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Lista de Exercícios 2 – Probabilidade e Estatística – 2014/1 Elementos de Probabilidade, Variáveis aleatórias, Distribuição de Probabilidade, Estimação (Intervalos de Confiança) Assuntos englobados: 3-Elementos de Probabilidade: Probabilidade – Conceitos básicos. Espaço amostral. Eventos: operações com eventos, eventos mutuamente exclusivos. Probabilidade sobre o enfoque estatístico, clássico e axiomático. Probabilidade condicional. Eventos independentes. 4-Variáveis aleatórias: Variáveis aleatórias: conceito, função de probabilidade, função densidade de probabilidade, função de distribuição acumulada. Expectância e variância de variáveis aleatórias, propriedades. 5-Distribuição de probabilidade: Distribuição de probabilidade de v.a. discretas. Distribuição de probabilidade de v.a. Contínuas: Uniforme, Normal, Qui – Quadrado, T de Student. Cálculo de probabilidade sob a curva normal e Aproximação da binomial para Normal. 6-Estimação: Estimativa de uma média populacional (estimativa pontual, margem de erro, estimativa intervalar e tamanho de amostras).Estimativa de uma proporção populacional (estimativa pontual, margem de erro, estimativa intervalar e tamanho de amostras). Estimativa de uma variância populacional (estimativa pontual, estimativa intervalar e tamanho de amostras). [2.1-1] Questão 2.1 – Quatro universidades – 1, 2, 3 e 4 estão participando de um torneio de basquete. Na primeira etapa, 1 jogará com 2 e 3 com 4. Os dois vencedores disputarão o campeonato e os dois perdedores também jogarão. Um resultado possível pode ser representado por 1324 (1 ganha de 2 e 3 ganha de 4 nos jogos da primeira etapa e 1 ganha de 3 e 2 ganha de 4). a) Relacione todos os resultados possíveis de . S = { 1324, 1342, 1423, 1432, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 4123, 4132, 3214, 3241, 4213, 4231 }

b) Represente por A o evento em que 1 ganha o torneio. O evento A contém as ocorrências onde o 1 ocupa a primeira posição na lista: A = { 1324, 1342, 1423, 1432 }

c) Represente por B o evento em que 2 seja um dos finalistas do campeonato. Relacione os resultados de B. O evento B contém as ocorrências onde o 2 ocupa a primeira ou segunda posição: B = { 2314, 2341, 2413, 2431, 3214, 3241, 4213, 4231 }

d) Quais são os resultados de AB e de AB? Quais são os resultados de A c ? The compound event AB contains the outcomes in A or B or both: AB = {1324, 1342, 1423, 1432, 2314, 2341, 2413, 2431, 3214, 3241, 4213, 4231 }

[2.1-2] Questão 2.2 – Suponha que os veículos que trafegam em uma determinada estrada possam tomar uma saída à direita (D), à esquerda (E) ou ir em frente. Observe a direção de cada um de três veículos sucessivamente. a) Relacione todos os resultados do evento A em que os três veículos seguem na mesma direção. Event A = { DDD, EEE, FFF }


b) Relacione todos os resultados do evento B em que os três veículos tomam direções diferentes. Event B = { DEF, DFE, EDF, EFD, FDE, FED }

c) Relacione os resultados do evento C em que exatamente dois dos três veículos viram à direita. Event C = { DDE, DDF, DED, DFD, EDD, FDD }

d) Relacione todos os resultados do evento D em que exatamente dois veículos seguem na mesma direção. Event D = { DDE, DDF, DED, DFD, EDD, FDD, EED, EEF, EDE, EFE, DEE, FEE, FFD, FFE, FDF, FEF, DFF, EFF }

e) Relacione os resultados em que Dc, C  D e CD. O evento D contém resultados onde todos os carros vão na mesma direção ou todos vão em direções diferentes: D = { DDD, EEE, FFF, DEF, DFE, EDF, EFD, FDE, FED } Pelo fato do evento D conter totalmente o evento C, o evento união CD = D: CD = { DDE, DDF, DED, DFD, EDD, FDD, EED, EEF, EDE, EFE, DEE, FEE, FFD, FFE, FDF, FEF, DFF, EFF } Using similar reasoning, we see that the compound event CD = C: CD = { DDE, DDF, DED, DFD, EDD, FDD }

