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Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006 UTP. ISSN 0122-1701

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES RESUMEN

ALEJANDRO MARTÍNEZ A.

En este artículo se estudia el método de Heaviside para descomponer una fracción propia f ( x) = p( x) / q( x) , es decir, p y q son polinomios, y grado( p( x)) < grado(q ( x)) . Este tipo de descomposición se utiliza en el cálculo de integrales de funciones racionales y para encontrar algunas transformadas inversas de Laplace y se basa en un teorema del álgebra avanzada, el cual establece que cada función racional, sin importar que tan complicada sea, puede rescribirse como una suma de fracciones más simples, 5x − 3 2 3 por ejemplo 2 . = + x + 1 x −3 x − 2x − 3

Licenciado en Educación con Especialidad en Matemáticas. Profesor Auxiliar Universidad Tecnológica de Pereira. amartinez@utp.edu.co

PALABRAS CLAVES: Fracción propia., fracciones parciales. ABSTRACT This paper studies the Heaviside method for decomposing an own fraction f ( x) = p( x) / q( x) . That is to say, p and q are polynomials and deg ree( p( x)) < deg ree(q( x)) . This type of decomposition is used to calculate integrals of rational functions and to find some inverse Laplace transforms and it’s based in a theorem of advanced algebra, which it establishes that each rational function, no matter what complicated it was, can rewrites as a sum of fractions most simples, by example 5x − 3 2 3 . = + 2 x + 1 x −3 x − 2x − 3 KEYWORDS: Own fraction, partial fractions. 1. INTRODUCCIÓN. La descomposición en fracciones parciales de una fracción propia es un procedimiento utilizado muy frecuentemente cuando se va hallar una antiderivada de una función racional o cuando se quiere encontrar la transformada inversa de Laplace. En la mayoría de los textos de Cálculo no se hace un tratamiento detallado de este tema. En [3] se hacen algunas observaciones sobre el método de Heaviside, pero no se profundiza. Este tema se encuentra desarrollado en [1] y [2] de una manera más formal, de donde se ha tomado y se ha ampliado. En este artículo se asume que los polinomios p(x) y q(x) tienen coeficientes reales. 2. CONTENIDO.

CASO 1. x = a es una raíz real simple de q(x) , es decir, q( x) = ( x − a )t a ( x) , con t a (a) ≠ 0 . Entonces existe una función wa 1 tal que A + wa ( x ) , f ( x) = x−a y A se calcula de la siguiente manera:

Paso 1. Se multiplica en ambos lados de (1) por x – a para obtener

p ( x) = A + ( x − a ) wa ( x) . t a ( x) Paso 2. Se asigna a x el valor de a, de donde A=

Empezamos el desarrollo considerando los posibles caso que se presentan en la factorización de q(x) .

p(a) t a (a )

A Ejemplo 1. Calcule

1

∫x

Los índices en las funciones

x +1 3

+ x 2 − 6x

ta

y

wa

dichas funciones dependen de la raíz a. Fecha de Recepción: 31 Enero de 2006 Fecha de Aceptación: 04 Mayo de 2006

.

Este procedimiento se repite para cada raíz simple de q(x).

2.1. Método algebraico Este es el método más comúnmente utilizado. continuación se analizan los casos posibles.

(1)

dx .

se usan para indicar que


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260 Solución. Hay que encontrar la descomposición en x +1 fracciones parciales de f ( x) = 3 . Es decir, x + x 2 − 6x hay que hallar constantes A, B y C tales que f ( x) =

A B C . + + x x−2 x+3

Como p ( x) = x + 1 y q( x) = x + x − 6 x . Al factorizar q(x) se tiene q( x) = x( x − 2)( x + 3) . Luego, 3

2

p(0) 0 +1 1 = =− , t 0 (0) (0 + 3)(0 − 2) 6 p(3) 2 +1 3 B= = = , t 2 (2) 2(2 + 3) 10

Paso 4. Se efectúan los cálculos en el lado derecho para obtener un polinomio Paso 5. Se igualan los coeficientes de las potencias correspondientes de x y se resuelven las ecuaciones resultantes para los coeficientes Am−1 , … , A2 , A1 . CASO 3. Si x = a = α + iβ es una raíz compleja simple. En este caso también lo es x = a = α − iβ ,

puesto que q(x) tiene coeficientes reales. Es decir, q ( x) = [( x − α ) 2 + β 2 ] t a ( x) . Entonces

