación de polos por retroalimentación de estados, partiendo de que el sistema de control se representa en el Diagrama 5.

Diagrama Control

5. Sistema de

EJEMPLO: Obtener el espacio de estados continuo de la siguiente planta. Considere como salida el voltaje en el capacitor, R1=1Ω, C1=0.25F y L1=0.5H. Además Diseñe el controlador analógico para el sistema modelado por el espacio de estados anterior, usando el método de ubicación de polos por retroalimentación de estados. Considere que la repuesta deseada debe generar polos de lazo cerrado de s=-0.5±j0.5

Diagrama 6. Planta La planta para este problema es el circuito RLC de la Imagen 1. De ahí se debe obtener el modelo matemático en Espacio de Estados para poder aplicar el método antes mencionado. Los valores para cada elemento y que serán utilizados durante el método son: R=1 Ω

L=0.5H C=0.25F. Pide también considerar el voltaje del capacitor

como la salida del sistema, de modo que la ecuación de salida queda: v o ( t )= y ( t )=v c ( t ) . 49


El primer paso para resolver este problema es definir las ecuaciones de estado y la ecuación de salida para nuestra planta. Se debe recordar que las ecuaciones de estado son las ecuaciones diferenciales de primer orden que contienen las entradas y las variables de estado (que definen el comportamiento del sistema). Esto se hace analizando nuestro circuito mediante una malla y tomando en cuenta que i ( t ) =i R ( t )=i L ( t )=i C (t)

dado que es un circuito serie. El análisis mediante LKV en

esta malla que determina la primera ecuación de estado es: V 1=V R +V L +V C v 1 ( t ) =Ri ( t ) + L

di(t ) +v C (t) dt

di(t ) −v c ( t ) Ri ( t ) v1 ( t ) = − + Ec.1 dt L L L

Hecho esto, se utiliza la definición de corriente para un capacitor, de manera que se pueda despejar la derivada del voltaje, dado que i ( t ) =i C (t ) :

i c ( t )=C

d v c (t) dt

d v c (t) i c ( t ) i (t) = = Ec. 2 dt C C De esta manera ya se tienen las ecuaciones de estado que definen el comportamiento del sistema y la ecuación de salida, solo resta acomodarlas de forma matricial como se muestra a continuación. Ecuaciones de Estado

50


[ ] [ ][ d vC (t) 0 dt = −1 di(t) L dt

1 0 C v C (t ) + 1 v 1 (t) −R i(t ) L L

][

]

Ecuación de Salida y ( t )= [ 1 0 ]

[ ] v C (t) i(t )

Dado que la ecuación característica del sistema está dada por

∣sI −A+ BK ∣ =0,

donde I es la matriz identidad y K la matriz de n constantes (con n igual al número de variables de estado), se resuelve para K como se muestra a continuación:

[

] []

∣[ ] [

][]

4 , B= 0 ,C =[ 1 0 ] Dadas las matrices : A= 0 −2 −2 2

4 + 0 [ K1 K2 ] =0 Ec.Característica s 0 − 0 0 s −2 −2 2

∣[

s −4 + 0 0 =0 2 s +2 2K1 2K2

]∣

∣[

s −4 =0 2+2K1 s+ 2+ 2K2

][

]∣

2

s + ( 2+2K2 ) s+(8+ 8K1)=0 Ahora se debe obtener la ecuación característica que incluye a los polos deseados. Para este caso se pide que la respuesta genere polos en

s=−0.5 ± j0.5 ,

así nuestra ecuación característica queda como:

( s+ 0.5+ j0.5 ) ( s +0.5− j0.5 )=s 2 + s+ 0.5=0

51


De acuerdo al método se iguala la ecuación característica en los polos deseados con la ecuación característica general del sistema. Esto es: s 2+ s +0.5=s2 + ( 2+2K2 ) s +(8+ 4K1) Igualando los coeficientes de cada una de las ecuaciones se obtiene: 2+ 2K2=1

8+4K1=0.5 Resolviendo para K1 y K2:

K2=

0.5−8 =−1.875 4

K1=

1−2 =−0.5 2 De esta manera se forma el vector de constantes que se obtiene

matemáticamente es K=[-1.875

-0.5]. Para corroborarlos resultados se recurre al

software de MATLAB ya la función acker mediante el siguiente código: a=[-2 -2;4 0]; b=[2;0]; p=[(-0.5+0.5i) (-0.5-0.5i)]; k=acker(a,b,p) Arrojando como resultado: K= -0.5 -0.9375 Ahora que ya se tienen los valores de las constantes, resta determinar el valor de la ganancia de ajusta K0. Se debe obtener el límite de la función cuando s tiende a 0, de la siguiente manera: Y (s) CB =K 0 R(s) sI −A+ BK

52


lim

s→0

[]

[1 0] 0 Y (s ) 2 =1 o lim K 0 2 =1 R (s ) s→0 s + s+ 0.5 Resolviendo el producto de matrices del numerador se observa que da 0 (cero),

de forma que el valor de la ganancia de ajusta es: K 0=0 Con las constantes que se sacaron anteriormente, se puede diseñar el controlador como se requiere en el problema.

CONCLUSIÓN Al terminar este curso me di cuenta de que la materia de Ingeniería de Control, es muy importante en la carrera de Ingeniería mecatronica, ya que, el control es de gran importancia en los sistemas de vehículos espaciales, de guiado de misiles, robóticos y analógicos, además de que el control automático se ha convertido en una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de fabricación. Cabe mencionar, que gracias a este curso, estaremos más preparados para el curso de Control Computarizado.

53


• • •

Apéndice de MatLab roots(a) -----[Este comando entrega las raíces de un polinomio, se necesita declarar el polinomio en forma de vector] rlocus(a,b)- [Este comando despliega el gráfico del lugar de las raíces donde: a=numerador y b=denominador] bode(a,b)—[Este comando despliega el diagrama de Bode de una función de transferencia] SIMULINK Simulink es una aplicación que permite construir y simular modelos de sistemas físicos y sistemas de control mediante diagramas de bloques. El comportamiento de dichos sistemas se define mediante funciones de transferencia, operaciones matemáticas y señales de todo tipo. La siguiente imagen muestra la ventana principal de simulink.

54


La manera de realizar diagramas en Simulink es muy sencilla, ya que solo es de buscar los bloques y colocarlos en el espacio de trabajo

BibliografĂ­a ayciaguillo.blogspot.mx. (s.f.). Recuperado el 5 de Junio de 2013, de http://ayciaguillo.blogspot.mx/2013/02/1-clase.html dea.unsj.edu.ar. (s.f.). Recuperado el 06 de Julio de 2013, de http://dea.unsj.edu.ar/control1b/teoria/unidad1y2.pdf es.scribd.com. (s.f.). Recuperado el 20 de Junio de 2013, de http://es.scribd.com/doc/16331267/Diagrama-de-Bode ie.itcr.ac.cr. (s.f.). Recuperado el 20 de Junio de 2013, de http://www.ie.itcr.ac.cr/marin/lic/el3212/Diagrama_de_Bode.pdf

55


itlalaguna.edu.mx. (s.f.). Recuperado el 6 de Julio de 2013, de http://www.itlalaguna.edu.mx/academico/carreras/electronica/sis_lin2/analisis%20de %20estadobis.pdf Ogata, K. (2003). IngenierĂ­a de Control Moderna. Madrid: Pearson. upcommons.upc.edu. (s.f.). Recuperado el 4 de Junio de 2013, de http://upcommons.upc.edu/pfc/bitstream/2099.1/3330/5/34059-5.pdf

Anexos

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Memoria del curso1