Short note คณิตศาสตร์ ม ปลาย

ตวั ชวยเกงคณ ิ พชิ ต ต ิ ทุกสนามสอบตอ งเลม น!ี้ !

คณิตศาสตร ื้ ฐาน + เพมิ่ เตมิ > <พน

ทวน อา นทบ

ื้ ฐานความ ู น ปพ รู

9

786164

300484

ราคา 120 บาท

<พื้นฐาน + เพิ่มเติม>

หมวด คู มือเร�ยน-สอบ

นงา ย สบายตาจงั เลม นอี้ า

เตรยี มตวั สอ บ

คณิตศาสตร

Short Note สีสันสดใสเลมนี้จะทำใหนองๆ สนุกกับการเรียนคณิตศาสตร เนื้อหาอานเขาใจงาย สบายตา เหมือนไดอาน Short Note สวยๆ ของเพื่อน ขนาดเลมกะทัดรัด พกพาไวไปทบทวนไดทุกที่ มีเลมนี้แลวอุนใจ แถมยังนำความรูที่ได ไปฝกทำโจทยที่ยากขึ้นไดอีกดวย

คณิตศาสตร ื้ ฐาน + เพมิ่ เตมิ > <พน

สรุปเนื้อหา สูตรตางๆ ของวิชาคณิตศาสตร ม. 4-5-6 มีแผนภาพ <Mind Map> และอธิบายความคิดรวบยอด <Concept> ทุกบท เพิ่มความเขาใจดวยตัวอยางการทำโจทยเบื้องตน ÕéäÇŒ ¾¡àÅ‹Á¹¨ŒÐ ¨ ã ÍØ‹¹

วชิรา โอภาสวัฒนา <พี่ โต>

ครุศาสตรมหาบัณฑิต จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ติวเตอรชื่อดังแหงเว็บไซต DekTalent.com

Sho

MATH SHORT NOTE

ลาย

ณิตศาสตร์ ม.ป ค e t o N rt

ISBN 978-616-430-048-4 ราคา 120 บาท สงวนลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ (ฉบับเพิ่มเติม) พ.ศ. 2558 โดยส�ำนักพิมพ์เอ็มไอเอส ห้ามน�ำส่วนหนึ่ง ส่วนใดของหนังสือเล่มนี้ไปลอกเลียนแบบ ท�ำส�ำเนา ถ่ายเอกสาร หรือน�ำไปเผยแพร่บนอินเตอร์เน็ตและเครือข่ายต่างๆ ไม่ว่าจะในรูปแบบใดๆ นอกจากจะได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรจากทางส�ำนักพิมพ์เท่านั้น ชื่อผลิตภัณฑ์และเครื่องหมายการค้าต่างๆ ที่อ้างถึงเป็นของบริษัทนั้นๆ

บรรณาธิการบริหาร ผู้เขียน พิสูจน์อักษร ประสานงานฝ่ายผลิต ศิลปกรรม ช่างภาพ ประสานงานสื่อสิ่งพิมพ์ ฝ่ายการตลาด พิมพ์ที่ ผู้พิมพ์/ผู้โฆษณา

ชิดพงษ์ กวีวรวุฒิ วชิรา โอภาสวัฒนา บุษกร กู้หลี ปวีณา ไตรเวทย์, บุษกร กู้หลี ศิรินทรา วัชรเดชสุวรรณ กฤติญาดา จันทร์วงษ์ บุษกร กู้หลี วราลี สิทธิจินดาวงศ์ บริษัท พิมพ์ดี จ�ำกัด เสริม พูนพนิช

จัดท�ำโดย บริษัท ส�ำนักพิมพ์เอ็มไอเอส จ�ำกัด 213/3 ซอยพัฒนาการ 1 (สาธุประดิษฐ์ 34 แยก 6) แขวงบางโพงพาง เขตยานนาวา กรุงเทพฯ 10120 โทรศัพท์ 0-2294-8777 (สายอัตโนมัติ) โทรสาร 0-2294-8787 www.MISbook.com จัดจ�ำหน่ายโดย บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จ�ำกัด (มหาชน) 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทรศัพท์ 0-2826-8000 โทรสาร 0-2739-8609 www.se-ed.com หากหนังสือเล่มนี้ผลิตไม่ได้มาตรฐาน อาทิ หน้ากระดาษสลับกัน หน้าซ�้ำ หน้าขาดหาย ส�ำนักพิมพ์ยินดีรับผิดชอบเปลี่ยน ให้ใหม่ โดยส่งมาเปลีย่ นตามทีอ่ ยูด่ า้ นบนหรือติดต่อส�ำนักพิมพ์เอ็มไอเอส โทรศัพท์ 0-2294-8777 (สายอัตโนมัต)ิ กรณีต้องการสั่งซื้อจ�ำนวนมาก กรุณาติดต่อฝ่ายการตลาด ส�ำนักพิมพ์เอ็มไอเอส โทรศัพท์ 0-2294-8777 เพื่อรับส่วนลดพิเศษ