A=

C=

f ( x) =

(x − α ) 2 + β 2

p( x) = A( x − α ) + B + [( x − α ) 2 + β 2 ] wa ( x) t a ( x)

−1 3 2 + − . 6 x 10( x − 2) 15( x + 3)

Paso 2. Se asigna a x el valor de α, de donde

Por lo tanto,

B=

∫ f ( x)dx = − 6 ln x + 10 ln x − 2 − 15 ln x + 3 + C 3

2

m > 1 de q(x), es decir, q ( x) = ( x − a ) m t a ( x) . Entonces Am ( x − a)

m

+

Am −1

( x − a) A + 1 , x−a

m −1

+

+

2

(2)

f ( x) =

Paso 1. Se multiplica a ambos lados de (2) por ( x − a ) m , para obtener

2

2

+

C(x − α ) + D (x − α ) 2 + β 2

+ wa ( x) , (4)

p( x) = A( x − α ) + B t a ( x)

+ A1 ( x − a ) m −1 +

Paso 2. Se asigna a x el valor de a, de donde p(a) t a (a)

Paso 3. Se multiplica en ambos lados de (3) por ( x − a) m t a ( x) , para obtener p( x) = [ Am + Am −1 ( x − a ) +

[( x − α ) + β ] 2

Paso 1. Se multiplica a ambos lados de (4) por [( x − α ) 2 + β 2 ] 2 para obtener

+ [( x − α ) 2 + β 2 ] [C ( x − α ) + β ] + [( x − α ) 2 + β 2 ] 2 wa ( x)

+ ( x − a ) m wa ( x )

Am =

A( x − α ) + B

en donde A, B, C y D se calculan de la siguiente manera

en donde Am, Am–1, …, A1 se calculan de la siguiente manera

p( x) = Am + Am−1 ( x − a ) + t a ( x)

CASO 4. Si x = a = α + iβ es una raíz compleja doble. En este caso también lo es x = a = α − iβ . Es decir, q( x) = [( x − α ) 2 + β 2 ] t a ( x) . Entonces

A2 ( x − a)

p(α ) − β 2 wa (α ) . t a (α )

Paso 3. Se asigna otro valor de x y se despeja A.

CASO 2. Si x = a es una raíz real de multiplicidad

f ( x) =

(3)

Paso1. Se multiplica en ambos lados de (3) por ( x − α ) 2 + β 2 para obtener

Luego

1

+ wa ( x) ,

en donde A y B se calculan de la siguiente manera

−3 + 1 2 p(−3) = =− , 15 t −3 (−3) − 3(−3 − 2)

f ( x) =

A( x − α ) + B

+ A1 ( x − a) m −1 +

+ ( x − a ) m wa ( x)] t a ( x ).

Paso 2. Despejar p(x) en la expresión anterior, efectuar los productos en el lado derecho para formar un polinomio, igualar coeficientes y luego resolver el sistema resultante en A, B , C y D. Una forma alternativa es asignar valores adecuados a x para formar un sistema en A, B, C y D y luego resolver el sistema resultante. 2.2

Método de Heaviside

El método de Heaviside es similar al método algebraico. Los casos se enuncian como teoremas.


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Teorema 1. Suponga que f ( x) =

261

p( x) y que x = a es q ( x)

q(x) , es decir, una raíz real simple de q( x) = ( x − a )t a ( x) , con t a (a) ≠ 0 .Entonces existe una constante A tal que A f ( x) = + wa ( x ) , x−a p(a) p (a ) en donde A = o bien A = . t a (a) q' (a)

q ( x) = ( x − a ) m t a ( x) . Entonces

f ( x) =

A1 A2 + + x − a ( x − a) 2

Sea ha ( x) = ( x − a) f ( x) . De acuerdo con la teoría de fracciones parciales, existe una constante A tal que

Am ( x − a) m

+ wa ( x) ,

en donde Am = lim ha ( x) = ha (a ) = x→a

1 dk s → a k! dx k

Am − k = lim

Demostración.

+

p (a ) t a (a) ,

⎛ p ( x) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ t ( x) ⎟ ⎝ a ⎠

para k = 1,2, … , m − 1 . o bien

p( x) p( x) A f ( x) = = = + wa ( x) . q ( x) ( x − a )t a ( x) x − a

(1)

Am − k =

Al multiplicar por ( x − a) a ambos lados de (1) se tiene ha ( x ) = ( x − a) f ( x) =

para k = 1,2, … , m − 1 , donde

( x − a ) p ( x) q ( x)

Demostración.

