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Demostración por Inducción Matemática: Pasos Detallados

Demostrar por Inducción Matemática que: 1 1 1 n   ...   ,n 1 1 2 2  3 n(n  1) n  1

Comentario [N1]: Una demostración matemática requiere de rigor, por lo cual es indispensable que se incluyan todos los pasos detallados: Paso Base y Paso de la Inducción. Comentario [N2]: Se inicia con n=1 porque así lo indica el enunciado original al definir n≥1. Recordar que no siempre se inicia en 1, depende de lo que haya especificado el problema inicial.

Demostración. 1) Base.

Comentario [N3]: Esta expresión proviene de sustituir n=1 en la parte de la expresión original:

Suponemos que n=1

1 n  n(n  1) n  1

1 1  1(1  1) 1  1

Comentario [N4]: La igualdad se cumplió, por lo cual en el Paso Base se verifica que la ecuación planteada funciona para el primer valor de n.

1 1  1(2) 2 1 1  2 2

Comentario [N5]: Se cambia n por k para no alterar la ecuación original y así poder probar que los demás valores de n funcionan en la ecuación propuesta. Comentario [N6]: Aquí simplemente se sustituye n=k en la expresión original.

2) Paso de la Inducción.

1 1 1 k   ...   ,k  n 1 2 2  3 k (k  1) k  1

Comentario [N7]: Inicia el efecto dominó; probar que no importa hasta qué número se toma la suma de valores, siempre que se tome uno más, se podrán recorrer los infinitos valores que puede tomar n (generalización de la ecuación).

Entonces podemos mostrar que se cumple para n=k+1:

Comentario [N8]: Se suma el término siguiente (esto es, el k+1 término),

Suponemos que se cumple para n=k:

1 1 1 1 k 1   ...     1 2 2  3 k (k  1) (k  1)(k  1)  1 k  1 (k  1)(k  1)  1

(k  1) (k  1)  1

1 y k (k  1) 1 obteniendo: (k  1)(k  1)  1 sustituyendo k+1=k en

El término obtenido se suma de ambos lados de la igualdad. Comentario [N9]: OJO: Recordar solamente sustituir aquí k+1 en el k-ésimo término de la sucesión, del lado izquierdo, y de NO sustituir k+1 en la expresión de la derecha, sino que simplemente SUMAR a la derecha el término agregado a la izquierda. Comentario [N10]: Esta expresión es a lo que se quiere convertir la expresión anterior. Se obtiene cambiando n por k+1 en la ecuación propuesta en el problema inicial:

n n 1


k (k  1)  1  1 (k  1)(k  1)  1

k (k  2)  1 (k  1)(k  1)  1

k 2  2k  1 (k  1)(k  1)  1

k  12 (k  1)(k  1)  1

k  1k  1 (k  1)(k  1)  1

k  1 (k  1)  1

L.Q.Q.D.

Comentario [N11]: Para llegar a la expresión deseada de la nube, se deben considerar los siguientes 3 pasos: PASO 1.- Revisar si se puede calcular un denominador común y agrupar las dos fracciones en una sola. En este caso, SÍ hay denominador común, y es

(k  1)(k  1)  1, por lo cual se

agrupan las dos fracciones en una sola con este ddenominador. Comentario [N12]: PASO 2.- revisar si, en el numerador, existe algún término común, o algo que se pueda factorizar. En este caso no lo hay. Por tanto se hace el paso 3. PASO 3: Simplificar términos; realizar las multiplicaciones correspondientes o aplicar las reglas de potencias adecuadas para así poder llegar a una expresión que sí se pueda factorizar. Comentario [N13]: Esta expresión ya se puede factorizar. Es un trinomio cuadrado perfecto. Entonces, se regresa al paso 2 y se factoriza. Comentario [N14]: Se reescribe la potencia al cuadrado para ejemplificar que se elimina un término (k+1) tanto del numerador como del denominador, ya que (k+1)/(k+1)=1 Así pues, se llega a la expresión de la “nube”, esto es, a Lo Que Queríamos Demostrar (L.Q.Q.D.). En otras palabras, se demostró que la ecuación que se tenía inicialmente en efecto funciona para cualquier número natural a partir de n=1 de manera generalizada.


Demostración por Inducción Matemática