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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Chimica

Scambiatore di calore a tubi concentrici

Relazione del progetto di Fenomeni di Trasporto Professore: Roberto Pantani

Diego Caccavo Marino Miccio

Anno Accademico 2011/2012


Sommario

Sommario ............................................................................. I Introduzione ........................................................................ 1 1.1 Lo scambio termico e la sua importanza________________ 2 1.1.1 Tipologie di scambiatori

2

1.1.2 Lo scambiatore a doppio tubo

2

1.2 Parametri caratteristici dello scambiatore di calore _______ 3 1.2.1 Differenza di Temperatura media logaritmica

3

1.2.2 Area di scambio

4

1.2.3 Coefficiente di scambio globale

4

Cenni teorici......................................................................... 5 2.1 Fluidodinamica ___________________________________ 6 2.1.1 Equazione di continuità

6

2.1.2 Equazione del moto

7

2.2 Trasporto di energia _______________________________ 8 2.2.1 Equazione differenziale dell’energia

8

2.2.2 La temperatura di bulk

8

2.2.3 L’equazione di Fourier e il coefficiente di scambio termico

9

2.2.4 Il numero di Nusselt

10

Il modello............................................................................ 11 3.1 Script 1: Calcolo della temperatura___________________ 12 3.1.1 Coordinates and Variables

12

3.1.2 Definitions

13

3.1.3 Equations

15

3.1.4 Boundaries

15

3.1.5 Monitors

18

3.1.6 Plots

18

3.1.7 Esportazione dei dati

19

3.2 Script 2: T di bulk e coefficiente di scambio ___________ 20 [I]


Sommario e indici.

Pag. II

3.2.1 Variables

20

3.2.2 Definitions

20

3.2.3 Equations

24

3.2.4 Boundaries

24

3.2.5 Monitors

25

3.2.6 Plots

25

3.3 Implementazione della fluidodinamica ________________ 27 3.3.1 Variables

27

3.3.2 Equations

27

3.3.3 Boundaries

28

3.3.4 Verifica della portata

29

3.3.5 Problematiche legate alla risoluzione

30

Validazione della simulazione .......................................... 33 4.1 Analisi dei profili di temperatura ____________________ 34 4.1.1 Evoluzione del profilo termico nello scambiatore

34

4.1.2 La lunghezza di imbocco termica

36

La sezione anulare: i risultati sperimentali e la loro descrizione 42 5.1 Utilizzo della simulazione__________________________ 43 5.2 Modello a due parametri: c e p ______________________ 44 5.2.1 Analisi teorica del problema

44

5.2.2 Calcolo dei parametri

45

5.2.3 Considerazioni sui parametri del modello

47

5.3 Modello 2: Sieder-Tate pi첫 Nu0 _____________________ 50

Conclusioni ........................................................................ 53 6.1 Conclusioni _____________________________________ 54

Bibliografia ........................................................................ 55


Capitolo Uno

Introduzione

In questo capitolo viene sottolineata l’importanza dello scambio termico in applicazioni industriali. L’attenzione si focalizza sull’apparecchiatura che realizza questa operazione: lo scambiatore di calore. Se ne descrivono i parametri fondamentali.

[1]


Capitolo Uno.

Introduzione

Pag. 2

1.1 Lo scambio termico e la sua importanza Lo scambio termico è una delle operazioni più frequenti e allo stesso tempo fondamentale all’interno di un qualsiasi impianto produttivo. In seguito all’aumento del costo dell’energia si è posta grande attenzione al tema dell’ottimizzazione energetica, ampliando l’utilizzo di apparecchiature capaci di adempiere al trasferimento di energia. Lo strumento capace di effettuare ciò è lo scambiatore di calore. Questo realizza uno scambio termico tra due fluidi senza che essi vengano a contatto diretto tra loro. 1.1.1 Tipologie di scambiatori La tipologia di scambiatore più semplice è quella costituita da due tubi coassiali nei quali i due fluidi possono scorrere nella stessa direzione (equicorrente) oppure opposta (controcorrente). Negli anni sono state proposte e realizzate differenti evoluzioni capaci di soddisfare diverse richieste a seconda della natura e tipologia dei fluidi trattati. È possibile effettuare una classificazione in base al modello costruttivo e tra le soluzioni di maggior successo si annoverano:  Scambiatore a doppio tubo  Scambiatore tubo e mantello  Scambiatore a piastre  Air cooled 1.1.2 Lo scambiatore a doppio tubo La configurazione più diffusa e semplice tra gli scambiatori di calore è quella a doppio tubo. È caratterizzata dalla presenza di due tubi concentrici nei quali scorrono, nella stessa direzione o in direzione opposta, due fluidi. Lo scambio termico avviene prevalentemente attraverso la parete di separazione, senza quindi che vi sia contatto diretto.

Figura 1: schematizzazione dello scambiatore a doppio tubo

Lo spessore della tubazione interna, che influenza il trasferimento di calore, cresce all’aumentare della differenza di pressione tra i due fluidi.


Capitolo Uno.

Introduzione

Pag. 3

Solitamente la lunghezza di questi scambiatori è molto elevata vista la bassa capacità di trasferimento di calore, si realizzano quindi configurazioni in cui il doppio tubo viene ripiegato più volte così da limitarne l’ingombro.

Figura 2: esempio di scambiatore a doppio tubo "ripiegato"

1.2 Parametri caratteristici dello scambiatore di calore L’equazione macroscopica che descrive lo scambio termico dell’apparecchiatura è la seguente: (1.1) 1.2.1 Differenza di Temperatura media logaritmica Caratteristica dello scambiatore è che la differenza di temperatura dei fluidi non è costante ma varia da punto a punto in direzione assiale. Il tipo di media più appropriata, per descrivere questo andamento, è quella logaritmica. Si ottiene considerando la differenza di temperatura in due sezioni: sezione 1 ( ) e sezione 2 ( ) che solitamente corrispondono alle estremità dello scambiatore: (1.2) Le due possibili configurazioni, equicorrente e controcorrente, realizzano uno scambio termico differente. La peculiarità dello scambiatore in controcorrente è che la temperatura di uscita del fluido caldo può superare quella di entrata del fluido freddo, ciò implica che a parità di calore scambiato la soluzione in controcorrente richiede un’area di scambio minore.


Capitolo Uno.

Introduzione

Pag. 4

Figura 3: profili di temperatura in scambiatori. [1]

1.2.2 Area di scambio È il parametro fondamentale che deve essere determinato nel dimensionamento di uno scambiatore. Risulta essere la superficie che separa il fluido caldo da quello freddo. L’evoluzione tecnologica ha permesso di massimizzare l’area di scambio per unità di volume. 1.2.3 Coefficiente di scambio globale Il fattore di proporzionalità, tra la portata termica da un lato e il prodotto della superficie di scambio per la differenza di temperatura dall’altro, è il coefficiente di scambio globale U, ottenuto considerando la serie di resistenze al trasporto di energia.

Figura 4: (a) Distribuzione di temperature, (b) circuito termico equivalente [2]


Capitolo Due

Cenni teorici

In questo capitolo vengono richiamati i concetti teorici utilizzati per descrivere la fluidodinamica e il trasporto di energia all’interno di scambiatori di calore. Vengono mostrate le equazioni di trasporto e introdotte le espressioni per il calcolo del numero di Nusselt tramite l’analisi adimensionale, richiamando anche espressioni di tipo empirico.

[5]


Capitolo Due.

