Issuu on Google+

Matemàtiques III

Matemàtiques III Ges 2 (matí i vespre)

CFA MESTRE ESTEVE [CURS 2010-2011]

CFA MESTRE ESTEVE

1

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

CFA MESTRE ESTEVE

2

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Definició Un nombre racional es pot escriure com una divisió entre 2 nombres enters: el numerador i el denominador.

Per exemple, el nombre

− 15 28 és un nombre racional. El seu numerador

és -15 i el seu denominador és 28. A continuació veuràs 6 exemples molt diferents de nombres racionals:

2 3

1 10000000

9999 7000

−2 3

−2 −3

7 1

Atenció!, hi ha nombres que no són racionals. A continuació veuràs 3 exemples de nombres que no són ∏

2

racionals:

7 3

Simplificació de nombres racionals Per simplificar un nombre racional hem de poder dividir el numerador i el denominador pel mateix nombre.

Per exemple,

8 9 no es pot simplificar perquè no hi ha cap nombre

que divideixi el nombre 8 i el nombre 9 alhora. A continuació veuràs exemples de simplificació:

8 4 a) 10 = 5

(hem dividit entre 2)

15 5 = 21 7

(hem dividit entre 3)

b)

CFA MESTRE ESTEVE

3

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Multiplicació de racionals La multiplicació de racionals és l'operació més senzilla:

5 3

5· 3

15

6 3

6· 3

18

a) 7 · 4 = 7· 4 = 28 b) 5 · 5 = 5· 5 = 25

Si els nombres són negatius es fa de la mateixa manera:

−5 3

c) 7 · 4 =

− 5 · 3 − 15 7· 4 = 28

6 3 6· 3 18 · d) − 5 − 5 = − 5 · − 5 = 25

Divisió de racionals 

Per dividir racionals hem de multiplicar-los, però escrivint el segon nombre invertit:

2 7 2 4 : · a) 3 7 = 3 4 = ...a partir d'aquí ja sabem continuar b) 

7 − 20 7 13 : · 5 13 = 5 − 20 =...

Una altra manera és, directament, multiplicar "en creu"

2 4 : 3 7 =

(al numerador escrivim 2·7 = 14)

=

14 12

(al denominador escrivim 3·4 = 12)

CFA MESTRE ESTEVE

4

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Suma de racionals La suma de racionals de vegades és molt senzilla: a)

5 3 5+3 8 = + = 7 7 7 7

(només cal sumar els numeradors)

b)

4 6 4 + 6 10 = + = 17 17 17 17

(i el denominador es copia)

c)

1 2 1+ 2 3 = + = 137 137 137 137

Aquests 3 exemples són senzills perquè els denominadors són iguals

Anem a veure aquest exemple:



5 3 + (denominadors diferents) 7 10

Primer trobem el mínim comú múltiple dels denominadors 5 3 (hem trobat mcm(7,10)=70) + = + 7 10 70 70



Ens falta trobar els numeradors:

5 50 = 7 70

(primer dividim 70:7 = 10. El resultat es multiplica per 5, i dóna 50)

3 21 = 10 70 (primer dividim 70:10 = 7. El resultat es multiplica per 3, i dóna 21) 

Ara que els denominadors són iguals ja és fàcil: 5 3 50 21 71 + = + = 7 10 70 70 70

CFA MESTRE ESTEVE

5

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Resta de racionals La resta funciona quasi igual que la suma.

a)

5 3 5− 3 2 − 7 7= 7 =7

(només cal restar els numeradors)

4 4− 6 − 2 6 − b) 17 17 = 17 = 17 c)

(i el denominador es copia)

2 1 1− 2 − 1 − = 137 137 137 = 137

Aquests 3 exemples són senzills perquè els denominadors són iguals

5 3 − Anem a veure aquest exemple: 7 8 (denominadors diferents) 

Primer trobem el mínim comú múltiple dels denominadors

5 3 − − 56 7 8 = 56 

(hem trobat mcm(7,8)=56)

Ens falta trobar els numeradors:

5 40 = 7 56

(primer dividim 56:7 = 8. El resultat es multiplica per 5, i dóna 40)

3 21 = 8 56

(primer dividim 56:8 = 7. El resultat es multiplica per 3, i dóna 21)



Ara que els denominadors són iguals ja és fàcil:

3 21 19 5 40 − − = 7 8 56 56 = 56 CFA MESTRE ESTEVE

6

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Operacions de racionals amb nombres enters Com es fa aquesta operació?

3 Fixa't: 7

3 23 6 2· = · = 7 17 7

L'únic que hem fet és escriure el nombre "2" així: 2 =

2 1

A continuació tens uns quants exemples:

5

4 5

20

a) 4· 13 = 1 · 13 = 13

−2

−2 6

b) 13 · 6 = 13 · 1 =

c)

2 5 1 5 5 5 · : 2= : 7 7 1 = 7 2 = 14

d) 4 +

e)

− 12 13

1 4 1 12 1 13 = + = + = 3 1 3 13 3 3

3 3 5 3 200 − 197 − 5= − − = 40 40 1 40 40 = 40

CFA MESTRE ESTEVE

7

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Nombres decimals Un nombre racional es pot escriure com un nombre decimal.

7 

7

Anem a escriure 4

com un decimal: 4 = 1,75

La manera de fer-ho és fer la divisió 7|4

a mà

1 

Un altre exemple: 2

pot ser, per exemple, mig euro. Si

1 l'escrivim com un decimal tenim: 2 = 0,50 (50 cèntims)

Arrodonir nombres decimals Si fem la divisió 15|7

a mà dóna aquest resultat: 2,142857143

Si volem arrodonir a 2 decimals escriurem això:

2,14

Mireu aquests exemples: 9,624 → 9,62 9,621 → 9,62 9,628 → 9,63

(Pregunta: per què en alguns casos escrivim 9,62 i en altres casos 9,63?)

9,627 → 9,63

Resposta: tot depèn del següent decimal. 

