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GRテ:ICOS EXISTENCIALES INTUICIONISTAS DESDE UN ENFOQUE NO TRADICIONAL.

S. ZULUAGA.

Centro de Desarrollo IAI.


i

Zuluaga, Steven Grácos existenciales intuicionistas desde un enfoque no tradicional Colombia: Centro de Desarrollo IAI, 2012. 46 páginas. ISBN:978-958-57491-0-8 Primera edición. Versión en español. Colombia. Dirección de la investigacción: Poveda Quiñones, Yuri Alexander. Profesor de matemáticas Universidad Tecnológica de Pereira. Revisión: Oostra van Noppen, Anton Arnold. Profesor de matemáticas Universidad del Tolima. Serrano López, Herman José. Profesor de matemáticas Universidad Tecnológica de Pereira. Ilustrador(Portada): Gallego Mejía, Mario Alejandro Editor literario: Zuluaga Duque, Mauricio Derechos reservados: 2012, Editorial Centro de Desarrollo IAI. Colombia, Risaralda. fundacioniai@hotmail.com Hecho en Colombia ISBN:978-958-57491-0-8


Introducción El siguiente trabajo es uno más de los estudios que se hacen sobre los grácos existenciales de Peirce en Colombia, motivado por la sugerencia del profesor Yuri Alexander Poveda de encontrar un sistema de grácos existenciales equivalente al cálculo proposicional intuicionista. Problema al que se da solución en el presente texto. Los grácos existenciales de Peirce son sistemas deductivos que formalizan la lógica clásica de proposiciones (sistema alf a), de predicados (sistema beta) y la modal (sistema gama). Asimismo, son sistemas innovadores que aportan una visión totalmente nueva acerca de los principios lógicos, los cuales facilitan el aprendizaje, manejo, descubrimiento y deducción de verdades, además de ofrecer otras ventajas. Lamentablemente estos no han tenido gran acogida por la comunidad de lógicos; sin embargo, se encuentran entre quienes han estudiado los grácos de Peirce: Roberts y Zeman, en sus tesis de doctorado (donde se estudian con precisión los sistemas alf a, beta y gama); más tarde, Burch, Brady y Trimble; y, nalmente en Colombia, Oostra [1], Zalamea [2] y Poveda [4]. El mayor interés de este texto es, por un lado, presentar el sistema intuicionista de grácos existenciales (GEI ) obtenido a partir del sistema de grácos ALF Ao, propuesto por Yuri A. Poveda [4], y del sistema de deducción natural para el intuicionismo presentado por Van Dalen [3]. Y, por el otro, mostrar que es equivalente al Cálculo Proposicional Intuicionista. En el primer capítulo se presenta el sistema ALF Ao con algunas modicaciones, entre las que resaltan: la introducción de una nueva regla que marca la diferencia entre alf a y ALF Ao, y de una nueva notación que facilita hacer deducciones en ALF Ao. Igualmente, se formaliza el cálculo de reglas mediante cuatro deniciones que se introducen al inicio del capítulo, se estudian las simetrías de las reglas de ALF Ao, y las relaciones de estas con el Modus Ponendo Ponens, y con la inserción y eliminación de la doble cortadura. En el segundo capítulo se hace: una presentación del sistema de deducción natural para el intuicionismo, extraída del artículo de Van Dalen [3]; la denición de dos grácos nuevos para designar la implicación y la disyunción de un nuevo sistema, así como de una función de traducción de grácos a fórmulas; la presentación de un sistema de GEI (ALF AI ), cuyas reglas deductivas son obtenidas a partir del sistema de deducción natural antes presentado; el cambio de algunas reglas básicas de ALF AI por otras (teoremas del mismo); y la presentación del sistema de grácos ALF AIo que


iii

es equivalente a ALF AI . Finalmente, se agrega una regla no intuicionista al sistema ALF AIo y se estudia la equivalencia de este último con ALF Ao. En el tercer capítulo: Se aborda exegéticamente al artículo de Arnold Oostra en el cual expone un sistema de GEI [1] que, a diferencia de ALF AIo , armoniza con alf a en cuanto que conserva tanto la misma estructura para enunciar las reglas de transformación de grácos, como la notación para presentar las demostraciones. Y se enseñan algunas diferencias entre ALF AIo y el sistema propuesto por Arnold Oostra. Finalmente en los apéndices, se amplían las discusiones alrededor de algunos resultados importantes de los dos primeros capítulos. Doy mis más sinceros agradecimientos a: Yuri A. Poveda por haberme dado a conocer el problema, asesorarme durante toda la investigación y brindarme toda su experiencia; Herman Serrano y Arnold Oostra por sus signicativos aportes en la revisión del texto; mi madre y mi familia por ser ellos la razón de que pudiera dar conclusión a mis estudios.


Índice general 1. ALF Ao y la simetría de sus reglas 1.1. Sistema deductivo ALF Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Deducción en ALF Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1. Reglas inversas de ALF Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. R8 y la inserción de la doble cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. M P , R8− y la eliminación de la doble cortadura . . . . . . . . . . . . .

12

1.5. ALF Ao es reducible de 8 reglas deductivas a 6 . . . . . . . . . . . . . .

14

2. Grácos Existenciales Intuicionistas y el CP I

4

15

2.1. Grácos Existenciales Intuicionistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1. Deducción Natural para el intuicionismo [3] . . . . . . . . . . .

16

2.1.2. Sistema ALF AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.3. Deducciones en ALF AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Sistema deductivo ALF AIo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.1. Deducciones en ALF AIo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3. ALF AIo y el CP C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3. Los GEI de Arnold Oostra

28

3.1. Sistema de GEI -Oostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2. Diferencias entre ALF AIo y los GEI − Oostra . . . . . . . . . . . . . .

30

A. Deducciones en ALF Ao

i

A.1. Reglas inversas de ALF Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

A.1.1. Ejemplo de algunas deducciones usando Rc . . . . . . . . . . . .

iii

A.2. Otras consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv


ÍNDICE GENERAL

B. Deducción con los GEI

v

vii

B.1. Deducciones con ALF AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

B.2. Deducciones en ALF AIo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix


Capítulo 1 ALF Ao y la simetría de sus reglas El sistema ALF Ao es una versión del sistema alf a1 que propuesto Charles S. Peirce entre 1890-1910, en lo que respecta a que cada una de sus reglas es una sub-regla de las propuestas por él. Aquel sistema se diferencia de alf a principalmente porque ninguna de sus reglas deductivas se dene en función de la paridad de las cortaduras.

1.1.

Sistema deductivo

ALF Ao

Símbolos primitivos: El rectángulo

, la curva cerrada

, las letras pi ,qi ,ri ;Ai ,Bi ,Ci , i ∈ N y la letra λ.

Grácos bien hechos (gbhs): 1.

es gbh y p es gbh.