[2.2-11] Questão 2.3 – Uma empresa de fundos mútuos oferece a seus clientes diversos fundos: um de mercado, três de títulos diferentes, (curto, médio e longo prazos), dois fundos de ações (moderado e de alto risco) e um misto. Dentre os usuários que possuem cotas em apenas um fundo, seguem as porcentagens de clientes nos diferentes fundos. Mercado 20% Título curto prazo 15% Título intermediário 10% Título longo prazo 5% Ações de alto risco 18% Ação de risco moderado 25% Misto 7% Um cliente que possui cotas em apenas um fundo é selecionado aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de o indivíduo selecionado possuir cotas do fundo misto? Resposta: 0,07 b) Qual é a probabilidade de o indivíduo selecionado possuir cotas em um fundo de títulos? Resposta: .15 + .10 + .05 = .30


c) Qual é a probabilidade de o indivíduo selecionado não possuir cotas em um fundo de ações? Let event A = selected customer owns stocks. Then the probability that a selected customer does not own a stock can be represented by P(A) = 1 - P(A) = 1 – (.18 + .25) = 1 - .43 = .57. This could also have been done easily by adding the probabilities of the funds that are not stocks.

[2.2-14] Questão 2.4 – Uma empresa de eletricidade oferece uma taxa vitalícia de energia a qualquer lar cuja utilização de energia esteja abaixo de 240 kWh durante um determinado mês. Represente por A o evento de um lar selecionado aleatoriamente em uma comunidade que não excede a utilização da taxa vitalícia em janeiro e por B o evento análogo para o mês de julho (A e B se referem ao mesmo lar). Suponha que P(A) = 0,8, P(B) = 0,7 e P(AB) = 0,9. Calcule: a) P(AB) P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B), so P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = .8 +.7 - .9 = .6

b) A probabilidade de a quantia da taxa vitalícia ser excedida em exatamente um dos dois meses. Descreva esse evento em termos de A e B. P(shaded region) = P(A  B) - P(A  B) = .9 - .6 = .3 Shaded region = event of interest = (A  B)  (A  B)

[2.2-26] Questão 2.5 – Um determinado sistema pode ter três tipos diferentes de defeitos. Represente por Ai (i = 1, 2, 3) o evento em que o sistema apresenta um defeito do tipo i. Suponha que P(A1) = 0,12

P(A2) = 0,07

P(A1A2) = 0,13

P(A3) = 0,05

P(A1A3) = 0,14

P(A2A3) = 0,10

P(A1A2A3) = 0,01

a) Qual é a probabilidade de o sistema não ter um defeito do tipo 1? Resposta: P(A1) = 1 – P(A1) = 1 - .12 = .88 b) Qual é a probabilidade de o sistema ter defeitos dos tipos 1 e 2? Resposta: P(A1  A2 ) = P(A1) + P(A2) - P(A1  A2 ) = .12 + .07 - .13 = .06 c) Qual é a probabilidade de o sistema ter defeitos dos tipos 1 e 2, mas não do tipo 3?


Resposta: P(A1  A2  A3) = P(A1  A2 ) - P(A1  A2  A3 ) = .06 - .01 = .05 d) Qual é a probabilidade de o sistema ter no máximo dois desses defeitos? Resposta: P(at most two errors) = 1 – P(all three types) = 1 – P(A1  A2  A3 ) = 1 - .01 = .99

[2.3-38] Questão 2.6 – Uma caixa em um depósito contém quatro lâmpadas de 40W, cinco de 60W e seis de 75W. Suponha que três lâmpadas sejam selecionadas aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de que exatamente duas das lâmpadas selecionadas sejam de 75W?

Resposta: P(selecting 2 - 75 watt bulbs) =

 6  9      2  1  = 15 ⋅ 9 = .2967 455 15    3

b) Qual é a probabilidade de que as três lâmpadas selecionadas tenham a mesma potência?

Resposta: P(all three are the same) =

 4   5  6    +   +    3   3   3  = 4 + 10 + 20 = .0747 455 15    3

c) Qual a probabilidade de que uma lâmpada de cada tipo seja selecionada?