Si és 0,1,2,3,4 escriurem 9,62



Si és 5,6,7,8,9 escriurem 9,63

CFA MESTRE ESTEVE

8

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Els nombres racionals. Operacions i problemes

CLASSES DE FRACCIONS Las fraccions es clasifiquen en pròpies i impròpies. - Si el numerador es més petit que el denominador se’n diu fracció pròpia: 3 5

2 3

9 11

- Si el numerador es més gran o igual que el denominador se’n diu fracció impròpia: 9 7

5 3

7 7

ELS NOMBRES MIXTOS Tota fracció impròpia es pot escriure com un nombre mixt i viceversa. Un nombre mixt és el format per la suma d'una part sencera i una fracció, escrivint-se:

b a c

que significa a +

b c

Conversió de una fracció a nombre mixt Per escriure una fracció com a nombre mixt es fa la divisió: dividend resta = quocient divisor divisor

Exemple:

27 3 =6 4 4

27:4 = 6 (resta 3)

Conversió de nombre mixt a fracció Per escriure un nombre mixt en forma de fracció, es fa l’operació: a

Exemple:

CFA MESTRE ESTEVE

6

b a·c + b = c c

3 6·4 + 3 27 = = 4 4 4

9

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

1. −

5 3 2 + − = 6 4 3

2.

3 15 ⋅ = 5 45

3.

8 4 ÷ = 15 5

4. 5 ⋅

5.

Els nombres racionals. Operacions i problemes

3 1 + 4 6 = 12. 3 1 − 4 6

13.

1 1 1 1 1 1 1  1 1 ⋅ −  + ⋅ −  − ⋅ −  = 2 2 5 3 3 6 4  4 8

1 1 1 1   1 1 14.  +  ⋅  +  ⋅  +  = 2 3 3 4   4 5

3 = 10

4 ÷4 = 3

 4 2 5 15.  ⋅  ÷ =  5 3 8

1 1 1 1 1 1 6.  − + − +  ⋅ = 2 3 4 5 6 4

1 4 ⋅ 2 3 = 7 5 − 3 6

3+

16. 7.

7 3 1  ⋅ − = 5  10 15 

17. 1'5 − 0'6 + 1’0 1 =  5 15  ÷5 = 8.  + 8 4 

9.

18. −

2  1 1  3 1  − − + −  = 3 2 3 2 6

19. 5 3 5 10.  −  ÷ = 2 4 2

6 4  15  ⋅ ⋅ −  = 5 9  8

3 1 4  − ⋅ +1  4 2 3 = 20. 1 4 3 9 ⋅ + ÷ 4 5 5 10

11. 0'3 : (1’ 6 + 2’5) =

CFA MESTRE ESTEVE

5  3 2 − − −  = 6  4 3

10

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

LAS FRACCIONS I ELS NOMBRES DECIMALS

Totes les fraccions es poden escriure com un nombre decimal i viceversa.

Conversió de fracció a nombre decimal

Si realitzem la divisió entre el numerador i el denominador apareix un nombre decimal o un nombre enter. El nombre decimal que resulta en realitzar la divisió entre el numerador i el denominador pot ser: a) Un nombre decimal exacte. b) Un nombre decimal periòdic pur. c) Un nombre decimal periòdic mixt.

Exemples:

- Nombre enter:

15 =5 3

- Nombre decimal exacte:

64 = 2,56 25

La divisió dóna resta 0 - Nombre decimal periòdic pur:

23 = 0,696969... = 0, 69 33

El període (la o les xifres que es repeteixen) comença a la primera xifra decimal - Nombre decimal periòdic mixt:

5 = 0,4166666 = 0,416 12

El període (la o les xifres que es repeteixen) comença més enllà de la primera xifra decimal

CFA MESTRE ESTEVE

11

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Fracció generatriu d’un nombre decimal (conversió de decimal a fracció) 1. Fracció generatriu d’un nombre decimal exacte. Exemple: Troba la fracció generatriz de 1,62 1,62 =

162 81 = 100 50

És a dir, al numerador s’escriu el nombre sense coma, i al denominador s’escriu la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tingui el nombre decimal.

2. Fracció generatriu d’un decimal periòdic pur. Exemple: Troba la fracció generatriu de 3, 8 3, 69 =

38 − 3 35 = 9 9

la fórmula és la següent: N −E , on: T N = tot el nombre, sense la coma. E = la part entera del nombre. T = tants nous com nombres tingui el període.

3. Fracció generatriu d’un nombre decimal periòdic mixt. Exemple: Troba la fracció generatriu de 5,416 5,416 =

5416 − 54 5362 2681 = = 990 990 445

la fórmula és la següent: N −E , on: R

N = tot el nombre, sense la coma. E = la part entera del nombre i els decimals no periòdics, sense la coma. T = tants nous com nombres tingui el període i tants zeros com nombres decimals no periòdics tinguem. CFA MESTRE ESTEVE

12

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Troba la fracció generatriu dels nombres : 1. a) 16,4

b) 3,75

c) 10,452

d) 14,018

2. a) 25, 34

b) 5, 3

c) 17,17

d) 0, 456

3. a) 2,752

b) 12,413

c) 71,062

d) 4,1215 CFA MESTRE ESTEVE

13

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Problemes amb fraccions.

3 2 1 de fruita, de verdura i de patates. Volem saber: 8 5 6 a) Quina fracció de la caixa del camió està ocupada. b) Quina fracció queda lliure.

1. Un camió porta a la caixa

2. Un vaixell transporta 2500 quilos de pesca congelada. La quarta part és lluç, els 2 de la càrrega són sardines del Cantàbric, i la resta es compon de marisc. 5 a) Quina fracció del camió està ocupada per marisc? b) Quants quilos de lluç porta el vaixell? c) Quants quilos no són sardines? 3. Avui és la final de l’equip de futbol juvenil. Al camp de futbol

2 dels espectadors 3

1 en els dos fons, i queden 1000 localitats lliures. 5 Quants espectadors omplirien totalment el camp? estan situats als seients laterals,

4. Un pot de melmelada pesa 250 grams quan és ple només en una cinquena part. Quant pesa quan està ple? 5. Calcula: a) els tres mitjos de la meitat de 36 €. b) La quarta part del terç de dotze dotzenes. c) Els vuit terços del doble de 150 €. d) Els cinc setens de la dècima part d 350 €. 6. Si cada ampolleta de perfum conté

1 de litre, quants litres de perfum necessitarem 5

per omplir 100 ampolletes iguals? 7. El meu rellotge s’endarrereix mig minut cada hora. Quant s’endarrerirà en un dia? 8. Un quilo de patates primerenques val 3 €. a) Quant valen tres quilos i quart? b) Quants quilos podràs comprar amb 14 €? Expressa el resultat en forma de fracció.