2. Dados A y B gbhs entonces AB y 0716A2534 son gbhs. 3. Todo gráco que se construya según 1. y 2. es gbh.

1 Este

sistema está bien descrito en [2]


1.1 Sistema deductivo

ALF Ao

2

Reglas deductivas (rds): 1. Dados G1 y G2 gbhs entonces G1 `G2 es una rd de primer orden. 2. Dadas R1 ,R2 ,...,Rj ,R rds de primer orden entonces

R1 , R2 , ..., Rj R

segundo orden.

es una rd de

Axioma del sistema:

Reglas deductivas del sistema: Se presentan las siguientes reglas según la denición de regla deductiva dada anteriormente, y bien sean de inserción o elminación. Esta clasicación aparece de forma indirecta en [4].

A) Reglas deductivas de primer orden: De inserción: Una regla es de inserción si para pasar de un gráco a otro se dibujan letras o curvas cerradas llamadas cortes.

R3 :

G@A FAB EDC

A FB EDC ` G@AB

R7 :

_XY ^ Z ]\[ AB

R4 :

g `B a fG@A F b e EDCd c AB

C

a fG@A F b e B EDCd c ` g`B C AB

^ G@A F 0716B Z ] 25B E34DC\[ ` _XAY

De eliminación: Una regla es de eliminación si para pasar de un gráco a otro se borran letras o cortes.

R2 :

AB ` A

R5 :

G@AB A FB EDC

A

A ` G@A FBB EDC

R6 :

G@A F 0716BB 25E34DC

A

A ` B


1.1 Sistema deductivo

ALF Ao

3

B) Reglas deductivas de segundo orden

AB

`

A ` B , A ` C

C R0 :

R8 : A

^ ] 16C2534\[ B07Z ` _XY

A ` BC

R0 puede ser considerada de inserción, mientras que R8 no, debido a que en esta se

elimina una letra en la premisa y se insertan letras y cortes en la deducción.

Mientras que en [4] está enunciada R1 como rd del sistema, aquí dicha regla ha sido reemplazada por R0 . Sin embargo, el sistema anteriormente propuesto es equivalente al cálculo proposicional clásico (CP C ) puesto que R1 se deduce del primero (la prueba se puede ver más adelante) y R0 , que se traduce como: α → β, α → γ ` α → β ∧ γ , del segundo. Aunque ambos sistemas son equivalentes lógicamente, R0 como regla deductiva del sistema, resulta ser ventajosa para hacer deducciones formales más ágilmente, además de abrir un nuevo camino en la interpretación de ALF Ao. Ello se evidencia en cada uno de los teoremas siguientes. A continuación se exponen algunas diferencias entre usar o no R0 . Deducción de la regla α, β ` α ∧ β haciendo uso de Ro

Teorema 1.1. ` A ,

` B

R0 ` AB


1.2 Deducción en ALF Ao

4

Deducción de la misma regla sin hacer uso de R0 Los sistemas descritos en [4] y [2] asumen como verdadera esta regla y la usan en algunas deducciones sin necesidad de formalizarla. Es decir, en estos sistemas tener los grácos A y B como premisas, implica tener su disyunción. En donde2 : Dadas las premisas

A

,

B

entonces

AB

En los sistemas en discusión, la hoja de aserción es única, de lo cual se deriva que la regla anterior se interpreta como que dados dos grácos que se hayan en zonas distintas de la hoja de aserción, estos se pueden juntar (dibujar en la misma zona). Se obtiene lo contrario al incluir la regla R0 en el sistema deductivo de grácos, donde es necesario que hayan múltiples hojas de aserción para que la regla tenga sentido. Más apropiado, esto último, para el sistema ALF Ao y para un posible sistema intuicionista de grácos, por ello la elección.

1.2. Deducción en ALF Ao Denición 1.2. G ALF` Ao G0 si y sólo si existen Gi ` Gi+1 rds de ALF Ao con 1 ≤ i ≤ n

donde G = G1 y G = Gn+1 (G es teorema formal si G es el axioma ó un teorema formal) 0

0

Denición 1.3. Dada la cadena {Gi ALF` Ao Gi+1 }1≤i≤n de rds entonces {Gi

`

ALF Ao

Gi+1 }1≤i≤n

G1 ` Gn+1

es una rd de segundo orden de ALF Ao

Denición 1.4. Dadas

{Ri }1≤i≤n R

de ALF Ao. Nota: Puede suceder que

{Ri }1≤i≤n R

y {Ri }1≤i≤n rds de ALF Ao entonces R es una rd

sea una rd de ALF Ao y que las rds {Ri }1≤i≤n y

R no sean de ALF Ao. [ver R8 ]

Denición 1.5. Dadas {Ri0 }1≤i≤n ∈/ ALF Ao y {Rj }1≤j≤m ∈ ALF Ao se tiene que 0

0

{Ri }1≤i≤n , {Rj }1≤j≤m {Ri }1≤i≤n ⇔ R R 2 La presentación de la siguiente regla es particular de [4]. En [2] la presentación cambia, pues tener dos grácos como premisas en cualquier parte de la hoja de aserciones es equivalente a tenerlos juntos en cualquier zona.


1.2 Deducción en ALF Ao

5

Teorema 1.6. R1 : A ` AA ∈ ALF Ao

A R`2 A , A R`2 A R0 A ` AA

Nótese que por la Denición 1.4. R1 ∈ ALF Ao A

Teorema 1.7. El modus ponendo ponens M P : _XAY 16B2534\[ ` ^07Z ]

A

B

∈ ALF Ao

A

_XA Y ^07Z ] 16B2534\[ R5 _XY ^07Z ] 16B2534\[ R2 _XY ^07Z ] 16B2534\[ R6

`

`

`

B

El Modus Ponendo Ponens (M P ) es una regla fundamental para la mayoría de los sistemas que axiomatizan la lógica clásica de predicados y, más aún, los tipo Hilbert. En ALF Ao, contrariamente, la regla M P pasa a un segundo plano por ser un teorema del sistema. Posteriormente, en este capítulo, se estudian con mayor profundidad las relaciones de esta regla con ALF Ao [ver pág 9]. 1.2.1.

Reglas inversas de

ALF Ao

Denición 1.8. Dados G1 y G2 gbhs y R1 ,R2 ,...,Rj ,R rds 1. La inversa de la rd G1 `G2 es la rd G2 `G1 2. La inversa de la rd

R1 , R2 , ..., Rj R

es la rd

R R1 , R2 , ..., Rj

La inversa de una rd R se denota como R− A FB EDC ` G@A FAB EDC ∈ / ALF Ao Teorema 1.9. R2− : A ` AB ∈/ ALF Ao y R3− : G@AB


1.2 DeducciĂłn en ALF Ao

6

Supongamos que R2− , R3− ∈ ALF Ao. Entonces:

`− 

` G@A FB E DC `− G@A FB EDC

,

R2

R8

R3

ContradiciĂłn. La falsedad no puede ser un teorema formal del sistema por ser consistente ALF Ao. ^0716C Z ] 2534 \[ ` _XBY

A

Teorema 1.10. R8− :

∈ ALF Ao `

AB

AB

`

R2

A

C

` _XBY ^0716C Z ] 2534 \[ , p

AB

`

R2

B

R0 B

AB

^0716C Z ] 2534 \[ ` ` _XBY MP

C

Se nota de inmediato que las reglas mĂĄs fuertes en ALF Ao son R8 y R0 , sin ser coincidente que sean de segundo orden. De igual manera, se espera que R8− sea igual de fuerte que su inversa. Esto Ăşltimo resulta ser verdadero, como se verĂĄ en las deducciĂłnes de las reglas inversas que restan.

