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Materialismo Dialéctico y Los contrarios en la Matemática

EL Materialismo Dialéctico y Los contrarios en el Mundo Matemático Conceptos previos a esta lección Categorías: Conceptos fundamentales que reflejan las propiedades, facetas y relaciones más generales y esenciales de los fenómenos de la realidad y de la cognición. Materia: Categoría filosófica para designar la realidad objetiva que existe con independencia de la conciencia y en ésta se refleja. Es la multiplicidad infinita de todos los fenómenos, objetos y sistemas existentes. Es el substrato de todas las diversas propiedades, relaciones, interacciones y formas de movimiento Dialéctica: Ciencia que trata de las leyes más generales del desarrollo de la naturaleza (Engels), de la sociedad (Marx) y del pensamiento humano (Hegel) que se auto-propone como alternativa a la metafísica. La dialéctica trata dos cuestiones fundamentales: La concatenación universal de los fenómenos y La teoría del desarrollo. Todos los procesos están interrelacionados, no hay fenómenos aislados, y todos están en desarrollo o sea en movimiento. Según Engels, La dialéctica es la concepción de que toda la naturaleza “se halla en un estado perenne de nacimiento y muerte, en flujo constante, sujeto a incesantes cambios y movimientos” Materialismo dialéctico: Es la corriente del materialismo filosófico de acuerdo a los planteamientos originales de Friedrich Engels y Karl Marx que posteriormente fueron enriquecidos por Vladimir I. Lenin. Esta corriente filosófica define la materia como el sustrato de toda realidad objetiva (física) y subjetiva (el pensamiento) e interacción de la misma. Emancipa la primacía e independencia de la materia ante la conciencia y lo espiritual, declara la cognoscibilidad del mundo en virtud de su naturaleza material, y aplica la dialéctica –basada en las leyes dialécticas propuestas por Hegel– para interpretar el mundo. Es contrario al idealismo filosófico representado por la concepción mágica de la religión y su primacía del espíritu (Dios) por sobre la materia. Bien, en esta lección profundizaremos un poco sobre elementos centrales que enmarcan el materialismo dialéctico y su comprensión en el campo matemático, y en la próxima particularizaremos las tres leyes fundamentales de la dialéctica en el estudio de los números negativos 1. Introducción. Observemos las siguientes definiciones matemáticas (numero natural, aritmética, geometría, algebra, variables, números negativos, número real, magnitud, funciones, integrales y derivadas), dadas por Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev , Delone, Krilov, Gelfand, Malsev y otros, en el libro “La Matemática: Su contenido , métodos y significado”:

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1. Las matemáticas: Es el estudio de las magnitudes y sus relaciones, entre ellas el infinito. La matemática tiene como objeto no solo relaciones cuantitativas dadas, sino todas las posibles relaciones cuantitativas, y entre ellas el infinito 2. Numero natural: Es aquella propiedad de las colecciones de objetos que es común a todas las colecciones cuyos objetos pueden ponerse en correspondencia biunívoca unos con otros, y que es diferente en aquellas colecciones para las cuales tal correspondencia es imposible. 3. Número negativo: Es un objeto matemático en un proceso dialéctico e invertible que cuantifica el opuesto de un contrario predeterminado por un número natural1 4. Aritmética: Es la ciencia de las relaciones cuantitativas reales consideradas abstractamente, esto es, simplemente como relaciones 5. La Geometría: Es la ciencia de las formas espaciales y las relaciones de los cuerpos reales, eliminando de ellos las restantes propiedades y considerándolos desde un punto de vista puramente abstracto. 6. Trigonometría: Etimológicamente significa “medida de triángulos”. La trigonometría es la rama de las matemáticas que no solo estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos, sino también las relaciones dialécticas entre los círculos y los triángulos (así aparecen sus conceptos fundamentales seno y coseno). Sus funciones son centrales para comprender el comportamiento ondulatorio de la materia (en especial, de los electrones). 7. Álgebra: Es la doctrina de las operaciones matemáticas consideradas formalmente desde un punto de vista general, con abstracción de los números concretos. 8. Variable: “Una variable” es la imagen abstracta de una magnitud que varía, lo que supone distintos valores durante el proceso en consideración. De modo breve, Una variable matemática x es “algo” o, más exactamente, “cualquier cosa” que puede tomar distintos valores numéricos. 9. Función: Es la imagen abstracta de la dependencia de una magnitud respecto a otra.