 4  5  6  120     = = .2637  1  1  1  455 Resposta:

d) Suponha que as lâmpadas sejam selecionadas uma a uma até que seja encontrada uma de 75W. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar pelo menos seis lâmpadas? Resposta: To examine exactly one, a 75 watt bulb must be chosen first. (6 ways to accomplish this). To examine exactly two, we must choose another wattage first, then a 75 watt. ( 9  6 ways). Following the pattern, for exactly three, 9  8  6 ways; for four, 9  8  7  6; for five, 9  8  7  6  6. P(examine at least 6 bulbs) = 1 – P(examine 5 or less) = 1 – P( examine exactly 1 or 2 or 3 or 4 or 5) = 1 – [P(one) + P(two) + … + P(five)]

9×6 9×8× 6 9×8× 7 × 6 9×8× 7 × 6× 6  6 =1−  + + + + 15 15 × 14 15 × 14 × 13 15 × 14 × 13 × 12 15 × 14 × 13 × 12 × 11


= 1 – [.4 + .2571 + .1582 + .0923 + .0503] = 1 - .9579 = .0421


[2.4-48] Questão 2.7 – Reconsidere a situação de defeitos descrita na questão 5. a) Dado que o sistema tem um defeito do tipo 1, qual é a probabilidade de ele ter um defeito do tipo 2?

P ( A1 ∩ A2 ) .06 = = .50 P ( A1 ) .12 P(A2A1) =

b) Dado que o sistema tem um defeito do tipo 1, qual é a probabilidade de ele ter os três tipos de defeitos?

.01 = .0833 .12 P(A1  A2  A3A1) =

c) Dado que o sistema tem ao menos um tipo de defeito, qual é a probabilidade de ele ter exatamente um tipo de defeito? We want P[(exactly one)  (at least one)]. P(at least one) = P(A1  A2  A3) = .12 + .07 + .05 - .06 - .03 - .02 + .01 = .14 Also notice that the intersection of the two events is just the 1 st event, since “exactly one” is totally contained in “at least one.”

.04 + .01 = .3571 .14 So P[(exactly one)  (at least one)]=

d) Dado que o sistema tem os dois primeiros tipos de defeitos, qual é a probabilidade de ele não ter o terceiro tipo de defeito? The

pieces

of

P( A3′ | A1 ∩ A2 ) =

this

equation

can

be

found

in

your

answers

to

exercise

26

(section

2.2):

P( A1 ∩ A2 ∩ A3′ ) .05 = = .833 P ( A1 ∩ A2 ) .06

[2.4-51] Questão 2.8 – Uma caixa contém seis bolas vermelhas e três verdes e uma segunda caixa contém sete bolas vermelhas e três verdes. Uma bola é retirada da primeira caixa e colocada na segunda. Então uma bola é retirada da segunda caixa e colocada na primeira. a) Qual é a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na primeira caixa e outra bola vermelha na segunda? P(R from 1st  R from 2nd ) = P(R from 2nd | R from 1st )  P(R from 1st )

8 6 • = .436 11 10 =

b) No fim do processo de seleção, qual é a probabilidade de o número de bolas vermelhas e verdes da primeira e da segunda caixas ser idêntico ao do início? P(same numbers)

= P(both selected balls are the same color)


.436 +

4 4 • = .581 11 10

= P(both red) + P(both green) =

[2.4-60] Questão 2.9 – Setenta por cento das aeronaves leves que desaparecem em voo em certo país são localizadas posteriormente. Das aeronaves localizadas, 60% possuem localizador de emergência, enquanto 90% das aeronaves não localizadas não possuem esse dispositivo. Suponha que uma aeronave leve tenha desaparecido. a) Se ela tiver localizador de emergência, qual é a probabilidade de não ser localizada?

P (not.disc ∩ has.loc ) .03 = = .067 P (has.loc ) .03 + .42 P(not disc | has loc) =

b) Se ela não tiver localizador de emergência, qual é a probabilidade de ser localizada?

P (disc ∩ no.loc ) .28 = = .509 P (no.loc ) .55 P(disc | no loc) =

[2.5-69] Questão 2.10 – Uma empresa de exploração de petróleo possui dois projetos ativos, um na Ásia e outro na Europa. Sejam por A o evento em que o projeto da Ásia tem sucesso e B o evento em que o projeto da Europa tem sucesso. Suponha que A e B sejam eventos independentes com P(A) = 0,4 e P(B) = 0,7. a) Se o projeto da Ásia não obtiver sucesso, qual é a probabilidade de o projeto da Europa também não obtê-lo? Explique seu raciocínio. Since the events are independent, then A and B are independent, too. (see paragraph below equation 2.7. P(B|A) = . P(B) = 1 - .7 = .3

b) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos dois projetos ter sucesso? P(A  B)=P(A) + P(B) – P(A)P(B) = .4 + .7 + (.4)(.7) = .82


c) Dado que pelo menos um dos dois projetos obteve sucesso, qual é a probabilidade de apenas o projeto da Ásia ter sucesso?