ProposiciĂłn 1.11. R1− , R4− , R5− , R6− yR7− ∈ ALAF Ao [La prueba estĂĄ en el apĂŠndice]


1.3 R8 y la inserciĂłn de la doble cortadura

7

Diagrama resumen Una regla es deducida por todas las reglas que estĂĄn en los polos iniciales de las echas que llegan a ella. Por ejemplo: R5− es deducida por R8− , R3 , R4 y R7 . R5 , R6

- MP

R2



-

R1−

R4− 

I @ @ @

R8 ?

R0

-

?

@ @ R @

R8−

-

R6− , R7− 6

?

R5−



R3 , R4 , R7

Este diagrama puede variar un poco en la medida en que hayan diferentes deducciones de una regla, a travĂŠs de diversos grupos de reglas; no obstante, este revela relaciones importantes entre las reglas inversas de ALF Ao, ademĂĄs de mostrar cuĂĄles de ellas son las mĂĄs fuertes e importantes. Del diagrama se inere que: R1− es una sub-regla de R2 , debido a que es deducida directamente de esta; R2 y R8− son las reglas mĂĄs fuertes pues de estas salen 5 y 4 echas respectivamente, y de las otras salen menos de 4; R0 y M P cobran su importancia dado que son estas, con ayuda de R2 , las que deducen R8− , sin embargo las reglas fundamentales del sistema son R5 , R6 y R2 ya que deducen a M P . NĂłtese que R2 participa en la deducciĂłn de M P y R8− , y que sin R2 ½no habrĂ­a diagrama!, prueba de que es una regla primordial en ALF Ao.

1.3. R8 y la inserciĂłn de la doble cortadura La prueba que se hace en [4] para mostrar la equivalencia entre ALF Ao y CP C , sugiere que no es necesario usar R8 , basta con cambiarla por una regla de primer orden que


1.3 R8 y la inserción de la doble cortadura

8

permita insertar la doble cortadura, esto es, R6− , o incluso por una regla más débil que ` 8?/(>9).=:*-,+;<

esta última, como la siguiente Rc :

A continuación se muestran las deducciones de las reglas R6− y R7− , usando Rc en reemplazo de R8 . En lo que sigue se verá que ALF Ao no sufre cambios esenciales y que, empero, aparecen grandes diferencias en el modo en que se hacen las deducciones. 1. Deducción de R6− usando R8 y R0 `

AB

R2

B

` G@A F 0716B25B E34DC

R8

,

`

AB

R2

A

AB

F 0716BB 25E34DC ` A G@A

R0

2. Deducción de R6− usando R8 y sin hacer uso de R0

B

`

R2

B

R8 o hi nj ml k ` o hi nj ml k ` o hi nj ml k ` o hi nj ml k 0716B2534 _XY ^ G@A F 0716B ] Z 25B E34DC\[ R3 _XY ^ G@A F 0716B ] Z 25B E34DC\[ R4 _XAY ^ G@A F 0716B Z ] 25B E34DC\[ R7

A

B

`

A

R8−1

AB

F 0716B25B E34DC ` AG@A


1.4 M P , R8− y la eliminación de la doble cortadura

9

Si se comparan las dos deducciones de la regla R6− , se hace evidente la gran diferencia que resulta de usar o no R0 , tal como se advirtió al inicio del capítulo. Verbigracia: R0 reemplaza las reglas R3 , R4 , R7 y R8 , lo cual muestra su superioridad.

Deducción de R6− usando Rc . Esta demostración es similar a la anterior, salvo que los primeros pasos, donde se usa R8 , deben ser reemplazados por la siguiente prueba. A

A

A

A

` g`a f8?b e > 9= :;< d c ` g `a f8?b e > 9= :;< d c ` g `a f8?b e > 9= :;< d c R3 A R4 A A

Rc

A

` g`a f8?b e > 9A= :;< d c ` g `a f8?b e > 9A= :;< d c

R5−

R2

En la prueba anterior se usó R5− cuya deducción no hace uso de R8 . Se concluye que aunque Rc es más débil que R8 , el cambio de una por otra en ALF Ao no inuye en la capacidad deductiva del sistema, es decir, se pueden deducir la misma cantidad de reglas. Sin embargo, las deducciones se hacen más simples en la medida que se usen más reglas al estilo de R8 , R0 y R8− cuyo poder deductivo es superior.

1.4. M P , R8− y la eliminación de la doble cortadura Es importante para avanzar hacia el objetivo trazado (obtener un sistema de GEI ), conocer todas las relaciones que pueden tener cada una de las reglas de ALF Ao con R6 o, lo que es lo mismo, con la eliminación de la doble cortadura, regla que no es válida desde el intuicionismo. Para ello, se considera la regla R6 : 0

G@A F 0716BB 25E34DC

`

entre ésta, M P y R8−

Teorema 1.12. M P deduce R60 G@A F 0716BB 52E34DC

`

MP

B

Es fácil ver que con R2 ,R0 y M P se deduce R6

B

y se buscan las relaciones que hay


1.4 M P , R8â&#x2C6;&#x2019; y la eliminaciĂłn de la doble cortadura

10

Teorema 1.13. R2 , R8â&#x2C6;&#x2019; deducen M P _XA Y ^07Z ] 16B2534\[ R2 _XA Y ^07Z ] 16B2534\[

`

R8â&#x2C6;&#x2019; A

_XA Y ^07Z ] 16B2534\[

`

B

Teorema 1.14. R8â&#x2C6;&#x2019; , R8 , R3 , R4 , R7 deducen R60

07162534

`

R8

`

B

R3

07162534

B

`

R4

0716B2534

`

R7

G@A F 0716BB 25E34DC 0716B2534

R8â&#x2C6;&#x2019; G@A F 0716BB 25E34DC

`

B

Basta con insertar el grĂĄco AB en cambio de B y seguir un procedimiento similar al anterior para deducir R6 .

Diagrama: Relaciones entre M P, R8â&#x2C6;&#x2019; y la doble cortadura

MP I  @@ @@ @ @ R2 ,R5 R2 @@ @@ R@ @

R0 ,R2

R8â&#x2C6;&#x2019;

R0 ,R2 ,R5

0

R6

 R8 ,R3 ,R4 ,R7

-


1.5 ALF Ao es reducible de 8 reglas deductivas a 6

11

Tal como se puede ver en las pruebas precedentes, la eliminación de la doble cortadura es fundamental en ALF Ao, hasta el punto de ser necesaria para demostrar M P y R8− . Lo anterior se da conforme que en ALF Ao la implicación (y la disyunción) no es independiente de la negación y la conjunción, como sí sucede en el cálculo proposicional intuicionista (CP I ). De esta manera para obtener un sistema intuicionista de grácos existenciales es necesario deshacer dicha dependencia.

