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George Bernard Dantzig Vida

Obra

Nació el 8 de Noviembre de 1914 en Portland, Oregon, EEUU. Su padre era profesor de Matemáticas, en la Universidad de Maryland. Su madre era una lingüista especializada en idiomas eslavos. Dantzig estudió su carrera en la misma universidad en la que laboró su padre, donde se graduó en 1936. Le disgustaba el hecho de no haber visto ni una sola aplicación en alguno de los cursos de Matemáticas que había tomado allí. Al año siguiente hizo estudios de postgrado en la escuela de Matemáticas de la Universidad de Michigan. Sin embargo, exceptuando la Estadística, le pareció que los cursos eran demasiado abstractos; tan abstractos, que él sólo deseaba una cosa: abandonar sus estudios de postgrado y conseguir un trabajo.

Un hecho real en la vida de Dantzig dio origen a una famosa leyenda en 1939, cuando era un estudiante en Berkeley. Al comienzo de una clase a la que Dantzig acudía con retraso, el profesor Jerzy Neyman escribió en la pizarra dos ejemplos famosos de problemas estadísticos aún no resueltos.

En 1937 Dantzig dejó Michigan para trabajar como empleado en Estadística en el Bureau of Labor Statistics.

Esta historia comenzó a difundirse, y fue usada como una lección motivacional demostrando el poder del pensamiento positivo. A través del tiempo el nombre de Dantzig fue retirado y los hechos fueron alterados, pero la historia básica persiste en la forma de mito.

Al llegar Dantzig a clase, pensó que los dos problemas eran tarea para casa y los anotó en su cuaderno. De acuerdo con Dantzig, los problemas "le parecieron ser un poco más difíciles de lo normal", pero unos pocos días después obtuvo soluciones completas para ambos, aún creyendo que estos eran tareas que debía entregar. Seis semanas después, Dantzig recibió la visita de un excitado profesor Neyman, quien había preparado una de las soluciones de Dantzig para ser publicadas en una revista matemática. Años después otro investigador, Abraham Wald, publicó un artículo en el que llegaba a la conclusión del segundo problema, y en el cual incluyó a Dantzig como coautor.

Documentado por: Miguel Arturo Tarazona Alvarado


METODO SIMPLEX Definición. El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempr siempre se hallará solución.

El Método Simplex es un método iterativo que permite ir

Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste onsiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que

Ejemplo. La empresa el SAMÁN Ltda. Dedicada a la fabricación de muebles, ha ampliado su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas zas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades.

Documentado por: Miguel Arturo Tarazona Alvarado


PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL Las variables: X1 X2 X3 X4

= Cantidad de mesas a producir (unidades) = Cantidad de sillas a producir (unidades) = Cantidad de camas a producir (unidades) = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)

Las restricciones: 2X1 2X1 2X3 4X4

+ 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24 + 2X2 + 1X3 <= 20 + 2X4 <= 20 <= 16

La función Objetivo: ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X 20000 3 + 20000X4

PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las restricciones son "<=".

De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, rso, por el ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1. La función objetivo no sufre variaciones: ZMAX = 20000X1 + 20000X2 20000 + 20000X3 + 20000X4

Documentado por: Miguel Arturo Tarazona Alvarado


PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz identidad.

1S1 = 24 1S2 = 20

1S3 = 20 1S4 = 16

PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL

Solución:: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones. Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila "solución" en la función objetivo. Variable Solución = En esta columna se consigna la solución básica inicial, y a partir de esta en cada iteración se van incluyendo las variables que formarán parte de la solució solución final.

Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha "Variable solución" en la función objetivo. Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la suma de los productos entre término y Cb. Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable correspondiente que no forme parte de la solución.

Documentado por: Miguel Arturo Tarazona Alvarado


PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste en realizar intentos mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro.

- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán los cálculos correspondientes en el resto de las celdas.

El procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima:

De esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetirá cuantas veces sea necesario y solo se dará por terminado el método según los siguientes criterios.

2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución implica una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a continuación.

- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.

- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el "a = 4".

Documentado por: Reinaldo Javier Cristancho Ayala


En esta última iteración podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj <= 0, para ejercicios cuya función objetivo sea "Maximizar", por ende hemos llegado a la respuesta óptima. X1 X2 X3 X4

=3 =4 =6 =4

Con una utilidad de: $ 340000 Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz identidad en el rectángulo determinado por las variables de decisión, el hecho de que en este caso no se muestre la matriz identidad significa que existe una solución óptima alterna.

