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La geometría ilumina el intelecto y templa lamente. Todas sus pruebas son claras y ordenadas. Apenas caben errores en el razonamiento geométrico, pues está bien dispuesto y ordenado. Así, no es probable que la mente que se aplica a la geometría con regularidad cometa errores. De este modo, quien sabe geometría adquiere inteligencia.

PROYECT O AULA

GEOMETRÍA

21-4-2014 | DVSjournals


Geometría

Las matemáticas comenzaron a ser una ciencia cuando alguien, probablemente un griego, enunció proposiciones acerca de cualquier cosa o de alguna cosa sin especificar ninguna particularidad. Los griegos fueron los primeros en aplicar proposiciones a la geometría; por ello, la geometría fue la gran ciencia matemática en Grecia. Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclidiana.

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.


Geometría

Primeros problemas geométricos Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales Geometría analítica La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1.

Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.


Geometría

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, entonces es necesario un método riguroso (que no permita deslices). Para conseguirlo, se diferencian tres tipos de enunciados: los axiomas, las definiciones y los teoremas. Axiomas: Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe ser definido en función de los primeros. Nótese que éstos sólo afirman cosas obvias. Para facilitar su estudio se distinguen grupos de axiomas: Existencia e Incidencia: Son aquellos que nos aseguran las condiciones de existencia de los puntos, rectas y planos. Ordenación en la recta: Estos axiomas nos ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta. Si seleccionamos dos puntos distintos en una recta, habrá un punto entre medio. Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta; el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están de un lado y los que están del otro). Continuidad: También es válido lo inverso de lo que se acaba de decir. O sea que si existen dos clases en una recta (los que están de un lado y los que están del otro), existe un punto que las divide. Movimiento y congruencia (o igualdad): En este se trabaja la idea de movimiento (como dar vuelta una caja, girarla, etc.) Pero solo se estudiaran como movimientos, aquellos que no alteren la ""forma"" del objeto (por lo que abrir una caja no se considera un movimiento). Solo existe un movimiento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra. Definiciones

Semirrecta

Semiplano

Una semirrecta, es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un lado de un punto de esta. Para determinarla se especificará la recta en cuestión, el punto que la divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que el punto que divide a la recta pertenece a la semirrecta en cuestión) Un semiplano, análogo a la semirrecta, es el conjunto de puntos del plano que están a un lado de una recta. Para determinarlo se especifica el plano en cuestión, la recta que lo divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que la recta que divide al plano pertenece al semiplano en cuestión)


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La definición de un movimiento es más complicada que las anteriores, pero se hace más clara cuando se avanza en el estudio de los mismos. Aquí diremos simplemente que se trata de transformaciones que transforman figuras (puntos, rectas, planos, semiplanos, etc.) en otros de la misma clase, a estos últimos se los Movimiento llama ""homólogos de los primeros en la transformación"". Hay que tener en cuenta que los mismos, transforman un punto que pertenece a una recta, en otro punto que pertenece a la recta homóloga. Esto se puede ver, cuando se piensa que si movemos una caja, que tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja al terminar de moverlo.

Teoremas: Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad de teoremas. • Podemos afirmar por ejemplo que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos, y para demostrarlo, alcanza con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces (primero entre los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos dados y el punto indicado en el axioma, etc.) • También podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano (que contiene a la recta y al punto simultáneamente). La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos de ésta, los tres puntos (el que teníamos y los de la recta) determinan un plano, que contiene al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos puntos en el plano). • Como un ejemplo más complejo, podemos afirmar que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que no pertenecen a la recta. Esto parece obvio, pero demostrarlo es complicado, primero, vemos que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma que nos dice que la recta es un conjunto parcial de puntos), para demostrar que los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos puntos (recurriendo al primer teorema que enunciamos) y estos deben estar fuera de la recta (ya que si tuvieran otro punto común las dos rectas coincidirían y eso es una contradicción, ya que aclaramos que el punto fuera de la recta estaba fuera de la recta).

Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto, recta y plano. Estos son términos no definidos que proveen el inicio de la geometría.


Geometría Punto es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero. Se representan por letras mayúsculas. Ejemplo: Tres puntos

Recta tiene solo grosor. Es un extienden en Una recta se

longitud, no tiene ancho ni altura ni conjunto infinito de puntos que se una dimensión en ambas direcciones. puede representar por:

Semirrecta la definimos como la porción de una recta que tiene principio pero no tiene fin. Segmento de recta es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos dónde empieza y donde termina por ende lo podemos medir. Plano tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.

Aplicaciones de la geometría: -Da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo el sistema de posicionamiento global.


Geometría -Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. Aplicaciones en la Astronomía Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías

Aplicación en la topografía Los mapas topográficos utilizan el sistema de representación de planos acotados, mostrando la elevación del terreno utilizando líneas que conectan los puntos con la misma cota respecto de un plano de referencia.

-La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional

CREDITOS:


Geometría

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RODRÍGUEZ TREJO MONTSERRAT LÓPEZ LÓPEZ AURA NATALIA HUIDOBRO NAVARRETE MA. FERNANDA FLORES OLEA MARIANA JIMENEZ ABEDOY LUIS PABLO

GRUPO: 2IM04

PROFESORA: VILLEGAS GALLARDO ANGELICA GABRIELA


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