2

คำ�นำ�ผู้เขียน หนังสือ Short Note คณิตศาสตร์ เล่มนี้ เป็นเหมือนคัมภีร์จิ๋วที่สรุปรวบรวมเนื้อหา สูตรต่างๆ ของวิชา คณิตศาสตร์ที่เรียนในชั้น ม.ปลาย พี่โต๋ใส่แผนภาพที่จะท�ำให้ เข้าใจภาพรวมของบทเรียนก่อน และอธิบายความคิดรวบยอด <Concept> ของแต่ละหัวข้อผ่านภาษาพูดง่ายๆ ไม่ซับซ้อน พร้อมทั้งตัวอย่างการท�ำโจทย์เบื้องต้นเพื่อเพิ่มความเข้าใจอีกด้วย หนังสือเล่มนี้ เหมาะส�ำหรับอ่านเพื่อปูพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.ปลาย หรืออ่านเพื่อทบทวนก็ได้ ด้วยสีสันที่สดใส จะท�ำให้สนุก กับบทเรียน เหมือนได้อ่าน Short Note สวยๆ ของเพื่อน ที่ อ่านแล้วยังเข้าใจอีกด้วย ขนาดเล่มกะทัดรัด เหมาะเป็นอย่างยิ่งที่จะ พกพาไว้ รับรองว่ามีเล่มนี้ไว้อุ่นใจค่ะ พี่โต๋หวังว่าหนังสือเล่มนี้จะช่วยให้น้องๆ เรียน คณิตศาสตร์ได้สนุกยิ่งขึ้น และเอาความรู้ที่ได้ ไปฝึกท�ำโจทย์ที่ยากขึ้นได้ค่ะ ^^ วชิรา โอภาสวัฒนา <พี่โต๋>

Dektalent.com

3

CONTENTS เซต <Set> 7 จำ�นวนจริง <Real Numbers> 15 ตรรกศาสตร์ <Logic> 39 ความสัมพันธ์ <Relation> 49 ฟังก์ชัน <Function> 59 เรขาคณิตวิเคราะห์ <Geometry> 71 ภาคตัดกรวย <Conic Sections> 77 เมตริกซ์ <Matrix> 89 เลขยกกำ�ลัง <Power Number> 99 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม <Expo & Log> 103

4

ตรีโกณมิติ <Trigonometry> 115 เวกเตอร์ <Vector> 129 จำ�นวนเชิงซ้อน <Complex Numbers> 137 ลำ�ดับและอนุกรม <Sequence & Series> 145 วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่ <Permutation> 163 ความน่าจะเป็น <Probability> 179 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน <Limit & Continuity of Function>

185

แคลคูลัสเบื้องต้น <Calculus> 191 สถิติ <Statistics> 205 กำ�หนดการเชิงเส้น <Linear Programming> 221

5

Happy HappyMemo Memo

6

Set โจทย์ปัญหา แผนภาพเวนน์ และออยเลอร์ การกระท�ำของเซต ยูเนียน อินเตอร์เซก ผลต่าง คอมพลีเมนต์

สมบัติของเซต

เซต

การเขียนเซต จ�ำนวนสมาชิก

สับเซต

เซตว่าง

เพาเวอร์เซต

เซตจ�ำกัด เซตอนันต์ เซตที่เท่ากัน

[เซต]

7 7

สรุปเรื่องเซต ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต เซตเป็นค�ำอนิยาม กล่าวคือ ไม่ได้กำ� หนดนิยามไว้ แต่รโู้ ดยทัว่ กันว่าหมายถึงกลุม่ ของสิง่ ต่างๆ สิ่งที่อยู่ในเซตเรียก “สมาชิก” สมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วย “ลูกน�้ำ” เช่น A = {3, 4, {5}} งโดน เซต A มีสมาชิก 3 ตัว คือ 3, 4 และ {5} ระวัหลอก!! เช่น B = {{1, 2, 3}} เซต B มีสมาชิก 1 ตัว คือ {1, 2, 3}