1.5. ALF Ao es reducible de 8 reglas deductivas a 6 Cada una de las reglas básicas del sistema ALF Ao (de R1 a R8 ), parecen ser necesarias para formar un sistema equivalente al CP C , esto debido a que originariamente cada una de estas fue denida con base en las reglas del sistema alf a de Peirce. No obstante, las reglas R7 y R4 pueden ser suprimidas como reglas deductivas básicas del sistema, para pasar a ser teoremas de un subsistema de ALF Ao.

Teorema 1.15. R7 es deducible por R5 ,R2 y R8 .

A

HOAB N IJ MLK

`

R5

A

OHI NBM JLK

`

R2

OHI NBM JLK

R8 g `a f b ed c AB

f e A F 0716BB 25E34d cDC A G@b ` g`a

Teorema 1.16. R4 es deducible por R5 ,R2 ,R6 y R8 . Este teorema se deja como ejercicio al lector. El subsistema que resulta de suprimir R7 y R4 de ALF Ao es equivalente al CP C . Con lo cual se obtiene un sistema más simple que el anterior.


Capítulo 2 Grácos Existenciales Intuicionistas y el CP I La primera presentación de un sistema formal para la lógica intuicionista fue publicada por Arend Heyting en 1930 y su formalización fue presentada al estilo Hilbert (dos reglas de inferencia y gran cantidad de axiomas). Cuatro años más tarde, Gerhard Gentzen dio a conocer dos alternativas diferentes para formalizarla: el cálculo de secuencias y la deducción natural, esta última caracterizada tanto por tener reglas de inserción y eliminación para cada conectivo, como por tener una notación abreviada para las deducciones. Posteriormente, Arnold Oostra presentó en [1] una versión de grácos existenciales, equivalente al CP I , simétrica en el sentido original (el adoptado en las presentaciones para el sistema alf a). En este capítulo se muestra un sistema de GEI construido a partir del sistema de deducción natural para el intuicionismo presentado por Dirk Van Dalen [3], el cual conserva algunas de las características que diferencian al sistema ALF Ao del sistema alf a. El camino elegido para hallar este sistema fue totalmente diferente al seguido por Arnold Oostra, quien se basó fundamentalmente en el sistema alf a y el legado peirceano. Por ejemplo, se introdujeron dos grácos nuevos, uno para representar la implicación y otro, para la disyunción; sin embargo en lo que respecta a la negación y la conjunción se usaron los grácos de ALF Ao; en el caso del conjunto de reglas deductivas básicas se copiaron las del sistema de deduccíon natural para el intuicionismo antes mencionado, mediante una función que permite hacer traducciones de fórmulas a grácos; y, nalmente, se renó el sistema de grácos obtenido.


2.1 Grácos Existenciales Intuicionistas

13

2.1. Grácos Existenciales Intuicionistas Dibujos que representan la implicación y la disyunción: para la implicación y

0123 0123

para la disyunción.

Nota: la curva punteada fue usada por Peirce para la lógica modal como representación de lo posible; sin embargo aquí se ha tomado este dibujo con una connotación totalmente diferente que se hará conocer más adelante. 2.1.1.

Deducción Natural para el intuicionismo [3]

Símbolos primitivos: La conjunción ∧, la disyunción ∨, la implicación →, los paréntesis (,), las constantes: falsedad ⊥ y verdad >, y las letras pi ,qi ,ri ;Ai ,Bi ,Ci , i ∈ N.

Denición 2.1. fórmulas bien formadas (f bf ): 1. Una proposición atómica p es una f bf 2. Las constantes son f bf 3. Si A y B son f bf s, entonces A ∧ B , A ∨ B , A → B son f bf s 4. Las fórmulas construidas según 1. 2. y 3. son también f bf s

Denición 2.2. ¬A=A→⊥ Reglas deductivas del sistema A) Reglas deductivas de primer orden De inserción

∧i :

A B A∧B

∨i :

A A∨B

B A∨B

De eliminacíón

⊥e :

⊥ A

∧e :

A∧B A

A∧B B

→e :

A→BA B


2.1 Grácos Existenciales Intuicionistas

14

B)Reglas deductivas de segundo orden

A B [A] A→B

→i :

∨e :

A

B

A∨B C C

C

[A][B]

Las fórmulas entre corchetes representan premisas canceladas en la nueva deducción. La regla →i es una versión débil del Meta-teorema de la deducción que se puede enunciar así: si α ` β entonces ` α → β . En este mismo sentido, la regla ∨e se puede enunciar como: si α ` γ, β ` γ entonces α ∨ β ` γ

Ejemplo de una deducción del sistema Teorema 2.3. Intuicionistamente se deduce A ∨ B → B ∨ A A A∨B

∨i

B

∨i

B∨A B∨A ∨e [A][B] B∨A →i [A ∨ B] (A ∨ B) → (B ∨ A)

Denición 2.4. función de traducción (*) de grácos a fórmulas. Para toda proposición p y para todo gráco A y B ∗

1.

=⇒ > ∗

2.

p

=⇒ p ∗

3.

AB

∗ =⇒

A

∗ ∧

B


2.1 Grácos Existenciales Intuicionistas

15

∗ 0716A2534

4.

∗ =⇒ ¬

A

5.

∗ =⇒

A B

A

6.

0123 A 0123 B

2.1.2.

∗ B

∗ =⇒

Sistema

∗ ∨

A

B

ALF AI

A continuación, con el n de denir el sistema ALF AI , se copian las reglas del sistema de deducción natural para el intuicionismo, mediante el uso de la función denida anteriormente (tal como se advirtió al inicio del capítulo), asimismo se agregan los símbolos primitivos de ALF Ao, su único axioma y la regla R0 .

Símbolos primitivos: y

Los símbolos del sistema ALF Ao y las cortaduras

0123

Denición 2.5. Grácos bien hechos (gbh) 1. los grácos construidos según la regla de construcción de grácos del sistema ALF Ao son gbhs

2. Si

A

,

B

son gbhs

A B

,

0123 A 0123 B

3. los grácos construidos según 1. y 2. son gbhs

son gbhs


2.1 GrĂĄcos Existenciales Intuicionistas

16

Axioma del sistema Reglas deductivas del sistema A) Reglas deductivas de primer orden: De inserciĂłn

Iâ&#x2C6;¨

A 0123 B ` 0123

A

_XY ^AZ ]\[

IÂŹ

Y ^Z ]  \[ ` _XA

De eliminaciĂłn (la regla Eâ&#x160;Ľ tambiĂŠn puede ser considerada de inserciĂłn)

R2 :

EÂŹ :

AB ` A

_XA Y ^Z ]  \[

A

M Pi :

_XA Y ^Z ] B \[

`

Eâ&#x160;Ľ :

B

^AZ ]\[ ` _XY

G@A FB EDC

` A

B) Reglas deductivas de segundo orden:

AB

`

A ` B , A ` C

C R0

R8i : A

`

_XB Y ^Z ] C \[

A ` BC


2.1 Grácos Existenciales Intuicionistas

17

`

A

,

C

B

`

C

0123 A 0123 B

`

C

E∨ :

Nota: La traducción de la regla →i a grácos da como resultado una regla más débil que R8i . Se decidió tomar R8i en cambio de su similar más débil, para lograr cierta homogeneidad o similitud con ALF Ao. Sin embargo, en el apéndice se hizo la prueba de R8i utilizando la regla que se traduce directamente de →i , nombrada como R8id . 2.1.3.