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Proceso reversible es aquel que en cualquier momento permite el regreso a cualquiera de sus pasos anteriores. Ejemplo, Los procesos aritméticos con sumas y restas entre naturales, empezando con la suma, son reversibles: con la suma se avanza, con la resta se regresa.

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10. Número real: Valor de una magnitud que varía continuamente. 11. Sistema de números reales: Es la imagen abstracta de todos los valores posibles de una magnitud que varía continuamente. 12. Análisis ó Cálculo (I n f i n i t e s i m a l ). Es La rama de la matemática dedicada al estudio de las funcione. Comúnmente es llamada análisis infinitesimal, puesto que uno de los elementos más importantes en el estudio de las funciones es el concepto de lo infinitesimal ( aunque acá no lo trataremos). Puesto que una función es la imagen abstracta de la dependencia de una magnitud respecto a otra, podemos decir que el análisis tiene como objeto de estudio las dependencias entre magnitudes variables, no entre una magnitud concreta y otra, sino entre variables en general, con abstracción de su contenido. 13. Derivada de una función: Objeto matemático que cuantifica la magnitud de pequeñas partes relacionales a partir de las relaciones del todo; es decir, es el objeto matemático que cuantifica las variaciones instantáneas de una magnitud continua con respecto al tiempo o espacio ó a la variable independiente de la que depende la magnitud total (“es una resta”): 14. Integral de una función: Objeto matemático que cuantifica la magnitud del todo a partir de las magnitudes de cada una de sus pequeñas partes (“es una suma”) Conclusión: Todas estas definiciones tienen algo en común, además de ser matemáticas, están enfocadas desde el punto de vista intuicionista y dentro del materialismo dialéctico. 2. Dos Principios fundamentales de la dialéctica en las Matemáticas 2.1. Primer Principio: “El ser y El no ser”2 Este principio es quizás uno de los más conflictivos para aceptar la dialéctica en matemáticas. La dificultad radica en considerar el concepto matemático aislado de su desarrollo histórico y social; otra de las razones, no menos poderosa, es que con frecuencia nos olvidamos de nuestro desarrollo síquico y cultural, olvidándonos de paso que lo aprendido una vez en matemáticas no es lo mismo que en lo que actualidad conocemos; que lo que ayer aprendimos no reviste las mismas características y cualidades de lo que en este momento sabemos acerca de tales conceptos iniciales.

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Este principio también es conocido como “La Lucha de contrarios” en la formación y desarrollo de las cosas, conceptos y fenómenos. Es el principio fundamental en el desarrollo del conocimiento humano