Cenni teorici

Pag. 6

2.1 Fluidodinamica Lo studio della fluidodinamica di uno scambiatore di calore non è quasi mai un’operazione semplice, inoltre, man mano che ci si allontana dalla configurazione a doppio tubo coassiale le difficoltà, anche di risoluzione numerica, aumentano vertiginosamente. Ad ogni modo, qualunque sia la geometria, il punto di partenza per la descrizione fluidodinamica del problema parte dall’analisi dell’equazione di continuità e dell’equazione del moto in termini vettoriali. 2.1.1 Equazione di continuità L’equazione di continuità, che si ricava dal bilancio differenziale di materia, in termini vettoriali è rappresentata dalla seguente espressione: (

)

(2.1)

Esplicitando la derivata sostanziale: (

)

(

)

(2.2)

Nell’ipotesi di:  

Stato stazionario Densità costante (

)

(2.3)

Dire che la divergenza di è nulla, vuole dire che le derivate del vettore velocità si bilanciano tra loro per dare una somma nulla, cioè, praticamente, se vi è un’accelerazione in una data direzione ci sarà sicuramente una decelerazione in qualche altra direzione che va a bilanciarla. Nel caso in esame è possibile esplicitare la div(v) nelle sue componenti in coordinate cilindriche. Tenendo presente che: (

)

(2.4)

E considerando: (

)

(2.5)

Si ottiene: (

)

(2.6)


Capitolo Due.

Cenni teorici

Pag. 7

2.1.2 Equazione del moto Nell’ipotesi di:  Fluido Newtoniano incomprimibile L’equazione del moto in termini vettoriali è: (2.7) Esplicitando la derivata sostanziale si ottiene la nota relazione di Navier-Stokes: (

)

(2.8)

Considerando il problema allo stato stazionario e non essendoci l’influenza della gravità l’espressione precedente diventa: (

)

(2.9)

È possibile esplicitare questa espressione dalla forma vettoriale nelle sue componenti in coordinate cilindriche. Essendo le componenti della velocità: (

)

(

)

(2.10)

L’equazione del moto risulta essere: )

(

)

[

)

(

)

[

( (

(

)) )

] ]

(2.11)

Ovviamente in questo capitolo si sta effettuando una trattazione generica del problema semplicemente ricavando le equazioni che saranno poi implementate nel modello. Per questo non sono specificate le condizioni al contorno (e iniziali) che dovrebbero sempre affiancare le relative equazioni differenziali nella descrizione di un particolare problema. Volendo ricavare il valore della portata è sufficiente integrare la velocità assiale nella sezione: ∫

(2.12)


Capitolo Due.

Cenni teorici

Pag. 8

2.2 Trasporto di energia Al pari della fluidodinamica, lo studio del trasporto di energia negli scambiatori di calore è di fondamentale importanza per una corretta progettazione e gestione dell’apparecchiatura. 2.2.1 Equazione differenziale dell’energia Prendendo in considerazione l’equazione dell’energia in termine di temperatura: ̂

(2.13)

Con l’ipotesi di: 

Fluido newtoniano

Il prodotto diadico può essere esplicitato come segue: (2.14) Dove

prende il nome di funzione di dissipazione.

Nell’ipotesi invece di: 

Fluido incomprimibile

è possibile elidere il termine di variazione di pressione così che l’equazione diventa: ̂

(2.15)

Considerando:  

Il flusso di calore espresso dall’equazione di Fourier Esplicitando la derivata sostanziale

E facendo alcune assunzioni relative al problema in esame:    

Stato stazionario ( ) Termine di generazione viscoso trascurabile ( Coordinate cilindriche

)

L’equazione 2.15 diventa: ̂ (

)

[

(

)

]

(2.16)

2.2.2 La temperatura di bulk Nel moto in condotti, e quindi anche all’interno di scambiatori, nasce spesso l’esigenza di conoscere la temperatura media in una data sezione. In particolare ci si riferisce spesso alla temperatura di bulk, che è la temperatura che si otterrebbe facendo “cadere” quella determinata sezione all’interno di un recipiente perfettamente miscelato:


Capitolo Due.

Cenni teorici

( )

(

Pag. 9

) ( ) (2.17)

( )

2.2.3 L’equazione di Fourier e il coefficiente di scambio termico Il vettore flusso termico può essere espresso mediante una relazione di diretta proporzionalità col gradiente di temperatura , generando così la nota equazione di Fourier: (2.18) Dove

è la conducibilità termica del materiale.

In coordinate cilindriche: ( ( (

) )

(2.19)

)

E considerando il problema in esame: (

)

(

)

(2.20)

Essendo interessati allo scambio termico tra i due fluidi, la componente di interesse del flusso è quella radiale . È possibile relazionare il flusso con la differenza di temperatura caratteristica attraverso il fattore di proporzionalità “h”, che prende il nome di coefficiente di trasmissione termica: (2.21) Da cui: (2.22) Per conoscere un valore medio del coefficiente di scambio su tutta la lunghezza di interesse si utilizza la media integrale: ∫

(2.23)

Nel caso in cui il trasporto di calore avviene attraverso diversi materiali (resistenze in serie) è utile introdurre un coefficiente globale di scambio: (

)

(2.24)


Capitolo Due.

Cenni teorici

Pag. 10

2.2.4 Il numero di Nusselt Partendo dall’equazione di Fourier: (2.18) è possibile definire un numero adimensionale che è il Nusselt:

(2.25)

Sostituendo la 2.22 nella 2.25 si ricava il numero di Nusselt: (2.26) Questo a sua volta è legato, in condizioni di convezione forzata, al numero di Reynolds e al numero di Prandtl e in laminare a D/L, con coefficienti di proporzionalità differenti a seconda della geometria e della fluidodinamica: (

)

(2.27)

In particolare per caso di moto laminare in condotti, sono presenti in letteratura diverse correlazioni empiriche, tra cui una delle più utilizzate per piccoli diametri e ΔT è quella di Sieder-Tate (1936): (

(2.28)

)

Solitamente si utilizza questa relazione sperimentale anche con condotti a sezione non circolare sostituendo a D il diametro idraulico definito genericamente come il rapporto tra quattro volte la sezione e il perimetro bagnato: (2.29) In una sezione anulare diventa: ( (

) )

(

)

(2.30)


Capitolo Tre

Il modello

In questo capitolo si è descritto l’ambiente di programmazione utilizzato per l’implementazione del modello dello scambiatore. Vengono mostrati e commentati i codici utilizzati per ricavare i profili di temperatura e i coefficienti di scambio. È infine illustrato lo sviluppo del modello fluidodinamico.

[11]


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 12

Spesso i problemi relativi ai fenomeni di trasporto sono descritti mediante equazioni differenziali alle derivate parziali che, il più delle volte, richiedono soluzioni di tipo numerico. Per questa tipologia di risoluzione l’approccio più comune è quello mediante l’analisi degli elementi finiti (FEA). Si divide il dominio in numerose regioni ed ad ognuna vengono assegnate una o più equazioni che devono essere risolte in modo simultaneo, richiedendo potenze di calcolo abbastanza elevate. Si è utilizzato quindi un software, Flexpde 5 della PDE Solutions Inc [3] che è in grado di lavorare in 1, 2 o 3 dimensioni. Attraverso l’utilizzo di due script si è innanzitutto ricreato il profilo di temperatura nell’intero scambiatore per poi andare a valutare i coefficienti di scambio locali e globali di calore.

3.1 Script 1: Calcolo della temperatura L’obiettivo di questo codice è quello di valutare la temperatura in ogni punto dello scambiatore, mediante la risoluzione dell’equazione differenziale dell’energia.