สัญลักษณ์

สัญลักษณ์ ∈ แทนการเป็นสมาชิกของเซต สัญลักษณ์ ∉ แทนการไม่เป็นสมาชิกของเซต

วิธีการเขียนเซตมี 2 แบบ 1 แบบบอกเงื่อนไข เช่น {x∈I | x > 0} => เซตของ x ที่เป็นจ�ำนวนเต็มซึ่งมากกว่า 0 2 แบบแจกแจงสมาชิก เช่น {1, 2, 3, 4} => แบบนี้จะเห็นเลยว่าสมาชิกแต่ละตัวคืออะไร เอกภพสัมพัทธ์ คือ ขอบเขตที่สนใจ มักแทนด้วย U เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ 8 8

[MATH SHORT NOTE]

เซตจ�ำกัด คือ เซตที่บอกจ�ำนวนสมาชิกได้ว่ามีกี่ตัว เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจ�ำกัด หรือเซตที่มีสมาชิกมากมาย

นับไม่ถ้วน เช่น เซตของจ�ำนวนนับ เซตที่เท่ากัน คือ เซตที่มีสมาชิก เหมือนกันทุกตัว

จ�ำนวนนับ บอกไม่ได้วา่ มีกตี่ วั มีเยอะมาก นับไปได้เรื่อยๆ

สับเซต นิยาม A เป็นสับเซต B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของ A อยู่ใน B สัญลักษณ์ สัญลักษณ์ ⊂ แทนการเป็นสับเซต เช่น A เป็นสับเซต B เขียนแทนด้วย A ⊂ B สัญลักษณ์ ⊄ แทนการไม่เป็นสับเซต เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ตอนเขียนสับเซตทั้งหมด ก็ให้ใส่ ∅ ไปด้วยทุกครั้ง ตัวอย่างการเขียนสับเซตทั้งหมด ก�ำหนด A = {1} สับเซตทั้งหมดของ A คือ

{1}, ∅ มี 2 ตัว

ก�ำหนด B = {2, 3} สับเซตทั้งหมดของ B คือ

{2}, {3}, {2, 3}, ∅ มี 4 ตัว [เซต]

9 9

สับเซตแท้ คือ สับเซตทุกเซตยกเว้นตัวมันเอง

สัญลักษณ์ ⊆ สูตรหาจ�ำนวนสับเซต จ�ำนวนสับเซตทั้งหมด = 2n จ�ำนวนสับเซตแท้ = 2n - 1 => การลบด้วย 1 คือ การลบตัวมันเองออกไป โดย n คือ จ�ำนวนสมาชิกของเซต

เพาเวอร์เซต ความหมาย เพาเวอร์เซต คือ เซตของสับเซต วิธีการเขียนเพาเวอร์เซต ง่ายจัง :D ให้เขียนสับเซตทั้งหมดให้เสร็จก่อน แล้วใส่ปีกกาคลุมหัวท้ายก็จะได้เพาเวอร์เซตแล้ว

จ�ำนวนสมาชิก จ�ำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต = จ�ำนวนสับเซตทั้งหมด = 2n ข้อสังเกต

เนื่องจาก ∅ เป็นสับเซตของทุกๆ เซต ดังนั้น ∅ จะเป็นสมาชิกของเพาเวอร์เซตเสมอ

10 10

[MATH SHORT NOTE]

การกระท�ำของเซต การกระท�ำของเซต หรือเรียกว่า โอเปอเรชันของเซต มี 4 แบบ คือ 1 ยูเนียน คือ การเอาสมาชิกมารวมกัน สัญลักษณ์ ∪ 2 อินเตอร์เซกชัน คือ การเอาสมาชิกที่ซ�้ำกัน สัญลักษณ์ ∩ 3 ผลต่าง คือ การลบกัน โดยจะยึดตัวตั้งเป็นหลัก สัญลักษณ์ − 4 คอมพลีเมนต์ คือ การไม่เอาสิ่งที่คอมพลีเมนต์ สัญลักษณ์ ′ เช่น A′ คือ ไม่เอาสมาชิกใน A โอเปอเรชันของเซต จะสัมพันธ์กับ การเขียนแผนภาพเวนน์และออยเลอร์

แผนภาพเวนน์และออยเลอร์ เป็นการเขียนแผนภาพของเซตในรูปแบบต่างๆ A ∩B A ∪B A

B

U

U

A−B A

A

B

A′ B

A

U

B

U

[เซต]

11 11

Real Numbers แก้สมการค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์

สมบัติการไม่เท่ากัน ช่วง

แก้อสมการค่าสัมบูรณ์

การแก้อสมการ

แยกตัวประกอบ

การแก้สมการ

จำ�นวนจริง

สมบัติการเท่ากัน

ทฤษฎีจ�ำนวน โครงสร้างของ จ�ำนวนจริง

เอกลักษณ์และอินเวอร์ส จ�ำนวนตรรกยะ สังยุค

จ�ำนวนอตรรกยะ [จ�ำนวนจริง]