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Para apreciar esta ley del ser y del no ser, no podemos dejar a un lado los desarrollos ó procesos físicos, síquicos y sociales que en los seres humanos se da, y tampoco debemos olvidar el contextualizar nuestras expresiones lingüísticas. En la definición inicial asociada a cualquier concepto es posible que esta ley no se aplique; y es mejor no aplicarla en ese momento. Ejemplo, cuando le planteamos al niño de escuela que 4 es un número natural, en ese momento no le decimos al estudiante que 4 no es un número natural. Pero el estudio avanzado del concepto nos llevará ineludiblemente a la aceptación de la dicha ley (“Es y No es”). Lo importante a remarcar acá es que en el punto de partida de un conocimiento nos apropiamos de unas ideas, y tiempo después, esas ideas ya no son las mismas. Las relaciones e interacciones entre las mismas van dando completés al concepto inicial. No es nada difícil encontrar posiciones en los matemáticos acerca de la quietud de sus conceptos. Suma y resta son inmutables al igual que la Integral y la derivada son inmutables. Quienes así piensan sencillamente están desconociendo la historia, evolución y desarrollo de tales conceptos. Son tan dialécticos estos conceptos, que si nos limitamos a su aprendizajes y en particular al concepto de integral, podemos concluir que si un estudiante al finalizar su curso de cálculo integral tiene la misma idea de integral que al inicio se le dio, sencillamente ese estudiante no avanzó en su desarrollo cognitivo matemático en cuanto al estudio de las integrales se refiere. Se espera que al finalizar ese curso, el estudiante conozca la importancia social y científica de la integral en sus distintas áreas, no necesariamente matemáticas; conozca la historia y evolución de dicho concepto desde el siglo V a.C con Demócrito de Abdera a la cabeza hasta el siglo XIX en que Ernest Kummer da la definición de integral definida, pasando por la conceptualizaciones dadas por Arquimedes, Barrow, Newton, Leibniz, Euler y otros. “Las relaciones y el desarrollo (movimiento) entre los conceptos, da la negación a sus significados iniciales”. Veamos algunos casos típicos, aparentemente absurdos en el ámbito matemático, no sin antes aclarar lo siguiente: “El 3 es y no es un número natural”: En nuestra infancia reconocemos el 3 como número natural; pero los matemáticos saben que desde hace mucho tiempo, el 3 es un número real. A nivel conceptual los números reales son superiores a los números naturales; los números reales no son números naturales (sus propiedades son distintas. Ejemplo: los reales tienen inverso multiplicativo, los naturales no). En consecuencia, si consideramos el 3 como número real, en ese momento deja de ser natural (aunque su característica natural no desaparezca, el 3 seguirá siendo natural). Brújula Revista de investigación científica

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Desde luego a un niño de preescolar o de primaria no le podemos decir que el 3 NO es un número natural, pues aún no se ha relacionado con los números reales. Comentario especial sobre los números naturales, reales y sus clasificaciones. Cuando avanzamos en nuestros estudios matemáticos nos encontramos con los números reales (“números con decimales”). Allí la clasificación principal de los números radica en racionales (a/b, con a, b enteros y b diferente de 0) e irracionales (“los números no racionales”, ejemplo, 2½, y e: la constante de Euler”). Pero no se escuchan por ningún lado palabras como primos, pares e impares. ¿Por qué en los reales no existen tales clases de números? Pongamos atención a estas dos razones: Primera razón: Ningún número real es primo. Sea m un número real arbitrario y n un número natural, se tiene m/n es un número real y m÷m/n = n. Extendiendo el concepto de divisibilidad de los naturales a los números reales, resulta entonces que m/n es un divisor “real” de m; o lo mismo, m es divisible por m/n. En consecuencia, m no es “un número primo”. Dado que TODO NUMERO REAL es NO PRIMO, no tiene sentido hablar de números primos en un universo numérico donde no existen. Por ello, en los números reales no tiene cabida esa clasificación primario existente en los números naturales. Segunda razón: Ningún número real es Par (“divisible por 2”). Basándonos en la definición de par en los enteros y extendiéndola a los números reales, tendríamos que todo número es par m dividido 2 = m/2, cuando m es número real (m/2 también lo es) Luego no existen los impares. Dialécticamente hablando, NO tiene sentido hablar de Par cuando lo NO PAR no existe en el universo de los números reales. Por ello, se justifica el no hablar de Número Par en los reales. Entendido esto las dos siguientes afirmaciones quedan claras para su comprensión “El 7 es y no es un número primo”: Esto sí que parece un buen absurdo. Pero para empezar podemos afirmar que si el hombre se hubiese quedado solo con la definición de número primo como se estableció en la época de Euclides (siglo III a.C.) jamás hubiese desarrollado ese maravilloso campo de las matemáticas llamado “Teoría de Números”. Si volvemos a la situación del 3, al considerar el 7 como número real tampoco clasifica como número natural. Otra razón es la primera establecida en el comentario especial preliminar a este ejemplo. Algo más, El 7 ES UN PRIMO, pero NO ES UN PRIMO AISLADO del desarrollo de la aritmética y de la Geometría. Recordemos en este sentido que un problema de la Geometría, bien complicado, es construir polígonos regulares cuyo número de lados sea un número primo (problema resuelto de modo satisfactorio por Carl Gauss, siglo XIX). Para resolver este problema, no fue suficiente afirmar que un número primo es aquel que sus dos únicos divisores son el uno y él mismo. El 7 No es un primo aislado de los demás: Solo requerimos observar que el 7 es elemento fundamental en la descomposición por primos de números como el 21, 35, 42, etc. Ahí está presente el siete. Brújula Revista de investigación científica

