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INTEGRALES IMPROPIAS 3.7.5. Definici´ on. 1. Si f es continua en [a, b) con discontinuidad infinita en b, entonces Z c Z b dx. f (x)dx = l´ım c→b−
a
a
2. Si f es continua en (a, b] con discontinuidad infinita en a, entonces Z b Z b f (x)dx. f (x)dx = l´ım c→a+
a
c
3. Si f es continua en [a, b] con discontinidad infinita en c ∈ (a, b), entonces Z b Z c Z b f (x)dx. f (x)dx + f (x)dx = a
a
c
Cuando el l´ımite existe en cualquiera de los dos primeros casos, se dice que la integral impropia converge, de otra forma se dice que diverge. Para el tercer caso, la integral impropia converge cuando las dos integrales impropias del lado derecho son convergentes. 3.7.6. Ejemplo. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias. R8 1 1. 0 √ dx 3 8−x 2.
3.
R1 0
R1 0
x ln xdx
√ √1+x dx. 1−x
Soluci´ on: 1.
Z
Z c Z c 1 1 1 √ √ dx. dx = l´ım dx = l´ım 3 3 1/3 − − c→8 c→8 8−x 8−x 0 0 0 (8 − x) Rc 1 Para calcular 0 (8−x) 1/3 dx se hace u = 8 − x, entonces du = −dx. Luego, 8
Z
0
c
Z 8−c Z 8−c 1 du u−1/3 du dx = − = − 1/3 (8 − x)1/3 u 8 8 8−c 3 3 3 = − (8 − c)2/3 + 82/3 = − u2/3 2 2 2 8 3 = − (8 − c)2/3 + 6. 2