15 15

สรุปเรื่องจำ�นวนจริง รู้จักโครงสร้างของจ�ำนวนจริง ¨íҹǹ¨ÃÔ§ ¨íҹǹμÃáÂÐ àÈÉʋǹ

¨íҹǹÍμÃáÂÐ

¨íҹǹàμçÁ ¨íҹǹàμçÁź ¨íҹǹàμçÁÈٹ => Èٹ ¨íҹǹàμçÁºวก => ¨íҹǹ¹Ñº

จ�ำนวนตรรกยะ สัญลักษณ์แทนด้วย Q

a คือ จ�ำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน เมื่อ b จ�ำนวนเต็มและ b ≠ 0

a, b

พวกจ�ำนวนเต็มก็ใช่นะ เพราะสามารถเขียน ตัวส่วนเป็น 1 ได้ทุกตัว เช่น 3 = 3 1

16 16

[MATH SHORT NOTE]

เป็น

จ�ำนวนอตรรกยะ สัญลักษณ์แทนด้วย Q′ คือ จ�ำนวนจริงทีไ่ ม่สามารถเขียนให้อยูใ่ นรูปเศษส่วนของจ�ำนวนเต็มได้ รู้ยังว่า...

1 2

ศูนย์เป็นจ�ำนวนคู่ ไม่บวก ไม่ลบ จ�ำนวนเฉพาะบวก เริ่มที่ 2

ตารางเปรียบเทียบ จ�ำนวนตรรกยะ

จ�ำนวนอตรรกยะ

1 เขียนเป็นเศษส่วนของจ�ำนวนเต็ม

1 เขียนเป็นเศษส่วนของจ�ำนวนเต็ม

ได้ ไม่ได้ 2 ถ้าติดเครื่องหมายราก จะถอดได้ 2 ติดเครื่องหมายราก และถอด ลงตัว ไม่ลงตัว 3 ถ้าเป็นทศนิยม จะเป็นทศนิยมซ�้ำ 3 ถ้ า เป็ น ทศนิ ย มจะเป็ น ทศนิ ย ม ไม่ซำ�้ เช่น 0.353353335… เช่น 0.353535… อย่างนี้เรียกว่าไม่ซ�้ำ ถึงแม้จะเดาได้ว่า 4 ใช้เป็นค่าประมาณของ π คือ

22 7

เลขต่อไปต้องเป็น 33335 ก็ตาม

4 ใช้เป็นสัญลักษณ์พิเศษ คือ

π, e

ข้อสังเกต ไม่มีจ�ำนวนที่เป็นทั้งจ�ำนวนตรรกยะ และจ�ำนวนอตรรกยะ [จ�ำนวนจริง]

17 17

ทศนิยม โดยทัว่ ไปเรารูจ้ กั ทศนิยมกันอยูแ่ ล้ว แต่จริงๆ แล้วทศนิยมยังแบ่งได้อกี ดังนี้ ทศนิยมซ�้ำศูนย์ คือ ทศนิยมธรรมดาทั่วไปที่เคยพบเจอ เช่น 0.2, 3.5, 5.29 เป็นต้น ที่เรียกว่าทศนิยมซ�้ำศูนย์เพราะสามารถเขียนศูนย์ต่อท้ายไปได้เรื่อยๆ เช่น 0.2 = 0.200000… <จุด จุด จุด เป็นการบอกว่ามีต่อไปอีกเรื่อยๆ> ทศนิยมซ�้ำตัวเลขอื่นๆ เช่น 1.333... การเขียนทศนิยมซ�้ำ ถ้า•เลขตัวไหนซ�้ำจะใส่จุดไว้ข้างบน เช่น 1.333... = 1.3 •• 6.181818... = 6.18 •• 4.2131313... = 4.213 ถ้าซ�้ำทุกตัว จะนิยมใส่จุดที่ต•ัวเลขแรกและตั วเลขสุดท้ายที่ซ�้ำ • เช่น 0.176176… = 0.176 ทศนิยมไม่ซ�้ำ <ไม่ซ�้ำแต่อาจมีรูปแบบที่เดาได้> เช่น 4.232232223... ทศนิยมพวกนี้จะเป็นจ�ำนวนอตรรกยะ

การเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน ทศนิยมธรรมดา ตัวส่วนจะเป็น 10, 100, 1000, … ตามจ�ำนวน ต�ำแหน่งทศนิยม เช่น 0.2 = 2 <ทศนิยม 1 ต�ำแหน่ง ตัวส่วนเป็น 10> 10 3.26 = 326 <ทศนิยม 2 ต�ำแหน่ง ตัวส่วนเป็น 100> 100 18 18