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“El 4 es y no es un número par”: Profesor, Jamás le plantee esa frase a los a los niños de primero de primaria La razón es la segunda establecida en el comentario especial preliminar al ejemplo anterior. Entre las clasificaciones iniciales de los números naturales que nosotros aprendemos es la de Pares e Impares, ejemplo, 4 ES NÚMERO PAR (al dividirse por 2 su residuo es 0 ). Pero a medida que avanza nuestro conocimiento numérico vamos apreciando que el 4 NO ES UN NUMERO PAR AISLADO de todos los demás números; al tratar los números pares relacionados con otros naturales, se adquiere un conocimiento superior de los pares, obteniendo propiedades como las siguientes: 1. La suma de dos pares ó de dos impares es un número par ; 2. El producto de un par por un número natural siempre es un par. Un buen ejemplo en Geometría: En éste área solo daremos un ejemplo. Pero con esto queda claro que las relaciones y el desarrollo (movimiento) entre los conceptos, dan la negación a sus significados iniciales. “El triángulo es y no es un polígono cerrado de 3 lados”. Habrase visto semejante adefesio. Pero, en Geometría No Euclidiana ¿tal frase sigue siendo adefesio? Lo cierto es que si el hombre se hubiese quedado en la definición de triángulo, y no hubiera avanzado más en el estudio interactivo de sus partes (ángulos y lados), y en la relación entre triángulos y círculos , jamás se hubiera desarrollado la Trigonometría; y tampoco hubiese aparecido la Geometría NO euclidiana en el siglo XIX y la Geometría diferencial. Por ello adquiere validez el planteamiento de que el Triángulo NO ES UN POLIGONO CERRADO DE 3 LADOS AISLADO de los otros conceptos geométricos. 1.2. Segundo Principio: “La unicidad y La Multiplicidad” (Principio de ser y del NO SOLO ser) La multiplicidad de un conocimiento o de un concepto es un elemento que representa desarrollo y vida del mismo. Algo es y también no solo es lo expresado en su definición inicial. A nivel de simple ilustración familiar, mi padre NO SOLO ES mi padre, el que junto a mi madre me dio mi ser (“definición original de padre”), es también el eje del hogar, esa persona que piensa más en el sostenimiento de sus hijos que en el suyo propio, es ese ser que se levanta todos los días a conseguir el sustento de los suyos, es mi amigo, el confidente, el que me critica y valora, etc. Un simple ejemplo en matemáticas para observar lo válido y necesario de este principio es el siguiente: “El cinco es cinco y no solo es cinco” El cinco es el número asociado a la cantidad de dedos de una mano normal de un ser humano. Pero el cinco Brújula Revista de investigación científica

