2 x − 3 y = −13 − 3λ 2 −3 x −13 − 3λ ⇔ = ⇒ A =2 −2 x = 16 − 6λ −2 0 y 16 − 6λ
El cual se resuelve por la regla de Cramer 1 13 − 3λ 2 16 − 6λ
−48 + 18λ = −24 + 9λ 0 2 1 2 13 − 3λ 58 − 18λ y= = = 29 − 9λ λ ∈ ℝ 2 −2 16 − 6λ 2 z=λ x=
−3
=
Si ahora le vamos dando a λ cualquier valor real, se van obteniendo las infinitas soluciones de sistema. Caso 4 Que el sistema sea homogéneo. Este caso es más sencillo, si cabe, incluso que el caso 2, pero el hecho que sea homogéneo suele poner algo nerviosos a los alumnos. Empezamos puntualizando que todos los sistemas homogéneos son siempre COMPATIBLES pues siempre existe la solución trivial (0,0,...,0), luego solo queda saber si esta solución es única o será indeterminado. Veamos un ejemplo del segundo caso:
Ejemplo 2 x − 3 y + 3z = 0 2 −3 3 x 0 2 −3 3 0 −2 x + 6 z = 0 ⇔ −2 0 6 y = 0 ⇔ AX = B; A* = −2 0 6 0 z 0 3 −2 7 0 3x − 2 y + 7 z = 0 3 −2 7
ran(A) = 2 = rang(A*) < 3 <=> Sistema COMPATIBLE indeterminado Al igual que hicimos en el caso 3, parametrizamos la incógnita z = λ 2 x − 3 y = −3λ 2 −3 x −3λ ⇔ = ⇒ A =2 −2 x = −6λ −2 0 y −6λ
y operamos con la regla de Cramer exactamente igual que hicimos en el caso previo, resultando las soluciones:
| DISCUSION DE SISTEMAS 21