Page 1

Renald Otto Das WildcardParadoxon

www.pokerturnier.org


Das Wildcard-Paradoxon Der gelegentliche Pokerspieler stolpert hier und dort mal in eine Wildcard-Pokerrunde – den meisten Spielern ist jedoch das sogenannte Wildcard-Paradoxon unbekannt. Wildcards sorgen für veränderte Eintrittswahrscheinlichkeiten der verschiedenen Pokerhände. Professionelle Pokerspieler wissen dies zu ihrem Vorteil zu nutzen und spielen deshalb gern mit Wildcards. Hier ein kurzer Überblick zu diesem Thema, damit auch Sie davon profitieren können: Die Bewertung der Hände im Pokerspiel erfolgt i.A. nach der Häufigkeit ihres Auftretens, wenn aus einem Kartendeck mit 52 Spielkarten zufällig 5 Karten ausgewählt werden. Je geringer die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Pokerhand zu erhalten, desto höher ihre Bewertung. Die folgende Tabelle zeigt die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Pokerhände für ein normales Kartenspiel mit 52 Karten, geordnet nach Ihrer Wertigkeit. (zur Berechnung siehe Anhang 1) Pokerhand Straight Flush Vierling Full House Flush Straight Drilling Doppelpaar Paar High Card Insgesamt

# Kombinationen 40 624 3.744 5.108 10.200 54.912 123.552 1.098.240 1.302.540 2.598.960

Wahrscheinlichkeit 0,000015 0,000240 0,001441 0,001965 0,003925 0,021129 0,047539 0,422569 0,501177 1,000000

in Prozent 0,0015 % 0,024 % 0,144 % 0,2 % 0,4 % 2% 5% 42 % 50 % 100 %

Das Paradoxon: Wenn eine oder mehrere Wildcards in das Spiel eingeführt werden, dann ist es nicht möglich, die Pokerhände anhand ihrer Eintrittswahrscheinlichkeiten zu bewerten. Es wird in diesem Fall immer mindestens eine Hand geben, die nach Standardregeln höher bewertet wird, aber auch gleichzeitig häufiger auftritt, als eine geringer wertige Kartenkombination. Wildcards werden oft dann eingeführt, wenn die Spieler eine etwas unterhaltsamere und lebendigere Pokerrunde gestalten möchten. Die Wildcard (oft der Joker, aber auch jede andere der 52 Karten) kann dann dazu genutzt werden, die fehlende Karte zu einer Kartenkombination zu ersetzen. Somit steigt die Wahrscheinlichkeit des Spielers, eine höher wertige Pokerhand zu erreichen. Dies ist jedoch auch die Ursache für das Paradoxon: Gehen wir davon aus, dass der Joker als Wildcard gilt und die Rangfolge der Pokerhände wie in obiger Tabelle beibehalten wird. Ein Spieler erhält nun die Karten 5D, 5C, 7S, 10H und den Joker. Die Wildcard könnte nun als 10 das Doppelpaar ergänzen, oder als 5 einen Drilling bilden. Der Spieler wählt natürlich die höhere Pokerhand (den Drilling). Damit erhöht er aber die Eintrittswahrscheinlichkeit für einen Drilling und macht gleichzeitig das Auftreten eines Doppelpaars weniger häufig. Würde man die Pokerhände weiterhin nach Eintrittswahrscheinlichkeiten bewerten wollen, müsste nun das Doppelpaar mehr wert sein, als der Drilling. Dies würde aber wiederum den Spieler dazu veranlassen, seine Wildcard für das Doppelpaar zu verwenden, womit sich aber wiederum die Häufigkeiten der Pokerhände ändern.