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no solo es eso, el cinco tiene muchas interpretaciones en el mundo matemático, entre estas: El cinco es ese número que al ser sumado con 2 da siete El cinco es el resultado que aparece cuando de 7 quitamos 2 El cinco es ese número que al ser elevado a la tercera potencia da 125 3. Presentación preliminar de Los contrarios en el Materialismo Dialéctico El materialismo dialéctico, cuya presentación como tal se debe más a la actividad del filosofo y revolucionario alemán Federico Engels ( 1820, Renania– 1895, Londres) que a la misma de su inseparable amigo alemán Carlos Marx (1818, Tréveris - 1883, Londres; filosofo, historiador, sociólogo y economista), ha sido considerado tradicionalmente como la toma de posición filosófica de Marx y Engels frente al idealismo hegeliano, es decir, como el resultado de su crítica del idealismo y, como tal, se ha presentado por la mayoría de los estudiosos del marxismo como el marco de referencia conceptual desde el que desarrolla el materialismo histórico, que sería la expresión propiamente científica de su pensamiento. La exposición del materialismo dialéctico se encuentra fundamentalmente en las obras de Engels: "Anti-Dühring", (con contribuciones de Marx, publicado en 1878), y "Sobre la dialéctica de la naturaleza", (escrito entre 1873 y 1886), obra, esta última, también conocida por Marx, cuyos contenidos nunca rechazó y que, dada la estrecha colaboración entre ambos hasta su muerte, se suele considerar también como expresión del pensamiento propio de Marx. El materialismo dialéctico propone una interpretación de la realidad concebida como un proceso material en el que se suceden una variedad infinita de fenómenos, a partir de otros anteriormente existentes. Esta sucesión, no obstante, no se produce al azar o arbitrariamente, ni se encamina hacia la nada o el absurdo: todo el proceso está regulado por leyes que determinan su evolución desde las formas más simples a las más complejas, y que afectan a toda la realidad, natural y humana (histórica). Observemos inicialmente lo que plantea Engels acerca de su visión dialéctica por contrarios "Pero todo cambia completamente en cuanto consideramos las cosas en su movimiento, su transformación, su vida, y en sus recíprocas interacciones. Entonces tropezamos inmediatamente con contradicciones. El mismo movimiento es una contradicción; ya el simple movimiento mecánico local no puede realizarse sino porque un cuerpo, en uno y el mismo momento del tiempo, se encuentra en un lugar y en otro, está y no está en un mismo lugar. Y la continua posición y simultánea solución de esta contradicción es precisamente el movimiento". Si un cuerpo en el instante t0 está en el punto x0 y siempre se ha movido, en el instante t0 el cuerpo también se ha desplazado, luego en ese instante t0 ya no se halla en el punto x0. Si el Brújula Revista de investigación científica

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cuerpo no se desplazará de x0 en un corto período de tiempo, digamos que en el intervalo t0 y t0 + , aun cuando fuera muy pequeño, el cuerpo se quedara en x0, diríamos que el cuerpo se detuvo en ese instante t 0 ( es decir, no se movió). "Si ya el simple movimiento mecánico local contiene en sí una contradicción, aún más puede ello afirmarse de las formas superiores del movimiento de la materia, y muy especialmente de la vida orgánica y su evolución. Hemos visto antes que la vida consiste precisamente ante todo en que un ser es en cada momento el mismo y otro diverso. La vida, por tanto, es también una contradicción presente en las cosas y los hechos mismos, una contradicción que se pone y resuelve constantemente; y en cuanto cesa la contradicción, cesa también la vida y se produce la muerte. Tampoco en el terreno del pensamiento podemos evitar las contradicciones, y, por ejemplo, la contradicción entre la capacidad de conocimiento humana, internamente ilimitada, y su existencia real en hombres externamente limitados y de conocimiento limitado, se resuelve en la sucesión, infinita prácticamente al menos para nosotros, de las generaciones, en el progreso indefinido". (Engels, Anti-Dühring, XII. Dialéctica. Cantidad y cualidad.) Siguiendo los pasos de Heráclito y Hegel, Marx y Engels consideran que la realidad es esencialmente contradictoria. Todos los fenómenos que ocurren en la Naturaleza son el resultado de la lucha de elementos contrarios3, que se hallan unidos en el mismo ser o fenómeno, siendo la causa de todo movimiento y cambio en la Naturaleza, en la sociedad y en el pensamiento. Con esta ley se explica, pues, el origen del movimiento. La esencia de la ley de la unidad y lucha de contrarios es que a cada fenómeno o proceso le son inherentes aspectos internos de carácter contradictorio: que se encuentran vinculados entre sí ( unidad) a la vez que luchan permanentemente entre sí. Esta lucha es la que promueve, determina el desarrollo del proceso en cuestión Entre los argumentos que se aportan para justificar esta explicación predominan los procedentes de las ciencias (Física, Ciencias naturales, Matemáticas, Economía), pero también de la Historia y de la filosofía. Entre las parejas de contrarios puestas como ejemplos podemos citar: atracción y repulsión, movimiento y reposo, propiedades corpusculares y ondulatorias, herencia y adaptación, excitación e inhibición, lucha de clases, materia y forma, cantidad y cualidad, sustancia y accidentes. “la lucha de los contrarios es la razón del progreso de la Historia” Engels y Marx. 3

