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Pistes & commentaires pour l’oral 1 du CAPES maths

2018


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Table des matières Introduction

14

1 Au 1.1 1.2 1.3

17 17 19 24 24 26 27 28 28 29 29 30 31 33 33 33

1.4 1.5 1.6 1.7

sujet de l’oral 1 La leçon d’oral au CAPES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelles questions pose-t-on ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pistes pour préparer les leçons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Comment préparer l’oral quand on est suppléant . . . . 1.3.2 Comment s’entraîner au mieux en TD ? . . . . . . . . . 1.3.3 Dans quel ordre le jury pose-t-il les questions ? . . . . . 1.3.4 Faut-il dire au jury la partie que l’on voudrait développer ? 1.3.5 Choix des sujets d’oral 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 En savoir plus sur le déroulement des épreuves . . . . . Axes de préparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conseils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Epreuves orales dès la session 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . Extraits du rapport du jury 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Commentaires généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Sur l’oral 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Généralités 37 2.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Graphes 39 3.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Probabilités 41 4.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3


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TABLE DES MATIÈRES

5 Variables aléatoires discrètes 43 5.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6 Outils statistiques 47 6.1 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1.1 Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61] . . . . . 47 7 Loi binomiale 49 7.1 Front des exposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.1.1 Compte rendu d’oral 1 de 2017 . . . . . . . . . . . . . . 49 8 Variables aléatoires réelles à densité 8.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Questions A . . . . . . . . . . 8.2 Ecueils à éviter . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Posséder ses fondamentaux . 8.2.2 Quelques dangers . . . . . . . 8.3 Témoignage de Nicolas . . . . . . . .

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51 51 51 53 53 54 55

9 Intervalles de ‡uctuation 57 9.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10 Lois uniformes, lois exponentielles 59 10.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.2 Témoignage d’Aurélie D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 11 Séries statistiques à une variable 65 11.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 12 Arithmétique des nombres entiers 12.1 Questions A+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Multiples, diviseurs & division euclidienne 12.1.2 PGCD, Bezout & Gauss . . . . . . . . . . 12.1.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Multiples, diviseurs & division euclidienne 12.2.2 PGCD, Bezout & Gauss . . . . . . . . . .

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67 67 67 70 72 73 74 74 74


TABLE DES MATIÈRES

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12.2.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . 12.2.4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Compléments sur la dénombrabilité . . . 12.3 Questions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Multiples, diviseurs & division euclidienne 12.3.2 PGCD, Bezout & Gauss . . . . . . . . . . 12.3.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Questions C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Multiples, diviseurs & division euclidienne 12.4.2 PGCD, Bezout & Gauss . . . . . . . . . . 12.4.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . 12.4.4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.5 Compléments sur la dénombrabilité . . . 12.5 Nouveautés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Equations du second degré 13.1 Questions . . . . . . . . . 13.1.1 Questions A . . . . 13.1.2 Questions B . . . . 13.1.3 Questions C . . . . 13.2 Témoignage . . . . . . . .

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75 75 75 76 76 76 76 77 77 77 77 78 78 79 79 83 83 83 85 88 89

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14 Nombres complexes 14.1 Questions . . . . . . . . . . . 14.1.1 Questions A+ . . . . . 14.1.2 Questions A . . . . . . 14.1.3 Questions B . . . . . . 14.1.4 Questions C . . . . . . 14.2 Témoignage de Benoît (2016)

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91 . 91 . 91 . 95 . 96 . 97 . 100

15 Géométrie vectorielle 15.1 Questions . . . . . . 15.1.1 Questions A+ 15.1.2 Questions A . 15.1.3 Questions B . 15.1.4 Questions C .

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103 103 103 105 106 107

16 Repérage 109 16.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 16.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


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TABLE DES MATIÈRES 16.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61] 16.2.2 Exercice sympathique . . . . . . . . . . . . . . 16.2.3 Exposé d’entraînement du 14/01/17 . . . . . . 16.2.4 Utilisez vos manuels de cours . . . . . . . . . .

17 Matrices 17.1 Questions . . . . . 17.1.1 Questions A 17.1.2 Questions B 17.1.3 Questions C 17.2 Pistes . . . . . . .

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110 111 111 111 111 112 113

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117 117 117 118 118 118

18 Proportionnalité et linéarité 18.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61] 18.2.2 Idées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Vrai ou faux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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121 121 121 123 124 124 125 125

19 Pourcentages, taux d’évolution, indices 19.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . 19.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . 19.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Témoignages . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 Témoignage de Lucile . . . . . .

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129 129 129 132 132 133 133

20 Systèmes d’équations, d’inéquations 20.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Simulation du 10 avril 2013 . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1 Montrer les équivalences dans le pivot de Gauss 20.2.2 Une droite partage le plan en deux demi-plans 20.2.3 Optimiser un béné…ce . . . . . . . . . . . . . .

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135 135 135 141 142 142 143 144 145

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TABLE DES MATIÈRES

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20.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.1 Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61] 20.3.2 Une dé…nition à critiquer . . . . . . . . . . . . 20.3.3 Compte rendu d’oral 1 de 2017 . . . . . . . . . 20.3.4 Un oral réussi de 2017 . . . . . . . . . . . . . .

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147 147 147 148 150

21 Droites et plans 21.1 Questions A+ . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Droites dans le plan . . . . . 21.1.2 Droites et plans dans l’espace 21.2 Questions A . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Droites dans le plan . . . . . 21.2.2 Droites et plans dans l’espace 21.3 Questions B . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Droites dans le plan . . . . . 21.3.2 Droites et plans dans l’espace 21.4 Questions C . . . . . . . . . . . . . . 21.4.1 Droites dans le plan . . . . . 21.4.2 Droites et plans dans l’espace

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153 153 153 155 158 158 158 159 159 159 161 161 162

22 Transformations du plan 22.1 Questions A+ . . . . . 22.2 Questions A . . . . . . 22.3 Questions B . . . . . . 22.4 Questions C . . . . . .

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165 165 170 171 172

23 Cercles 23.1 Questions . . . . . 23.1.1 Questions A 23.1.2 Questions B 23.1.3 Questions C 23.2 Sur le terrain . . .

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175 175 175 177 178 178

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181 181 181 187 188 189 191 191

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24 Solides de l’espace et volumes 24.1 Questions . . . . . . . . . . . 24.1.1 Questions A . . . . . . 24.1.2 Questions B . . . . . . 24.1.3 Questions C . . . . . . 24.2 Perspective cavalière . . . . . 24.3 Témoignages . . . . . . . . . 24.3.1 De l’échec à la réussite

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TABLE DES MATIÈRES 24.3.2 Un oral exceptionnel sur les solides de l’espace . . . . . 195

25 Produit scalaire 25.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Front des exposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.1 De bonnes applications du produit scalaire 25.2.2 Une présentation de niveau lycée . . . . . . 25.3 Témoignages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.1 Témoignage de David . . . . . . . . . . . . 25.3.2 Un bon niveau est toujours récompensé . . 25.4 Cherchez les erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Alignement, parallélisme, intersection 26.1 Questions sur les droites du triangle . . 26.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . 26.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . 26.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . . 26.2 Exposés sur les droites du triangle . . . 26.2.1 Est-ce un théorème ? . . . . . . . 26.2.2 N’armez pas le jury contre vous ! 26.2.3 Compte rendu de Matheod . . .

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203 203 203 206 208 209 209 209 210 210 215 216

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219 219 219 222 224 224 224 225 227

27 Proportionnalité et géométrie 27.1 Questions sur le théorème de Thalès . . . . . . 27.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Compléments sur le théorème de Thalès . . . . 27.2.1 Peut-on résumer en un seul théorème ? . 27.2.2 Exposer à quel niveau ? . . . . . . . . . 27.2.3 Thalès et développements limités, même 27.2.4 Thalès et invariance du birapport . . . .

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229 229 229 232 234 235 235 237 238 240

28 Trigonométrie 28.1 Questions . . . . . 28.1.1 Questions A 28.1.2 Questions B 28.1.3 Questions C

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245 245 245 247 247

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TABLE DES MATIÈRES

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28.2 Bon plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3 A ne pas rater . . . . . . . . . . . . . . 28.4 Simulation d’oral du 21 mai 2008 . . . . 28.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . 28.4.2 Suite de questions enchaînées . . 28.4.3 D’autres questions . . . . . . . . 28.4.4 Réaction d’Emmanuel . . . . . . 28.5 Compte rendu d’oral de Stéphane . . . . 28.6 L’oral du CAPES réservé d’Aurélie . . . 28.7 Dans des manuels de collège . . . . . . . 28.8 Dérivée de sinus et cosinus par les aires

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247 248 248 248 249 252 252 253 254 258 259

29 Relations dans un triangle 29.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . 29.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . . 29.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . . . 29.2 Témoignage de Félix . . . . . . . . . . . . 29.2.1 Le candidat raconte . . . . . . . . 29.2.2 Commentaires . . . . . . . . . . . 29.2.3 L’exercice proposé par le candidat 29.3 Témoignage de Philibert . . . . . . . . . .

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263 263 263 265 266 267 268 270 271 273

30 Constructions géométriques 30.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . 30.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . . . 30.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1 Sur cette leçon . . . . . . . . . . . . 30.2.2 Témoignage de Jeanne . . . . . . . . 30.2.3 Où est passée la géométrie du lycée ? 30.2.4 Recherche de lieux géométriques . .

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277 277 277 278 279 280 280 281 282 283

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285 285 285 290 291

31 Orthogonalité 31.1 Questions . . . . . 31.1.1 Questions A 31.1.2 Questions B 31.1.3 Questions C

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32 Suites numériques, limites

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TABLE DES MATIÈRES

33 Limites d’une fonction 33.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.1 Questions A+ . . . . . . . . . 33.1.2 Questions A . . . . . . . . . . 33.1.3 Questions B . . . . . . . . . . 33.1.4 Questions C . . . . . . . . . . 33.2 Nouveautés . . . . . . . . . . . . . . 33.2.1 Une compte rendu d’oral 1 de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017

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34 Théorèmes des valeurs intermédiaires 34.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Pistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.3.1 Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61] 34.3.2 Un oral 1 de la session 2017 . . . . . . . . . . . 35 Dérivation 35.1 Questions . . . . . . . . . . 35.1.1 Questions A . . . . . 35.1.2 Questions B . . . . . 35.1.3 Questions C . . . . . 35.2 Ecueils à éviter . . . . . . . 35.3 Questions de mégamathiens 35.4 Témoignages . . . . . . . . 35.4.1 Un oral de juin 2016

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36 Fonctions polynômes du second degré 36.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . 36.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . 36.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . 36.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . 36.2 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . 36.2.1 Sur un sujet d’oral 2 de 2015 . 36.2.2 Danger ! . . . . . . . . . . . . .

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295 295 295 299 299 300 302 302

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305 305 305 306 306 306

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307 307 307 312 312 312 314 315 315

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319 319 319 322 322 323 323 324

37 Fonctions exponentielle et logarithme 327 37.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 37.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327


TABLE DES MATIÈRES

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38 Intégrales, primitives 38.1 Questions . . . . . . . . . . . . . 38.1.1 Questions A . . . . . . . . 38.1.2 Questions B . . . . . . . . 38.2 Front des exposés . . . . . . . . . 38.2.1 Une erreur facile à éviter 38.2.2 Cherchez l’erreur . . . . . 38.2.3 Passe facilement les écrits, 38.3 L’intégration en terminale . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . mais . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . chute à l’oral . . . . . . . .

. . . . . . 2 .

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329 329 329 333 333 333 334 336 339

39 Equations di¤érentielles 343 39.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 39.1.1 Questions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 39.1.2 Questions C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 40 Etudes de fonctions 345 40.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 40.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 41 Aires 41.1 Questions . . . . . . 41.1.1 Questions A . 41.1.2 Questions B . 41.1.3 Questions C . 41.2 Sur le terrain . . . . 41.3 Extrait de Géométrie

. . . . . . . . . . du

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . collège

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347 347 347 349 350 352 354

42 Exemples d’algorithmes 363 42.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 42.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 42.2 Compte rendu de David T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 43 Raisonnements mathématiques 43.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.1 Questions A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.2 Questions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.3 Questions C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2.1 Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61] 43.2.2 Compte rendu d’oral 1 de Didier . . . . . . . .

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371 371 371 375 375 375 375 376


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TABLE DES MATIÈRES

44 Application à d’autres disciplines 379 44.1 Idées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 44.2 Front des exposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 44.2.1 Questions entendues à la session 2015 . . . . . . . . . . 380 45 Annexe

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TABLE DES MATIÈRES

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Présentation

Introduction Vous avez ouvert un livre évolutif proposé sur le site MégaMaths. Ce livre est appelé à être modi…é et adapté, donc pensez à revenir de temps en temps sur MégaMaths pour télécharger la dernière version connue. La date de la version est inscrite en bas de cette page. Dans ce livre, on trouvera des pistes de ré‡exions et des commentaires sur les leçons de l’oral 1 du CAPES externe qui touchent à des thèmes récurrents en mathématiques. Ces pistes et indications permettront à chacun d’approfondir la leçon qu’il compte présenter le jour J et surtout d’imaginer des questions que le jury pourrait poser. Ce livre s’adresse donc aux capésiens. Chaque chapitre tourne autour d’un thème d’oral. On y trouve chaque fois une section, intitulée Questions, qui regroupe des questions pouvant être posées pendant l’entretien qui suit toujours l’exposé. Ces questions sont classées en quatre rubriques suivant leur importance et la priorité avec laquelle elles doivent être traitées : - Questions A+ (Priorite elevee) – Ces questions courtes sont faciles à poser pour tester le candidat sur les fondamentaux, dans le but de valider ses connaissance ou débusquer ses lacunes. Dans ce dernier cas elles peuvent être à l’origine de questions enchaînées du jury destinées à préciser l’étendue des lacunes. Ces questions, qui peuvent être éliminatoires, sont à étudier en première priorité. Ces questions classiques sont faciles à poser à quelqu’un au tableau. Elles demandent de réagir promptement (il faut amorcer une réponse ou une recherche au bout de 15 à 30 secondes de ré‡exion !) pour montrer que l’on sait son cours sur le bout des doigts et que l’on a déjà ré‡échi et travaillé sur le thème exposé durant sa préparation. Il est conseillé de savoir répondre à ces questions sous peine de perdre des points et de voir le jury continuer avec une panoplie de questions enchaînées pour déterminer l’étendue des lacunes mises à jour. Savoir y répondre rapporte des points, ne pas savoir ou se tromper est pénalisant. 0 oralpistes — Version du 16 mars 2018 c 2018, Dany-Jack Mercier. °


Présentation

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- Questions A (Priorite elevee) – Même type de questions que les A+ , mais dont les réponses sont plus longues à donner, ce qui peut être un handicap quand elles sont posées à l’oral en disposant d’un temps limité. Ces questions restent prioritaires et peuvent être éliminatoires. - Questions B (Priorite normale) – Répondre à ces questions est moyennement important. Il vaut mieux y arriver, mais échouer reste rattrapable, et le jury peut aussi aider le candidat en lui donnant su¢samment d’indications. Ces questions sont à utiliser en entraînement seulement après avoir épuisé les questions A+ et A. - Questions C (Non prioritaire) – Ces questions ne sont pas prioritaires, compte tenu du programme et de l’orientation de la session 2017 (attention : cela peut varier d’une session à l’autre), ou simplement parce qu’elles sont posées pour voir jusqu’où le candidat compétent peut aller. Il s’agit de questions d’approfondissement qui ne devraient pas faire perdre de points, mais peuvent en faire gagner. Ces questions sont à laisser de côté tant que les apprentissages prioritaires o¤erts par les questions A+ et A ne sont pas encore bien acquis. Les questions du type C peuvent être posées quand le jury a e¤ectué toutes les autres véri…cations d’usage. Le jury a donc déjà posé les questions sur l’exposé lui-même, puis d’autres questions de ré‡exion sur cet exposé, puis des questions importantes sur le thème. Maintenant, il reste quelques questions transcendantes à demander à un candidat qui a surmonté les obstacles précédents. Ne pas savoir répondre à ces questions n’est pas un handicap, sauf si on se laisse entraîner à dire n’importe quoi : il faut continuer à prendre du recul et montrer que l’on ré‡échit ! Ces questions sont super‡ues et servent à déceler l’étendue des connaissances supposées du candidat compte tenu des réponses qu’il a déjà donné aux questions de type A ou B. Il s’agit de répondre avec maîtrise et honnêteté, et on peut aussi dire franchement que l’on ne sait pas répondre. On peut expliquer que l’on pense à une réponse mais que celle-ci reste ‡oue et devrait être précisée. Savoir répondre à une question de ce type permettra au jury de mettre un 18 au lieu d’une 16, mais ce n’est pas si grave que cela, non ? Type

Importance

A+ /A

grande

B

moyenne

C

faible

Impact sur la note

Objectif du jury véri…er si les savoirs important, handicapant de base sont acquis préciser les connaissances moyen en + ou en du candidat mesurer l’étendue des peu d’impact négatif savoirs du candidat


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Présentation

Vous pouvez m’envoyer vos réactions concernant les oraux que vous préparez ou que vous avez passés. Cela me permet d’actualiser ces informations. Pensez à moi quand vous aurez réussi le CAPES, car j’ai besoin de ces informations pour travailler ! N’hésitez pas à me contacter sur dany-jack.mercier@hotmail.fr. Bon travail et que la force soit avec vous ! Pointe-à-Pitre, le 13 décembre 2016, modi…é en 2017 Dany-Jack Mercier

NB : les sections « Nouveautés » regroupent les textes qui n’ont pas encore été déposés dans les livres de la collection ORAL CAPES MATHS.


Chapitre 1

Au sujet de l’oral 1 1.1

La leçon d’oral au CAPES

I A la session 2016, la première épreuve orale du CAPES externe consiste en une préparation de deux heures trente où le candidat dispose d’un ordinateur, et d’un oral d’une heure divisée en trois parties distinctes : - un plan où le candidat expose ses idées sur le sujet qu’il a tiré au sort. Le tirage au sort s’e¤ectue en demandant de choisir un billet sur lequel sont marqués deux titres de leçons, et c’est le candidat qui choisit quel titre il développera. L’exposé dure (au maximum) 20 minutes, où il faudra essayer de montrer ses connaissances et sa maîtrise tout en évitant le hors sujet. - un développement sur l’une des parties du plan choisie par le jury. Il s’agit de montrer sa capacité à revenir sur un point particulier de la leçon en donnant des précisions : proposer la démonstration d’un théorème, justi…er de la pertinence d’une dé…nition, résoudre un exercice cité dans l’exposé, justi…er le plan proposé, expliquer les prérequis de façon détaillée... Il s’agit de donner un coup de projecteur sur une partie de l’exposé. - un entretien avec le jury complète l’heure d’interrogation. Le jury pose des questions autour de l’exposé et du thème abordé, le niveau du questionnement pouvant aller jusqu’à celui du master première année. En général, les premières questions sont des demandes de précision concernant directement le plan et le développement qui ont été présentés. Les questions peuvent ressembler à celles posées dans la partie « développement », mais on peut y ajouter d’autres questions très variées : sur la forme, le vocabulaire, les notations, les usages, le lien avec l’enseignement du secondaire, les justi…cations au niveau universitaire ou au contraire sur les pratiques dans les classes du secondaire... Le jury peut aussi décider de commencer l’entretien en indiquant un passage 17


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1

de la leçon à relire et corriger s’il y a lieu. Les questions sont souvent enchaînées pour permettre au candidat de préciser ses réponses et découvrir le degré de maîtrise des bases. Il s’agit donc de faire attention à n’utiliser que des notions que l’on connaît et sur lesquelles on a déjà ré‡échi pendant sa préparation, car ces questions enchaînées servent aussi à débusquer des lacunes dans certains domaines des mathématiques, ce qui peut s’avérer très pénalisant. S’il reste du temps, il y aura ensuite des questions plus générales et très variées : des demandes d’explications sur certains points que le candidat a oublié ou évité d’exposer, des exercices proposés avec quelques indications pour observer comment le candidat réagit au tableau, des questions sur les programmes scolaires, sur les méthodes à employer dans les petites classes, etc. Si tout va bien, et s’il ne reste que peu de choses à dire, le jury peut encore poser des questions plus di¢ciles pour voir jusqu’où vont les connaissances du candidat. Rassurons-nous, car il n’est pas nécessaire de répondre à ce genre de questions pour réussir son oral : lorsque toutes les étapes précédentes se sont bien déroulées, ces questions sont souvent posées pour choisir entre une très bonne ou une excellente note. I Depuis la session 2014, l’oral 1 s’appelle Epreuve de mise en situation professionnelle. Avec un tel titre, on s’attendrait à se borner à construire une leçon comme on le ferait devant des élèves du secondaire. Mais ce n’est pas le cas, il faudra toujours aller plus loin et proposer un discours structuré à un niveau supérieur qui, tout en expliquant et détaillant des notions à l’honneur dans les programmes du secondaire, permettront de montrer qu’on maîtrise le sujet et que l’on dispose d’une vision globale de ce que l’on expose. Les instructions o¢cielles du Journal O¢ciel du 27 avril 2013 précisent bien les attentes au sujet de cette épreuve : « L’épreuve comporte un exposé du candidat suivi d’un entretien avec le jury. Elle prend appui sur les programmes de mathématiques du collège, du lycée et des sections de techniciens supérieurs. L’épreuve permet d’apprécier la capacité du candidat à maîtriser et organiser des notions sur un thème donné, et à les exposer de façon convaincante. Elle consiste en la présentation d’un plan hiérarchisé qui doit mettre en valeur le recul du candidat par rapport au thème. » On présentera donc un thème en se basant sur ce qui est traité dans le secondaire et en STS, en essayant d’être synthétique et en montrant sa culture mathématique. Il faudra aussi penser à l’entretien où l’on devra réagir suivant les questions du jury en montrant sa capacité d’écoute et en utilisant au besoin toutes ses connaissances universitaires.


1.2. QUELLES QUESTIONS POSE-T-ON ?

1.2

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Quelles questions pose-t-on ?

I Voici ce qu’un futur candidat m’a un jour demandé : Dans la partie « plan » de la leçon, on doit ne citer que des dé…nitions, théorèmes, exemples, contre-exemples et en aucun cas ne doivent apparaitre de démonstrations ? Est-ce bien cela ? Les démonstrations pourront apparaître dans la partie Développement par suggestion du jury ? A la lecture de trois rapports de jury du CAPES externe, tant pour les épreuves écrites qu’orales, j’ai cru comprendre que les principes de notation étaient très pointus et spéci…ques ! Le jury attend du candidat des éléments de réponses on ne peut plus précis et la moindre entorse à ces recommandations fait chuter sa note de manière signi…cative ! C’est d’autant plus vrai que, souvent, les candidats sont à quelques centièmes voire millièmes de points les uns des autres, donc tout a son importance, et un détail omis peut avoir des répercussions très pénalisantes pour la suite des événements. Oui, a priori le plan contient des dé…nitions, théorèmes, exemples, contreexemples, exercices d’application, visualisations sur l’écran à l’aide de Geogebra ou d’un tableur, etc. Mais il n’est pas interdit de sortir de ce carcan et d’adopter une stratégie particulière. Un résultat très simple à dire peut quand même être démontré oralement ou en utilisant un peu de place sur le tableau ! Cela ne nuira pas à la clarté de l’exposé, au contraire. Les grandes lignes de certaines démonstrations peuvent être décrites dans le plan sans tout aborder en détail. Un exercice ou un exemple peuvent être expliqués. Dans la partie Exposé, c’est l’orateur qui fait ses choix et reste le grand maître à bord. Il construit sa leçon comme il l’entend, en essayant autant que possible de répondre aux attentes du jury. Il endosse aussi toute la responsabilité de ses choix qu’il faudra peut-être défendre dans la partie Entretien. Les démonstrations peuvent apparaître dans la partie Développement, mais aussi dans la partie Entretien, deux parties bien arti…cielles qui se ressemblent en fait énormément. I Pendant l’entretien le jury pose un certain nombre de questions. Nous allons voir quatre types de questions, sachant qu’en général le jury commence par poser des questions du type 1, puis du type 2, pour éventuellement terminer avec des questions du type 3. Les questions du type 4 seront par contre utilisées à n’importe quel moment pendant l’entretien. Voici un essai de classi…cation :


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1

1. Questions intéressant directement l’exposé Le jury demande des précisions sur un point, fait corriger une coquille, demande de trouver une erreur dans un énoncé et de proposer une correction, demande de préciser complètement certaines dé…nitions utilisées, s’inquiète des prérequis et demande des éclaircissement sur ceux-ci, montre une incompatibilité manifeste (par exemple un théorème proposé à un moment mais qui nécessite un résultat que l’on voit plus loin dans l’exposé), pose la question de savoir si l’on a le droit de dé…nir une notion comme on l’a fait (validité d’une dé…nition), demande une démonstration, demande de préciser à quel niveau on se place, pose des questions sur le programme ou sur l’enchaînement proposé, demande de défendre un point de vue... Exemples : - Montrez-nous que cette dé…nition a un sens. - Démontrer ce théorème que vous avez énoncé. - « Relisez l’énoncé de ce théorème et corrigez », ou plus subtil : « vous êtes certain que ce théorème est bien énoncé ? », ou plus direct et agressif, donc plus déstabilisant : « Votre théorème est faux ! » ou « On ne peut pas dire que... ! » ou encore « Eh bien, c’est la première fois que je vois un théorème comme ça ! ». - Sauriez-vous démontrer ce théorème plus simplement en utilisant vos connaissances de licence (resp. de façon à pouvoir présenter la démonstration en collège) ? - Que signi…e cette notation ? - Comment dé…nissez-vous cet objet ? - Relisez ce paragraphe et corrigez l’orthographe... - Vous ne mettez jamais d’accents quand vous écrivez ? Ecrivez-nous « ALGEBRE » au tableau. . . - Vous êtes certain d’avoir le droit de faire ça ? - Il n’y a pas un peu d’exagération à admettre ce résultat dans vos prérequis ? - Où sont vos prérequis ? - Quel est l’intérêt pédagogique de l’exercice que vous proposez ? Quel est son statut (activité de découverte, exercice d’entraînement ou d’approfondissement, remédiation, évaluation sommative, évaluation formative...) ? - Etc. 2. Questions sur des connaissances essentielles Ces questions font partie de ce que le candidat est supposé connaître sur le bout des doigts, sans l’ombre d’un doute. Les tenants et les aboutissants sont nombreux même si l’on a exposé une notion bien déterminée. Par exemple, au détour d’un exercice de géométrie


1.2. QUELLES QUESTIONS POSE-T-ON ?

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que le candidat a proposé, on peut lui demander de donner les deux dé…nitions d’une médiatrice d’un segment et démontrer qu’elles sont équivalentes. Puis on peut demander de démontrer en quelques mots (et en s’aidant légèrement du tableau : mais là c’est le candidat qui décide si cela l’aide à s’exprimer) pourquoi les médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un point, et si le résultat perdure quand le triangle est aplati. Montrer que les bissectrices d’un triangle concourent est aussi éliminatoire ! C’est d’ailleurs ce genre de question qui m’a poussé à essayer de regrouper des questions fondamentales pour l’oral mais aussi pour l’écrit dans mes livres « Acquisition des fondamentaux ». Cela m’énervait trop de ne pas su¢samment les pister, et de voir tant de candidats désarçonnés pendant une simulation quand l’inspecteur de l’époque, qui nous assistait, demandait si les trois médiatrices d’un triangle concouraient. C’étaient mes étudiants et j’étais un peu responsable de ces manques. . . Ces questions font partie du bagage minimum que le jury demande à un candidat. Elles sont donc souvent éliminatoires, mais on ne perdra pas ses moyens si on en rate une ou deux, car une épreuve orale est une épreuve très vivante et peut très bien s’orienter ensuite sur des thèmes où le candidat est à l’aise. Le jury aura alors tendance à réévaluer sa note positivement. Pour adopter une stratégie gagnante, il faut se dire que rien n’est vraiment jamais joué à l’oral même si l’on chute quelque part. Et le jury est aussi là pour nous voir réagir face à l’adversité ! Le candidat est aussi noté sur les ressources qu’il déploie pour réagir quand il ne sait pas : il peut par exemple débuter une démonstration en précisant son mode de fonctionnement, par exemple en disant « je vais essayer de raisonner par analyse-synthèse », et vogue la galère. La pire des choses est de rester coincé comme un marine sur la plage d’Omaha Beach. Ceci dit, les questions de base sont des questions éliminatoires a priori, qui peuvent shunter une belle note d’exposé. L’entretien vise à savoir ce que connaît le candidat sur les savoirs de base en dehors de ce qu’il est capable de d’exposer quand on ne l’interrompt pas. On peut aussi estimer que le candidat sera l’expert de mathématique dans son établissement, le référent qui devra juger seul de la validité d’une démarche ou d’un raisonnement. A ce titre, il doit connaître le savoir minimum d’un étudiant de mathématiques de licence, comme par exemple savoir démontrer qu’une ensemble est un groupe ou un anneau. Les questions posées par le jury visent aussi à découvrir le niveau du licencié qui est en face de lui !


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1 3. Questions di¢ciles

Si l’exposé et bon et si les connaissances du candidat sont jugées solides, le jury peut poser des questions plus di¢ciles pour mesurer l’étendue des connaissances de celui-ci. Ne pas savoir répondre à une question trop di¢cile ne baissera pas la note, sauf si l’on s’y prend mal, par exemple en faisant mine de savoir ce que l’on ne sait pas, ce que le jury peut essayer de découvrir. Répondre en toute honnêteté et en toute simplicité, en faisant des phrases intelligibles et en articulant, su¢t en général. Restons francs, réalistes et consistants malgré l’adversité. Le jury essaie peut-être seulement de déterminer s’il vous colle un 17 ou un 18 sur 20 ! Les connaissances indispensables ont déjà été validées pendant les autres étapes de l’entretien, donc pas de panique si l’on se sent malmené à la …n sur des thèmes ardus ! On n’en a rien à faire. 4. Questions enchaînées Ces questions sont posées pour faire préciser les réponses ou véri…er que le candidat connaît parfaitement toutes les notions auxquelles il fait appel pour répondre à une question de type 1, 2 ou 3. Ce genre de question peut donc survenir à n’importe quel moment de l’entretien, ce qui en fait toute la richesse de l’oral, mais aussi son imprévisibilité. Un point positif pour le candidat cependant : puisque le jury ne manquera pas de demander des précisions s’il le désire, le candidat a tout à fait le droit de répondre à une question de façon précise mais sommaire. Il doit alors s’attendre à d’autres questions du jury, mais cela n’enlève pas le fait qu’il a répondu à la question précédente ! Par exemple, si l’on demande ce qu’est un angle, le candidat peut répondre que c’est une rotation. C’est dur, ce n’est plus à la mode car on voit moins de transformations actuellement, mais c’est juste et peut être développé si l’on connaît la présentation rigoureuse des angles orientés de demi-droites à l’aide du groupe SO(E) où E est un plan vectoriel euclidien. Autre exemple : si Thalès est présenté avec des valeurs algébriques, le jury demande de dé…nir ces valeurs algébriques. Si Thalès est présenté à l’aide de plusieurs cas de …gure comme en troisième, ou en parlant sans cesse de l’ordre des points sur les droites en question, et en n’utilisant que des distances, une question enchaînée possible (qui teste le candidat sur ses apprentissages postBAC) est : pourriez-vous donnez un autre énoncé du théorème de Thalès plus simple à dire ? Ou encore : est-ce que vous connaissez la situation de Thalès classique, non vue en collège, qui fait intervenir trois parallèles et une sécante ?