Figura 5: Esempio di profilo di temperatura nell'intero scambiatore

3.1.1 Coordinates and Variables In primis si sono scelte le coordinate con cui descrivere il problema. Data la simmetria dell’apparecchiatura rispetto all’asse, si sono adoperate le coordinate cilindriche (xcylinder) descrivendo quindi la figura nel piano (z,r). Successivamente si è dichiarata la variabile del sistema che nel caso analizzato è la sola temperatura. TITLE 'Double Pipe Heat Exchanger Project (1)' COORDINATES xcylinder VARIABLES

T

select Threads=2

{XCYLINDER('z','r')}

{ system variables }


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 13

3.1.2 Definitions Di seguito si vanno a definire tutti i parametri necessari al corretto funzionamento dello script 3.1.2.1 Parametri geometrici, fisici e termici Si sono quindi definite le proprietĂ  geometriche dello scambiatore, quelle fluidodinamiche e termiche dei fluidi, imponendo sempre una temperatura di ingresso del fluido caldo e freddo rispettivamente di 360 e 300K. DEFINITIONS {Geometric parameters} ri=0.01

{Internal radius - internal pipe}

re=ri+2e-3

{external radius - internal pipe}

Rie=re+ri/2

{Internal radius - external pipe}

Ree=Rie+2e-3

{external radius - external pipe}

L=100*Ree

{Lenght of the exchanger}

n=re/Rie Dh=4*(Rie^2-re^2)/(2*(Rie+re))

{Physical parameters} visc_in=1e-3

{Viscosity of the internal fluid}

visc_out=1e-3

{Viscosity of the external fluid}

visc=1e-3 visc_tubo=1e5

{"Viscosity" of the pipe}

dens=1000 dens_in=1000

{Density of the internal fluid}

dens_out=1000

{Density of the external fluid}

dens_tubo=7800

{Density of the pipe (stainless steel)}

{Thermic parameters} cond_tubo=staged(5,100)

{conductivity of the pipe W/(m^2*K)}

cond=0.6 cond_in=0.6

{conductivity of the internal fluid}

cond_out=0.6

{conductivity of the external fluid}

Cp=4186

{specific heat of both fluids}

Cp_tubo=500

{specific heat of the pipe}

Cp_in=4186 Cp_out=4186 rcp=dens*Cp rcp_in=dens_in*Cp_in rcp_out=dens_out*Cp_out rcp_tubo=dens_tubo*Cp_tubo T0_in=300

{Inlet Temperature of the internal fluid}

T0_out=360

{Inlet Temperature of the external fluid}


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 14

È interessante notare che la conducibilità del tubo è stata raggiunta attraverso due stadi in modo da assicurare la risoluzione dell’equazione nella zona in esame. 3.1.2.2 Fluidodinamica Per facilità di risoluzione numerica dello script da parte del software si è deciso di imporre un profilo di velocità laminare (vedi paragrafo 3.3) in direzione assiale annullando la componente radiale di velocità. Di conseguenza semplicemente variando il valore numerico della variabile vz0_in è possibile simulare un funzionamento in differenti condizioni operative. Si è inoltre scelto di utilizzare una velocità media nella sezione anulare pari al doppio di quella nella sezione circolare in modo da ottenere un ugual valore del numero di Reynolds in entrambi i condotti. {Flow parameters} vz0_in=0.005

{Average velocity at the inlet of the internal fluid}

vz0_out=2*vz0_in

{Average velocity at the inlet of the external fluid}

Rey_in=dens_in*vz0_in*2*ri/visc_in

{Reynold's number for the internal fluid}

Rey_out=dens_out*vz0_out*Dh/visc_out

{Reynold's number for the external fluid}

Por_in=vz0_in*Pi*ri^2

{Flowrate of the internal fluid}

Por_out=vz0_out*Pi*(Rie^2-re^2)

{Flowrate of the external fluid}

vr=0 {Parabolic profiles has been used for both inlet velocity} vzin=2*vz0_in*(1-(r/ri)^2) vzout=2*vz0_out*(1-(r/Rie)^2-((1-n^2)/ln(1/n))*ln(Rie/r))/((1+n^2)-(1-n^2)/ln(1/n)) vz=vzin v=vector(vz, vr)

{define the vector v}

vm=magnitude( v)

{evaluate the module of v}

Attraverso il comando vector si definisce un vettore velocità di componenti vz e vr mentre magnitude ne rappresenta il modulo vm che graficato restituisce:


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 15

Figura 6: Modulo del vettore velocità

3.1.2.3 Flusso termico Utilizzando l’equazione di Fourier si valuta il flusso termico qr in direzione radiale e di particolare interesse risulta qw alla parete interna del tubo interno. qr=abs(-cond*dr(T))

{Heat flow in r direction}

qw=eval(qr,z,ri)

{Heat flow at the internal wall}

dvsudr=dr(vz)

3.1.3 Equations Cuore dello script è l’equazione dell’energia in funzione delle proprietà di trasporto per fluidi newtoniani. Essa è scritta in coordinate cilindriche: EQUATIONS T:

rcp*[ vr*dr(T)+ vz*dz(T)]-cond*[ 1/r*dr(r*dr(T))+ dzz(T)]=0

{Si trascura il termine viscoso e siamo in condizioni di stato stazionario}

3.1.4 Boundaries Fondamentale risulta la definizione del dominio ovvero lo spazio limitato all’interno del quale viene definito e affrontato il problema. Sono state realizzate cinque regioni, una prima complessiva dove si sono specificate le condizioni al contorno mentre le restanti regioni sono dedicate a particolari zone in cui sono differenti i parametri di densità, conducibilità e velocità.


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 16

Figura 7: Rappresentazione delle regioni e della mesh

Le condizioni al contorno sono state introdotte attraverso due semplici comandi:  

value (stabilisce il valore che la variabile assume sul limite del dominio) natural (stabilisce il flusso sul limite del dominio)

BOUNDARIES

{ The domain definition }

REGION 1 START(0,0) value(T)=T0_in LINE TO (0,ri)

{In1}

natural(T)=0 LINE TO (0,re) value(T)=T0_out

{Tick1}

LINE TO (0,Rie)

natural(T)=0

LINE TO (0,Ree)

natural(T)=0

LINE TO (L,Ree)

{In2} {Tick2}

natural(T)=0 LINE TO (L,Rie) natural(T)=normal(cond*grad(T)) natural(T)=0

{Tick2} LINE TO (L,re)

LINE TO (L,ri)

natural(T)=normal(cond*grad(T))

{Tick2} LINE TO (L,0)

natural(T)=0 LINE TO CLOSE

REGION 2

{Thickness of the external pipe}

rcp=rcp_tubo vz=0 start(0,Rie) line to (0,Ree) to (L,Ree) to (L,Rie) to close

rcp=rcp_out cond=cond_out

{Out1} {Axis}

cond=cond_tubo

REGION 3

{Out2}

{Anular section}


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 17

vz=vzout start(0,re) line to (0,Rie) to (L,Rie) to (L,re) to close

REGION 4

{Thickness of the internal pipe}

cond=cond_tubo rcp=rcp_tubo vz=0 start(0,ri) line to (0,re) to (L,re) to (L,ri) to close

REGION 5

{ Cylindric section}

cond=cond_in rcp=rcp_in vz=vzin start(0,0) line to (0,ri) to (L,ri) to (L,0) to close

3.1.4.1 Dalla configurazione equicorrente a controcorrente Per passare da una modalità in equicorrente ad una controcorrente è sufficiente invertire due condizioni al contorno e cambiare segno alla velocità nella sezione desiderata: BOUNDARIES

{ The domain definition }

REGION 1 START(0,0) value(T)=T0_in LINE TO (0,ri)

{In1}

natural(T)=0 LINE TO (0,re)

{Tick1}

natural(T)=normal(cond*grad(T)) natural(T)=0

LINE TO (0,Ree)

natural(T)=0

LINE TO (L,Ree)

LINE TO (0,Rie)

{In2} {Tick2}

natural(T)=0 LINE TO (L,Rie)

{Tick2}

value(T)=T0_out

{Out2}

natural(T)=0

LINE TO (L,re)

LINE TO (L,ri)

natural(T)=normal(cond*grad(T))

{Tick2} LINE TO (L,0)

natural(T)=0 LINE TO CLOSE

REGION 3

{Out1} {Axis}

{Anular section}

rcp=rcp_out cond=cond_out vz=-vzout start(0,re) line to (0,Rie) to (L,Rie) to (L,re) to close


Capitolo Tre.

