VítězslavVeselý,PavelRajmic,OndřejMokrý
Modernífunkcionálníanalýza saplikacemivezpracovánísignálů
Odbornárecenze:doc.RNDr.JanVybíral,Ph.D.
© VítězslavVeselý,PavelRajmic,OndřejMokrý2024
© VysokéučenítechnickévBrně–NakladatelstvíVUTIUM
ISBN978-80-214-6138-3
AutořiděkujístudentůmzVysokéhoučenítechnickéhovBrně,kteřívobdobímezi roky2012a2019nějakouformounapomohlinapsánítétoknihy.Někteřívranéfázi vznikutextupřepsaliurčitépasážedoLATEXu,někteříupozornilinapřeklepyachyby, jinínakresliliprvnípodobuobrázků.Konkrétněautořiděkují(vabecednímpořadí) MariiDaňkové(Mangové),AliciDoktorové,MatejiDolníkovi,JanuDražkovi,Ivanu Eryganovi,JanuHorníčkovi,OndřejiKlimešovi,TerezeKonečné,JiřímuKráčmarovi, BarbořeNavrátilové,ErikuOchodnickému,JosefuSvatoňovi,MartinuTejkalovi, HaněZemanové,MichaeleZemčíkové.ZvláštnípoděkovánípatříPavluZáviškoviza pomocspřevedenímobrázkůdoTikZ,zagrafickéatypografickéúpravyazařešení náročnějšíchproblémůsLATEXem.
DálepoděkovánípatřípaníředitelceNakladatelstvíVUTIUMJaněKořínkové zatrpělivostakonstruktivnípřístuppřiformováníknihy,JanuSkůpovizÚstřední knihovnyVUTzazařízeníDOIatrvalýchodkazůnaněkteréprameny,Zdeňkovi PrůšoviaRadkoviHrbáčkovizaprogramováníněkterýchukázekvMatlabuněkdy kolemroku2010,avneposlednířaděJanuVybíralovizajehopostřehyvodborné recenzi.
2.1Hierarchieprostorů
2.1.1Vektorovéprostory(lineárníprostory,L-prostory)
2.1.2Topologicképrostory(T-prostory)
2.1.3Metricképrostory(M-prostory)
2.1.4Topologickélineárníprostory(TL-prostory)
2.1.5Metrickélineárníprostory(ML-prostory)
2.1.6Normovanélineárníprostory(NL-prostory)
2.1.7Prostorysvnitřnímsoučinem(VS-prostory)
2.2Kompaktnímnožiny
2.3PřehledstandardníchNL-prostorůaVS-prostorů
2.3.2Funkcekoncentrovanévčaseafrekvenci(TF-prostory)
2.3.3Frekvenčněomezenéfunkce(Paleyho–Wienerovyprostory)
2.3.4Hardyhoprostory
2.3.5Prostoryperiodickýchaperiodizovatelnýchfunkcív ��
3 Operátoryvnormovanýchprostorechavprostorechsvnitřním součinem .......................................................37
3.1Spojitélineárníoperátory
3.3Samoadjungovanéoperátory
3.4Kompaktníoperátory
3.5Unitárníoperátory
4Inverzespojitýchlineárníchoperátorů ..........................69
4.1Teoretickávýchodiska .........................................
4.2Konstrukceinverze ...........................................
5Pseudoinverzespojitýchlineárníchoperátorů ...................79 6Úplnésystémy:ortonormálníbáze,Rieszovybázeaframy ......91
6.1Úplnésystémyabáze .........................................
6.2Ortonormálníbáze
6.3Rieszovybáze
6.4Framy
6.5FramovéreprezentacevHilbertověprostoru.Principduality 116
7Spektrálníanalýzaoperátorů ...................................127
7.1SpektrálníteoriesamoadjungovanýchoperátorůvH-prostorech 129
8Hilbertovyprostorysreprodukčnímjádrem
8.1Základyteorie
8.2Jádrovéfunkce
8.2.1KonstrukcereprodukčníchjadervRKHS-prostorech
8.2.2Invariantníoperacesjádrovýmifunkcemi
8.3Ilustračnípříklady
8.4RekapitulacekekonstrukciRKHS-prostorů
8.4.1H-prostory
8.4.2FunkcionálníH-prostory .................................