1.2. QUELLES QUESTIONS POSE-T-ON ?

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Seriez-vous capable de démontrer le théorème de Thalès sous cette forme plus générale ? Un dernier exemple : si le candidat dit que la série de terme générale x/n ! converge, le jury lui demande immédiatement pourquoi. A n’importe quel moment de l’entretien, quand une question a été posée et que le candidat propose une réponse, s’il est entendu et normal que cette réponse doit être structurée et dite en faisant des phrases complètes, et qu’il serait préjudiciable de s’arrêter en catharsis, le jury est en droit, et a le devoir, de demander des explications supplémentaires. Le but est ici de faire le tri entre le candidat honnête et sérieux, deux qualités très prisées en mathématiques, et celui qui est passé maître dans l’art de blu¤er ses interlocuteurs. J’avais un copain, Lionel, qui passait le CAPES, puis l’agrégation l’année suivante, au même moment que moi. Il en savait peu mais utilisait parfaitement ce qu’il savait pour briller à un niveau inimaginable, en enrobant bien les phrases et avec une assurance incroyable : je n’aurais jamais pu aligner deux phrases comme il le faisait sans devenir rouge comme une pivoine ! Et bien il fut admissible au CAPES et à l’agrégation, mais chuta chaque fois à l’oral. Pourquoi d’après vous ? A cause de ces fameuses questions enchaînées destinées à sonder les connaissances réelles des candidats. . . Faire le tri et assurer l’égalité stricte entre les candidats, voilà les obligations du jury. Il faut découvrir les beaux-parleurs sans background qui font illusion comme des tigres de papier. Ceci dit, le blu¤ reste possible, et c’est bien ce qui me chagrine à l’oral. Même à niveau égal, certains se débrouilleront mieux que d’autres, ce qui me fait dire qu’il est stupide de favoriser deux fois plus l’oral que l’écrit (qui écrit pendant 5 heures ne peut pas mentir !), comme cela a été décidé à partir de la session 2014 du CAPES. Un coe¢cient double pour les oraux aura pour e¤et de rendre l’admission plus chaotique et la découpler de l’écrit, ce qui fera la joie des blu¤eurs et autres mentalistes. En deux heures de temps, le jury fera ce qu’il peut pour déduire ce qu’il doit. Mais, moi, je pense que 10h d’écrit ne peuvent pas valoir moins que deux heures d’oral ! Bon, il y a pire : le CAPES interne où l’écrit est un dossier que vous pouvez faire faire par un copain, et où l’oral dure une petite heure pendant laquelle il faudra agir en bon parleur. Mais là, je m’égare, c’est un autre sujet...


24

CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1

1.3

Pistes pour préparer les leçons Cette section regroupera des ré‡exions et des commentaires sur la façon de préparer les oraux du CAPES. J’ai écrit des conseils méthodologiques sur la préparation des oraux 2013 au début de mon livre sur l’oral [36] et je n’y reviendrai pas. Les propos qui suivent préciseront certaines idées et montrent des alternatives valables. Bien sûr, le lecteur peut m’envoyer ses ré‡exions s’il le désire pour les partager avec nous.

1.3.1

Comment préparer l’oral quand on est suppléant

Lettre du 5 mars 2013 Je furette sur votre site depuis bientôt un an, date à laquelle je me suis décidée à tenter l’aventure du CAPES (CAFEP pour moi en fait). Merci mille fois pour tous ces précieux renseignements, cette bouée de sauvetage pour les moments di¢ciles. De formation ingénieur arts et métiers, j’ai quitté l’entreprise après 8 ans de bons et loyaux services, testé l’enseignement en collège avec quelques déceptions (qui me semblent normales avec le recul), pris un congé parental (...). J’alterne depuis les remplacements en collège, en lycée (…lières générales et technologiques) et en lycée pro, avec beaucoup de plaisir ! Et me voilà donc lancée dans l’aventure du concours : j’ai ressorti mes cours de TC et de prépa, acheté quelques-uns de vos livres, potassé tout ce que j’ai trouvé sur le net (dont des vidéos qui m’ont beaucoup aidée à me remotiver quand l’overdose était proche) et à ma grande surprise, réussi les écrits (ainsi que ceux du CAPLP). Maintenant arrive l’échéance des oraux (et de l’écrit 2014). La suppléance que j’e¤ectue cette année (sur 2 établissements éloignés de 40 km) est de 21,5h de cours, plus l’encadrement de TPE. Bref, je n’ai que le mercredi après-midi et mes soirées pour préparer mes cours, et accessoirement, j’ai trois enfants de 4 à 11 ans à la maison... Donc, il va falloir que j’aille à l’essentiel, que je sois particulièrement e¢cace car, en lisant les commentaires, je prends conscience du temps que je n’ai pas pour préparer ces oraux... (sachant que je suis également admissible au CAPLP). Je pro…te des vacances pour avancer, je vais suivre une formation en mars et mai. Le fait d’enseigner en lycée est un plus, mon âge (les cours théoriques sont loin derrière moi) me désavantage par contre... Voilà comment j’envisage mes révisions. Pouvez-vous me donner votre avis et vos conseils pour gérer du mieux possible le manque de temps et l’e¢cacité ?


1.3. PISTES POUR PRÉPARER LES LEÇONS

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1. J’ai acheté un livre de chaque niveau (6e à BTS) chez un éditeur. 2. J’ai glané toutes les informations que je pouvais sur chaque leçon, y compris en utilisant mes vieux cours de première S, TC et maths sup). 3. Je suis actuellement en train de compiler ces données et de rédiger un plan au brouillon pour chaque leçon, en essayant de repérer dans les manuels où se trouve l’information pertinente (pour la retrouver rapidement le jour de l’oral) 4. En parallèle, je travaille quelques dossiers corrigés et conseils/questions pièges 5. Je reviendrai sur chaque leçon ensuite pour mettre le plan au propre, et faire les démonstrations. Aurai-je le temps de faire tout ça ? Je l’espère ! Réponse — Félicitations pour votre double admissibilité ! Ce n’est pas facile quand on doit assumer tant d’heures de cours sur des sites aussi distants, tout en assumant des charges de famille. Pour les oraux, il est certain que vous ne pourrez pas tout voir à fond (qui le peut d’ailleurs ?) et que cela se jouera sur « le temps présent » et le coup de poker qui consiste à tirer une leçon que l’on aime bien à l’oral 1, et tomber sur une leçon « correcte » pour soi en oral 2. Mais avec votre méthode, je pense que vous mettez le maximum de chances de votre côté. Je suis d’accord avec vous : enseigner déjà en lycée et collège est un « super plus ». Je pense que votre âge est aussi un atout car il montre votre motivation et vous permet d’avoir du recul (parfois sans le savoir) sur certaines questions. Qui plus est, avoir été ingénieur tant d’années est favorable car vous connaissez le monde de l’entreprise, et saurez en parler et utiliser cette connaissance dans vos classes, ne serait-ce que pour la gestion des di¢cultés. Un dernier atout est que l’on a besoin d’enseignants et que c’est donc le moment de passer les concours. J’ai lu votre programme de révision pour l’oral, et je le trouve impeccable. Vous avez raison d’appuyer vos préparations sur les livres du secondaire après avoir fait un investissement conséquent pour vous o¤rir une panoplie de manuels. Cet investissement est indispensable. Ces manuels seront vos compagnons tout au long de vos préparations et pendant les heures d’oral le jour J. L’idée d’écrire un plan au brouillon et de ne pas se donner l’obligation d’approfondir tout de suite est excellente. Vous accumulez des idées sur des leçons et avancez dans la précision des contours de ces leçons petit à petit, suivant sur quoi vous tombez en cherchant sur les manuels ou ailleurs. Donc, person-


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1

nellement, je valide votre plan de route, et vous souhaite une réussite prompte et dé…nitive au CAFEP ! (...)

1.3.2

Comment s’entraîner au mieux en TD ?

On m’a posé la question de savoir comment il valait mieux faire préparer des oraux quand on anime des TD de préparation au concours. Voici quelques pistes que je désire partage avec vous. Oh, toutes les solutions sont possibles, bien sûr, et o¤rent des avantages et des inconvénients. Les stoïciens diraient que toute chose possède deux anses, une par où on peut la porter et une par où on ne peut pas. On peut présenter des leçons comme s’il s’agissait de cours magistraux, avec ou sans un vidéoprojecteur. Une bonne méthode consiste à demander à chacun de venir avec ses livres du secondaires, ceux qui les accompagneront le jour de l’oral, puis de ré‡échir en salle sur la construction d’une leçon particulière seuls en ayant le droit d’échanger avec ses voisins, et en passant de l’un à l’autre pour orienter ou répondre à des questions. Mais la forme qu’il vaut mieux selon moi privilégier compte tenu du petit nombre d’heures dont on dispose et de l’e¢cacité que l’on cherche à obtenir, c’est de demander aux étudiants de se partager les leçons à l’avance, de les prépare, puis de les présenter pendant une heure à la date prévue, dans la situation du concours, avec un vidéoprojecteur à sa disposition et avec l’ordinateur portable que l’étudiant aura apporté. Cette mise en situation, proche de la simulation, permet de s’habituer à : - prendre la parole en public, - organiser son exposé, - faire attention à ce que l’on dit, - gérer la phase d’entretien avec le jury. C’est pendant l’entretien que beaucoup de choses se joue. Le jury dirige les a¤aires, et on se fait parfois traîner comme une masse. Ce n’est pas grave ! Il faut s’y habituer et trouver la façon de réagir pour conserver la tête hors de l’eau le plus longtemps possible. Il faut apprendre à écouter. Il faut apprendre à répondre sobrement mais justement, quitte à devoir préciser son idée si le jury le demande. Il faut apprendre à répondre en un temps assez court, ne pas avoir peur d’écrire au tableau pour initier un raisonnement. Il faut rester honnête mais droit dans ses bottes. Tout cela est essentiel et fera la di¤érence. Bien sûr, on fera tout cela ensemble et dans la bonne humeur ! Il n’y a pas de fausse pudeur à avoir, on est tous dans la même galère ! On rassemble des


1.3. PISTES POUR PRÉPARER LES LEÇONS

27

connaissances sur un thème, on expose sa leçon, puis on se laisse ballotter comme une nef sur l’océan en essayant de répondre au mieux aux questions qui sont posées, les bonnes comme les mauvaises. Toute la salle de TD doit travailler ensemble et faire front : on s’entraîne, on s’épaule, on a con…ance entre nous tous ! On construit ensemble. D’ailleurs le formateur comme n’importe quel étudiant présent dans la salle qui aurait envie de jouer le rôle de jury, posera des question à l’orateur pour l’aider à s’épanouir, à trouve son chemin et ses réponse en accord avec son caractère.

1.3.3

Dans quel ordre le jury pose-t-il les questions ?

En général, le jury d’oral pose ses questions dans l’ordre suivant : a) Des questions sur l’exposé lui-même Pour : - demander des précisions sur les pré-requis, - s’étonner du plan de l’exposé et demander des explications sur ses choix, - recti…er une erreur ou un lapsus, - demander des précisions, - découvrir comment le candidat réagit, ou pas, à une question sur son exposé, - faire prendre conscience d’une erreur grave pour permettre au candidat de se rattraper, comme par exemple une notion que l’on utilise mais qui est dé…ni plus loin dans son exposé, ou une dé…nition qui ne tient pas la route. Ou encore une erreur de raisonnement comme l’oubli d’une réciproque. Les questions posées par le jury peuvent alors prendre des formes très di¤érentes, et s’entraîner à y répondre permet de ne pas être désarçonné trop vite le jour J. b) Des questions générales sur le thème Cela permet de pister les connaissances réelles du candidat et son aptitude à les solliciter et les communiquer. C’est là où l’on peut poser un petit exercice, demander quelque chose sur le programme d’une classe, demander comment on ferait dans sa classe, demander des précisions sur un théorème... Si l’exposé est du type lycée ou collège seulement, c’est là où l’on va poser des questions du niveau licence où le candidat devra montrer qu’il maîtrise la notion comme un spécialiste des mathématiques qu’il est. Si l’exposé a été


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1

donné au niveau licence, le jury pourra demander ce qu’il faut retenir au niveau lycée ou collège, et comment on présenterait la notion à ces niveaux. c) Des questions ardues Si toutes les barrières précédentes ont été franchies, il reste « toutes les questions dont on se fout ». C’est une blague. Je veux dire que, s’il reste du temps, le jury peut poser une question di¢cile à laquelle il sera quasiment impossible à répondre sauf s’il s’agit de son thème de prédilection, et qui n’aura aucun impact sur la note, juste pour voir si le candidat est honnête et jusqu’où va l’étendue de ses connaissances. S’il répond, on pourra le grati…er d’une note encore meilleure, mais il y a fort à parier que s’il ne répond pas, mais gère la situation avec intelligence, il conservera la note que le jury avait déjà en tête, et qui devait déjà être très bonne !

1.3.4

Faut-il dire au jury la partie que l’on voudrait développer ?

J’assiste à un exposé d’entraînement et la candidate présente son plan, puis indique clairement qu’elle peut développer telle partie. Comme je suis un jury retors, je choisis une autre partie à développer et c’est la catastrophe. En disant au jury la partie que vous avez l’intention de développer, vous lui dites que c’est la partie où vous êtes le plus sûr de vous. Le jury peut vous faire plaisir, bien entendu, mais peut aussi se dire qu’il apprendra plus sur vos lacunes en vous demandant de développer une autre partie. Le risque est là. Que ferez-vous ?

1.3.5

Choix des sujets d’oral 1 et 2

Voici une petite information qu’il n’est pas mauvais de rappeler au sujet du choix des sujets d’oral : « A…n d’éviter qu’un candidat planche sur un unique thème aux oraux I et II, le jury fera un « tri » dans les sujets d’exposé proposés la veille : Il y a ainsi un lien entre vos deux épreuves du concours, on pourrait dire que les choix des sujets des oraux 1 et 2 ne sont pas indépendants. En e¤et, même si ni le jury, ni vous ( !) ne connaissez le sujet du jour J+1, si la Présidence a décidé, par exemple que le dossier sera une épreuve de géométrie, alors dans la liste des sujets d’oral 1 du jour J, il n’y aura pas de géométrie, assurant ainsi une certaine équité entre les candidats, a…n qu’un même candidat n’ait pas 2


1.4. AXES DE PRÉPARATION

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sujets sur une même thématique. Par contre, un thème proposé un jour J, peut à nouveau être proposé un jour J+i (où i est variable) » (réf. CNED 2017) Les choix des deux sujets de l’oral 1 sont donc conditionnés par le choix du sujet de l’oral 2 le jour suivant. Il est aussi bon de savoir que les questions de l’oral 1 sont couplées arbitrairement par le jury avant les épreuves, puis sorties au fur et à mesure de l’avancement du concours. Il est traditionnellement interdit de coupler deux thèmes similaires, ce qui serait un piège pour ceux qui tirerait ce billet ! Les billets comportant les deux titres couplés sont préparés bien à l’avance, et doivent normalement éviter le thème proposé le lendemain en oral 2. Par contre, rien n’interdit au jury de placer par exemple la leçon d’arithmétique sur beaucoup de billets car il n’y a qu’une seule leçon d’arithmétique à la session 2017, mais une leçon tellement vaste qu’elle touche à tout, ce qui augmentera naturellement la probabilité de tomber sur une leçon d’arithmétique à l’oral 1. Les couplages sont décidés par le jury suivant des critères ne sont connus de personne. Donc mé…ons-nous des jugements hâtifs comme celui de dire que les 38 leçons d’oral 1 de la session 2017 seront présentées un même nombre de fois durant le déroulement des épreuves.

1.3.6

En savoir plus sur le déroulement des épreuves

Pour connaître le déroulement des épreuves, il faut bien sûr lire la documentation o¢cielle sur le site du ministère de l’éducation nationale (programme, nature des épreuves) au moment où on passe le concours. Les changements peuvent être rapides d’une session à l’autre. On doit aussi - visiter le site o¢ciel du jury du CAPES externe. - lire les articles des pages Comptes rendus d’oraux du CAPES [10] et CAPES externe & agrégation interne [4] sur Mégamaths, et en particulier l’article ORAL CAPES MATHS : n’ayant personne pour me guider, je cherche des réponses à mes questions... [53] et les commentaires déposés au bas de cet article sur Mégamaths Blog.

1.4

Axes de préparation

La préparation aux concours s’articule suivant plusieurs axes di¤érents que j’appelle des incidences de formation, certains axes convenant plus à certains qu’à d’autres. Il faut se connaître soi-même pour que son entraînement soit le plus fructueux possible. Il est recommandé de choisir une incidence qui motive et donne envie de continuer, l’idéal étant de s’amuser à découvrir et parcourir


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1

des thèmes mathématiques au programme du concours que l’on prépare. Voici les incidences que j’ai relevées : Ä Incidence Cours — Découverte et étude des fondamentaux par la lecture de discours structurés sur le sujet. Ä Incidence Questions-Réponses — Pour posséder ses fondamentaux de cours, se préparer à l’entretien avec le jury et acquérir des ré‡exes pour réagir devant des situations à l’écrit ou à l’oral, il est bon de s’entraîner sur de petites questions classiques comme celles qui sont rassemblées dans la collection Acquisition des fondamentaux pour le concours. Ä Incidence Exercices et problèmes courts — Pour mettre son savoir en oeuvre sur des exercices et des problèmes de longueurs raisonnables classés par thèmes, dont certains seront des extraits de parties abordables d’annales de concours. Ä Incidence Annales — Il est toujours e¢cace et simple de travailler sur des annales récentes dont on possède les corrections pour ne pas perdre son temps dès que l’on est bloqué, l’important étant d’acquérir des connaissances, de réviser des méthodes et d’apprendre quelque chose pour chaque demi-heure investie. Ä Incidence Leçons d’oral — Travailler les leçons d’oral du concours dès le début en organisant un exposé et en regroupant des connaissances et des savoir-faire classés dans des dossiers qui correspondent à ces leçons. On prépare ainsi l’oral, mais aussi l’écrit d’un concours. N’oublions pas ! Une petite demi-heure de travail chaque jour permet d’acquérir 365 éléments de connaissances au bout d’une année : c’est ainsi que, pas à pas, on construit de grands savoirs.

1.5

Conseils

I Quelques rappels importants - Ne pas dire « 5 est plus petit que 8 » mais « 5 est inférieurà 8 ». - Ne pas dire « Hélène de  » mais plutôt « logarithme népérien de  » ou à la rigueur « logarithme de  » s’il faut le dire souvent. C’est normal puisque Hélène de Troie habitait à Troie et non à , et parce que l’on ne dit pas « sin de  » mais « sinus de  », « sin » voulant dire péché en anglais. I Voici des conseils avisés d’un candidat au CAPES 2015 qui était allé assister à plusieurs exposés ([9] CR n± 8) : - Bien écouter les questions, ne pas hésiter à faire répéter.


1.6. EPREUVES ORALES DÈS LA SESSION 2017

31

- Attention aux a¢rmations gratuites (les adolescents sont comme-ci, les parents sont comme ça, en troisième on sait cela...) dans la question sur la mission du professeur. - Eviter de répondre « Il FAUT faire comme ça » quand un des exercices du dossier demande si on ne peut-on faire autrement. - Certaines craies de couleur (violettes, vert...) ne sont pas très lisibles. - Repérer les icônes qui permettent d’agrandir la vidéoprojection, ou de mettre les fenêtres en plein écran. - Quand le jury demande : « Est-ce que vous écririez cela au tableau devant une classe ? » (entendu plusieurs fois), il y a a priori une erreur au tableau, au moins quelque chose à compléter ou à ajuster. - Poser de vrais énoncés, avec de vraies questions, les écrire quelque part, et ne pas se contenter de seulement les énoncer à peu près à l’oral. - Penser « trace écrite ». J’ai vu des tableaux très patchwork, rendant di¢cile la reprise lors des questions. - Eviter de lire les notes, ou ce qui est projeté en vidéo. - L’écran est parfois en plein milieu du tableau. Ne pas hésiter à le relever. D’ailleurs pour le relever, il ne faut pas l’accompagner mais laisser le ressort faire son job sinon il s’arrête à mi-course. - Tableau : cela peut être bien de le délimiter pour optimiser l’espace, on n’a pas le droit d’e¤acer. - Etre précis dans les termes. Exemple entendu : « le coe¢cient directeur est la dérivée », « la dérivée de  de  pour la dérivée de la fonction exponentielle » sont des expressions qui font tiquer. - Assumer ses choix. Il faut être capable de justi…er ses choix, le jury posant souvent des questions comme :« Pourquoi avoir choisi uniquement de la géométrie ? », « Pourquoi uniquement niveau collège ? »... - Penser aux quanti…cateurs dans la rédaction. - Penser à marquer les étapes, et en particulier à conclure.

1.6

Epreuves orales dès la session 2017

Voici des renseignements donnés pour la session 2017 provenant d’une réunion organisée le 31 mars 2016 par le jury du CAPES externe. Ces explications sont en fait valables dès la session 2016, la seule nouveauté de la session 2017 provenant de cette option informatique destinée essentiellement à augmenter le nombre d’inscrits au CAPES externe de mathématiques qui a bien du mal à recruter depuis la mastérisation.


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1

I La première épreuve orale est conditionnée à l’option choisie. Elle privilégie la maîtrise, l’organisation et la présentation des connaissances …gurant au programme. Cela n’exclut pas une prise de recul critique et didactique. Les notions centrales de l’exposé (énoncé du théorème des valeurs intermédiaires dans la leçon Théorème des valeurs intermédiaires, par exemple) doivent être parfaitement maîtrisées. La liste des thèmes d’interrogation est publiée à la rentrée sur le site du jury du CAPES. Elle évolue tous les ans. I La seconde épreuve orale est commune aux deux options. Elle fait explicitement référence à la classe et à l’acte d’enseigner. Elle est la seule à demander une bonne connaissance des programmes et elle est aussi celle où la posture du candidat est le plus prise en compte. La forme matérielle des sujets pourrait évoluer progressivement. Les questions sur les missions du professeur et sur les valeurs qui les portent se répartissent dans plusieurs grands thèmes : la maîtrise de la langue française, l’évaluation des élèves, la di¤érenciation pédagogique, le décrochage scolaire, l’école dans l’ère du numérique, le travail en équipe des enseignants, les liaisons inter cycles, les procédures disciplinaires, les conduites à risque, les relations avec les parents d’élèves, les déterminismes sociaux, l’accès des …lles aux …lières scienti…ques, la scolarisation des élèves porteurs de handicap. Le tableau ci-dessous rappelle le déroulement des épreuves :


1.7. EXTRAITS DU RAPPORT DU JURY 2017

1.7

33

Extraits du rapport du jury 2017

Voici des extraits du rapport du jury du CAPES externe mathématiques pour la session 2017 concernant l’oral en général, et l’oral 1 en particulier [61].

1.7.1

Commentaires généraux

Les épreuves orales visent à apprécier les qualités des candidats en vue d’exercer le métier d’enseignant. Ainsi, il s’agit non seulement de faire la preuve de ses compétences mathématiques, mais également de montrer sa capacité à les transmettre, à en illustrer la portée par des exemples bien choisis et, plus généralement, à susciter l’intérêt des élèves pour la démarche scienti…que. Compte tenu de la complexité du métier d’enseignant, les attentes du jury sont multiples et l’évaluation des candidats prend en compte des critères nombreux et variés. Une certaine connaissance des programmes, une bonne gestion du temps, la maîtrise des médias de communication, une élocuti on claire, un niveau de langue adapté et une attitude d’écoute sont des atouts essentiels. Le niveau mathématique et les qualités de communication, qui ne peuvent être considérés séparément, jouent un rôle déterminant dans la note attribuée. Lors de l’évaluation de ces épreuves orales, le jury est plus particulièrement attentif aux critères suivants : ¢ ¢ ¢ ¢

Maîtrise (compétences mathématiques) Organisation et clarté (compétences pédagogiques) Pertinence-Niveau (compétences mathématiques et pédagogiques) Réactivité (compétences mathématiques et professionnelles)

Les recommandations formulées dans les rapports du jury des dernières sessions demeurent largement valables. Comme pour tout concours, une préparation soigneuse de chacune des épreuves en amont de celles-ci est indispensable et reste le meilleur gage de réussite.

1.7.2

Sur l’oral 1

La première épreuve orale d’admission est l’épreuve de mise en situation professionnelle : le candidat choisit un sujet, parmi deux qu’il tire au sort. L’épreuve commence par l’exposé d’un plan (vingt minutes), suivi du développement par le candidat d’une partie de ce plan choisie par le jury puis d’un entretien. Les attentes du jury sont dé…nies par le texte de l’arrêté dé…nissant l’épreuve. On cherche à évaluer la capacité du candidat à maîtriser et à organiser les notions correspondant au thème proposé par le sujet, à les exposer avec clarté dans un langage adapté, puis à prêter aux questions posées par le jury toute


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1

l’attention souhaitable et en…n à répondre à ces questions de façon convaincante et avec une bonne aisance. La posture adoptée par le candidat doit exclure l ’arrogance, la provocation et l’impatience. Une très bonne maîtrise de la langue française est attendue. Les éléments qui viennent d’être évoqués entrent pour une part importante dans l’évaluation. Le niveau auquel se situe l’exposé reste au choix du candidat qui n’a pas à adapter le contenu au programme de telle ou telle classe. La forme de l’exposé est elle aussi laissée au libre choix du candidat : les présentations intégralement écrites aux tableaux, à l’aide d’un diaporama vidéo-projeté comme celles alternant entre les deux sont appréciées par le jury. Ajoutons qu’il n’y a pas de contraintes sur l’utilisation du tableau, le candidat a toute liberté pour l’utiliser à sa convenance, a…n de montrer ses capacités à exposer avec clarté et à susciter l’intérêt de l’auditoire. En particulier, le jury n’attend pas que l’ensemble du plan proposé tienne sur un tableau. Le plan doit être préparé avec soin : le jury est particulièrement attentif à la rigueur des énoncés mathématiques cités par le candidat et à la structure logique du déroulement de ce plan ; il apprécie les illustrations par des exemples ou de l’utilisation de logiciels. L’utilisation des livres numériques est possible, mais le candidat doit faire preuve d’un minimum d’esprit critique et de détachement vis-à-vis de ces ressources : le plan ne doit pas consister en une suite de copier-coller plus ou moins ordonnée de pages de manuels. D’autre part, il convient de prévoir des possibilités de développement dans le plan présenté : certains candidats admettent tous les énoncés de leur plan et ne présentent aucun exemple ou exercice, ce qui les met en di¢culté lors du choix du développement par le jury. À ce propos, signalons à toutes …ns utiles que le jury s’attend à ce que le candidat soit capable de démontrer un résultat constituant l’objet central d’une leçon, que cette démonstration …gure ou non dans les programmes des classes sur lesquels il est rappelé que le programme du concours ne fait que s’appuyer. En…n, il est attendu du candidat une attitude professionnelle : il convient de se détacher de ses notes, de s’exprimer distinctement et avec un niveau de langage adapté, en s’adressant au jury et non pas au tableau et de gérer ce dernier de façon appropriée. D’une manière générale, le jury a apprécié l’utilisation des logiciels, maîtrisés par une majorité de candidats. Signalons tout de même que geogebra est un logiciel de géométrie dynamique et qu’il est bien souvent utilisé de manière trop statique. Les candidats qui choisissent de présenter leurs idées et concepts au moyen d’un document numérique projeté (ce qui n’est ni obligatoire, ni interdit) doivent prendre garde au fait que ce document sera projeté et lu par des personnes se situant à au moins trois mètres de l’écran ; il convient donc d’éviter les documents composés avec des caractères de trop petite taille. D’autre part,


1.7. EXTRAITS DU RAPPORT DU JURY 2017

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dans ce cas, la parole du candidat devra apporter une véritable plus-value par rapport au document projeté : l’exposé ne peut se limiter à lire ou à paraphraser un texte qui dé…le sous les yeux.


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CHAPITRE 1. AU SUJET DE L’ORAL 1


Chapitre 2

Généralités Voici des questions que l’on peut poser à l’occasion de n’importe quel exposé.

2.1 2.1.1

Questions Questions A

Question 2.1 (Rapport du jury du CAPES 2015) Si  et  sont deux nombres réels, est-ce que    entraîne 2  2 ? Question 2.2 (Rapport du jury du CAPES 2015) Si , , ,  sont des nombres réels strictement positifs, peut-on dire que    et    implique    ? p p Question 2.3 [33] Résoudre l’équation ( ¡ 1)( ¡ 4) = ( ¡ 2)( ¡ 5) dans l’ensemble des réels. Question 2.4 [33] Résoudre l’équation ln(2) = ln(2 ¡ 1) dans R.

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CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS


Chapitre 3

Résolution de problèmes à l’aide de graphes 3.1 3.1.1

Questions Questions A

Question 3.1 (Oral du CAPES 2015) Quelles sont les applications des graphes ? [Alors que l’exposé n’en parlait pas :] Pouvez-vous montrer sur un exemple l’utilisation de l’algorithme de Dijsktra ?

39


40

CHAPITRE 3. GRAPHES


Chapitre 4

Probabilités 4.1 4.1.1

Questions Questions A

Question 4.1 [35] En Australie, McDonald’s propose de créer soi-même son burger en choisissant parmi 30 ingrédients di¤érents. Combien peut-on créer de burgers ? Quelle est la probabilité de demander le même sandwich que le client précédent ?

41


42

CHAPITRE 4. PROBABILITÉS


Chapitre 5

Variables aléatoires discrètes 5.1 5.1.1

Questions Questions A

Question 5.1 (Oral du CAPES 2015) Démontrer la formule de Koenig-Huygens. Question 5.2 (Oral du CAPES 2015) Calculer l’espérance d’une loi binomiale. Question 5.3 (Oral du CAPES 2015) [L’exposé parlait du paradoxe de Monty Hall] Qu’est-ce qu’un paradoxe ? Connaissez-vous d’autres exemples de paradoxes ? Question 5.4 (Oral du CAPES 2015) Connaissez-vous d’autres lois discrètes ? Question 5.5 [35] On lance 4 fois un dé tétraédrique équilibré dont les 4 faces sont numérotées de 1 à 4. La variable aléatoire  donne le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier 4. Si au bout de 4 lancers, aucun 4 n’est obtenu, alors  prend la valeur 0. Déterminer la loi de probabilité de . Réponse — Représentons l’expérience à l’aide d’un arbre de probabilités en écrivant 4 si le dé indique le chi¤re 4, et A s’il indique un autre chi¤re. La probabilité d’obtenir 4 dans un lancer est 14. La valeur de  est représentée sur le dessin. 43


44

CHAPITRE 5. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

STOP

1/4

4

X=1 STOP

1/4 3/4

4

X=2 STOP

A

1/4

4

X=3 STOP

A

3/4

1/4

A

3/4

4 STOP

3/4

A

X=4

X=0

La variable aléatoire  prend ses valeurs dans [[0 4]]. Pour  2 [[0 4]] notons  = p( = ). L’arbre nous permet de voir que 1 = 14, puis : µ ¶2 3 1 3 3 1 9 2 = £ = ' 0 187 3 = £ = ' 0 141 4 4 16 4 4 64 µ ¶3 µ ¶4 3 1 27 3 81 4 = £ = ' 0 105 0 = = ' 0 316 4 4 256 4 256 On remarque que : 8 2 [[0 4]]

µ ¶¡1 3 1  = £  4 4

Question 5.6 [35] On lance 2 fois un dé tétraédrique équilibré dont les 4 faces sont numérotées de 1 à 4. La variable aléatoire  compte le nombre de fois où l’on obtient le chi¤re 4. a) Utiliser un arbre pour déterminer la loi de probabilité de . b) Justi…ez rigoureusement le calcul de p( = 1). Réponse — a) On construit l’arbre de probabilités suivant :

1/4

3/4

1/4

4

X=2

3/4

A

X=1

1/4

4

X=1

A

X=0

4

A 3/4

La variable aléatoire  prend ses valeurs dans f0 1 2g. Si l’on note  = p( = ), l’arbre permet d’écrire : µ ¶2 3 9 0 = = ' 0 56 ; 4 16

µ ¶2 1 1 2 = = ' 0 06 4 16


5.1. QUESTIONS 1 =

45

3 1 1 3 3 £ + £ = ' 0 37 4 4 4 4 8

(¤)

b) Le calcul de 1 donné en (¤) par simple lecture de l’arbre se justi…e en utilisant la formule des probabilités totales et celle des probabilités composées. L’événément ( = 1) est obtenu de deux façons di¤érente : quand le premier jet donne 4 mais pas le second ou quand le premier jet ne donne pas 4 et le second donne 4. L’événement ( = 1) apparaît donc comme la réunion disjointe de deux événements. Pour être précis, notons : 41 l’événement « j’obtiens 4 au premier lancer ». 1 l’événement « j’obtiens 1, 2 ou 3 au premier lancer ». 42 l’événement « j’obtiens 4 au second lancer ». 2 l’événement « j’obtiens 1, 2 ou 3 au second lancer ». L’événement ( = 1) s’écrit comme une réunion disjointe : G ( = 1) = (41 \ 2 ) (1 \ 42 ) correspondant à deux itinéraires di¤érents sur les branches de l’arbre de probabilités. Cet arbre permet de visualiser commodément cette réunion de deux intersections. La formule des probabilités totales donne : 1 = p( = 1) = p (41 \ 2 ) + p (1 \ 42 )

et chacune des probabilités p(41 \ 2 ) et p (1 \ 42 ) se calcule facilement en utilsant la formule générale p ( \ ) = p () p (), où p () désigne la probabilité de l’événement  sachant que l’événement  est réalisé.

