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Newtoncotes NewtonRaphson

Integración numérica

Introducción al análisis numérico

Tips para usar menos plastico

Septiembre 2015

EDICION ESPECIAL


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Sumario o Editorial o Integración numérica o Métodos para integrales unidimensionales o Métodos basados en funciones de interpolación o Formulas de Newton-Cotes o Regla del rectángulo o Regla del punto medio o Regla de Simpson o Reglas compuestas oCuadratura de Gauss o Propiedades o Razones para la integración numérica oProgramas para la integración numérica o Introducción al análisis numérico o Método de Newton-Raphson o Pasatiempos o Horóscopo o 10 tips para usar menos plástico

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Editorial Antes de comenzar con el tema a tratar, se podría decir que la necesidad de aproximar numéricamente el valor de una integral surge por dos motivos fundamentalmente:  La dificultad o imposibilidad en el cálculo de una primitiva,  La función a integrar sólo se conoce por una tabla de valores. Autor: Moisés Gutiérrez @IngenieriaFacilUFT

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Integración numérica La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue: y’(x)= f(x), y(a)=0 Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

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Métodos para integrales unidimensionales Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado. De todos modos, un modo de integración por fuerza bruta puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.

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Métodos basados en funciones de interpolación Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar f(x) por otra función g(x) de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación. Típicamente estas funciones son polinomios. Fórmulas de Newton-Cotes La interpolación con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en [a,b] da las fórmulas de Newton-Cotes, de las que la regla del rectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta k= n+1 será la fórmula de NewtonCotes cerrada y si se escogen k=n-1 será la fórmula de Newton-Cotes abierta.

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Métodos basados en funciones de interpolación Regla del rectángulo El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto (a,f(a)). Este método se llama la regla del rectángulo: Regla del punto medio Si en el método anterior la función pasa a través del punto , este método se llama la regla del punto medio.

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Métodos basados en funciones de interpolación Regla de Simpson La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos (a, f(a)), . Este método se llama regla de Simpson:

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Métodos basados en funciones de interpolación Reglas compuestas Para cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo [a,b] en algún número n de subintervalos, hallando una aproximación para cada sub-intervalo, y finalmente sumando todos los resultados. Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se caracterizan por perder un orden de precisión global frente a las correspondientes simples, si bien globalmente dan valores más precisos de la integral, a costa eso sí de incrementar significativamente el coste operativo del método. Por ejemplo, la regla del trapecio compuesta puede expresarse como: donde los subintervalos tienen la forma [kh, (k+1)h] con y k= 0,1,2,…,n-1.

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Métodos basados en funciones de interpolación Cuadratura de Gauss Si se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolación, se encuentra otro grupo de fórmulas de integración, llamadas fórmulas de cuadratura de Gauss. Una regla de cuadratura de Gauss es típicamente más precisa que una regla de Newton-Cotes que requiera el mismo número de evaluaciones del integrando, si el integrando es suave, es decir, si se puede derivar muchas veces.

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Propiedades 1.

Invarianza por traslaciones: si

entonces Bi=Ai, ∀i = 0,…,n 2. Modificacion por homotecias: si entonces Bi = c Ai, ∀i = 0, . . . , n. 3. Simetria: Si los nodos estan dispuestos simetricamente respecto del centro del intervalo [a, b], es decir: entonces los coeficientes de la formula verifican Ai = An−i, ∀i = 0, . . . , n.

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Razones para integración numérica Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales. 13


Programas para la integración numérica La integración numérica es uno de los problemas estudiados más intensivamente en el análisis numérico. Entre las muchas implementaciones en programas se encuentran:  QUADPACK (parte de SLATEC) (código fuente): QUADPACK es una colección de algoritmos en Fortran para integración numérica basada en reglas gausianas.  GSL: GNU Scientific Library. La biblioteca Científica de GNU (GSL) es una biblioteca numérica escrita en C que provee una amplia gama de rutinas matemáticas, como la integración por Montecarlo.  ALGLIB: Es una colección de algoritmos en C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc., para la integración numérica]].  Se pueden encontrar algoritmos de integración numérica en GAMS class H2. 14


Introducción al Análisis Numérico Jesús Armando Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica Las Matemáticas, la ciencia más antigua, constituyendo un edificio doctrinal cuyo potencial aumenta día a día. Aunque la esencia de las Matemáticas es abstracta, es un hecho que las Matemáticas han sido concebidas en el esfuerzo del ser humano para entender la Naturaleza (y actuar sobre ella) y que son de importancia capital para la sociedad moderna.