La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en que cada una de las variables entro a la solución básica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aquí les presentamos una de las maneras de llegar a la otra solución.

Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solución óptima con un coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines). X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0) X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7) X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6) X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4) S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3) Con una utilidad de: $ 340000

Documentado por: Reinaldo Javier Cristancho Ayala


PROGRAMACIÓN LINEAL Definición. La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a través del cual se resuelven situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, cir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal. Los resultados y el proceso de optimización se convierten en un respaldo ldo cuantitativo de las decisiones frente a las situaciones planteadas. Decisiones en las que sería importante tener en cuenta diversos criterios administrativos como:    

¿COMO RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL? El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son: 

Función Objetivo

Variables

Restricciones

El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:

Los hechos La experiencia La intuición La autoridad

Documentado por: Reinaldo Javier Cristancho Ayala


LA FUNCIÓN OBJETIVO. OBJETIVO La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Sí en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugarr de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.

LAS VARIABLES DE DECISIÓN Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión son en teoría factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valorr óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema.

Documentado por: Reinaldo Javier Cristancho Ayala


LAS RESTRICCIONES Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión. La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipotético en el que decidiéramos darle un valor infinito a nuestras variables de decisión, por ejemplo, ¿qué pasaría sii en un problema que precisa maximizar sus utilidades en un sistema de producción de calzado decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos surgirían múltiples interrogantes, como por ejemplo: ¿Con cuánta materia prima cuento para producirlos?

¿Con cuánta mano de obra cuento para fabricarlos? ¿Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto? ¿Podría mi fuerza de mercadeo vender todos los zapatos? ¿Puedo financiar tal empresa? Pues bueno, entonces habrí habríamos descubierto que nuestro sistema presenta una serie de limitantes, tanto físicas, como de contexto, de tal manera que los valores que en un momento dado podrían tomar nuestras variables de decisión se encuentran condicionados por una serie de restricciones. ones.

EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir prod un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?

Documentado por: Kely Molina


PASO 1: "FORMULAR EL PROBLEMA"

PASO 2: DETERMINAR LAS VARIABLES DE DECISIÓN

Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema.

Basándonos en la formulación del problema nuestras variables de decisión son:

¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?

XT:

Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar

XT’:

Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar

Y la formulación es: “Determinar la cantidad de metros diarios de tejido tipo T y T’ a fabricar teniendo en cuenta el óptimo beneficio respecto a la utilidad”.

PASO 3: DETERMINAR LAS RESTRICCIONES DEL PROBLEMA

PASO 4: DETERMINAR LA FUNCIÓN OBJETIVO

En este paso determinamos las funciones que limitan el problema, estas están dadas por capacidad, cidad, disponibilidad, proporción, no negatividad entre otras.

En este paso es de vital importancia establecer el contexto operativo del problema para de esta forma determinar si es de Maximización o Minimización. En este caso abordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es Maximizar.

De disponibilidad de materia prima: 0,125XT + 0,200XT’ <= 500 0,150XT + 0,100XT’ <= 300 0,072XT + 0,027XT’ <= 108

Hilo “a” Hilo “b” Hilo “c”

Función Objetivo ZMAX = 4000XT + 5000XT’

De no negatividad XT,XT’ >= 0

Documentado por: Kely Molina


PASO 5: RESOLVER EL MODELO UTILIZANDO SOFTWARE O MÉTODOS MANUALES A menudo los problemas de programación lineal están constituidos por innumerables variables, lo cual dificulta su resolución manual, es por esto que se recurre a software especializado, como es el caso de WinQSB, TORA, Lingo o

para modelos menos complejos se hace útil la herramienta Solver de Excel. El anterior ejercicio fue resuelto mediante Solver - Excel, y su resultado fue:

Documentado por: Kely Molina


DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL Definición. Cada uno de los problemas abordados hasta entonces en los módulos anteriores se consideran problemas primales dado que tienen una relación directa con la necesidad del planteamiento, y sus resultados responden a la formulación del problema original; sin embargo cada vez que se plantea y resuelve un problema lineal, existe otro problema ínsitamente planteado y que puede ser resuelto, es el considerado problema dual, el cual tiene unas importantes relaciones y propiedades respecto al problema primal que pueden ser de gran beneficio para la toma de decisiones. Los problemas primales y duales se encuentran ligados por una serie de relaciones, saber la existencia de estas puede ser considerado de gran utilidad para la resolución de problemas que parecen no factibles, o que no pueden ser resueltos mediante un método en particular.