Wie sich die Häufigkeiten der Kartenkombinationen bei einer Wildcard in Abhängigkeit von der Relation Drilling/Doppelpaar verhalten, zeigt die Tabelle 2. (Berechnung siehe Anhang 2) Häufigkeiten bei einem wilden Joker und unterschiedlicher Rangfolge der Pokerhände Pokerhand # Kombinationen Pokerhand # Kombinationen Fünfling 13 Fünfling 13 Straight Flush 184 Straigt Flush 184 Vierling 3.120 Vierling 3.120 Full House 6.552 Full House 6.552 Flush 7.804 Flush 7.804 Straight 20.532 Straight 20.532 Drilling 137.280 Doppelpaar 205.920 Doppelpaar 123.552 Drilling 54.912 Paar 1.268.088 Paar 1.268.088

Egal, welche Reihenfolge man nun wählt – bei Einführung von Wildcards in das Spiel sind Eintrittswahrscheinlichkeiten und Wertigkeiten der Pokerhände immer inkompatibel. Ähnliches kann man bei anderen Wildcard-Varianten (2 Joker, Deuces Wild, etc.) beobachten. Der Spieler sollte sich merken: Je mehr Wildcards im Spiel, desto häufiger werden Vierling und Full House, jedoch nimmt die Häufigkeit eines Flushes ab.

Lösungsvorschlag für das Wildcard-Paradoxon Eine mögliche Lösung für dieses Paradoxon haben John Emert und Dale Umbach (1) vorgeschlagen: Grundlage für die Rangfolge von Händen beim Wildcard-Poker sollte die Einschluss-Häufigkeit (inclusion frequency) sein. Anstatt jede 5-Karten-Kombination in eine bestimmte Pokerhand-Kategorie einzuordnen, sollte berücksichtigt werden, dass eine Kombination auch gleichzeitig mehrere Pokerhände abbilden kann. Beispielsweise könnte ein Full House auch gleichzeitig als Doppelpaar, Drilling oder sogar nur als Paar bezeichnet werden: Das Full House schließt Doppelpaar, Drilling und Paar ein, somit muss die Einschluss-Häufigkeit bei der Festlegung der Rangfolge der Pokerhände betrachtet werden. Wie sich die Einschluss-Häufigkeit einer Hand (ohne Wildcard) konstruieren lässt, kann anhand der Tabelle 1 nachvollzogen werden: Für einen Drilling ist die Einschluss-Häufigkeit 59.280 – diese Zahl ist die Summe der Häufigkeit eines Drillings (54.912) und der Häufigkeiten der Pokerhände, die den Drilling einschließen (Full House mit 3.744 und Vierling mit 624). Wenn wir dieses System für die Festlegung der Rangfolge von Pokerhänden verwenden, stellen wir sicher, dass der Drilling immer mehr wert sein wird, als das Doppelpaar – insbesondere bei der Verwendung von Wildcards. Tabelle 3 zeigt die Einschluss-Häufigkeiten für die verschiedenen Pokerhände beim Wildcard-Poker.


Einschluss-Häufigkeiten der Pokerhände bei verschiedenen Wildcard-Varianten keine Wildcard ein wilder Joker zwei wilde Joker Deuces Wild Pokerhand # Kombi. Pokerhand # Kombi. Pokerhand # Kombi. Pokerhand # Kombi. Fünfling 0 Fünfling 13 Fünfling 78 Fünfling 672 Straight 40 Straight 204 Straight 624 Straight 2.572 Flush Flush Flush Flush Vierling 624 Vierling 3.133 Vierling 9.438 Flush 17.044 Full House 3.744 Flush 8.008 Flush 12.012 Vierling 32.880 Flush 5.148 Full House 9.061 Full House 18.174 Full House 45.024 Straight 10.240 Straight 20.736 Straight 35.328 Straight 64.784 Drilling 59.280 Drilling 146.965 Drilling 256.494 Drilling 425.712 Doppel127.920 Doppel215.605 Doppel325.094 Doppel478.512 paar paar paar paar Paar 1.281.072 Paar 1.551.797 Paar 1.844.366 Paar 1.787.952

Die Tabelle zeigt: Bei der Pokervariante Deuces Wild muss ein Flush eigentlich höher bewertet werden als Full House und sogar Vierling! Allgemein lässt sich feststellen: Je mehr Wildcards im Spiel, desto wertvoller/seltener wird ein Flush. Die Reihenfolge der anderen Blätter bleibt im Vergleich mit der herkömmlichen Bewertung unverändert. Mit diesem Wissen wünsche ich Ihnen viel Spaß bei Ihrem nächsten Spiel „Deuces Wild!“

Literatur (1) John Emert, Dale Umbach, „Inconsistencies of 'Wild Card' Poker“, Chance Magazine, 9 (1996), Seite 17-22.

