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Ecuaciones. • Igualdad Una i g u a l d a d se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x − 2 Una igualdad puede ser: Falsa:

2x + 1 = 2 (x + 1)

2x + 1 = 2x + 2 1≠2.

Cierta

2x + 2 = 2 (x + 1)

2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

• Identidad U n a i d e n t i d a d e s u n a i g u a l d a d q u e s e ve r i f i c a p a r a c u a l e s q u i e r a va l o r e s d e l a s l e t r a s q u e e n t r a n e n e l l a . Así, (a-b)² = (a-b) (a+b) a² - m² = (a +m) (a – m) Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo. •

Ecuación

Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se ve r i f i c a o e s v e r d a d e r a p a r a d e t e r m i n a d o s va l o r e s d e l a s


incógnitas. Las incógnitas se pueden representar por cualquier l et r a d e l a l f a b e t o . x+1=2

x=1

Los m i e m b r o s de una ecuación son c a d a u n a d e l a s e x p r e s i o n e s q u e aparecen a ambos lados del signo igual. Los t ér m i n o s s o n l o s s u m a n d o s q u e f o r m a n l o s m i e m b r o s.

Las i n c ó g n i t a s s o n l a s l e t r a s q u e a p a r e c e n e n l a e c u a c i ó n . Las s o l u c i o n e s son los v a l o r e s q u e d e b e n t om a r l a s l e t r a s p a r a q u e l a igualdad sea cierta. 2x − 3 = 3x + 2

x = −5

2(−5) − 3 = 3(−5) + 2 − 10 −3 = −15 + 2

−13 = −13

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. E j e m pl o : 2x − 3 = 3x + 2

;

x = −5

x + 3 = −2

;

x = −5

El g r a d o de una ecuación es el m a yo r d e l o s g r a d o s d e l o s m o n o m i o s q u e f or m a n s u s m i e m b r o s .


Ti p o s d e e c u a c i o n e s s e g ú n s u g r a d o 5x + 3 = 2x +1

Ecuación de primer grado.

5x + 3 = 2x2 + x

Ecuación de segundo grado.

5x3 + 3 = 2x +x2

Ecuación de tercer grado.

5x3 + 3 = 2x4 +1

Ecuación de cuarto grado.

• Ecuaciones de primer grado o lineales Son del tipo a x + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

Ejemplo:

2x + 1 = -2 2x + 3 = 0 (x + 1)2 = x2 - 2 x2 + 2x + 1 = x2 – 2

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. Ejemplos: 1) Despejamos la incógnita:


2) Agrupamos

los

términos

semejantes

y

los

i n d e p e n d i e n t e s,

sumamos:

• Ecuaciones de primer grado o lineales con signos de agrupación E j e m pl o s : 1) Quitamos paréntesis:

A g r u p a m o s t ér m i n o s y s u m a m o s :

Despejamos la incógnita:

2 ) 3 x – ( 2 x - 1 ) = 7 x – ( 3 – 5 x) + ( - x + 2 4 ) Suprimiendo signos de agrupación 3x -2x +1 = 7x -3 +5x –x +24 Tr a n s p o n i e n d o t ér m i n o s 3x - 2x - 7x - 5x +x = -3 +24 -1 Reduciendo términos semejantes -10x = 20

y


X = -

20 10

,

x = - 2

Ecuaciones de primer grado o lineales con productos indicados

Ejemplo: Resolver la ecuación (3x-1)² -3(2x+3)² +42 = 2x(-x-5) – (x-1)² Solución: Desarrollando los cuadrados de los binomios 9x² -6x +1 -3(4x² +12x +9) +42 = 2x (-x-5) – (x²-2x +1) Suprimiendo los paréntesis 9x²-6x +1 -12x² -36x -27 +42 = -2x² -10x -x²+2x -1 -6x -36x +10x -2x = -1 -1 +27 -42 -34x = -17

x=

Ecuaciones

17 1 = 34 2

Fraccionarias de primer grado con denominadores

monomios. Ejemplos:

1) Quitam os denom inadores, para ello en pr imer lugar hallamos el m ínimo común múltiplo.


Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

2) Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos

denominadores,

agrupamos

semejantes:

3) Quitamos paréntesis interno:

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

y

sumamos

los

términos


Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

Ecuaciones Fraccionarias de primer grado con denominadores compuestos.

Ejemplo: Resolver

3 2 x +3 − − 2 =0 2x + 1 2x −1 4x −1

Solución: Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el m í n i m o c o m ú n m ú l t i p l o el cual es (2x+1) (2x-1) Dividiendo (2x+1) (2x-1) entre cada denominador y multiplicando cada cociente por el numerador respectivo, tendremos:3(2x-1) -2(2x+1) – (x+3) = 0 6x – 3 - 4x – 2 – x - 3 = 0 6x – 4x –x = 3+2+3 X=8


3 3 + =0 5 2 x −1

Resolver: 1)

R/ -2

2)

2 3 = 4 x −1 4 x + 1

R/

5 4

3)

3 1 − 2 =0 x +1 x −1

R/

4 3

4)

1 1 1 + = 3 x − 3 4 x + 4 12 x − 12

5)

3 2 8 = + 2 x − 4 x − 3 x − 7 x + 12 •

R/ 0

R/ 9

Problemas de Ecuaciones de primer grado Expresiones algebraicas comunes

El d o b l e o d u p l o de un número: 2x El t r i p l e de un número: 3x El c u á d r u p l o de un número: 4 x La m i t a d de un número: x /2 . Un t er c i o de un número: x /3 . Un c u a r t o de un número: x /4 . Un número es p r o p o r c i o n a l a 2, 3, 4,...: 2x , 3x , 4 x ,.. Un número al c u a d r a d o : x 2 Un número al c u b o : x 3 Dos números c o n s e c u t i v o s : x y x + 1 . Dos números c o n s e c u t i v o s p a r e s : 2x y 2 x + 2 . Dos números c o n s e c u t i v o s i m p a r e s : 2 x + 1 y 2 x + 3 .

Ejemplos: 1) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.


C

x

B

x + 40

A

x + 4 0 + 4 0 = x+ 8 0

x + x + 4 0 + x+ 8 0 = 1 8 0 ; 3x = 60;

x + x + x = 180 − 40 − 80;

x = 20

C = 20º

B = 20º + 40º = 6 0 º

A = 60º + 40º = 1 0 0 º

2) La suma de la tercera y la cuarta parte de un número equivale al duplo del número disminuido en 17. Hallar el número. Solución:

Sea Tendremos:

x = el número x = la tercera parte del número. 3 x = la cuarta parte del número. 4 2x = duplo del número.

De acuerdo con las condiciones del problema, tendremos la ecuación: x x + = 2 x − 17 3 4 Resolviendo: 4x+3x = 24x – 204 4x+3x -24x = - 204 -17x = -204 X=

204 = 12 , el número buscado. 17

Ecuaciones Lineales  

contiene ejemplos y problemas resueltos de ecuaciones lineales.

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