Los contrarios son fenómenos o aspectos de fenómenos que se excluyen mutuamente, y al mismo tiempo están unidos en el fenómeno ( hacen parte del mismo)

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4. Los contrarios en el materialismo dialéctico: Definición y característica central. Para el materialismo dialéctico el principio de identidad no funciona: no hay dos huellas dactilares iguales, no hay dos hojas de árboles idénticas, etc. cada objeto es diferente a los demás y también es diferente así mismo, pues va cambiando continuamente. Podemos llegar a la siguiente conclusión de que un objeto es y No es, va naciendo y va muriendo, es positivo y negativo, es estable y mutable, es la unidad de los contrarios. En la estructura del átomo están los protones y los electrones; en la naturaleza hay fuerzas de atracción y de repulsión; en las matemáticas están los números positivos y los negativos, lo discreto y lo continuo, lo finito y lo infinito, etc. Hablando en el campo matemático, al darse un concepto resulta fundamental brindar ejemplos de objetos que se enmarcan en ese concepto; y ejemplos de los que no son del tipo descrito por el concepto (números pares e impares, números positivos y negativos, magnitudes discretas y continuas, números pares y no pares, funciones continuas y no continuas; funciones derivables y no derivables, etc.). Sólo eso le da consistencia al ser en matemáticas (cuando no se dan ejemplos de lo que NO es, se da la apariencia de que todo ES; y ello conlleva a grandes conflictos cognitivos, y sobre todo a la pérdida de interés por lo que ES; pues todo, en ese sentido, ES). 4.1. Definición de contrarios Los contrarios son fenómenos o aspectos de fenómenos que se excluyen mutuamente, y al mismo tiempo están unidos en el fenómeno (hacen parte del mismo) Ejemplo, la margen derecha y la margen izquierda de un río (No son lo mismo); al caminar en una calle, unos van en una dirección y otros van en la dirección opuesta; a nivel social, el proletariado y la burguesía son clases sociales excluyentes. En el desarrollo enseñanza-aprendizaje, son contrarios el profesor y el alumno (El profesor NO es el alumno; el alumno NO es el profesor). En el proceso aritmético, los números positivos y los números negativos son contrarios. En el cálculo infinitesimal, la integral y la derivada son contrarias aunque no antagónicos4 4

Contradicciones: Son las relaciones entre los contrarios. Los contrarios no están separados el uno del otro; conviven dentro del fenómeno, hacen parte de él. Por ello se afirma que los contrarios están relacionados. Esa relación se conoce como Contradicción. Las contradicciones antagónicas son contradicciones irreconciliables entre las fuerzas: intereses, objetivos u opiniones (ejemplo, las relaciones entre los burgueses y el proletariado). Estas se superan mediante una lucha y presuponen la desaparición de uno de los polos de la contradicción. En cambio, Las contradicciones no antagónicas. expresan las diferencias de las fuerzas que tienen intereses vitales comunes (ejemplo, las relaciones en clase entre profesor y alumno; o las relaciones entre el obrero y la clase intelectual) A nivel matemático, las contradicciones entre números positivos y negativos (dentro de los enteros); y las relaciones entre la integral y la derivada (dentro del cálculo infinitesimal) son NO antagónicas. La resolución de estas contradicciones no implica la desaparición de uno

