Issuu on Google+

Οι σημειακές εξισώσεις του Maxwell και οι αντίστοιχες οριακές συνθήκες r r r r ∂B ∇×E = − ηˆ × E2 − E1 = 0 ∂r t r r r r r ∂D ˆ η × H − H = K ∇×H = +J 2 1 ∂t r r r ηˆ ⋅ B2 − B1 = 0 ∇⋅B = 0 r r r ηˆ ⋅ D2 − D1 = σ ∇ ⋅ D = ρv r r r r ∂σ ∂ρ v − ∇ ⋅Κ ηˆ ⋅ J 2 − J 1 = − ∇⋅J = − ∂t ∂t

( ( ( (

(

)

)

) )

)

όπου η είναι το μοναδιαίο, κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια διάνυσμα, που διευθύνεται από την περιοχή 1 στην περιοχή 2.

1

Δυναμικά ΗΜ πεδία σε περιοχή ελεύθερη από πηγές (2)

Nόμος του Ampère: r r ∂D ∇× H = ∂t

Νόμοι του Gauss: r ∇⋅B = 0 r ∇⋅D = 0

r r r r r ∂B r ∫ Ε ⋅ dl = ∫S [(∇ × Ε)] ds = − ∫S ∂t ds r r r r r ∂D r ∫ H ⋅ dl = ∫ (∇ × H ) ⋅ ds = ∫ ∂t ⋅ ds S S

r

r

ψ m = ∫ B ⋅ ds = 0 S r r ψ = ∫ D ⋅ ds = 0 S

Στις περιοχές όπου δεν υπάρχουν πηγές, δηλαδή όπου J=0 και ρv=0, οι εξισώσεις Maxwell γίνονται:

r r ∂Β ∇× Ε = − ∂t r ∇⋅D = 0

r r ∂D ∇× H = ∂t r ∇⋅B = 0

Έτσι στις ελεύθερες από πηγές περιοχές, ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο συνοδεύεται πάντοτε από ένα ηλεκτρικό πεδίο, και ένα χρονικά μεταβαλλόμενο 2 πεδίο D συνοδεύεται πάντοτε από ένα μαγνητικό πεδίο Η.

Οι εξισώσεις του Maxwell για αρμονικά μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία (1)

Νόμος της Επαγωγής του Faraday: r r ∂Β ∇× Ε = − ∂t

Δυναμικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία σε περιοχή ελεύθερη από πηγές (1)

3

Όλα τα διανυσματικά πεδία, όλα τα ρεύματα και όλες οι πυκνότητες φορτίων είναι πραγματικές συναρτήσεις του χρόνου και του χώρου. Εξετάζουμε τώρα την περίπτωση όπου τα διανυσματικά πεδία, τα ρεύματα και οι πυκνότητες φορτίων μεταβάλλονται ημιτονοειδώς στο χρόνο, με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. Μονοχρωματικά πεδία: αρμονικά μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία μίας συχνότητας. 4 Γ. Αθανασιάδου

1


Οι εξισώσεις του Maxwell για αρμονικά μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία (2) Έτσι τώρα μπορούμε να γράψουμε για παράδειγμα, τη συνιστώσα x του πραγματικού διανύσματος Ε, δηλαδή το Εx , ως ακολούθως:

E x ( x, y, z, t ) = E1 ( x, y, z ) cos(ωt + φ1 ) E x ( x, y, z, t ) = Re{E1 ( x, y, z ) e

jφ 1

Ε x ( x, y, z ) = E1 ( x, y, z ) e

Αποκαλούμε την Εx(x, y, z) μιγαδική αναπαράσταση της Εx(x, y, z, t).

Ε x ( x, y, z ) = E1 ( x, y, z ) e

jφ 1

H μιγαδική συνάρτηση Εx(x, y, z) μαζί με τη συχνότητα ω, περιέχουν όλες τις πληροφορίες για την αρχική συνάρτηση Εx(x, y, z, t).

e jω t }

E x ( x, y, z , t ) = Re{ Ε x ( x, y, z ) e jω t }

jφ 1 5

Οι εξισώσεις του Maxwell για αρμονικά μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία (4) Συνοπτικά, μπορούμε να γράψουμε:

Τα ίδια ισχύουν και για τις συνιστώσες y και z.

Παρόμοιες εκφράσεις εφαρμόζονται σε όλα τα υπόλοιπα διανυσματικά πεδία. Οι χρονικές παράγωγοι μπορούν να αναπαρασταθούν με jω.

7

6

Οι εξισώσεις του Maxwell για αρμονικά μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία (4) r r ∂Β ∇× Ε = − ∂t r r r ∂D ∇× H = J + ∂t

E x ( x, y , z , t ) ↔ Ε x ( x, y , z )

r ∂ r E ( x , y , z , t ) ↔ jω Ε ( x , y , z ) ∂t

Οι εξισώσεις του Maxwell για αρμονικά μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία (3)

r ∇⋅B = 0 r ∇ ⋅ D = ρv

r r ∇ × Ε = − jω Β r r r ∇ × H = jω D + J r ∇⋅B = 0 r ∇ ⋅ D = ρv 8

2


Οι εξισώσεις του Maxwell για αρμονικά μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία (4) r r ∇ × Ε = − jω Β r r r ∇ × H = jω D + J r ∇⋅B = 0 r ∇ ⋅ D = ρv

Όλα τα διανυσματικά πεδία είναι τώρα μιγαδικά μεγέθη, ανεξάρτητα του χρόνου. Η εξίσωση της διατήρησης του φορτίου γίνεται:

r ∇ ⋅ J = − jω ρ v

9

Οι σημειακές εξισώσεις του Maxwell για αρμονικά μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία και οι αντίστοιχες οριακές συνθήκες rr r r r r ˆ ( × E 00 η × E ∇ × Ε = − jω Β 22 −−EE 1 )1= = r r r rr rr r ∇ × H = jω D + J ηˆ ×× (E H2 −−HE11) ==K0 r rr r r ∇⋅B = 0 ηˆ ×⋅ (BE22 −−BE1 )1= =0 0 r rr r r ∇ ⋅ D = ρv ηˆ ×⋅ (DE22−−DE1 )1= =σ 0 r ∇ ⋅ J = − jω ρ v

(r r

( ( ( (

r r

)

) ) ) )

ηˆ ×⋅ (JE2 −2 −J1 )E=1 −=jω0σ − ∇ ⋅ Κ r

όπου η είναι το μοναδιαίο, κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια διάνυσμα, που διευθύνεται από την περιοχή 1 στην περιοχή 2.

10

3


pedia