Deducciones en

A

ALF AI

^C Z ]\[ ` _XBY

Teorema 2.6. R8i− :

∈ ALF AI . AB

`

C

Ver la prueba del teorema anterior en el Apéndice. B ` R C

Teorema 2.7.

∈ ALF AI A A B ` C

A ` ` B R2 B R C

, A ` A B R2

R0 A A B ` C


2.1 Grácos Existenciales Intuicionistas

18

La regla que se acaba de demostrar es una consecuencia directa del uso de R0 . En otros sistemas como alf a y los GEI presentados por Arnold Oostra, esta regla es asumida en el meta-lenguaje. En adelante, el uso de ella no será señalado en procura de simplicar la presentación de las demostraciones. fb e a f07b e 16A2534 d c ∈ ALF AI Teorema 2.8. Ip2 : g`Ba A dc ` g`B

g `B a fAb ed c

` g`BA a fb e '!&%"#$ d c ` M Pi

BA

07162534

BA

R8i g `B a fAb ed c

a f07b e 162534 d c ` g `a fb ed c ` g`A E¬ A

B R8i g `B a fb e A dc

^Z ] Teorema 2.9. Ep : _XAY B \[ `

_XA Y ^Z ] B \[

A 0716B2534

`

M Pi

B 0716B2534

`

M Pi

a f07b e 16A2534 d c ` g`B

_XA Y ^07Z ] 16B2534\[

∈ ALF AI

'!&%"#$

R8i _XA Y ^Z ] B \[

07162534 07162534 a fB b ed c ` g `A a fB b ed c ` g`A E ¬ 


2.1 Grácos Existenciales Intuicionistas

19

Teorema 2.10. Ip3 : 0123 A 0123 B ` 0716A2534 B ∈ ALF AI

0716A2534

B

`

A 0716A2534

B

R2

` _XY ^Z ]\[ `

E⊥

M Pi

B

,R8i

R8i

B

f 16A2534 b e B dc ` g`07a

A

f 16A2534 b e B dc ` g`07a

E∨ 0123 B A 0123

` 7016A2534 B

Teorema 2.11. 0123 A 0123 B ` 0716A2534 0716B2534 ∈ ALF AI

0123 A 0123 B

` 7016A2534 B

Ip3

` 7016A2534 0716B2534

Ep

Algunos de los teoremas demostrados sugieren el cambio de las reglas básicas de ALF AI por aquellos, dada su sencillez, pues permite obtener un sistema más simple de manejar y de mejor apariencia geométrica. A continuación se presenta el sistema ALF AIo que resulta de cambiar las reglas I¬ , E⊥ , E¬ de ALF AI por los nuevos teoremas Ip1 , Ep2 , Ip3 .


2.2 Sistema deductivo ALF AIo

20

2.2. Sistema deductivo ALF AIo Axioma del sistema Reglas deductivas del sistema A)Reglas que se conservan: M Pi , I∨ , R8i , R0 , E∨ , R2

B)Reglas nuevas:

Ip3 :

0123 A 0123 B

` 7016A2534 B

Ep :

_XA Y ^Z ] B \[

`

Ip2 :

g `a f e Ab B dc

`

g `A a f07b e 16B2534 d c

_XA Y ^07Z ] 16B2534\[

ALF AIo es un sistema de GEI cuyas reglas proponen nuevo contenido geométrico respecto de los otros sistemas de grácos existenciales. La regla Ep es un ejemplo claro

de esto, ya que se puede enunciar como: toda curva cerrada simple punteada se puede clausurar (completar) ; con lo cual se tiene que para pasar de una impliación de dos grácos a su equivalente en términos de la negación y la conjunción, basta con clausurar las curvas punteadas. De manera análoga sucede con Ip3 , donde el paso de la disyunción de dos grácos a su implicación, deriva de clausurar una de las curvas semi-punteadas y abrir (lo contrario de clausurar) la otra curva semi-punteada. De este modo, se obtiene así un sistema simple de manejar y con alto valor geométrico. ALF AIo es equivalente a ALF AI , esto se prueba demostrando que I¬ , E⊥ , E¬ son deducciones del primero. 2.2.1.

Deducciones en

Teorema 2.12. Ic :

A

ALF AIo ^ 0716A25Z ] 34 \[ ∈ ALF AIo ` _XY


2.2 Sistema deductivo ALF AIo

`

A

R2

21

A

R8i ^A Z ]\[ ` _XY ^ 0716A25Z ] 34 \[ ` _XY Ep

A

Teorema 2.13. E⊥ ∈ ALF AIo 8?> 9= :;<

07'!16&%25"#$34

` 0123 '!&%"#$ 0123 A I`p3 07'!16&%"25#$34 A I`c 07'!16&%25"#$34 A

I∨

`

M Pi

A

Teorema 2.14. R50 ∈ ALF AIo R5 es un caso particular de R5 , regla que se trató en el primer capítulo. A A 0

g `a f b ed c AB

` g`A a f07b e 16B2534 d c ` M Pi

Ip2

0761B2534

Teorema 2.15. I¬ ∈ ALF AIo _XY ^AZ ]\[

` _XY ^ ] '!&%"#$ \[ AZ

Ip2

Teorema 2.16. E¬ ∈ ALF AIo 07'!16&%25"#$34

_XA Y ^Z ] '!&%"#$ \[ Ep _XA Y ^07Z ] '!16&%"25#$34\[ Ic _XA Y ^07Z ] '!16&%"25#$34\[ R50 _XA Y ^Z ]\[

`

`

`

Los anteriores teoremas prueban la equivalencia entre ALF AIo y ALF AI . Ahora sólo queda por responder una pregunta: Es posible obtener un sistema de grácos existenciales equivalente al CP C del cual ALF AIo sea un sub-sistema? A continuación se deducirán aquellas reglas de ALF Ao que pertenecen a ALF AIo .