1/4

3/4

1/4

4

X=2

3/4

A

X=1

1/4

4

X=1

A

X=0

4

A 3/4

Les données numériques se lisent alors sur l’arbre et l’on obtient : 8 3 1 3 > < p (41 \ 2 ) = p41 (2 ) p (41 ) = £ = 4 4 16 1 3 > : p (1 \ 42 ) = p (42 ) p (1 ) = £ = 3  1 4 4 16 On trouve bien le résultat annoncé en (¤) : 3 3 3 1 = p41 (2 ) p (41 ) + p1 (42 ) p (1 ) = + =  16 16 8


46

CHAPITRE 5. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES


Chapitre 6

Représentation et interprétation de données 6.1 6.1.1

Compléments Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61]

Elle peut donner lieu à une liste assez fastidieuse de dé…nitions de toutes sortes, s’éloignant ainsi de l’objectif d’un enseignement vivant en prise avec les réalités physiques, sociales et économiques. Une approche allant des phénomènes aux outils de mesure statistique est certainement plus convaincante, permettant de dégager quelques grandes tendances à partir des données recueillies.

47


48

CHAPITRE 6. OUTILS STATISTIQUES


Chapitre 7

Loi binomiale 7.1

Front des exposés

7.1.1

Compte rendu d’oral 1 de 2017

Cette candidate a pourtant réussi son concours car elle est allé à l’oral 2 après avoir raté l’oral 1. Le témoignage complet est proposé sur le blog de MégaMaths [2]. J’ai tiré « Loi binomiale /Droites dans le plan, droites et plans dans l’espace ». J’ai choisi la loi binomiale que j’ai présentée en 17 minutes. Mon plan : schéma et épreuve de Bernoulli, coe¢cients binomiaux (avec triangle de Pascal), loi binomiale, approximation par d’autres lois, applications. La première question qui m’a été posée était de démontrer mes énoncés. J’ai précisé qu’il existait deux méthodes de démonstration, une au niveau lycée, l’autre au niveau supérieur. Je commence ma démonstration niveau lycée que j’écris au tableau. Et là c’est le drame, je me suis totalement embrouillée dans ma dé…nition de coe¢cient binomial en parlant du nombre de succès menant à n chemins ou quelque chose comme çà ! Le jury a tenté tant bien que mal de me faire dire « que dans n épreuves de Bernoulli, le coe¢cient binomial est dé…ni comme le nombre de chemins conduisant à  succès ( étant un entier entre 0 et ). » je voyais bien qu’il y avait un soucis puisqu’ils ont insisté pendant 30 minutes sur ce sujet, et moi j’ai commencé à perdre mes moyens. . . Ils m’ont ensuite demandé de démontrer cette formule au niveau supérieur, avec les factorielles, pour cela je n’ai pas eu de problème mais je restais perturbée par ce que j’avais fait, et j’ai été très « renfermée ». J’ai passé les portes du lycée et me suis e¤ondrée en larmes !

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50

CHAPITRE 7. LOI BINOMIALE


Chapitre 8

Variables aléatoires réelles à densité 8.1 8.1.1

Questions Questions A

Question 8.1 [35] (Ecrit du CAPLP 2016) Vrai ou faux : si  désigne un nombre réel positif, et si  est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance nulle et de variance 2 , alors p ( · ¡) ' 0 68. Justi…er sa réponse. Réponse — FAUX. Comme  suit une la loi normale d’espérance nulle et de variance  2 , la fonction de densité  associée à cette loi est une fonction en cloche, aussi appelée « gaussienne », dont le maximum est atteint en 0. Compte tenu de la symétrie d’une fonction gaussienne et de la dé…nition d’une loi normale, on a nécessairement p ( · 0) = 0 5. Comme ¡ · 0, il sera impossible d’avoir p ( · ¡) ' 0 68. Raisonnons par l’absurde : si l’on avait p ( · ¡) ' 0 68, l’inclusion des événements ( · ¡) ½ ( · 0) entraînerait p ( · ¡) · p ( · 0) d’où 0 68 · 0 5, ce qui est absurde. Remarque — Pour aller plus loin, appelons  la loi normale centrée réduite. Comme  suit une loi normale d’espérance nulle et de variance 2 : =

 ¡0  =  

et : 1 p ( · ¡) = p( · ¡1) = p 2 51

Z

¡1

¡1

2 2

¡

 ' 0 158 655 253 9


52

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES À DENSITÉ

où l’approximation est donnée par un logiciel de calcul numérique. Le candidat peut pro…ter de cette question pour véri…er s’il sait calculer une probabilité issue d’une loi normale en utilisant le dispositif autorisé dans son concours. On remarque que la probabilité obtenue et loin d’être supérieure à 12, comme on l’avait deviné. Question 8.2 En utilisant le cours sur la loi normale, montrer que : Z +1 2 ¡  = 1 ¡1

Réponse — On sait que la loi normale centrée p réduite est dé…nie à l’aide de 2 la densité de probabilité  7!  () = ¡ 2  2, de sorte que : Z +1 1 2 p ¡ 2  = 1 2 ¡1 p Si  et  sont des réels tels que   , le changement de variable  =  2 donne : Z  Z p2 Z p2 1 2 ¡2 ¡2 2 1 p  = p   = p  ¡ 2  p 2 2  2   2 Il su¢t de passer à la limite dans ces égalités lorsque  tend vers ¡1 et lorsque  tend vers +1, pour obtenir : Z +1 Z +1 1 2 ¡2   = p ¡ 2  = 1 2 ¡1 ¡1 Question 8.3 Vous dites que l’espérance d’une v.a.r.  à densité  (dé…nie Z sur R) est : () =  ()  

Pouvez-vous justi…er une telle dé…nition ?

Réponse — Impossible de donner une justi…cation rigoureuse, donc il faut se rabattre vers des justi…cations plus souples. On peut par exemple dire que cette formule généralise la dé…nition de l’espérance d’une v.a.r. que l’on connaît dans le cas R de calculer une moyenne. L’analogie P discret où elle permet P entre () = =1   et () =   ()  est frappante, la somme étant remplacée par une intégrale, et  () jouant peu ou prou le rôle des  . Question 8.4 Justi…ez que la densité de la loi exponentielle de paramètre  est bien une densité de probabilité au sens de la dé…nition que vous avez donnée. [Même question avec une loi uniforme ou une loi normale.]


8.2. ECUEILS À ÉVITER

53

Question 8.5 Pouvez-vous calculer l’espérance d’une loi exponentielle ? normale ? uniforme ? Question 8.6 Existe-t-il une bijection entre l’ensemble des densités de probabilité et celui des v.a.r. à densité ? [Et si le jury emploie le mot « équipotent », sauriez-vous répondre ?] Question 8.7 [32] Soit  : R+ ! R une fonction localement intégrable telle Z +1 que l’intégrale généralisée : ()  0 converge. a) La fonction  possède-t-elle nécessairement une limite en +1 ? b) Si  possède une limite  en +1, montrer que  = 0.

8.2

Ecueils à éviter

8.2.1

Posséder ses fondamentaux

Beaucoup de questions sur les fondamentaux peuvent être posées à l’occasion de cette leçon, comme par exemple : - Qu’est-ce qu’une probabilité ? - Comment dé…nit-on l’intégrale d’une fonction ? - Une fonction continue sur un segment [ ] est-elle intégrable ? - Une fonction continue sur un intervalle réelle  admet-elle une primitive sur cet intervalle ? - Qu’est-ce qu’une fonction intégrable sur R ? - Que représente l’espérance d’une v.a.r. ? L’écart-type ? - (...) Il faudra donc travailler toutes les questions portant sur les bases des probabilités et sur l’intégrale d’une fonction (Chap. 38). Ces questions sur les bases servent à lever des lièvres ! Voici une petite anecdote : Dans une simulation, j’ai l’occasion de m’apercevoir que le candidat hésite à répondre à la question : « Une fonction continue est-elle intégrable ? », marmonnant qu’il fallait peut-être qu’elle soit aussi dérivable. Voilà l’occasion rêvée de véri…er si les standards sont connus. Je demande s’il fallait qu’une fonction soit dérivable pour être intégrable. Ensuite je demande de montrer qu’une fonction continue sur un intervalle posséde une primitive. Aucune réponse même après un petit temps d’attente, aïe !


54

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES À DENSITÉ Puis je désire savoir si l’on peut donner un exemple de fonction continue mais non dérivable : pas de réponse encore. On aurait aussi pu aussi s’amuser à demander d’exhiber une fonction dérivable mais non continue, ce qui aurait tout dit sur l’état de préparation du candidat. Mais est-ce la peine ? Après cette séquence de questions, il sera di¢cile au candidat de remonter la pente...

Dans la suite de l’interrogation, on aurait aussi pu demander de proposer un contre-exemple montrant qu’une fonction peut être dérivable sans être continûment dérivable, ou encore de classe   sans être de classe  +1 (ces contreexemples sont donnés au Chapitre 35 p. 307 sur la dérivation).

8.2.2

Quelques dangers

- Le premier danger est de taille : montrer, par ses réponses inexistantes ou hésitantes, que l’on ne sait pas ce qu’est une fonction intégrable, ni une intégrale généralisées, ni l’aire d’une partie in…nie (par exemple sous la courbe  7! 12 pour  ¸ 1). Mais au fait, qu’est-ce qu’une aire ? Qu’une partie quarrable ? (voir Chapitre 41 p. 347). - Vouloir trop en faire et présenter des théorèmes hors de portée sans dire explicitement qu’on les admet. Le jury peut alors demander la démonstration d’un de ces théorèmes. Par exemple, on peut admettre la linéarité de l’espérance, car la prouver nécessite le théorème de transfert. Il vaut mieux placer son exposé au niveau d’une classe de terminale S, et admettre tout ce qu’on admet à ce niveau. - Attention à la cohérence de l’exposé. Si par exemple on oublie de signaler la linéarité de l’espérance, on ne peut pas proposer la formule de Koening  () = ( 2 ) ¡ ()2 comme application, sauf si on dit clairement qu’elle est admise (puisqu’on se place au niveau terminale S). Dans le cas contraire, le jury peut demander de démontrer cette formule, mais il faut voir que démontrer l’égalité (( ¡ ())2 ) = ( 2 ) ¡ ()2 nécessite de développer le premier membre, donc d’utiliser la linéarité de l’espérance sur laquelle on ne peut pas tabler, sauf si on l’admet. - Ne pas avoir le temps de donner les exemples qui importent et font partie du programme de terminale S : lois uniformes, exponentielles, normales. A ce sujet, il faut savoir justi…er que les densités associées à ces lois sont bien des densités de probabilité, et savoir calculer les espérances correspondantes. Il faut tout au moins terminer l’exposé en parlant de ces trois lois, sinon cela ne plaira pas...


8.3. TÉMOIGNAGE DE NICOLAS

8.3

Témoignage de Nicolas

J’ai reçu ce texte en juin 2015 : « Je suis tombé sur cette leçon voilà trois ans et j’ai eu 16/20. J’ai proposé le plan d’Esco¢er [12] et j’ai ajouté des exemples et les approximations des lois. J’ai proposé une application TICE (approximation sur Excel avec des curseurs pour les paramètres des lois) que le jury a très bien apprécié, puis j’ai dit que j’étais apte à faire les démonstrations des propositions contenues dans le plan si on me les demandait. Le jury m’a seulement posé la Question 8.3 p. 52, et j’ai répondu que cela dépassait le cadre du CAPES et que l’on devait avoir recours à la théorie de l’intégration, mais qu’en revanche c’était simplement une généralisation du cas discret. J’aime bien certains passages de ce Chapitre 8 car ce sont exactement des questions que le jury peut poser, et auxquelles il faut toujours avoir ré‡échi au préalable. Et puis que de bons souvenirs tout ça ! »

55


56

CHAPITRE 8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES À DENSITÉ


Chapitre 9

Intervalles de ‡uctuation 9.1 9.1.1

Questions Questions A

Question 9.1 (Oral du CAPES 2015) Conditions d’application de la formule qui donne l’intervalle de con…ance ? Comment faire quand on ne connaît pas la proportion ? Di¤érence entre intervalle de ‡uctuation et intervalle de con…ance ?

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CHAPITRE 9. INTERVALLES DE FLUCTUATION


Chapitre 10

Lois uniformes, lois exponentielles 10.1

Questions

10.1.1

Questions A

Reprendre les questions de la Section 8.1.1 p. 51. Question 10.1 (Oral du CAPES 2015) Montrer que la loi exponentielle est une loi sans mémoire. Question 10.2 (Oral du CAPES 2015) Quel le théorème qui permet de montrer la convergence de la méthode de Monte Carlo.

10.2

Témoignage d’Aurélie D.

Voici le compte rendu d’Aurélie D. du 15/4/14 pour l’oral 1 du CAPES externe 2014. Ce compte rendu incroyablement détaillé envoyé par Aurélie, permet d’en apprendre beaucoup sur la façon dont se déroulent l’épreuve et sur les réactions d’un jury. Aurélie est un ancien ingénieur que je connais et qui s’est parfaitement mise au niveau CAPES en peu de temps, même si les maths étaient loin derrière elle. Cela prouve encore une fois que l’on peut se préparer correctement si l’on a eu des bases solides à un moment, et en étant motivée et e¢cace comme Aurélie ! Je suis allée en tant que visiteur dans 2 leçons d’oral 1 et 2 d’oral 2. Jury bienveillant dans l’ensemble, pas de pièges, ton encourageant. 59


60

CHAPITRE 10. LOIS UNIFORMES, LOIS EXPONENTIELLES

Oral 1 : J’ai vu deux passages sur loi binomiale. Questions du jury sur les coe¢cients binomiaux, démo du triangle de pascal dans les 2 cas. Questions sur les notions d’estimation (inconnues des deux candidats). Le premier candidat a tout écrit au tableau, perdant beaucoup de temps et n’a pas su aborder le coeur du sujet car il a pris 10 min à présenter des prérequis. J’ai eu l’impression que le jury ensuite était bloqué, gêné car ils ont dit ne pouvoir l’interroger sur le développement que sur la base de ce qui est au tableau (c.à.d. rien sur la loi binomiale) peut-être y-a-t-il une consigne pour le jury, du genre : « le développement doit être en relation avec ce qui a été présenté uniquement » ? Le deuxième candidat a ensuite fait un plan très clair, posé, propre et intéressant, entièrement projeté sur le vidéo projecteur. Il n’a rien écrit à part quelques exemples, ce qui n’a pas semblé gêner le jury outre mesure. Vraiment bien. La décon…ture ensuite car le candidat n’a pas su répondre aux questions du jury (plan recopié sur un livre ?). Clairement il n’a pas pu faire illusion au-delà des 15 minutes de pure leçon. Jury agacé... Pas de mention des programmes, peu de prise recul sur les leçons par les candidats (exposé techniques). On nous a bien conseillé à l’ESPE de Guadeloupe de prendre le temps de placer les leçons dans le contexte, et e¤ectivement plusieurs questions du type « quel niveau ? Pourquoi est-ce enseigné ? Comment faire dans une classe ? » ont été posées. Pas d’utilisation, ni du tableur ni de geogebra ni d’algobox, uniquement Open O¢ce pour projeter chez les quatre candidats. Oral 2 : sujet de proba-stats avec estimation, énoncé peu clair, les candidats ont eu du mal à comprendre, et tous les visiteurs aussi d’ailleurs. Il semble que l’épreuve ait été ratée par beaucoup. Couplages : j’ai rassemblé ces quelques couplages au hasard des discussions avec les candidats : ² Thalès et lois normales ; ² Applications des mathématiques dans d’autres disciplines et proportionnalité/linéarité ² Exemples d’études de fonction et orthogonalité ; ² Le mien : droites remarquables du triangle et lois uniformes, lois exponentielles (j’estime avoir eu beaucoup de chance d’être tombée sur ces leçons). Ensuite le lendemain ce fût mon tour. . . J’ai tiré le jury D : encore du bol ! Je l’ai visité la veille ce jury, je connais leurs visages, j’ai en tête qui est gentil et moins gentil, quels sont leur sujets de prédilection sur les questions de probabilités. Je me dis que je serai moins déstabilisée peut être.


10.2. TÉMOIGNAGE D’AURÉLIE D.

61

Conditions de travail : convocation 1h30 avant le début de préparation effectif. C’est beaucoup... Il faut prendre son mal en patience surtout si on avait déjà prévu deux heures de marge comme moi...), donc 1h d’attente supplémentaire puis une demi-heure de présentation par le directeur du jury. Les règles sont très claires et on nous donne la possibilité de poser des questions. Livres interdits : uniquement ceux sans ISBN et ceux mentionnant « préparation à l’oral des concours de l’enseignement », rapide véri…cation par les surveillants des titres et du contenu des livres pour voir si aucune note n’est insérée dans l’ouvrage. Préparation : 10 bonnes minutes grignotées sur le temps de travail pour gérer la logistique, ordinateur à connecter, remplissage d’une …che pour le jury, véri…cation des livres. Nous sommes installés sur une petite table avec ordinateur et clé USB pour y mettre nos …chiers, et avons à disposition les programmes, …ches ressources d’Eduscol et logiciels. La table est très étroite, et l’on est très proches des voisins. Bruit dans le couloir, passages des autres candidats avec les valises à roulettes : des boules Quiès sont bienvenues. A l’heure dite on nous accompagne dans les commissions. J’ai choisi les lois uniformes, loi exponentielles. Le plan présenté est le suivant : I. Loi uniforme discrète 1) Modèle + exemple 2) Loi de probabilité et paramètres II. Loi uniforme continue 1) Modèle + exemple 2) Loi de probabilité et paramètre 3) Exercice d’application tiré d’Eduscol 4) Développement proposé : méthode de Monte-Carlo pour approximer Pi III. Loi exponentielle 1) Modèle + exemple 2) Loi de probabilité et paramètres 3) Loi sans vieillissement 4) Exercice sur la désintégration radioactive 5) Développement proposé : simulation d’une loi exponentielle sur tableur à l’aide d’une loi uniforme J’ai pris le temps au début pour parler lentement, présenter le programme et l’entrée massive des probabilités suite à la réforme. Sur mes parties 1 et 2 j’ai fait l’e¤ort de présenter de beaux exemples et applications, avec Algobox et le tableur. Je commence le grand III et le couperet tombe : « il vous reste 3


62

CHAPITRE 10. LOIS UNIFORMES, LOIS EXPONENTIELLES

minutes ». Panique à bord. Je pose mon marqueur et je …nis très rapidement par énoncer à l’oral et sous forme de petites notes au tableau ce que je comptais écrire en détail car j’avais en mémoire le candidat de la veille pour qui cela avait été un problème. Je me retourne vers mon tableau pour prendre du recul sur ce que j’ai écrit : ce n’est pas nickel, un peu brouillon... Le stress joue beaucoup. Mince je me dis que j’aurais dû être plus attentive. Développement : on me demande de démontrer que la loi exponentielle possède bien la propriété des lois sans vieillissement. Je m’empresse de rédiger la démonstration, que j’avais travaillé en préparation, je termine au bout de 5 minutes. La démonstration me semble correcte même si je suis allée un peu vite. Je me retourne vers le jury, m’attendant à une autre question. Mais en fait nous n’avons plus la possibilité de communiquer ! Le développement c’est 15 minutes ! Je me dis mince, j’aurais dû prendre mon temps pour broder. . . Alors je leur demande : « je peux peut être démontrer ce résultat intermédiaire dans la démonstration si vous voulez ». Pas de réponse mais un signe de la tête (cela parait irréel...) je prends ça pour un oui et je redémontre des petites choses, je réexplique certaines lignes en détail. Tout ça sans retour du jury, et je me suis sentie très seule. L’entretien : beaucoup de questions ils m’ont pressé comme un citron donc je vous mets ce dont je me rappelle dans l’ordre chronologique. Les faciles : - On reprend des erreurs de notation faites dans ma démo. Mais le jury ne m’aide pas vraiment, me dit : : ça n’a pas de sens, trouvez et corrigez. Heureusement je me suis rattrapée rapidement. - Qu’est-ce qu’une densité ? OK. - Corrigez cet exercice, OK. - Montrez-nous cette application, et l’autre application. Je prends bien le temps pour expliquer les formules du tableur et le concept Monte-Carlo. Jje m’embrouille un peu, mais ça passe. OK - Comment simuler une loi uniforme sur un tableur ? Comme faire sentir à une classe les notions de fréquence ? OK. - Petits calculs de probabilités avec la densité de la loi exponentielle. OK. - Tracez la représentation graphique de cette densité. Je commence à fatiguer, j’ai tracé la fonction exp(-x), les membres du jury m’ont repris gentiment et m’ont posé les questions qui m’ont permis de retrouver facilement la courbe. Ils se concertent à chaque fois pour trouver une nouvelle question et viennent les plus di¢ciles : - Si la loi sans vieillissement modélise la désintégration radioactive, en quoi la notion de demi-vie d’un atome a-t-elle un sens ? On a bien dit que l’atome


10.2. TÉMOIGNAGE D’AURÉLIE D.

63

ne vieillissait pas je ne comprends pas, expliquez. Question tordue, posé d’un ton très sec, je m’embrouille encore... On passe à autre chose. NOK. - Vous avez dit que l’espérance est une notion asymptotique expliquez. C’est quoi la loi des grands nombres, écrivez la formellement. Je l’ai trouvée vache, je suis perdue dans mes notations je ne retrouvais plus la formule du théorème. Partiellement OK. - Vous utilisez l’intégrale sqrt(1-x^2) entre 0 et 1 et a¢rmez qu’elle vaut Pi/4. Calculez-la. J’explique qu’il faut faire un changement de variable en cosinus ou sinus, je me lance dans les calculs je me trompe dans les bornes, ça prend un peu de temps et ils ne me laissent pas …nir. Nouvelle question : - Si je mets dans un sac des papiers représentant chacun un élément de P(E), et E de cardinal n. Si A inclus dans P(E) et B inclus dans A de cardinal k, quelle est la probabilité de tirer B dans ce sac ? Question posée très rapidement comme si c’était fait exprès. Je redemande calmement l’énoncé pour noter les éléments, je propose un dénombrement, je dis que card(P(E)) c’est 2^n. Puis j’essaie de sommer, je m’embrouille. Ils ne me laissent pas …nir. Une dernière question facile : - Corrigez cette question de votre exercice. A la sortie j’ai eu l’impression que j’ai exposé pendant 3 heures. Je suis lessivée, déçue de n’avoir pas pu résoudre tous les problèmes qu’on m’a posé. Je n’ai aucun recul sur ma posture, je ne sais pas si j’ai parlé clairement et si je me tenais bien car j’étais absorbée par les questions, Mais à la lumière de ce que j’ai vu la veille je me dis que j’ai rempli le contrat de base avec un plan, des références au programme, des TICE et un développement maitrisé, même si je ne sais pas si l’échantillon que j’ai observé était représentatif ou non, et même si je ne connais pas la grille d’évaluation du jury. Celui-ci ne laisse rien transparaître, si bien que l’on ne peut pas savoir si l’on a réussi ou pas. C’est frustrant. Je reçois ma convocation du lendemain : jury C. Je l’ai aussi vu la veille ! Encore de la chance, et il en faut ! (. . . ) J’ai le sentiment d’avoir été bien préparée à l’ESPE, on nous a bien indiqué ce qui était important et su¢samment entrainé pour que cela devienne des automatismes. J’espère que ce travail sera apprécié des commissions de jury !


64

CHAPITRE 10. LOIS UNIFORMES, LOIS EXPONENTIELLES


Chapitre 11

Séries statistiques à une variable 11.1

Questions

11.1.1

Questions A

Question 11.1 Comment faire comprendre à des élèves la di¤érence entre la moyenne et la médiane d’une série statistique ? Réponse — Une collègue m’indique : « Mes troisièmes comprennent la subtilité moyenne/médiane quand on travaille sur les salaires de 999 smicards et d’un millionaire ». Un autre collègue préfère faire calculer la moyenne et la médiane de la distribution des poids de 30 souris et d’un seul éléphant. Question 11.2 [35] (Ecrit du CAPLP 2016) On considère des nombres réels 1 , ...,  et des entiers naturels 1 , ...,  , puis on note  la série statistique de modalités 1 , ...,  a¤ectées des e¤ectifs 1 , ...,  . Si l’écart type de  est nul alors,  =  pour tout   2 f1  g. Vrai ou faux ? Justi…er sa réponse. Réponse — FAUX. Cela aurait pu être vrai, mais c’est faux car un e¤ectif peut être nul. Posons  = 1 +  +  , et supposons que  2 N¤ , ce qui est nécessaire pour dé…nir la moyenne et les autres caractéristiques d’une série statistique. La variance de  est : 

 () =

1X  ( ¡ )2  =1

65


66

CHAPITRE 11. SÉRIES STATISTIQUES À UNE VARIABLE

P où  = 1 =1   désigne la moyenne de . On sait que l’écart-type  de  p est donné par  =  (), donc : =0

,

 X =1

 ( ¡ )2 = 0

, 8 2 f1  g

 = 0 ou  = 

Si  = 0, on peut donc seulement a¢rmer que toutes les modalités  qui possèdent un e¤ectif  non nul sont égales entre elles, autrement dit que : 8  2 f1  g

  6= 0 )  =  

Les modalités  d’e¤ectifs nuls peuvent être quelconques, puisque cela n’in‡ue ni sur la moyenne, ni sur la variance, ni sur l’écart-type.


Chapitre 12

Arithmétique des nombres entiers ¶ Questions extraites du vol. 2 de la collection ORAL CAPES MATHS paru en février 2017 [44]. Les réponses à ces questions, un exposé-type d’oral 1 et un cours complet d’arithmétique à l’usage du capésien sont inclus dans ce volume, permettant de l’utiliser très tôt dans l’année pour préparer à la fois l’écrit et l’oral du CAPES.

12.1

Questions A+

12.1.1

Multiples, diviseurs & division euclidienne

Question 12.1 La relation « divise » est-elle une relation d’ordre dans l’ensemble N ? Une relation d’ordre dans Z ? Question 12.2 Existe-t-il un plus petit élément de n’importe quelle partie de N pour la relation « divise » ? Une borne inférieure ? Question 12.3 Déterminer toutes les valeurs de l’entier relatif  telles que le quotient +14 ¡5 soit entier. Question 12.4 Chercher les entiers naturels  et  tels que 2 + 7 = 51. Question 12.5 Résoudre l’équation diophantienne  ¡ 8 + 4 ¡ 5 = 0. Question 12.6 On pose  = 5 + 4 et  = 3 + 1, où  2 Z. Déterminer les seuls diviseurs communs de  et  possibles. Question 12.7 On sait que la relation « divise » est une relation d’ordre dans N. Est-ce une relation d’ordre total ? Quel lien peut-on trouver entre la relation d’ordre usuelle · et la relation « divise » dans N ? 67


68

CHAPITRE 12. ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ENTIERS

Question 12.8 Pour tout ( ) 2 Z £ N¤ , montrer qu’il existe un unique couple ( ) 2 Z2 tel que  =  +  et 0 ·   . Question 12.9 Soit  2 N¤ . Montrer que la famille F = f[  + [g2 est une partition de Z. A quoi est liée cette propriété ? Question 12.10 Pourquoi la division euclidienne par 0 est-elle impossible ? Question 12.11 Existe-t-il une division euclidienne dans Q ? Question 12.12 Proposez un algorithme très simple permettant de calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de  par  quand  et  sont des entiers naturels, et  6= 0. Montrez que cet algorithme converge. Question 12.13 La division euclidienne est au programme du cycle 4 du collège (programmes 2016), ainsi que l’initiation à l’algorithmique et à l’utilisation des tableurs. Comment peut-on obtenir le quotient et le reste d’une division euclidienne à ce niveau en utilisant un tableur ? Utiliser le tableur pour e¤ectuer la division de 1256 par 127. Question 12.14 Calculer le reste de la division euclidienne de 50100 + 100100 par 7. Question 12.15 Cherchez un nombre entier  tel que le reste de  dans la division par 10 soit 3, et le reste de  dans la division par 17 soit 2. Question 12.16 Pouvez-vous dé…nir un nombre décimal ? Question 12.17 Une calculatrice a¢che 1 414 213p562 quand on lui demande p de calculer 2. Obtient-on une valeur exacte de 2 ? Pourquoi ? Comment démontrer cela en classe de seconde ? Question 12.18 Comment faire comprendre à un élève que l’on ne peut pas écrire 23 + 47 = 610 ? Donnez-nous des pistes. Indiquez-nous en…n comment démontrer rigoureusement que :    +  8 ( ) 2 Z2 8 ( ) 2 (Z¤ )2 + =     Question 12.19 La propriété « un nombre qui divise un produit divise forcément l’un des facteurs » est-elle vraie ou fausse ? Justi…ez. Question 12.20 Cherchez tous les diviseurs de 24 à la main. Question 12.21 Combien le nombre 825 possède-t-il de diviseurs ?


12.1. QUESTIONS A+

69

Question 12.22 Décomposez à la main 720 en produit de facteurs premiers. Combien 720 possède-t-il de diviseurs ? Question 12.23 Calculer le nombre de tous les diviseurs d’un entier en fonction des nombres premiers et des exposants qui interviennent dans la décomposition de cet entier. Question 12.24 Ecrivez 123 en base 2. Question 12.25 Pourquoi travailler en base 2 en informatique ? Question 12.26 (Oral du CAPES 2015) Que savez-vous du code ASCII ? Question 12.27 Ecrire 468 en base 16. Question 12.28 A quoi sert l’écriture hexadécimale d’un nombre ? Pourquoi et où est-elle utilisée ? Question 12.29 Voici un nombre donné en binaire : 10111001101. Convertissezle en hexadécimal. Question 12.30 Pour tout ( ) 2 Z £ N¤ , montrer qu’il existe un unique couple ( ) 2 Z2 tel que  =  +  et 0 ·   . Question 12.31 Calculer à la main la 375-ème décimale de 607. La même méthode convient-elle pour déterminer la 375-ème décimale de  sachant que les savants chinois du Ve siècle écrivaient  = 355113 ? Question 12.32 Quel est l’intérêt d’un système de numération comme le système décimal ? Comment expliquer l’écriture en base dix à un élève du primaire ? Question 12.33 Que peut-on dire de l’écriture décimale illimitée d’un nombre rationnel ? La réciproque est-elle vraie ? Avez-vous une idée de la façon dont on peut prouver ce résultat ? Question 12.34 Comment justi…er que 0 = 1 ? Question 12.35 Soient  et  deux entiers tels que 2 + 2 soit divisible par 8. Montrer qu’alors  et  sont pairs.