[MATH SHORT NOTE]

Statistics ความสัมพันธ์ เชิงฟังก์ชัน โค้งปกติ ค่ามาตรฐาน ความแปรปรวน

ค่ากึ่งกลางพิสัย มัธยฐาน ฐานนิยม ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ชนิดข้อมูล ระเบียบวิธี ความหมาย

ค่ากลาง การวัดต�ำแหน่ง ของข้อมูล

สถิติ

การวัดการกระจายของข้อมูล การวัดการกระจายสัมบูรณ์ การวัดการกระจายสัมพัทธ์ พิสัย สัมประสิทธิ์ของพิสัย สัมประสิทธิข์ องส่วนเบีย่ งเบนควอไทล์ สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซนไทล์

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน [สถิต]ิ 205 205

สรุปเรื่องสถิติ ความหมาย สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่บอกข้อเท็จจริงต่างๆ ที่ได้มาจากการวิเคราะห์ การเปรียบเทียบ หรือการค�ำนวณ

กระบวนการทางสถิติ 4 ขั้นตอน ดังนี้ การเก็บรวบรวมข้อมูล การน�ำเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล การแปลความหมาย

ประเภทของข้อมูล แบ่งตามวิธีเก็บข้อมูลมี 2 วิธี ดังนี้ ข้อมูลปฐมภูมิ คือ ข้อมูลที่ผู้ส�ำรวจเป็นผู้เก็บข้อมูลด้วยตนเอง เช่น ด.ช.อ๊อด เก็บข้อมูลน�้ำหนักของเพื่อนในชั้นเรียนโดย การเดินถามทีละคน ข้อมูลทุติยภูมิ คือ ข้อมูลที่ผู้ส�ำรวจไปเอามาจากที่อื่น หรือจากผู้อื่นที่ เก็บรวบรวมไว้แล้ว เช่น ด.ช.มีน เก็บข้อมูลน�้ำหนักของ เพื่อนในชั้นเรียนโดยจดจากข้อมูลในห้องพยาบาล 206 [MATH SHORT NOTE] 206

ประเภทของข้อมูล แบ่งตามลักษณะของข้อมูลมี 2 แบบ ดังนี้ ข้อมูลเชิงปริมาณ เป็นข้อมูลทีส่ ามารถชัง่ ตวง วัด ออกมาเป็นตัวเลขได้โดยตรง เช่น คะแนนสอบ ความสูง อายุ ความเร็ว เป็นต้น

ข้อมูลเชิงคุณภาพ เป็นข้อมูลทีไ่ ม่สามารถชัง่ ตวง วัด ออกมาเป็นตัวเลขได้ แต่ บางครัง้ ข้อมูลเชิงคุณภาพก็อาจ จะเป็นตัวเลข ซึ่งตัวเลขนั้นไม่ สามารถน�ำมาหาค่าเฉลีย่ ได้ เช่น บ้านเลขที่ ความคิดเห็น เพศ ศาสนา เป็นต้น

สมบัติของซิกมา ( å ) ให้ 1

c

เป็นค่าคงที่,

N

คือ จ�ำนวนข้อมูล

2 3 4

[สถิต]ิ 207 207

NOTE ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ คือ ข้อมูลที่ให้มาในรูปข้อมูลดิบ ข้อมูลแจกแจงความถี่ คือ ข้อมูลทีใ่ ห้มาในรูปแบบอันตรภาคชัน้

สูตรค่ากลางของข้อมูล ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ ข้อมูลแจกแจงความถี่ เมื่อ x คือ ข้อมูลแต่ละตัว N คือ จ�ำนวนข้อมูล

หรือสูตรลัด เมื่อ x คือ จุดกึ่งกลางชั้น f คือ ความถี่ของข้อมูล N คือ จ�ำนวนข้อมูล A คือ จุดกึ่งกลางของชั้นที่ d = 0 d คือ ตัวคูณในการทอนข้อมูล I คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้น

208 [MATH SHORT NOTE] 208

Linear Programming วิธีเขียนกราฟอสมการ

ฟังก์ชันเป้าหมาย

กำ�หนดการเชิงเส้น แก้โจทย์ปัญหา

อสมการข้อจ�ำกัด

[ก�ำหนดการเชิงเส้น] 221 221

สรุปเรื่องกำ�หนดการเชิงเส้น กราฟอสมการเชิงเส้น กราฟของอสมการจะเป็นพื้นที่ ไม่ได้เป็นเส้นๆ แบบที่เคยเจอ