Il modello

Figura 8: Profili di Temperatura (in alto) e di velocitĂ  (in basso) in equicorrente

Pag. 18

Figura 9: Profili fi Temperatura (in alto) e di velocitĂ  (in basso) in controcorrente

3.1.5 Monitors Per ottenere un risultato grafico real time durante la risoluzione del problema si ricorre ai MONITORS che permettono nello script in questione di verificare i valori di temperatura in una particolare zona del dominio sfruttando il comando elevation. MONITORS

{ show progress }

GRID(z,r) {zoom (0,-1.1*Ree,1.1*L,2.2*Ree)} surface(T) elevation(T) as "T profile @ z=0" from (0,0) to (0,Ree)

{Inlet section}

elevation(T) as "T profile @ z=L*0.01" from (L*0.01,0) to (L*0.01,Ree){Inlet section + Dz} elevation(T) as "T profile @ z=L/2" from (L/2,0) to (L/2,Ree)

{In the middle}

elevation(T) as "T profile @ z=L" from (L,0) to (L,Ree)

{Outlet section}

contour(T) zoom (0,0,L,Ree) vector(v) zoom (0,0,L,Ree)

3.1.6 Plots Per ricevere invece una risposta grafica alla soluzione finale del problema si ricorre alla sezione PLOTS. PLOTS

{ save result displays }


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 19

GRID(z,r) surface(T)PNG ( 2000, 1) elevation(T) as "T profile @ z=0" from(0,0) to(0,Ree)

PNG(2000,1) {Inlet section}

elevation(T) as "T profile @ z=L*0.01" from (L*0.01,0) to (L*0.01,Ree){Inlet section + Dz} elevation(T) as "T profile @ z=L/2" from (L/2,0) to (L/2,Ree) the middle} elevation(T) as "T profile @ z=L" from (L,0) to (L,Ree)

PNG (2000,1)

PNG(2000,1)

elevation(vz) as "vz profile @ z=0" from (0,0) to (0,Ree)

{In

{Outlet section}

{Inlet section}

elevation(vz) as "vz profile @ z=L*0.01" from (L*0.01,0) to (L*0.01,Ree){Inlet section + Dz} elevation(vz) as "vz profile @ z=L/2" from (L/2,0) to (L/2,Ree)

{In the middle}

elevation(vz) as "vz profile @ z=L" from (L,0) to (L,Ree)

{Outlet section}

contour(T) zoom (0,0,L,Ree)

PNG (2000,1)

contour(vm) painted

PNG (2000,1)

vector(v) zoom (0,0,L,Ree)

PNG (2000,1)

elevation(qr,qw) from (0,ri) to (L,ri) log

SUMMARY

PNG (2000,1)

report(vz0_in) report(vz0_out) report(T0_in) report(T0_out) report(Rey_in) report(Rey_out)

Utilizzando il comando PNG è stato possibile esportare i grafici sotto forma di immagine. 3.1.7 Esportazione dei dati Utilizzando la funzione transfer è possibile salvare i dati di interesse in un file, in modo da essere utilizzati da uno script successivo. Nel caso in esame si va ad esportare sia la temperatura che il flusso termico in direzione radiale: transfer(T,qr) file="transfer.dat" {exports data} END


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 20

3.2 Script 2: T di bulk e coefficiente di scambio Attraverso questo secondo codice, noto il profilo di temperatura in tutto il dominio, si vuole innanzitutto valutare la temperatura di bulk che viene successivamente sfruttata per ricavare il coefficiente di scambio termico, vero obiettivo della procedura. 3.2.1 Variables Le variabili utilizzate in questo script sono e che rispettivamente sono il numeratore e denominatore del rapporto che definisce la temperatura di bulk (2.17): ( )

(

) ( ) (3.1)

( )

Entrambe vengono dichiarate nella parte iniziale del codice. TITLE 'Double Pipe Heat Exchanger Project (2)' COORDINATES xcylinder

{XCYLINDER('Z','R')}

VARIABLES ITb Por

3.2.2 Definitions I parametri geometrici, fisici, termici e fluidodinamici sono gli stessi di quelli riportati nelle sezioni 3.1.2.1 e 3.1.2.2. Differenza principale è che si richiamano immediatamente i dati ottenuti dallo script 1 attraverso un’importazione che sfrutta il comando transfermesh: DEFINITIONS transfermesh('transfer_2.dat',T,qr)

Come accennato in precedenza è possibile valutare una temperatura di bulk per ogni sezione ed essa nel caso analizzato coincide con il rapporto tra le variabili ITb e Por.


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 21

Figura 10: Temperature di bulk del fluido interno ed esterno

Di particolare interesse risulta ricavare una temperatura di bulk per entrambi i fluidi alle due estremità dello scambiatore. In tal modo si possono ricavare delle differenze di temperatura tra i due fluidi che combinate secondo la (1.2) danno origine alla differenza media logaritmica . Tb=ITb/Por

{Bulk temperature}

ITb_re=eval(ITb,z,re) Por_re=eval(por,z,re) ITb_Rie=eval(ITb,z, Rie) Por_Rie=eval(Por,z,Rie)

Tb_e=(ITb_Rie-ITb_re)/(Por_Rie-Por_re) {Bulk T in the anular section} Tb1_in=EVAL(Tb, 0,ri)

{Bulk T of the internal pipe at the inlet section}

Tb1_out=EVAL(Tb_e, 0,Rie)

{Bulk T of the external pipe at the inlet section}

Tb2_in=EVAL(Tb,L,ri)

{Bulk T of the internal pipe at the outlet section}

Tb2_out=EVAL(Tb_e, L,Rie)

{Bulk T of the external pipe at the outlet section}

DT1=Tb1_out-Tb1_in DT2=Tb2_out-Tb2_in DTln=(DT1-DT2)/ln(DT1/DT2)

{Logaritmic average}

Scopo principale è valutare il coefficiente di scambio termico che può essere ricavato localmente come rapporto tra il flusso termico in direzione radiale e una differenza di temperatura caratteristica (2.22). Di particolare interesse è il calcolo del coefficiente di scambio alla parete del condotto dove la corrispondente temperatura caratteristica è data dalla differenza tra la temperatura di parete e quella di bulk .