70

12.1.2

CHAPITRE 12. ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ENTIERS

PGCD, Bezout & Gauss

Question 12.36 Le pgcd de  et  + 1 est-il égal à 1 ? Question 12.37 Si  est pair et si  est impair, a-t-on pgcd ( ) = 1 ? Question 12.38 Qu’appelle-t-on pgcd de deux entiers  et  ? Question 12.39 Expliquez comment dé…nir le pgcd de deux entiers naturels en utilisant l’algorithme d’Euclide. Expliquez pourquoi l’algorithme aboutit après un nombre …ni de divisions. Question 12.40 Quand on écrit l’algorithme d’Euclide, on utilise souvent les fonctions « mod » ou « partie entière » pour déterminer le reste et le quotient des divisions successives. A t-on le droit d’utiliser de telles fonctions ? Question 12.41 Comment obtient-on le quotient et le reste dans la division euclidienne de  par  dans le langage PYTHON ? Question 12.42 Le pgcd de deux entiers naturels est-il le plus grand diviseur commun de ces deux entiers naturels pour la relation d’ordre usuelle dans N ? Question 12.43 A quoi est égal pgcd (0 0) ? Question 12.44 Montrer que le pgcd est associatif. Question 12.45 Si  =  +, peut-on montrer que pgcd ( ) = pgcd ( ) ? Cela peut-il servir à quelque chose ? Question 12.46 Soient   2 Z. Montrer que : pgcd ( ) =  ) 9  2 Z  +  =  La réciproque est-elle vraie ? Enoncez et démontrez le théorème de Bezout. Question 12.47 Si    2 Z, montrer que pgcd ( ) = jj pgcd ( ). Question 12.48 Si  est premier avec  et premier avec , montrer que  est premier avec . Question 12.49 Si  divise  et si  est premier avec , démontrer qu’alors  divise . Question 12.50 Si  et  sont premiers entre eux et divisent , montrer qu’alors le produit  divise . Question 12.51 Soit  un entier relatif. Montrer que les quotients  ( + 1) 2 et  ( + 1) (2 + 1) 6 sont des entiers.


12.1. QUESTIONS A+

71

Question 12.52 p (Oral du CAPES 2008) Montrer que 2 est irrationnel. Question 12.53 Si  est un nombre réel irrationnel, peut-on a¢rmer que pour tout nombre entier naturel non nul  le réel  est irrationnel ? Justi…er. p Question 12.54 Montrer que si  est un entier naturel,  est rationnel si et seulement si  est un carré parfait. Question 12.55 Montrer que tout nombre rationnel  s’écrit de façon unique sous la forme  =  avec ( ) 2 Z £ N¤ et pgcd ( ) = 1. Dans ce cas, démontrer la CNS suivante :  =  si, et seulement si, il existe  2 Z tel que ( ) = ( ). Question 12.56 Démontrer que la somme de deux fractions irréductibles dont les dénominateurs sont premiers entre eux ne peut pas être un entier, sauf dans un cas particulier que l’on précisera. Question 12.57 Montrer qu’une fraction irréductible  est un décimal si et seulement si  se décompose en 2 5 où   2 N. Question 12.58 Montrer qu’un nombre décimal  est inversible dans l’ensemble des décimaux si, et seulement si, il s’écrit  = §2 5 avec   2 Z. Question 12.59 Si  et  sont des entiers premiers entre eux, montrer que  +  et  sont premiers entre eux. Question 12.60 Montrer que la fraction Z.

2+1 (+1)

est irréductible pour tout  2

Question 12.61 Soient , ,  trois entiers naturels. a) Montrer que : (pgcd ( ) = 1 ) pgcd (  ) = 1). b) En déduire que : (pgcd ( ) = 1 ) pgcd (   ) = 1). c) Les réciproques sont-elles vraies ? Question 12.62 Montrer l’implication ( ´  () ) pgcd ( ) = pgcd ( )). La réciproque est-elle vraie ? Question 12.63 A quoi servent les pgcd et les ppcm ? Question 12.64 Peut-on calculer un pgcd ou un ppcm sans utiliser l’algorithme d’Euclide ? Question 12.65 Y-a-t-il un ordre logique dans l’introduction des notions suivantes : a) le pgcd et le ppcm de deux entiers ; b) la décomposition de tout entier non nul en produit de facteurs premiers ? Autrement dit, vaut-il mieux présenter l’étude du pgcd « avant » la décomposition en produit de facteurs premiers, ou le contraire ?


72

CHAPITRE 12. ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ENTIERS

Question 12.66 Soit (  ) 2 Z3 . Expliquer comment résoudre une équation diophantienne de la forme  +  = . Question 12.67 Résoudre l’équation diophantienne 2 + 3 = 1. Question 12.68 Résoudre l’équation diophantienne 233 + 79 = 1. Question 12.69 Soit  () =    +  + 1  + 0 un polynôme de degré  dans Z []. Montrer que si  =  est une racine rationnelle de  (écrite sous forme d’une fraction irréductible), alors  divise 0 et  divise  . Question 12.70 Le polynôme  () =  3 ¡2 2 + +5 admet-il une racine dans Q ? Est-il irréductible dans Q [] ?

12.1.3

Nombres premiers

Question 12.71 Enoncez la dé…nition d’un nombre premier ? Question 12.72 (Oral du CAPES 2008) Le nombre 1 est-il premier ? Pourquoi ? Question 12.73 Un entier impair est-il premier ? Question 12.74 Montrer que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède au moins un diviseur premier. Question 12.75 Montrer qu’un nombre premier est premier avec tout nombre qu’il ne divise pas. La réciproque est-elle vraie ? Question 12.76 Si  est premier, montrer que (j ) j ou j). La réciproque est-elle vraie ? Question 12.77 (Oral du CAPES 2006) Enoncez et démontrez le théorème de décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers. Question 12.78 (Oral du CAPES 2006) Démontrer qu’il existe une in…nité de nombres premiers. Question 12.79 Soit  un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si  n’est pas p premier, montrer qu’il possède un diviseur premier  tel que 2 ·  · . La réciproque est-elle vraie ? A quoi peut servir cette propriété ? Question 12.80 Soient   2 N¤ . Montrer que 2 divise 2 si et seulement si  divise . Question 12.81 (Oral du CAPES 2009) Si  et  sont des entiers premiers entre eux, a-t-on pgcd( +   ¡ ) = 1 ou 2 ?


12.1. QUESTIONS A+

73

Question 12.82 Soient  et  deux entiers premiers entre eux et de parités di¤érentes. Montrer que les entiers 2, 2 + 2 , 2 ¡ 2 sont premiers entre eux deux à deux. Question 12.83 (Oral du CAPES 2006) Soient ¡ ¢ un nombre premier et  un entier tel que 0    . Montrer que  divise  .

12.1.4

Congruences

Question 12.84 En terminale, on introduit la notion « avoir le même reste » dans une division euclidienne. Pouvez-vous donner une CNS pour que deux entiers  et  aient le même reste dans la division par  ? Question 12.85 (Oral du CAPES 2016) Montrer que 3 + 7 n’est pas divisible par 3. Question 12.86 (Oral du CAPES 2016) On chi¤re un message  de manière a¢ne tel que  soit congru à 3 + 10 modulo 26. Comment décrypter le message reçu ? Question 12.87 (Oral du CAPES 2016) Que signi…e la congruence modulo 1 ? Modulo 0 ? Qui sont Z0Z et Z1Z ? Question 12.88 Peut-on dire que 15 ´ 7 (1) ? A quoi sont égaux les ensembles Z0Z et Z1Z ? Question 12.89 (Oral du CAPES 2009) Pour tout entier , le nombre ( + 1)(2 + 1) est-il divisible par 3 ? Question 12.90 Si  2 N, montrer que  = 5 ¡  est divisible par 30. Question 12.91 Enoncez les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 11. Démontrez le critère de divisibilité par 4, puis par 11. Question 12.92 Calculer à la main le reste de la division euclidienne de 101000 par 17. Question 12.93 Si  est premier, démontrez que  ´  () pour tout entier  relatif . En déduire une expression de l’inverse de  de ZZ. Question 12.94 Soit  un nombre premier. Démontrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (1)  ´  () quel que soit l’entier , (2) ¡1 ´ 1 () quel que soit l’entier  tel que  ne divise pas .


74

CHAPITRE 12. ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ENTIERS

Question 12.95 L’a¢rmation suivante est-elle vraie ou fausse : 8 2 N¤ 8 2 Z¤ 9 2 N¤  ´ 1 () ? Question 12.96 Calculer 3102 mod 5 à la main. Question 12.97 Soit  un nombre premier. Montrer que (+) ´  + () quels que soient les entiers relatifs  et . Proposez deux preuves di¤érentes. Question 12.98 (Oral du CAPES 2006) Calculez (8). Que peut-on en déduire sur Z8Z ? Question 12.99 L’anneau Z28Z est-il intègre ? Est-ce un corps ? Quels sont ses éléments inversibles ? Question 12.100 (Oral du CAPES 2015) Calculer l’inverse de 43 modulo 26 ? Pouvait-on prévoir que 43 est inversible modulo 26 ? Quels sont les entiers inversibles modulo 26 ? Question 12.101 Résoudre 2 ´ 2 (7).

Question 12.102 Résoudre le(système de congruences :  ´ 14 (17)  ´ 3 (15)  Déterminer la plus petite solution positive de ce système.

12.2

Questions A

12.2.1

Multiples, diviseurs & division euclidienne

Question 12.103 Recherchez l’écriture de 35 en base 3. Expliquez votre algorithme. Justi…ez que votre algorithme converge à coup sûr.

12.2.2

PGCD, Bezout & Gauss

Question 12.104 A-t-on le droit d’écrire pgcd (  ) ? Justi…ez. Question 12.105 Résoudre l’équation 233 + 79 = 1 en nombres entiers. Question 12.106 Résoudre l’équation 21 + 14 = 17 dans Z £ Z. Question 12.107 Si  2 Z, on pose  =  ¡ 1 et  = 2 ¡ 3 + 6. a) Montrer que pgcd ( ) = pgcd ( 4). b) Déterminer le pgcd ( ) selon les valeurs de . c) Quelles sont les valeurs de  2 Zn f1g telles que : 2 ¡ 3 + 6 ¡1 soit un entier relatif ?


12.2. QUESTIONS A

12.2.3

75

Nombres premiers

Question 12.108 Combien existe-t-il de diviseurs de 560 dans N ? Combien de diviseurs impairs ? La classe de 560 est-elle inversible dans Z15Z ?

12.2.4

Congruences

Question 12.109 (Ecrit du CAPES 2012) Si  2 N¤ , on note I l’ensemble des éléments inversibles de ZZ. Montrer que I est un groupe commutatif. Question 12.110 (Ecrit du CAPES 2012) On note I10 le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z10Z. Dans un tableau à deux rangées, marquez les éléments de I10 avec leurs ordres. Le groupe (I10  £) est-il cyclique ? Question 12.111 (Ecrit du CAPES 2012) On note I12 le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z12Z. Dans un tableau à deux rangées, marquez les éléments de I12 avec leurs ordres. Le groupe (I12  £) est-il cyclique ? Question 12.112 Résoudre le système de congruences : ( 7 ´ 5 (19) 4 ´ 1 (11)  Question 12.113 Soient  et  deux entiers premiers entre eux. Soient  et  deux entiers tels que  +  = 1. Soit ( ) 2 Z2 . Montrer que le système de ( congruences :  ´  () ()  ´  ()

admet la solution particulière 0 =  + . Montrer que l’ensemble des solutions de () est formé des entiers de la forme 0 +  avec  2 Z.

12.2.5

Compléments sur la dénombrabilité

Qui interdit à un examinateur du CAPES de pro…ter de cette leçon pour véri…er si le candidat connaît les notions de …nitude et de dénombrabilité ? Savoir répondre à des questions simples sur ce thème est primordial pour celui qui se destine au professorat de mathématiques. Les questions suivantes sont à connaître, et un complément est proposé à la Section 12.4.5. Question 12.114 Quand dit-on que deux ensembles sont équipotents ? Question 12.115 Quand dit-on qu’un ensemble est …ni ?


76

CHAPITRE 12. ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ENTIERS

Question 12.116 Qu’appelle-t-on cardinal d’un ensemble …ni ? On proposera une dé…nition précise, et l’on montrera que cette dé…nition a bien un sens. Question 12.117 Qu’est-ce qu’un ensemble dénombrable ? Qu’est-ce qu’un ensemble au plus dénombrable ? Question 12.118 Le produit cartésien de deux ensembles dénombrables est-il dénombrable ? Question 12.119 Montrer que Z et Q sont dénombrables.

12.3

Questions B

12.3.1

Multiples, diviseurs & division euclidienne

Question 12.120 Soit  un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que tout entier naturel non nul  s’écrit de façon unique  =   +  + 1  + 0 où  2 N,  2 f0 1   ¡ 1g pour tout , et  6= 0. Question 12.121 Déterminer tous les entiers naturels  et  tels que  divise simultanément 5 + 31 et 3 + 12. On pourra commencer par montrer que  divise 33.

12.3.2

PGCD, Bezout & Gauss

Question 12.122 Calculer pgcd (350 392 1925) et ppcm (350 392 1925). Question 12.123 Est-il toujours possible de paver un rectangle avec des carrés identiques ? Quand peut-on le faire ? Question 12.124 Un conteneur a la forme d’un parallélépipède rectangle de dimensions 500 cm, 350 cm et 200 cm. On désire le remplir de boîtes cubiques sans laisser d’espace vide. Quelles seront les dimensions de ces boîtes ? Question 12.125 Calculer l’ordre additif de la classe de 12 dans Z280Z.

12.3.3

Nombres premiers

p Question 12.126 Soient  et  deux entiers naturels. Montrer que   est irrationnel si et seulement si  n’est pas la puissance -ième d’un entier. Question 12.127 Calculer la somme de tous les diviseurs d’un entier en fonction des nombres premiers et des exposants qui interviennent dans la décomposition de cet entier.


12.4. QUESTIONS C

12.3.4

77

Congruences

Question 12.128 Montrer que 223 est premier, puis calculer le nombre 20092009 modulo 223. Question 12.129 Déterminer les entiers naturels  tels que 35 ¡ 172 soit divisible par 26. Question 12.130 Soient  et  deux nombres premiers distincts. Soient  et  deux entiers naturels tels que  ´ 1 mod ( ¡ 1) ( ¡ 1). Montrer que pour tout entier  on a  ´  mod .

12.4

Questions C

12.4.1

Multiples, diviseurs & division euclidienne

Question 12.131 On dit parfois que N est un treillis. Qu’est-ce que cela signi…e ? Question 12.132 Sans calculer le quotient, combien de zéros …naux trouverat-on dans l’écriture de (100!)(50!) ? Question 12.133 (Oral du CAPES 2006) Trouver les sous-groupes de 6Z qui contiennent 2Z. Trouver les sous-groupes de 2Z qui contiennent 6Z. Question 12.134 Soient  et  deux entiers naturels non nuls tels que Z ½   Z. On note  = 1 1   et  = 1 1   les décompositions de  et . Calculer le nombre de sous-groupes de Z contenant Z. Question 12.135 Soient  et  deux entiers naturels, avec  6= 0. Comment utiliser la division euclidienne pour obtenir le développement décimal du nombre rationnel  ? Question 12.136 Rappelez le critère de divisibilité par 9. Mérite-t-il le nom de critère ? Connaissez-vous la « preuve par 9 » d’une multiplication ? S’agit-il d’un critère ?

12.4.2

PGCD, Bezout & Gauss

Question 12.137 Comment calculer un ppcm en utilisant l’algorithme d’Euclide ? Question 12.138 Connaissez-vous une interprétation géométrique de l’algorithme d’Euclide qui permet de calculer le pgcd de deux nombres entiers ?


78

CHAPITRE 12. ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ENTIERS

Question 12.139 On pose  = pgcd ( ) où   2 N. Trouver une CNS pour que  = pgcd ( ). Question 12.140 On note  ^  et  _  les pgcd et ppcm des entiers  et . Montrer les formules de distributivité : (1)  _ ( ^ ) = ( _ ) ^ ( _ ) (2)

 ^ ( _ ) = ( ^ ) _ ( ^ )

Question 12.141 L’équation 152 ¡ 7 2 = 9 possède-t-elle des solutions en nombres entiers ? Question 12.142 Soit  2 N¤ . Déterminer une solution particulière de l’équation diophantienne 2  + 3  = 1, puis résoudre cette équation dans Z £ Z.

Question 12.143 Trouver les couples d’entiers de pgcd 15 et de di¤érence 105. Question 12.144 Déterminer ( les couples d’entiers naturels ( ) tels que : 2 + 2 = 801 ppcm ( ) = 120 Question 12.145 Résoudre dans N2 l’équation 22 +  =  pgcd (3 ).

12.4.3

Nombres premiers

Question 12.146 Soit  un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer que  est premier si et seulement si ( ¡ 1)! ´ ¡1 (). Question 12.147 Combien y-a-t-il de solutions de l’équation 15 + 21 = 9 dans Z £ Z ? Et dans ZZ £ ZZ quand  est premier ?

12.4.4

Congruences

Question 12.148 (Oral du CAPES 2006) Connaissez-vous un critère de divisibilité par 11 ? par 8 ? par 7 ? Question 12.149 Résoudre une équation du second degré sous sa forme gé nérale 2 +  +  = 0 dans ZZ lorsque  et 2 sont inversibles dans ZZ. Expliquez. Question 12.150 (Oral du CAPES 2015) Quelle di¤érence y-a-t-il entre décryptage et déchi¤rage ? Question 12.151 (Ecrit du CRPE 2013) Soient  un nombre entier naturel non nul et  le nombre entier naturel dont l’écriture décimale ne contient que le chi¤re 1 répété  fois :  = 1111 (1 répété  fois). a) Pour quelles valeurs de  le nombre  est-il divisible par 11 ? Justi…er. b) Pour quelles valeurs de  le nombre  est-il divisible par 33 ? Justi…er.


12.5. NOUVEAUTÉS

12.4.5

79

Compléments sur la dénombrabilité

Question 12.152 Montrer que toute partie d’un ensemble dénombrable est au plus dénombrable. Question 12.153 Soit  :  !  une application injective d’un ensemble  dans un ensemble dénombrable  . Montrer que  est au plus dénombrable. Question 12.154 Soit  :  !  une application surjective dé…nie sur un ensemble dénombrable . Montrer que  est au plus dénombrable. Question 12.155 Le corps R des nombres réels est-il dénombrable ?

12.5

Nouveautés

Question 12.156 Le nombre

p p 11 + 2 5 est-il rationnel ?

Question 12.157 L’ensemble  = f  g est-il dénombrable ? Question 12.158 © ª a) L’ensemble  = (2 52 + 3 ¡ 7)   2 Z est-il dénombrable ? b) Qu’appelle-t-on ensemble dénombrable ? c) Un ensemble …ni est-il dénombrable ? d) Qu’appelle-t-on ensemble …ni ? Question 12.159 a) Qu’est-ce qu’un ensemble …ni ? b) Pouvez-vous dé…nir le cardinal d’un ensemble …ni ? c) La dé…nition que vous venez de donner a-t-elle un sens ? Que faut-il véri…er pour le voir ? Question 12.160 a) Montrer que Z est dénombrable. b) Montrer que N £ N est dénombrable. Question 12.161 (CAPE 2017) Existe-t-il au moins un nombre entier pair supérieur à 7, divisible par 3 mais divisible ni par 9 ni par 4 ? Réponse — On cherche  = 2 ¸ 7 tel que 3j, 4j / et 9j. / Puisque 3 divise  = 2 et puisque 3 est premier avec 2, 3 divisera . Il existera donc  2 N tel que  = 3. Alors  = 6. Si l’on prend  = 30 on obtient un entier qui répond à nos envies.


80

CHAPITRE 12. ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ENTIERS

Question 12.162 Soit  un entier naturel. Calculer le nombre  () de chi¤res décimaux de  en fonction de . Réponse — On écrit  =  0 où les  sont des chi¤res, donc dans f1  9g, si et seulement si 10 ·   10+1 , et cela revient à écrire  = [log ]. Par conséquent,  () = [log ] + 1 où [] désigne la partie entière de  et où log  représente le logarithme en base 10 de . Question 12.163 a) Proposer un nombre irrationnel (sans le démontrer). b) Le nombre 3 547 est-il irrationnel ? Décimal ? Justi…ez. c) Le nombre 3 423423423 est-il rationnel ? Décimal ? Justi…ez. Question 12.164 a) 5 732 est-il un nombre rationnel ? Décimal ? b) 547 est-il un nombre rationnel ? Décimal ? c) Proposez une dé…nition rigoureuse d’un nombre décimal. d) Donnez une CNS pour qu’une fraction  soit un nombre décimal ? Extrait 12.1 Dans une simulation, une étudiante présente la leçon d’arithmétique de la liste d’oral 1 du CAPES 2017. En introduction, elle projette les résultats suivants présentés comme les trois axiomes de N : 1. Toute partie non vide de N possède un plus petit élément. 2. Toute partie non vide majorée de N possède un plus grand élément. 3. Toute suite d’entiers naturels strictement décroissante est …nie. S’agit-il vraiment des axiomes de N ? Ces énoncés sont-ils acceptables ? Analyse — Les deux premières assertions sont bien les deux premiers axiomes de l’axiomatique ordinale de N. Le premier signi…e que N est un ensemble bien ordonné, et le second est pratiquement identique au premier mais en rajoutant une hypothèse sur la partie considérée qui doit être majorée. Tout cela est juste et bien énoncé. L’assertion 3 n’est pas l’axiome que l’on connaît : il s’agit d’une propriété importante de N qui a malheureusement mal été retranscrite. Comme il n’existe pas de suite strictement décroissante dans N, on ne peut pas dire qu’une telle suite est …nie. Ou plutôt oui, on peut dire n’importe quoi sur une suite qui n’existe pas, puisque tous les éléments de ? possèdent toutes les propriétés que l’on voudra bien leur donner : cela ne coûte pas cher puisqu’il n’y en a aucun. Mais a¢rmer des choses sur les éléments de l’ensemble vide est une belle perte de temps ! L’étudiante voulait plutôt énoncer que toute suite décroissante de N est stationnaire, ce qui n’est pas la même chose. On retiendra que la rédaction d’une


12.5. NOUVEAUTÉS

81

propriété demande de la concentration sous peine de rapidement mener à des impasses. Mais quel est le vrai troisième axiome de l’axiomatique ordinale de N ? C’est celui qui a¢rme que N n’est pas majoré. Si on oublie cet axiome, alors tous les ensembles …nis, ordonnés comme on le désire, auraient le droit de s’appeler N, n’est-ce pas ?


82

CHAPITRE 12. ARITHMÃ&#x2030;TIQUE DES NOMBRES ENTIERS


Chapitre 13

Equations du second degré Toutes les questions concernant les fonctions polynomiales du second degré peuvent être posées ici.

13.1

Questions

13.1.1

Questions A

Question 13.1 Peut-on écrire

p 2 =  ?

Question 13.2 Peut-on écrire 2 = 5 )  =

p 5?

Question 13.3 Qu’appelle-t-on racine carrée d’un nombre réel positif ? On demande une dé…nition rigoureuse telle qu’on pourrait la présenter à un élève. Réponse — On peut énoncer : « La racine carrée d’un nombre positif  est l’unique nombre positif qui, élevé au carré, donne  ». Dans cette phrase qui s’adresse à un élève du secondaire, un nombre désigne un nombre réel, bien entendu. Question 13.4 Peut-on parler de la racine carrée d’un nombre réel négatif ? Pourquoi ? Question 13.5 Si  est un nombre complexe, peut-on dé…nir la racine carrée p ? Question 13.6 Vous avez dé…ni le discriminant d’une fonction polynomiale du second degré  7!  () = 2 +  +  comme étant le nombre réel ¢ = 2 ¡ 4. Montrer que cette dé…nition a un sens. 83


84

CHAPITRE 13. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Réponse — Il ne faudra pas rester …gé devant cette question. Le jury demande seulement si ¢ est bien dé…ni, et de façon unique, à partir de la donnée d’une fonction polynomiale du second degré. Si  () = 2 +  + , il s’agit de démontrer que ¢ = 2 ¡ 4 ne dépend que de cette fonction. C’est le cas puisque si l’on avait une autre écriture de  () sous cette forme, par exemple si  () = 0 2 +0 +0 quel que soit le réel , alors on aurait (  ) = (0  0  0 ) donc ¢ = 2 ¡ 4 = 02 ¡ 40 0 . La Question 13.7 permet donc de conclure. Question 13.7 On suppose que pour tout  2 R,

 () = 2 +  +  = 0 2 + 0  + 0

où les coe¢cients , ..., 0 sont des réels. Montrer que (  ) = (0  0  0 ). Réponse — Il ne faut pas rester sans réagir au tableau. Une égalité véri…ée pour une in…nité de , c’est quand même une condition énorme ! Il su¢t de remplacer  par 0 pour obtenir  = 0 . On a donc 2 +  = 0 2 + 0  pour tout , et par conséquent  +  = 0  + 0 pour tout  6= 0. Il su¢t de remplacer  par des valeurs quelconques, par exemple 1 et ¡1, pour obtenir : ½  +  = 0 + 0  ¡  = 0 ¡ 0 d’où  = 0 en additionnant ces égalités, et nécessairement  = 0 . On aurait aussi pu dire que :  +  0  + 0 lim = lim !+1 !+1   0 s’écrit  =  , et conclure plus rapidement. Une autre façon de répondre consiste à rappeler qu’une fonction polynomiale non nulle de degré  possède au plus  zéros dans R ([25], Question 479). Ici (¡0 )2 +(¡0 )+(¡0 ) = 0 quel que soit  2 R, donc si la fonction polynomiale :  7! ( ¡ 0 )2 + ( ¡ 0 ) + ( ¡ 0 ) n’était pas nulle, elle admettrait au plus trois zéros, ce qui est absurde puisqu’elle en admet une in…nité ! Donc (  ) = (0  0  0 ). Question 13.8 Dessiner les allures des représentations graphiques des fonctions polynomiales de degré 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Question 13.9 Résoudre  2 = 17 dans Q, puis dans R, puis dans C. Question 13.10 (Ecrit du CAPLP 2017) La fonction réelle  dé…nie sur R2 par ( ) = 2 +  2 +  + 1 admet-elle 1 comme minimum global ? Justi…er.


13.1. QUESTIONS Question 13.11

85

p 17 est-il un nombre complexe ? Un nombre rationnel ?

Question 13.12 Recherchez les valeurs propres d’une matrice de rotation. Question 13.13 Résoudre l’équation  2 =

p 3 +  dans C.

p Commentaire — Le choix de 3 +  n’est pas anodin, et devrait permettre au candidat de proposer deux méthodes : en écrivant  sous forme algébrique ou sous forme trigonométrique. Cette question permet de savoir si l’on sait résoudre une équation du second degré très simple danspC, et éventuellement découvrir si on connaît l’écriture trigonométrique de 3 +  et si on peut l’exploiter. Question 13.14 Résoudre le système : (  = 7 +=5 Question 13.15 La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré possède-t-elle une asymptote oblique quand  tend vers +1 ? Question 13.16 La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré possède-t-elle un point d’in‡exion ? Question 13.17 Montrer qu’une droite coupe une parabole en au plus deux points. Question 13.18 p a) Peut-on parler de l’application qui à  fait correspondre  ? b) La fonction  7! 2 est-elle injective ? Surjective ? c) Qu’est-ce qu’une fonction ? Une application ? Question 13.19 p a) Dessinez à main levée la courbe représentative C de la fonction  ? b) A-t-on le droit de la fonction s’exprimer ainsi ? c) Que représente géométriquement la courbe C ?

13.1.2

Questions B

Question 13.20 [25] Y-a-t-il une di¤érence entre un polynôme et une fonction polynomiale ?


86

CHAPITRE 13. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Question 13.21 [25] Soit  un anneau commutatif. Soient  2  et  2  []. Montrer que  est une racine de  si et seulement si  ¡  divise  . On proposera deux preuves de ce résultat. Question 13.22 [25] Soit  un corps commutatif. Montrer que tout polynôme non nul à coe¢cients dans  et de degré  possède au plus  racines dans . Question 13.23 Concernant des polynômes, quelle propriété possède C que ne possède pas R ? Question 13.24 Résoudre l’équation 2 + 3 ¡ 4 = 0 dans Z7Z. Question 13.25 {[27], Question 5} Enoncez l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Démontrez-là. Question 13.26 Connaissez-vous le Théorème de d’Alembert ? Question 13.27 Chercher les diviseurs du polynôme  () =  2 ¡  + 2 dans R []. Que peut-on dire de  () ? Chercher les diviseurs de  () dans C []. Question 13.28 Montrer que   ¡ 1 n’a que des racines simples dans C. Question 13.29 Montrer que le polynôme   +  ¡ 1 ne possède que des racines simples dans C. Réponse — Montrer que  () =   +  ¡ 1 n’a que des racines simples dans C revient à montrer qu’il n’existe pas de réel  tel que  () =  0 () = 0. Supposons par l’absurde que  soit un réel tel que : (  +  ¡ 1 = 0 (1) ¡1 + 1 = 0

(2)

Alors ¡1 = ¡1, et en remplaçant dans (1) :   ¡ +  ¡ 1 = 0 d’où  =   ¡1

Mais alors  serait rationnel, ce qui est impossible car  () n’admet pas de racines rationnelles. En e¤et, s’il existait  = , avec ,  entiers premiers entre eux, tel que : µ ¶   + ¡1=0  

on aurait  + ¡1 ¡   = 0, donc  et  diviseraient 1 (en utilisant le Théorème de Gauss), donc  et  seraient égaux à §1 et l’on aurait  = §1, ce qui est absurde car §1 n’est pas solution de (1).


13.1. QUESTIONS

87

Question 13.30 Dé…nir l’ordre de multiplicité d’une racine d’un polynôme. Question 13.31 [25] On suppose que  est un corps commutatif de caractéristique 0. Soient  () un polynôme de  [],  un élément de  et  un entier naturel non nul. Quand dit-on que  est une racine d’ordre de multiplicité  de  () ? On proposera trois dé…nitions possibles, et l’on montrera l’équivalence entre ces dé…nitions. Question 13.32 [30] Pouvez-vous donner une dé…nition précise d’une parabole ? Pouvez-vous dé…nir une parabole sans utiliser de repère du plan ? Réponse — On appelle parabole toute courbe du plan qui admet une équation cartésienne de la forme  = 2 +  +  dans au moins un repère orthonormal du plan. On peut aussi dire qu’une parabole est une conique d’excentricité 1, c’est-à-dire l’ensemble des points  du plan situés à égale distance d’un point  (appelé foyer) et d’une droite  (qui ne contient pas  , appelée directrice). L’équivalence entre ces deux dé…nitions est démontrée par exemple à la Question en Q258 de [28]. Question 13.33 [30] A quel moment les paraboles sont-elles rentrées dans l’histoire ? A quel sujet ? Réponse — Ce sont les mathématiciens grecs qui ont les premiers travaillé sur les sections coniques, c’est-à-dire les intersections de plans et de cônes de révolution. Ces « sections coniques » ont été simplement appelées des « coniques », par commodité, et distinguées en utilisant des noms di¤érents : on voit ainsi apparaître les ellipses, les paraboles et les hyperboles. Une conique est donc la projection centrale d’un cercle sur un plan. On peut retenir les noms de Menechme (IVe s. av. J.-C.) qui fut élève de Platon, et d’Apollonius de Perge (IIIe s. av. J.-C.) qui nomma les coniques comme on le fait aujourd’hui. Chose remarquable, tous les énoncés de base concernant les coniques étaient connus d’Apollonius à l’exception de la dé…nition par foyer et directrice, les Théorèmes belges et les Théorèmes de Poncelet ([24], Ch. 22). Question 13.34 Deux paraboles peuvent se couper en au plus combien de points ? Démontrez ce résultat. Réponse — Comme on l’imagine aisément, deux hyperboles se coupent en au plus quatre points. On peut choisir un repère du plan dans lequel la première parabole P admet l’équation  = 2 . Dans ce repère, la seconde parabole P 0 admet une équation de la forme : 2 + 2 +  +  +  +  = 0

(¤)


88

CHAPITRE 13. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

avec ( ) 6= (0 0) et : det

µ

 2 2 

=  ¡

2 =0 4

car il s’agit d’une conique dé…nie implicitement du genre parabole ([24] §.22.1). En fait cette dernière condition ne sert à rien car il su¢t de remplacer  = 2 dans (¤) pour obtenir un polynôme de degré 4 en . Un tel polynôme admet au plus quatre racines dans R, et chacune de ses racines  correspond à un unique point ( 2 ) de l’intersection P \ P 0 . Le cardinal de P \ P 0 sera donc inférieur à quatre. La démonstration que l’on vient de donner convient si P 0 est une conique quelconque, car toutes les coniques admettent une équation cartésienne de la forme (¤) dans n’importe quel repère du plan. Pour continuer l’exercice, le lecteur pourra se poser la question de savoir comment démontrer que deux hyperboles se coupent elles aussi en au plus quatre points ([28], Question 281). Question 13.35 [25] Qu’est-ce qu’un polynôme ? Dé…nissez ce que l’on entend par « polynôme à coe¢cients dans un anneau  ». Que représente la notation habituelle  () =    +  + 1  + 0 ? Explicitez les lois qui structurent l’ensemble  [] de ces polynômes en anneau. Question 13.36 [25] Soit  un anneau commutatif unitaire. On note  l’anneau des suites à coe¢cients dans . L’anneau des polynômes ( []  + £) à coe¢cients dans  est-il isomorphe à un sous-anneau de l’anneau (  + £) ? Le groupe ( []  +) est-il isomorphe à un sous-groupe de (  +) ? Question 13.37 [25] Qu’est-ce que le degré d’un polynôme ? Pourquoi fait-on souvent la convention de dire que le degré du polynôme nul est ¡1 ? Question 13.38 [25] (Ecrit du CAPES externe 2003) Trouver dans Z6Z les racines du polynôme  () =  2 ¡ . Que peut-on conclure ? Trouver dans Z6Z[] deux factorisations distinctes de  2 ¡ sous la forme ( ¡)( ¡).

