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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA UNEFA - NÚCLEO LARA


(Conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

      

 


Descripción del método. La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.


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       . ´         .       . El método de Newton para resolver una ecuación de la forma siguiente:

  0 , se debe hacer lo

 Observando la grafica de la funciĂłn se estima un valor adecuado para la primera aproximaciĂłn 1  Sustituyendo la primera aproximaciĂłn en 1   

"#$ &'

% " #$

 ( 0 , se

obtiene una nueva aproximación en 2. Luego se calcula 3 sustituyendo en la segunda aproximación 2; y así sucesivamente hasta que se llegue a la igualdad   1  .  Para obtener una aproximación de K cifras decimales, se calculan cada uno de los números 2, 3, ‌, con una precisión de k cifras decimales.


Utilizando el método numérico de Newton para hacer una estimación de la solución de la ecuación: +,-./  0/  1  2 Comenzando con una aproximación de X1=1.50. Se puede observar la grafica de la función +,-./  0/  1  2

Podemos observar en la grafica que la raíz de esta ecuación está entre 1 y 2 más próxima a 2. Uno estima esta primera aproximación, observando la grafica de la función no es necesario que nos dieran este valor.


Sea X1= 1.50  2 &3  4  5 6 ´$  278&  4 #

De # . ´ # y la formula del método de newton se desprende que una segunda aproximación X2, estimando una primera X1, está dada por: 2 &3  4  5 278&  4 2 &3 1.50  4 1.50  5 6 9:  1.50  2 cos 1.50  4 2 0.9975  6  5 6 9:  1.50  2 0.0707  4 1.995  1 6 9:  1.50  0.1414  4 0.995 6 9:  1.50  C6 9: D 1.76 3.8586 9:  9; 


Una segunda ecuaci贸n de la ra铆z dada es 1.76 es diferente de la X1 por lo tanto debemos encontrar: Una tercera aproximaci贸n X3 es: 2 &3  4  5 9E  9:  278&  4 2 &3 1.76  4 1.76  5 2 cos 1.76  4 2 0.9822  7.04  5 6 9E  1.76  2 0.7881  4 1.9644  2.04 6 9E  1.76  0.3762  4 0.0756 6 9E  1.76  C6 9E D 1.75 7.3762

6 9E  1.76 


Una tercera ecuaci贸n de la ra铆z dada es 1.75 es diferente de la X2 por lo tanto debemos encontrar: Una cuarta aproximaci贸n X4 es: 2 &3  4  5 9F  9E  278&  4 2 &3 1.75  4 1.75  5 6 9F  1.75  2 cos 1.75  4 2 0.9840  7  5 6 9F  1.75  2 0.1782  4 1.968  2 6 9F  1.75  0.3564  4 0.032 6 9F  1.75  C6 9F D 1.75 7.3564


Comparamos X3 y X4 se tiene que son iguales los resultados 1.75 entonces hemos encontrado el valor aproximado de la raรญz de la ecuaciรณn. La soluciรณn de la ecuaciรณn +    0  1  2 es de 1.75

Hemos concluido con la soluciรณn de este problema.



newton