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4.2. Característica central de los contrarios: Su Unidad y lucha. Se entiende por lucha de contrarios la “aspiración” de cada uno de ellos de obtener importancia predominante en un proceso o fenómeno. Por la definición de contrarios, dada en 4.1, y por la anterior, no es difícil entender la frase siguiente: “En todo fenómeno siempre están presentes la unidad y lucha de contrarios” Observación: A nivel de ciencia, la expresión luchar se puede entender como interactuar (se lucha para obtener algo; de modo similar, se interactúa para obtener algo), y en ese interactuar uno de los contrarios puede desaparecer (lucha antagónica)5. Una idea nueva conlleva a la desaparición de la que le antecede (la supera): No es nada raro que se hable de la nueva y no se mencione la vieja idea, así ese nuevo concepto asimile el anterior (de ese modo podemos plantear y entender que en ese momento la anterior idea desaparece). Ejemplo matemático, la concepción del número por los griegos del siglo V A.C es muy distinta a la que se posee hoy por hoy en el mundo matemático; nosotros aceptamos el cero, los números negativos e irracionales, el antiguo griego no. 5. Contrarios y Lucha de contrarios en Geometría y Aritmética elemental: El sentido de luchar o interactuar en matemáticas comprende procesos como el pensar, el clasificar, el analizar, el sintetizar y el operar (se lucha para obtener algo; de modo similar, se opera para obtener algo) para así obtener resultados y nuevos ordenes en la ciencia matemática. En sencillas palabras, Luchar es actuar, pensar, ordenar y producir resultados. Es fundamental comprender que cuando se habla de contrarios, primero se debe abordar un fenómeno, problema o tema donde tales contrarios conviven; de resto, esos contrarios no tienen sentido. 5.1. Ejemplo 1. Contrarios en un triángulo: sus ángulos y lados

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c a de los polos de la misma. Las contradicciones no antagónicas se resuelven por la discusión, la tolerancia, la educación, paciencia, la persuasión, todo elemento que no incluye la violencia o la coerción. Los contrarios son los aspectos, las tendencias o las fuerzas internas del objeto, que se excluyen mutuamente y que al mismo tiempo se presuponen. Electrón y Positrón, Alumno y profesor, Paz y Guerra.

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Desde luego, No siempre esta última situación se da. El cero y el uno en matemáticas son distintos (“contrarios”), conviven en los enteros, pero por más que intervengan juntos en operaciones jamás desaparecen como conceptos; desde luego, la intervención de estos proporcionan nuevos resultados.

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Los ángulos internos del triángulo de la parte superior son: (alfa, beta y gama, respectivamente), y sus lados son a, b, c. Un lado No es un ángulo (por eso decimos que el contrario de lado es ángulo); Un ángulo NO es un lado (por ello acá planteamos que el contrario de ángulo es lado). Precisando en este caso, y considerando el lado a, sus contrarios son 5: los lados b y c (No son iguales a a); y los ángulos Aceptamos de ese modo que en el todo o unidad llamado Triángulo conviven los contrarios; la interacción o relación de estos (un buen sinónimo para “lucha de contrarios”) da lugar a conceptos centrales de la trigonometría, tales como los teoremas de seno y coseno: , – 5.2. Ejemplo 2. Contrarios en la clasificación de los triángulos por sus lados Establezcamos las siguientes definiciones (conocidas por todos los matemáticos) Triángulo equilátero: Triángulo que tiene sus tres lados iguales Triángulo Isósceles: Triángulo que tiene exactamente dos lados iguales Triángulo escaleno: Triángulo que tiene sus tres lados distintos. Usando esas definiciones observamos que esta clasificación es excluyente. Un triangulo isósceles no es equilátero, y un escaleno no es equilátero. Por ello, los contrarios de triángulos equiláteros en la clasificación antes dada son: los triángulos isósceles y triángulos escalenos. De modo análoga, los contrarios de triángulos isósceles son: los triángulos equiláteros y triángulos escalenos; y los contrarios de triángulos escalenos son: los triángulos equiláteros y triángulos isósceles Observemos los siguientes triángulos del grafico de abajo, y diseñemos un cuadro de figuras y sus contrarios

