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HACIA UN SISTEMA ALFA 0 SIMPLIFICADO

HACIA UN SISTEMA ALFAo SIMPLIFICADO

En el siguiente artículo se hace una exposición rápida del sistema ALFAo, se prueba que dos de las reglas del sistema son deducibles por éste mismo: con lo cual el sistema es reductible a 6 reglas de las 8 que tiene, se introduce una nueva regla de la cual se hace uso en otros sistemas de gráficos sin ser probada ni definida como regla del sistema y consecuentemente a ello se elimina otra regla del sistema cuyo valor deductivo es bajo, finalmente se expone una regla deducible del sistema que permite formular una de las reglas de ALFAo más fácilmente.

Presentación del sistema ALFAo El sistema de gráficos existenciales ALFAo propuesto por Yuri A. Poveda en el 2000 es una versión del sistema de gráficos existenciales alfa propuesto por Charles S. Peirce entre 1890 y 1910. En éste el autor propone modificaciones importantes al sistema alfa desde el punto de vista del manejo de las deducciones del sistema. Entre las diferencias más importantes se destacan un nuevo gráfico y la forma como se formulan las reglas de deducción. A continuación se presenta el sistema ALFAo. Sistema deductivo ALFAo Símbolos primitivos: El rectángulo: , la curva cerrada: con en los naturales y la letra λ.

, las letras proposicionales:

El rectángulo en ALFAo, un símbolo que representa la hoja de aserción no es un gráfico del sistema alfa. En el sistema alfa la hoja de aserción es la superficie donde se dibujan los gráficos y permanece en el metalenguaje. Así con la introducción de este nuevo gráfico se pueden definir de manera distinta las reglas del sistema alfa con una formulación que no depende de la paridad de las cortaduras. Además de ello, resulta de la introducción del rectángulo que hayan múltiples hojas de aserción en el sistema de Poveda mientras que en el original de Peirce la hoja de aserción es única. Axioma de ALFAo: El axioma de ALFAo puede ser entendido como la verdad, una constante en el mismo sentido que se entiende la verdad en el Cálculo Proposicional Clásico. En alfa se habla de zonas donde lo que se dibuja es verdadero y zonas donde lo que se dibuja es falso, esto es, zonas pares y zonas impares. En ALFAo no se habla de zonas pares e impares con sus respectivos valores de verdad, en éste, la verdad es el gráfico vacío y consecuentemente Brújula Revista de investigación científica

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todo lo que se deduzca de él. Esta diferencia, que parece indefensa pero que en realidad es fundamental establece dos caminos diferentes en la deducción para ambos sistemas: ALFAo un sistema que permite deducir reglas y gráficos naturalmente y alfa un sistema que permite deducir naturalmente gráficos pero con limitaciones para deducir reglas. Esto último como consecuencia de que en ALFAo se operativiza la deducción al estar definidas sus reglas en términos de la acción de borrar y dibujar gráficos y cortes sin tener en cuenta la paridad de las cortaduras. Reglas del sistema deductivo ALFAo A

A B

A A

A C A

A

B BB wa

AB

A B

A B

A

AB

AB

B

C

A

A A

A C AB

B

B

A

B C

Es de anotar que cada regla de ALFAo es una sub-regla de una de las reglas del sistema alfa. [Poveda: pág 5]. Con lo cual se tiene que toda regla de ALFAo se puede deducir del sistema alfa. La regla es una regla de segundo orden con respecto a las demás reglas de ALFAo, en tanto que ésta permite, dada una regla cualquiera como hipótesis, la que va antes de la raya horizontal, deducir otra regla. Esto es, permite deducir reglas a partir de otras reglas. Por ejemplo: Si se tiene la regla:

como premisa en la deducción entonces tendríamos que por la regla A

es válida

B A

Tal como lo señala Yuri Poveda en su artículo: la regla 8 es una meta-regla que equivale al metateorema de la deducción. Una regla fundamental en reemplazo de

:

Poveda prueba en su artículo que ALFAo es un sistema equivalente lógicamente al Cálculo Proposicional Clásico. En el mismo artículo el profesor anota que para deducir los axiomas y la regla del sistema axiomático de Rosser con las reglas y el axioma de ALFAo no es necesaria la Brújula Revista de investigación científica