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 22

Tw_in=Eval(T,z,ri)

{Wall T of the internal pipe}

Tb_in=Eval(Tb,z,ri)

{Bulk T of the internal pipe}

Tw_out=Eval(T,z,re)

{Wall T of the external pipe at re}

Tw_out_Rie=Eval(T,z,Rie)

{Wall T of the external pipe at Rie}

teta=(T-Tw_in)/(Tb_in-Tw_in)

{Adimensional Temperature}

q_in=eval(qr,z,ri)

{heat flux at ri}

h_in=abs(q_in/(Tb_in-Tw_in))

{heat coefficient at ri}

q_out=Eval(qr,z,re)

{heat flux at re}

h_out=abs(q_out/(Tb_e-Tw_out))

{heat coefficient at re}

Poiché non si è interessati ad un valore locale del coefficiente di scambio, ma ad uno che sia caratteristico dell’intera lunghezza dello scambiatore, si effettua una media integrale come analizzato nella (2.23) ricorrendo al comando Line_INTEGRAL: h_in_medio=Line_INTEGRAL(h_in,'Interno')/L

{avarege heat coefficient in the internal pipe}

h_out_medio=Line_INTEGRAL(h_out,'Esterno')/L {avarege heat coefficient in the external pipe}

Dove interno ed esterno indicano lo spazio su cui deve essere effettuata l’integrazione e sono definite nella sezione Feature: Feature Start'Interno' (0,ri) {Line from 0 to L at r=ri} Line to (L,ri) Start'Esterno' (0,re) {Line from 0 to L at r=re} Line to (L,re)

Una volta ricavati i coefficienti di scambio termico per il tubo interno e quello esterno, combinando in serie le resistenze (2.24) si ottiene il coefficiente di scambio globale U: U_m=1/ri*((1/(h_in_medio*ri))+(ln(re/ri)/cond_tubo)+1/(h_out_medio*re))^(-1) {Global coefficient}

heat


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 23

Figura 11: profilo del coefficiente di scambio termico nel tubo interno, esterno e globale

Per verificare lo scambio termico tra i fluidi si è valutata la portata termica attraversante lo scambiatore, uscente dal tubo esterno (r=re) ed entrante nel tubo interno (r=ri): Qs_in=abs(Line_integral(-2*pi*ri*qr,'interno')) {Heat entering the internal pipe at ri} Qs_out=abs(Line_integral(-2*pi*re*qr,'esterno')) {Heat exiting the external pipe at re}

I valori delle portate termiche restituiti dal programma non coincidono perfettamente. Imputando questa differenza alle sole oscillazioni del flusso, presenti in modo marcato nella sezione di ingresso, si è andato a smorzare questo andamento effettuando una media.

Figura 12: Andamento del flusso termico (q_in) e flusso termico mediato ogni 10 valori (q_in10)

Figura 13: Andamento del flusso termico (q_out) e flusso termico mediato ogni 10 valori (q_out10)

In questo modo si è ridotta la differenza delle portate termiche giungendo a discrepanze di circa un punto percentuale.


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 24

3.2.3 Equations Avendo due variabili è necessario fornire due equazioni: EQUATIONS ITb: dr(ITb)-2*PI*r*vz*T= 1e-16*dzz(ITb) Por: dr(Por)-2*PI*r*vz= 1e-16*dzz(Por)

Entrambe al primo membro prevedono nient’altro che la definizione della derivata delle variabili e mentre al secondo membro trova posto un termine che ha lo scopo di rendere possibile la risoluzione. Infatti FlexPDE risolve soltanto equazioni differenziali del secondo ordine e il coefficiente molto piccolo ha lo scopo di annullare il peso di questo termine nella risoluzione dell’equazione. 3.2.4 Boundaries Attraverso l’utilizzo delle regioni si va a definire il sistema, inoltre si inseriscono in questa fase le opportune condizioni al contorno. BOUNDARIES

{ The domain definition }

REGION 1 START(0,0) LINE TO (0,ri) LINE TO (0,re) LINE TO (0,Rie) LINE TO (0,Ree) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 LINE TO (L,Ree) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 LINE TO (L,Rie) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 LINE TO (L,re) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 LINE TO (L,ri) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 LINE TO (L,0) value(ITb)=0

value(Por)=0

LINE TO CLOSE

REGION 2

{Thickness of the external pipe}

vz=0 start(0,Rie) line to (0,Ree) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 line to (L,Ree) to (L,Rie) to close

REGION 3

{Anular section}

vz=vzout start(0,re) line to (0,Rie) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 line to (L,Rie) to (L,re) to close

REGION 4

{Thickness of the internal pipe}

vz=0 start(0,ri) line to (0,re) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 line to (L,re) to (L,ri) to close

REGION 5

{Cylindric section}


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 25

vz=vzin Tb=ITb/Por start(0,0) line to (0,ri) natural(ITb)=0 natural(Por)=0 line to (L,ri) to (L,0) to close

3.2.5 Monitors Sfruttando i comandi presenti nello spazio Monitors si ha una visione real time delle risposte grafiche del problema. In particolare si vanno a visualizzare le temperature di bulk, il valore del flusso alla parete dei condotti e i coefficienti di scambio. Tutti questi parametri sono diagrammati contro la lunghezza dello scambiatore. MONITORS

{ show progress }

GRID(z,r) elevation(Tb_in,Tb_e) as "Bulk Temperatures" from (0,Rie) to (L,Rie) elevation(Tw_in,Tb_in) as "Bulk and Wall T of the internal fluid" from(0,ri) to (L,ri) elevation(Tw_out,Tw_out_Rie,Tb_e) as "Bulk and Wall T of the external fluid" from(0,re) to (L,re) elevation(q_in) as "heat flux q_in at r=ri" from(0,ri) to (L,ri) log elevation(q_out) as "heat flux q_out at r=re" from(0,re) to (L,re) log elevation(h_in,h_out,U) as "heat coefficients" from(0,ri) to (L,ri) log

3.2.6 Plots La risposta finale al problema è rappresentata attraverso i plots. Di particolare interesse sono i grafici relativi al coefficiente di scambio che sono in scala semi logaritmica per una miglior comprensione delle informazioni. Un approfondimento sul grafico della temperatura adimensionale sarà effettuato nel capitolo successivo. PLOTS

{ save result displays }

GRID(z,r) vector(v) zoom (0,0,L,Ree) contour(T) zoom (0,0,L,Ree) contour(teta) zoom (0,0,L,ri)

PNG ( 2000, 1) painted

PNG ( 2000, 1)

elevation(Tb_in,Tb_e) as "Bulk Temperatures" from (0,Rie) to (L,Rie)

PNG ( 2000, 1)

elevation(Tw_in,Tb_in) as "T of the int. fluid" from(0,ri) to(L,ri) PNG(2000,1) elevation(Tw_out,Tb_e) as "T of the external fluid" from(0,re) to(L,re) PNG (2000,1) elevation(q_in) as "heat flux q_in at r=ri" from(0,ri) to (L,ri) elevation(q_out) as "heat flux q_out at r=re" from(0,re) to (L,re) elevation(h_in,h_out,U) as "heat coefficients" from(0,ri) to (L,ri) log

summary report(Tb1_in)

{Bulk T of the internal pipe at the inlet section}

report(Tb1_out)

{Bulk T of the external pipe at the inlet section}

report(Tb2_in)

{Bulk T of the internal pipe at the outlet section}


Capitolo Tre. report(Tb2_out) report(DTln)

report(h_in_medio) report(h_out_medio) report(U_m)

report(Qs_in) report(Qs_out)

END

Il modello {Bulk T of the external pipe at the outlet section}

Pag. 26


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 27

3.3 Implementazione della fluidodinamica In questo lavoro è stato implementato inizialmente anche il modello fluidodinamico in grado di descrivere il campo di moto di entrambi i fluidi nei rispettivi condotti. È richiesta però una notevole potenza di calcolo per la risoluzione, nell’intero dominio, delle equazioni differenziali necessarie. Per questo motivo si è scelto in seguito di alleggerire la procedura di calcolo fissando i profili di velocità, nel rispetto dei risultati ottenuti con questo script, come descritto nella sezione 3.1.2.2 Fluidodinamica 3.3.1 Variables Le variabili di questo script sono la pressione p e le componenti della velocità vz e vr. Per aumentare la potenza di calcolo ed usare (anche se solo in parte con Flexpde 5) il secondo processore (per computer dual-core) si è inserito il comando SELECT THREADS = 2 SELECT