CFA MESTRE ESTEVE

14

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

9. En un contenidor hi ha 300 paquets de sucre d’un quilo. 3 21. Quants quilos són els de la quantitat total? 5 22.

Quants diners s’ingressaran per la venda dels

3 de la quantitat total, si el 5

preu de cada paquet és de 2 euros i mig? 10. Contesta:

3 5 quilos de carn i de llucet. Quin pes porto en total? 2 4 36 11 D’una peça de roba de m, n’hem tallat un tros de m. Quants metres de 5 4 roba queden? 3 34 Per fer una feina he trigat d’hora buscant el material i d’hora per 8 9 col·locar-lo. Quant de temps he trigat a acabar la feina? 2 En un mas, el dilluns van recollir de 1500 ous i el dimarts, la meitat dels que 5 van recollir el dilluns. Quants ous havien post les gallines entre els dos dies? 23 9 Per poder escalar una roca necessito una corda de m, una altra de m i una 5 4 19 tercera de . Quina alçada té la roca? 6 9 5 7 En un triple salt, en Lluís ha fet m en el primer, en el segon i en el tercer. 4 2 4 33 Si tenia el rècord personal en m, quant li ha faltat per igualar-lo? 5 117 Un llibre de rondalles té 52 pàgines i mitja de text. Si ja n’he llegit , 5 quantes pàgines he de llegir encara? 3 2 Per una vedella he pagat de 3080 euros, i he venut un xai pels del valor de 4 7 la vedella. Quin preu té cada un d’aquests animals? 1 Un vaixell carrega a Barcelona de la capacitat de les bodegues; a València, 12 1 1 , i a Cartagena, . Quina part de la bodega podrà omplir a Cadis? 6 8 911 581 La Rosa ha recorregut km amb cotxe i l’Aurora, amb moto. Quants 5 5 quilòmetres més ha fet la Rosa que la seva cosina?

a) He comprat b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

CFA MESTRE ESTEVE

15

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

k) A la finca de l’oncle de la Maria Àngels, el blat ocupa ocupen

125 ha, les hortalisses 8

12 6 ha i els arbres fruiters, ha. Quantes hectàrees fa la finca de 5 4

l’oncle? l) La motxilla d’un muntanyenc conté 4 kg de material per a l’escalada, menjar i el sac de dormir, que pesa

11. En Joan tenia 60 € i n’ha gastat

9 kg de 4

6 kg. Quin pes total té l’equipament? 7

2 . L’Anna tenia 40 € i n’ha gastat la meitat. 3

2 del que tenia. 5 m) Quants diners han gastat entre en Joan i l’Anna? n) Quants diners tenen ara entre els tres?

L’Òscar tenia 50 € i n’ha estalviat

12. Si els

2 dels estalvis d’en Rafael són 100 €, quina quantitat té estalviada? 5

CFA MESTRE ESTEVE

16

Curs 2010-2011


ELS NOMBRES ENTERS


Matemàtiques III INTRODUCCIÓN Los números naturales - N - (del 0 al infinito - ∞) no bastan para dar una respuesta a todas las situaciones que aparecen en la vida real, como se puede ver en los siguientes casos: - El capital de una empresa es de 42 millones. ¿Activo (beneficios) o pasivo (quiebra)? - Escuchando el parte meteorológico se dice: "En Santander están a 4º y en Madrid a 2º. ¿Dónde hace más frío? La información es insuficiente si no se indica "bajo cero" o "sobre cero". - La latitud de una ciudad es de 28º 30'. ¿Dónde se encuentra situada, en el hemisferio norte o en el hemisferio sur? - Un barco está a la deriva a una longitud de 4º 5'. ¿Hacia el este o hacia el oeste? - Arquímedes nació en el siglo III. ¿Antes o después de Cristo? En estos casos, partiendo del origen, se distinguen dos sentidos: MAGNITUD ORIGEN Capital Pasivo 0 ptas. Temperatura Bajo cero 0º Latitud Hemisferio sur Ecuador Longitud Oeste Meridiano Greenwich Fechas Antes de Cristo Nacimiento de Cristo

+ Activo Sobre cero Hemisferio norte Este Después de Cristo

Para indicar cada uno de estos sentidos se utiliza una notación más cómoda, los signos (+) y (-) que se ponen delante del número.

1. Expresa con un número entero los siguientes hechos: a) Siete bajo cero: b) Bucear a 2 m de profundidad: c) Tener 500 ptas.: d) El año 620 a.C.: e) Tener ahorradas 5.000 ptas. pero deber 7.000: f) Nº de pisos que recorremos del 8º al 2º: Llamamos números enteros (Z) al conjunto de los enteros positivos y negativos, incluyendo el 0. Z {... -5, -4. -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5...} que se suelen representar sobre una recta:

CFA MESTRE ESTEVE

18

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 2. Representa gráficamente los siguientes números enteros:

3. Indica qué número representan los puntos señalados:

4. Identifica cuál de estos pares de enteros es mayor o menor, colocando el signo > (mayor que) o < (menor que): -2

+2

-7

0

+6

+8

-9

-12

-4

-5

0

-3

0

+3

-10

-8

Ordena de mayor a menor los números enteros que has relacionado:

CFA MESTRE ESTEVE

19

Curs 2010-2011


Matemàtiques III Valor absoluto

|-6| = 6

|-e| = e

|0| = 0

|+t| = t

|+9| = 9

5. Anota el valor absoluto de estos números enteros: |-1| =

|+2| =

|+7| =

|0| =

|-8| =

|-5| =

|+11| =

|+1| =

|+9| =

|-7| =

Represéntalos gráficamente:

Número opuesto El opuesto de un número es otro número con la misma magnitud, pero con distinto signo.

El opuesto de +2

es

-2

a) Cuál es el opuesto del opuesto de un número? b) ¿Cuál es el opuesto del valor absoluto de +7? ¿Y de -7?

