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Fatoração de um polinômio Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Redirecionado de Factorização) Em matemática, Fa(c)toração ou Fa(c)torização de um número é o problema de se encontrar todos os divisores de um número inteiro. Há centenas de aplicações e problemas relacionados, tais quais os de fatoração de números primos e criptografia. No entanto existe também a fatoração de um polinômio, que consiste em transformálo em um produto de polinômios de graus menores, ou mais simples, em linguagem não-matemática. Essa fatoração é indispensável na resolução de equações do segundo grau ou maior. Principais tipos de fatoração 1 Fatoração pelo fator comum em evidência 2 Fatoração da diferença de dois quadrados 3 Fatoração do trinômio quadrado perfeito 4 Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos 5 Fatoração do trinômio do segundo grau 6 Fatoração completa 7 Fatoração por artifício 8 Polinômios irredutíveis

Fatoração pelo fator comum em evidência Considere o polinômio 14ab + 7bc, seu fator comum em evidência é 7b, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência 14ab:7b = 2a e 7bc:7b = c, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de 14ab + 7bc = 7b.(2a + c). O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio. Outros exemplos: 15x + 9y = 3.(5x + 3y) 50 − 10y = 10.(5 − y)

Fatoração por agrupamento Observe o polinômio ab − b2 + 2a − 2b. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios à partir do polinômio principal, veja: ab − b2 + 2a − 2b = (ab − b2) + (2a − 2b), logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal: ab − b2 = b(a − b) 2a − 2b = 2(a − b), obtemos a fatoração de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b), notase que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: (a − b)(b + 2). A forma fatorada de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b) = (a − b)(b + 2). Outro exemplo: a4 − a5 + a2b − a3b = a2(a2 − a3) + b(a2 − a3) = (a2 − a3)(a2 + b)

Um outro exemplo : ac + bc + 3a + 3bc(a + b) + 3(a + b)(c + 3)(a + b) Ψ Fatoração da diferença de dois quadrados Considere o polinômio m2 − n2, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo quadrada do segundo termo

menos a raiz

, logo temos

, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raizes dos termos iniciais pelo seu oposto: (m − n).(m + n), logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: , ou simplesmente m2 − n2 = (m − n).(m + n). Outros exemplos: (n + 8)2 − 1 = [(n + 8) + 1].[(n + 8) − 1] = [n + 8 + 1].[n + 8 − 1] = [n + 9].[n + 7] a4 − b4 = (a2 + b2).(a2 − b2) = (a − b).(a + b).(a2 + b2) Fatoração do trinômio quadrado perfeito Considere o polinômio 4x2 + 4xy + y2, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa (2x + y)2, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio 4x2 + 4xy + y2, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo e a raiz quadrada do terceiro termo , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (4xy): 2.2x.y = 4xy, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y)2. Outro exemplo:

ou x2 − 8xy + 16y2 = (x − 4y)2 Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva: (a + b).(a2 − ab + b2) = a3 − a2b + ab2 + a2b − ab2 + b3 = a3 + b3, tendo este cálculo como base, podemos dizer que a3 + b3 = (a + b).(a2 − ab + b2), logo, a fatoração do polinômio a3 + b3 é igual à raiz cúbica do primeiro termo

, mais a raiz cúbica do

segundo termo vezes o quadrado do primeiro termo a2, o produto dos dois termos com o sinal oposto − ab mais o quadrado do segundo termo b2, formando:a3 + b3 = (a + b).(a2 − ab + b2). Outros exemplos: x3 − y3 = (x − y).(x2 + xy + y2)

Fatoração do trinômio do segundo grau Observe o trinômio x2 − 2x − 35, cuja forma fatorada é (x − 7).(x + 5), para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos: a2 + 8a + 12 = (a + 2).(a + 6) x2 − 15x − 100 = (x − 20).(x + 5) Fatoração completa A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio x4 − y4, que é a diferença de dois quadrados,

fatorando-o temos: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2), note que o primeiro termo da fatoração [(x2 − y2)] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2) = (x − y).(x + y).(x2 + y2), assim, temos a fatoração completa do polinômio x4 − y4. Outros exemplos:

