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Lectura 2.2 2.2 PROPORCIONES Al repartir conviene saber cómo será el reparto; igual para todos o según los méritos de cada uno. Por ejemplo si un Padre reparte una caja de 100 chocolates a sus cuatro hijos de acuerdo con sus edades, que son 11, 9, 7 y 4 años, respectivamente, ¿Cuántos chocolates recibe cada uno y cuántos le quedan al padre, si los chocolates se deben repartir enteros? Una opción es que el padre reparta uno a uno, es decir un chocolate por cada año de edad del hijo y entonces tendríamos, que el primero recibe once, el segundo 9, el tercero 7 y el cuarto 4, gastándose 31 chocolates, si dividimos 100 entre 31 tenemos resultan 3 y sobran 7. Así cada hijo recibirá ( de acuerdo a su edad): 1º. 11 x 3 = 33 2º.

9 x 3 = 27

3º.

7 x 3 = 21

4º.

4 x 3 = 12 93 chocolates

Esta forma de repartir se puede escribir así: 11:9:7:4, si se hubiera repartido a partes iguales 1:1:1:1 ( 1+1+1+1=4, 100/4=25), a cada hijo le hubieran tocado 25 chocolates y el padre se quedaría con la caja vacía. Lo anterior es un ejemplo de razón geométrica, ahora si nosotros igualamos dos razones estaremos buscando una proporción. Pensemos en lo siguiente: Con dos carretillas de grava triturada y un bulto de cemento, se logra una mezcla de preconcreto bien proporcionada. 2) La cantidad de sal, debe de ser proporcional a la cantidad de comida. 1)

Para que exista una proporción es necesario que haya correspondencia entre los elementos que intervienen.

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De acuerdo a lo anterior tenemos:

1 6 = 2 12 Realizaremos el siguiente artificio para poder definir los elementos de una proporción fácilmente, hagamos girar sin números la estructura de la proporción. La estructura de la proporción es de acuerdo a los símbolos de la expresión anterior :

=

Al girar tendremos: Las líneas de la estructura las representamos

: :: :

ahora con puntos: La proporción en la nueva estructura queda 1 : 2así: :: 6

Se lee la siguiente manera:

: 12

1 es a 2 como 6 es a

12 Y de aquí surgen los nombres de los elementos por su posición: 1 extremo

:

2 medio

::

6 medio

:

12 extremo

Una propiedad fundamental en las proporciones es:

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“ EL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS MEDIOS”

1 6 = 2 12

extremos × extremos = medios × medios 1 ×

12 12

= =

2

× 6 12

Que si recordamos es también el procedimiento para comprobar que dos fracciones son equivalentes. Hemos empezado a trabajar con la simbología de igualdad, pero ¿qué es una igualdad y cuál es su importancia en las matemáticas? Veamos el siguiente material: Igualdades. Una igualdad es una expresión matemática que representa la relación entre 2 cosas iguales, el símbolo usado para representar una igualdad es: ( = ). Ejemplo:

2+ 1= 3 5+ 3= 4+ 4 Si observamos las expresiones anteriores nos podemos dar cuenta que los elementos de una igualdad son: Primer miembro = Segundo miembro Las igualdades se rigen por ciertas propiedades que nos facilitan el trabajo con ellas. Recordemos que una propiedad es una característica que le pertenece a algo o a alguien. •

Propiedad idéntica o refleja: “ Todo número es igual a si mismo”.

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4= 4 a= a •

Propiedad simétrica o reciproca: “ En toda igualdad podemos permutar sus miembros y la igualdad persiste” 5=3+2

o bien,

3+2=5

a=b

o bien,

b=a

Propiedad transitiva: “Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí” 8 = 5+3 4+4 = 8 4+4 = 5+3

Propiedad uniforme: “ Si a los dos miembros de una igualdad se les suma, resta, multiplica, divide, potencia o radica por el mismo número, la igualdad persiste” 5=5 5+1 = 5+1

sumamos uno en ambos miembros.

6=6 6-4 = 6-4

restamos cuatro unidades en ambos miembros.

2=2 2x6=2x6

multiplicamos por seis ambos miembros.

12 = 12 etc. •

Propiedad de sustitución: “ Todo número o valor puede ser sustituido por su igual” X+8=12 Si x=4 Al sustituir:

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4+8=12 •

Propiedad aditiva: “ Dos o más igualdades pueden sumarse o restarse miembro a miembro y el resultado será otra igualdad” (1) (2)

3+2=4+1 4=2+2 3+2=4+1

menos

4=2+2 3+2-4=4+1-2-2 1=1

Después de recordar lo anterior podemos enfocar nuestra atención a encontrar el valor de uno de los cuatro elementos de una proporción si este se desconoce. Consideremos la siguiente proporción:

2 4 = 3 X Aplicando la propiedad tenemos:

2( X ) = 3 × 4 2 X = 12  1  1   2 X = 12   2  2 X= 6 Ejemplo 1: Obtén el valor de x:

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2 4 = 7 X Considerando que la expresión anterior representa una proporción tenemos: el producto de los extremos es igual al producto de los medios, y como loe extremos son el 2 y la x, y los medios el 7 y el 4: 2 X = 4(7) Aplicando la propiedad uniforme, dividimos entre 2 ambos miembros y entonces: 2 X 28 = 2 2 X = 14 Lo que nos indica que el valor que la X tiene que tomar para que la proporción se cumpla es 14. Ejemplo 2: Si para preparar un pastel se utilizaron 2 kg de harina y 18 huevos, ¿Cuántos huevos se necesitarán para 5 kg de harina? Observemos que al expresarlo en forma matemática relacionamos la información inicial, 2 Kg de harina es a 18 huevos de manera que la expresión queda: 2 Kg 5 Kg = 18 huevos X Y al igual que el ejemplo anterior aplicamos las propiedades de las igualdades: 2 Kg 5 Kg = 18 huevos X 2 X = 5(18) 2 X = 90 2 X 90 = 2 2 X = 45 Así que, la respuesta al problema será: El número de huevos que se requieren para el pastel que lleva 5 Kg de harina es de 45.

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Proporciones