CFA MESTRE ESTEVE

20

Curs 2010-2011


Matemàtiques III OPERACIONES CON ENTEROS Suma (+3)+(+7) = (+10)

(+5)+(-2) = (+3)

(-1)+(-3) = (-4)

(-9)+(+4) = (-5)

6. Calcula las siguientes sumas de enteros: (+15) + (+9) =

(-36) + (-4) =

(-21) + (-15) =

(+18) + (-6) =

(+13) + (-8) =

(-27) + (+14) =

(-49) + (+12) =

(+24) + (-32) =

(+11) + 0 =

0 + (-14) =

(+12) + (-12) =

(-17) + (-17) =

(+7) + (+9) + (-5) =

(-8) + (-12) + (-5) =

(+14) + (-7) + (-21) =

(-16) + (+6) + (+13) =

7. Halla el número entero desconocido para que estas sumas sean correctas: (+15) + (

) = (+7)

(-13) + (

(-45) + (

)=0

(+11) + (

) = (-23) ) = (+22)

(

) + (-9) = (-21)

(

) + (+10) = (+46)

(

) + (+31) = (-52)

(

) + (-18) = (+10)

CFA MESTRE ESTEVE

21

Curs 2010-2011


Matemàtiques III Resta (+9) - (+2) = (+9) + (-2) = (+7) (-7) - (-5) = (-7) + (+5) = (-2) a

-

b=a

+

opuesto b

8. Calcula las siguientes restas de enteros: (+8) - (+3) =

(-25) - (+11) =

(+6) - (+7) =

(+45) - (+45) =

(+14) - (+9) =

(+10) - (-18) =

(-9) - (+9) =

(-5) - (+2) =

(-15) - (-10) =

(+3) - (-12) =

9. Halla el número entero desconocido para que estas restas sean correctas: (

) - (+3) = (-10)

(-3) - (

) = (-6)

(-9) - (

(

)=0

) - (-7) = (+20)

Notación simplificada (+6) + (-7) + (+9) = 6 - 7 + 9 = 15 - 7 = 8 (-10) + (+4) + (-15) = -10 + 4 - 15 = -25 + 4 = -21 Uso de paréntesis Un paréntesis al que precede un signo + puede suprimirse, manteniendo los signos de los enteros contenidos en él: 12 + (7-8+9) = 12 + 7 - 8 + 9 = 28 - 8 = 20 Un paréntesis al que precede el signo - puede suprimirse, cambiando el signo de los enteros que contiene: 2 - (4 + 9 - 6) = 2 - 4 - 9 + 6 = 8 - 13 = - 5

CFA MESTRE ESTEVE

22

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 10. Calcula el valor de: 3-7+9-4= -6 + 4 + 7 - 3 = 8 - 12 - 7 + 14 = 10 + 4 -6 - 12 = -13 + 7 - 9 - 4 =

11. Resuelve estas operaciones, suprimiendo previamente los paréntesis: (2 + 3 - 5) + (-4 + 6) = (7 - 6 - 3) + (10 - 5 + 8) = (7 + 9) - (6 + 1 - 8) = - (15 - 4) + (11 - 6 + 3) = (-9 + 7 - 13) - (-6 + 5) = - (10 + 12 - 3) - (9 + 4 -2) = - (-3 + 6 - 9) - (12 - 8 + 5) = (15 + 1 -35) - (8 - 13) + (-2 +9 -6) = (-3 + 16) + (-8 + 7 - 9) - (6 -1) = - (-5 - 4 + 8) - (9 + 7) - (-1 - 3) =

Problemas de aplicación

A) Una ciudad ha registrado una temperatura máxima de 13º C y la mínima ha sido de 4º C bajo cero. ¿Cuál es la diferencia existente entre ambas temperaturas?

B) Calcula el crecimiento demográfico de una ciudad en la que se han registrado 357 nacimientos, 137 defunciones, 2789 emigraciones y 76 inmigraciones.

CFA MESTRE ESTEVE

23

Curs 2010-2011


Matemàtiques III Producto

+—+ =+ - — - = +

(+7) — (+6) = (+42)

+— - = - — += -

(+8) — (-5) = (-40)

(-3) — (-4) = (+12)

(-9) — (+4) = (-36)

12. Calcula: (-9) — (-6) =

(-12) — (-3) =

(+7) — (+9) =

(+4) — (+15) =

(-6) — (+8) =

(-10) — (+7) =

(+4) — (+7) =

(+9) — (-11) =

(+5) — (+1) =

(-1) — (+36) =

(-9) — (+9) =

(-13) — (-13) =

(-1) — (+3) — (+4) =

(-4) — (-12) — (-3) =

(+7) — (-2) — (-5) =

(-3) — (+6) — (+2) — (-1) =

(-8) — (+3) — (-6) =

División

+:+ =+ - : - = +

(+24) : (+3) = (+8)

+: - = - : += -

(+48) : (-6) = (-8)

CFA MESTRE ESTEVE

(-40) : (-10) = (+4)

(-54) : (+9) = (-6)

24

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 13. Calcula: (+35) : (+7) =

(-60) : (-15) =

(-72) : (-9) =

(+48) : (-12) =

(+42) : (-7) =

(-23) : (-23) =

(-63) : (+9) =

(+90) : (-5) =

(+64) : (-8) =

(-121) : (-11) =

(-100) : (-1) =

(+75) : (-25) =

56 = −7

45 = −9

96 = 8

− 32 = − 16 48 = − 12

− 100 = 4

Problemas de aplicación

A) Al comprar un terreno de 6.500.000 ptas. dimos una entrada de 1.700.000 y hemos abonado durante 3 años plazos mensuales de 45.000 ptas. ¿Qué cantidad nos queda todavía por pagar?

B) Las pérdidas de un negocio familiar durante los últimos meses se estiman en 75.000, 60.000, 95.000 y 130.000 ptas. ¿Cuánto corresponderá aportar a cada uno de sus tres miembros?