P ( AB ′ ∩ ( A ∪ B )) P ( AB ′) .12 = = = .146 P( A ∪ B) P ( A ∪ B ) .82 P(AB| A B) =

[2.5-76] Questão 2.11 – Uma caldeira tem cinco válvulas de alívio idênticas. A probabilidade de uma válvula específica ser aberta sob demanda é de 0,95. Assumindo operação independente da válvulas, calcule P(pelo menos uma válvula é aberta) e P(pelo menos uma válvula tem falha ao abrir). P(at least one opens) = 1 – P(none open) = 1 – (.05)5 = .99999969 P(at least one fails to open) = 1 = P(all open) = 1 – (.95) 5 = .2262

Questão 2.12 – Considere um experimento onde se lança uma moeda não viciada 3 vezes. Seja M a variável aleatória que conta o número de caras obtidas nos três lançamentos. Pede-se: a) A variável aleatória M é discreta ou contínua? Justifique sua resposta. Discreta. Pois ela assume valores num conjunto finito, neste caso, o conjunto {0, 1, 2, 3}. b) Encontre a função de probabilidade da v.a. M. M ~ b(3; 0,5) c) Calcule a esperança matemática da v.a. M, ou seja, E[M]. E[M] = np = 3.0,5 = 1,5 d) Calcule a variância da v.a. M, ou seja, V[X]. V[M] = np(1 – p) = 3.0,5.(1 – 0,5) = 3.0,5.0,5 = 0,75 e) Usando a função de probabilidade que você encontrou no item (b), calcule a probabilidade de obter-se, exatamente 2 caras nos 3 lançamentos. P[exatamente 2 caras] = P[M = 2] = 0,375 [????] Questão 2.13 – Considere um experimento onde se extrai duas (2) bolas, sem reposição, de uma urna que contém 10 bolas pretas e 15 brancas. Seja U a variável aleatória que conta o número de bolas pretas obtidas após as extrações. Pede-se: a) A variável aleatória U é discreta ou contínua? Justifique sua resposta. Discreta. Pois ela assume valores num conjunto finito, neste caso, o conjunto {0, 1, 2}. b) Encontre a função de probabilidade da v.a. U. U ~ Hipergeométrica(N, n, k)  U ~ Hipergeométrica(25, 2, 10)


c) Calcule a esperança matemática da v.a. U, ou seja, E[U].

E [U ] = n

K 10 4 = 2 = = 0,8 N 25 5

d) Calcule a variância da v.a. U, ou seja, V[U].

V [U ] = n

K  K  N − n  10  10  25 − 2   1 − ÷ ÷ = 2 1 − ÷ ÷ = 0, 46 N  N  N − 1  25  25  25 − 1 

e) Usando a função de probabilidade que você encontrou no item (b), calcule a probabilidade de obter-se, exatamente 1 bola preta nas duas extrações. P[exatamente 1 bola preta] = P[U = 1] = 0,5 Questão 2.14 – Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras? Seja T uma variável aleatória que conta o número de caras obtidas em 20 lançamentos de uma moeda não viciada. Assim, T ~ b(20; 0,5). Portanto, P[saírem exatamente 8 caras] = P[T=8] = 0,1201344 Questão 2.15 – Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? Seja Q uma variável aleatória que conta o número de coelhos machos que nasceram numa ninhada de 20 coelhos. Consideremos também que a probabilidade de um coelho nascer macho é de 40% (informado pelo problema). Assim, Q ~ b(20; 0,4). Portanto, P[pelo menos 2 coelhos machos] = P[Q  2] = 1 – P[Q < 2] = 1 – P[Q  1] = 1 – {P[Q = 0] + P[Q = 1]} = 0,999476 Questão 2.16 – Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 5? [Nota: cada questão da prova vale 0,2]. Seja V uma variável aleatória que conta o número de acertos em uma prova composta por 50 questões. Consideremos também que a probabilidade de uma questão ser respondida corretamente “no chute” é de 20% (pois 1 dentre 5 alternativas é a correta). Assim, V ~ b(50; 0,20). Portanto, P[tirar 5] = P[acertar 25 questões] = P[V = 25] = 1,602445.10 6 = 0,000001602445 Questão 2.17 – Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 brancas. Retiram-se 25 bolas com reposição. Qual a probabilidade de que: a) 2 sejam pretas?