2.2 Sistema deductivo ALF AIo

22

Teorema 2.17. R5 ∈ ALF AIo A

g `a f b ed c AB

`0 g`a fb e B dc

R5

A

A

A

A

, g`a f b ed c ` AB R2

R0 g `a f b ed c AB

fb e B dc ` g`a

Teorema 2.18. R7 ∈ ALF AIo g `a f e Ab B dc

`

Ip2

g `A a f07b e 16B2534 d c

g `A a fG@A F 07b e 16BB 25E34DCd c

`

Ep

R7− se deduce con el n de facilitar la deducción de la regla R3

Teorema 2.19. R7− ∈ ALF AIo o hG@A F 07i n 16B25B E34DC j m k Al

o hG@A F 07i n 1625B E34DC j ml k o hi nj ml k ` B A `0

Ic

AB

F 0716B25B E34DC A G@A

R5

R8i o hG@A F 07i n 16B25B E34DC j m k Al

`

g `B a fA b ed c

Teorema 2.20. R3 ∈ ALF AIo 0716A2534

` @ABC 0716A2534 @ABC 0716B2534 ` G@A F 0716B 25E34DC 7016B2534 Ip3 A

I∨

` G@A F 0716AB 25E34DC G@A F 0716B25B E34DC `− R7

Ep

A B


2.3 ALF AIo y el CP C

23

En resumen, las reglas R0 , R2 , R3 , R5 y R7 pertenecen a ambos sistemas (ALF Ao y ALF AIo ).

2.3. ALF AIo y el CP C La mayoría de sistemas axiomáticos que formalizan el CP I , son sub-sistemas de un sistema que formaliza el CP C 1 , hecho que puede ser de gran utilidad cuando se desean comparar las lógicas intuicionista y la clásica. Con base en esto se pretende encontrar un sistema de grácos existenciales equivalente a ALF Ao del cual ALF AIo sea sub-sistema; para ello se hace necesario agregar algunas reglas a ALF AIo de tal manera que el nuevo sistema deduzca todas las de ALF Ao. Con el n de obtener un sistema clásico a partir del sistema ALF AIo se le agregará la regla I∨p :

070123 16A2534 070123 16B2534

A 0123 B ` 0123

Ahora se debe probar que las siguientes equivalencias se tienen en el sistema ALF AIo + {I∨p }:

070123 16A2534 070123 16B2534

≡ 0123 A 0123 B

_XA Y ^Z ] B \[

_XA Y ^07Z ] 16B2534\[

La primera equivalencia se da en tanto que Ip3 ∈ ALF AIo y I∨p es la regla agregada. Para demostrar la segunda equivalencia sólo basta con probar que la regla Ep−1 pertenece al nuevo sistema, ya que Ep ∈ ALF AIo ; lo cual se demuestra a continuación:

Teorema 2.21. Ep−1 ∈ ALF AIo + {I∨p } FBB EDC ` G@A F 0716B 25E34DC G@A FBB EDC ` 0716A2534 @ABC F 0716AB 25E34DC B − @ABC A G@A B I`p3 G@A Ip3 R7 A

1 Ver

ejemplos de ello en [7]

`

R7−

A B


2.3 ALF AIo y el CP C

24

Luego de ver que en el nuevo sistema se mantienen estas equivalencias, es natural preguntarse si es realmente clásico. Para ver que así es, se probará que ALF AIo +{I∨p } ≡ ALF Ao, para lo cual sólo se debe mostrar que todas las reglas de ALF Ao son teoremas de ALF AIo + {I∨p }.

Teorema 2.22. R6 ∈ ALF AIo + {I∨p } g `a f PWQ VAb eSTd U R c

` g`a fAb ed c ` M Pi

B

Ep−

En la siguiente deducción se hace uso de R6 como teorema del sistema ALF AIo + {I∨p }

Teorema 2.23. R4 ∈ ALF AIo + {I∨p } g `A a f07b e 16B2534 d c

C

A C

`

g `a f07b e 16B2534 d c

R5

B

`

R6

A C

`

B

R2

A C

C

R8i g `A a f07b e c 16B2534 d

C

A a fBC b ed c ` g `A a fG@A b e c F B EDCd ` g`C Ep C BC

Las reglas R0 , R2 , R3 , R5 y R7 pertenecen a ALF AIo , por lo tanto, también a ALF AIo + {I∨p }, y las reglas R4 y R6 pertenecen a ALF AIo + {I∨p }. Falta por ver que R8 es deducible de este sistema, prueba que es inmediata considerando las equivalencias entre los grácos desarrollada anteriormente. En conclusión, ALF AIo + {I∨p } y ALF Ao son equivalentes, salvo que el primero tiene más símbolos que el segundo.


Capítulo 3 Los GEI de Arnold Oostra Arnold Oostra presenta un sistema de grácos existenciales intuicionistas en el preprint: "Los grácos Alfa de Peirce aplicados a la lógica intuicionista". En este artículo Oostra introduce el sistema de grácos mencionado como propuesta de formalización de la lógica intuicionista, empleando diagramas que aparecen en los manuscritos de Charles S. Peirce. Este sistema de GEI se diferencia del presentado en el capítulo anterior en gran medida, como se verá en la siguiente sección. Se recomienda remitirse al artículo para entender a profundidad la propuesta que hace Oostra.

3.1. Sistema de GEI -Oostra Elementos con los cuales se forman grácos: La supercie sobre la cual se escribe se denomina hoja de aserción Proposiciones, por lo general abreviadas mediante letras Curvas cerradas simples, llamadas cortes Curvas llamadas rizos que están compuestas por dos curvas cerradas simples que se intersecan en un solo punto y una de las cuales está en el interior de la otra.

la curva exterior de un rizo se denomina corte y la interior, lazo ; la porción de la hoja de aserción comprendida entre corte y lazo se denomina área exterior del rizo y la porción rodeada por el lazo, área interior


3.1 Sistema de GEI -Oostra

26

Curvas llamadas bucles que están compuestas por n+1 curvas cerradas simples, n de ellas contenidas en el interior de la restante. Las curvas interiores no se intersecan entre sí, se intersecan con la exterior en un solo punto y este punto es distinto para cada una de ellas. Se asume que n es mayor que 1 G@A FB EDC

G@A FB EDC

G@A FB EDC

Puede considerarse que un rizo es un bucle en el cual n=1 mientras que un corte es un bucle en el cual n=0. Así, en realidad, se considera un solo tipo de curvas.

Reglas de formación: Cualquier porción acotada y sin marcas de la hoja de aserción es un gráco. Una letra escrita en la hoja de aserción es un gráco. La yuxtaposición de cualquier cantidad positiva de grácos es un gráco. Un gráco rodeado por un corte es de nuevo un gráco, o en otras palabras, si A es un gráco entoces el siguente es un gráco. A Si A se toma como una porción vacía de la hoja entonces resulta que un corte vacío es un gráco. Dos grácos escritos, uno en el área exterior y otro en el lazo de un rizo escrito en la hoja de serción, constituyen un gráco. Así, si A y B son grácos entonces el siguiente es un gráco.

A

B

Una cantidad de n+1 grácos escritos, uno en el área exterior y los otros n en los lazos de un bucle, constituyen un gráco. En otras palabras, si A y B1 , B2 , B3 son grácos entonces el siguiente es un gráco. G@A F EDC BB

G@A F E3 DC BB

2

G@A F EDC BB 1

A

Denición 3.1. El corte es la abreviatura de un rizo cuyo lazo contiene solo el corte vacío y cuya área contiene solo el contenido del gráco abreviado. De esta manera, los dos grácos siguientes se consideran iguales.

