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TEMA 3: FRACCIONES

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TEMA 3 : NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES 1.- UNIDAD FRACCIONARIA .- FRACCIONES 

Fracciones

En una fracción aparecen escritos dos números:  Uno escrito en la parte de abajo que se llama denominador. Este número indica el número de partes en las que se divide la unidad.  Otro escrito en la parte de arriba que se llama numerador. Este número indica el número de partes que cogemos. Por ejemplo, si tenemos la fracción

3 tenemos una unidad dividida en 7 partes, de las cuales estamos 7

cogiendo 3.

Extensión del concepto de fracción  La idea de fracción también se puede aplicar a otras situaciones de la vida real. Si decimos que 3 de cada 5 estudiantes de un instituto son chicas estamos dando la 3 fracción , ya que si dividimos el colegio en cinco 5 partes, tres serían de chicas.  Los porcentajes son también otra forma de expresar una fracción. Por ejemplo, si decimos que un artículo está rebajado un 25%. Significa que de cada 100 euros que marca nos rebajan 25.  En otras ocasiones utilizamos las fracciones para referirnos a una cierta parte de un número. Vamos a verlo con un ejemplo:

Juan se compró una bici que le costó 200 euros. Si él pagó los ¿cuánto dinero pagó? 2 2 de 200 euros = 200 = 80 euros 5 5 Es decir, Juan tenía ahorrados 80 euros.

2

2 con el dinero que tenía ahorrado, 5


2.- FRACCIONES IGUALES .- NÚMEROS RACIONALES 

Fracciones iguales o equivalentes 8 4 y . 20 10 Dan el mismo cociente: 8 4  0,4  0,4 20 10 Tienen la misma fracción irreducible: 8 2 4 2   20 5 10 5 Tienen iguales los productos cruzados: 8 · 10 = 80 20 · 4 = 80 Actúan de la misma forma: 8 4 de5  2 de5  2 20 10

Veamos las fracciones 

 

Estas dos fracciones que representan lo mismo se llaman iguales o equivalentes. Dos fracciones son iguales cuando el producto de extremos es igual al producto de medios. a c si a  d  b  c  b d a y d son los extremos; b y c son los medios.

Cómo obtener fracciones equivalentes

Para obtener fracciones equivalentes a una dada, se multiplican o dividen sus términos por el mismo número, siempre y cuando este número no sea el 0. Por ejemplo, para obtener una fracción equivalente a

2 multiplico el numerador y el denominador por 3

2, o por 3, o por cualquier otro número: 2 2·3 6   3 3·3 9

Todos estos números que se representan mediante fracciones se llaman números racionales.

EJERCICIO 1 Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes: 6 9 6 3 4 20 a) b) c) y y y 10 15 18 9 14 21

3


3.- REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR COMPARACIÓN DE FRACCIONES  Reducción de fracciones a un común denominador Para reducir varias fracciones a un común denominador se halla el m.c.m. de los denominadores, se divide el m.c.m. entre cada denominador, y el resultado se multiplica por cada numerador. EJEMPLO Reducir al mismo denominador las siguientes fracciones: 3 4=22 6=2·3

m.c.m.(3,4,6) = 3·22 = 3·4 = 12

12:3=4

2 2·4 8   3 3·4 12

12:4=3

3 3·3 9   4 4·3 12

12:6=2

5 5·2 10   6 6·2 12

2 3 5 , y . 3 4 6

 Comparación de fracciones 

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. 7 3  9 9

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. 3 3  4 7

Para comparar dos fracciones cualesquiera se reducen a un común denominador y luego se mira cuál es la que tiene mayor numerador. 2 4 ? 3 7

14 12  21 21

EJERCICIO 2 Ordena de menor a mayor cada grupo de fracciones, reduciéndolas en primer lugar a un común denominador: 3 4 5 3 5 6 3 5 3 a) , , b) , , c) , , 4 5 6 7 8 9 6 12 8