8.4.3RKHS-prostory ........................................
8.4.4LineárníRKHS-model ..................................
8.5Aplikace .....................................................
8.5.1InterpolacevRKHS-prostorech
8.5.2AproximacevRKHS-prostorech
9 Moderníreprezentačnísystémy(báze,framy)vezpracování signálů .........................................................185
AFaktorprostoryapřímýsoučetvektorovýchprostorů ...........199
BMetriky,normyaoperátory ....................................203
B.1 ��-metrikya ��-normy ..........................................
B.2Ekvivalentnímetrikyanormy ..................................
B.3OperátoryFredholmovatypu
B.4Tenzorovésoučiny
CFourierovařadaaFourierovatransformace
C.1Fourierovařada ..............................................
C.1.1Parsevalovaidentita(PI) ................................
C.1.2DiskretizaceFourierovyřady .............................
C.1.3DiskrétníFourierovatransformaceposloupností
C.2Konvolučníoperátory
C.2.1Integrálníkonvolučníoperátory
C.2.2Diskrétníkonvolučníoperátory
DDůkazyvybranýchtvrzení ......................................245
EŘešenívybranýchcvičení .......................................251
FAlgoritmyinverzeapseudoinverzeoperátorů ...................261
GShrnutíobsahuformoutabulek .................................273
HObsahrepozitáře ...............................................277
Rejstřík
2.1Schémahierarchieprostorů
2.2Funkcevprostorech ��1 ∖ ��2 a ��2 ∖ ��1
2.3Příkladyfunkcív ��1 a ��2 akoincidencetěchtoprostorů
2.4 Funkcezprostoru PW 1 2 ,jejívzorkyvčaseajejírekonstrukcepomocí báze {sinc(�� ��)}��∈Z
3.1Vektorynapovrchujednotkovékoulepoaplikovánímatic �� 0, �� 1, �� 2
3.2Výpočetnormyvektorunazákladědůsledku 3.27 .................
3.3Konstrukceadjungovanéhooperátoru
3.4Třídyomezenýchoperátorův ℬ(��,��) nad F
3.5 Projekcepovrchujednotkovékoulevprostoru R3 napodprostor generovanýdanýmivektory
3.6Ilustracepřevodubarevnéhoobrázkudostupňůšedijakožtoprojekce
3.7Ilustracekpříkladuprojekce 3.73
4.1Rozkladprostorů
5.1Grafickéznázorněnípříkladu 5.5 ................................
5.2Oblastinumerickéstabilityprooperátor ��
6.1Ukázkaaproximacefunkce sin �� polynomemstupně3 110
6.2 UkázkaParsevalovaframuzískanéhoprojekcíONBnapodprostor nižšídimenze ................................................. 114
6.3Mercedes–Benzframe ......................................... 115
6.4Příkladjednoduchéhoframuajeho(kanonického)duálníhoframu 118
7.1Ilustracerozloženíhodnotspektraoperátoru �� ................... 128
8.1Ilustracekonstrukcezčásti (2) důkazuvěty 8.26 148
8.2Ilustracepříkladusouřadnicovéreprezentacefunkcí 164
9.1Ortonormálníbázeaframepro C8 186
9.2Reálnákosinováortonormálníbázeprostoru R8 187
9.3ŠedesátčtyřiprvkůDCTortonormálníbázeprostoru R8×8 188
Seznamobrázků x
9.4 Vlnka„Daubechies2“jakožtomateřskáfunkce �� afunkcezní odvozenádilatacíaposunem 190
9.5Příkladvlnkovýchbázovýchvektorůvdiskrétnímpřípadě 193
9.6Několikprvkůrekonstrukčníbáze ��′ proprostor R128×128 194
9.7Spektrogramyúryvkůhudebníchsignálů ......................... 195
9.8SymetrickéB-splajnyřádů2,3a4 .............................. 196
9.9 UkázkaněkolikaatomůGaborovaframusloženéhozposunutých amodulovanýchB-splajnů 196
9.10Několikprvkůzvlnkovéhopaketuprovlnku„Daubechies2“ 197
B.1Jednotkovékoulevevybraných ��-metrikách/normách .............. 205
C.1Ukázkysoučtůprvních �� harmonickýchsložekusměrněnéhokosinu 219
C.2Ukázkysoučtůprvních �� harmonickýchsložekpilovéfunkce 219
C.3SrovnánírůstusložitostiDFTaFFTprorostoucídélkusignálu 222
C.4Demonstracefiltracesignálu ................................... 242
E.1Ilustraceřešenícvičení 5.17 253
Všeobecnékonvenceznačení
Vcelémtextujsoupoužíványnásledujícíběžnékonvenceznačení.