13.1.3

Questions C

Question 13.39 Quand est-ce qu’un polynôme du second degré à coe¢cients dans R est irréductible ? Question 13.40 [25] Rappelez les relations entre coe¢cients et racines d’un polynôme de degré . Expliquer comment on démontrerait ces formules (on ne demande pas de tout écrire au tableau, mais de se contenter de donner quelques indications sur la preuve de ces formules).


13.2. TÉMOIGNAGE

89

Question 13.41 [25] Factoriser le polynôme  4 +  dans R [], où  désigne un réel strictement positif. Question 13.42 Soit  un entier naturel. Soient 0 , ...,  des réels distincts deux à deux, et 0 , ...,  une famille de  + 1 réels quelconques. Montrer qu’il existe un unique polynôme  () à coe¢cients réels, de degré inférieur ou égal à , tel que  ( ) =  pour tout  2 f0  g. Déterminer ensuite tous les polynômes  () de R [] qui véri…ent cette condition. Question 13.43 Peut-on approximer une fonction continue quelconque par une fonction polynôme ? Réponse — Le théorème de Stone-Weierstrass énonce que toute fonction continue dé…nie sur un segment peut être approchée uniformément par des fonctions polynômes.

13.2

Témoignage

Voici le témoignage d’un lecteur d’un de mes articles sur Agoravox, qui a eu une mauvaise expérience du CAPES et a laissé tombé l’enseignement : « J’ai tenté le CAPES maths en candidat externe, en 2011, première année où un master était demandé. L’épreuve écrite d’admissibilité était très simple, sur un programme de BAC + 2 mais en dessous des concours que l”on passe en …n de prépa. J’ai validé sans avoir eu besoin de réviser ni d’avoir rendu de copie transcendante, loin s’en faut. L’épreuve orale d’admission, c’est carrément autre chose ! On tire deux sujets de cours au hasard dans tous les programmes de maths de la sixième au BTS. J’ai tiré un truc sur l’introduction à la programmation (c’est dans quel programme ?), un truc (...) que j’avais pas spécialement révisé, et les polynômes du second degré que j’ai choisi ; bien sûr. Il y a plusieurs manières de faire le cours qui apparaît à plusieurs niveaux di¤érents, le cours le plus complet est celui de seconde générale sur les extractions de racines, la forme canonique, un cours que j’ai repris (...). Les causes de mon élimination sont : - De ne pas avoir utilisé de « Powerpoint » mais d’avoir présenté au tableau ( !), - Au moment des questions, on m’a posé celle-ci : si un élève vous demande à quoi ça sert, un polynôme du second degré, dans la vraie vie, quel exemple d’utilisation donnez vous ?


90

CHAPITRE 13. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

A vrai dire, je n’ai toujours pas de réponse convenable. La prochaine fois je demanderai : « Et pour vous c’est quoi, la vraie vie, si l’école n’est pas dedans ? ». Mais en l’occurrence je me suis enfui. » (Réaction à l’article Courbes des présents au CAPES maths paru sur Agoravox le 11 septembre 2013).


Chapitre 14

Nombres complexes ¶ Questions extraites du vol. 1 de la collection ORAL CAPES MATHS paru en décembre 2016 [43]. Les réponses à ces questions, un exposé-type d’oral 1 et des rappels sur les nombres complexes sont inclus dans ce volume.

14.1

Questions

14.1.1

Questions A+

Question 14.1 Comment peut-on introduire les nombres complexes dans une classe de terminale S ? Question 14.2 On suppose que l’on a introduit les nombres complexes en terminale S en énonçant seulement la propriété : « Tout nombre complexe s’écrit sous la forme  +  où  et  sont des nombres réels. » sans préciser que cette écriture est unique. Démontrez que cette écriture est unique. Question 14.3 Rappelez la dé…nition de la racine carrée d’un nombre réel positif. Peut-on parler de racine carrée dans C ? Expliquez votre réponse. Question 14.4 (Oral du CAPES externe 2006) Montrer que j1 2 j = j1 j £ j2 j quels que soient 1 , 2 appartenant à C. Question 14.5 Montrer que Re  · jj pour tout  2 C. Etudier le cas d’égalité. Question 14.6 Démontrer que j1 + 2 j · j1 j + j2 j pour tous 1  2 2 C. Question 14.7 Démontrer que jj1 j ¡ j2 jj · j1 + 2 j pour tous 1  2 2 C. 91


92

CHAPITRE 14. NOMBRES COMPLEXES

Question 14.8 Résoudre dans C l’équation   =  où  et  sont respectivement un entier naturel et un nombre complexe donnés à l’avance. Précisez le nombre de solutions obtenues. Question 14.9 Dé…nissez l’argument d’un nombre complexe. Est-ce que tout nombre complexe possède un argument ? Question 14.10 Soit ( ) 2 R2 nf(0 0)g. Montrer qu’il existe un et un seul couple ( ) appartenant à R¤+ £ ]¡ ] tel que : ½  =  cos   =  sin  Exprimer  et  en fonction de ,  lorsque ( ) 2 R2 n¡ , où ¡ est la demi-droite ¡ = f( 0)   · 0g. Que peut-on en déduire ?

Question 14.11 Comment passe-t-on des coordonnées cartésiennes d’un point du plan à ses coordonnées polaires. Et réciproquement ? Expliquez. Question 14.12 (Ecrit du CAPLP 2016) Montrer que les racines de   ¡ 1 sont les nombres complexes : 2 2  = cos +  sin   où  2 Z. On note ­ l’ensemble des racines du polynôme   ¡ 1. Montrer que ­ = f   2 [[0  ¡ 1]]g, puis que les complexes  0 , ..., ¡1 sont distincts entre eux deux à deux. Question 14.13 Que signi…ent les notations 1 et  0 faisant intervenir des nombres complexes ? p Question 14.14 Ecrire le nombre complexe  = 3 +  sous forme trigonométrique, puis sous forme exponentielle. Question 14.15 p a) Résoudre l’équation  2 = 3 +  dans C. b) En déduire des expressions exactes des cosinus et sinus de 12. p Question 14.16 Calculer ( 3 + )30 . p Question 14.17 Résoudre l’équation   = ¡1 +  3 dans C. Question 14.18 Comment caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs en utilisant leurs a¢xes ? Comment caractériser l’alignement de trois points en utilisant des a¢xes ?


14.1. QUESTIONS

93

p Question 14.19 Déterminer la forme algébrique de (1 ¡  3)2017 . Question 14.20 Exprimer cos 3 en fonction de sin  et cos . Question 14.21 Soit  un entier naturel non nul. Exprimer cos  et sin  sous la forme de polynômes en sin  et cos . Déterminer un polynôme  () tel que cos  =  (cos ). Question 14.22 (Oral du CAPES 2011) Résoudre l’équation cos 3 + cos 2 ¡ cos  + 1 = 0 ? Question 14.23 (Oral du CAPES 2011) En utilisant des a¢xes, proposez une CNS pour qu’un triangle  soit équilatéral. Question 14.24 Qu’est-ce qu’un angle orienté ? Qu’appelle-t-on mesure d’un angle orienté ? Question 14.25 Est-il cohérent de dé…nir le symbole  par  = cos  +  sin  ? Question 14.26 (BAC 2011) Quel est l’ensemble des points  d’a¢xe  tels que j ¡ j = j + 2j ?

p Question 14.27 (BAC 2011) Soit  = 3 +  3. La proposition suivante estelle vraie : « Pour tout  2 N¤ , le nombre  3 est imaginaire pur » ? Question 14.28 (BAC 2011) Si  est un nombre complexe non nul d’argument 2, a-t-on j + j = 1 + jj ? Question 14.29 (BAC 2011) Si  est un nombre complexe non nul de module 1, peut-on a¢rmer que  2 + 1 2 est un nombre réel ? Question 14.30 (BAC 2011) Déterminer l’ensemble des points du plan d’af…xe  telle que : ¡ 2 R. +1 Question 14.31 (BAC 2011) Déterminer l’ensemble des points du plan d’af…xe  telle que :  arg( ¡ ) = ¡ + 2 où  2 Z. 2 Question 14.32 Ecrire le nombre complexe

1+ 2

sous forme trigonométrique.


94

CHAPITRE 14. NOMBRES COMPLEXES

Question 14.33 (BAC 2015) Soit  un point d’a¢xe  6= 0. Construire le µ ¶ point  0 d’a¢xe : 1  + jj 0  =  2 2 Question 14.34 Calculer tan(arg(2 + 5)) Question 14.35 (Rapport du jury du CAPES 2015) Le corps des nombres complexes est-il un corps ordonné ? Question 14.36 Soit  un nombre complexe di¤érent de 0 donné dans le plan d’Argand-Cauchy. Proposez une construction géométrique des nombres complexes  tels que  2 =  à la règle et au compas. Question 14.37 On se donne deux points 1 et 2 d’a¢xes 1 et 2 . On demande de construire le point  d’a¢xe  = 1 2 à la règle et au compas. Question 14.38 (Ecrit du CAPLP 2016) Soit  = 23 . Justi…er que  est racine du polynôme  3 ¡ 1, puis montrer que  =  2 et que 1 +  +  2 = 0. Question 14.39 (Ecrit du CAPLP 2016) Dans un plan, on considère les points ,  et  d’a¢xes 1,  et  2 . Montrer que le triangle  est équilatéral, puis calculez le produit  £ . Question 14.40 Quelles est l’écriture complexe d’une translation ? d’une rotation ? d’une homothétie ? de la ré‡exion  par rapport à l’axe des abscisses  ? Justi…er chacune des expressions proposées. Question 14.41 (Polygones réguliers) a) Dé…nir un polygone régulier, puis un polygone régulier convexe. b) Dé…nir un polygone régulier convexe à  côtés en utilisant des nombres complexes. Question 14.42 Soit C le cercle circonscrit à un triangle . On note  son centre,  son rayon, et , ,  les a¢xes de , ,  dans un repère d’origine . Quelle est l’a¢xe du centre de gravité  du triangle  ? Question 14.43 Soit C est le cercle circonscrit à un triangle . On note  son centre,  son rayon, et , ,  les a¢xes de , ,  dans un repère d’origine . Montrer que  =  +  +  est l’a¢xe de l’orthocentre  du triangle .


14.1. QUESTIONS

14.1.2

95

Questions A

Question 14.44 Soit  un nombre complexe ni réel, ni imaginaire pur. Montrer que ( ) est une base du R-espace vectoriel C. Question 14.45 Factorisez   ¡ 1 dans C []. Puis expliquez comment factoriser   ¡1 dans R [] (on demande évidemment d’écrire   ¡1 en produit de facteurs irréductibles). Question 14.46 Résoudre l’équation (1 + ) 2 + (2 ¡ 3) + 5 ¡  = 0 dans C. Question 14.47 Linéariser sin 2 cos 5. Linéariser cos5 . Question 14.48 Calculer l’intégrale

Z

2

cos5  .

0

Question 14.49 Calculer l’intégrale  =

Z

2

sin 7 cos5  .

0

Question 14.50 Qu’appelle-t-on système de coordonnées polaires d’un point du plan ? Si ( ) est un système de coordonnées polaires de , dites quels sont tous les autres systèmes de coordonnées polaires de  . Question 14.51 Doit-on orienter le plan pour pouvoir parler d’angles orientés de vecteurs ? Et pour parler de mesures d’angles orientés de vecteurs ? Question 14.52 Vous dites que l’argument de  est la mesure modulo 2 ! ¡¡! ¡ de l’angle (    ). A-t-on le droit de parler de mesure d’un angle orienté ? Est-ce nécessaire ici ? Pourquoi ? Question 14.53 En électronique une résistance est représentée par le réel  =  et une bobine est représentée par le complexe  =  où   2 R. Montés en parallèles, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique  tel que : 1 1 1 = +     Montrer que :

µ ¶   1+    = µ ¶   2 1+ 


96

CHAPITRE 14. NOMBRES COMPLEXES

14.1.3

Questions B

Question 14.54 On entend parfois dire que C est une algèbre sur R. Pouvezvous nous dire ce qu’est une algèbre ? Question 14.55 Soit  2 N¤ . a) Comment fait-on d’habitude pour linéariser les fonctions cos  et sin , autrement dit pour exprimer ces fonctions comme des combinaisons linéaires des fonctions sin  ou cos  avec   2 N. b) Linéariser explicitement la fonction cos . On pourra envisager deux cas suivant la parité de . Question 14.56 (Ecrit du CAPES interne 2009) Soient , ,  trois points distincts du plan d’a¢xes respectives ,  et . Démontrer que le triangle  est équilatéral si et seulement si il existe une racine cubique de l’unité  dans C, di¤érente de 1, telle que  +  + 2  = 0. Question 14.57 (Ecrit du CAPES externe 2009) 1) Montrer qu’un triangle  est équilatéral si et seulement si les a¢xes , ,  de ses sommets véri…ent 2 + 2 + 2 =  +  + . 2) Soit  () 2 C [] un polynôme unitaire de degré 3. Soient , ,  les points du plan dont les a¢xes sont les racines de . Montrer que  0 () possède une racine double  si et seulement si le triangle  est équilatéral, et que, dans ce cas,  est l’a¢xe du centre de gravité du triangle. Question 14.58 Pouvez-vous donner l’expression complexe d’une similitude directe du plan ? Démontrez ce que vous avez annoncé. Question 14.59 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’origine , on considère un point  d’a¢xe  6= 0. Donner une équation polaire de la droite (). Tous les points de la droite sont-ils représentés par cette équation ? Question 14.60 A tout point  d’a¢xe , distinct de  d’a¢xe 1, on associe le point  0 d’a¢xe  0 dé…nie par : 0 =

(1 ¡ ) ( ¡ )  ¡1

a) Déterminer le lieu des points  tels que  0 soit un réel. b) Déterminer le lieu des points  tels que  0 soit un imaginaire pur.


14.1. QUESTIONS

14.1.4

97

Questions C

Question 14.61 Le produit de deux groupes est un groupe pour la loi produit. Mais le produit de deux corps (par exemple R £ R) est-il un corps ? Peut-on dire que C est égal au produit de corps R £ R ? Question 14.62 Qu’est-ce que le grand argument d’un nombre complexe, noté Arg  au lieu de arg  ? Question 14.63 Peut-on énoncer une propriété universelle véri…ée par C, par exemple dire que C est à isomorphisme près le plus petit corps qui contienne R et une racine de ¡1 ? Comment donner du sens à cette phrase ? Comment démontrer cette a¢rmation ? ¡ ¢ Question 14.64 L’ensemble quotient C = R []   2 + 1 est structuré en  anneau pour les lois naturelles. Montrer que C  est un corps, que  est une  racine du polynôme  2 + 1, et que B = (1 ) est une base du R-espace vectoriel C. Question 14.65 Soit ­ un point du plan P et  2 R¤ . On considère la fonction :  : Pn f­g ! Pn f­g 

7!  0 / ­ £ ­ 0 = 

Comment s’appelle  ? Trouver l’expression analytique et l’expression complexe de . Question 14.66 Soient , , ,  des complexes tels que ( ) 6= (0 0). Exprimer la fonction : : C ! C  +   7!  +  comme la composée de plusieurs fonctions connues. Comment appelle-t-on  ? Lorsque  6= 0, montrer que l’application  : Cn f¡g ! Cn fg est une bijection si et seulement si  ¡  6= 0. Question 14.67 (Théorème de Napoléon) Soit  un triangle quelconque. Les points 1 , 2 , 3 sont extérieurs au triangle et tels que les triangles 1 , 2 , 3 soient équilatéraux. Soient ­1 , ­2 , ­3 les centres de gravité de ces trois triangles. Montrer que le triangle ­1 ­2 ­3 est équilatéral et a même centre de gravité que .


98

CHAPITRE 14. NOMBRES COMPLEXES M2 B M1

2 1

C

A 3

M3

Question 14.68 Sur chacun des côtés d’un parallélogramme  et bien à l’extérieur de celui-ci, on construit quatre carrés comme sur la …gure cidessous. Montrer que les centres  , , ,  de ces carrés sont les sommets d’un carré.

Question 14.69 La …gure ci-dessous représente trois carrés 1 , 2 , 3 extérieurs deux à deux, tels que l’un des côtés [] de 1 soit la réunion d’un côté [ ] de 2 et d’un côté [ ] de 3 . On note ­ le centre de  . Montrer que les segments [­3 ] et [­1 ­2 ] sont perpendiculaires et de même longueur.


14.1. QUESTIONS

99

A'

C3 B

+3

B' +  2

A

T + 1

C

C2

C1

D

Question 14.70 La …gure ci-dessous représente deux carrés  et   extérieurs au triangle  et possédant un côté en commun avec ce triangle. On note  le milieu de []. 1) Montrer que [] et [] sont perpendiculaires et de même longueur. 2) Montrer que () est perpendiculaire à () et   = 2 .

Question 14.71 C est le cercle circonscrit à un triangle . On note  son centre,  son rayon, et , ,  les a¢xes de , ,  dans un repère d’origine . a) Quelle est l’a¢xe du centre de gravité  du triangle  ? b) Montrer que  = + + est l’a¢xe de l’orthocentre  du triangle .


100

CHAPITRE 14. NOMBRES COMPLEXES

¡¡! ¡¡! En déduire que  = 3. c) Soit ­ le milieu de []. Montrer que le cercle ¡ de centre ­ et de rayon 2 passe par les milieux des côtés du triangle , et par les milieux des segments [], [] et []. d) Montrer que les pieds des hauteurs du triangle  appartiennent à ¡.

14.2

Témoignage de Benoît (2016)

Laissons la parole à Benoît, un candidat qui a passé son oral 1 du CAPES externe de mathématiques en 2016 en présentant un plan simple et peu d’applications, mais en sachant répondre à des questions simples posées par le jury. Ce candidat ne s’attendait pas à obtenir 20/20. Tout d’abord je précise que je suis un ex-ingénieur qui a décidé de se lancer dans l’aventure concours « juste pour voir » mon niveau et plutôt le préparer très sérieusement l’an prochain. Avec mes activités tout au long de l’année, plus un enfant à charge, cela devient di¢cile de réellement réviser avant les écrits : en gros, quelques soirées basées sur vos livres PREPA CAPES Maths 2016 et quelques annales. Les écrits se passent moyennement, j’aurai pu mieux faire mais l’essentiel est là : assurer l’admissibilité pour engranger l’expérience des oraux. Les oraux justement : je ne peux compter que moins de trois semaines de préparation en urgence, toujours en raison de mes activités principales. Je fais le choix de travailler quelques leçons, triées sur le volet en fonction de mes a¢nités. Autant dire que je n’arrive pas sur Nancy dans les meilleures conditions. Oral 1 : j’ai le choix entre loi binomiale et la forme trigonométrique des nombres complexes. Ayant de gros doutes sur les démonstrations de la formule de Pascal, je me lance dans les complexes. Mon plan était le suivant : 1. 2. 3. 4. 5.

A¢xe d’un point et d’un vecteur Forme trigonométrique d’un nombre complexe dé…nition Module et argument : dé…nitions, représentation, propriétés Vers la forme exponentielle Applications a. Démontrer qu’un triangle est rectangle isocèle b. Linéarisation de cos3 

J’ai le temps d’exposer pile-poil mes grandes lignes, en écrivant au tableau. Celui-ci est petit d’ailleurs, et j’ai dû serrer sur la …n pour ne pas e¤acer.


14.2. TÉMOIGNAGE DE BENOÎT (2016)

101

Pendant l’entretien, le jury me demande de démontrer quelques propriétés des arguments : arg  = ¡ arg  et arg   =  arg  (modulo 2), ce qui se fait bien. Il me demande ensuite de montrer l’unicité de l’écriture de la forme trigonométrique, ce que je fais en raisonnant par l’absurde. Le jury, plutôt bienveillant, me demande quelques précisions. Dans une dernière partie, le jury me demande d’expliciter les racines sixièmes de l’unité, puis me demande combien vaut  2016 losque  en est une. Même si je ressors avec quelques doutes, je me dis que cela aurait pu être pire...


102

CHAPITRE 14. NOMBRES COMPLEXES


Chapitre 15

Géométrie vectorielle ¶ Les questions suivantes sont extraites du vol. 1 de la collection LEÇONS CAPES MATHS [47] paru en janvier 2018, et proposant une étude complète de la leçon n ± 2018-10 intitulée « Géométrie vectorielle dans le plan et l’espace ». Ce volume propose un exposé-type, un développement contenant toutes les démonstrations et des conseils pour défendre son exposé, des questions du jury, des rappels de programme et des compléments circonstanciés. Toutes les réponses sont détaillées et commentées pour cerner ce qui est attendu et imaginer les réactions d’un jury.

15.1

Questions

15.1.1

Questions A+

Question 15.1 En prérequis, vous supposez connue la formule qui donne les coordonnées du milieu d’un segment. Pouvez-vous démontrer cette formule en utilisant des connaissances du collège ? Question 15.2 En utilisant uniquement le théorème de la droite des milieux, démontrer que le projeté du milieu d’un segment est égal au milieu du segment projeté. Question 15.3 Démontrer la formule donnant la distance entre deux points du plan en fonction des coordonnées de ces points comme on le ferait au lycée. Question 15.4 Dans votre exposé, vous parlez d’une dé…nition heuristique d’un vecteur. Que signi…e l’adjectif « heuristique » ? Question 15.5 Donnez une dé…nition rigoureuse d’un vecteur. 103


104

CHAPITRE 15. GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

Question 15.6 a) Quatre points distincts alignés forment-ils parallélogramme aplati ? Dessinez un parallélogramme aplati. Quelle dé…nition donnez-vous d’un un parallélogramme au sens large, c’est-à-dire pouvant être aplati ? b) Les deux dé…nitions classiques d’un parallélogramme conviennent-elles pour dé…nir un parallélogramme aplati ? ¡ ¡ ! ¡ Question 15.7 Vous dé…nissez la norme d’un vecteur !  =  comme étant la distance . Cette dé…nition a-t-elle un sens ? Question 15.8 Pouvez-vous démontrer que la dé…nition de la somme de deux vecteurs que l’on donne en classe de seconde a bien un sens ? ! ¡ ! Question 15.9 Si ¡  appartient à un plan vectoriel P , peut-on raisonnable¡ ¢ ! ment écrire l’égalité ¡  =  ? Question 15.10 a) Rappelez la dé…nition d’un espace vectoriel. b) Qu’appelle-t-on un scalaire ?

! ¡ ! Question 15.11 Soit  un espace vectoriel sur R, et F = (¡   )2 une fa! ¡ mille de vecteurs de  . ! ¡ a) Quand dit-on que F est une famille génératrice de  ? b) Quand dit-on que F est une famille libre ? Liée ? ! ¡ c) Quand dit-on que F est une base de  ? Question 15.12 Soient  et  deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel . a) Que représente  +  ? Que dire de  +  ? b) Proposez deux dé…nitions de  +  et montrez qu’elles sont équivalentes. Question 15.13 a) Quand dit-on qu’un espace vectoriel  est somme directe de deux sousespaces  et  ? [Autre formulation : « Quand dit-on que  et  sont des sous-espaces supplémentaires de  ? ».] b) Proposez une autre dé…nition et montrez qu’elle est équivalente. Question 15.14 Soient  et  deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel . a) La réunion  [  est-elle un sous-espace vectoriel de  ? b) Dans quels cas  [  est-il un sous-espace vectoriel de  ?


15.1. QUESTIONS

105

Question 15.15 Soit  un espace vectoriel sur R. a) Soit ¤ une partie non vide de . On note Vect (¤) le sous-espace vectoriel engendré par ¤. Exprimez cet ensemble en compréhension. b) Soient  et  deux sous-espaces vectoriels de . Quels sont les ensembles Vect( [ ) et Vect( \ ) ? Question 15.16 Tracez un parallélogramme . Placez les milieux  et  des côtés [] et []. a) Montrez que le quadrilatère  est un parallélogramme. b) Proposez une autre méthode. [Le jury désire une solution du niveau collège et une autre du niveau seconde faisant appel à la notion de vecteurs. Il formulera la question b) en fonction de la méthode proposée en a).]

J

D

C

O

A

I

B

! ! Question 15.17 Peut-on dire que deux vecteurs ¡  et ¡  d’un espace vectoriel ! ! sont colinéaires si, et seulement si, il existe un scalaire  tel que ¡  = ¡  ? ! ¡ ¡ ! Question 15.18 Dans le plan vectoriel rapporté à une base B = (    ), on ! ! considère deux vecteurs ¡  ( ) et ¡  (0   0 ). ! ¡ ! ¡ 0 a) Montrer que  ( ) et  (   0 ) sont colinéaires ssi 0 ¡ 0  = 0, ! ! b) Montrer que ¡  ( ) et ¡  (0   0 ) sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles.

Question 15.19 a) Peut-on dire que la relation de colinéarité entre deux vecteurs est une relation d’équivalence ? b) Démontrez ce que vous avez a¢rmé. Question 15.20 Montrer qu’une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

15.1.2

Questions A

Question 15.21 Quel est l’ensemble des points de R3 qui véri…ent : ( 2 + 3 = 5 () ++ = 1


106

CHAPITRE 15. GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

Question 15.22 Tracez un carré . Tracez le point  intérieur au carré tel que le triangle  soit équilatéral. Tracez le point  extérieur au carré tel que le triangle  soit équilatéral. Montrez que les points ,  et  sont alignés.

D

C M N

A 15.1.3

B

Questions B

Question 15.23 a) Rappelez la dé…nition d’une projection vectorielle. b) Donnez cinq propriétés des projections vectorielles. Question 15.24 a) Rappelez la dé…nition d’une symétrie vectorielle. b) Donnez cinq propriétés des symétries vectorielles. Question 15.25 Soient  et  deux sous-espaces supplémentaires d’un espace vectoriel . Soit  la projection sur  parallèlement à . a) Caractérisez la propriété  =  () b) Démontrez cette caractérisation. Question 15.26 Soient  et  deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un espace vectoriel . Soit  la symétrie par rapport à  , parallèlement à . a) Caractérisez la propriété  =  () b) Démontrez cette caractérisation. Question 15.27 Soit  la matrice à coe¢cients dans R : µ ¶   =   

a) Montrer que 2 ¡ (tr ) + (det ) = . b) Montrer que  est inversible si et seulement si  ¡  6= 0.

Question 15.28 Quand dit-on qu’une matrice  est inversible dans l’anneau M2 (R) des matrices carrées de taille 2 à coe¢cients dans R ?


15.1. QUESTIONS

15.1.4

107

Questions C

Question 15.29 Montrer qu’un endomorphisme  d’un espace vectoriel  est une projection si et seulement si 2 = . Question 15.30 Soit  un espace vectoriel sur un corps  de caractéristique di¤érente de 2. Montrer qu’un endomorphisme  de  est une symétrie si, et seulement si, il est involutif.


108

CHAPITRE 15. GÉOMÉTRIE VECTORIELLE


Chapitre 16

Repérage dans le plan, dans l’espace, sur une sphère. 16.1

Questions

16.1.1

Questions A

Question 16.1 {~[28] Q67} Qu’est-ce qu’un repère cartésien du plan (ou de l’espace) ? Qu’entend-on par coordonnées cartésiennes d’un point  dans un repère cartésien du plan (ou de l’espace) ? Question 16.2 {~[28] Q68} Donnez les formules de changement de repères ! ¡ ¡ ! permettant de passer d’un repère R = (    ) du plan vers un autre repère ! ¡ ! ¡ R0 = (0   0   0 ) de ce même plan. Commentez-les. Démontrez-les. Question 16.3 [28] Qu’appelle-t-on donc système de coordonnées polaires d’un point du plan ? Si ( ) est un système de coordonnées polaires de , dites quels sont tous les autres systèmes de coordonnées polaires de . Question 16.4 Donnez la formule de changement de base pour la matrice d’un endomorphisme. Question 16.5 {~[27] Q81} Pouvez-vous expliquer brièvement le procédé d’orthonormalisation de Schmidt ? Question 16.6 Montrer que les médianes d’un triangle sont concourantes en raisonnant de façon analytique. On ne demande pas de tout développer, mais d’expliquer la procédure à suivre. On expliquera en particulier comment obtenir une équation cartésienne d’une d’un triangle. 109


110

CHAPITRE 16. REPÉRAGE

Question 16.7 Montrer que les médiatrices d’un triangle sont concourantes en raisonnant de façon analytique. On ne demande pas de tout développer, mais d’expliquer la procédure à suivre. On expliquera en particulier comment obtenir une équation cartésienne d’une médiatrice d’un segment. Question 16.8 Montrer que les bissectrices intérieures d’un triangle sont concourantes en raisonnant de façon analytique. On ne demande pas de tout développer, mais d’expliquer la procédure à suivre. On expliquera en particulier comment obtenir une équation cartésienne de la bissectrice d’un couple de demi-droites de même origine. Question 16.9 [31] Démontrer qu’un triangle est isocèle si, et seulement si, il possède deux médianes de même longueur. Indications — Un sens est évident en utilisant les propriétés des symétries axiales. On utilisera un repère ad hoc pour démontrer l’autre sens, sachant que ce travail en coordonnées permet de démontrer tout aussi bien l’équivalence demandée. Question 16.10 [34] Dans le plan rapporté à un repère orthonormal R = ! ¡ ¡ ! (    ), on considère la partie E d’équation cartésienne : 2  2 + = 1 16 9 a) Montrer que E est une partie bornée du plan. b) Montrer que les axes () et () du repère R sont des axes de symétrie de E, puis que  est un centre de symétrie de E. c) Démontrer que E n’admet pas d’autres centres de symétrie que .

16.1.2

Questions B

Question 16.11 [28] Dé…nir les coordonnées cylindriques d’un point. Question 16.12 [28] Dé…nir les coordonnées sphériques d’un point. Question 16.13 [28] Soit  un espace a¢ne de dimension …nie . Qu’est-ce qu’une base a¢ne de  ? (On dit encore : repère a¢ne.) Question 16.14 [28] Soit ( ) 2 R2 nf(0 0)g. Montrer qu’il existe un et un seul couple ( ) appartenant à R¤+ £ ]¡ ] tel que ½  =  cos   =  sin  Exprimer  et  en fonction de ,  lorsque ( ) 2 R2 n¡ , où ¡ est la demi-droite ¡ = f( 0)   · 0g. Que peut-on en déduire ?


