Scientific Journal of Control Engineering June 2013, Volume 3 Issue 3, PP.162-170

Research on the Inductance Computing of Complicated Coil by 3D FEM Lei Deng 1, Xixiu Wu 1, Benjin Wang 2, Shipu Wu 2 1. School of Automation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China 2. China Electric Power Research Institute, Wuhan 430074, China #

Email: wuxixiu@163.com

Abstract The calculation method of a complicated coil inductance in COMSOL Multiphysics software by 3D Magnetic vector potential Finite Element Method is proposed in this paper. Firstly, methods of inductance calculation are expounded and the principles of 3D magnetic vector potential finite element method used to calculate the inductance are analyzed as well. Basing on these, we conduct the expression of the magnetic energy represented by magnetic vector under 3D coordinate condition. Furthermore, a discussion of electromagnetic field control equations and the boundaries about utilizing energy method to calculate the inductance is presented. And the 3D FEM discrete equations of magnetic vector potential are deduced by using variation method. An inductance calculation sample for a complicated coil whose size is very large and which has large size difference between height and width is given to explain the process of setting 3D FEM electromagnetic field model in COMSOL Multiphysics. In order to solve the large size difference problem, finer and coarser mesh methods are applied to improve the grid meshing quality. In addition, the precision of electromagnetic computation is increased by using infinite element to simulate the outer boundary. In the end, an actual measurement is carried out to get the complicated coil inductance. The comparison of the simulation and the measurement shows a good agreement, which verifies that the 3D FEM inductance calculation method is correct and practical. Keywords: Inductance Calculation; Magnetic Vector Potential; Three Dimension Finite Element; COMSOL Multiphysics

*

1

1.1 电感定义 电感有多种定义。从磁场通量角度出发，定义与线圈交链的磁链对本身电流的变化率为电感： d LN dI

(1)

L

N   I I

(2)

Wm 

2W 1 2 LI ，则 L  2 m 2 I

(3)

1.2 电感计算方法 根据电感两种不同的定义，有两种计算电感的方法。从磁通的角度出发，利用通电线圈产生磁场 H， 求出磁通密度 B 的大小，然后利用公式    Bds 对磁通密度进行积分，求出磁通，得到与线圈铰链的磁链 大小，进而得到电感值[5]。其求解思路如下：

I  H  B  H 

  N  N  Bds或  L 

 I

Wm 

1

1

 B  Hd   2  2 

1

B d 2

(4)

M Wm  1   1 B 2d  2 e1 e 

2

(5) 2

2

M        1   1  A    A    A   d  2 i1 e   x   y   z  

(6)

2

2.1 电感计算电磁场原理 2.1.1

2.1.2

(7)

 2 A  J 场域V内   A s  C边界S上

(8)

n  A  0  n J 0

(9)

2.2 电感计算三维磁场的有限元方程 式(8)所对应的条件变分问题为： 1 1  I A   V   A    A d  VA  Jdv  min 2    A sC 

- 164 http://www.sj-ce.org/

(10)

 A A  2  A A  2  A A  2  y z x   z   y  x     1 1  z   z x   x y   dv I(A)    y 2 V   A x J x  A yJ y  A zJ z   

(11)

A e   N ej A ej

(12)

j 1

Aue   N ej Auej

u  x, y , z

(13)

j 1

Axe   N ej Axje  N e  Axe   Axe  N e  k

T

T

(14-1)

j 1

    N 

(14-2)

Aze   N ej Azje  N e  Aze   Aze  N e 

(14-3)

Aye   N ej Ayje  N e  Aye  Aye k

T

T

e

j 1

k

T

T

j 1

e

e

e

 I e  e e e e e e e  e   K xx Ax  K xy Ay  K xz Az  Fx   A  x

    

 

e   I   e e e e e e e  e   K yx Ax  K yy Ay  K yz Az  Fy  A   y 

 

    

 

 I e  e e e e e e e  e   K zx Ax  K zy Ay  K zz Az  Fz   A  z

    

 

(15-1)

(15-2)

(15-3)

 Ne   Ne   K    e 1 dv   V  p q p,q  x,y,z p  q T

e pq

F   N J dv e p

e

Ve

p

p  x,y,z

(16)

(17)

 K xx   K yx K  zx 即最后得到的有限元方程为：

K xy K yy K zy

K xz   Ax   Fx      K yz   Ay   Fy  K zz   Az   Fz 

 K  A   F 

2.3 磁场能量解的唯一性问题 当对 A 不加规范条件时，矢量磁位 A 的解可写成： - 165 http://www.sj-ce.org/

(18)

(19)

A  As  f

(20)

f 是不可确定的任意函数，于是磁场能量可表式为： Wm 

1 1 As  JdV   f  JdV 2 V 2 V

(21)

(22)

1 As  JdV 与任意项 f 无关，即不加库伦规范时，磁场能量的解唯一。 2 V

3

3.1 线圈特征与电感计算参数 现需对某一应用于高压暂态试验的大电流合成回路线圈的电感进行计算。该线圈由“日字形”结构的 铜排构成，铜排截面为 100 mm ×5 mm 的矩形，水平方向最大长度为 2610 mm，高度为 1410 mm，安全载 流量 1080 A，回路采用上下两层相互换位绕制方法，如图 1 所示。