Es importante destacar, la relación de las Matemáticas con las Ciencias y las Tecnologías es hoy en día un camino de ida y vuelta. En realidad, la historia de las Matemáticas muestra que esto ha sido siempre así. A esto podemos añadir que una de las disciplinas más relevantes fruto de esta interacción es la del Análisis Numérico a la que dedicaremos este ciclo de conferencias. El Análisis Numérico es sin duda uno de los legados más importantes de las Matemáticas del Siglo XX en el que la irrupción y posterior desarrollo de las computadoras hizo necesario traducir las Matemáticas a un lenguaje comprensible para la máquina a la vez que ésta hacía posible el sueño de realizar cálculos que en volumen y complejidad escapaban al ser humano. Esta

disciplina, surgida en sus inicios como bifurcación del Análisis Matemático es hoy en día una de las más vigorosas y versátiles de las Matemáticas. Algunos Conceptos Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida. Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, excenta de ambigüedades, que seguidas en su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en numérico y resolver este último

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Introducción al Análisis Numérico Jesús Armando Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son: 1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución. 2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores:

Existencia y unicidad. Estabilidad y convergencia 3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico Elección del algoritmo: Costo y estabilidad Codificación del algoritmo Ejecución del programa

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Introducción al Análisis Numérico Jesús Armando Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica Ejemplo de aplicaciones Grau y Loguera (2001) establecen los siguientes ejemplos para las aplicaciones de análisis numéricos:  Astrodinámica: cálculo de trayectoria de satélites.  La mecánica celeste: estudio del movimiento de los astros considerando las perturbaciones creadas por sus vecinos.  Astrofísica: modelado de la evolución de las estrellas.  Ingeniería Civil: estudio de las

características estructurales de grandes construcciones (edificios, puentes, presas, entre otras).  Biología: dinámica de poblaciones, flujo de la sangre en el cuerpo humano.  Mecánica de fluidos: simulación del flujo de aire alrededor de una nave y las correspondientes presiones sobre la estructura. Dispersión de contaminantes en diferentes medios.

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Método de Newton Raphson Álvaro José Cordero Ramírez, Estudiante de Ingeniería en Mantenimiento Mecánico En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

El método de Newton fue sucesivas x n, pero calcula una descrito por Isaac Newton en De secuencia de polinomios y sólo la realización del análisis por al final, llega a una terminorum Infinitas número aproximación a la raíz x. aequationes (escrita en 1669, Finalmente, Newton ve el publicado en 1711 por William método como puramente Jones) y en De fluxionum algebraico y no se fija la metodis et infinitarum serierum conexión con el cálculo. Isaac (escrita en 1671, traducido y Newton probablemente deriva publicado como Método de las su método de un método fluxiones en 1736 por John preciso, pero menos similar por Colson). Sin embargo, su François Viète. La esencia de los descripción difiere métodos Viète puede sustancialmente de la encontrarse en la labor del Persa descripción moderna dada matemático Sharaf al-Din alarriba: Newton aplica el único Tusi. método para polinomios. Él no computa las aproximaciones 18


Método de Newton Raphson Álvaro José Cordero Ramírez, Estudiante de Ingeniería en Mantenimiento Mecánico El método de Newton se publicó por primera vez en 1685 en un tratado de álgebra, tanto histórica y práctica por John Wallis. En 1690, Joseph Raphson publicó una descripción simplificada en universalis aequationum Análisis. Raphson más vistos del método de Newton exclusivamente como un método algebraico y restringido su uso a los polinomios, pero él se describe el método en cuanto a las aproximaciones sucesivas xn en lugar de la secuencia más complicada de los polinomios utilizados por Newton. Por último, en 1740,

Thomas Simpson describe el método de Newton como un método iterativo para resolver ecuaciones no lineales generales utilizando el cálculo fluxional, esencialmente con la descripción anterior. En la misma publicación, Simpson también da a la generalización de los sistemas de dos ecuaciones y observa que el método de Newton se puede utilizar para resolver problemas de optimización mediante la creación del gradiente a cero.

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Método de Newton Raphson Álvaro José Cordero Ramírez, Estudiante de Ingeniería en Mantenimiento Mecánico Diferencia: Este método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el método de diferencias divididas para aproximar f ‘(x). El método de NewtonRaphson asume que la función f(x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Condiciones especiales del método de Newton: El método de newton no siempre trabaja. se encuentra con problemas en varias partes:

 Cuando se escoge un valor x inicial donde se tendría una “división por cero” lo cual es un error, y

no podría proceder.  Cuando usando un valor X inicial de los valores X convergen y hacen el delta-x la disminución hacia el cero (0).  Dependiendo de las condiciones bajo las que se esté intentando resolver la ecuación, algunas de las variables pueden estar cambiando. Así que, puede ser necesario usar derivadas parciales.

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Método de Newton Raphson Álvaro José Cordero Ramírez, Estudiante de Ingeniería en Mantenimiento Mecánico Algunas aplicaciones del método Newton Raphson en la ingeniería: Son muy variadas las aplicaciones del método de Newton. Este método se puede usar para aproximar las soluciones complejas de una ecuación polinomial de grado n ≥ 2. Otra aplicación para destacar está en la solución de problemas de flujos de potencia en ingeniería eléctrica. También se encuentran aplicaciones mecánicas en la solución de ecuaciones que determinan la posición en la dinámica de un mecanismo o sistema.

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Pasatiempo Encuentra las diferencias

Sudoku

Encuentra la salida

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Hor贸scopo

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Solo para estudiantes