CFA MESTRE ESTEVE

25

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

Propiedad distributiva

(+3) — [(-2) + (+7)] = (+3) — (-2) + (+3) — (+7) (+3) —

(+5)

=

(+15) a — (b+c) =

(-6)

=

+

(+21)

(+15)

a—b + a — c

14. Aplicando la propiedad distributiva, resuelve las operaciones: (-7) — [(+4) + (-6)] = (+8) — [(-6) + (+5)] = [(-10) + (-3)] — (+9) = [(+7) + (+2)] — (-3) = (-5) — [(-11) + (-3)] = [(+4) + 0] — (-4) = Completa:

(

)—[(

[(+2) + (

)+(

) ] = (-6) — (+5) + (-6) — (-8)

) ] — (-1) = (+2) — (

) + (+5) — (-1)

Sacar factor común

3—7+3—5-2—3=

3 ( 7 + 5 - 2)

8—a-a—b+2—a—c= 6x + 14 zx - 10 xy =

CFA MESTRE ESTEVE

a ( 8 - b + 2c)

2x ( 3 + 7z - 5y)

26

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 15. Extrae el factor común de las expresiones: 2—9-3—2—5+2—7= 2 — 9 — 5 + 5 — 7 — 2 - 11 — 2 — 5 = 4x+xy+2xz= 4a-8b+6c= 10 a b - 12 a c - 15 b c =

16. Saca el factor común descomponiendo previamente cada entero en producto de factores: (+25) + (-30) + (+10) = (-36) + (+24) + (-18) = (+45) + (-90) + (-30) = Potencias (+3) 2 = (+9) (-5) 2 = (+25) (+4) 3 = (+64) (-2) 5 = (-32)

Sólo se obtiene resultado negativo en el caso que la base sea negativa y el exponente impar.

17. Calcula el valor de estas potencias de números enteros: (+6) 3 =

(+5) 4 =

(-3) 3 =

(-4) 2 =

(-2) 6 =

(-7)

=

(+9) 3 =

(+10) 5 =

(-10) 6 =

(-1) 4 =

(+1) 3 =

(-10) 3 =

3

18. Resuelve estas operaciones con potencias: (-2) 3 + (+1) 5 + (-4) 2 = (+3) 4 + (-2) 5 - (-5) 2 = (-7)

2

+ (-2) 4 - (-3) 3 =

(-10) 3 - (+6) 3 + (+5) 3 =

CFA MESTRE ESTEVE

27

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

ÀLGEBRA

CFA MESTRE ESTEVE

28

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

El grec Diofant, considerat el pare de l'àlgebra, va viure ja en l'època en què els grecs havien esgotat pràcticament totes les possibilitats de la matemàtica elemental i començaven a concentrar-se en la trigonometria i l'àlgebra. Un deixeble de Diofanto ens va deixar un escrit gràcies al qual podem saber quants anys va viure el seu mestre. Diu així: "Caminant! Aquí van ser sepultades les restes de Diofant. I els nombres poden mostrar, oh, miracle!, com de llarga va ser la seva vida, la sisena part de la qual va constituir la seva bella infància. Havia transcorregut a més una dotzena part de la seva vida, quan de borrissol es va cobrir la seva barbeta. I la setena part de la seva existència va transcórrer en un matrimoni estèril. Va passar un quinquenni més i li va fer joiós el naixement del seu preciós primogènit, que va lliurar el seu cos, la seva bella existència, que va durar tan sols la meitat de la del seu pare, a la terra. I amb profunda pena va descendir Diofanto a la sepultura, havent sobreviscut quatre anys al decés del seu fill.

En el transcurs d'aquest tema tractarem d'aprendre a resoldre situacions d'aquest tipus, utilitzant precisament els coneixements que ens subministra l'àlgebra.

CFA MESTRE ESTEVE

29

Curs 2010-2011


Matemàtiques III Equacions de 1r Grau Abans de començar amb les equacions de 1r grau, anem a repassar els conceptes previs: els monomis, així com la suma i la resta. Monomis: Recorda: •

Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d’un nombre (coeficient) i una o diverses lletres (part literal): Coeficient

part lateral

coeficient

3x •

part lateral 3 x2

El grau d’un monomi és la suma dels exponents de les lletres que el formen. 3x

3 x2

Monomi de primer grau

monomi de segon grau

Es diu que dos monomis són semblants quan tenen la part literal idèntica. 3 x2 5

4 x2 Suma i resta de monomis: Recorda: •

La suma, o la resta, de dos monomis solament pot efectuar-se quan tots dos tenen la mateixa part literal (quan són semblants): 3x + 5x = 8x

Quan so són semblants, l’operació queda indicada: 2x + 3x2

no es pot reduir

1. Opera: a) x + x + x =________

b) x + 2x = ______

b) x2 + x2 = _________

d) 3x + 2x = _____

e) 2x + 7x = ________

f) 5x – 2x = ______

g) 3x – 7x = ________

h) 5x – x = ______

2. Simplifica cada una de les expressions següents: a) 3x + 5x + 6x = ______

b) 7x – 10x + 2x = _______

c) 3x – 5 + 2x -1 = _______

d) 5x – 2x + 5 + 6 = ______

CFA MESTRE ESTEVE

30

Curs 2010-2011


Matemàtiques III Simplificació d’expressions algebraiques: Recorda: •

Exercici resolt: eliminar parèntesis i reduir: ( 3x – 5x + 2 ) – ( 2x + 4x – 5 ) = 3x – 5x + 2 – 2x – 4x + 5 = 3x - 5x – 2x – 4x + 2 + 5 = 3x – 11x + 7 = - 8x + 7

3. Elimina parèntesis i redueix: a) ( 3x + 2 ) – ( 2x – 1 ) =

b) ( 2x – x ) + ( x + 5x ) =

c) ( 3x + 2x – 3 ) – ( x + x – 1) =

Equacions de 1r grau: Recorda:_______________________________________________ •

Equació: és una igualtat algebraica que es compleix solament per a certs valors de les lletres.

Exemple:

2x + 5 = 11

Aquesta igualtat es compleix únicament

quan x = 3, i per a cap més valor es verifica. •

Membres d’una equació: són les expressions que apareixen a cada costat del signe de la igualtat.

Termes: són els sumands que formen els membres: primer membre

segon membre

3x–4

=

x+8

Termes •

Incògnites: són les lletres (x, y...) els valors dels quals volem obtenir.