16.2. COMPLÉMENTS

16.1.3

111

Questions C

Question 16.15 [28] Soit  un espace a¢ne de dimension  muni d’un repère a¢ne R = (0    ). Soit  un point de . On appelle système de coordonnées barycentriques de  dans R toute ( + 1)-liste de réels (0    ) telle que  soit le barycentre de 0 (0 ), ...,  ( ). Montrer que tout point de  possède au moins un système de coordonnées barycentriques dans R, et que deux systèmes de coordonnées barycentriques d’un même point sont proportionnels. Quand dit-on qu’un système de coordonnées barycentriques est normalisé ? Question 16.16 [30] (Ecrit du CAPLP externe 2013) La …gure ci-dessous ¡¡! ¡ ¡! ¡¡! représente un cube  . Le point  dé…ni par  =   ^  est-il un sommet du cube ? Justi…ez. H G

E

F D

A

C B

16.2

Compléments

16.2.1

Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61]

Si le candidat choisit de se limiter son exposé à la géométrie repérée présentée dans les programmes du lycée, le jury peut quant à lui, lors de l’entretien, l’interroger sur la manière dont cette notion est introduite dès le cycle 3 (avec le modèle du papier quadrillé) et approfondie au cycle 4 : (Se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d’un repère orthogonal, dans un parallélépipède rectangle ou sur une sphère. Abscisse, ordonnée, altitude. Latitude, longitude.

16.2.2

Exercice sympathique

I Montrer qu’un triangle est isocèle si, et seulement si, il possède deux médianes de même longueur. L’aller peut se montrer analytiquement ou géométriquement en utilisant les propriétés des ré‡exions, mais le retour est ici


112

CHAPITRE 16. REPÉRAGE

beaucoup plus accessible si l’on utilise un repère ! Cet exercice justi…e donc l’emploi d’un repère pour résoudre un problème de géométrie.

16.2.3

Exposé d’entraînement du 14/01/17

L’orateur propose un plan transversal qui peut e¤ectivement être choisi : 1) Repérage en 3e. 2) Repérage en classe de seconde. 3) Repérage en première S. 4) Repérage en terminale S. Les prérequis sont donnés pour chacun des niveaux : 3e : Géométrie des solides, représentation des solides. 2e : Vecteurs, théorème de Pythagore. 1re S : Produit scalaire. TS : Géométrie vectorielle (non repérée) dans l’espace. 1) L’avantage est de commencer par parler de repérage sur la sphère, puisque la notion est abordée en 3e : méridiens, parallèles, latitude et longitude, des copies d’écran de manuels font l’a¤aire et permettent d’exposer la façon dont on se repère sur le globe terrestre. Ce genre de travail sert pour les EPI. On présente ensuite un exercice de 3e (copie d’écran) où l’on demande de placer des points , , ...,  puis de calculer la distance entre  et . C’est un peu osé mais si cela est posé dans un manuel, pourquoi pas. 2) Dé…nition d’un repère, abscisses et ordonnées, coordonnées dans un repère ! ! ! cartésien. Propriétés : unicité des coordonnées, coordonnées de ¡  +¡  , ¡ , ¡ ¡! , distance . 3) Equation cartésienne d’une droite dans le plan (les deux énoncés classiques), distance d’un point à un plan (dans l’espace). 4) Equations paramétriques d’une droite dans l’espace. Exposé correct, mais des di¢cultés à savoir si un énoncé est une dé…nition ou un théorème. L’entretien montre trop facilement des lacunes en algèbre linéaire, et des questions comme : - Pouvez-vous donner les formules de changement de repère dans le plan ? Les démontrer... - Pouvez-vous dé…nir ce qu’est la matrice d’un endomorphisme ? A quoi sert cette dé…nition... - Connaissez-vous les formules de changement de base pour les matrices des endomorphismes d’un espace vectoriel ? Pouvez-vous les démontrer ? restent sans réponse. La dé…nition de la colinéarité proposée dans l’exposé est fausse, puisqu’on ! ! explique que « ¡  et ¡  sont colinéaires si, et seulement si, il existe  2 R¤ tel


16.2. COMPLÉMENTS

113

! ! que ¡  = ¡  ». Les explications demandées à l’orateur montre des di¢cultés ! ¡ à donner une dé…nition où 0 serait colinéaire à tout vecteur, et où la relation de transitivité serait symétrique, ce qui est pourtant le cas. L’orateur a en outre du mal à expliquer ce qu’est un système lié de vecteurs dans un espace vectoriel comme on le dé…nirait en première année d’université, et ne sait pas ! ¡ ! ! énoncer la négation de l’a¢rmation « ¡  + ¡  = 0 ) ( ) = (0 0) ». Ces questions sont pourtant considérées comme éliminatoires.

16.2.4

Utilisez vos manuels de cours

La leçon demande de proposer des exemples d’utilisation des repères. Il faut donc utiliser les livres de cours qui seront avec vous pendant la préparation de la leçon pour en extraire certains exercices, si possible di¤érents, les présenter et les analyser. On proposera aussi une activité qui utilise Geogebra, ou Geoplan, ou Geiospace, pour montrer au jury que l’on maîtrise ces logiciels. Les deux exercices des fig. 16.1 et 16.2, qui utilisent le repérage dans le plan, ont été posés à l’oral 2 du CAPES externe en 2011 et 2012.


114

CHAPITRE 16. REPÉRAGE

Fig. 16.1 – Posé à l’oral 2 du CAPES externe en 2011


16.2. COMPLÉMENTS

Fig. 16.2 – Posé à l’oral 2 du CAPES externe en 2012

115


116

CHAPITRE 16. REPÃ&#x2030;RAGE


Chapitre 17

Résolution de problèmes à l’aide de matrices 17.1

Questions

17.1.1

Questions A

Question 17.1 [26] Soit  un entier naturel supérieur ou égal à 2, et soient  et  deux matrices carrées à  lignes et  colonnes et à coe¢cients réels. Peut-on a¢rmer que ( + )2 = 2 + 2 +  2 ? Justi…ez votre réponse complètement. Question 17.2 [26] Vous arrivez à un système linéaire de  équations à  inconnues. Pouvez-vous nous dire ce qu’est un système de Cramer ? Connaissezvous les formules de Cramer ? Sauriez-vous les démontrer ? Question 17.3 [26] Donnez au moins une CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable. En connaissez-vous d’autres ? Question 17.4 [26] Donnez une CNS pour qu’une matrice soit trigonalisable. Question 17.5 (Oral du CAPES 2015) Justi…er le calcul de la matrice inverse. Pourquoi véri…er que  =  et  =  ? Que répondre sur ce point à un élève ? A un collègue ? Question 17.6 A quoi servent les matrices ? Où les utilise-t-on ? Réponse — Les matrices sont utiles pour représenter divers objets mathématiques et travailler avec eux. Ce sont des tableaux de nombres. On pense par exemple aux matrices d’applications linéaires entre deux espaces vectoriels 117


118

CHAPITRE 17. MATRICES

de dimensions …nies, aux matrices de changement de base, aux matrices des formes bilinéaires symétriques, aux matrices de transition en probabilité, ou aux di¤érentes utilisations des matrice en théorie des graphes. Question 17.7 Qu’appelle-ton matrice d’une application linéaire ? Donnez une dé…nition précise !

17.1.2

Questions B

Question 17.8 [26] Ecrire les « formules de changement de bases » dans un espace vectoriel de dimension …nie . Rappeler la formule de changement de bases pour une matrice d’application linéaire, puis pour une matrice de forme bilinéaire symétrique. Question 17.9 Qu’appelle-ton matrice de changement de base ? Donnez une dé…nition précise et expliquez les formules que l’on doit retenir. Rappelez (éventuellement retrouvez) la formule de changement de base pour les matrices d’endomorphismes. 0

Réponse — On expliquera comment obtenir la matrice  =  de changement de base d’une ancienne base  = (1     ) vers une nouvelle base 0 = (01    0 ), et comment interpréter la formule  =   0 . Si  est un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension , de matrice  dans une base , alors la matrice  0 de  dans une autre base 0 est donnée par  0 =  ¡1   où  désigne la matrice de changement de base de  vers 0 . Cette formule se retrouve facilement puisque  =  ,  =   0 et  =   0 entraînent  0 =  ¡1  =  ¡1  =  ¡1   0 (une réponse détaillée est proposée à la Question 89 de [26]).

17.1.3

Questions C

Question 17.10 [26] Dans un espace vectoriel  de dimension …nie, on considère  hyperplans 1 , ...,  dé…nis comme les noyaux des formes linéaires non nulles 1 , ...,  . a) Quelle est la dimension de l’intersection 1 \  \  ? b) Avez-vous une idée de la façon dont on peut démontrer cette formule ?

17.2

Pistes

Ressources sur les matrices en spécialité maths — L’enseignement de spécialité fait un lien entre l’étude des matrices et celle des suites. On demande


17.2. PISTES

119

ainsi explicitement d’étudier la convergence de suites matricielles récurrentes de la forme +1 =  + . Des problèmes variés peuvent être proposés à ce niveau : - Marche aléatoire sur un graphe, - Algorithme de calcul de pertinence d’une page web, - Modèle de di¤usion d’Ehrenfest, - Modèle proie prédateur discrétisé. Ces modèles sont décrits dans un document de ressources publié sur le site Eduscol [63] qu’il est conseillé de parcourir.

Extrait du prog. TS de spé. sur les matrices [58] Modèle de di¤usion d’Ehrenfest — En liaison avec les probabilités, le programme de spécialité de terminale S en vigueur en 2018-19 propose de travailler sur la modélisation d’un problème de di¤usion de gaz. Deux compartiments étanches possèdent une cloison en commun percée d’un minuscule trou. A la date 0, l’un des compartiments est rempli d’un gaz tandis que l’autre est vide. Des molécules de gaz peuvent ensuite passer librement d’un compartiment à l’autre. La modélisation d’Ehrenfest attribue à chaque molécule la même probabilité pour changer d’urne. On obtient des chaînes de Markov irréductibles, c’està-dire telles qu’il soit possible de passer de n’importe quel état à un autre en un nombre …ni d’étapes. S’il y a  molécules, il existe  + 1 états différents 0 , ...,  où  correspond à la présence de  molécules dans le premier compartiment. On dé…nit alors une matrice de transition  dont les coe¢cients  sont les probabilités de passer de l’état  à l’état  . La matrice ligne  = ((0 ) (1 )  ( )) donne les probabilités que l’on soit


120

CHAPITRE 17. MATRICES

dans l’état 0 , ...,  à l’étape , et l’on véri…e par récurrence que  = 0   . On exploite ensuite cette modélisation de plusieurs façons. Pour en apprendre plus sur ce modèle, on pourra se référer à la page 11 du document de ressources [63], ouvrir quelques manuels de terminale ou lire le court article de Ravera [62].


Chapitre 18

Proportionnalité et linéarité 18.1

Questions

18.1.1

Questions A

Question 18.1 Une situation de proportionnalité équivaut à un certain alignement de points sur une droite. Pouvez-vous expliquer cela puis le démontrer ? On commencera par rappeler quand deux suites sont dites proportionnelles. Question 18.2 L’alignement des points qui représentent sur un graphique une situation de proportionnalité est-il toujours vrai si le repère n’est pas orthogonal ? Question 18.3 Quel lien existe-t-il entre la proportionnalité de deux suites …nies (1    ) et (1    ) de réels et la notion de colinéarité dans R ? Question 18.4 (CAPES 2012) Si trois poules pondent trois œufs en trois jours, combien d’œufs pondent neuf poules en neuf jours ? [ref : oc004] Question 18.5 Sur une certaine planète, les pêches sont rigoureusement sphériques et possèdent toutes la même densité moyenne. Une pêche pèse 20 g. Combien pèsera une pêche de diamètre deux fois supérieur ? Réponse — 20 £ 23 = 160 g. Question 18.6 (CAPES 2012) Comment feriez-vous pour intéresser des collégiens à la proportionnalité ? Quel type d’exercices donneriez-vous ? Question 18.7 Qu’entend-on par fonction linéaire de R dans R ? Fonction a¢ne de R dans R ? 121


122

CHAPITRE 18. PROPORTIONNALITÉ ET LINÉARITÉ

Question 18.8 Montrer que l’application de R dans R, qui à  associe le réel  () = 2 + 2 ¡ 3, n’est pas une fonction a¢ne. Question 18.9 (Oral du CAPES 2015) Dessiner le patron d’un cône de révolution de hauteur  et de rayon du disque de base . Question 18.10 [31] (Une moyenne de moyenne est-elle une moyenne) Ma classe de quatrième comporte 24 élèves, dont 10 suivent l’option espagnol. Je décide de calculer la moyenne trimestrielle de deux façons : a) En faisant la moyenne des notes obtenues par les 24 élèves. b) En faisant la moyenne des notes obtenues par les 10 élèves qui font espagnol, puis la moyenne des notes obtenues par les 14 autres élèves, et en calculant la moyenne de ces deux moyennes. Vais-je obtenir le même résultat ? Expliquez. Réponse — Notons  la note du -ème élève. Supposons que 1 , ..., 10 soient les notes des élèves qui suivent l’espagnol. Avec la méthode a), on obtient la moyenne : 1 +  + 24 +  = = 24 24 en posant  = 1 +  + 10 et  = 11 +  + 24 . Avec la seconde méthode, on obtient la moyenne : µ ¶ 1      = + = +  2 10 14 20 28 Les deux moyennes sont di¤érentes car en général : +   6= +  24 20 28 En e¤et : +   = + 24 20 28

+   = + 6 5 7 , 35 ( + ) = 42 + 30 ,

, 5 = 7

et il serait exceptionnel que l’on ait 5 = 7 ! Les deux moyennes obtenues sont en général di¤érentes, et cela se comprend si l’on s’aperçoit qu’en procédant par étapes comme dans la méthode b) on accorde plus de poids aux notes données aux 10 élèves, en les traitant comme s’il s’agissait de notes données aux 14 élèves de l’autre groupe. Dans la classe, le poids de chaque groupe est


18.1. QUESTIONS

123

di¤érent, et il faut en tenir compte dans le calcul de la moyenne. Prendre la moyenne des deux moyennes ne peut que mener à un résultat faux. L’associativité des barycentres permet d’écrire :  =

10 + 14 24

où  = 10 et  = 14, mais cela n’a rien à voir avec la méthode proposée en b). ! ! Question 18.11 [26] Peut-on dire que deux vecteurs ¡  et ¡  d’un espace vectoriel sont colinéaires si, et seulement si, il existe un scalaire  tel que ! ¡ !  = ¡  ? Expliquez.

18.1.2

Questions B

Question 18.12 [26] On considère un espace vectoriel . Montrer que deux formes linéaires sur  dé…nissent le même hyperplan si et seulement si elles sont proportionnelles. On proposera une solution lorsque  est de dimension quelconque, éventuellement in…nie, et une autre solution quand dim  = 3. Question 18.13 (Oral du CAPES 2015) Existe-t-il des fonctions linéaires qui ne sont pas de la forme () =  ? Réponse — Cette question laisse perplexe, avec raison. Une application est linéaire de R dans R si et seulement si elle est de la forme  7!  où  est un réel donné à l’avance. Il s’agit d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels. Le candidat n’ayant pas répondu, le jury lui propose la fonction dé…nie par : 33 + 3  () = 2  +1 et le candidat répond qu’en e¤et, on peut alors simpli…er par 2 + 1 qui ne s’annule jamais. Voici comment aurait répondu (avec justesse) un autre candidat : « J’aurais répondu qu’une fonction, ce n’est pas la même chose qu’une formule, qu’il existe des fonctions sans formules et que cela trouble les élèves de seconde par exemple, et qu’on peut répondre à la question posée si on la transforme légèrement en « Peut-on toujours écrire  sous la forme () =  ». En bref : il n’y a pas unicité de la formule donnant l’image  () d’un réel  par une fonction. »


124

CHAPITRE 18. PROPORTIONNALITÉ ET LINÉARITÉ

La solution du jury n’est pas vraiment satisfaisante car si :  () =

33 + 3 = 3 2 + 1

quel que soit  2 R, alors la fonction  ainsi dé…nie est encore une application linéaire de la forme () = . On aurait peut-être pu proposer la fonction :  :  7!

33 ¡ 3 2 ¡ 1

qui n’est dé…nie que sur  = Rn f§1g, et qui est linéaire en ce sens qu’il existe  2 R tel que pour tout  2  tel que  2  on ait  () =  (), et : 8( ) 2 2

 +  2  )  ( + ) =  () +  () 

Là, au moins, on dispose d’une fonction  qui n’est pas une application linéaire car n’est pas dé…nie sur R en entier, mais mérite peut-être l’appellation de « fonction linéaire ». Le jury attendait-il cette réponse ? Le candidat a qui la question a été posée, est resté sans parler. C’est dommage, car il aurait pu expliquer que les seules applications linéaires de R dans R sont de la forme  7! , puisqu’on sait d’une façon plus générale que toute application linéaires entre les espaces vectoriels R et R sont dé…nies à l’aide de matrices. Puis il aurait pu proposer de démontrer cette a¢rmation (ou le jury aurait pu lui poser la question) dans le cas où  =  = 1 qui nous intéresse. Si  est une application linéaire de R dans R, alors : 8 2 R  () =  (1) =  (1) =  (1)  =  en posant  =  (1). Là au moins on a répondu quelque chose, et on constate que l’on ne peut que chercher à jouer sur le terme « fonction linéaire ». Mais le jury pensait peut-être seulement à la forme de l’expression algébrique qui servait à dé…nir . Pour ce genre de question paniquante, on doit essayer de répondre en son âme et conscience, et répondre est une façon de dire et d’expliciter ce que l’on sait, de ré‡échir à haute voix en écrivant au brouillon sur le tableau, de demander des précisions au jury, de faire des hypothèses. C’est ce qu’attend le jury.

18.2

Compléments

18.2.1

Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61]

Cette leçon permet de revisiter une large part des programmes des cycles 3 et 4, tout en ouvrant des perspectives au niveau du lycée. Au niveau du collège,


18.2. COMPLÉMENTS

125

elle o¤re de nombreuses opportunités, comme les changements d’unités dans les mesures des grandeurs mentionnées dans le programme de cycle 4 (vitesse, débit, masse volumique, concentration, densité de population, rendement d’un terrain, puissance électrique), ou encore la caractérisation d’une fonction a¢ne par la proportionnalité des accroissements. Au niveau du lycée, il est facile d’exhiber des exemples de fonctions non linéaires.

18.2.2

Idées

I Proposer un exercice sur la formule  =  avec un problème où deux trains se croisent ? I Les comptes rendus de Gabriel et de Jean ont été placés dans la section Deux témoignages entrecroisés du livre ORAL CAPES MATHS Droites & plans. Ces témoignages intéressent la leçon sur la proportionnalité autant que celle sur les droites et les plans.

18.2.3

Vrai ou faux ?

Extrait 18.1 Exposé sur la proportionnalité dans une simulation d’oral du CAPES. L’orateur écrit : « Dé…nition – Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer l’une de l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coe¢cient de proportionnalité associé à ces grandeurs. ». Quelle réaction peut-on avoir face à cette dé…nition ? Analyse — Faisons deux remarques : Grandeurs — On parle de grandeurs au lieu de parler de suites proportionnelles, donc il faut pouvoir dé…nir ce terme. Le plus simple est peut-être de répondre en donnant des exemples comme on le ferait en collège, et dire que l’on désigne ainsi une longueur, une aire, un volume, une masse, une durée... C’est quelque chose que l’on peut mesurer. On peut aussi appeler « grandeur » : Tout caractère d’un objet susceptible de variation chez cet objet ou d’un objet à l’autre. Le jury peut poursuivre en demandant de dé…nir la notion de longueur d’un segment sans utiliser d’unités de mesure. La solution consiste à dé…nir une relation d’équivalence R (au sens mathématique du terme), entre les segments du plan, en disant que [] R [] si et seulement si les segments [] et [] sont superposables. On ajoutera que deux segments sont dits superposables si on peut décalquer l’un et replacer le calque exactement sur le second. Plus rigoureusement, cela


126

CHAPITRE 18. PROPORTIONNALITÉ ET LINÉARITÉ

revient à dire l’existence d’une isométrie du plan qui transforme [] en []. Si S désigne l’ensemble des segments du plan, l’ensemble-quotient SR représente alors l’ensemble des longueurs. Ici une longueur est une classe d’équivalence d’un segment pour la relation R. Un problème de dé…nition — Si l’extrait proposé dé…nit correctement la proportionnalité de deux grandeurs  et  (on pourra dire plus simplement : « de deux suites de nombres réels »), un problème surgit quand on dé…nit le coe¢cient de proportionnalité associé à ces grandeurs. En fait, il y en a deux puisqu’on peut multiplier par un coe¢cient  pour passer de  vers , ou préférer multiplier par un coe¢cient  pour passer de  vers . On aura  = 1 si toutefois  6= 0 (on peut accepter que  soit nul et admettre que toute suite est proportionnelle à la suite nulle, et dans ce cas le coe¢cient de proportionnalité est 0, valable dans un seul sens cette fois-ci). La dé…nition du coe¢cient de proportionnalité associé aux deux grandeurs est mauvaise : cela n’a pas de sens car ce coe¢cient n’est pas unique. Pour éviter ce problème, on peut remplacer la phrase : « Ce nombre s’appelle le coe¢cient de proportionnalité associé à ces grandeurs » par « Un tel nombre est appelé coe¢cient de proportionnalité associé à ces grandeurs ». Pour terminer je propose la dé…nition suivante sans doute moins attaquable : « On dit que deux suites de nombres réels sont proportionnelles si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant les termes par un même nombre appelé coe¢cient de proportionnalité. » Extrait 18.2 Exposé sur la proportionnalité dans une simulation d’oral du CAPES. L’orateur écrit : « Dé…nition 3 – Soit un tableau de proportionnalité. Si l’on connaît trois valeurs de deux colonnes du tableau, on peut déterminer la quatrième valeur. Cette valeur est appelée quatrième proportionnelle. ». Une critique ? Analyse — Il ne s’agit pas d’une dé…nition, puisqu’on indique que l’on peut calculer un terme du tableau à partir de trois termes donnés. Ce serait donc un théorème ou une proposition. Mais en même temps, un peu plus loin, on dé…nit la quatrième proportionnelle, donc là c’est une dé…nition. On ne peut donc pas écrire « Dé…nition 3 » au début du texte. Il convient plutôt d’écrire « Théorème & dé…nition » au lieu de « Dé…nition 3 », ou de partager le texte en deux parties : un théorème suivi d’une dé…nition.


18.2. COMPLÉMENTS

127

Extrait 18.3 Au cours d’une simulation d’oral du CAPES, le candidat dé…nit une fonction a¢ne (de R dans R) en écrivant : une fonction a¢ne est une fonction telle que : : R ! R  7!  + 

avec  et  deux réels. Le jury demande de relire cette dé…nition et de la préciser. Comment répondre à son attente ? Analyse — Le candidat n’a rien trouvé à dire. Pourtant déjà la phrase n’est pas bien construite, et il vaudrait mieux écrire qu’une fonction  est dite a¢ne si : : R ! R  7!  +  où  et  sont deux réels. Mais le problème le plus grave subsiste : c’est que le statut des réels  et  n’est pas bien précisé. Qui m’empêche de comprendre de travers, et d’imaginer que  est une fonction qui à  associe un nombre  tel qu’il existe  et , qui peuvent dépendre de , tels que  () =  + , et dans ce cas n’importe quelle application de R dans R serait a¢ne ! Si le jury pose cette question, c’est pour que l’on montre que l’on a compris l’importance du placement des quanti…cateurs, et donc que l’on sache lever toute ambiguïté dans l’écriture d’une assertion. On dira donc qu’une fonction  est a¢ne s’il existe ( ) 2 R2 tel que : : R !

R

 7!  + 

ou, si l’on préfère, tel que pour tout  2 R on ait  () =  + . Le jury doit scanner le candidat pour s’assurer qu’il sait énoncer une propriété de façon rigoureuse et précise, ce qui est important pour un futur professeur de mathématiques.


128

CHAPITRE 18. PROPORTIONNALITÉ ET LINÉARITÉ


Chapitre 19

Pourcentages, taux d’évolution, indices 19.1

Questions

19.1.1

Questions A

Question 19.1 On réduit respectivement la largeur et la longueur d’un rectangle de 20% et 10%. Peut-on dire que l’aire du rectangle obtenu a diminué de 28% ? Réponse — Comme 0 8 £ 0 9 = 0 72, l’aire du rectangle a diminué de 28%. L’a¢rmation est donc vraie. Question 19.2 (CAPE 2017) Un rectangle a une largeur et une longueur qui mesurent respectivement 6 cm et 9 cm. On réduit la largeur de 20% et la longueur de 10%. Peut-on a¢rmer que le périmètre du rectangle ainsi obtenu a diminué de 15% ? Réponse — Le périmètre du rectangle est passé de 2 £ (6 + 9) = 30 à 2 £ (0 8 £ 6 + 0 9 £ 9) = 25 8, donc le périmètre du rectangle a diminué de 4 2 £ 10030 = 14%. La réponse est donc négative. Question 19.3 (Terminale STG) Si une action baisse de 10%, quelle hausse devra-t-elle subir le lendemain pour retrouver sa valeur initiale ? Réponse — Le capital  a baissé de 10%, donc est devenu 0 9 £ . Le lendemain on espère qu’il subisse une hausse de pour retrouver la valeur de la veille. Le taux d’évolution de cette hausse devra être le nombre  tel que 0 9 £  £ (1 + ) = , d’où : 129


130 CHAPITRE 19. POURCENTAGES, TAUX D’ÉVOLUTION, INDICES 1 ¡ 1 = 0 111 ' 0 11 0 9 La hausse devra être de 11%. =

Question 19.4 (Terminale STG) Vaut-il mieux béné…cier d’une réduction de 30% ou de deux réductions de 10% et 20% ? Réponse — Avec une réduction de 30%, le prix  d’un objet devient 0 7. Après deux réductions de 10% et 20%, le prix  d’un objet devient 0 8 £ 0 9, soit 0 72, ce qui correspond à une baisse unique de 28%. Une baisse de 30% est donc plus avantageuse que deux baisses successives de 10% puis 20%. Question 19.5 (Terminale STG) Y a-t-il une di¤érence entre une hausse de 5% suivie d’une baisse de 15%, et une baisse de 15% suivie d’une hausse de 5% ? Réponse — Dans le premier cas le coe¢cient multiplicateur est le produit 1 05 £ 0 85 = 0 8925 tandis que dans le second c’est 0 85 £ 1 05 = 0 8925. Ces deux coe¢cients sont identiques, donc les deux méthodes donnent le même résultat. Question 19.6 (Terminale STG) Quel taux d’évolution représente une in‡ation annuelle de 2% subie pendant 10 ans ? Un objet coûte 10000  à l’issue de ces 10 ans. Combien devait-il coûter dix ans plus tôt ? Réponse — Chaque année le coe¢cient multiplicateur appliqué est  = 1 02. Sur 10 ans, ce coe¢cient devient 10 . Le taux d’évolution  sur 10 ans est tel que 1 +  = 10 , donc  = 10 ¡ 1 = 1 0210 ¡ 1 ' 0 219. Le taux d’évolution global est donc 21 9%. Une somme de 10000  détenue à l’issue de ces 10 ans correspond à une somme de   détenue 10 ans plus tôt, où 1 219 = 10000, donc : 10000 = ' 8203 . 1 219 Question 19.7 (Terminale STG) Un produit qui a augmenté de 20% en 5 ans a subi quelle évolution annuelle moyenne ? Réponse — Si le taux d’évolution annuel est , on aura (1 + )5 = 1 2, d’où  = 1 215 ¡ 1 ' 0 037. Le produit a augmenté en moyenne de 3 7% par an. Question 19.8 Une augmentation de 10% suivie d’une augmentation de 10% est-elle équivalente à une seule augmentation de 20% ? Pourquoi ? Comment faire comprendre cela à une personne qui n’y croirait pas ?


19.1. QUESTIONS

131

Réponse — Comme 1 1 £ 1 1 = 1 21, ces deux augmentations équivalent à une seule augmentation de 21%. Pour faire comprendre cela, en parlant d’euros, on peut expliquer que les 10 euros en plus obtenus pour 100 euros au départ font un capital de 110 euros, et que la seconde augmentation de 10% sera à appliquer à ce nouveau capital. Mais alors, en sus des 20% attendus, il faudra ajouter les 10% de 10 euros correspondants au béné…ce engrangé après la première augmentation. Comme 20 + 1 = 21, on retrouve bien 21 euros de plus dans son escarcelle après les deux augmentations. Question 19.9 [31] Votre patron vous propose de choisir entre a) une augmentation de 10% suivie d’une augmentation de 2% ; b) une seule augmentation de 12%. Que choisissez-vous ? Pourquoi ? Réponse — La première solution, car on gagnera plus en appliquant 2% à une somme qui a déjà été réévaluée de 10%, au lieu d’appliquer 12% sur la somme du départ. Les calculs montrent que c’est ce qu’il faut choisir car 1 1 £ 1 02 = 1 122, et le coe¢cient multiplicateur 1 122 correspond à une majoration de 12 2% dans le premier cas, au lieu de seulement 12%. Question 19.10 Une unité d’alcool (UA) correspond à 1 2 cl d’alcool pur. Combien y-a-t-il d’alcool pur dans une canette de 33 cl contenant de la bière à 5± ? Cela représente combien de doses d’alcool ? Réponse — Un rappel est nécessaire : le degré alcoolique (ou titre alcoométrique volumique TAV), est la proportion d’alcool dans une boisson alcoolisée. C’est le rapport entre le volume d’alcool, à la température de 20 ± C contenu dans le mélange et le volume total du mélange. L’unité utilisée est le pourcentage volumique (% vol) ou le degré (noté ± ). Une bière à 5± contient ainsi 5% d’éthanol (c’est-à-dire d’alcool pur) en volume. Dans 1 litre (c’est-à-dire 100 cl) de bière on aura 5 cl d’alcool, et dans une canette de 33 cl il y aura 53 ' 1 6 cl d’alcool pur à 0 1 près par défaut.


132 CHAPITRE 19. POURCENTAGES, TAUX D’ÉVOLUTION, INDICES Comme 1 6 = 1 2 + 0 4, cette canette représente environ 1 3 UA. A savoir : l’OMS estime qu’une consommation modérée et sans risque consiste à ne pas dépasser 3 UA par jour pour une homme et 2 UA par jour pour une femme. Question 19.11 Une cerise de diamètre 2 cm possède en son centre un noyau de diamètre 1 cm. Quel est le pourcentage de noyau dans cette cerise ? Réponse — Le volume d’une sphère de diamètre  est  = 3 6. La proportion de noyau dans cette cerise est donc : 6 1 100 1 12 5 = 3 = £ =  3 2 6 2 8 100 100 Le pourcentage cherché est donc 12 5%.

19.1.2

Questions B

Question 19.12 [31] (Ecrit du CAPLP 2014) L’a¢rmation suivante est-elle vraie ou fausse : « Il est …nancièrement toujours plus intéressant de demander une réduction de 10% du prix d’une marchandise que de demander une augmentation de 10% de la quantité de marchandise ». Justi…er sa réponse. Réponse — VRAI. Soit une quantité  de marchandises vendue  euros. Dans le premier cas on obtient une réduction de 10% sur le prix, donc on achète la quantité  pour 0 9 euros, et le prix unitaire de la marchandise est :  1 = 0 9   Dans le second cas on obtient 10% de marchandise en plus pour le même prix de  euros, soit une quantité +0 1  = 1 1  de marchandises pour  euros, et le prix unitaire devient : 2 =

 1   = ' 0 909  1 1  1 1  

Comme 1  2 , la première solution (la réduction de 10% sur le prix de la marchandise) est plus intéressante …nancièrement.

19.2

Vocabulaire

² Prendre % d’une valeur, c’est la multiplier par 100. ² Un pourcentage peut être considéré comme une nouvelle écriture d’un nombre, par exemple :


19.3. TÉMOIGNAGES

133

15 = 0 15 100 ² Quand un nombre évolue de 1 à 2 , le nombre : 2 ¡ 1 = 1 est appelé taux d’évolution, ou variation relative. Si  est un taux d’évolution exprimé ou non par un pourcentage (hausse si  ¸ 0, baisse autrement), on dit que la valeur 1 subit une évolution , et sa valeur …nale est donnée par 2 = (1 + ) 1 , puisque : 2 ¡ 1 = , 2 = (1 + ) 1  1 15% =

² Le nombre 1+ est appelé coe¢cient multiplicateur. C’est le coe¢cient qui, multiplié à la valeur initiale 1 , donne la valeur …nale 2 .