A

A


3.2 Diferencias entre ALF AIo y los GEI − Oostra

27

Reglas de transformación: (B) Borramiento: En un área par puede borrarce cualquier gráco. Un lazo contenido en un área par puede borrarse con todo su contenido (E)Escritura: En un área impar puede escribirse cualquier gráco. En un área impar limitado hacia su exterior por un corte puede inscribirse un lazo con cualquier contenido. (I) Iteración: Cualquier gráco puede iterarse en su misma área o en áreas encerradas por cortes o lazos adicionales contenidos en ella. Cualquier lazo puede iterarse adheriendo al mismo corte o a cortes adicionales contenidos en el área que rodea el lazo. (D) Desiteración: Puede borrarse cualquier gráco o lazo que pudiera haber sido escrito por iteración. (R) Rizado: Un rizo con el área exterior vacía puede escribirse o borrarse alrededor de cualquier gráco, en cualquier área.

Teorema 3.2. Se demuestra el Modus Ponendo Ponens A

A

=⇒

B

A

D

=⇒

B

=⇒ B

B

B

R

Teorema 3.3. Se demuestra que A → B deduce ¬(A ∧ ¬B)

A

=⇒ D

B

A

=⇒ E

G@A FBB EDC

G@A FBB EDC

A

G@A FB EDC

B

B

=⇒ R

A

=⇒ I

A

G@A FBB EDC

G@A FBB EDC

B

G@A FBB EDC

3.2. Diferencias entre ALF AIo y los GEI − Oostra Anteriormente se había insinuado que se podía considerar ALF AIo como la versión intuicionista de ALF Ao y a GEI − Oostra como la versión intuicionista de alf a. De este modo, se espera que las diferencias que guarda ALF Ao con respecto a alf a se conserven también como diferencias de ALF AIo con respecto a GEI − Oostra. En


3.2 Diferencias entre ALF AIo y los GEI − Oostra

28

realidad algunas se mantienen, otras no: para el primer caso, ninguna regla deductiva de ALF AIo se dene en función de la paridad de las cortaduras, y las simetrías de las reglas de ALF AoI se entiende en un sentido distinto al del sistema GEI − Oostra; en el segundo, las reglas de ALF AoI no son sub-reglas de las reglas de GEI − Oostra. Además de las diferencias anteriores, se tienen las de los símbolos primitivos de cada sistema: Los símbolos primitivos de ALF AoI son los símbolos primitivos de ALF Ao y las y 0123 cortaduras Los símbolos primitivos de GEI − Oostra son los símbolos primitivos del sistema alf a, los rizos

y los bucles

G@A FB EDC

G@A FB EDC

G@A FB EDC

Derivadas de estas elecciones de los símbolos primitivos de cada sistema, vienen las diferencias correspondientes a las representaciones para la implicación y la disyunción: Implicación y disyunción de dos grácos en ALF AIo :

Implicación y disyunción de dos grácos en GEI −Oostra:

,

0123 0123 FB EDC , G@A

G@A FB EDC

Ro es una regla básica de ALF AIo enunciada explícitamente como regla del sistema, mientras que en GEI − Oostra no, ya que en este se hace uso de ella pero en el

meta-lenguaje.

En conclusión, se obtuvo un sistema de GEI al estilo de ALF Ao que satisface todas las expectativas deseadas en este texto. Ahora sólo queda continuar el trabajo indagando sobre: las lógicas intermedias y los grácos existenciales; la extención de ALF Ao y ALF AIo al cálculo de predicados y a la lógica modal en el sentido que beta y gamma lo son de alf a; y estudiar ALF AIo en un sentido topológico teniendo en cuenta las relaciones de la lógica intuicionista y la topología, considerando los cortes punteados como abiertos y las reglas interpretadas como el cálculo de la clausura de un corte. En este orden de ideas, se espera, con la conclusión de este trabajo de tesis, generar más preguntas y problemas de las que se intentaron resolver.


Apéndice A Deducciones en ALF Ao A.1. Reglas inversas de ALF Ao A continuación se demuestran las reglas inversas de R1 , R4 , R5 , R6 y R7 en ALF Ao

Teorema A.1. R4− :

g `B a fG@AB A F b e B EDCd c

C

g `B a fG@AB A F b e B EDCd c

C

a fG@A F b e B EDCd c ∈ ALF Ao ` g`B C A

` g`B a fG@A F b e B EDCd c C AB

R2

R8−1 BC

g `B a fG@AB A F b e B EDCd c

C

`

AB

`

R2

A

R8 g `B a fG@AB A F b e B EDCd c

C

a fG@A F b e B EDCd c ` g`B C A


A.1 Reglas inversas de ALF Ao

ii

Teorema A.2. R1− :

AA ` A ∈ ALF Ao

AA R`2 A

Teorema A.3. R5− : o hi nj ml k

B

A A ` G@A FBB EDC G@AB A FB EDC ∈ ALF Ao

A A A `o hi nj ml k`o hi nj ml k`o hi nj ml k Y G@AB A FZ ] B EDC\[ R4 _XAY ^ G@AB A F] Z B EDC\[ R3 AB R7 X_^

R8−1 A

o hi nj ml k

B

A A ` G @ A F 7 0 6 1 E34DC ∈ ALF Ao B B25B

Teorema A.4. R6− :

B

`

R2

` A G@AB A FB EDC

B

R8 o hi nj ml k ` o hi nj ml k ` o hi nj ml k ` o hi nj ml k 0716B2534 _XY ^ G@A F 0716B ] Z 25B E34DC\[ R3 _XY ^ G@A F 0716B ] Z 25B E34DC\[ R4 _XAY ^ G@A F 0716B Z ] 25B E34DC\[ R7

A

B

`

A

R8−1

AB

F 0716B25B E34DC ` AG@A


A.1 Reglas inversas de ALF Ao

Teorema A.5. R7− :

iii

_XAY ^ G@A F 0761B Z ] 25B E34DC\[

^ Z ]\[ ∈ ALF Ao AB ` _XY

Esta regla se deduce más adelante. A.1.1.

Ejemplo de algunas deducciones usando

Teorema A.6. R4− es deducida con la regla Rc 07165234

07162534

`

`

`

R3

Rc

AC 0716B2534

AC

R4

AB

AC 0716B2534 `

R7

g `a f OHAB I N b e M Jd c LK

AB

AC g `_Xa f Y ^ Z b e ]\[d c 0716B2534

AC 0716B2534 `

R4

g `Ca f OHAB I N b e M Jd c KL

`

R7

A

g `Ca f OHAB I N b e M Jd c KL

A

R8−1 AC _XY ^ Z ]\[ 0716B2534 `

g `Ca f OHAB I N b e M Jd c KL

A

Rc


A.2 Otras consideraciones

iv

Teorema A.7. R7− es deducida con la regla Rc AB `

Rc

07162534

`

R3

AB `

R7

g `f a G@A F 0716B e b 25B E34DC c d

07162534

AB `

R4

PWG@Q V A FB E UDCST R AB

AB `

R4

g `Af a G@A F 0716B e b 25E34DC c B d

0716B2534

`

R7

` gAf a G@A F 0716B e b 25E34DC c B d

R8−1 g `Af a G@A F 0716B e b 25E34DC c B d

G@AB A FB EDC

`

A.2. Otras consideraciones En ALF Ao, hay varias formas de deducir una misma regla haciendo uso de otras diferentes. Pero en esencia, siempre hay algunas que no pueden faltar en una deducción por más caminos que hayan. Ejemplo de ello es la deducción del siguiente teorema.

