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MATRICES í Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de números llamados entradas que se denotan con doble subíndice: (

) (

)

Las matrices se denotan por letras mayúsculas. Notación: ( ) [ ] El orden o tamaño de una matriz es una descripción de los números de renglones y columnas que tiene. Una matriz de tiene m renglones y n columnas. Tamaño:

Existen distintos tipos de matrices para los que los siguientes casos se les ha determinado matrices especiales


Matrices especiales Matriz cuadrada Es una matriz que tiene el mismo número de renglones que de columnas. [

]

Matriz diagonal Es una matriz cuadrada que en todas las entradas que no pertenezcan a la diagonal son todas cero. [

]

Matriz escalar Es una matriz cuadrada en la que tienen el mismo número todas las entradas de la diagonal y cero en las demás entradas. [

]

Para el caso especial en el que el número que se repite en la diagonal es el 1, la matriz recibe el nombre de identidad. Se denota por: [

]


Matriz cero Una matriz cuya totalidad de sus entradas son cero se denomina matriz cero y se denota como 0. Cumple con la propiedad: [

]

Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y si sus entradas correspondientes son iguales. [

]

[

]

Operaciones con matrices  Suma Si A y B son matrices del mismo tamaño [ ] [ ] Si A y B no son matrices del mismo tamaño no está definida A+B.  Multiplicación de un escalar por una matriz Si A es una matriz m x n y c es un escalar, entonces el múltiplo escalar cA es la matriz de m x n obtenida al multiplicar cada entrada de A por c. [ ]  Diferencia La matriz (–1)A se escribe como –A y se denomina la matriz negativa de A. Se usa esta para definir la diferencia de dos matrices A y B:


[

( ] [

) ]

Si A y B son del mismo tamaño.  Producto Cada entrada se obtiene al hacer el producto escalar entre el renglón i de A con la columna j de B.  Potencias Por conveniencia se define:

(

)

Propiedades de la adición y la multiplicación por un escalar Sean A, B y C matrices del mismo tamaño y sean c y d escalares: 1. Comutatividad ) ( ) 2. ( Asociatividad 3. ( ) 4. ) 5. ( Distributividad ) 6. ( Distributividad 7. ( ) ( ) 8.


Propiedades de la multiplicación de una matriz 1. ( ) ( ) 2. Distributividad por la izquierda ( ) 3. Distributividad por la derecha ( ) ( ) ( ) 4. Transpuesta de una matriz La transpuesta de una matriz de es la matriz que se obtiene al intercambiar los renglones de columnas. [

de por sus

]

[

]

Una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su propia transpuesta, es decir Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si Sean A, B y C matrices (cuyos tamaños son de tal manera que las operaciones indicadas puedan ser realizadas) y sea k un escalar. Propiedades de la Transpuesta 1. ( ) ) 2. ( 3. ( ) 4. ( ) ( )


Teorema Si A es una matriz cuadrada entonces las siguientes matrices también son simétricas:

Traza de una matriz La traza de una matriz A de n x n es la suma de las entradas sobre su diagonal principal y se denota por ( ). Combinación lineal de Matrices Si son matrices del mismo tamaño y son escalares, se puede formar la combinación lineal . Los escalares se denominan los coeficientes de la combinación lineal. Para determinar si una matriz M es una combinación lineal de las matrices , se debe encontrar escalares tales que

Dependencia e independencia lineal Se dice que las matrices del mismo tamaño son linealmente independientes si la única solución de la ecuación es la trivial es decir, Si existen coeficientes diferentes de cero que satisfacen la ecuación, entonces se dice que las matrices son linealmente dependientes.


Espacio generado Se define el espacio generado por un conjunto de matrices como el conjunto de todas las combinaciones lineales de las matrices. Cualquier matriz B perteneciente al espacio generado se puede escribir como combinación lineal de las matrices . Es decir,

Determinantes El determinante de una matriz A es el escalar denotado por |A| o det A. Está definido solamente para matrices cuadradas. Matrices de 1x1 Si A = [a], su determinante está dado por |A| = a Matrices de 2x2 Si A= [

] entonces su determinante será: |A|= a11a22-a12a21

Notar que esta expresión corresponde a la diferencia entre el producto de las entradas de la diagonal principal de la matriz y el producto de las entradas de la otra diagonal. Matrices 3x3 Para calcular el determinante de una matriz de 3 x 3 utilizaremos un método que sólo es válido para matrices de este orden. Este método, análogo al método para calcular el determinante de una matriz de 2 x 2, consiste en copiar las primeras dos columnas de A a la derecha de la matriz y tomar los productos de los elementos en


las 6 diagonales. Los productos de las diagonales descendentes se toman con signos positivos y los productos de las diagonales ascendentes se toman con el signo negativo. A=

11

12

13

21

22

23

31

32

33

|A| =

11 22 33

+

31 22 13

12 23 31

32 23 11

+

13 21 32

33 21 12


Propiedades de los determinantes Sea A una matriz cuadrada. a. Si A tiene un renglón (o columna) cero, entonces det A = 0. b. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (o columnas) de A, entonces det B = – det A. c. Si A tiene dos renglones (o columnas) idénticos, entonces det A = 0. d. Si B se obtiene al multiplicar un renglón (o columna) de A por un escalar k, entonces det B = k det A. e. Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (columna) de C sea la suma de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces det C = det A + det B. f. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna), entonces det B = det A. Teoremas importantes relacionados con los determinantes  Si A y B son matrices de n x n, entonces det(AB) = (det A)(det B).  Para cualquier matriz cuadrada, det A = det AT  Si A es una matriz de n x n, entonces det kA = kn det A  Una matriz es invertible si det A ≠ 0


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