19.3

Témoignages

19.3.1

Témoignage de Lucile

Pour l’oral 1, j’ai tiré au sort Pourcentages, taux d’évolution, indices et Translations, symétries centrales, rotations. Deux thèmes très peu présents dans les programmes puisque le premier l’est presque exclusivement en STMG et le second en STD2A. Je me suis donc tournée vers les pourcentages, par défaut, puisque j’avais à disposition des livres de STMG mais presque aucun support sur lequel m’appuyer pour le second thème. Dans une première section j’ai développé la proportionnalité et la notion de pourcentage par la suite. Dans une seconde section j’ai parlé de taux d’évolutions et indices. Mon plan n’était pas terrible, puisque je n’étais au point que sur la proportionnalité, connaissant à peine la dé…nition de taux d’évolution et indice. Le jury s’est engou¤ré dans la brèche de la proportionnalité, heureusement pour moi. Il n’avait pas l’air plus convaincus que moi par mon plan. On m’a demandé de développer proprement mes exemples, comme je le ferais devant une classe. Puis on a parlé proportionnalité en général avec la représentation graphique d’une situation de proportionnalité, puis la proportionnalité en physique (vitesse, chute des corps), en géométrie (périmètre d’un cercle proportionnel au rayon, loi des sinus), etc. On ne m’a demandé aucune démonstration (toutes très simples) et on n’a jamais abordé le taux d’évolution et l’indice. Le jury était moyennement convaincu de ma prestation, moi aussi. J’ai terminé mon oral souriante, mais dès que je suis sortie de la salle j’étais contente que le calvaire soit terminé ! Casse limitée mais bien loin de l’oral 1


134 CHAPITRE 19. POURCENTAGES, TAUX D’ÉVOLUTION, INDICES que je m’étais imaginée pouvoir donner. C’est à ce moment qu’il ne faut pas être déstabilisée, garder la tête froide malgré tout ! Et puis l’oral 1 est vraiment le plus stressant des 2 oraux, sûrement dû au tirage au sort. On se sent donc libéré, même quand on a pas fait une prestation glorieuse. [NDA : Lucile a obtenu 9/20 à cet oral, et a réussi le CAPES]


Chapitre 20

Systèmes d’équations, d’inéquations 20.1

Questions

20.1.1

Questions A

Question 20.1 (Ecrit du CAPESA 2017) En se plaçant dans le cadre d’une classe de seconde générale et technologique, présentez une démarche de résolution d’un système linéaire de deux équations à deux inconnues. Question 20.2 Soient  et  sont deux réels non nuls. a) L’implication suivante est-elle vraie :    ) 1  1 ? b) Si   0  , a-t-on 1  1 ? Question 20.3 Résoudre le système suivant puis proposer une interprétation ( graphique : j ¡ 2j +  = 3 5 ¡  = 2 Question 20.4 Combien de cas devra-t-on envisager pour résoudre le système ( suivant : j ¡ 1j + j + 7j = 2 j ¡ 3j + 4 j ¡ 9j = 7 ? Question 20.5 Montrer que sin  ·  · tan  pour tout  2 [0 2[. Question 20.6 (Oral CAPES 2017) Déterminer l’intersection des cercles C( 1) avec C( 2) lorsque  est de coordonnées (1 2) et  désigne l’origine du repère [Voir compte rendu d’oral du CAPES au §. 20.3.3]. 135


136

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS

Question 20.7 Comment dé…nir un demi-plan de frontière une droite ? Cette dé…nition dépend-elle de l’équation de la droite ? [Voir Section 20.2.2] Question 20.8 Résoudre l’équation  2 = 3 + 2 dans C. Question 20.9 Dans la méthode de Gauss, pouvez-vous expliquer pourquoi toutes les transformations utilisées sont des équivalences ? Question 20.10 Qu’appelle-t-on opérations élémentaires sur les lignes d’un système d’équations linéaires ? Question 20.11 Quelle erreur doit-on éviter à tout prix quand on résout un système d’équations linéaires (linéaire ou pas) ? Réponse — Il faut prendre garde de ne pas oublier la réciproque. Par exemple, quand on résout un système linéaire par substitution ou combinaisons linéaires, on travaille avec des -uplets (   ) qui sont supposés être des solutions, et que l’on imagine exister, bien qu’on n’en sache rien. On déduit alors logiquement que ces solutions ne peuvent être que d’une certaine forme, autrement dit qu’elles ne peuvent appartenir qu’à un certain ensemble E que l’on explicite. Cela ne signi…e pas que l’ensemble S des solutions cherchées est égal à E, mais seulement que l’on a l’inclusion S ½ E. Il ne faut pas oublier de véri…er que, réciproquement, tout -uplet (   ) de E appartient bien dans S. La véri…cation est souvent facile, mais doit être au moins mentionnée dans sa rédaction pour éviter d’être sanctionné pour erreur grave de raisonnement. Cette véri…cation peut être oubliée si on procède en conservant des équivalences, comme dans la méthode du pivot de Gauss. Conserver des équivalences ou ne pas oublier la réciproque est primordial quand on résout un système d’équations quelconques, pas forcément linéaires. Question 20.12 Quelle est l’intérêt de la méthode de Gauss de résolution d’un système linéaire ? Réponse — La méthode de Gauss permet de trouver les solutions d’un système linéaire en conservant des équivalences, donc sans avoir à se préoccuper de la réciproque. Elle permet aussi d’écrire un algorithme de résolution d’un système linéaire.


20.1. QUESTIONS

137

Question 20.13 (Oral du CAPES interne 2006) Quelles sont les di¤érentes méthodes de résolution d’un système linéaire de deux équations du premier degré à deux inconnues ? Réponse — On peut résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues par substitution ou par addition. On peut aussi envisager une résolution graphique, ou encore utiliser les formules de Cramer lorsque le déterminant du système n’est pas nul. Question 20.14 (Oral du CAPES interne 2006) Quelle dé…nition d’un système feriez-vous écrire dans le cahier de vos élèves de troisième ? Réponse — Un système d’équation est la donnée de plusieurs équations qui doivent être véri…ées simultanément. Une solution d’un système d’équation dont les inconnues sont  et  est constituée par une valeur de  et une valeur de  qui véri…ent chacune des équations du système. Bien sûr, en troisième on n’étudie que des systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues, de sorte que l’on puisse restreindre la dé…nition que l’on vient de donner à ce type d’équation. Question 20.15 (Oral du CAPES interne 2006) Comment répondriez-vous à un élève s’il vous demande combien de solutions possède un système (autre que graphiquement) ? Réponse — Je répondrais qu’il peut y en avoir une seule, ou bien aucune, ou bien une in…nité, et je donnerais des exemples simples pour illustrer ces a¢rmations. Question 20.16 (Oral du CAPES interne 2006) Quelle est l’importance de la véri…cation en troisième ? Est-elle aussi importante qu’à un niveau supérieur et pourquoi ? Réponse — D’un côté la véri…cation est essentielle en troisième puisque, dans la pratique, on procède sans jamais véri…er que l’on écrit des équivalences. Ne pas e¤ectuer de véri…cation …nale serait une faute grave comme on l’a dit à la Question 20.11. D’un autre côté, on peut se satisfaire que l’élève se contente d’obtenir un résultat, en estimant qu’il n’est pas su¢samment mûr pour comprendre la nécessité d’une réciproque. En tout cas, il semble que cette seconde réponse soit implicitement contenue dans les programmes de troisième de 2012-13 qui stipulent qu’à ce niveau les systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues admettront toujours une unique solution, et que résoudre un (tel) système revient toujours à trouver un seul couple solution [57] (fig. 20.1).


138

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS

Fig. 20.1 – Extrait du programme de 3e (année 2014-15) Question 20.17 Résoudre le système linéaire : (  +  =  0  + 0  = 0 dans le cas général où , , , 0 , 0 , 0 sont des réels donnés, sans utiliser ses connaissances sur les équations de droites, les déterminants et les systèmes de Cramer. Retrouver ainsi les formules de Cramer. Réponse — Pour résoudre le système : (  +  =  () 0  + 0  = 0 on peut déjà supposer que  6= 0, le cas  6= 0 conduisant aux mêmes conclusions en raisonnant de la même façon, puis écrire les équivalences (comme dans la méthode du pivot de Gauss) : 8 ( <  +  =   +  =  0 0 () , ,   : (0 ¡ ) = 0 ¡  (0 ¡ 0 )  = 0 ¡ 0    Il su¢t ensuite de discuter :

² Si 0 ¡ 0  6= 0, le système () admet un unique couple solution donné par : 0 ¡ 0  = 0  ¡ 0  et : µ ¶ 1 1 0 ¡ 0  0  ¡ 0  = ( ¡ ) = ¡ 0 =     ¡ 0  0 ¡ 0 


20.1. QUESTIONS

139

On reconnaît les formules de Cramer. Le déterminant du système () est : ¯ ¯ ¯   ¯ ¯ ¢ = ¯ 0 0 ¯¯ = 0 ¡ 0    de sorte que :

¯ 1 ¯¯   = ¯ 0 0 ¢  

¯ ¯ ¯ ¯

¯ 1 ¯¯   et  = ¯ 0 0 ¢  

² Si 0 ¡ 0  = 0, () équivaut à : (  +  = 

¯ ¯ ¯ ¯

0 = 0 ¡ 0 

Dans ce cas, si 0  ¡ 0 = 0, alors () admet une in…nité de solutions, à savoir tous les couples ( ) qui véri…ent  +  = , c’est-à-dire pour lesquels il existe  2 R tel que : µ ¶   ( ) = ¡      Si 0 ¡ 0 6= 0, alors () n’admet pas de solution puisque la dernière équation 0 = 0 ¡ 0  ne sera jamais satisfaite. Question 20.18 Quel type de raisonnement fait-on quand on désire démontrer à un élève du secondaire que ( le système : 5 + 10 = 7 3 + 6 = 4 n’admet pas de solution ? Expliquer cela très précisément. Réponse — C’est en raisonnant par l’absurde que l’on pourra démontrer que le système : ( 5 + 10 = 7 () 3 + 6 = 4 n’admet pas de solution. On commence en e¤et par supposer qu’il existe un couple ( ) de nombres réels qui véri…e (). La seconde équation s’écrit : 4 ¡ 6 3 et en remplaçant dans la première équation, on obtient : =

4 ¡ 6 + 10 = 7 3 soit 20 = 21. C’est absurde, donc notre hypothèse de départ est fausse et l’on peut conclure : il est impossible de trouver des réels  et  qui véri…ent les deux équations de (). 5£


140

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS

Question 20.19 (Oral du CAPES interne 2006) a) Résoudre le système : (  + 5 +  = 12 2 + 2 ¡ 3 = 5

b) Au lycée, quand est-on amené à résoudre des systèmes de ce type ? Réponse — On doit résoudre ( le système :  + 5 +  = 12 () 2 + 2 ¡ 3 = 5 Première méthode — On a les équivalences suivantes : 8 8 17 1 ( > <  = 12 ¡ 5 ¡  < = +  + 5 +  = 12 8 8 () , , , 5 :  = ¡ 5  + 19 > ¡8 ¡ 5 = ¡19 :  = ¡  + 19 8 8 8 8

quand on utilise la méthode du pivot de Gauss. Les solutions de () sont les couples ( ) = (178 + 18 ¡58 + 198) lorsque  décrit R. Géométriquement, il s’agit de la droite passant par le point (18 198) et de vecteur directeur (178 ¡58). Deuxième méthode — Le déterminant de la matrice formée par les coe¢cients de  et  est : ¯ ¯ ¯ 1 5 ¯ ¯ ¯ = ¡8 ¢=¯ 2 2 ¯ Il n’est pas nul, donc les inconnues  et  peuvent être choisies comme inconnues principales. On résout le système de Cramer suivant où  est considéré comme un paramètre : (  + 5 = 12 ¡  2 + 2 = 5 + 3 Les formules de Cramer donnent : ¯ ¯ 1 ¯¯ 12 ¡  5 ¯¯ 17 1 = ¯ = + ¯ ¢ 5 + 3 2 8 8

¯ 1 ¯¯ 1 12 ¡  et  = ¯ ¢ 2 5 + 3

¯ ¯ ¯ = ¡ 5  + 19  ¯ 8 8

b) Au lycée, on est amené à résoudre des systèmes linéaires de ce type pour rechercher l’intersection de deux plans dans l’espace. Question 20.20 [30] Déterminer trois réels 1 , 2 et 3 tels que : 8  +  + 3 = 9 > 2 < 1 1 2 + 2 3 + 3 1 = ¡156 > : 1 2 3 = ¡340 Combien ce système possède-t-il de solutions ?


20.1. QUESTIONS

20.1.2

141

Questions B

Question 20.21 A l’oral du CAPES interne 2004, un candidat propose l’activité suivante pour une classe de troisième : « Une basse-cour n’abrite que des lapins et des oies, au total 27 animaux et 90 pattes. Quel est le nombre de lapins et d’oies ? ». On trouve  = 18 et  = 9. a) Si un élève dit : « Sachant qu’un lapin a deux fois plus de pattes qu’une oie, je partage le nombre d’animaux en 3 et je trouve 18 lapins et 9 oies », que lui répondrez-vous ? b) Comment démontrer que l’élève a tort ? Réponse — Dans cet oral relaté en [19] §.16.2.3, le candidat n’a pas su répondre et explique : « L’élève trouve le bon résultat mais je n’arrive pas à comprendre pourquoi cela marche ici. Est-ce un énorme coup de chance ? ». a) Le raisonnement de l’élève est faux même s’il tombe par hasard sur la bonne solution. En disant qu’il partage le nombre d’animaux en 3 pour obtenir 3 £ 9 = 27 animaux, puis en prenant deux fois plus de lapins que d’oies, soit 2 £ 9 = 18 lapins contre 9 oies, il suppose implicitement que le nombre d’animaux est proportionnel au nombre de pattes de ces animaux, comme si une basse-cour contiendrait toujours deux fois plus de lapins que de poules ! C’est absurde. Le vrai système à résoudre est : (  +  = 27 4 + 2 = 90 où  représente le nombre de lapins et  le nombre d’oies. Il n’y a aucune raison de rajouter la condition  = 2. b) Pour démontrer que le raisonnement de l’élève est faux, il faut donner un contre-exemple où son raisonnement ne fonctionne pas. On peut par exemple imaginer que la basse-cour abrite 3 lapins et 10 oies, écrire : ( 3 + 10 = 13 4 £ 3 + 2 £ 10 = 32 puis constater que le système que l’on doit résoudre dans ce cas est : (  +  = 13 4 + 2 = 32 Le raisonnement de l’élève revient maintenant à diviser 13 en 3 parties égales, puis dire qu’il existe 2 £ 133 ' 8 7 lapins, ce qui est absurde.


142

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS

Question 20.22 [26] Soit  un espace vectoriel de dimension …nie . Donner une dé…nition du déterminant de  vecteurs de  dans une base de . Question 20.23 [26] Soit  un espace vectoriel de dimension 3 sur le corps des réels. Soit ¤ l’espace vectoriel des formes 3-linéaires alternées sur . Montrer que dim ¤ = 1. Rappeler la dé…nition du déterminant d’un triplet de vec! ! ¡ ¡ ! ¡ teurs de  dans une base B = (      ) de . Question 20.24 [26] On considère un système linéaire  =  où  = ( ) est une matrice carrée inversible de taille ,  =  (1    ) est l’inconnue et où  =  (1    ) est donné. Montrez que ce système admet une unique solution, puis démontrez les formules de Cramer.

20.1.3

Questions C

Question 20.25 {[28] Q87} Dans le plan a¢ne, on considère trois droites  (1 ·  · 3) d’équations   +   +  = 0. Montrer que ces droites sont concourantes ou parallèles si et seulement si : ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 2 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ 3 3 3 ¯ Question 20.26 [30] On considère trois droites , 0 , 00 d’équations respectives  +  +  = 0, 0  + 0  + 0 = 0, et 00  + 00  + 00 = 0. On rappelle que trois droites sont dites concourantes au sens strict si leur intersection est un singleton. a) Trouvez une condition nécessaire et su¢sante portant sur les coe¢cients , , , 0 , 0 , 0 , 00 , 00 , 00 pour que ces trois droites soient concourantes au sens strict. Montrer que cette condition exprime la nullité d’un déterminant 3 £ 3. b) En déduire une condition nécessaire et su¢sante pour que trois droites soient concourantes ou parallèles. Question 20.27 [26] Soit  un espace vectoriel de dimension …nie  muni d’une base  = (1    ). Soit  un endomorphisme de . Montrer que pour tout (1    ) 2   on a det ((1 )  ( )) = det  £ det (1    ).

20.2

Simulation du 10 avril 2013

Voici quelques remarques qui me sont venues à l’esprit après avoir écouté une simulation sur la leçon sur les systèmes d’équations et d’inéquations le 10 avril 2013. Cela permettra de prendre conscience de certains écueils.


20.2. SIMULATION DU 10 AVRIL 2013

143

Le plan proposé par la candidate est bon : Prérequis – Résolution d’une équation du premier degré à une inconnue. Plan – I. Systèmes de deux équations [linéaires] à deux inconnues 1. Equations à deux inconnues (dé…nition d’un couple solution) 2. Méthodes de résolution d’un système d’équations à deux inconnues 3. Exemple II. Systèmes d’équations linéaires 3 £ 3, méthode du pivot de Gauss III. Systèmes d’inéquations, exemples IV. Introduction à la programmation linéaire, exercices Une remarque cependant : on n’a pas proposé su¢samment d’exemples de résolution de systèmes linéaires 2 £ 2 de façon à couvrir les trois cas possibles. Mais ce n’est pas grave puisque l’entretien a montré ensuite que la candidate savait qu’un tel système pouvait avoir : - une seule solution (système de Cramer : on va s’empresser de lui poser la question de montrer les formules de Cramer, voir la Question 20.17 dans le cas 2 £ 2, et la Question 20.24 dans le cas général) ; - aucune solution ;

- ou encore une in…nité de solutions.

20.2.1

Montrer les équivalences dans le pivot de Gauss

La candidate expose la méthode de Gauss sur un exemple. Tout est correct. Pendant l’entretien, je lui pose la question suivante : Question — Comment montrez-vous les équivalences entre les systèmes linéaires que vous avez écrits ? La candidate est surprise (il ne faudrait pas : voilà une question facile à poser sur laquelle on est tenu d’avoir une réponse claire et précise, être surpris revient à montrer qu’on ne s’est pas vraiment posé la question au moins une fois dans sa scolarité) puis explique que dans un sens c’est évident : à partir d’un système on peut en déduire un autre en faisant des combinaisons linéaires de lignes (bonne réponse). Réciproquement, elle hésite et …nir par ra…stoler quelque chose qui convient à son système. Je lui pose alors une seconde question : Question — A partir d’un système, est-on certain d’écrire un système équivalent si l’on remplace une des lignes par une combinaison linéaire de toutes les lignes ?


144

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS

La candidate répond oui. Je peux répliquer que c’est pourtant faux... Pour conserver l’équivalence il faut prendre garde de remplacer une ligne  par une combinaison linéaire 1 1 +  +   des lignes où le coe¢cient  de  n’est pas nul, sinon on perd tout ce que contient l’information donnée dans  . Entre nous, il y a un moyen simple de répondre qu’on conserve les équivalences quand on utilise la méthode de Gauss. Dans le cas d’un système 3 £ 3, on peut écrire que l’on a toujours : 8 8  = 0 1 = 0 > > 1 < < 2 = 0 , 2 ¡ 1 = 0 > > : : 3 = 0 3 ¡ 1 = 0 quels que soient les réels  et , et l’expliquer à l’oral en partant du système de gauche pour aboutir au système de droite, puis en recommençant dans l’autre sens. Faites-le en formulant vos phrases complètement : c’est un bon entraînement et il faudra passer par là si cette question vous est vraiment posée à l’oral le jour J. C’est en s’entraînant à expliquer à haute voix son raisonnement que l’on aura plus de facilité pour répondre de façon structurée au jury le jour du concours. L’équivalence apparaît alors vraiment comme évidente et très facile à expliquer ! Et cela peut être expliqué à un élève. Le jury pourra d’ailleurs poser la question de manière di¤érente en mettant l’accent sur la transmission du savoir aux élèves, par exemple en disant : Question — Vous dites que les divers systèmes écrits lorsqu’on applique la méthode de Gauss, sont équivalents. Que répondriezvous à un élève qui vous demanderait pourquoi ? La réponse est la même.

20.2.2

Une droite partage le plan en deux demi-plans

Dans la partie III de sa leçon, la candidate explique comment la droite d’équation 3 ¡ 2 ¡ 1 permet de tracer la partie du plan formée des points de coordonnées ( ) tels que 3 ¡ 2 ¡ 1 ¸ 0, puis propose le résultat suivant : Théorème — Soit  une droite d’équation  +  +  = 0. Cette droite partage le plan en deux demi-plans 1 et 2 tels que : ( 1 = f ( )   +  +  ¸ 0g 2 = f ( )   +  +  · 0g


20.2. SIMULATION DU 10 AVRIL 2013

145

Pendant l’entretien qui a suivi l’exposé, j’ai posé quelques questions sur ce résultat, m’attendant à obtenir des précisions. Vu l’étonnement de la candidate et l’absence de réponses, j’ai …ni par seulement nous donner une droite  par son équation, disons 2 ¡ 5 + 7 = 0, puis demander d’énoncer une CNS pour que  +  +  = 0 soit une équation de . La candidate a encore été prise de court par cette question classique, et il a fallu la guider pour …nalement arriver à la conclusion. Moralité : ce n’est pas parce qu’on expose une leçon sur les systèmes d’inéquation qu’il faut oublier ce que l’on sait sur les droites du plan. Pour l’entraînement, voici quelques questions que j’ai bien envie de poser au sujet du Théorème précédent : 1. Montrez que 1 est un demi-plan. 2. Pourquoi ce nom « demi-plan » ? 3. Qu’est-ce qu’un demi-plan ? 4. Etes-vous certaine que la partie 1 ne dépende que de la droite  ? (Il faut expliquer pourquoi changer d’équation de  ou même changer de repère pour exprimer une équation de , n’in‡ue pas sur les parties 1 et 2 . En [28], Question 55, on montre l’indépendance de la dé…nition avec l’équation utilisée dans un repère …xé. Pour démontrer l’indépendance avec le repère, on peut simplement penser au régionnement du plan par la médiatrice d’un segment, voir [28], Question 398.) 5. Peut-on caractériser un demi-plan autrement qu’en donnant une inéquation du type  +  +  ¸ 0 ? (Penser encore au régionnement du plan par la médiatrice d’un segment : [28], Question 398.) 6. Connaissez-vous quelques propriétés des demi-plans ? (Les propriétés à bien connaître, et à utiliser à l’écrit, font l’objet des Questions 56, 57 et 58 de [28].) Finalement cette leçon peut être l’excuse pour poser des questions sur les demi-plans et le régionnement du plan associé à la médiatrice d’un segment, et demander de démontrer ce que l’on a¢rmera.

20.2.3

Optimiser un béné…ce

La candidate expose un exercice d’optimisation proposé dans un manuel du secondaire. Une société emploie des menuisiers qui construisent des bu¤ets et des tables, avec un certain nombre de contraintes : la durée de découpe et


146

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS

de …nition n’est pas la même pour les bu¤ets et les tables, etc. Elle arrive au système d’inéquations suivant : 8 ¸0 > > > < ¸0 () >  +  · 18 > > :  + 3 · 39

où  désigne le nombre de bu¤ets et  celui des tables que l’on peut fabriquer chaque mois. Puis elle détermine la partie P du plan qui véri…e ces contraintes. C’est l’intérieur d’un polygone . Jusque-là tout est juste et bien fait. L’exercice demande ensuite de maximiser les béné…ces. A partir des données de l’énoncé, la candidate calcule la fonction  qui à ( ) associe le béné…ce tiré de la production de  bu¤ets et  tables, et trouve :  ( ) = 200 + 300 Elle explique ensuite que le béné…ce sera maximum quand ( ) correspond au point . C’est un peu obscur : on entend parler du coe¢cient 300 de  qui est supérieur à 200, puis d’essais sur divers points qui sont à chaque fois des sommets du polygone P. Evidemment, pendant l’entretien je pose la question de savoir pourquoi le maximum de  ( ) est atteint au point  et pas ailleurs. Là on m’explique à nouveau que les autres sommets donnent des résultats moindres. J’insiste en faisant remarquer qu’il ne su¢t pas de tester la fonction  en chacun des sommets du polygone, mais qu’il faudrait le faire sur une in…nité de points, tous les points de l’intérieur du polygone. Et là, il n’y a pas de réponse. Je demande de démontrer convenablement que le maximum est bien atteint là où la candidate l’attend. Rien n’est proposé. On touche ici à quelque chose de primordiale dans cette leçon : il faut savoir expliquer exactement pourquoi  ( ) devient maximum en un certain sommet du polygone des contraintes car le jury demandera de le prouver. Il demandera même d’expliquer son raisonnement comme on pourrait le faire devant une classe pour expliquer cette méthode. Ce point est à savoir avant d’exposer cette leçon à l’oral du CAPES. La réponse est graphique, ce qui justi…e d’ailleurs la construction du polygone des contraintes : s’il ne servait à rien, on ne le dessinerait pas ! On peut expliquer que l’on trace la droite ¢ d’équation  ( ) = 0, et que les lignes de niveaux de la fonction  sont des droites parallèles à ¢. En e¤et,


20.3. COMPLÉMENTS

147

si  2 R, la ligne de niveau : ¢ = f( ) 2 R2   ( ) = g est une droite parallèle à ¢, et on peut montrer que  est d’autant plus grand (en valeur absolue) que ¢ est éloignée de ¢ (Ind. : utiliser le graphique et calculer par exemple l’ordonnée à l’origine des droites ¢ ). Il su¢t donc de tracer sur le graphique une droite ¢ parallèle à ¢ qui coupe P et qui est la plus éloignée possible de ¢. On voit que cette droite passe par . Travaillez bien cette question. Expliquer comment on maximise  sur le polygone P est essentiel et le jury n’admettra pas que l’on n’ait rien à dire pour démontrer ce que l’on a a¢rmé.

20.3

Compléments

20.3.1

Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61]

Son intitulé incite à sortir du cadre linéaire (équations ou inéquations s’y ramenant, mais aussi équations ou inéquations trigonométriques). Les exemples proposés doivent illustrer des méthodes de résolution di¤érentes.

20.3.2

Une dé…nition à critiquer

Ä Au tout début de la présentation de son plan , le candidat écrit scrupuleusement ceci au tableau : Dé…nition 1 – Un système d’équations est un ensemble d’au moins deux équations faisant appel aux mêmes inconnues, que l’on peut résoudre à l’aide de diverses stratégies. Résoudre un système d’équations, c’est trouver tous les couples solutions de toutes les équations du système. A la …n de l’exposé, le jury lui demande de relire cette dé…nition et de la critiquer. Pas de réponse... Ainsi un système qui ne peut pas être résolu en utilisant « diverses stratégies » ne méritera pas le nom de « système » ! Comment l’appeler alors ? De plus il existe énormément de systèmes que l’on ne sait pas résoudre, et où les seules stratégies qui permettent d’obtenir des solutions consistent à chercher des valeurs approchées en utilisant la puissance de calcul des ordinateurs. Ce ne sont pas des systèmes ? Manifestement, le candidat ne pensait qu’aux systèmes linéaires où il existe des méthodes de résolution, mais le titre de la leçon demande de parler de systèmes d’équations quelconques. Il faut faire très attention aux dé…nitions que l’on propose dans son exposé !


148

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS

20.3.3

Compte rendu d’oral 1 de 2017

Voici le compte rendu d’un oral 1 de la session 2017 gentiment envoyé par un candidat, qui nous permettra de mieux comprendre le déroulement d’un oral sur les systèmes d’équations. Pour le 1er oral, j’ai eu le couplage entre les leçons « Systèmes d’équations et systèmes d’inéquations ; exemples de résolution » et « Géométrie vectorielle dans le plan et dans l’espace ». Aucune de ces leçons ne me dérangeais. J’ai pris la première et j’ai proposé le plan suivant : Dé…nition d’un système d’équation, en précisant qu’il pouvait y avoir un couple unique de solutions, ou une in…nité de solutions, ou encore aucune solution suivant la valeur de ab’-a’b Résolution par substitution. Résolution par combinaison linéaire. Résolution graphique (j’avais préparé un exemple sur GeoGebra). Résolution avec les matrices. Résolution d’un système de 2 équations avec 3 inconnues. Je pose z=t de sorte que l’on aboutisse à une équation paramétrique d’une droite. Je passe ensuite aux systèmes d’inéquations et à la méthode graphique de régionnement du plan (je n’en connais pas d’autre). J’ai proposé un très bel exercice avec GeoGebra, dont je suis assez …er car je ne me suis mis à étudier ce logiciel que depuis seulement deux mois). Je me déplace pour aller exposer. A ce moment-là monte le jury m’indique que je n’ai aucune photo sur le disque et je m’aperçois avec stupeur et stress que mes deux GeoGebra ont disparu ! Je ne peux pas savoir si ils me croient ou non. . . Je commence donc. Au bout de deux lignes je m’aperçois que j’ai oublié les prérequis, et je les marque en expliquant que c’est dû au stress des images qui ont disparues. Je continue mon exposé et au bout de 15 min, je n’avais pas encore commencé à parler des inéquations. Je saute donc le système 2,3 et j’explique comment résoudre graphiquement un système d’inéquations, mais sans GeoGebra je ne peux pas faire grand-chose si ce n’est expliquer oralement comment cela se résout graphiquement. Il me reste deux minutes, j’en pro…te pour parler du système 2,3. Je sais que ce n’est pas très rigoureux mais je voulais faire un maximum de choses. J’ai réagis suivant mon stress suite à la perte de mes données numériques. L’entretien commence : 1) Expliquer cette condition sur ab’-a’b. Les 3 cas correspondent à quelles …gures sur un graphique ? Pour l’origine de la condition sur ab’-a’b ; je leur demande si je peux parler de vecteurs colinéaires, et le jury répond que je peux


20.3. COMPLÉMENTS

149

utiliser ce que je désire, donc j’utilise les coe¢cients directeurs des équations réduites. Le jury est satisfait. 2) Dans ma résolution avec les matrices je trouve la solution (¡2 5). On me demande de la résoudre dans le corps des complexes. Je pose  =  +  avec  en partie réelle et  en partie imaginaire, mais je m’aperçois que je devrais résoudre soit par substitution, soit par combinaison linéaire. Je dis donc que je n’ai pas compris la question. On me dit alors d’exprimer ma solution dans le corps des complexes et je leur dit -2+5i. Je pense que c’est seulement ce qu’ils voulaient car ils sont passés à autre chose. Ce qui est di¢cile dans ces interrogations orales, c’est de comprendre la question posée, mais j’ai pu véri…er que le jury reformule facilement la question quand il s’aperçoit que le candidat ne la comprend pas. 3) Pour la résolution du système 2,3, le jury me demande si on est obligé de poser z=t. Je leur dis que oui, ou alots il faut poser x=t, ou y=t. On me demande ce que je ferais s’il n’y avait pas de z. Je réponds qu’on revient à un système dans le plan, puis d’autres choses dont je ne me rappelle plus bien. Je ne réponds pas toujours au quart de tour. 4) Le jury me demande de chercher l’intersection de 2 cercles C( 1) avec C( 2) avec (1 2) je crois. J’écris les équations des cercles, je simpli…e, et j’arrive à une équation de droites et là je suis bloqué car je m’attendais à trouver deux points. Voyant que je ré‡échis, on m’incite à utiliser Geogebra. Question piège : si je réussis alors ils peuvent me croire pour les captures d’écran disparues de Geogebra, sinon on me prendra pour un menteur. . . Je réussis facilement à construire les cercles et faire a¢cher les intersections : je suis très content. On me demande de retrouver ces solutions dans mon équation de droite, ce que je fais. Ensuite le jury revient à la charge pour la résolution algébrique de la recherche de l’intersection de ces deux cercles. Je reste bloqué. On me donne une indication : le jury a donc vu où était blocage. Il me demande si je peux retrouver la droite que j’ai obtenue sur le graphique. Je leur dis que c’est la droite passant par les deux points que je cherche. Cela se termine en leur disant que j’étais désolé, que tout cela m’avait stressé. . . Le jury insiste pour dire que la perte des captures d’écran n’était pas grave car ils ont remarqué que je maîtrisais Geogebra (ce sont leurs mots). Je termine cette épreuve en restant optimiste je ne pense pas avoir 18, mais plutôt 10 ou 12. J’ai trouvé ce jury très coopératif. REMARQUES DE DJM - Le candidat a obtenu 6,6/20 après les ajustements d’usage. L’impossibilité de chercher algébriquement l’intersection de deux cercles dont on connaît les équations a dû peser lourd dans le jugement du jury. Pour résoudre un système d’équations formé par deux équations de


150

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS

cercles (donc du second degré en x et y), on doit faire attention à utiliser des équivalences ! Or le candidat a simpli…é au maximum, jusqu’à obtenir une équation de droite. Etre solution du système originel implique d’appartenir à la droite qu’il a trouvé, et le candidat n’a jamais pensé à la réciproque. Il était bien ennuyé pour comprendre d’où venait cette di¢culté, et il n’a pas su répondre. Pour résumé, le candidat a écrit une succession d’implications pour aboutir à une équation de droite, sans jamais se demander si l’équation de la droite impliquait le système donné au départ. Cela montre un défaut de raisonnement très courant et très sanctionné par les jurys de mathématiques, puisque raisonner juste est très important dans notre discipline. Il faudra retravailler ce passage avant de représenter l’oral. Si l’on pense à conserver l’équivalence, on est sauvé ! Je remercie ce candidat pour ce compte rendu qui me permet d’avertir les autres futurs candidats sur l’importance de raisonner juste quand on résout des systèmes d’équations. Personnellement, je poserai cette question sur l’intersection de deux cercles dans les simulations que je ferai passer l’année prochaine.