{ method controls }

SELECT THREADS = 2 errlim=0.1 VARIABLES

{ system variables }

vz vr p

3.3.2 Equations Si va a definire un’equazione per ogni variabile utilizzando per le componenti della velocità le rispettive equazioni del moto (2.11) in coordinate cilindriche nelle ipotesi fatte nella sezione 2.1.2 Equazione del moto EQUATIONS vr:

dens*(vr*dr(vr)+vz*dz(vr))+dr(p)-visc*div(grad(vr))=0

vz:

dens*(vr*dr(vz)+vz*dz(vz))+dz(p)-visc*div(grad(vz))=0

p:

div(grad(p))+dens_in*(1/r*dr(r*vr*dr(vr)+r*vz*dz(vr))+dz(vr*dr(vz)+vz*dz(vz)))+ -c*(visc/(ri^2))* div(v)=0

Solitamente avendo tre incognite p, vz e vr il problema si chiuderebbe accoppiando all’equazioni del moto l’equazione di continuità ma, data l’impossibilità di FlexPDE di risolvere equazioni del primo ordine, è necessario ricorrere ad un artefatto matematico in grado di generare un’equazione sostitutiva. Considerando la divergenza dell’equazione di Navier-Stokes e sfruttando in questa l’equazione di continuità nella forma si ottiene [4]: [(

) ]

(3.2)

Per essere sicuri di soddisfare quest’ultima equazione si aggiunge un termine che ha lo scopo di forzare la convergenza: [(

) ]

(

)

(3.3)

Dove il fattore c è scelto sperimentalmente e deve essere grande abbastanza da minimizzare la div(v), L è invece la grandezza caratteristica del problema.


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 28

3.3.3 Boundaries In questa sezione si va a delineare il dominio del problema imponendo le opportune condizioni al contorno. BOUNDARIES

{ The domain definition }

REGION 1 START(0,0) value(vz)=vz0_in

natural(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (0,ri)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (0,re)

value(vz)=vz0_out

natural(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (0,Rie)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (0,Ree)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (L,Ree)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (L,Rie)

natural(vz)=0

value(vr)=0

value(p)=0

LINE TO (L,re)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (L,ri)

natural(vz)=0

value(vr)=0

value(p)=0

LINE TO (L,0)

natural(vz)=0

natural(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO CLOSE {***}

REGION 2

{Thickness of the external pipe}

visc=visc_tubo dens=dens_tubo start(0,Rie) value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (0,Ree)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO (L,Ree)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

LINE TO

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

line to close

REGION 3

(L,Rie)

{Anular section}

visc=visc_out dens=dens_out start(0,re) value(vz)=vz0_out

natural(vr)=0

natural(p)=0

line to (0,Rie)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

line to (L,Rie)

natural(vz)=0

value(vr)=0

value(p)=0

LINE TO (L,re)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

line to close

REGION 4

{Thickness of the internal pipe}

visc=visc_tubo dens=dens_tubo start(0,ri) value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

line to (0,re)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

line to (L,re)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

line to (L,ri)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

line to close


Capitolo Tre. REGION 5

Il modello

Pag. 29

{Cylindric section}

visc=visc_in dens=dens_in start(0,0) value(vz)=vz0_in

natural(vr)=0

natural(p)=0

line to (0,ri)

value(vz)=0

value(vr)=0

natural(p)=0

line to (L,ri)

natural(vz)=0

value(vr)=0

value(p)=0

line to (L,0)

natural(vz)=0

natural(vr)=0

natural(p)=0

line to close

3.3.4 Verifica della portata In questo script è presente una parte adibita alla verifica della corretta risoluzione del problema basata sul calcolo della portata. La si valuta in direzione assiale in tre sezioni caratteristiche come mostrato nell’equazione 2.12: Por_in0=Line_INTEGRAL(2*Pi*r*vz,'Internal @z=0') Por_inM=Line_INTEGRAL(2*Pi*r*vz,'Internal @z=L/2') Por_inL=Line_INTEGRAL(2*Pi*r*vz,'Internal @z=L')

Por_out0=Line_INTEGRAL(2*Pi*r*vz,'External @z=0') Por_outM=Line_INTEGRAL(2*Pi*r*vz,'External @z=L/2') Por_outL=Line_INTEGRAL(2*Pi*r*vz,'External @z=L')

Le regioni sono state definite mediante il comando Feature: Feature Start'Internal @z=0'

(0.01*L,0)

Line to (0.01*L,ri)

Start'Internal @z=L/2' (L/2,0)

Line to (L/2,ri)

Start'Internal @z=L'

(L,0)

Line to (L,ri)

Start'External @z=0'

(0.01*L,re)

Line to (0.01*L,Rie)

Start'External @z=L/2' (L/2,re)

Line to (L/2,Rie)

Start'External @z=L'

Line to (L,Rie)

(L,re)

Tramite i SUMMARY (comando che permette la visualizzazione a schermo del risultato) è possibile verificare il valore della portata: SUMMARY report(Por_in0) report(Por_inM) report(Por_inL) report(Por_out0) report(Por_outM) report(Por_outL)


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 30

3.3.5 Problematiche legate alla risoluzione Durante lo sviluppo e prova di questo script sono state riscontrate diverse difficoltà, alcune legate alla convergenza del problema, altre legate alla potenza di calcolo e quindi ai tempi di risoluzione richiesti. Le prime sono state risolte mediante l’utilizzo della funzione STAGED applicata alle viscosità dei fluidi. Invece i problemi legati al tempo di risoluzione sono stati solo in parte risolti utilizzando il comando SELECT THREADS = 2 e cercando di limitare il numero di nodi (rendere quindi meno fitta la mesh). Ciò si è effettuato mediante il comando NODELIMIT che agisce direttamente sul numero di nodi ed ERRLIM che definisce la percentuale di errore che si accetta sulle variabili (es. errlim=0.1 si accetta il 10% di errore). Data però l’elevata lunghezza dello scambiatore anche limitando al minimo il numero di nodi i tempi richiesti risultano di diverse ore. Ad ogni modo sono state effettuate alcune prove i cui risultati mostrano che il campo di moto, che tende a svilupparsi per le velocità di interesse (0.01-0.1 m/s), è di tipo parabolico:

Figura 14: Contour bidimensionale della velocità


Capitolo Tre.

Il modello

Figura 15: Profilo di velocità all'ingresso dello scambiatore

Figura 16: Profilo di velocità al centro dello scambiatore

Figura 17: Profilo di velocità all'uscita dello scambiatore

Pag. 31


Capitolo Tre.

Il modello

Pag. 32

Si è deciso quindi di implementare negli Script 1 e 2 (sezioni 3.1 Script 1 e 3.2 Script 2) direttamente il profilo di tipo parabolico svincolandosi da queste problematiche: ( )

[

(

)

( ) ]

(

( )

( ) ( Dove

.

)

)

( )

(

)

(3.4)


Capitolo Quattro

Validazione della simulazione

In questo capitolo vengono confrontate le risposte ottenute dalla simulazione con quelle provenienti dalla teoria allo scopo di validarne i risultati.

[33]


Capitolo Quattro.

Validazione della simulazione

Pag. 34

4.1 Analisi dei profili di temperatura Di seguito vengono presentati i risultati ottenuti con la configurazione equicorrente con acqua in entrambi i tubi. La geometria è stata fissata a:   

Lunghezza: 1.9 m Diametro interno: 0.02 m Diametro idraulico: 0.1 m

4.1.1 Evoluzione del profilo termico nello scambiatore Partendo da un profilo piatto di temperatura in ingresso, 300 K per il fluido interno e 360 K per quello esterno, si nota lo sviluppo dei seguenti profili lungo l’apparecchiatura:

Figura 18: profilo di temperatura all'ingresso dello scambiatore


Capitolo Quattro.