Seja J uma variável aleatória que conta o número de bolas pretas obtidas de uma amostra de 25 obtidas com reposição. A probabilidade de uma bola em particular ser preta é igual a 20/50 = 2/5 = 0,40. Assim, J ~ b(25; 0,4). Portanto: P[J = 2] = 0,0003790705 b) pelo menos 3 sejam pretas? P[J  3] = 1 – P[J < 3] = 1 – P[J  2] = 1 – {P[J = 0] + P[J = 1] + P[J = 2]} = 0,9995707 Questão 2.18 – A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 0,20. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que: a) exatamente 4 acertam o alvo? Seja N uma variável aleatória que conta o número de flechas, dentre 30 lançadas por um arqueiro, que acertam o alvo. A probabilidade de o arqueiro acertar uma flecha em particular é igual a 0,20 e, considera-se que esta probabilidade se mantém constante entre os tiros feitos. Assim, N ~ b(30; 0,2). Portanto: P[exatamente 4 flechas acertarem ao alvo] = P[N = 4] = 0,1325224 b) pelo menos 3 acertem o alvo? P[pelo menos 3 flechas acertarem ao alvo] = P[N  3] = 1 – P[N< 3] = 1 – P[N  2] = 0,955821 Questão 2.19 – Um lote de aparelhos de TV é recebido por uma firma. Vinte aparelhos são inspecionados. O lote é rejeitado se pelo menos 4 forem defeituosos. Sabendo-se que 1% dos aparelhos é defeituoso, determinar a probabilidade de a firma rejeitar todo o lote. Seja D uma variável aleatória que conta o número de aparelhos de TV, dentre vinte aparelhos que são inspecionados, que apresentam defeito. A probabilidade de um aparelho em particular tenha defeito é de 1%. Um lote é rejeitado se pelo menos 4 das TV amostradas forem defeituosas. Assim, D ~ b(20; 0,01). Portanto: P[firma rejeitar um lote] = P[D  4] = 1 – P[D < 4] = 1 – P[D  3] = 4,262093.10 5 Questão 2.20 – Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não-sobreviventes:

a) qual a distribuição de X? A distribuição da v.a. X é uma Binomial, com parâmetros n = 20 e p = 0,20 = 20%. b) calcular E(X) e VAR(X). A esperança de X é igual a E[X] = np = 20.0,20 = 4. A variância de X é igual a V[X] = np(1 – p) = 20.0,20.0,80 = 3,2. c) calcular P(2 < X  4).

P(2 < X  4) = P(X=3) + P(X = 4) = 0,2053641 + 0,2181994 = 0,4235635 Outra forma: P(2 < X  4) = P(X  4) – P(X  2) = 0.6296483 – 0,2060847 = 0,4235635 d) calcular P(X  2).


P(X  2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X  1) = 1 – {P(X = 0) + P(X = 1)} = 0,9308247 Questão 2.21 – Vinte por cento dos refrigeradores produzidos por uma empresa são defeituosos. Os aparelhos são vendidos em lotes com 50 unidades. Um comprador adotou o seguinte procedimento: de cada lote ele testa 20 aparelhos, e se houver pelo menos 2 defeituosos o lote é rejeitado. Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote, qual a probabilidade de ter observado exatamente um aparelho defeituoso? Seja W uma variável aleatória que conta o número de refrigeradores, de uma amostra de 20 unidades de um lote com 50 unidades, que apresentam defeito. A probabilidade de um refrigerador em particular apresente defeito é de 20%. Assim, W ~ b(20; 0,20). O comprador adotou como procedimento rejeitar o lote se pelo menos 2 (dois) forem defeituosos. Então, P[rejeitado] = P[W  2] e, consequentemente, P[aceito] = 1 – P[rejeitado] = 1 – P[W  2] = P[W < 2] = 0,06917529 Por fim, P[exatamente 1 (um) defeituoso dado que o lote foi aceito] = P[W = 1/aceito] = P[W = 1]/P[aceito] = 0,833333.

