Issuu on Google+

TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES

1


TEMA 2 : POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS REALES 1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL  Definición Las potencias son una forma abreviada de escribir algunas multiplicaciones. Una potencia es una expresión abreviada que se utiliza para escribir una multiplicación de factores iguales.  La base es el factor que se repite.  El exponente indica el número de veces que se repite  Ejemplo: 35 = 3·3·3·3·3  

La base, que es el número que se repite, es 3. El exponente es 5.

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados; 52 es el cuadrado de 5. Las potencias de exponente 3 se llaman cubos; 103 es el cubo de 10.

Potencias de base un entero negativo

¿Cómo se puede escribir esta multiplicación: (-3)·(-3)·(-3)·(-3)? La base es –3 y el exponente es 4: (-3)·(-3)·(-3)·(-3)= (-3)4 Esta potencia vale 81; es positiva porque resulta de multiplicar un número par de factores negativos. ¿Cómo se puede escribir (-5)·(-5)·(-5)? La base es –5 y el exponente es 3: (-5)·(-5)·(-5) = (-5)3 Esta potencia vale –125; es negativa porque resulta de multiplicar un número impar de factores negativos. Las potencias de base un entero negativo son:  Enteros negativos, si el exponente es impar;  Enteros positivos, si el exponente es par.

 Las propiedades 

Producto de potencias de la misma base

El producto de varias potencias de la misma base es una potencia:  con la misma base;  con el exponente igual a la suma de los exponentes de los factores.

2


 Ejemplo: 75 · 72 · 74 = 75+2+4 = 711  Ejemplo: 42 · 45 · 43 = 42+5+3 = 410  Ejemplo: Calcular 23 · 22: a) Efectuando cada una de las potencias 23 · 22 = 8 · 4 = 32 b) Considerando la expresión como producto de potencias de la misma base. 23 · 22 = 23+2 = 25 = 32

Cociente de potencias de la misma base

El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia que tiene:  la misma base;  el exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.  Ejemplo: 65 : 63 = 65-3 = 62 = 36  Ejemplo: (-7)15 : (-7)13 = (-7)15-13 = (-7)2 = 49  Ejemplo: (-10)4 : (-10) = (-10)4-1 = (-10)3 = - 1.000  Ejemplo: 923 : 915 = 923-15 = 98  Potencia

de una potencia

La expresión (52)4 es una potencia cuya base es también una potencia. Por eso se llama potencia de una potencia. (52)4 = 52 · 52 · 52 · 52 · 52+2+2+2 = 52·4 = 58 Una potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene:  la misma base  el exponente igual al producto de los exponentes.

3


 Ejemplo: (85)4 = 85·4 = 820  Producto

de potencias de distinta base e igual exponente

El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo. Ejemplo:  Cociente

34  2 4  3  2  6 4 4

de potencias de distinta base e igual exponente

El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo. Ejemplo:

4 5  2 5  4  2  2 4 5

2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO  ¿Potencias de exponente 1? No existen potencias de exponente 1, porque el exponente indica el número de veces que se repite la base , y no tiene sentido repetir una vez. Así, 21 no es una potencia. ¿Pero cómo se comporta 21? 

Si multiplicamos, por ejemplo, a 24 por 2 tenemos: 24 · 2 = 16 · 2 = 32

Si aplicamos la propiedad estudiada obtenemos: 24 · 21 = 24+1 = 25 = 32

Vemos que es lo mismo 2 que 21, pero nosotros escribiremos 2.  Ejemplo: Calcular: (-2)4 · (-2) · (-2)2 = (-2)4+1+2 = (-2)7 = - 128

 ¿Potencias de exponente 0? Tampoco existen potencias de exponente 0, porque el exponente indica el número de veces que se repite la base, y no tiene sentido repetir cero veces.

4


¿Qué significa 50? ¿Cómo se comporta? ¿Cuál es su valor? 

Por un lado, 53 : 53 = 125 : 125 = 1

Por otro, , 53 : 53 = 53-3 = 50

50 se comporta como si valiera 1. Por ello se acepta que cualquier número, tanto si es positivo como negativo, elevado a 0 vale 1.  Ejemplos: 60 = 1 (-7)0 = 1 7230 = 1

 Potencias de exponente negativo Cuando el exponente de es negativo la potencia se convierte en una fracción de la siguiente manera con algún ejemplo:

32 

1 32

5 4 

 23 

1 54

1  23

3. RAÍZ DE UN NÚMERO .- POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO n

a

n es el índice de la raíz y a se llama radicando

Para resolver por ejemplo 3 8 lo que intentamos es buscar un número que al elevarlo a 3 de cómo resultado 8. Este número es el 2, por lo tanto: 3

8 = 2

Si queremos escribir una raíz en forma de potencia, se hace mediante una potencia de exponente fraccionario. EJEMPLO 1

3

8 =83

 

43  43

1 2

1

3

 42

3

5

2 5  (2 5 ) 3  2 3

Las propiedades que habíamos visto antes para las operaciones con potencias de exponente entero valen también para las potencias de exponente fraccionario.

5


4 .- PROPIEDADES DE LOS RADICALES n

a  n b  n a b

El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el mismo que los dos y por radicando el producto de los radicandos.

n

a :n b  n a:b

El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el mismo que los dos y por radicando el cociente de los radicandos.

 a n

m n

m

 n am

a  mn a

La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo y por radicando la potencia del radicando. La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por radicando el mismo.

6


2.-Potencias y raíces