Validazione della simulazione

Pag. 35

Figura 19: profilo di temperatura al centro dello scambiatore

Figura 20: profilo di temperatura all'uscita dello scambiatore

Come ci si aspettava la parte di fluido maggiormente interessata dalla variazione di temperatura è quella in prossimità della parete di separazione. Qui è infatti massimo il flusso per l’elevato gradiente di temperatura. Nello spessore del tubo il profilo di temperatura è praticamente piatto per l’elevata conducibilità del solido. Inoltre si evidenzia che all’asse la curva tende ad appiattirsi rispettando la condizione di simmetria. Piccole differenze da questo andamento sono legate all’accuratezza della risoluzione numerica.


Capitolo Quattro.

Validazione della simulazione

Pag. 36

4.1.2 La lunghezza di imbocco termica In questo paragrafo si vuole evidenziare l’effetto della velocità di attraversamento sul profilo di temperatura nello scambiatore, nell’ipotesi di cinematica sviluppata. Dai contours seguenti (Figure 22-29), ordinati secondo un numero di Re crescente, si evince che lo strato di fluido interessato dalla variazione di temperatura decresce man mano che la velocità di attraversamento aumenta. La distanza in cui la variazione di temperatura raggiunge il centro del condotto prende il nome di lunghezza di imbocco termica. Graficamente si individua considerando che lo strato limite termico (regione interessata dalla variazione di temperatura) raggiunge uno spessore δT pari al raggio.

δT

LIT

Figura 21: Lunghezza di imbocco termica

In particolare si nota che solamente nei primi tre grafici (Re=100,200,400) la variazione di temperatura è avvertita anche all’asse del tubo interno.


Capitolo Quattro.

Validazione della simulazione

Pag. 37

Figura 22: Profili di temperatura a Re=100

Figura 23: Profili di temperatura a Re=200

Figura 24: Profili di temperatura a Re=400

Figura 25: Profili di temperatura a Re=600


Capitolo Quattro.

Validazione della simulazione

Pag. 38

Figura 26: Profili di temperatura a Re=1000

Figura 27: Profili di temperatura a Re=1200

Figura 28: Profili di temperatura a Re=1600

Figura 29: Profili di temperatura a Re=2000

Un confronto tra i risultati sperimentali ed espressioni teoriche può essere effettuato considerando la semplificazione di condotto a temperatura di parete costante, ipotesi non molto dissimile dal risultato ottenuto. In queste condizioni la risoluzione del problema del Graetz, mediante l’approssimazione di Lévêque, fornisce la seguente espressione per la lunghezza di imbocco termica: (4.1) I valori ricavati da questa equazione, mostrati nella tabella seguente, sono ben confrontabili con i risultati modellistici ottenuti.


Capitolo Quattro.

Validazione della simulazione

Pag. 39

LIT ottenute dalla risoluzione del problema del Graetz Re

LIT [m]

100

0,47

200

0,93

400

1,86

600

2,79

1000

4,65

1200

5,58

1600

7,44

2000

9,30

Caratteristica del trasporto di calore in condotti è che il profilo di temperatura non si sviluppa mai (fatta eccezione per moto con generazione interna e a T di parete costante), ossia è sempre funzione della distanza z: (4.2) Definendo però una temperatura adimensionale: (

) ( )

( ) ( )

(4.3)

Si nota che raggiunta la lunghezza di imbocco termica: (4.4) Ossia la temperatura T e la temperatura di bulk Tb variano allo stesso modo lungo z. Questo fenomeno è riscontrabile anche dalla risposta del modello, come mostrato dalle Figure 30-32.


Capitolo Quattro.

Validazione della simulazione

LIT

Pag. 40

LIT

Figura 30: Temperatura adimensionale a Re=100

Figura 31: Temperatura adimensionale a Re=200

LIT

Figura 32: Temperatura adimensionale a Re=400

Figura 33: Temperatura adimensionale a Re=2000

Nei casi in cui Re=100, 200, 400 si nota che la pendenza della temperatura adimensionale si annulla al raggiungere della lunghezza di imbocco. Ciò invece non avviene per tutti gli altri casi, un esempio è la Figura 33. Altra conseguenza del raggiungimento della lunghezza di imbocco termica è che il numero di Nusselt, e quindi il coefficiente di scambio termico, diviene costante. Anche in questo caso si è avuto un riscontro modellistico.


Capitolo Quattro.

Validazione della simulazione

4,36 qw=cost.

3,66 Tw=cost.

Figura 34: Andamento del numero di Nusselt locale

Pag. 41


Capitolo Cinque

La sezione anulare: i risultati sperimentali e la loro descrizione

Nella sezione anulare la differenza riscontrata tra i risultati sperimentali e le equazioni empiriche per il calcolo del coefficiente di scambio, ha portato alle stesura di questo capitolo. Vengono qui proposti due approcci modellistici per la risoluzione di questa problematica.


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

Pag. 43

5.1 Utilizzo della simulazione Dopo aver implementato il modello descrittivo dello scambiatore di calore in regime laminare, si è utilizzato questo tool come se fosse un’apparecchiatura reale. Col diffondersi degli scambiatori di calore a tubi concentrici sono stati effettuati diversi studi mirati ad analizzarne la capacità di trasferimento di calore, in particolare nella sezione anulare. La letteratura è carente di correlazioni che descrivono accuratamente il coefficiente di scambio di calore (h e quindi Nu) negli anelli concentrici. È presente tuttavia un lavoro [5] che analizza il problema in condizioni di moto turbolento. Avendo a disposizione un modello funzionante in regime laminare, si è cercato di ottenere una relazione empirica per il numero di Nu, in modo analogo a quanto fatto da J. Dirker e J.P. Meyer [5]. Per far ciò è stato simulato uno scambiatore in equicorrente, utilizzando acqua in entrambi i condotti ed acciaio per la struttura, caratterizzato dai seguenti parametri: Parametri geometrici [m] ri

0.01

0.02

re

0.012

0.022

Rie

0.017

0.032

Ree

0.019

0.034

Dh

0.01

0.02

Parametri fisici Acqua µ [Pa s]

-3

Acciao

10

/

ρ [kg/m ]

1000

7800

Cp [J/(kg K)]

4185

500

k [W/(m K)]

0.6

100

3

Figura 35: Schematizzazione dello scambiatore di calore

La temperatura in ingresso del fluido caldo è di 360 K, quella del fluido freddo è 300 K.


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

Pag. 44

5.2 Modello a due parametri: c e p 5.2.1 Analisi teorica del problema (

È noto che in regime laminare

).

È stato assunto che entrambi i numeri di Nusselt relativi alla sezione circolare e a quella anulare siano influenzati da questi parametri. In particolare per la sezione circolare, visti i precedenti studi presenti in letteratura, è consigliato utilizzare l’equazione di Sieder e Tate (2.28): (

(2.28)

)

Similmente per la sezione anulare si è scelto un modello analogo: (

(5.1)

)

Considerando in prima analisi unicamente la dipendenza da un fattore pre-moltiplicativo c e dal numero di Reynolds mediante un esponente p. Per i restanti parametri si è mantenuta la stessa funzionalità della Sieder e Tate. Partendo dalla 5.1 è possibile scrivere: (

( )

) (

( )

)

(5.2) (5.3)

Andando a rappresentare i dati sperimentali su un diagramma Log(Nu/A)-Log(Re) ed effettuando una regressione lineare è possibile ottenere i valori di c e p rispettivamente dall’intercetta e dalla pendenza della retta.