Solucions: són els valors que hem de donar a les lletres perquè es compleixi la igualtat.

4. Considera l’equació 8 – 5x = 2x – 6 a) Escriu-ne els membres: 1r membre: _______ 2n membre: ______ b) Quin d’aquests valors és la solució de l’equació: x=1

CFA MESTRE ESTEVE

x = -2

x=2

31

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 5. Quines de les equacions següents tenen per solució x = 5 a) x – 3 = 7

b) x + 2 = 7

c) 2x + 5 = 20

d) X/5 + 1 = 2

e) 3x = 10 + x

Transposició de termes en una equació: Recorda:_______________________________________________ •

Per resoldre una equació aïllem la incògnita, és a dir, la deixem tota sola en un dels membres.

Per aïllar una incògnita necessitem transposar (canviar de costat) els termes.

Exemple: x + 5 = 7

Per aïllar la x sobra el 5 del primer membre.

X+5–5=7–5

Restem 5 en tots dos membres.

X=7–5

La x està aïllada.

X=2

La solució és x = 2

6. Aïlla x en cada equació: a) Resta 2 en cada membre:

x + 2 = 12

b) Suma 11 en cada membre:

x – 11 = 4

c) Divideix tots dos membres per 3:

3x = 15

d) Multiplica tots dos membres per 4:

x/4 = 5

7. Resol: a) 8 + x = 3

b) x – 6 = -2

c) 2x = -10

d) x/5 = 3

e) x – 5 = -4

f) -10 = 25 + 7x

CFA MESTRE ESTEVE

32

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 8.- Calcula: a) x – 10 + 2x = 23

b) 9x + 3 + 3x = -5

c) 7x + 5 + 3x = 1 + 2x + 4

d) 11 – 3x = 2x + 5 + 7x

e) 2 ( 5x – 4 ) – 3 = 9

f) 6 ( 2 – x ) = 3 ( x – 8 )

g) 1 – ( x + 1 ) = 2 ( 1 – x ) – 6

h) 5x /2 = 15

i) 10 – 2 [x – ( 3x – 1 )] = 6 – 5 (x – 4)

j) x/6 = 5/3

k) 5x/2 – 3 = 2

l) x/2 – 4 = 7

m) 3 (x + 2) = x – 6

CFA MESTRE ESTEVE

33

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 9.- Calcula: 2 1 1 a) x −  x −  = − x 3 4 2

b)

x 1 2x + = 2− 5 5 5

c)

x x 2 + = 2 3 3

10.- Si restes 13 a un nombre, n’obtens 91. Quin és el nombre? Problema resolt. Nombre:

x

equació:

x – 13 = 91 X = 91 + 13 X = 104

11.- Quina edat té la Rita, si sabem que d’aquí a 24 anys tindrà el triple que la que té ara? Ajuda:

Edat actual

x

Edat d’aquí a 24 anys

x + 24

El triple de l’edat actual

3x

12.- Un nombre i el següent d’aquest nombre sumen 67. De quin nombre es tracta?

CFA MESTRE ESTEVE

34

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 13.- Si sumem el doble i el triple d’un nombre, i en restem 6 al resultat, obtenim 119. De quin nombre es tracta?

14.- Calcula un nombre tenint en compte que si hi sumem 8 unitats i dividim entre 3, obtenim una unitat menys de la meitat del nombre.

15.- Si sumem 28 unitats al triple d’un nombre, obtenim el quíntuple del nombre menys 4 unitats. De quin nombre es tracta?

16.- En Joan té 4 anys menys que el seu germà Víctor i 1 any més que la seva germana Carolina. Si entre tots sumen 30 anys, quina és l’edat de cada un? Ajuda:

Joan

x

Víctor

x+4

Carolina

x–1

17.- En Robert té 3 anys més que la seva amiga Natàlia i 4 anys menys que el seu amic Francesc. Quants anys té cada un si sabem que l’any que ve, entre tots tres, completaran un segle?

CFA MESTRE ESTEVE

35

Curs 2010-2011


Matemàtiques III REPARTIMENT PROPORCIONAL Problema Resolt ________________________________________ Tres empreses associades aporten 2, 3 i 6 milions d’euros, per iniciar un negoci. Com han de repartir els 594.000 € obtinguts com a beneficis en el primer mes? IDEA CLAU: Quin benefici correspon a cada milió invertit?

Primer pas:

Quants milions s’han invertit? 2 + 3 + 6 = 11 milions

Segon pas:

Quin benefici correspon a cada milió? 594.000 : 11 = 54.000 €

Terces pas:

Quants milions s’endu cada empresa? Empresa A: 54.000 x 2 = 108.000 € Empresa B: 54.000 x 3 = 162.000 € Empresa C: 54.000 x 6 = 324.000 €

1.- Quatres especuladors aporten 2, 3, 4 i 7 milions d’euros, respectivament, per comprar un terreny que venen, un temps després, per quaranta milions. Com efectuen el repartiment?

2.- Dues aixetes, A i B, vessen aigua en un dipòsit de 900 litres fins a omplir-lo. El cabal de A és de 10 litres per minut i el de B és de 15 litres per minut. Quina quantitat d’aigua ha aportat cadascuna?

3.- Tres amics ajunten els diners per comprar, en una liquidació, un lot de 20 cintes de música. La Rosa hi posa 21 €, en Biel hi posa 24 € i la Maria la resta, que són 15 €. Quantes cintes s’endurà cadascú?