วิธีวาดกราฟอสมการ 1 วาดกราฟของสมการเส้นตรงก่อน เช่น ก�ำหนดอสมการ ให้วาดกราฟของ ก่อน การวาดกราฟเส้นตรงต้องหาจุดทีเ่ ส้นตรงนัน้ ผ่าน 2 จุด แล้วพล็อตกราฟ จุดที่คิดได้ง่าย คือ จุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y ผ่านจุด (0,2) และ (3,0) น�ำไปพล็อตกราฟ จะได้ Y 2x+3y = 6 ฝั่งที่ 1 ฝั่งที่ 2

X กราฟเส้นตรงที่วาดได้ จะแบ่ง พื้นที่ออกเป็น 2 ฝั่ง ดังรูป

222 [MATH SHORT NOTE] 222

2 ดูว่ากราฟอสมการคือพื้นที่ส่วนไหน

เทคนิคเลือกจุดมาแทน ให้เลือกจุดที่ไม่อยู่บนกราฟเส้นตรงมาแทนค่าในอสมการ • ถ้าอสมการเป็นจริง แปลว่า กราฟของอสมการอยู่ฝั่งที่มีจุดนั้น • ถ้าอสมการไม่จริง แปลว่า กราฟของอสมการอยูฝ่ ง่ั ทีไ่ ม่มจี ดุ นัน้ จุดที่เลือกแล้วคิดเลขง่าย คือ (0,0) แต่ถ้ากราฟเส้นตรงผ่าน (0,0) ก็ต้องเลือกจุดอื่นแทน แทนจุด (0,0) ใน จะได้ คิดเลข ซึ่งไม่จริง ดังนั้น กราฟของอสมการอยู่ฝั่งที่ไม่มีจุด (0,0) ดังนี้ จะได้กราฟของ Y 2x+3y = 6

(0,0)

X

[ก�ำหนดการเชิงเส้น] 223 223

การแก้ปัญหาโจทย์สมการเชิงเส้น ค�ำศัพท์ที่ต้องรู้จัก 1 สมการจุดประสงค์

หรือ ฟังก์ชันเป้าหมาย หรือ ฟังก์ชันจุดประสงค์ ใช้ค�ำนวณเป้าหมายที่ต้องการ เช่น ก�ำไรสูงสุด ต้นทุนต�่ำสุด เป็นต้น 2 อสมการข้อจ�ำกัด หรือ เงื่อนไขบังคับ เงือ่ นไขทีโ่ จทย์กำ� หนดซึง่ จะต้องน�ำไปวาดกราฟ โจทย์จะให้มาหลายๆ อสมการ เช่น

ทั้งหมดนี้เรียกอสมการข้อจ�ำกัด

วิธีท�ำโจทย์ก�ำหนดการเชิงเส้น 1 สร้างสมการจุดประสงค์ <ส่วนใหญ่โจทย์ให้มา> 2 สร้างอสมการข้อจ�ำกัด <ส่วนใหญ่โจทย์ให้มา> 3 วาดกราฟอสมการข้อจ�ำกัด จะได้เป็นพื้นที่ 4 หาจุดมุมของพื้นที่นั้น 5 แทนค่าจุดมุมทุกจุดที่สมการจุดประสงค์ 6 ตอบค�ำถามตามที่โจทย์ต้องการ

โจทย์ก�ำหนดการเชิงเส้น แต่ละข้อท�ำคล้ายๆ กัน ค�ำตอบส่วนใหญ่จะอยู่ตรงจุดมุมของพื้นที่ตามอสมการข้อจ�ำกัด

224 [MATH SHORT NOTE] 224

เรียนออนไลน

กับพี่ โต

àÃÕ¹¨Ò¡ ·Õèä˹¡çä´Œ

ࢌÒ㨧‹ÒÂ

คอรสคณิตศาสตร Online สำหรับวัยมัธยม ¤Ãͺ¤ÅØÁ·Ø¡à¹×éÍËÒ à¾ÔèÁà¡Ã´ã¹ªÑé¹àÃÕ¹ ࢌÁ¢Œ¹·Ø¡ÊÒÃÐÊÓ¤ÑÞ à¾ÔèÁ¤ÇÒÁ¾ÃŒÍÁ