Al tomar límites se tiene A = lim ha ( x) = lim ( x − a ) f ( x)

Sea ha ( x) = ( x − a ) m f ( x) =

x→a

.

p( x) p(a) = x →a t a ( x) t a (a)

= lim

f ( x) =

A = lim ha ( x) = lim( x − a ) f ( x)

=

x→a

[( x − a) p ( x)] ' ( x − a) p( x) = lim x→a q( x) q' ( x) p ( x) + ( x − a ) p ' ( x) p (a) = lim = . x→a q' ( x) q' (a ) = lim(

+

x→a

Corolario

1.

Supongamos

f ( x) =

que

q( x) = ( x − a1 )( x − a 2 ) … ( x − a n )

con

p( x) q ( x)

ai ≠ a j

y para

i ≠ j . Entonces f ( x) =

p( x) . Existen constantes t a ( x)

A1 , A2 , … , Am tales que

Al aplicar la regla de L’Hôpital se tiene x→a

Am − k +1 ( x − a ) k −1 .

ra ( x) = Am + Am −1 ( x − a ) +

p( x) = = A + ( x − a ) wa ( x) t a ( x)

x→a

⎡ p( x) − ra ( x) t a ( x) ⎤ 1 lim ⎢ ⎥ t a (a) x → a ⎢⎣ ( x − a) k ⎥⎦

p( x) p( x) = q ( x) ( x − a ) m t a ( x) A1 A2 + + x − a ( x − a) 2 Am −1 ( x − a)

m −1

+

+

Am ( x − a) m

(2) + wa ( x)

Al multiplicar por ( x − a ) m en ambos lados de (2) se tiene ha ( x ) = ( x − a) m f ( x) = Am + ( x − a) Am −1 + + ( x − a ) 2 Am − 2 +

+ ( x − a) m −1 A1 +

+ ( x − a ) m wa ( x)

A1 A2 + + x − a1 x − a 2

+

An , x − an

en donde

Despejando Am , haciendo s a ( x) = Am −1 + Am − 2 ( x − a ) +

Ai = lim ( x − a i ) f ( x) para i = 1,2, … , n. x → ai

p( x) y que x = a es q ( x) una raíz real de multiplicidad m > 1 de q(x), es decir,

Teorema 2. Suponga que f ( x) =

+ A1 ( x − a ) m −1 +

+ ( x − a ) m −1 w a ( x)

y tomando el límite se obtiene


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262 Am = lim[ha ( x) − ( x − a) s a ( x)]

2 Am − 2 = lim

x→a

x→a

p( x) p(a) = lim ha ( x) = lim = . x→a x →a t a ( x) t a (a )

1 1 d2 ha ' ' (a ) = lim 2 2 2 x →a dx

Am − 2 =

Al derivar ha (x) con respecto a x se tiene +

⎛ p( x) − Am t a ( x ) − Am −1 ( x − a )t a ( x) ⎞ 1 ⎟. lim ⎜ ⎟ t a (a ) x → a⎜⎝ ( x − a) 2 ⎠ El último límite se puede evaluar mediante la regla de Am − 2 =

+ m( x − a ) m −1 w( x ) = Am −1 + ( x − a)ra ( x)

Al despejar Am−1 y tomar el límite se tiene d (ha ( x)) = lim d ⎛⎜⎜ p( x) ⎞⎟⎟ x →a dx x →a dx ⎝ t ( x ) ⎠

se generaliza para llegar a la siguiente expresión

Por otro lado, al multiplicar a ambos lados de (2) por

1 dk x → a k! dx k

Am − k = lim

( x − a) m −1 y despejar se obtiene Corolario. Si f ( x) = +

[

Am − x−a

− ( x − a) Am − 2 + = =

( x − a) m −1 p ( x ) ( x − a ) m t a ( x)

]

(x − a) m −3 A1 + (x − a) m − 2 wa (x) Am A p ( x) = − m x − a ( x − a)t a ( x) x − a

Al tomar el límite se tiene 1 ⎛ p( x) − Am t a ( x) ⎞ lim ⎜⎜ ⎟⎟ . x a → t a (a) x−a ⎝ ⎠

El último límite se puede evaluar mediante la regla de 0 L’Hôpital porque es de la forma . Recuérdese que 0 p(a) Am = . Es decir, t a (a)

p( x) y q ( x) = ( x − a ) m , entonces q ( x) +

Am ( x − a) m

,

Am = P (a ) , Am −1 = P ' (a ) , Am − 2 =

p ' (a ) − Am t a ' (a) 1 . lim ( p' ( x) − Am t a ( x) ) = t a (a) x →a t a (a)

Derivando nuevamente, despejando y tomando límites se tiene

1 1 P ' ' (a ) ,… Am − k = p ( k ) (a ) , k! 2

para k = 1,2, Ejemplo

, m −1.