A

B

C

Figuras A B C

Contrarios B, C A, C A, B

5.3. Ejemplo 3. Contrarios en la suma de los primeros 4 números naturales En este proceso los números son 1, 2 , 3 y 4. Analizando de modo similar a los anteriores ejemplos6, se

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justifica el cuadro siguiente Números Contrarios 1 2, 3, 4 2 1, 3, 4 3 1, 2, 4 4 1, 2, 3 Su suma es 10 (el interactuar de esos cuatro números para obtener el resultado 10 se interpreta como “lucha de contrarios”) 5.4. Ejemplo 4. Contrarios en los números enteros. Cuando nos referimos al proceso aditivo y cancelativo entre los números negativos y positivos: a + b = 0, observamos que tanto a como b son dos elementos fundamentales constitutivos en la anterior igualdad. Dado que a NO es b (= - a) y, b NO es a, queda claro que b es el contrario de a, y a es el contrario de b . O lo mismo, a y -a son contrarios en la ecuación antes planteada. 6. Unidad y Lucha de contrarios en otros campos Matemáticos. El cálculo Infinitesimal: fruto de contrarios. Los conceptos de integral y derivada hacen parte del “cálculo infinitesimal”, y el proceso del uno es inverso al proceso del otro; en ese sentido podemos entender que derivada e integral son “opuestos” (además, Una integral NO es una derivada; y una derivada NO es una integral). Lo interesante acá es la propia génesis histórica de ambos, uno proviene de lo estático (Integral) y el otro de lo móvil (la derivada). En la resolución de problemas, a veces prima el concepto de derivada y otras veces el de integral (esto es una forma de observar la lucha de contrarios en la heurística). Un simple problema de geometría y su solución distinguiendo los contrarios. Observemos las siguientes figuras y preguntémonos ¿Cuál de las tres figuras tienen el mayor área? ¿Cuál de las tres figuras tienen el menor área? FIGURAS A B C A

B

CONTRARIOS B, C A, C A, B

C

1. Contrarios de las figuras: 6

El 2 NO es 1, el 3 NO es 1 y el 4 NO es 1; luego los contrarios de 1 son 2, 3 y 4. Así sucesivamente.

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Contrarios de A: B y C (B NO es A; C NO es A) Contrarios de B: A y C (A NO es B; C NO es B) Contrarios de C: A y B (A NO es C; B NO es C) 2. Sus áreas son: A = 3; B = 6; C = (1.25)2 4.9. Los anteriores resultados son una síntesis de “la lucha de contrarios” en el campo geométrico. 3. Conclusiones: De las tres figuras, la que tiene mayor área es el rectángulo B y la de menor área es el triángulo A. La estructura si . . . de lo contrario (en el mundo computación matemático). Esta estructura es propia de programación de computadores y permite describir resultados teniendo claro los distintos contrarios presentes en la situación que se está analizando. Acá la explicaremos usando el problema anterior. Si la figura es A, área es 3; de lo contrario (1) Si la figura es B, área es 6; de lo contrario (2) área es 4.9 Comentario: Significado “de lo contrario” en (1),(2) (1) La figura no es A. Luego es B ó es C (Los contrarios de A). (2) La figura No es B, y como por (1) , la figura no es A, necesariamente la figura debe ser C (por ello, en la última instrucción no se coloca la expresión Si la figura es C , pues esto se obreentiende). Escrito por el Magister Julián Guzmán Baena.

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