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GEOMETRI A EUCLIDIAN A


ANTECEDENTES HISTORICOS DEL METODO AXIOMATICO El primer intento se remonta a la axiomatización de los Elementos de Euclides (siglo IV-III a.C.), aplicado a la geometría plana. Euclides enuncia cinco postulados y cinco nociones comunes (axiomas), de los que deduce sus teoremas geométricos. Al mismo tiempo, Aristóteles aporta el primer enfoque de la lógica formal en el Órganon, recogiendo diversos axiomas de Platón y otros filósofos. En matemáticas, sin embargo, el primer intento de axiomatización llegó en 1888, cuando Richard Dedekind propuso un conjunto de axiomas sobre los números.2 Al año siguiente, Giuseppe Peano retoma los trabajos de Dedekind y expone sus axiomas aritméticos.


Gottlob Frege con su obra Die Grundlagen der Arithmetik y la posterior Grundsetze der Arithmetik, trata de reducir la aritmética a la lógica. Bertrand Russell en su intento de 1901 descubrió la paradoja del mismo nombre: «paradoja de Russell», y para resolverla trabajó con Alfred North Whitehead, en Principia Matemática. En 1899, David Hilbert reformula los axiomas de la geometría, y también explica los conceptos que Euclides dejó implícitos, por ejemplo, Euclides no dice que hay al menos tres puntos en el plano, o que hay al menos un punto en el plano que no pertenece a la línea, etc.


CONCEPTOS BASICOS DEL METODO AXIOMATICO Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada. Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera. Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.


CREDITOS Instituci贸n: Instituto Polit茅cnico Nacional Escuela: CECyT 10 Carlos Vallejo Marques Profesora: Integrantes del equipo: -Celon Altamirano Melisa Denice -Dionisio V谩zquez Marisol -Resendis Trejo Hugo -Reyes Romero Ricardo Grupo: 2IM4 Sal贸n: A-33


Componentes de un sistema axiomático formal Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos: -Un alfabeto S para construir expresiones formales que -incluye: -Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas, cuantificadores -Un conjunto de símbolos para designar variables -Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija). -Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones. -Un conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones. -Una gramática formal que incluirá: Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal.


Reglas de inferencia que permitirรกn deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la "sintaxis" de la lengua formal. Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas son el punto de partida de cualquier deducciรณn. Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S-estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serรกn conjuntos pre asignados de la Sestructura). Las funciones y relaciones serรกn definidas como funciones y relaciones matemรกticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S-estructura.


Modelos para un sistema axiomático Si un conjunto de proposiciones (fórmulas bien formadas) de un sistema axiomático formal admiten una S-estructura donde se satisfacen, entonces se dice que dicha estructura es un modelo para el conjunto de proposiciones. Un sistema de axiomas que admite un modelo es un sistema de axiomas consistente. Un sistema formal bien construido satisface "teorema de validez" que viene a afirmar que cualquier proposición deducible de los axiomas o teorema del sistema axiomático, se satisface también, en todos los modelo que sean un modelo en el que se satisfacen los axiomas. La propiedad recíproca no siempre se cumple, una proposición que se satisface en todos los modelos de una teoría no tiene porqué ser deducible del sistema de aximas. Este último punto es ilustrado por los teoremas de incompletitud de Gödel, que viene a afirmar que una sistema formal de ciertos sistemas matemáticos con un conjunto de axiomas que satisface determinada propiedad formal (ser un recursivamente enumerables) admitirá un modelo en el que algunas proposiciones serán ciertas pero no serán deducibles



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