2.

Descomponga

f ( x) =

x 3 − 2x + 2 ( x + 1) 4

fracciones parciales Solución. p( x) = x 3 − 2 x + 2, p ' ( x) = 3x 2 − 2, p ' ' ' ( x) = 6 . Luego x 3 − 2x + 2 ( x + 1)

4

=

1 6

p ' ' ( x ) = 6 x,

A3 A1 A2 A4 + + + 2 3 x + 1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 4

A4 = P (−1) = 3, A3 = P ' (−1) = 1, A2 = A1 =

Am −1 =

, m −1.

en donde

p( x) − Am t a ( x) . ( x − a )t a ( x)

Am −1 =

⎛ p( x) ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ t ( x) ⎟ , para k = 1,2, ⎠ ⎝ a

A1 A2 + + x − a ( x − a) 2

f ( x) =

+ ( x − a ) m − 2 A1 + ( x − a) m −1 wa ( x) Am −1 = ( x − a ) m −1 f ( x) −

0 . Este procedimiento 0

L’Hôpital porque es de la forma

Am−1 = lim

Am + Am −1 + ( x − a ) Am − 2 + x −1

⎛ p( x) ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ t ( x) ⎟ ⎠ ⎝ a

También

+ (m − 1)( x − a ) m − 2 A1 + ( x − a) m w ' ( x ) +

( x − a) m −1 f ( x) =

(ha ( x)) = ha ' ' (a) .

dx 2

De donde

Una vez hallado Am , procedemos a encontrar Am− k para k = 1, 2 , … , m – 2, m – 1.

d [ha ( x)] = Am−1 + 2( x − a) Am− 2 + dx

d2

1 2

P ' ' (−1) = −3,

P ' ' ' (−1) = 1.

Luego f ( x) =

1 3 1 3 . − + + x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 3 ( x + 1) 4

en


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263

⎧⎪ 2s 3 − 9 s 2 + 15s − 9 ⎫⎪ -1 Ejemplo 3. Hallar L−1 ⎨ ⎬ , donde L ⎪⎩ ( s − 2)( s − 1) 3 ⎪⎭ denota la transformada inversa de Laplace.

Solución. Aquí F ( s ) =

F (s) =

2 s 3 − 9s 2 + 15s − 9

en donde ⎛ p(a) ⎞ ⎟⎟ B = Re(ha (a ) ) = Re⎜⎜ ⎝ t (a) ⎠

y

( s − 2)( s − 1) 3

A B C D + + + s − 2 s − 1 ( s − 1) 2 ( s − 1) 3

1

A=

β

(I)

Im(ha (a) ) =

⎛ p(a) ⎞ ⎟⎟ , Im⎜⎜ ⎝ t (a) ⎠

1

β

donde ha ( x) = [( x − α ) 2 + β 2 ] f ( x)

Entonces A = lim ( s − 2) F ( s ) = lim s →2

2 s 3 − 9s 2 + 15s − 9 ( s − 1) 3

s →1

D = lim( s − 1) 3 F ( s ) = lim s →1

s →1

=1

x = a = α + iβ

2s − 9 s + 15s − 9 =1. ( s − 2) 3

2

caso

p( x) q ( x)

y que

es una raíz compleja doble. En este lo es x = a = α − iβ , es decir,

también

q( x) = [( x − α ) 2 + β 2 ] 2 t a ( x) . Entonces

Para el cálculo de B y C se evalúa F(s) en dos valores distintos de s que no sean 1 ni 2 para obtener un sistema 2 × 2 en B y C, aprovechando que ya se conocen A y D.

f ( x) =

A1 ( x − α ) + B1 (x − α ) + β 2

2

+

A2 ( x − α ) + B 2

[( x − α )

2

+β2

]