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

Pag. 45

Figura 36:Valutazione dei parametri del modello c e p

5.2.2 Calcolo dei parametri Sono state effettuate numerose simulazioni sullo scambiatore per cercare di ricavare un’espressione generale capace di descrivere il coefficiente di scambio termico nella sezione anulare. Innanzitutto fissata la lunghezza dell’unità, quindi la geometria del problema, si sono realizzate differenti prove andando unicamente a variare la velocità di attraversamento dei condotti. In questo modo ogni singola simulazione ha permesso di determinare un punto ( ) come mostrato in Figura 36. sperimentale sul diagramma ( ) contro Avendo a disposizione un numero sufficiente di prove, utilizzando una regressione di tipo lineare, si sono così valutati i parametri c e p del modello ipotizzato. Poiché questa analisi è stata condotta per una particolare geometria, avendo fissato L e Dh, si è cercato di generalizzare il problema andando prima a studiare l’effetto della lunghezza e successivamente a modificare il diametro idraulico, realizzando i set di prove riportate in Figura 37.


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

Pag. 46

Figura 37: Prove di simulazione effettuate sullo scambiatore

Nel secondo set di prove si è raddoppiato il diametro idraulico e volendo mantenere invariato il numero di Reynolds si è dimezzata la velocità di attraversamento dei condotti. I risultati numerici ottenuti in termini di c e p dalle prove effettuate, sono qui riassunti:

Figura 38: Risultati delle prove

Utizzando i parametri c e p, riferiti alle rispettive prove, attraverso il modello proposto si sono ottenuti i seguenti risultati:


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

Pag. 47

5.2.3 Considerazioni sui parametri del modello Si è tentato a questo punto di generalizzare i parametri c e p andando a valutare il loro andamento contro il rapporto Dh/L. I risultati sono mostrati di seguito:


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

Pag. 48

Figura 39: Andamento del parametro "c" al variare di Dh/L

Figura 40: Andamento del parametro "p" al variare di Dh/L

Il coefficiente pre-moltiplicativo c presenta un andamento decrescente al crescere del rapporto tra il diametro idraulico e la lunghezza dello scambiatore, p invece presenta un trend inverso. Ad ogni modo non è stato possibile generalizzare in quanto i risultati non sembrano appartenere ad un’unica funzione. In particolare si è riscontrato un andamento nettamente differente al cambio del diametro idraulico. Con tutta probabilità questa fenomeno è dovuto alla dipendenza da un altro parametro non considerato nella 5.1 e strettamente legato alla geometria. Come evidenziato in [5] anche in questo caso sembra esserci una dipendenza del numero di Nusselt dal rapporto dei diametri della sezione anulare (Do/Di).


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

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Le condizioni in cui le prove sono state effettuate, però, non permettono di poter analizzare la funzionalità di c e p al variare di Do/Di in quanto si hanno a disposizione solamente due valori tra l’altro molto vicini tra loro. Ulteriori prove potrebbero essere effettuate nell’ottica di ottenere una dipendenza del numero di Nu anche da quest’ultimo parametro, permettendo così di ottenere un modello generalizzato.


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

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5.3 Modello 2: Sieder-Tate più Nu0 Si è notato che l’andamento sperimentale dei Nu ottenuto da FlexPDE ha una forma molto simile al Nu ricavato dalla Sieder-Tate. In particolare sembra essere presente uno scostamento costante tra i due. Alcuni esempi sono riportati nei grafici seguenti dove si riporta anche la differenza tra il valore sperimentale e quello ricavato dalla ST:

Figura 41: Confronto tra Nusselt sperimentale e Nu di Sieder-Tate

Si è quindi ipotizzato un nuovo modello basato sulla Sieder-Tate tal quale a cui si aggiunge un termine costante: (

)

(5.4)


Capitolo Cinque.

La sezione anulare

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Il valore del Nu0 è stato ottenuto dall’intercetta della retta di regressione dei punti ottenuti dalla differenza dei NuFPDE e del NuST, come si nota dai grafici sovrastanti. I risultati delle singole prove sono mostrati in figura:

Figura 42: Valori del Nu0 per le differenti simulazioni

Cercando a questo punto un valore generalizzato per il Nu0, si è scelto di utilizzare il valor medio delle diverse prove, che è pari a 3.32. Ovviamente questo valore è il risultato di un numero ristretto di test. Sicuramente effettuando un numero maggiore di simulazioni in condizioni differenti si potrebbe ottenere una stima migliore del Nu0. L’espressione 5.4 diventa: (

)

Questa forma sembra ben descrivere quelli che sono i risultati “sperimentali”.

(5.5)


Capitolo Cinque.

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Figura 43: Confronto tra Nu sperimentale e Nu del modello(5.5)

L’equazione 5.5 è molto precisa per lunghezze dello scambiatore fino a 2.5 m mentre per valori superiori tende a divergere ad alti valori di Re come si evince nel grafico sottostante:

Figura 44: Effetto della lunghezza dello scambiatore sul modello proposto


Capitolo Sei

Conclusioni

In questo capitolo sono riportate le conclusioni in merito al lavoro svolto illustrandone i possibili sviluppi futuri.


Capitolo Sei.

Conclusioni

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6.1 Conclusioni Questo lavoro è innanzitutto una dimostrazione di come sia possibile sostituire un’apparecchiatura reale mediante l’utilizzo di un modello basato sulle equazioni di trasporto. Un tool di questo tipo presenta il vantaggio di non rendere necessaria, almeno in una fase preliminare di ricerca, l’apparecchiatura fisica, con notevoli risparmi economici. Dopo aver quindi descritto dal punto di vista fluidodinamico e termico il sistema si sono andante a verificare le risposte modellistiche ottenute, confrontandole con i risultati forniti dalla teoria. Solo dopo questa fase di validazione è stato possibile utilizzarlo come strumento predittivo e sostitutivo di un’apparecchiatura reale. È stato poi affrontato un problema caratteristico dei fenomeni di trasporto: l’analisi del coefficiente di scambio termico, nella sezione anulare, in regime laminare. Partendo dall’equazione di Sieder-Tate, valida nella sezione circolare, si è giunti a sviluppare due modelli per il numero di Nusselt nella sezione anulare. Il primo, basato su due parametri (c e p), ha evidenziato che il numero di Nusselt oltre a dipendere dai parametri Re, Pr, D/L mostra una forte dipendenza da un altro fattore geometrico riconducibile al rapporto tra i diametri. Tuttavia in questo lavoro non è stato possibile ricavare un’espressione generalizzata, ma sono state gettate le basi per eventuali sviluppi futuri. Nel secondo modello proposto, di natura puramente empirica, si è sfruttata l’equazione di Sieder-Tate per poi giungere ad una nuova espressione del numero di Nusselt, che ben descrive l’andamento dei dati sperimentali. In questo caso, sulla base dei dati a disposizione, è stato possibile ottenere una relazione di valenza generica. In entrambi i casi sarebbe opportuno approfondire l’analisi del sistema in condizioni operative differenti, in particolare variando il rapporto tra i diametri dei condotti. In questo modo si potrebbe ampliare il campo di validità delle equazioni proposte giungendo ad espressioni generalizzate.


Bibliografia

1.

http://www.engineeringtoolbox.com/

2.

http://www.tpg.unige.it

3.

http://www.pdesolutions.com

4.

B. Gunnar Backstrom, Simple Fields of Physics by Finite Element Analysis, GB Publishing.

5.

J.Dirker, J.P. Meyer, Heat Transfer Coefficients in Concentric Annuli, Journal of Heat Transfer, 2002


Scambiatore di calore con Flexpde