4


4.- SUMA Y RESTA DE FRACCIONES  Con el mismo denominador La suma o diferencia de dos fracciones con el mismo denominador es una fracción que tiene:  El mismo denominador.  El numerador igual a la suma o diferencia de los numeradores. EJEMPLO: 2 3 5   7 7 7

 Con distinto denominador Para sumar o restar fracciones con distinto denominador:  Se reducen a común denominador.  Se suman o restan las fracciones obtenidas. EJEMPLO: 5 3 5·2 3·3 10 9 19       6 4 6·2 4·3 12 12 12

EJERCICIO 3 Haz las siguientes sumas y expresa el resultado como fracción irreducible: 1 3 7 4 2 6 7 1 a)  b)   c)   6 4 9 6 3 5 4 2 EJERCICIO 4 Calcula:

1 1 1 1 1 1          2 4 8   3 9 27 

5 .- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES  Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones es una fracción que tiene:  El numerador igual al producto de los numeradores.  El denominador igual al producto de los denominadores. 1 2 1·2 2 ·   2 3 2·3 6

5


 Fracción inversa de una dada Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad. 5 8 y son inversas porque 8 5

58 · 1 85

 División de fracciones Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por la fracción inversa del divisor, o bien, se hace el producto en cruz. 1 3 1·5 5 :   4 5 3·4 12

EJERCICIO 5 Haz las siguientes operaciones y expresa los resultados en forma de fracción irreducible: 3  5 3 235 3 2 a) · · b) : c) :  ·  8 5 4 6 8 548

6 .- JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Cuando tenemos que realizar operaciones combinadas con números hay que hacerlo siempre en un orden determinado: 

Lo primero deben resolverse los paréntesis que hay dentro de los corchetes y a continuación los corchetes.

Cuando no hay paréntesis, el orden en el que hay que realizar las operaciones es el siguiente: 1º.- Potencias y raíces 2º.- Multiplicaciones y divisiones 3º.- Sumas y restas.

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7.- REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES RECTA RACIONAL

Los números enteros (positivos y negativos) se pueden representar en una recta, tal como hacemos aquí: -5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

También podemos representar en la recta los números racionales (las fracciones). Para eso hay que dividir cada unidad en tantas partes como nos indique el denominador:

-1

4 5

3 2 5 5

1 5

0

1 5

2 5

3 5

4 5

1

8.- PASO DE FRACCIÓN A DECIMAL 

Fracciones con expresión decimal exacta

4 5 7 5 2 8 Calculamos su expresión decimal dividiendo su numerador entre su denominador:

Dadas las fracciones

4 5  4 : 5  0,8  5 : 2  2,5 5 2 7  7 : 8  0,875 8

En todos los casos, al hallar el cociente llegamos a un resto igual a 0. Estas fracciones se llaman decimales exactas. Las fracciones decimales son aquellas cuyo cociente es un número decimal exacto.

Fracciones con expresión decimal no exacta

Calculemos el cociente entre el numerador y el denominador de la 2 fracción . 3

 2  2 : 3  0,666...  0,6 3 Al hallar el cociente se suceden los restos iguales a 2. Nunca llegaremos a un resto igual a 0.

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5  0,454545...  0, 45 11 2 5 tienen una expresión decimal periódica. y 3 11 Una fracción no decimal tiene una expresión decimal formada por infinitas cifras.  Se llama período a las cifras que se repiten indefinidamente.  Las fracciones no decimales se llaman fracciones periódicas.

Se dice que las fracciones

Fracciones periódicas puras

Una fracción se llama periódica cuando las cifras del cociente se repiten en bloques iguales después de la coma. Los dos casos que acabamos de ver de las 2 5 fracciones son periódicas puras. y 3 11 

Fracciones periódicas mixtas

Una fracción se llama periódica mixta cuando las cifras del cocientes se repiten en bloques iguales, pero no después de la coma. Por ejemplo: 13  2,16666... 6

2 es la parte entera 1 es el anteperíodo, porque es la parte decimal que no se repite 6 es el período, porque es la parte decimal que se repite.