Relaciones entre problemas primales y duales El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal. El número de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado por el número de variables que presenta el problema primal. Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos

independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables. Los términos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema primal. La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del problema primal. El sentido de las igualdades y desigualdades se comporta según la tabla de TUCKER, presentada a continuación.

IMPORTANCIA DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema. Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables.

Documentado por: Alvaro Mejia


DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL Cuya respuesta es

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DUAL, PASO A PASO El siguiente problema a resolver es hasta el momento el modelo más completo de los resueltos en los módulos anteriores, dado que trataremos de resolver un problema primal y su dual mediante Método Simplex utilizando variables de holgura, exceso y artificiales; además resolveremos el primal utilizando Simplex maximizando y el dual minimizando.

X1 = 28,75 X2 = 120 S1 = 79.5 S3 = 51.25 Función objetivo = 3310 Procedemos a resolver el problema dual

PASO 1: Definimos el problema dual

Dado el siguiente modelo primal, ZMAX = 40X1 + 18X2 16X1 + 2X2 ≤ 700 6X1 + 3X2 ≤ 612 X1 ≤ 80 X2 ≤ 120 Este paso se lleva a cabo teniendo en cuenta las relaciones que se expusieron en la definición de la dualidad. Ahora las variables en el dual las representaremos por "ʎ" y corresponden a cada restricción. El modelo queda de la siguiente forma:

Documentado por: Alvaro Mejia


Ahora preparamos el modelo para ser resuelto mediante Método Simplex, utilizaremos el procedimiento en el cual la función objetivo es multiplicada por (-1) y resolveremos el modelo mediante maximización. ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4 Lo que es igual (-Z)MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4 Ahora dado que los signos de las inecuaciones son mayor o igual procedemos a volverlas ecuaciones agregando variables de exceso, recordemos que en este caso las variables de exceso se restan del lado izquierdo de la igualdad, por ende.

Recordemos que el coeficiente de las variables de holgura y exceso es 0, además que los coeficientes de las variables artificiales es M, donde M corresponde a un número grande poco atractivo cuyo signo en la función objetivo depende del criterio de la misma, dado que la función es maximizar el signo es negativo. Dado que utilizaremos el Método Simplexy no un software para la resolución del modelo es necesario que M adquiera valor, en este caso será "-10000" un número bastante grande en el problema. Las iteraciones que utiliza el Método Simplex son las siguientes:

Recordemos que el Método Simplex solo es posible por la formación de la matriz identidad, sin embargo en una matriz identidad no pueden ir coeficientes negativos, el cual es el caso, por ende recurriremos al artificio denominado "Método de la M grande" utilizando variables artificiales, las cuales siempre se suman.

Ahora si observamos la matriz identidad formada por las variables artificiales, nuestra función objetivo es la siguiente (varía dada la incorporación de las nuevas variables).

Podemos observar que todos los Cj - Zj son menores o iguales a 0, por ende hemos llegado a la solución óptima del problema, sin embargo recordemos que la función objetivo fue alterada en su signo al principio, por ende se hace necesario regresarle su signo original a Zj y a la fila Cj - Zj.

Documentado por: Alvaro Mejia


Podemos cotejar con la función objetivo del modelo primal y encontraremos que hallamos el mismo resultado. Ahora se hace necesario interpretar los resultados de la tabla dual respecto al modelo primal, y esta interpretación se realiza siguiendo los siguientes principios.

La interpretación del tabulado final del modelo dual es la siguiente:

TEOREMAS DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Si el modelo primal o dual tiene solución óptima finita entonces su respectivo dual o primal tendrán solución óptima finita. 2. Si el modelo primal o dual tiene solución óptima no acotada, entonces su respectivo dual o primal no tendrán solución, será un modelo infactible. 3. 3. Si el modelo primal o dual no tiene solución entonces su respectivo dual o primal no tendrán solución. 4. 4. Sea "A" un modelo primal cuyo modelo dual es "B", el modelo dual de "B" es igual a "A", es decir "El modelo dual de un dual es un modelo primal".

Documentado por: Alvaro Mejia

Programacion Lineal  
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