Symbol/zkratkaPopis
Číselnéobory
N přirozenáčísla: 1, 2, 3,...
N0 := {0}∪ N nezápornáceláčísla: 0, 1, 2, 3,...
Z celáčísla:typicky ��,��,��,��,��
Z�� := {0, 1,...,�� 1} zbytkypoděleníceléhočíslačíslem �� ∈ N �� mod �� operacemodulo:zbytekpoděleníčísla �� ∈ Z číslem �� ∈ N
R reálnáčísla:typicky ��,��,��
sgn �� :=
1 pro ��> 0 0 pro �� =0 1 pro ��< 0 znaménkočísla �� ∈ R
⌊��⌋ dolníceláčástčísla �� ∈ R
R+ := {�� ∈ R | �� ≥ 0} nezápornáreálnáčísla
R := {�� ∈ R | ��< 0} zápornáreálnáčísla
R* := R ∪{∞}∪{−∞} rozšířenámnožinareálnýchčísel
Q racionálníčísla
C komplexníčísla,typicky ��,�� �� značíčíslokomplexněsdruženékčíslu �� ∈ C
ℜ�� (ℑ��)reálná(imaginární)částčísla �� ∈ C
F zástupnýsymbolpročíselnýobor C nebo R (viz 2.1)
Maticeavektory
např. ��, ��, �� maticerozměru(typu) �� × ��, ��> 1,��> 1 (tučněvelkýmipísmeny)
např. ��, ��, �� vektoryrozměru �� × 1 (standard)nebo 1 × ��, ��> 1 (tučněmalýmipísmeny)
Množiny
∪ sjednocenídisjunktníchmnožin
|�� | mohutnost(kardinalita)množiny ��
ℵ0 spočetnámohutnost
�� obecná(jakákoliv)indexovámnožina �� nejvýšespočetnáúplněuspořádanáindexovámnožina,obvykle �� = N nebo �� = Z (�� = ∅):viz 6.3
Seznamzkratekasymbolůxii
��
konečnáindexovámnožina(�� = ∅)
exp �� množinavšechpodmnožinmnožiny �� Funkce
{����}, {����}��∈�� posloupnosti
pros.v. �� ∈ �� proskorovšechna �� ∈ �� neboliprovšechna �� ∈ �� ažnakonečně mnoho
F�� množinavšechčíselnýchposloupností(zobrazení �� → F)
∑︀ ����, ∑︀��∈�� ���� sumaceřady
např. ��,��,ℎ komplexnífunkcereálnéhoargumentu(R�� → C, �� ∈ N),není-li řečenojinak
�� (��) hodnotafunkce �� vbodě �� ∈ R (jenpro �� =1)
�� (��):= �� (��1,...,����) hodnota ��-rozměrnéfunkce �� vbodě �� ∈ R�� �� (��):=[�� (��1),...,�� (����)] hodnotaskalárnífunkce �� posložkáchvektoru �� ∈ R�� (rozměr �� jezachován)
supp �� := {�� | �� (��) =0} nosičfunkce ��
1�� (��):= {︂1 pro �� ∈ �� 0 jinak charakteristickáfunkcepodmnožiny �� ⊆ R��
��(��) Diracova„funkce“jakožtoslabálimitafunkcionálůvteorii zobecněnýchfunkcí(distribucí): ��(��):= lim
→0 1
1(
(��), ∫︀R �� (��)��(��)d�� = �� (0)
����,�� := {︂1 pro �� = �� 0 pro �� = �� Kroneckerůvsymbol(��,�� ∈ Z)
Lebesgueůvintegrál
∫︀�� �� (��)d�� integrál �� naměřitelnémnožině �� ,kdeintegráliměřitelnostje vLebesgueověsmyslu
∫︀ �� (��)d�� := ∫︀R �� (��)d�� Lebesgueůvintegrál �� na �� = R
∫︀�� �� (��)d�� (��)
∫︀�� �� (��)d��(��)
Lebesgueův–Stieltjesůvintegrálna ��
Lebesgueůvintegrálsobecnoumírou �� na �� s.v.na �� skorovšudena �� ,neboliprovšechna �� ∈ �� svýjimkoupodmnožiny nulovémíry
esssup ��∈�� �� (��) esenciálnísupremumfunkce �� na �� : esssup ��∈�� �� (��):=inf{�� | �� ≤ �� s.v.na �� }
Prostoryajejichprvky
např. ��,��,��1,��1,��2,��2 prostory:neprázdnémnožinyopatřenénějakoustrukturou ��,��,��1,��1,��2,��2 ... prvkyvýšeuvedenýchprostorů
Operátory
ℱ(��,�� ) prostorvšechoperátorů(zobrazení) �� → �� (množiny)
např. �� : �� → �� (lineární)operátornebolizobrazenízachovávající(lineární)strukturu(např.homomorfismus)
�� 1 : �� → �� (bijektivní)inverzníoperátork(bijektivnímu)operátoru �� �� : ��˓→ �� , �� ⊆ �� identickévnoření(inkluze)podmnožiny �� do ��
�� (��) nebostručně ���� hodnotaoperátoru �� vbodě �� �� (�� ) obrazmnožiny �� voperátoru �� �� 1(�� ) úplnývzorpodmnožiny �� ⊆ �� vzobrazení �� : �� → �� ; �� 1(�� ):= {�� ∈ �� | ���� ∈ �� }
�� 1 �� := �� 1({��}) úplnývzorprvku �� ∈ ��
��, ���� identickýoperátor,na ��
0 , 0�� nulovýoperátor,na �� (0�� : �� → �� )
Seznamzkratekasymbolůxiii
Značenízavedenévtextu
Následujeabecedníseznamzkratekasymbolůspolusodkazemdotextu,kdebyly zavedeny.
Značení Popis Odkazdotextu
���� ≤ ����,���� ≤ ����
nejlepšímezeframu/Rieszovybáze �� 6.53
���� ,���� (���� ≤ �� ≤ ���� ) nejlepšímeze(kvadratickéformy)operátoru �� 3.48, 3.51
B-prostor: ��,��1,��2 Banachůvprostor 2.57
ℬ(��,�� ) prostorohraničenýchlineárníchoperátorů 3.3
BSVBanachova–Steinhausovavěta 3.21 ��(I) prostorfunkcíspojitýchna I 2.83
DCKdiskrétnícyklickákonvoluce C.28
DFTdiskrétníFourierovatransformace C.5, C.10, C.12
DLKdiskrétnílineárníkonvoluce C.28 ���� metrikana �� 2.35 ��(�� ) definičníoboroperátoru �� 2.3 ��(��) trojúhelníkovýpuls C.23
�� = {Δ��}��∈�� rozdílováBesselovaposloupnost 6.74 dim �� dimenzeprostoru �� 2.2
E = {����}��∈�� přirozenáONBv ℓ2 2.89
FFTrychláFourierovatransformace(FastFourierTr.) C.7
FŘFourierovařada 2.92, C.1
F poleskalárů,kdebuď F = C nebo F = R 2.1 ��(�� ) hranicemnožiny �� (vtopologii) 2.18
H-prostor: ��,��1,��2 Hilbertůvprostor 2.71 �� 2 +,�� 2 Hardyhoprostory 2.114
HBVHahnova–Banachovavěta 3.13
IMTvětaoinverznímzobrazení(InverseMappingTh.) 3.8 Int(�� ) vnitřekmnožiny �� (vtopologii) 2.18
��(��,��) otevřenákouleostředu �� apoloměru �� 2.35 ��(��,��) jádrováfunkce(jádro)RKHS-prostoru 8.2, 8.5
L-izomorfismuslineárníizomorfismus 2.7