EJEMPLOS: 3  3 : 8  0,375 . Expresión decimal exacta. Luego es una fracción decimal. 8  7  7 : 6  1,16 . Expresión decimal periódica mixta. 6  7  7 : 9  0,7777  0,7 . Expresión decimal periódica pura. 9

EJERCICIO 1 7 9 7 , , , halla las expresiones decimales correspondientes. En las fracciones 3 4 11 periódicas, señala el período y la parte no periódica.

Dadas las fracciones

8


9.- PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN.- FRACCIÓN GENERATRIZ  Fracción generatriz de un número decimal exacto La fracción generatriz tiene por: Numerador: el número decimal sin la coma Denominador: la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número.

 Fracción generatriz de un número decimal periódico puro La fracción generatriz tiene por: Numerador: el resultado de la resta del número decimal sin la coma menos la parte entera. Denominador: tantos nueves como cifras tenga el período.

 Fracción generatriz de un número decimal periódico mixto La fracción generatriz tiene por: Numerador: el resultado de la resta del número decimal sin la coma menor la parte entera seguida del anteperíodo . Denominador: tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

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10.- ORDENACIÓN DE NÚMEROS REALES.  Ordenación de números reales 

Cuando tenemos que ordenar fracciones lo podemos hacer de dos formas: o Reduciéndolas a común denominador y comparando luego sus numeradores, como vimos en el tema anterior. o Pasándolas a forma decimal y comparando esos números. Por ejemplo: 2 4 ? 3 7

2  0,6666... 3

4  0,5714... 7

2 4  3 7

0,6666 > 0,5714

2 4  3 7

 Valor absoluto El valor absoluto de un número se designa por su opuesto si es negativo.

a

y coincide con el número si es positivo o 0, y con

El número –5 está situado a 5 unidades de distancia de 0. Se dice que -5 tiene un valor absoluto igual a 5, y le escribe  5 = 5. El número 5 está situado a 5 unidades de distancia de 0. Se dice que 5 tiene un valor absoluto igual a 5, y le escribe 5 = 5. Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo.

Por ejemplo, se dice que –5 y 5 opuestos, porque  5  5  5 .

11.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR UN 1 SEGUIDO DE 0 

Para multiplicar un número por un 1 seguido de 0, se le añaden tantos 0 como se indiquen. Por ejemplo:

3  100  300

Como es un 1 con dos 0, al tres le tengo que añadir dos 0

10


Si se trata de un número decimal, entonces hay que correr la coma hacia la derecha tantos lugares como 0 haya. Si no hay bastantes decimales completamos con 0. Por ejemplo: 3,24  10  32,4 1,23  1000  1230

Para dividir un número por un 1 seguido de 0, se mueve una coma imaginaria a la derecha del número tantos 0 como se indiquen.

Por ejemplo: 3:100 = 0,03 

Si se trata de un número decimal, entonces hay que correr la coma hacia la izquierda tantos lugares como 0 haya.

Por ejemplo: 3,24 : 100 = 0,0324 1,23 : 1000 = 0,00123

EJERCICIO 2 Calcula los siguientes productos: a) 0,1 · 10 = b) 0,5 · 10 = c) 0,9 · 10 = d) 5,7 · 10 = e) 0,01 · 100 = f) 0,06 · 100 = g) 0,75 · 100 = h) 32,1 · 100 = i) 12,5 · 1.000 = j) 0,001 · 1.000 = k) 2,1 · 100 = EJERCICIO 3

11


Haz las siguientes divisiones: a) 25,5 : 10 = b) 0,5 : 10 = c) 15,6 : 100 = d) 0,09 : 1.000 = e) 10,1 : 10 = f) 10,1 : 100 = g) 10,1 : 1000 = h) 0,101 : 1.000 = i) 0,1 : 10 = j) 3628,5 : 100 = k) 34,2 : 10.000 = l) 0,025 : 100.000 =

12 .- POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES Para calcular la potencia de una fracción, elevamos el numerador y el denominador al exponente de la potencia.

Para calcular la raíz cuadrada de una fracción cuyos términos son cuadrados perfectos, calculamos la raíz del numerador y la raíz del denominador.

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3.Fracciones