Questão 2.22 – Um determinado artigo é vendido em caixa a preço de R$ 20,00 cada. É característica de produção que 20% destes artigos sejam defeituosos. Um comprador fez a seguinte proposta: de cada caixa escolhe 25 antigos, ao acaso, e paga por caixa: R$ 25,00, se nenhum artigo, dos selecionados, for defeituoso; R$ 17,00, se um ou dois artigos forem defeituosos; R$ 10,00, se três ou mais forem defeituosos. O que é melhor para o fabricante: manter o seu preço de R$ 20,00 por caixa ou aceitar a proposta do consumidor? Seja B uma variável aleatória que conta o número de artigos defeituosos, encontrados numa amostra de 25 artigos, escolhidos ao acaso de uma caixa. É sabido que, por uma característica de produção, 20% desses artigos são defeituosos. Assim, B ~ b(25; 0,20). Considere uma nova variável aleatória L que atribui um valor a ser pago pela caixa de acordo com a quantidade de artigos defeituosos encontrados na amostra de 25 obtida. Assim, esta variável aleatória assume os valores {25, 17, 10}. A função de probabilidade de L é dada por: L

25

17

10

P[L = l]

P[L = 25]

P[L = 17]

P[L = 10]

Onde: P[L = 25] = P[nenhum dos artigos, dos selecionados, for defeituoso] = P[B = 0] = 0,003777893


P[L = 17] = P[se um ou dois artigos forem defeituosos] = P[B = 1 ou B = 2] = P[B = 1  B = 2] = P[B = 1] + P[B = 2] = 0,09444733 P[L = 10] = P[se três ou mais forem defeituosos] = P[B  3] = P[B = 3  B = 4  ...  B = 25] = 0,9017748 Assim, L

25

17

10

P[L = l]

0,003777893

0,09444733

0,9017748

O valor médio pago seguindo o critério estabelecido é dado pela E[L], que é igual a E[L] = 25. 0,003777893 + 17. 0,09444733 + 10. 0,9017748 = 10,7178 (R$ 10,72 seria o preço médio de venda de cada caixa). Portanto, para o fabricante é mais vantajoso manter os R$ 20,00 por caixa, uma vez que, com a proposta do consumidor ele receberá, em média, quase R$ 10,00 a menos por caixa. Questão 2.23 – Seja X ~ b(10; 2/5). a) b) P(X = 3); Resposta: 0,2149908

Resposta: 0,6177194 e) P(X – 2<1)

c) P(X 2) Resposta: 0,1672898 d) P(X  4)

Resposta: f)

P( |X – 2|  1)

h) P( |X – 3| > 1) i)

E[X] e V[X]

j)

E[Z] e V[Z], onde Z = (X  X)/X

g) P(3< X  5)

[????] Questão 2.24 – Uma variável aleatória contínua X que possui como função densidade de probabilidade a função:

 1  f X ( x) = b − a   0

a≤ x≤b c/c

É dita seguir uma distribuição uniforme no intervalo [a, b]. A notação é a seguinte: X ~ U(a,b) “lê-se: X segue uma distribuição uniforme a, b”. [?????] Questão 2.25 – Considere um experimento onde se extrai duas (2) bolas, sem reposição, de uma urna que contém 10 bolas pretas e 15 brancas. Seja U a variável aleatória que conta o número de bolas pretas obtidas após as extrações. Pede-se:


a) A variável aleatória U é discreta ou contínua? Justifique sua resposta. b) Encontre a função de probabilidade da v.a. U. c) Calcule a esperança matemática da v.a. U, ou seja, E[U]. d) Calcule a variância da v.a. U, ou seja, V[U]. e) Usando a função de probabilidade que você encontrou no item (b), calcule a probabilidade de obter-se, exatamente 1 bola preta nas duas extrações. [????] Questão 2.26 – Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade, observando-se

que ela se distribuía normalmente com média de 1,72 m e desvio padrão de 5 cm. Qual a porcentagem dos alunos com altura: a) entre 1,57 m e 1,87 m? b) acima de 1,90 m? [????] Questão 2.27 – Uma variável aleatória é normalmente distribuída com média 60 e variância 64.

