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GEOMETRIA EUCLIDIANA


ANTECEDENTES HISTORICOS DEL METODO AXIOMATICO El primer intento se remonta a la axiomatización de los Elementos de Euclides (siglo IV-III a.C.), aplicado a la geometría plana. Euclides enuncia cinco postulados y cinco nociones comunes (axiomas), de los que deduce sus teoremas geométricos. Al mismo tiempo, Aristóteles aporta el primer enfoque de la lógica formal en el Órganon, recogiendo diversos axiomas de Platón y otros filósofos. En matemáticas, sin embargo, el primer intento de axiomatización llegó en 1888, cuando Richard Dedekind propuso un conjunto de axiomas sobre los números.2 Al año siguiente, Giuseppe Peano retoma los trabajos de Dedekind y expone sus axiomas aritméticos.


Gottlob Frege con su obra Die Grundlagen der Arithmetik y la posterior Grundsetze der Arithmetik, trata de reducir la aritmética a la lógica. Bertrand Russell en su intento de 1901 descubrió la paradoja del mismo nombre: «paradoja de Russell», y para resolverla trabajó con Alfred North Whitehead, en Principia Matemática. En 1899, David Hilbert reformula los axiomas de la geometría, y también explica los conceptos que Euclides dejó implícitos, por ejemplo, Euclides no dice que hay al menos tres puntos en el plano, o que hay al menos un punto en el plano que no pertenece a la línea, etc.


METODOS DE ESTUDIO DE LA GEOMETRIA En la geometría analítica se estudian las secciones cónicas como ser la elipse, la parábola, la hipérbola. Una aplicación interesante el de la parábola...como tú sabrás la Parábola es el conjunto de los puntos P del plano, que equidistan de un punto fijo llamado foco F y de una recta fija llamada directriz, pues todas las antenas parabólicas utilizan ese principio... para ser más explicito...la "canasta" de la antena es una parábola, el receptor de la señal está ubicado en el foco "F" por tanto toda señal capturada por la antena será enviada por definiciónmatemática al foco y se obtendrá la máxima recepción de señal.


La geometría analítica nace de la necesidad del estudio del propio universo y determinar su forma. por ejemplo para determinar un valor cualesquiera su referencia primaria ya sea un lado, una base o un radio en el caso de la esfera o un circulo. su uso primordial fue el de la emulación, que significa buscar una forma geométrica que representase concepciones generales para interpretar el valor fundamental de la totalidad o forma universal. El principio mas antiguo que se conoce es el uso de la geometría analítica en la FILOSOFIA MATEMATICA, donde el valor del cero se tomo comorepresentación de TOTAL y por tanto de la UNIDAD de donde parte todo, para tal efecto se le asigno la forma esférica por ser este un cuerpo geométrico perfecto, y del que parten todas las formulas matemáticas que existen y que aun no se descubren, pues hecho es cualesquier resultado para determinar por ejemplo un paralaje astronómico nos da una forma geométrica en trazo astronómico. Con ángulos que en su incidencia y arista de unión respecto a sus tangentes.


CONCEPTOS BASICOS DEL METODO AXIOMATICO Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada. Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera. Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.


Componentes de un sistema axiomático formal Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos: -Un alfabeto S para construir expresiones formales que -incluye: -Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas, cuantificadores -Un conjunto de símbolos para designar variables -Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija). -Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones. -Un conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones. -Una gramática formal que incluirá: Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal.


Reglas de inferencia que permitirรกn deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la "sintaxis" de la lengua formal. Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas son el punto de partida de cualquier deducciรณn. Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S-estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serรกn conjuntos pre asignados de la Sestructura). Las funciones y relaciones serรกn definidas como funciones y relaciones matemรกticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S-estructura.


Modelos para un sistema axiomático Si un conjunto de proposiciones (fórmulas bien formadas) de un sistema axiomático formal admiten una S-estructura donde se satisfacen, entonces se dice que dicha estructura es un modelo para el conjunto de proposiciones. Un sistema de axiomas que admite un modelo es un sistema de axiomas consistente. Un sistema formal bien construido satisface "teorema de validez" que viene a afirmar que cualquier proposición deducible de los axiomas o teorema del sistema axiomático, se satisface también, en todos los modelo que sean un modelo en el que se satisfacen los axiomas. La propiedad recíproca no siempre se cumple, una proposición que se satisface en todos los modelos de una teoría no tiene porqué ser deducible del sistema de aximas. Este último punto es ilustrado por los teoremas de incompletitud de Gödel, que viene a afirmar que una sistema formal de ciertos sistemas matemáticos con un conjunto de axiomas que satisface determinada propiedad formal (ser un recursivamente enumerables) admitirá un modelo en el que algunas proposiciones serán ciertas pero no serán deducibles


APLICACIÓN DE LA GEOMETRIA La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.


Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional. Axiomas La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana. En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.


En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.


CREDITOS Institución: Instituto Politécnico Nacional Escuela: CECyT 10 Carlos Vallejo Marques Profesora: Gabriela Villegas Integrantes del equipo: -Celon Altamirano Melisa Denice -Dionisio Vázquez Marisol -Reséndiz Trejo Hugo -Reyes Romero Ricardo Grupo: 2IM4 Salón: A-33

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