CFA MESTRE ESTEVE

36

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

x + 15 = 36 x = 36 - 15 x = 21

REFORÇ

1. Soluciona aquestes equacions, observant l'exemple resolt: x + 3 = 10

x + 90 = 150

21 + x = 32

x+7=5

x + 40 = 30

x + 12 = 0

x + 15 = 35

7 + x = 13

100 + x = 48

x + 10 = 3

x + 80 = 45

20 + x = 3

x-7=9 x= 9+7 x = 16

2. Resol: x - 3 = 10

x - 20 = 6

x - 240 = 135

x - 15 = 3

x - 5 = 31

x - 50 = 82

3x = 105 x = 105 / 3 x = 35

3. Calcula el valor d’ x en aquestes equacions: 2x = 26

5x = - 75

- 8x = 40

- 9x = -9

12 x = 10.800

2x = 7

2x = 3

4x = -35

3x = 27

4x = -56

7x = 70

15x = 900

3x = 11

7x = 630

-5x = 13

CFA MESTRE ESTEVE

37

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

x/9=5 x= 5—9 x = 45

4. Resol:

x/3=7

x/7=9

x / 15 = -4

x/5=8

x / 12 = 6

x / 10 = -10

35 / x = 7 x = 35 / 7 x=5

[ 35 / 7 = x ]

5. Resol:

24x = 6

64 / x = 16

96x = 3

90x = 15

180 / x = 12

161 / x = 23

3x - 30 = x 3x - x = 30 2x = 30 x = 30 / 2 x = 15

3x + 12 = 18 3x = 18 - 12 3x = 6 x= 6/3 x= 2

6. Resol:

8x + 12 = 10x

3x + 2 = 11

4x - 15 = x

2x - 5 = 3

3 + 6x = 5x

8x + 5 = 79

-17 + 3x = 2x

4x + 3 = -9

3x - 60 = 8x

9x + 30 = 3

-x - 48 = 3x

6x - 36 = -6

20x + 50 = 15x

4x - 5 = -29

CFA MESTRE ESTEVE

38

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

3 (x + 5 ) = 2 (20 - x ) 3x + 15 = 40 - 2x 3x + 2x = 40 - 15 5x = 25 x = 25 / 5 x=5

7. Resol aquestes equacions, tot suprimint prèviament els paréntesis:

3 (x - 1) = x + 11

5 (4 + x) = 7x - 2

3x - 11 = 2 (x - 7)

2 (2x + 5) = 5x - 2

3x + 26 = 5 (x + 6)

3x + 7 = 2 (8 + x)

4 (3x + 7) = 25

3 (6 + x) = 2 (x - 5) x x + = 10 2 3 3 x + 2 x 60 = 6 6 3 x + 2 x = 60 5 x = 60 x = 60 : 5 x = 12

Per treure denominadors es fa servir el mètode del mínim comú múltiple

8. Soluciona aquestes equacions, eliminant prèviament els denominadors: x −3= x 2

x + 12000 = 25000 4

x + 7 2 x + 10 = 3 2

CFA MESTRE ESTEVE

x −1 = 15 3

x + 20 = 3 x − 40 2

5+

39

x 2x = −1 2 3

Curs 2010-2011


Matemàtiques III PROBLEMES D’ EQUACIONS ¿QUIN NOMBRE SUMAT A 121 DÓNA 143? 121 + x = 143 x = 143 – 121 x = 22

1. Quin nombre restaries a 17 per obtenir 5?

2. Quin és el nombre el doble del qual és 76?

3. Busca un nombre que sumat a –10 ens doni 15.

4. El triple d'un nombre més 7 és igual a 37. Quin és aquest nombre?

5. Calcula el nombre la tercera part del qual més 10 és igual a 17.

6. El sou de dues persones summa 27.000 € annuals. Quant cobra cadascuna si una rep el triple de l'altra?

7. Troba un nombre la meitat del qual més 3.600 sigui igual al mateix nombre més 100.

8. La suma de dos nombres és 39. Quins són aquests nombres si el més gran és el doble del petit?

9. Anna estalvia 25 €. cada dia i el seu germà Jordi, 15 €. Quants dies trigaran a poder comprar, amb els estalvis dels dos, un cotxe que val 3.600 €?

10. Les edats de dos nens sumen 21 anys. Si un té 3 anys més que l'altre, quina edat té cadascun?

CFA MESTRE ESTEVE

40

Curs 2010-2011


Matemàtiques III 11. El pare té 5 anys més que la mare. Si entre els dos sumen 73 anys, quin és l'edat de cadascun?

12. Troba tres nombres consecutius que sumeixen 108.

13. Un pare té tres vegades l'edat del fill. Si entre els dos sumen 48 anys, quin és l'edat del pare? I la del fill?

14. En el galliner tenim junts gallines i conills. Rosa ha comptat 30 caps i José 84 potes. Quantes bèsties hi ha de cada classe?

15. Una bicicleta i un equip de futbol m'han costat 22.500 ptes. Quant val cada cosa si l'equip val la quarta part de la bicicleta?

16. En un párquing hi ha la meitat de cotxes blancs, la quarta part de vermells i la cinquena part de negres. Si també hi ha 6 grocs, quants vehicles hi ha al pàrquing?

17. El meu pare té 6 anys més que la meva mare. Quina edat té cadascun si dins de 9 anys la suma de les seves edats serà 84 anys?

18. Si el perímetre d'un camp rectangular és de 1200 metres i sabem que la base és 3 vegades l'altura. Quants pals necessitarem per barrar aquesta base si els col—loquem a una distància d'1,5 m?

CFA MESTRE ESTEVE

41

Curs 2010-2011


Matemàtiques III AUTOFORMACIÓ 1

1. Observa les figures de l'esquerra: segueixen un raonament lògic. Tria d'entre les opcions de resposta de la dreta la que segueixi el raonament.

8

9

2. El meu oncle estava tan cansat que se’n va anar al llit a les 9 de la nit, amb la intenció de dormir fins a les 10 del matí del dia següent. Per això va posar el seu despertador a les 10. Uns 20 minuts després, ja estava adormit. Quant va poder descansar abans que el despertador sonés?

3. Quina classe de parent meu és el fill de la germana de la meva mare?

CFA MESTRE ESTEVE

42

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

4. Uria Fuller, famós per les seves proeses psíquiques, és capaç de dir el marcador d'un partit de futbol abans que comenci. Fins ara mai ha fallat. Serà possible que encerti sempre?