Determinar: a) P(X 74) b) P(|X  60|  8) c) P(|X  60|  5). [?????] Questão 2.28 – Um estudo das modificações percentuais dos preços, no atacado, de produtos

industrializados mostrou que há distribuição normal com média de 50% e desvio padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que: a) sofreram aumentos superiores a 75%? b) sofreram aumentos entre 30% e 80%? [?????] Questão 2.29 – O volume de correspondência recebido por uma firma quinzenalmente tem

distribuição normal com média de 4.000 cartas e desvio padrão de 200 cartas. Qual a porcentagem de quinzenas em que a firma recebe: a) entre 3.600 e 4.250 cartas? b) menos de 3.400 cartas? c) mais de 4.636 cartas? [????] Questão 2.30 – Numa fábrica foram instaladas 1.000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração

média das lâmpadas é de 800 horas e desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão:


a) menos de 500 horas; b) mais de 700 horas; c) entre 516 e 684 horas. [????] Questão 2.31 – Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por longa experiência. que a duração

de suas máquinas tem distribuição normal com média de 1.000 dias e desvio padrão de 200 dias. Oferece uma garantia de I ano (365 dias). Produz mensalmente 2.000 máquinas. Quantas espera-se trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente?

Questão 2.32 – Para uma população normal com variância conhecida 2, responda as seguintes questões: x − 2,14 σ

n

≤ µ ≤ x + 2,14 σ

n

(a) Qual é o nível de confiança para o intervalo

?

x − 2, 49 σ

n

≤ µ ≤ x + 2, 49 σ

n

(b) Qual é o nível de confiança para o intervalo

?

x − 1,85 σ

n

(c) Qual é o nível de confiança para o intervalo

≤ µ ≤ x + 1,85 σ

n ?

Questão 2.33 – Deseja-se obter uma estimativa do intervalo de confiança para o ganho em um circuito de um dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente distribuído com desvio padrão de  = 20.

x = 1000 (a) Encontre um IC de 95% para , quando n=10 e

.

x = 1000 (b) Encontre um IC de 95% para , quando n=25 e

.

x = 1000 (c) Encontre um IC de 99% para , quando n=10 e

.

x = 1000 (d) Encontre um IC de 99% para , quando n=25 e

.

(e) Como o comprimento dos IC’s calculados anteriormente variam com as mudanças no tamanho da amostra e no nível de confiança?

Questão 2.34 – Um engenheiro civil está analisando a resistência à compressão do concreto. A resistência à compressão é distribuída normalmente com  2 = 1000 (psi)2. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova tem

x = 3250 uma resistência média à compressão de

psi.

(a) Construa um intervalo bilateral de confiança de 95% para a resistência média à compressão.


(b) Construa um intervalo bilateral de confiança de 99% para a resistência média à compressão. Compare a largura desse intervalo de confiança (IC) com aquele calculado no item (a).

Questão 2.35 – Um artigo científico investigou médias do teor de proteína do grão cru de trigo (CP) e o número de queda de Hagberg (HFN) pesquisados no Reino Unido. A análise usou uma variedade de aplicação de fertilizante de nitrogênio (Kg N/ha), temperatura (ºC) e a quantidade mensal total de chuva (mm). Os dados mostrados a seguir descrevem temperaturas para o trigo crescido na Faculdade de Agricultura Harpem Adams, entre 1982 e 1993. As temperaturas medidas em junho foram obtidas como se segue: 15,2

14,2

14,0

12,2

14,2

12,5

14,3

14,2

13,5

11,8

15,2

Considere que o desvio padrão seja conhecido,  = 0,5. (a) Construa um intervalo bilateral de confiança de 99% para a temperatura média. (b) Construa um intervalo bilateral de confiança de 95% para a temperatura média. (c) Suponha que quiséssemos estar 95% confiantes de que o erro na estimação da temperatura média fosse menor do que 2 graus Celsius. Que tamanho de amostra deveria ser usado? (d) Suponha que quiséssemos estar 95% confiantes de que a largura total do intervalo de confiança para a temperatura média fosse 1,5 grau Celsius. Que tamanho de amostra deveria ser usado?

Questão 2.36 – Suponha que no exercício 2.34 desejássemos estimar a resistência à compressão, com um erro que fosse menor do que 15 psi, com 99% de confiança. Qual é o tamanho necessário da amostra? Questão 2.37 – Um engenheiro do setor de pesquisa de uma fabricante de pneu está investigando a vida do pneu em relação a um novo componente da borracha. Ele fabricou 16 pneus e testou-os até o final da vida em um teste na estrada. A média e o desvio padrão da amostra são 60139,7 e 3645,94 Km. Encontre um intervalo de confiança de 95% para a vida média do pneu. Questão 2.38 – Uma máquina de pós-mistura de bebidas é ajustada para liberar certa quantidade de xarope em uma câmara onde ela é misturada com água carbonada. Uma amostra de 25 bebidas apresentou um conteúdo

x = 1,10 médio de xarope de onça fluida e um desvio padrão de 0,015 onça fluida. Encontre um intervalo de confiança de 95% para o volume médio de xarope liberado. Questão 2.39 – Um artigo descreve o efeito da delaminação na frequência natural de vigas em laminados compósitos. Cinco dessas vigas delaminadas foram submetidas a cargas e as frequências (em Hz) resultantes foram: 230,66

