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TEMA 11: MEDIDAS. TEOREMA DE PITÁGORAS

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.1. INSTRUMENTOS DE MEDIDA Con los instrumentos de medida podemos medir directamente distintas magnitudes: - temperatura - masa - longitud - tiempo… Una medida directa de una magnitud es un valor numérico que se obtiene utilizando un instrumento de medida. Estimar una medida es averiguar un valor aproximado de la misma sin utilizar directamente ningún instrumento de medida.

.2. ERRORES DE MEDIDA La precisión de una medida viene determinada por la precisión del instrumento utilizado: cuanto menor sea la cantidad más pequeña que pueda medir, mayor será la precisión. El error absoluto, e, es la diferencia entre la medida aproximada y la medida exacta: e = aproximada – exacta Puedo medir por exceso, si la medida que hago es mayor que la exacta, o por defecto, si es más pequeña.

.4. MEDIDA DEL TIEMPO Para medir tiempos se necesitan dos cosas:  Una unidad de medida.  Un mecanismo que por un movimiento regular reproduzca dicha unidad de medida. El mecanismo que se utiliza es el reloj y la unidad principal de tiempo es el segundo. Un segundo se escribe 1 s. Un segundo se define como 1/86400 parte del día solar medio. Así pues, un año equivale a 365 días y 6 horas aproximadamente. Otras unidades de tiempo son: El minuto (min), la hora (h), el día, el año, el lustro, el siglo, el milenio,... 1 minuto = 60 segundos (1 min = 60 s) 1 hora = 60 minutos (1 h = 60 min) 1 día = 24 horas 2


EXPRESIÓN DE UNIDADES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL: 

Las medidas del tiempo pueden expresarse en forma compleja, utilizando varias unidades a la vez (32 h 23 min 53 s "treinta y dos horas, veintitrés minutos, cincuenta y tres segundos") y de forma incompleja, usando una sola unidad (116.663 s "ciento dieciséis mil seiscientos sesenta y tres segundos"). En una expresión compleja la cantidad de minutos y de segundos tiene que ser inferior a 60.

DE COMPLEJO A INCOMPLEJO 

Para pasar de una unidad a la siguiente inferior se multiplica por 60.

EJEMPLO Un avión tardó en hacer el viaje 2 h 48 min 30 s. ¿Cuántos segundos duró el viaje?

Expresamos esos tiempos en segundos: El viaje del avión duró 10.110 segundos.

DE INCOMPLEJO A COMPLEJO   

Para pasar de una unidad a la siguiente superior (segundos a minutos o minutos a horas) se divide por 60. Al dividir por 60 los segundos calculamos los minutos que hay en la expresión inicial. El resto son los segundos de la nueva expresión. Al dividir por 60 los minutos, el cociente son las horas, y el resto los minutos de la nueva expresión.

EJEMPLO Los niños de 3er. año "A" realizaron una salida didáctica que duró 7.950 segundos. Vamos a expresar esta cantidad en forma compleja en dos pasos:

La salida didáctica duró 2 h 12 min 30 s.

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OPERACIONES CON MEDIDAS DE TIEMPO SUMA Para sumar medidas de tiempo:    

Se colocan los sumandos de manera que queden en una misma columna las horas, en otra los minutos y en otra los segundos. Se suman los segundos con los segundos, los minutos con los minutos y las horas con las horas. Si una vez sumados los segundos son más de 60 se pasan a minutos. Si una vez sumados los minutos son más de 60 se pasan a horas.

EJEMPLO 1 e r pas o Se c ol oc a n la s hora s de ba j o de la s hora s (o l os gra dos de ba j o de l os gra dos), l os m i nut os de ba j o de los m i nut os y l os se gundo s de ba j o de l os se gundos; y se sum a n.

2 o pa s o Si l os se gundos sum a n má s de 60, se di vi de di c ho núm e ro e nt re 60; el re st o se rá n l os se gundos y e l c oc ie nt e se a ña di rá a l os mi nut os.

3 e r pas o Se ha c e l o m i sm o pa ra l os m i nut os.

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RESTA Para restar medidas de tiempo:  

Se colocan los sumandos de manera que queden en una misma columna los horas, en otra los minutos y en otra los segundos. Si el número de segundos del minuendo es menor que el número de segundos del sustraendo se resta un minuto a los minutos del minuendo y se suman sesenta segundos a los segundos de dicho minuendo. Si el número de minutos del minuendo es menor que el número de minutos del sustraendo se resta una hora a las horas del minuendo y se suman sesenta minutos a los minutos de dicho minuendo. Se restan las horas con las horas, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos.

EJEMPLO 1 e r pas o Se c ol oc a n la s hora s de ba j o de la s hora s (o l os gra dos de ba j o de l os gra dos), l os m i nut os de ba j o de los m i nut os y l os se gundo s de ba j o de l os se gundos.

2 o pa s o Se re st a n l os se gundos. Ca so de que no se a posi ble , c onve rt im os un m i nut o del m i nue ndo e n 60 se gundos y se l o sum a m os a l os se gundos de l m i nue ndo. A c ont i nua ci ón re sta mos l os se gundo s.

3 e r pas o Ha c e m os l o m i sm o c on l os mi nut os.

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MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO NATURAL Para multiplicar un tiempo por un número natural:   

Se multiplican las horas, minutos y segundos por dicho número. Si una vez multiplicados los segundos por el número son más de 60 se pasan a minutos. Si una vez multiplicados los minutos por el número y sumados los minutos procedentes del paso anterior son más de 60 se pasan a horas.

EJEMPLO 1 e r pas o Mul t i pl ic a m os l os se gundos, m i nut os y hora s (o gra dos) por e l núm e ro.

2 o pa s o Si l os se gundos sobre pa sa n l os 60, se di vi de di c ho núm ero e nt re 60; e l re st o se rá n l os se gundos y e l c oc ie nt e se a ña di rá n a l os mi nut os.

3 e r pas o · Se ha c e l o m i sm o pa ra l os m i nut os.

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DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL Para dividir un tiempo por un número natural:   

Se dividen las horas entre dicho número y el resto se multiplica por 60 para pasarlo a minutos. Éstos se suman a los minutos del dividendo. Se dividen los minutos entre el número y el resto se multiplica por 60 para pasarlo a segundos. Éstos se suman a los segundos. Se dividen los segundos entre el número.

EJEMPLO Di vi di r 37º 48 ' 25 '' e nt re 5 1 e r pas o Se di vi de n l a s hora s (o gra dos) e nt re e l núm e ro.

2 o pa s o E l c oci e nte son l os gra dos y e l rest o, m ul t i pl i ca ndo por 60, l os m i nut os.

3 e r pas o · Se a ña de n e st os m i nut os a l os que t e nem os y se re pi t e e l m i sm o proc e so c on l os m i nut os.

4 o pa s o Se a ña de n e st os se gundos a l os que t e nem os y se di vi de n l os se gund os.

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.5. TEOREMA DE PITÁGORAS Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a 2 + b2 = c 2

¿Seguro... ? Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52

Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25

¡sí, funciona!

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¿Por qué es útil esto? Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!) ¿Cómo lo uso? Escríbelo como una ecuación:

EJEMPLOS

a 2 + b2 = c 2

a 2 + b2 = c 2

52 + 122 = c2

92 + b2 = 152

25 + 144 = 169

81 + b2 = 225

c2 = 169

Resta 81 a ambos lados

c = √169

b2 = 144

c = 13

b = √144 b = 12

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11.Medidas y Teorema de Pitágoras