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TEMA 9: ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES: RECTA, PARÁBOLA, HIPÉRBOLA

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.1. RECTAS RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

La ecuación de una recta horizontal es y=k La ecuación de una recta vertical es x=k

FUNCIÓN LINEAL O DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA Una función es lineal de proporcionalidad directa si al multiplicar la variable independiente x por un número, la variable dependiente y queda multiplicada por dicho número. y=mx m es la pendiente de la recta, es decir, la inclinación que tiene respecto al eje x.  

Si m es positiva la recta es creciente. Si m es negativa la recta es decreciente.

FUNCIÓN AFÍN Una función es afín si su ecuación es del tipo y=mx+n

 m es la pendiente de la recta  Si m es positiva la recta es creciente.  Si m es negativa la recta es decreciente.  n es la ordenada en el origen (valor en el que corta al eje y)

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LA ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE y – y1 = m ( x – x1 )

La ecuación punto-pendiente de la recta es

Donde ( x1, y1 ) son las coordenadas de un punto de la recta y m es la pendiente. EJEM P LO Ha l l a r l a ec ua ci ón de la que pa sa por A (1,5) y t i e ne c om o pe ndi e nte m = -2. y – y1 = m ( x – x1 ) y – 5 = - 2 ( x – 1)

y – 5 = -2x + 2

y = - 2x + 7

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Para calcular los puntos de corte con el eje y le damos a la x el valor 0 ( x = 0 ) y calculamos la y. Para calcular los puntos de corte con el eje x le damos a la y el valor 0 ( y = 0 ) y despejamos la x.

EJEMPLO Halla los puntos de corte con los ejes de la recta y = 2x + 2. Puntos de corte con el eje y

Puntos de corte con el eje

x=0

y=0

y= punto ( 0 , 2 )

punto ( -1 , 0 )

RECTAS PARALELAS

Las rectas paralelas son aquellas rectas que tienen la misma pendiente, es decir, el mismo valor de la m. Recíprocamente, si dos rectas tienen el mismo valor de la pendiente, son paralelas.

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.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA

FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es la que está definida por un polinomio de segundo grado. Su forma es: Su representación gráfica es una parábola que tiene:

 Un vértice en el punto cuya coordenada x es 

Un eje de simetría vertical en parábola, es decir,

     

Están definidas para todos los números reales Son continuas Son simétricas con respecto a un eje que pasa por el vértice Por un lado del vértice son creciente y por otro decrecientes Si a es positiva el vértice es un mínimo y la parábola es convexa Si a es negativa el vértice es un máximo y la parábola es cóncava

donde xV es la coordenada x del vértice de la

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Para calcular los puntos de corte con el eje y le damos a la x el valor 0 ( x = 0 ) y calculamos la y. Para calcular los puntos de corte con el eje x le damos a la y el valor 0 ( y = 0 ) y resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda para calcular los valores de la x. Puede tener:   

Dos soluciones: la parábola corta al eje x en dos puntos Una solución: la parábola corta al eje x en un punto Ninguna solución: la parábola no corta al eje x en ningún punto

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EJEMPLO: Calcular los puntos de corte con los ejes de la parábola y = x² - 4x + 3

Puntos de corte con el eje OX y=0 x² - 4x + 3 = 0

(3, 0)

(1, 0)

Punto de corte con el eje OY

x=0

(0, 3)

.3. HIPÉRBOLAS FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Una función es de proporcionalidad inversa si al multiplicar la variable independiente s por un número, la variable dependiente y queda dividida por dicho número. Su ecuación es: y=      

Su representación gráfica es una hipérbola Es discontinua en x=0 Tiene como asíntotas los ejes de coordenadas Es simétrica respecto al origen de coordenadas O ( 0,0 ) Si k es positiva la hipérbola está en el 1º y 3º cuadrante y es decreciente Si k es negativa la hipérbola está en el 2º y 4º cuadrante y es creciente

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9.Tipos de funciones  

Apuntes sobre funciones afines, lineales, cuadráticas e inversas

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