233,05

232,58

229,48

232,58

Verifique a suposição de normalidade (gaussianidade) da população (sugestão: utilize o gráfico normal de probabilidades). Calcule um intervalo bilateral de confiança de 90% para a frequência natural média. Questão 2.40 – O Escritório de Meteorologia do Governo Australiano forneceu a quantidade (em milímetros) anual média de chuva na Austrália entre 1983 e 2002, conforme apresentado a seguir: 499,2 555,2 398,8 391,9 453,4 459,8 483,7 417,6 469,2 452,4 499,3 340,6 522,8 469,9 527,2 565,5 584,4 727,3 558,6 338,6


Verifique a suposição de normalidade da população (sugestão: usar o gráfico normal de probabilidades). Construa um intervalo de confiança de 95% para a quantidade anual média de chuva. Questão 2.41 – Um artigo de uma revista médica consistiu no uso de eletromioestimulação (EMS) como um método para treinar músculos saudáveis do esqueleto. Sessões de EMS consistiram em 30 constrações (duração de quatro segundos, 85 Hz) e foram executadas três vezes por semana durante três semanas em 17 jogadores de hóquei no gelo. O teste de desempenho de esquiar em 10 metros mostrou um desvio padrão de 0,09 segundo. Construa um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão do teste de desempenho de esquiar. Questão 2.42 – Um artigo de uma revista médica testou a capacidade de uma droga na gênese de um tumor. Ratos foram selecionados aleatoriamente de ninhadas e receitados com uma droga. Os tempos de aparecimento do tumor foram registrados conforme a seguir: 101

104 93 104 73

104 85 86

77 104 76

89 104 103

88 81 102

104 67 80

96 104 45

82 104 94

70 104 104

89 87 104

91 104 76

39 89 80

103 78 72

Calcule o intervalo de confiança de 95 para o desvio padrão do tempo até o aparecimento do tumor. Verifique a suposição de normalidade da população e comente sobre as suposições para o intervalo de confiança. Questão 2.43 – Um artigo científico determinou o nível essencial da composição do aminoácido (Lisina) de refeições à base de soja, conforme mostrado a seguir (g/Kg): 22,2

24,7

20,9

26,0

27,0

24,8

26,5

23,8

25,6

23,9

Construa um intervalo bilateral de confiança de 99% para  2. Questão 2.44 – Está-se estudando a fração de circuitos integrados defeituosos produzidos em um processo de fotolitografia. Uma amostra aleatória de 300 circuitos é testada, revelando 13 defeituosos. Calcule um IC bilateral de 95% de confiança para a fração de circuitos defeituosos produzidos por essa ferramenta particular. Questão 2.45 – De 1000 casos selecionados aleatoriamente de câncer de pulmão, 823 resultaram em morte em menos de 10 anos. Calcule um intervalo bilateral de confiança de 95% para a taxa de morte de câncer de pulmão. Questão 2.46 – Um amostra aleatória de 50 capacetes de corredores de motos e de automóveis foi submetida a um teste de impacto, sendo observado algum dano em 18 desses capacetes. Encontre um intervalo bilateral de confiança de 95% para a proporção verdadeira de capacetes desse tipo que mostraria algum dano proveniente desse teste. Questão 2.47 – Considere a situação apresentada no exercício 2.46. (a) Usando a estimativa pontual de p, obtida a partir da amostra preliminar de 50 capacetes, quantos capacetes têm de ser testados para estarmos 95% confiantes de que o erro na estimação de p seja menor do que 0,02? (b) Quão grande terá de ser a amostra, de desejarmos estar no mínimo 95% confiantes de que o erro na estimação de p seja menor do que 0,02, independentemente do valor verdadeiro de p? Questão 2.48 – Deve ser conduzido um estudo da porcentagem de pessoas que possuem no mínimo dois aparelhos de TV. Quão grande deverá ser a amostra, se desejarmos estar 99% confiantes de que o erro na estimação dessa quantidade seja menor do que 0,0177?


Gabarito lista de exercicios 2 2014 1  

Exercícios da Lista 2 de exercícios

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