L-(pod)prostorlineární(vektorový)(pod)prostor 2.1 ����,ℓ�� ��-prostory 2.83, 2.84, 2.87, B.8
̃︀ ���� �� ��-prostor �� -periodickýchfunkcí 2.118, C.2.1
ℓ�� prostor �� -periodickýchposloupností C.2.2
ℒF lineárnístrukturavektorovéhoprostorunad F 2.1
ℒ(�� ) lineárníobalmnožiny �� 2.1
ℒ(��,�� ) prostorlineárníchoperátorůz �� do �� 2.3
ℒℐ(��,�� ) prostorlineárníchizomorfismůz �� na �� 2.7
M-(pod)prostormetrický(pod)prostor 2.35
ML-prostormetrickýlineárníprostor 2.50
NL-prostornormovanýlineárníprostor 2.54 �� (�� ) jádro(nulovýprostor)operátoru �� (nullspace) 2.3
��, ��* otevřenéokolí,ryzí(vtopologii) 2.18
OGSortogonálnísystém(množina) 2.74
OMTvětaootevřenémzobrazení(OpenMappingTh.) 3.7
ONS,ONBortonormálnísystém(množina),báze 2.74
PW-prostorPaleyho–Wienerůvprostor 2.109
PIParsevalovaidentita 6.32, C.1.1
Seznamzkratekasymbolůxiv
���� prostor �� -periodizovatelnýchfunkcí 2.121
RBRieszovabáze 6.40
rect(��) tzv.obdélníkováfunkce(C.19)
RFVRieszova–Fischerovavěta 6.32
RVRRieszovavětaoreprezentaci 3.19
ℛ(�� ) oborhodnotoperátoru �� (rangespace) 2.3
ℛ† , ℛ† �� oborhodnotsouřadnicovéhozobrazenívbázi �� 6.16
RKHS-prostorH-prostorsreprodukčnímjádrem(kap. 8) 8.3 ��, {��}, [{��}], ���� [��; ��], ℒ(��), ��[��] symbolypoužívanévkap. 8 8.1 sinc(��):= sin ���� ���� funkcesinc(sinuscardinalis) 2.91(b), C.23
SVDsingulárnírozkladmatice 5.13
T-(pod)prostortopologický(pod)prostor 2.18, 2.25
TF-prostorprostorfunkcíkoncentrovanýchvčaseifrekvenci 2.104
TL-prostortopologickýlineárníprostor 2.49
TLItopologickýlineárníizomorfismus 2.58
��ℒℐ(��,�� ) prostorvšechTLIz �� na �� 2.58
���� topologiena �� 2.18
��(��) nejmenšítopologieobsahující �� 2.22
UIunitárníizomorfismus 3.90
VS-prostorprostorsvnitřnímsoučinem 2.66
OperačnísymbolPopis
Odkazdotextu
��(�� ) číslopodmíněnostioperátoru �� 5.11
��′ , �� ′ ∈ ��′ duálníprostork �� spojitýchlin.funkcionálů �� ′ 3.12
�� ′ , ��′ , �� duálníprvek,duálníframe/Rieszovabáze 6.63, 6.64, 6.75
^ �� := F �� Fourierovatransformace �� (neboortogonálníprojekce �� —vizníže) 2.98, C.12
ˇ �� := F+�� zpětnáFourierovatransformace �� 2.98, C.12
♦ fourierovskýtransformačnípár 2.102
∘ Hadamardůvsoučin(posložkách) B.16, C.33
×, ∏︀ kartézskýsoučin(nebokorelace—vizníže) 2.10
�� −→ konvergencedlemetriky �� 2.35
sl. −→, sl’. −−→ konvergenceslabá 3.23
⇒ konvergencestejnoměrná 2.85
���� −−→ konvergencevtopologiina �� 2.33
* , konvoluce,periodická C.15, C.28