Teorema A.8. R9 :

A ` A es deducida por R2

A R`2 A

En esta deducción se tomó el dibujo B (el que acompaña al dibujo A en la regla R2 ) como la letra vacía. Se tiene, según esto, que R9 es un caso particular de R2 ? No, R2 es una regla de eliminación y R9 , no. R9 es una regla nueva que guarda relación con R2 , pero que tiene signicado por sí misma; tanto así que es posible deducir R2 a partir de R9 con ayuda de otras reglas.


A.2 Otras consideraciones

v

Teorema A.9. R2 es deducida por R9 , R8 , R3 , R4 y R8− `

R9

R8 f8?b e > 9= :;< d c ` AB g `a fb e ?89 >= :d c ;< ` AB g `a fb e ?89 >A= :d c ;< ` g`a R3 R4

R8−

AB

`

A

Teorema A.10. R9 es deducida por R2 , R8 , R3 y R4

`

R2

R8 f8?b e > 9= :;< d c ` g `a f8?b e > 9= :;< d c ` g `a f8?b e > 9= :;< d c ` g`a R3 A R4 A A

R8−

A

`

A

Esta otra forma de deducir R9 permite ver algo importante: la premisa usada para aplicar R8 , y obtener un doble corte, esto es, la premisa ` (la cual fue deducida directamente de R2 de la misma manera que R9 en la deducción anterior), es un caso particular de R9 , toda vez que signican lo mismo, en cuanto que se puede conservar la misma hoja de aserción. Por otro lado, en el contexto de esta prueba, la premisa


A.2 Otras consideraciones

vi

mencionada es una regla más débil que R9 puesto que puede ser fortalecida con ayuda de otras reglas. Hacer deducciones de una misma regla por medio de caminos diferentes es útil, en tanto se pueden observar las sutilezas que se dan relacionalmente entre reglas. Por ejemplo: nótese que en ambos caminos fue necesario usar R2 , lo cual permite vislumbrar una fuerte relación entre R2 y R9 .


Apéndice B Deducción con los GEI B.1. Deducciones con ALF AI A

^C Z ]\[ ` _XBY

Teorema B.1. R8i− :

∈ ALF AI AB

AB

`

R2

A

`

C

` _XBY ^C Z ]\[ , p

AB

`

R2

B

R0 B

AB

^C Z ]\[ ` ` _XBY M Pi

C


B.1 Deducciones con ALF AI

viii

A continuación se presenta una demostración de R8i , en la cual intervienen tanto las reglas y teoremas de ALF AI , así como la regla R8id que resulta de hacer la traducción de la regla →i a grácos. B

`

C

R8id : Y ^Z ] C \[ ` _XB

Teorema B.2. R8i es deducida por reglas y teoremas de ALF AI y la regla R8id

AB

`

C

R8id hAi n m k`o hi n PWQ V j m USTl R k Bj Cl `o Ip2 A B C

R8−

A

a fb e C dc ` g`B


B.2 Deducciones en ALF AIo

ix

B.2. Deducciones en ALF AIo n m k ` Teorema B.3. ohi A j Bl

o hi n m k A j Bl

o h07i n 16B2534 j m 0716A2534l k

∈ ALF AIo

o hi nj m 07162534l k o hi nAj ml k ` A B `0

Ep

0716B2534

0716B2534

R5

R8i o hi n m k A j Bl

Teorema B.4.

A 0716A2534

_XY ^AZ ]\[

h07i n 16B2534 j m 0716A2534l k ` o

`

_XA Y ^Z ] B \[

` _XY ^Z ]\[ `

C

_XY ^AZ ]\[

_XA Y ^Z ] C \[

E⊥

M Pi

∈ ALF AIo

R8i

`

Debe recordarse que E⊥ es deducida por ALF AIo , motivo por el cual se puede usar en la demostración anterior.


B.2 Deducciones en ALF AIo

x

n 16B25B E34DC j m k ` Teorema B.5. ohG@AF07i Al

o hG@A F 07i n 16B25B E34DC j m k Al

g `B a fA b ed c

o hG@A F 07i n 1625B E34DC j ml k ` B A `

Ic

B

G@A F 0716B25B E34DC

A

M Pi

R8i o hG@A F 07i n 16B25B E34DC j m k Al

`

g `B a fA b ed c

Teorema B.6. Ep− ∈ ALF AIo + {I∨p } _XA Y ^07Z ] 16B2534\[

`0 _XY ^07Z ] 16B2534\[ `

B

_XA Y ^07Z ] 16B2534\[

_XA Y ^Z ] B \[

R6

R5

A R8i

`

∈ ALF AIo


B.2 Deducciones en ALF AIo

xi

Teorema B.7. R7− ∈ ALF AIo + {I∨p } g `A a fG@A F 07b e 16B25B E34DCd c

g `a f07b e 162534 d c `−1 A B `

0716B2534

A B

B

M Pi

Ep

A B

`0

07162534

R5

R8i g `A a fG@A F 07b e 16BB 25E34DCd c

A a fb e  d c ` g `A a fb ed c ` g`B E¬ B


Bibliografía [1] Oostra, Arnold. Los grácos Alfa de Peirce aplicados a la lógica intuicionista. Preprint. [2] Zalamea, Fernando. Cursillo Lógica topológica: Una introducción a los grácos existenciales de Peirce. Memorias del XIV Coloquio Distrital De Matemáticas y Estadística. Universidad Pedagógica Nacional. Diciembre 1-5 del año 1997. [3] Van Dalen, Dirk. Intuicionistic Logic. The Blackwell Guide to Philosophica Logic. Ed. L.Gobble. Blackwell,Oxford. 2001, pp. 224-257. [4] Poveda, Yuri A.Los grácos existenciales de Peirce en los sistemas ALFAo y ALFAoo. Bolentín de Matemáticas, Nueva Serie, Volumen VII, Número 1. Junio de 2000, pp 5-17. [5] Zalamea, Fernando. Curso de lógica intuicionista. Universidad Nacional de Colombia. [6] Caicedo F, Xavier. Elementos de lógica y calculabilidad. Ed. Una Empresa Docente, Bogotá. 1990 [7] Chagrov, Alexander; Zakharyaschev, Michael. Modal logic. Ed. Clarendon press, Oxford. 1997. [8] Zalamea, Fernando. Los grácos existenciales peirceanos. Universidad Nacional de Colombia.

Hacia un sistema ALFAo simplificado  

El siguiente trabajo es uno más de los estudios que se hacen sobre los grá cos existenciales de Peirce en Colombia.