3x2 − 6x + 3 = 3.(x2 − 2x + 1) = 3.(x − 1)2 matemática é bom! Fatoração por artifício Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo; Fatore a expressão algébrica: x4 + 4x2y2 + 16y4. (x4 + 4x2y2 + 16y4 + 4x2y2) − 4x2y2 = x4 + 8x2y2 + 16y4 − 4x2y2 = (x2 + 4y2)2 − 4x2y2 = (x2 + 4y2 + 2xy)(x2 + 4y2 − 2xy) Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo 4x2y2, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão. Outro exemplo:

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se cubos:

, obtendo-se logo em seguida uma soma de

Polinômios irredutíveis Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis. Por exemplo, o polinômio é irredutível, pelo critério de Eisenstein, com p = 2. Note-se, porém, que a irreducibilidade está sempre condicionada ao corpo considerado; pelo teorema fundamental da álgebra, todo polinômio tem uma raiz, portanto este polinômio pode ser escrito como , sendo

uma raiz.

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS LISTA DE EXERCÍCIOS 01. Desenvolva os produtos entre os polinômios: a )4mn  n   m 2  1

b)2ab  a   b  ab 

02. Efetue as divisões entre os polinômios: a )8a 3 b 2  4a 2 b   2ab 

b) x 2  9 x  20   x  4 03. Calculando  x  y    x  y  , obtém-se: a)2 x 2  2 y 2 2

2

b)4 xy  y 2 c)2 xy  2 x 2 y 2 d )8 xy e)  8 xy 04. Sabendo que x  2 e y  6 , qual o valor numérico de ( x  y) 2 ? a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 64

05. Escreva a expressão que representa a área de cada figura a seguir. a)

b)

c)

0.6. Identifique qual trinômio é quadrado perfeito. a ) x 2  xy  y 2 b)4 x 2  6 xy  y 2 c ) a 2  4a  4 d )4a 2  16a  4 e)m 2  4mn  n 2 0.7 Simplificando a expressão

a)2 x  a b) 2 x  a c ) 2 x  2a d ) x  2a e) x  a

4 x 2  4ax  a 2 obtém - se: 2x  a

0.8 Escreva o polinômio que representa a área da figura. Em seguida, passe o polinômio encontrado para a forma fatorada.

O polinômio obtido equivale a: a ) x  3 

2

b) x 2  3 2

c) x  3 d )x2  3 e) x  3 2 0.9. Simplificando a expressão algébrica

x 2  2x obtém-se: x2

a) x  1 b) x  1 c) x d )x2  2 e) x 2

10. Reduza os termos semelhantes e, em seguida, fatore o resultado. a) 3b + bc – b – 2bc b) 3 · (x – 2) – 6x + 9 c) 12b 3  16b 2  20b

11. Calcule a รกrea de cada figura abaixo, determinando o resultado na forma fatorada.

a)

b)

c)

12. Fatore colocando em evidência o fator comum.

a) kx + wx b) 8x – 16 c) 3xy – 5ay – 6bxy d) 7 a 5  21a 4  14a 3

13. Fatore as seguintes expressões algébricas.

a) ax – 2x + ay – 2y b) 3a – 6y + ab – 2by c) ab + 2b – 3a – 6 d) 2x + ax + 2y + ay

14. Fatore as seguintes expressões algébricas.

a) ax – 2ay + 5x – 10y + 11cx – 22cy

b) 3x – 3 + ax – a + a²x – a²

c)

mx + my + mz + nx + ny + nz

15. Dado o polinômio x² – xz + 2xy – 2yz, determine a forma fatorada e o valor numérico da expressão encontrada, sabendo que x – z = 5 e x + 2y = 27.

16. Usando a fatoração por agrupamento, calcule o valor de:

a) 27 · 15 + 27 · 12 + 33 · 15 + 33 · 12 b) 51 · 10 + 51 · 40 + 19 · 10 + 19 · 40 17. Escreva os polinômios que representam as áreas de cada figura. Em seguida, passe os polinômios encontrados para a forma fatorada.

a)

b)

18. Fatore os trinômios quadrados perfeitos a seguir:

a )25a 2  10a  1 b)16 x 2  8 xy  y 2 c)49 x 2 y 2  14 xy  1

d )x2  x 

1 4

e)a 2 x 2  4axy  4 y 2

19. Fatore o numerador de cada fração e, a seguir, simplifique cada uma delas.

a)

4 x 2  4ax  a 2 2x  a

b)

100a 2  40ab  4b 2 10a  2b

c)

a 2  20a  100 a  10

20. Efetue as operações indicadas, escrevendo-as de forma simplificada, quando possível.


Fatoração de Polinômio