2

+ wa ( x) ,

en donde ⎛ p(a) ⎞ ⎟ B 2 = Re(ha (a) ) = Re⎜⎜ ⎟ ⎝ t a (a) ⎠

1 1 B C + + + F (0) = − 2 −1 1 −1 −9 1 = − − B + C −1 2 2

de donde

f ( x) =

4. Suponga que

Teorema

A2 =

1

β

Im(ha (a ) ) =

B−C = 3

(1) 1 1 B C + + + F (−1) = −3 −2 4 −8 35 1 B C 1 − =− − + − , 24 3 2 4 8

B1 =

⎛ p(a) ⎞ ⎟, Im⎜⎜ β ⎝ t a (a) ⎟⎠ 1

1 Im(ha ' (a ) ) 2β

y A1 =

de donde

1 2β 2

[A2 − Re(ha ' (a) )] ,

Resolviendo el sistema formado por (1) y (2) se obtiene B = 1 y C = – 2.

donde ha ( x) = [( x − α ) 2 + β 2 ] 2 f ( x) Ejemplo 5. Encuentre la descomposición en fracciones 2 x 2 − 3x + 4 parciales de f ( x) = 2 ( x + 4) ( x − 1) 2 + 1

Luego

Solución.

2B − C = 4

F (s) =

(2)

1 1 2 1 . + − + s − 2 s − 1 ( s − 1) 2 ( s − 1) 3

f ( x) =

Por lo tanto, −1

L

{F (s)} = e

1 + e + te + t 2 e t . 2 t

2

h 2 i ( x ) = ( x 2 + 4) f ( x ) =

tiene

f ( x) =

coeficientes

reales.

q( x) = [( x − α ) 2 + β 2 ] t ( x) . Entonces

f ( x) =

[

]

( x + 4) ( x − 1) + 1 2

t

p( x) y que q ( x) x = a = α + iβ es una raíz compleja simple. En este caso también lo es x = a = α − iβ , puesto que asumimos q(x)

2 x 2 − 3x + 4

=

]

Ax + B x +4 2

+

Luego 2t

Teorema 3. Suponga que

que

[

A( x − α ) + B (x − α ) 2 + β 2

+ wa ( x) ,

Es

decir,

h2i ( x) = Ax + B +

Entonces

2 x 2 − 3x + 4 ( x − 1) 2 + 1

,y

( x 2 + a )[C ( x − 1) + D] ( x − 1) 2 + 1

C ( x − 1) + D ( x − 1) 2 + 1

.


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264 h2i (2i ) =

2(2i ) 2 − 3(2i ) + 4

[3]

(2i − 1) + 1 − 4 − 6i − 4 − 6i 2 + 3i = = = − 4 − 4i + 1 + 1 − 2 − 4i 1 + 2i (2 + 3i )(1 − 2i ) 8 1 = = − i (1 + 2i )(1 − 2i ) 5 5 2

h2i ( x) = A(2i ) + B

De ahí, A = − 101 y B =

8 5

.

2 x − 3x + 4 [ ] x +4 [ ( x − 1) + 1][Ax + B ] C ( x − 1) + D . = +

h1+ i ( x ) = ( x − 1) 2 + 4 f ( x) =

2

2

2

x2 + 4

x2 + 4

Entonces h1+i (1 + i ) =

2(1 + i ) 2 − 3(1 + i ) + 4 (1 + i ) 2 + 4

= Ci + D

2(2i ) − 3(1 + i ) + 4 1 + i 1+ i = = 2i + 4 2 + 4i 2(1 + 2i ) (1 + i )(1 − 2i ) 3 − i = = = D + iC. 2(5) 10

De ahí, C = − 101 y D = 103 . Por lo tanto, f ( x) = −

1 ⎛ x − 16 ⎞ 1 ⎛⎜ ( x − 1) − 3 ⎞⎟ . ⋅⎜ ⎟− ⋅ 10 ⎝ x 2 + 4 ⎠ 10 ⎜⎝ ( x − 1) 2 + 1 ⎟⎠

3. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El método de Heaviside resulta ser un método práctico para calcular los coeficientes en la descomposición en fracciones parciales de una fracción propia en el caso de raíces reales distintas o cuando el polinomio del denominador es una función de la forma q ( x) = ( x − a ) m . La aplicación directa de los teoremas en algunos casos puede ser tediosa y a veces es mejor evaluar la función en valores adecuados de las variables para obtener un sistema de ecuaciones lineales en las constantes que se deben determinar. 4. BIBLIOGRAFÍA

[1]

Finney, Thomas, Cálculo una variable, Pearson Educación, 9ª Edición.

[2] Kreyzig, Erwin. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Vol. 1.

Zill, Dennis, G. y Cullen, Michael R. Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Quinta Edición, Thomson, 2002.

fraciones  

es unico y endescripitible es real

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