×, ⊗ korelace,periodická C.15, C.28
L ≃ lineárníizomorfismus 2.7
L ⊆, L = lineárnípodprostor,shodaL-prostorů 2.1
W± �� maticeoperátoruDFT C.5
�� * matice(hermitovsky)transponovanák �� 3.38
[�� ] maticováreprezentaceoperátoru �� 2.14
‖·‖, ‖·‖�� norma,na �� 2.54, B.20(2)
�� ′ , �� * operátoradjungovanýk �� 3.32, 3.34
���� operátordilatace 3.1
���� operátordiskretizační(Besselův)vbázi/framu �� 6.28
DFT± �� operátordiskrétníFourierovytransformace C.5
Seznamzkratekasymbolůxv
F± 1 operátorFourierovytransformacev ��1 2.95, C.10
F, F± , F± 2 operátorFourierovytransformacev ��2 2.98, 3.1, C.12
���� operátorframovývbázi/framu �� 6.28
���� operátorFredholmovatypusjádrem �� B.18, 3.10
�� →
�� operátorinvoluce 3.1 �� → �� operátorkonjugace 3.1 ���� operátorkorelační(Gramův)vbázi/framu �� 6.28
���� operátormodulace 3.1
��, ���� operátorortogonálníprojekce,napodprostor �� 3.65 ��ℎ := ��ℎ , ��ℎ := ��ℎ operátorkonvoluce,periodické (simuplzníodezvou ℎ) C.15, C.28, 3.10
��
ℎ , ̃︀ ��
ℎ operátorkorelace,periodické (simuplzníodezvou ℎ) C.15, C.28
�� + operátorMooreovy–Penroseovypseudoinverzek �� 5.1 �� operátorzobecněnéinverzek �� 5.15 �� operátorreflexe 3.1 ���� operátorrekonstrukčnívbázi/framu �� 6.16, 6.28
���� operátortranslace(posunutí) 3.1 √�� operátorováodmocninaz �� 3.62 ⊥ ortogonalnína,kolmýna 2.68 �� ⊥ ortogonálníkomplementmnožiny �� 2.73 ̂︀ �� := ���� �� ortogonálníprojekce �� napodprostor �� 3.64, 3.65 �� ⊥ := �� ���� �� kolmásložkaortogonálníprojekce �� na �� 3.66 ⊕, ⨁︀ ortogonálnísoučetpodprostorů 2.72 ‖·‖�� ��-norma 2.83, 2.84, B.1
��+ := �� +��, �� := �� �� pseudoinverznířešenírovnice ���� = �� 5.4, 5.15 , ∑︀
přímýsoučetpodprostorů
2.5, A.5, 2.63
�� restrikceoperátoru �� na ℛ(�� *) 4.2
�� �� restrikceoperátoru �� napodprostor ��, kterýjekněmuinvariantní 7.20
+, ∑︀ součetpodprostorů A.5
{��}�� souřadniceprvku �� vbázi �� 6.16
⟨·, ·⟩, ⟨·, ·⟩�� vnitřní(skalární)součin,na �� 2.66, B.20(2) ���� (���� := �� 1 �� )spektrálníteorie:operátory(rezolventa) 7.1
��(�� ) spektrumoperátoru �� 7.2
����(�� ) spojitéspektrumoperátoru �� 7.2
����(�� ) bodovéspektrumoperátoru �� 7.2
����(�� ) reziduálníspektrumoperátoru �� 7.2
ℛ��, ����, �� spektrálníteorie:prostory 7.1, 7.25
TLI ≃ topologickýlineárníizomorfismus 2.58
UI ≃ unitárníizomorfismus 3.90
�� uzávěrmnožiny �� (vtopologii) 2.18
Int(�� ) vnitřekmnožiny �� (vtopologii) 2.18