àµÃÕÂÁÊͺ·Ø¡Ê¹ÒÁ นี้ สแกนโคด ียน เร ง เพื่อทดลอ

หรือเขาไปที่เว็บไซด

www.dektalent.com

227

ทำ�เนียบเด็กเก่ง พัชราภรณ์ วรรณโท ธนดล ไชยนันทน์

โรงเรียนนาเยียศึกษา รัชมังคลาภิเษก จังหวัดอุบลราชธานี

“เรียนออนไลน์ที่ Dektalent.com ท�ำให้ผมเข้าใจเนื้อหามาก ขึน้ ครับ พีโ่ ต๋สอนละเอียด ทุกขั้นตอนเลยครับ พีโ่ ต๋ ท�ำให้คะแนนเลขผมดีขนึ้ มาก ขอบคุณครับ”

“เเต่กอ่ นเรียนคณิตไม่รเู้ รือ่ ง เลย ไม่ชอบมากๆ แต่พอได้ มาเรียนกับพี่โต๋ รู้สึกว่าน่า เรียน สนุก เข้าใจ พีโ่ ต๋ทำ� ให้ คนที่ไม่อยากเรียนคณิต กลายเป็นคนที่แบบเรียน เรื่องนี้จบ เรื่องต่อไปเรียน ไรดีนะ ขอบคุณพี่โต๋มากๆ นะคะส�ำหรับความรูด้ ๆี ”

โรงเรียนสาธิตประสานมิตร กรุงเทพมหานคร

ปัณณธร ส่อสืบ

โรงเรียนบ้านสวน (จั่นอนุสรณ์) จังหวัดชลบุรี “พีโ่ ต๋สอนดีมากครับ เป็น ครูทเี่ ก่งมาก พอผมไม่เข้าใจ เรื่องไหน พี่โต๋จะสอนผม ให้เข้าได้มากขึน้ ครับ เรียน ที่ Dektalent.com ได้ ความรูเ้ กีย่ วกับคณิตศาสตร์ มากครับ เรื่องที่ผมไม่ เข้าใจที่โรงเรียน ผมก็มา ดูที่ Dektalent.com ก็เข้าใจมากเลยครับ ขอให้ทำ� ต่อไปนะครับ”

พศิน มากรุง

โรงเรียนศึกษานารีวิทยา กรุงเทพมหานคร “รูส้ กึ ว่าพีโ่ ต๋เก่งมาก สอนเข้าใจง่าย อธิบายเรือ่ งยากๆ ให้ดงู า่ ย จ�ำง่ายขึน้ พูดไม่ชา้ และไม่เร็วไป ฟังแล้วตามทัน และรูส้ กึ สนุกกับการเรียนครับ ท�ำให้ เรียนในชั้นเรียนที่โรงเรียนง่ายขึ้น ท�ำโจทย์และแบบฝึดหัดได้เร็วขึ้น โดยรวมมี ความรู้ความเข้าใจมากข่ึ้นครับ และไม่ต้องเสียเวลาเดินทางไปเรียนพิเศษนอกบ้าน สามารถเรียนได้ตลอดเวลา อยากเรียนตอนไหนก็ทำ� ได้หมด เอาเวลาเดินทาง ฝนตก รถติด มาทบทวนบทเรียนที่บ้านท�ำให้ไม่เหนื่อย สบายกว่าครับ”

228

สิริยากร วงศ์กล้า

โรงเรียนบดินทรเดชา (สิงห์ สิงหเสนี) กรุงเทพมหานคร “เคยเป็นคนที่ไม่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ เลยค่ะ พอถึงคาบคณิตทีไร เศร้าทุกที เพราะว่าหนูไม่เข้าใจ มันเลยท�ำให้ไม่อยาก เรียนและไม่ชอบเรียนคณิต พอมาเรียน กับพีโ่ ต๋ เข้าใจมากเลยค่ะ จากทีเ่ คยเป็น วิชาทีเ่ กลียดทีส่ ดุ กลับกลายมาเป็นวิชาที่ ชอบที่สุดซะงั้น ขอบคุณค่ะ สู้ๆ นะคะ ท�ำเว็บนีต้ อ่ ไปเรือ่ ยๆ เพราะว่าเว็บนีช้ ว่ ย ฉุดเกรดหนูขึ้นมามากเลย :)”

อิสรพงษ์ เถื่อนสกุล

โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยราชภัฏเทพสตรี จังหวัดสระบุรี “Dektalent ท�ำให้คณิตศาสตร์เป็นเรือ่ ง ง่ายมากขึ้น การเรียนล่วงหน้าท�ำให้เรามี พื้นฐานที่ดีไปเรียน ท�ำให้สามารถสอบ เก็บคะแนนได้คะแนนดีขึ้น ขอบคุณพี่โต๋ มากๆ ที่ท�ำให้ผมเป็นคนที่มีพื้นฐานทาง คณิตศาสตร์ ได้ไปเรียนในห้องเรียน ที่มีแต่คนเก่งๆ รู้สึกขอบคุณมากจริงๆ ที่ท�ำให้ผมสามารถสอบได้ห้องเก่งของ โรงเรียนดีๆ”