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regla 1. Este hecho insinúa la posibilidad de que ésta regla sobre en el sistema o de que sea necesaria en la deducción de una regla más fuerte fundamental en ALFAo. Por otro lado, al hacer el ejercicio de deducir cantidad de verdades y reglas de ALFAo salen a la superficie tropiezos como el siguiente: cómo se demuestra con el sistema que: A

Si se tiene que

B

y

entonces se tiene que

A B

En el sistema alfa esta meta-regla no se somete a consideración en vista de que se acepta implícitamente. Tener dos gráficos en dos partes cualquiera de una misma zona de la hoja de aserción es igual que tenerlos cerca. Pero en el sistema ALFAo no hay razón alguna para aceptar esta meta-regla implícitamente y menos si se piensa que se están acercando dos gráficos que estaban alejados. En el Cálculo Proposicional Clásico la regla se puede leer en su forma más elemental como que dadas dos premisas cualquiera siempre se tiene la conjunción de estas, pero en este sistema esta regla o es una regla del sistema o es deducida por él. Para resolver el problema se debe introducir en ALFAo una nueva regla que permita deducir la meta-regla en mención y que sea tan intuitiva como fácil de manejar. La regla que resuelve el problema es la siguiente:

A

B

A

C

A

B C

Si se asume el gráfico A como al gráfico vacío queda deducida la meta-regla en cuestión. La regla también se puede deducir inmediatamente como se muestra a continuación:

A

A

A

A

A

A A

Al introducir la regla al sistema ALFAo se debe eliminar la regla como regla del sistema, con ello se logra reemplazar una regla muy débil que sobró al momento de hacer las deducciones con ALFAo de los axiomas y la regla del sistema de Rosser por una regla de segundo orden que es fundamental.

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Hacia una formulación más simple de las reglas de ALFAo: La regla puede ser formulada de una forma más simple y sin que ALFAo pierda algo de su capacidad deductiva. Nueva formulación de

:

Antigua formulación de A

A B

B

B

B

Compárese esta nueva formulación de la regla en mención con su anterior forma de ser enunciada. Ésta tenía al gráfico “A” como un gráfico acompañante en cada paso de la deducción. Definir las reglas con éste gráfico acompañante aporta una ventaja en la deducción: que da la posibilidad de que se transforme un gráfico dado en presencia de otro. ¿Pero en general se cumple que dados dos gráficos en la hoja de aserción se pueda transformar uno con el otro conservarse intacto? Si la respuesta es verdadera entonces la regla puede ser definida en la forma propuesta debido a que ya estaría demostrado que toda regla puede transformar un gráfico dado en presencia de otro cualquiera. A continuación la prueba de ello. A B

B

C

A B

A

A B

La regla

y

A C

pueden ser suprimidas del sistema ALFAo:

La misión en lo que resta del artículo es mostrar que además de eliminar de ALFAo se pueden suprimir las reglas y conservando intacto ALFAo su poder deductivo. Estas reglas son deducidas por las reglas , y ; y las reglas , y respectivamente; con lo cual las reglas asumidas para definir ALFAo pasarían a ser sólo 6 en vez de 8. Demostración de que A A

se deduce de las reglas

,

y

A B

B

_

_

B

_ A

B

A B Brújula Revista de investigación científica

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Demostración de que A C A C

B BB wa

A C

se deduce de las reglas

B BB wa

,

,

y

A

A C

B

A C

B BB wa

B

A C AB

Escrito por: Lic. Steven Zuluaga Duque. Bibliografía: Poveda, Yuri A. Los gráficos existenciales de Peirce en los sistemas ALFAo y ALFAoo. Bolentín de Matemáticas, Nueva Serie, Volumen VII, Número 1. Junio de 2000, pp 5-17. Zalamea, Fernando. Cursillo Lógica topológica: Una introducción a los gráficos existenciales de Peirce. Memorias del XIV Coloquio Distrital De Matemáticas y Estadística. Universidad Pedagógica Nacional. Diciembre 1-5 del año 1997. Zalamea, Fernando. Los gráficos existenciales peirceanos. Universidad Nacional de Colombia. Oostra, Arnold. Gráficos Alfa para la lógica intuicionista. IV jornada de Peirce en argentina. Año 2011. Zuluaga, Steven. Gráficos existenciales intuicionistas bajo una mirada geométrica. Tesis de grado: Universidad tecnológica de Pereira. Año 2011.

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