(a) 线圈整体结构示意图

(b) 线圈部分实物图

3.2 COMSOL Multiphysics 计算步骤 3.2.1

Multiphysics 接 口 （ 软 件 中 “ 几 何 ” 节 点 下 “ 导 入 ” 设 置 ） 将 线 圈 几 何 模 型 （ 已 保 存 为 COMSOL Multiphysics 可识别的文件.sat 格式）导入至 COMSOL 中。为模拟无穷远边界，在导入的几何模型设置包 围铜排的球体，形成封闭区域，如图 2 所示；并采用“无限单元”域模拟铜排周围无限大求解区域[11]。 表 1 给出了线圈电感计算模型有关材料的参数设置。在 COMSOL Multiphysics 材料库中，空气的电导 率默认为 0。若将空气导电率设置为默认值 0，求解时会出现奇异矩阵，导致求解失败。由于铜的电导率 - 166 http://www.sj-ce.org/

(5.998×107)远大于空气电导率，因此可将空气导电率设置为 1（这样情况下，空气电导率仍可忽略不计）， 既不影响求解精度，又解决了矩阵求解问题。 3.2.2

COMSOL Multiphysics中的网格尺寸属性用来设定网格的大小，包括最大尺寸单元、最小尺寸单元、单 元比例、曲率解析度和窄区解析度等。软件中设置了包括极端细化、特别细化、粗化等九种不同的网格划 分形式，每种网格划分方式对应于不同的参数设置。 当模型几何尺寸的比例相差过大时，网格划分时需对单元尺寸进行控制，保证大尺寸和小尺寸之间的 网格能够平滑过渡，否则将导致网格单元划分失败（单元形状不满足要求）。模型的尺寸差别越大，需要 剖分的网格数量就越多 [10]。由于铜排区域几何尺寸差异大、转角处曲率半径大，为保证网格质量，避免网 格过于粗糙而导致划分时在几何面上出现交叉等错误，或曲率大的部分出现尖锐单元，线圈部分选择“较 细化”方式，且最小单元尺寸设置为0.005m；对于线圈以外的气体区域，尺寸均匀且不存在上述尺寸差异 问题，故采用较粗化的网格划分即可满足计算要求，同时也减小了整体自由度，降低对计算机内存的需求。 网格划分结果如图3所示。

1

5.998×107

1

1

1

1

(a) 整体网格

(b) 铜排部分网格

3.2.3

 u  1  u1   u  2  0

(23)

(a) 终端设置

(b) 接地设置

3.2.4

1113539

4

0.5839

6033111

Stationary

Rel.tolerance -4

5×10

Multigrid

FGMRES

multigrid

1874

4.1 仿真结果 图 5-8 是仿真计算结果图，其中图 5 是切面磁通密度分布图，在有线圈的部分磁通密度值明显大于其他 部分，磁通分布差异表明磁性元器件通电后的确产生感应磁场；图 6 是线圈上电势分布图，电势沿线圈电流 流向顺势降低。 选取过球心的水平截面进行分析，该面上磁通密度和磁势分布分别如图 7、8 所示。 由图 6 可知，线圈电势沿着电流流向降低且变化幅度大。线圈电势变化趋势与计算初始值的设置吻合。 图 7 中的箭头方向表示磁通密度的方向，面上磁通密度值最大为 2.42956 T，位于中心点附近，对应于 线圈中心部分竖直铜排附近；最小值为 7.5745×10-12 T，位于“无限单元”域的外表面。图 8 是该面上 x、y 方向磁矢势大小分布图。 模型中使用终端边界条件，软件由有限元方法解得磁矢势，进而得到磁通密度分布，最后对整个区域 进行积分，获得 Wm 值，电感 L 将作为电感矩阵的 L11 分量被自动计算[12]。因此，后处理节点下选择“全局 计算”，表达式处选择“电感”，即可得到电感值，为 473 μH。

4.2 线圈电感实测 采用直流电阻测试仪、标准功率源和六位半万用表对图 1 所示线圈电感进行测量，测得绕组的直流电阻 3.652 mΩ（5 A/50 Hz 标准电流激励，开口电压 0.7462 V），电感值为 475 μH。表 3 是仿真值与实测值之间 - 168 http://www.sj-ce.org/

5

473

475

REFERENCES [1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10] 颜威利, 杨庆新, 汪友华. 电气工程电磁场数值分析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2007 [11] 马慧, 王刚. COMSOL Multiphysics 基本操作指南和常见问题解答[M]. 北京: 人民交通出版社, 2009 [12] COMSOL Multiphysics AC/DC Module User's Guide. 2011, 5

【作者简介】 1

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Email: denglei90@hotmail.com

- 170 http://www.sj-ce.org/

Research on the inductance computing of complicated coil by 3d fem

Lei Deng, Xixiu Wu, Benjin Wang, Shipu Wu