ณัฐชยา พาณิชยูปการนันท์

โรงเรียนสารสาสน์วิเทศสุวรรณภูมิ จังหวัดสมุทรปราการ “พี่โต๋สอนง่าย เเล้วก็เข้าใจง่ายด้วย หนูเริ่มเรียนตอน ม. 2 หนูได้คณิตเกรด 4 เเบบไม่เคยได้มากขนาดนี้ 27 เต็ม 30 ปรกติ 20 ต้นๆ เอง เเล้วก็ถามการบ้าน ได้ เเล้วก็อธิบายเข้าใจง่ายด้วย ครูที่โรงเรียนจะให้ไปเเข่งสอบคณิตด้วย ขอบคุณ พี่โต๋ค่ะ หนูรู้สึกดีใจที่คณิตได้คะเเนนเยอะมากกว่าเดิม”

229

พี่โต๋ DekTalent

วชิรา โอภาสวัฒนา จบการศึกษา Wachir

a O.

ปริญญาโท คณะครุศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สาขาการวัดและประเมินผลทางการศึกษา ปริญญาตรี คณะครุศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สาขามัธยมศึกษาคณิตศาสตร์

พี่โต๋สอนประจำ�ที่

DekTalent.com <เด็กทาเล้นท์.คอม> เว็บไซต์เรียนคณิตศาสตร์ออนไลน์ด้วยคลิป VDO 230

ร !! ^^ พูดอะไ น เจ ด ั ช น ค น ็ ป ๋ เ พี่โต พาะเรื่อง เฉ ย ด โ ๆ ย า ่ ง จ ใ ให้เข้า ์การสอนที่ ล ต ไ ส ี ม ์ ร ต ส า คณิตศ จจากพื้นฐาน ใ า ้ เข ๆ ง อ ้ น ้ ห ใ เน้นสอน เมื่อเข้าใจ ย า ม ก า ม ้ ห ใ ร ไ ะ ไม่ต้องจ�ำอ อีก ์ก็ไม่ใช่เรื่องยาก ร ต ส า ศ ต ิ ณ ค แล้ว ต่อไปค่ะ

หนังสือเล่มนี้ พี่โต๋ได้ตรวจทานความถูกต้องหลายขั้นตอน ก่อนพิมพ์ แต่ก็อาจมีจุดผิดพลาดเกิดขึ้นได้ น้องๆ สามารถแจ้งพี่โต๋ได้โดยตรง หรือพูดคุยกับพี่โต๋ได้ที่

www.facebook.com/Ptohdektalent 231

FOLLOW US ON MIS Book Store MISbook

232

ตวั ชวยเกงคณ ิ พชิ ต ต ิ ทุกสนามสอบตอ งเลม น!ี้ !

คณิตศาสตร ื้ ฐาน + เพมิ่ เตมิ > <พน

ทวน อา นทบ

ื้ ฐานความ ู น ปพ รู

9

786164

300484

ราคา 120 บาท

<พื้นฐาน + เพิ่มเติม>

หมวด คู มือเร�ยน-สอบ

นงา ย สบายตาจงั เลม นอี้ า

เตรยี มตวั สอ บ

คณิตศาสตร

Short Note สีสันสดใสเลมนี้จะทำใหนองๆ สนุกกับการเรียนคณิตศาสตร เนื้อหาอานเขาใจงาย สบายตา เหมือนไดอาน Short Note สวยๆ ของเพื่อน ขนาดเลมกะทัดรัด พกพาไวไปทบทวนไดทุกที่ มีเลมนี้แลวอุนใจ แถมยังนำความรูที่ได ไปฝกทำโจทยที่ยากขึ้นไดอีกดวย

คณิตศาสตร ื้ ฐาน + เพมิ่ เตมิ > <พน

สรุปเนื้อหา สูตรตางๆ ของวิชาคณิตศาสตร ม. 4-5-6 มีแผนภาพ <Mind Map> และอธิบายความคิดรวบยอด <Concept> ทุกบท เพิ่มความเขาใจดวยตัวอยางการทำโจทยเบื้องตน ÕéäÇŒ ¾¡àÅ‹Á¹¨ŒÐ ¨ ã ÍØ‹¹

วชิรา โอภาสวัฒนา <พี่ โต>

ครุศาสตรมหาบัณฑิต จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ติวเตอรชื่อดังแหงเว็บไซต DekTalent.com