Anhang 1: Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit einer Pokerhand bei 52 Karten Die Anzahl der verschiedenen 5-Karten-Kombinationen, die aus einem Deck von 52 Spielkarten ohne Wildcards gegeben werden können, wird berechnet mit N!/((N-k)!*k!), wobei N=52 und k=5: 52!/(47! * 5!)=2.598.960 Wieviele dieser Hände sind Vierlinge? Ein Vierling sind 4 Karten (A) gleichen Ranges (B) und eine beliebige Karte (C) der übrigen 48. (A) Auswahl von vier Karten eines Ranges: 4!/(0! * 4!) = 1 (B) Auswahl eines Ranges (2, 3, 4, ... As) von 13: 13!/(12! * 1!) = 13 (C) Auswahl einer beliebigen Karte aus 48: 48!/(47! * 1!) = 48 All dies sind unabhängige Ereignisse, somit ergibt sich die Anzahl der möglichen Vierlinge als Produkt dieser Faktoren: 1*13*48 = 624 Die Eintrittswahrscheinlichkeit des Vierlings ist somit 624/2.598.960 = 0,000240 =0,024%


Anhang 2: Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit einer Pokerhand bei 52 Karten und einem wilden Joker Wieviele Fünflinge gibt es? Ein Fünfling sind 4 Karten (A) gleichen Ranges (B) und ein Joker (C) aus insgesamt einer Wildcard. (A) Auswahl von vier Karten eines Ranges: 4!/(0! * 4!) = 1 (B) Auswahl eines Ranges (2, 3, 4, ... As) von 13: 13!/(12! * 1!) = 13 (C) trivial: Auswahl eines Jokers aus einer Menge von einer Wildcard: 1!/(0! * 1!) = 1 All dies sind unabhängige Ereignisse, somit ergibt sich die Anzahl der möglichen Fünflinge als Produkt dieser Faktoren: 1*13*1 = 13 Wieviele Drillinge gibt es bei höherer Bewertung des Drillings im Vergleich zum Doppelpaar? Der Drilling ist entweder natürlich (A) oder ein Paar plus Wildcard (B) (A) Natürlicher Drilling ergibt sich aus folgenden unabhängigen Ereignissen: (i)Auswahl eines Ranges von 13, (ii)Auswahl von 3 aus 4 Karten diesen Ranges, (iii)Auswahl zweier weiterer Ränge, und (iv)zweimal die Auswahl von 1 aus 4 Karten dieser beiden Ränge. (i) 13!/(12! * 1!) = 13 (ii) 4!/(1! * 3!) = 4 (iii) 12!/(10! * 2!) = 66 (iv) 4!/(3! * 1!) = 4 Die Häufigkeit des Drillings ist somit das Produkt 13 * 4 * 66 * 4 * 4 = 54.912 (B) Paar plus Wildcard: (i)Auswahl eines Ranges von 13, (ii)Auswahl von 2 aus 4 Karten diesen Ranges, (iii)Auswahl zweier weiterer Ränge, und (iv)zweimal die Auswahl von 1 aus 4 Karten dieser zwei Ränge – (und die Auswahl eines Jokers aus insgesamt einem Joker). (v) 13!/(12! * 1!) = 13 (vi) 4!/(2! * 2!) = 6 (vii) 12!/(10! * 2!) = 66 (viii) 4!/(3! * 1!) = 4 Die Häufigkeit ist wieder das Produkt 13 * 6 * 66 * 4 * 4 = 82.368 Die Anzahl der Drillinge bei einem wilden Joker ist die Summe von (A) und (B): 137.280


Über den Autor: Renald Otto Seit 2005 arbeite ich deutschlandweit in verschiedenen Veranstaltungsagenturen und selbständig als Organisator von Pokerturnieren und Casino-Events. Ob ein Pokertisch für den Junggesellenabschied, das Casino-Dinner oder die nächste Betriebsfeier unter dem Motto „Las Vegas“: Kein Anlass ist zu klein, kein Fest zu groß! Und wenn Sie für Ihre nächste Veranstaltung noch einen Programmpunkt suchen, mit dem Sie bei Ihren Gästen in guter Erinnerung bleiben – Sie finden mich unter: www.casinovoyage.de

Das Wildcard Paradoxon  
Das Wildcard Paradoxon  

Infos zum Pokern mit Wildcards

Advertisement