5. Marca la paraula que completi de forma lògica cadascuna de les següents igualtats: 1. Pájaro es a canto como mujer es a ... a) humana b) animal

c) habla

d) hombre

2. Diez es a decena como veinte es a ... a) tiempo b) veintena

c) vigésimo

d) docena

3. Verde es a azul como algodón es a ... a) lana b) tela

c) blanco

d) blando

4. Trigo es a agricultura como oveja es a ... a) ganadería b) rebaño c) carne

d) cereal

5. Lima es a limar como telar es a ... a) tela b) coser

c) máquina

d) tejer

6. Oveja es a balido como gallina es a ... a) canto b) cacareo

c) barrita

d) resopla

7. Simpático es a antipático como alegre es a ... a) amargado b) triste c) ánimo

d) harto

8. Tío es a sobrino como yerno es a ... a) abuela b) padre

d) suegro

c) madre

9. Mover es a parar como trabajar es a ... a) producir b) descansar c) hacer

d) cobrar

10.Anciano es a vejez como niño es a ... a) infantil b) infancia

c) madurez

d) juventud

11.Jueves es a semana como junio es a ... a) estación b) mes

c) año

d) primavera

12.Hoja es a libro como fotograma es a ... a) revista b) escultura c) película CFA MESTRE ESTEVE

43

d) pintura Curs 2010-2011


Matemàtiques III 1. El primer conte d'Alícia

- Per què no em fas uns pastissets? - va preguntar el Rei de Cors a la Reina de Cors un fresc dia d'estiu. - Quin sentit té fer pastissos sense melmelada? - va dir la Reina furiosa -. La melmelada és el millor! - Doncs posa melmelada - va dir el Rei. - No puc! - va cridar la Reina-. Me l'han robada! - Com! - va dir el Rei-. Això és bastant greu! Qui l'ha robada? - Com vols que sàpiga qui l'ha robada? Si ho sabés l'hauria recuperat fa molt, i amb ella el cap del pocavergonya! El Rei va fer que els seus soldats emprenguessin la recerca de la melmelada desapareguda, i la van trobar a casa de la Llebre de Març, el Barreter Boig i el Liró. Els tres van ser immediatament detinguts i jutjats. - Anem a veure! - va exclamar el Rei en el judici-. Vull arribar al fons de tot això! No m'agrada que la gent entri en la meva cuina i em robi la melmelada! - Per què no? - va preguntar un dels conillets d'Índies. - Suprimiu aquest conillet! - va cridar la Reina. El conillet d'Índies va ser suprimit a l'instant. (Si heu llegit Alícia al País de les Meravelles recordareu el significat de la palabara suprimir: els oficials de la cort fiquen al conillet en una borsa de lona, ho tanquen amb cordes i hi seuen damunt). - I ara - va dir el Rei quan va haver passat la commoció davant la supressió del conillet d'Índies-, vull arribar al fons de tot això! - Això ja ho heu dit - va apuntar un segon conillet d'Índies. (Aquest conillet va ser igualment suprimit a l'instant). - Per casualitat vas robar tu la melmelada? - va preguntar el Rei a la Llebre de Març. - Jo no vaig robar la melmelada! - va declarar la Llebre de Març. (En aquest moment tots els conillets d'Índies que quedaven la van aclamar, sent suprimits immediatament). - I tu? - va cridar al Barreter, que tremolava com una fulla-. Per casualitat ets tu el culpable? El Barreter va ser incapaç d'articular una sola paraula; només respirava entrecortadamente i donava glopets al té. CFA MESTRE ESTEVE

44

Curs 2010-2011


Matemàtiques III - Si no té res a dir, això demostra la seva culpabilitat - va dir la Reina-, així que a deixar-li sense cap immediatament! - No,no! - va pregar el Barreter-. Un de nosaltres la va robar, però no vaig ser jo! - Preneu nota d'això! - va dir el Rei al jurat-. Aquesta prova pot resultar de summa importància! - I què passa amb tu? - va prosseguir el Rei amb el Liró -. Què has de dir tu a tot això? Han dit la Llebre de Març i el Barreter la veritat? - Almenys un sí - va replicar el Liró, qui es va quedar adormit per a la resta del judici.

Com va revelar la subsegüent investigació, la Llebre de Març i el Liró no deien ambdós la veritat. Qui va robar la melmelada?

2. En una important biblioteca van tenir un greu problema: una estranya mena de cucs es menjava el paper dels llibres i aconseguia fer-los malbé. En el segon prestatge hi havia dos volums de la Gran Enciclopèdia Catalana. Cada volum tenia 832 pàgines exactes. Un cuc va començar a menjar-se des de la primera pàgina del primer volum fins a l’última del segon. Quantes pàgines va perforar aquest cuc?

3. Cinc senyores berenen segudes al voltant d’una taula rodona. La senyora Garcia està seguda entre la senyora López i la senyora Rius. Elena està seguda entre Catalina i la senyora Desclot. La senyora López està entre Elena i Alicia. Catalina i Doris són germanes. Isabel està seguda amb la senyora Gómez a la seva esquerra i la senyora Rius a la seva dreta. Coloca els noms i cognoms al lloc que els correspon. Elena Alicia Catalina Doris Isabel

Garcia Desclot Gómez Rius López

CFA MESTRE ESTEVE

45

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

AUTOFORMACIÓ 2

2.

1. Marca la resposta correcta:

LOS PERROS CON DOS CABEZAS SON SERES VIVOS TODOS LOS SERES VIVOS SE ALIMENTAN

Suposant l’anterior, quina afirmació és certament veritat?

23. Mi perro tiene dos cabezas porque se alimenta. 24. Todos los perros con dos cabezas, sin excepción, se alimentan. 25. Ciertos perros con dos cabezas no se alimentan. 26. Algunos perros con dos cabezas no son realmente vivos.

CFA MESTRE ESTEVE

46

Curs 2010-2011


Matemàtiques III

3.

4. Indica el número que segueix en la següents sèries: 20, 21, 17, 18, 14, ... 1, 3, 9, 27, ... 7, 8, 6, 9, 5, 10, ... 1, 1, 2, 6, 24, ... 1, 20, 2, 15, 3, ...

5. Utilitzant només sis cerilles, series capaç de formar una figura que permeti comptar 8 triangles?

6. Quina de les quatre primeres figures pot obtenir-se girant i invertint la darrera figura de la dreta?

7. Quina de les figures indicades amb una lletra completa per lògica la següent analogia?

CFA MESTRE ESTEVE

47

Curs 2010-2011


Dossier GES 2 matemàtiques