20.3.4

Un oral réussi de 2017

Voici le compte rendu d’un excellent oral que l’on retrouvera avec la partie oral 2 sur le blog de MégaMaths en [7] : Comme 90% de ma préparation aux oraux du CAPES de maths se résument en la lecture et l’approfondissement de votre livre en libre access, il me paraît tout à fait légitime, à mon tour, de vous raconter mes oraux pour que les futurs admissibles puissent béné…cier de la même chose. Je pense qu’un point important à soulever, dans les oraux du capes, c’est qu’il faut se préparer à patienter. . . beaucoup. Finalement, le stress est principalement dû aux longues heures d’attentes dans la salle d’attente du lycée de Nancy. Pour peu que vous arriviez vous-même quelques minutes avant l’heure de convocation, vous allez en passer, du temps à regarder l’horloge en stressant. Bref, nous entrons dans la salle de préparation pour une convocation à la première épreuve à 13h30. Je tire au hasard sur les sujets : « Systèmes d’équation et d’inéquations ; méthodes de résolution » et « Problèmes d’alignement, de parallélisme ou d’intersection ». Rassurée par le tirage, je choisis la première leçon que je pense maîtriser relativement bien, ayant assisté en tant qu’auditrice libre à quelques séances de préparation de leçons, dont celle-ci. Je suis en dernière année de thèse de physique appliquée - relativement loin des maths mais étant passée par une …lière de classe prépa PTSI-PT j’ai des restes ! Ça tombe bien.


20.3. COMPLÉMENTS

151

Je n’ai pas préparé le plan mais il s’instaure tout seul : 1) Systèmes d’équations, on y distinguera les systèmes linéaires, avec interprétations géométriques à chaque fois [NDA : pour aller plus loin, et si on maîtrise le sujet, pourquoi ne pas donner un exemple de système lié à l’intersection d’une droite et encore d’une parabole, ou d’une hyperbole et d’une conique quelconque données par leurs équations cartésiennes, la première pouvant toujours admettre une équation de la forme  = 1 dans un repère a¢ne ad hoc]. 2) Systèmes d’inéquation, idem en parlant de demi-plan, de demi-espace. 3) Exemples de résolution. On distinguera la substitution, la combinaison (sur un même exemple très simple du second degré), et on précisera qu’en hors programme on pourrait parler du pivot de Gauss et des formules de Cramer (tendre une perche au jury quand on connaît les formules, ce n’est que du bonus je pense). Je m’applique sur le raisonnement mathématique. La leçon se passe bien, je …nis par présenter un exercice lu sur Megamaths dont je me souvenais approximativement l’énoncé : une histoire de bu¤ets et de tables, dont la fabrication et la …nition dure un certain nombre d’heures, et une histoire d’optimisation de béné…ces. L’énoncé est approximatif mais le raisonnement est bien là. J’utilise Geogebra et l’exercice me paraît très adapté. Je termine l’exposé 3 min en avance. On me pose d’abord quelques questions sur l’exercice des bu¤ets. Bingo, j’avais tout bien prévu. On me pose la question des formules de Cramer, bingo encore. On me demande la résolution d’un système du style x+PGCD(x,y)=3 et x+3y=5. Je galère mais j’entame un raisonnement par substitution, avec leur aide. On me demande comment on résoudrait un système du type x’=3x+5y et y’ = 2x+9y. Je réponds que je ne sais pas, j’aurais tendance à passer par un système matriciel mais je ne vois pas trop où aller avec. On m’encourage à aller dans ce sens, on me pousse un peu à parler diagonalisation. Il est l’heure de sortir. Je suis con…ante, le jury s’est montré très sympathique, il me semble que j’ai relativement bien géré la leçon et surtout, j’ai eu beaucoup de chance au tirage au sort. J’ai eu 19, je ne m’attendais pas à tant !


152

CHAPITRE 20. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS, D’INÉQUATIONS


Chapitre 21

Droites dans le plan. Droites et plans dans l’espace. ¶ Questions extraites du vol. 4 de la collection ORAL CAPES MATHS paru en juin 2017 [45]. Les réponses, un exposé-type d’oral 1 et deux chapitres de cours sur les droites et les plans sont inclus dans ce volume, permettant de l’utiliser très tôt dans sa préparation en visant l’écrit autant que l’oral du concours.

21.1

Questions A+

21.1.1

Droites dans le plan

¡ ! Question 21.1 Peut-on dire que deux vecteurs !  et ¡  d’un espace vectoriel ! ! sont colinéaires si, et seulement si, il existe un scalaire  tel que ¡  = ¡  ? Expliquez. Question 21.2 Qu’est-ce qu’une droite ? Question 21.3 (Ecrit du CAPLP 2016) Dans un repère du plan, toute droite possède-t-elle une équation de la forme  =  +  ? Question 21.4 Dé…nir la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite. Question 21.5 Quelle interprétation géométrique peut-on donner de la pente d’une droite ? Question 21.6 (Oral du CAPES 2012) On se place au niveau de la classe de seconde, donc on demande de n’utiliser que des connaissances du collège. 153


154

CHAPITRE 21. DROITES ET PLANS

a) Comment justi…er à ce niveau que toute droite  du plan possède une équation de la forme  +  +  = 0 avec ( ) 6= (0 0) ? b) Réciproquement, comment justi…er que toute équation de ce type représente une droite ? Question 21.7 Une situation de proportionnalité équivaut à un certain alignement de points sur une droite. Pouvez-vous expliquer cela puis le démontrer ? On commencera par rappeler quand deux suites sont dites proportionnelles. Question 21.8 Quel lien existe-t-il entre la proportionnalité de deux suites …nies (1    ) et (1    ) de réels et la notion de colinéarité dans R ? Question 21.9 D’où vient l’adjectif « cartésien » utilisé par exemple dans l’expression : « équation cartésienne » ? Question 21.10 Comment passer d’une représentation paramétrique d’une droite du plan à une équation cartésienne de celle-ci ? Question 21.11 Enoncez deux dé…nitions possibles de la médiatrice d’un segment. Démontrez que ces dé…nitions sont équivalentes. Question 21.12 Cette dé…nition vous semble-t-elle acceptable : « La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants au segment » ? Question 21.13 Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Trouver une équation cartésienne de la médiatrice du segment [] d’extrémités  (1 3) et  (5 ¡2). Question 21.14 Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, montrer que la distance d’un point  (0  0 ) à la droite  d’équation  +  +  = 0 est : j0 + 0 + j p  d ( ) = 2 + 2 Question 21.15 (Oral du CAPES interne 2005) Soient  et 0 deux droites sécantes données par des équations cartésiennes dans un repère orthonormal. Déterminez une équation de chacune des bissectrices du couple ( 0 ). Question 21.16 Discutez la position relative d’une droite et d’un cercle dans le plan. Justi…ez ensuite vos a¢rmations.


21.1. QUESTIONS A+

21.1.2

155

Droites et plans dans l’espace

Question 21.17 Comment expliquer la position relative d’une droite et d’un plan à ses élèves ? Question 21.18 Pouvez-vous donner deux règles importantes de la perspective cavalière ? Question 21.19 Tracez deux plans sécants au tableau et à main levée. [Le jury peut aussi demander de tracer un cube, un pavé droit, deux plans perpendiculaires, etc.] Question 21.20 Montrer qu’une droite ne peut pas être incluse dans une sphère ou une boule. Question 21.21 Soient  et 0 deux droites de l’espace. Démontrer que toute droite ¢ incluses dans  [ 0 est égale à  ou à 0 . Question 21.22 Dans un espace a¢ne de dimension 3, comment faire pour obtenir une équation cartésienne d’un plan ? Question 21.23 Toutes les équations de plans a¢nes dans l’espace R3 de dimension 3 sont-elles de la forme ++ + = 0 avec (  ) 6= (0 0 0) ? Question 21.24 Qu’appelle-t-on « équations cartésiennes » d’une droite dans un espace de dimension 3 ? [On remarquera que le pluriel dans « équations cartésiennes » ne s’entend pas à l’oral !] Question 21.25 Donnez une condition nécessaire et su¢sante portant sur les coordonnées de quatre points , , ,  de l’espace a¢ne R3 pour que ces quatre points soient coplanaires. Justi…ez. Question 21.26 Pouvez-vous rapidement donner une équation du plan  passant par les points  (2 5 0), (0 1 ¡6) et (0 4 9) ? Question 21.27 Déterminez une équation cartésienne du plan passant par le ! ! ! ! point  (5 8 ¡3), de direction Vect(¡ ¡  ) où ¡  (8 7 0) et ¡  (¡2 2 1). Question 21.28 La partie P de R3 dé…nie par l’équation cartésienne 2 +  2 = 1 dans un repère orthonormal est-elle un plan ? Justi…ez votre réponse. Comment s’appelle P ? Question 21.29 Dans l’espace de dimension trois, peut-on dire que deux droites sont strictement parallèles si, et seulement si, elles ne se coupent pas ?


156

CHAPITRE 21. DROITES ET PLANS

Question 21.30 Démontrer que deux plans non parallèles de l’espace de dimension trois s’interceptent toujours suivant une droite. Question 21.31 Soit  le plan d’équation 2 + 3 + 5 = 0. Que peut-on dire de lui ? Cherchez un repère orthonormal de  . Connaissez-vous une forme linéaire sur R3 qui dé…nisse  ? Question 21.32 Soient  et 0 deux droites de l’espace de dimension trois. On suppose que  et 0 ne sont pas parallèles et que  \ 0 = ?. Montrer que  et 0 ne sont pas coplanaires. ! Question 21.33 On considère une droite  = ( ¡  ) une droite et un plan ! ¡ ! ¡  =  (    ). Proposez une CNS pour avoir l’inclusion  ½  . Justi…ez. Question 21.34 Dans l’espace de dimension trois, une droite  n’est pas parallèle à un plan  . Démontrer que  \  est un singleton. Question 21.35 Si deux points distincts  et  appartiennent à un même plan  , expliquez pourquoi la droite entière () est incluse dans ce plan. Question 21.36 Si deux plans sont parallèles, montrer que tout plan qui coupe l’un coupe l’autre, et que les droites d’intersection sont parallèles. Question 21.37 Pouvez-vous démontrer le théorème du toit qui s’énonce ainsi : si deux plans strictement sécants sont parallèles à une même droite ¢, alors leur droite d’intersection est parallèle à ¢. Question 21.38 Pouvez-vous énoncer le théorème de la perpendiculaire commune ? Le démontrer ? Question 21.39 Deux droites peuvent-elles être perpendiculaires dans l’espace de dimension 3 ? De façon générale, quand dit-on que deux sous-espaces a¢nes sont perpendiculaires ? Expliquez... Question 21.40 Dans l’espace de dimension 3, deux droites peuvent-elles être orthogonales sans être perpendiculaires ? Expliquez. Question 21.41 Quand dit-on que deux sous-espaces vectoriels de R ( 2 N¤ ) sont orthogonaux ? perpendiculaires ? Même question s’il s’agit de sousespaces a¢nes. Question 21.42 Quand dit-on qu’une droite de R3 est verticale ? horizontale ?


21.1. QUESTIONS A+

157

Question 21.43 Montrer qu’une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes contenues dans ce plan. Question 21.44 Montrer qu’une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes contenues dans ce plan. Question 21.45 Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l’un estelle orthogonale à toute droite de l’autre ? Question 21.46 Soient  et  deux points distincts d’un espace a¢ne euclidien. Montrez qu’il existe une et une seule ré‡exion qui échange les points  et . Déterminez-là. Question 21.47 Donnez deux dé…nitions possibles du plan médiateur d’un segment. Question 21.48 Soient  et  deux points distincts d’un espace a¢ne euclidien  de dimension 3. Soit  le plan orthogonal à () et passant par le milieu  de []. Le plan  partage l’espace en deux demi-espaces ouverts :  contenant , et  contenant . Montrer que : 8 > <  = f 2    =  g  = f 2     g > :  = f 2     g 

Question 21.49 Comment dé…nir le plan médiateur d’un segment ? Proposez deux dé…nitions équivalentes. Question 21.50 Soient , , ,  quatre points non coplanaires de l’espqace. Montrer qu’un point  de l’espace est parfaitement déterminé par les distances , , , . A quoi sert cette propriété dans la pratique ? Question 21.51 Dans un tétraèdre régulier, montrer que deux arêtes opposées sont orthogonales. Question 21.52 Dans l’espace de dimension 3, on considère une droite  et deux points  et  distincts et n’appartenant à . Si  est un point de , on trace le centre de gravité  du triangle  . Déterminer le lieu des points  lorsque le point  décrit . Question 21.53 (Oral 2 du CAPES externe 2011) Dessinez un cube en perspectif à main levée au tableau. Nommez les sommets comme vous désirez.


158

CHAPITRE 21. DROITES ET PLANS

Tracez les milieux , ,  des arêtes... [nommer les arêtes pour obtenir le dessin ci-dessous aux notations près]. Les points , ,  sont-ils alignés ? D' A'

C'

B' +

D

J

A

I

21.2

Questions A

21.2.1

Droites dans le plan

K C

B

Question 21.54 Soient  une fonction de R dans R, et C sa représentation graphique. Qu’appelle-t-on asymptote de C ? Dans la pratique, comment fait-on pour déterminer une asymptote de C ? Justi…ez.

21.2.2

Droites et plans dans l’espace

Question 21.55 On considère un cube  . a) Quelle est la nature du triangle  ? b) Calculer le volume du tétraèdre . b) Calculer le volume du polyèdre  . H E

G

F D

A

C B

Question 21.56 (Oral du CAPES externe 2010) On considère les plan  et  d’équations  ¡  + 2 ¡ 1 = 0 et ¡2 + 4 ¡ 4 + 1 = 0. a) Montrer que ces plans se coupent suivant une droite  dont on déterminera une équation paramétrique. b) Donner un vecteur directeur de  sans passer par sa représentation paramétrique.


21.3. QUESTIONS B

159

Question 21.57 Montrer que les droites : 8 8 > > < =1¡ <  = ¡4 +   = 2 + 2  2 R  = 4 + 2 ¢: : > > : :  =1+  =2+

 2 R.

sont coplanaires.

Question 21.58 Un parallélépipède rectangle est dessiné en perspective, posé sur un plan  horizontal. Un peu en arrière de ce parallélépipède, on trace un segment vertical [] ( est au-dessus de ). Une lampe est placée en , à la verticale du point  qui est supposé appartenir à  . Tracer l’ombre du parallélépipède sur la table. M

E

D

H F

G C

A B P

21.3

Questions B

21.3.1

Droites dans le plan

Question 21.59 Dans un plan a¢ne euclidien P rapporté à un repère or! ¡ ¡ ! thonormal (    ), on considère les droites  et ¢ d’équations respectives  +  = 0 et  ¡  = 0. Donnez une transformation  évidente du plan qui transforme  en ¢. Existe-t-il d’autres transformations du plan qui transforme  en ¢ ? Combien ?

21.3.2

Droites et plans dans l’espace

Question 21.60 L’espace est rapporté à un repère orthonormal. Soient  le ! plan d’équation  +  +  +  = 0,  un point de  , et ¡  un vecteur non


160

CHAPITRE 21. DROITES ET PLANS

nul orthogonal à  . Montrer que la distance d’un point  (0  0  0 ) à  est : ¡¡! ! j¡ j j0 + 0 + 0 + j p =  d (  ) = ! ¡ jj  jj 2 + 2 + 2 Question 21.61 Tracer la section du cube ci-dessous avec le plan ¦ passant par le milieu  de [] et parallèle au plan (). Justi…ez la construction. H E

A

F D

+

I

G

C

B

Question 21.62 Trouver une équation du plan  passant par  (3 ¡1 0) et contenant la droite  d’équations cartésiennes : (  ¡ 8 = 3 2 +  ¡  = 0 Question 21.63 On travaille dans un espace a¢ne de dimension trois. Comment peut-on prévoir rapidement la position relative de deux plans  et  0 en regardant uniquement les coe¢cients de leurs équations cartésiennes ? Question 21.64 On se place dans un espace de dimension trois. On demande de montrer les deux propriétés suivantes : a) Si deux plans  et  sont parallèles et si  coupe un plan  suivant une droite , alors  coupe  suivant une droite  parallèle à . b) Deux plans parallèles  et  coupent deux autres plans parallèles  et  suivant des droites  =  \  et ¢ =  \ . Montrer que  et ¢ sont parallèles. Question 21.65 Vous avez tendance à utiliser les termes « équations paramétriques » au lieu de « représentation paramétrique » lorsque vous parlez d’une droite ou d’un plan. Quelle expression devrions-nous choisir en terminale ? Expliquer...


21.4. QUESTIONS C

161

Question 21.66 (Ecrit du CAPLP externe 2010) Dans l’espace a¢ne eucli! ¡ ¡ ! dien rapporté à un repère orthonormal (    ), on note  le plan d’équation ! ! ¡ ¡ ! ¡ ! 2 +  ¡  + 1 = 0 et  la droite de vecteur directeur ¡  =  ¡  +  et passant par le point  de coordonnées (1 1 4). Peut-on dire que le plan  et la droite  ont un unique point commun ? Justi…ez votre réponse. Question 21.67 On considère deux droites ¢ et  données par leurs représentations paramétriques : 8 8 > > <  = 3 + 5 <  = 2 + 7  =2+  = 5 + 3  2 R. ¢: 2R : > > : :  = 7 ¡ 6  = 1 ¡ 4

Déterminer le lieu des milieux des segments [] quand  et  décrivent respectivement ¢ et . Question 21.68 Dans l’espace de dimension 3, on considère deux droites ¢ et  non coplanaires. Déterminer le lieu des milieux des segments [] quand  et  décrivent respectivement ¢ et  ? Question 21.69 Dans l’espace de dimension 3, on considère un plan  et une droite  en position générale. Déterminer le lieu des milieux des segments [] quand  et  décrivent respectivement  et . Que dire de ce lieu si l’on remplace  par un plan ¦ non parallèle à  ?

21.4

Questions C

21.4.1

Droites dans le plan

Question 21.70 Quel est l’ensemble des points du plan équidistants : a) d’un point et d’une droite ? b) de deux points distincts ? c) d’un cercle et d’une droite non sécante à ce cercle ? Question 21.71 Soient  et 0 deux droites distinctes d’équations respectives  +  +  = 0 et 0  + 0  + 0 = 0. Soit 00 une troisième droite. Montrer que les droites , 0 et 00 sont parallèles ou concourantes si, et seulement si, il existe deux réels ,  non simultanément nuls tels que 00 admette l’équation :  ( +  + ) +  (0  + 0  + 0 ) = 0 ().


162

21.4.2

CHAPITRE 21. DROITES ET PLANS

Droites et plans dans l’espace

Question 21.72 Soient  et  deux sous-espaces a¢nes d’un espace af! ¡ ! ¡ …ne ,  passant par  et de direction  ,  passant par  et de direction . ¡ ¡! ¡ ! ¡ ! Montrer que l’intersection  \ n’est pas vide si et seulement si  2  + , ! ¡ ¡ ! et que, dans ce cas,  \  est un sous-espace a¢ne de direction  \ . Question 21.73 Soit  un espace vectoriel (non nécessairement de dimension …nie). Soit  un sous-espace vectoriel de . Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)  est le noyau d’une forme linéaire non nulle. (ii) Il existe une droite  telle que  =  © . Comment appelle-t-on  dans ce cas ? Si  est de dimension …nie, quelle est la dimension de  ? Question 21.74 Soit  un espace vectoriel sur le corps commutatif , non nécessairement de dimension …nie. Si  est un hyperplan de , montrer que pour tout vecteur  n’appartenant pas à , on a  =  © . Question 21.75 On considère un espace vectoriel . Montrer que deux formes linéaires sur  dé…nissent le même hyperplan si et seulement si elles sont proportionnelles. On proposera une solution lorsque  est de dimension quelconque, éventuellement in…nie, et une autre solution quand dim  = 3. Question 21.76 Soit  un espace vectoriel sur R de dimension 3 rapporté à une base B = (1  2  3 ). On considère les formes linéaires  et 0 dé…nies par  (  ) =  +  +  et 0 (  ) = 0  + 0  + 0 . Montrer que  et 0 sont proportionnelles si et seulement si les suites (  ) et (0  0  0 ) le sont. Question 21.77 Si  et  sont deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel  de dimension …nie, montrer que : dim( + ) = dim  + dim  ¡ dim( \ ) Question 21.78 Dans un espace vectoriel  de dimension …nie, on considère  hyperplans 1 , ...,  dé…nis comme les noyaux des formes linéaires non nulles 1 , ...,  . a) Quelle est la dimension de l’intersection 1 \  \  ? b) Avez-vous une idée de la façon dont on peut démontrer cette formule ? Question 21.79 Que représente la partie de l’espace dé…nie par le système () ci-dessous ? On proposera une vue de cette partie en perspective cavalière.


21.4. QUESTIONS C

163 8 0··4 > > > < 0··4 () > 0··4 > > : ++ ·8

Question 21.80 Dans l’espace, on considère deux parallélogrammes  et 0  0  0 0 , et l’on trace les milieux , ,  et  des segments [0 ], [ 0 ], [ 0 ] et [0 ], a) Montrer que  est un parallélogramme. b) Montrer que les centres de symétrie , 0 et ­ des trois parallélogrammes , 0  0  0 0 et  sont alignés. Question 21.81 On considère trois droites , 0 , 00 d’équations respectives  +  +  = 0, 0  + 0  + 0 = 0, et 00  + 00  + 00 = 0. On rappelle que trois droites sont dites concourantes au sens strict si leur intersection est un singleton. a) Trouvez une condition nécessaire et su¢sante portant sur les coe¢cients , , , 0 , 0 , 0 , 00 , 00 , 00 pour que ces trois droites soient concourantes au sens strict. Montrer que cette condition exprime la nullité d’un déterminant 3 £ 3. b) En déduire une condition nécessaire et su¢sante pour que trois droites soient concourantes ou parallèles. Question 21.82 Si  et  désignent des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel , que représente  + ? Proposez deux dé…nitions possibles de  + et démontrez qu’elles sont équivalentes. Question 21.83 Montrer qu’un endomorphisme d’un espace vectoriel  laisse stable toutes les droites vectorielles si et seulement si c’est une homothétie. Question 21.84 Soit  un espace vectoriel. Montrer qu’un endomorphisme de  commute avec tous les endomorphismes de  si et seulement si c’est une homothétie. Quel est le centre du groupe linéaire GL() ? Question 21.85 Etant donnés deux plans a¢nes 1 et 2 d’équations respectives  () =   +   +   +  = 0 (1 ·  · 2) se coupant suivant une droite , et un plan  d’équation  () =  +  +  +  = 0, montrer l’équivalence :  ½  , 91  2 2 R

 = 1 1 + 2 2 


164

CHAPITRE 21. DROITES ET PLANS

Question 21.86 (Trilatération) Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, on considère les points  (¡4 ¡3),  (5 ¡2) et  (¡2 4). On désire calculer les coordonnées du point  du plan tel que  ' 5 39,  ' 4 12 et  ' 5 83 (on suppose que ce point  existe). a) Décrire une méthode pour répondre à cette question. b) Commencez les calculs au tableau en arrondissant les nombres que vous devrez élever au carré à l’entier le plus proche [NB : le jury passera à autre chose dès qu’il verra que les calculs sont bien menés].


Chapitre 22

Transformations du plan, frises & pavages ¶ Les questions suivantes sont extraites du vol. 3 de la collection LEÇONS CAPES MATHS [48] où l’on pourra retrouver des réponses détaillées et commentées dans l’esprit de l’oral du CAPES, un exposé-type, le développement qui correspond à l’exposé, des rappels du programme et de copieux rappels de cours pour obtenir un bon recul sur cette leçon correspondant au niveau de première année du master. Comme d’habitude, les questions A+ et A sont à travailler en priorité, et l’on peut laisser de côté les questions C tant que l’on n’a pas traité la grande majorité des autres leçons d’oral 1 du concours.

22.1

Questions A+

Question 22.1 (Oral du CAPES externe 2006) Pouvez-vous rappeler la dé…nition d’une symétrie axiale telle qu’on la donnerait en collège ? Comment manipuler la notion de symétrie axiale à ce niveau d’enseignement ? Question 22.2 Soient  et  deux points distincts du plan. Montrez qu’il existe une et une seule ré‡exion qui échange les points  et . Question 22.3 En utilisant uniquement la dé…nition d’une translation, démontrer qu’une translation transforme toute droite  en une droite 0 parallèle à .

165


166

CHAPITRE 22. TRANSFORMATIONS DU PLAN

Question 22.4 On entend parfois dire qu’une symétrie est involutive. Qu’estce que cela signi…e ? Question 22.5 Quand dit-on qu’une droite  est un axe de symétrie d’une partie ¡ du plan ? Question 22.6 Soient ¡ une partie du plan et  une symétrie axiale d’axe . On suppose que  (¡) ½ ¡. Cela su¢t-il pour a¢rmer que  est un axe de symétrie de ¡ ? Question 22.7 Démontrer que deux droites symétriques par rapport à une droite ¢ sont parallèles ou se coupent en un point appartenant à ¢. Question 22.8 Une partie ¡ du plan peut-elle posséder deux axes de symétrie ? Plus de deux axes de symétrie ? Existe-t-il des …gures possédant exactement 1000 axes de symétrie ? Question 22.9 Une partie ¡ du plan possède deux axes de symétrie perpendiculaires se coupant en . Que peut-on dire de  ? Question 22.10 Quelle est l’image d’un cercle de centre  et de rayon  par une similitude  de rapport  ? Démontrez-le. Question 22.11 a) Pouvez-vous dé…nir ce qu’est une rotation du plan ? b) Démontrez qu’une rotation conserve les distances. Question 22.12 (Oral du CAPES externe 2006) Pouvez-vous donner une dé…nition d’une isométrie ? Question 22.13 Démontrez qu’une isométrie plane conserve les angles géométriques de demi-droites. Question 22.14 Montrez qu’un cercle admet un unique centre de symétrie. Question 22.15 Soit C un cercle de centre  et de rayon . Montrez qu’une droite est un axe de symétrie de C si et seulement si elle contient . Question 22.16 Soit C un cercle de centre . D’un point  du plan on a abaissé les deux tangentes au cercle C qui s’appuient sur C en  et  0 . Montrer que  =   0 et que () est une bissectrice intérieure du triangle  0 .


22.1. QUESTIONS A+

167

Question 22.17 Donnez le catalogue de toutes les isométries a¢nes du plan. On ne demande pas de démonstration, mais on veut disposer d’une description géométrique complète de ces isométries. Question 22.18 Soit  une application d’un plan a¢ne euclidien  dans lui-même. On suppose que  conserve les distances. Sans avoir recours à la notion d’application a¢ne, donc en utilisant uniquement la conservation des distances, démontrer que : a)  est injective. b)  transforme un segment en un segment, une demi-droite en une demidroite, et une droite en une droite. c)  est bijective. Question 22.19 Déterminez toutes les symétries axiales qui échangent deux droites sécantes du plan. Question 22.20 a) Proposez deux dé…nitions des bissectrices d’un couple de droites sécantes. b) Démontrez que ces dé…nitions sont équivalentes. Question 22.21 Déterminez toutes les symétries axiales qui échangent deux demi-droites de même origine. Question 22.22 Pouvez-vous dé…nir la bissectrice d’un couple de demi-droites sans utiliser d’angles ? Question 22.23 a) Proposez deux dé…nitions des bissectrices d’un couple de demi-droites. b) Démontrez que ces dé…nitions sont équivalentes. b d’un triQuestion 22.24 Qu’appelle-t-on bissectrice intérieure de l’angle  b? angle  ? Et bissectrice extérieure de  Question 22.25 Tracez les bissectrices d’un couple de droites sécantes à la règle et au compas. Justi…ez votre construction.

Question 22.26 Tracez la médiatrice d’un segment à la règle et au compas. Justi…ez votre construction. Question 22.27 Tracez la perpendiculaire à une droite  donnée passant par un point  donné en utilisant uniquement la règle et le compas. Justi…ez votre construction.


168

CHAPITRE 22. TRANSFORMATIONS DU PLAN

Question 22.28 Quelle est la nature de la composée  = 0 ±  de deux ré‡exions a¢nes planes par rapport à des droites 0 et  parallèles ? Construire les éléments géométriques qui caractérisent  . Enoncer et démontrer une réciproque. Question 22.29 Quelle est la nature de la composée  = 0 ±  de deux ré‡exions a¢nes planes par rapport à des droites 0 et  sécantes en un point ­ ? Construire les éléments géométriques qui caractérisent . Enoncer et démontrer une réciproque. Question 22.30 Le plan R2 est muni de sa structure usuelle de plan euclidien. Soient 1 et 2 les applications linéaires de matrices respectives dans la base canonique de R2 : µ ¶ µ ¶ 0 1 ¡1 0 1 = et 2 =  1 0 0 1 a) Nature géométrique de 1 et 2 ? b) Nature géométrique de 1 ± 2 et 2 ± 1 ? Question 22.31 Soient  une isométrie d’un plan P et F une partie de P. Si  est un centre de symétrie de F, montrez que  () est un centre de symétrie de (F). Question 22.32 Donnez l’expression complexe d’une translation. Question 22.33 Donnez l’expression complexe de la symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Même question pour la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Question 22.34 Donnez l’expression complexe d’une rotation plane. Question 22.35 Montrer qu’une translation (resp. une ré‡exion, une rotation plane) transforme un parallélogramme en un parallélogramme, un carré en un carré, un hexagone régulier en un hexagone régulier. Question 22.36 Soit  2 R. Comment démontrer que la courbe représentative d’une application  de R dans R dans un repère orthonormal est : a) symétrique par rapport au point ( ()) ? b) symétrique par rapport à la droite verticale d’équation  =  ? Ces résultats restent-ils vrais si le repère n’est plus orthonormal ?


22.1. QUESTIONS A+

169

Question 22.37 (Expression analytique d’une ré‡exion plane) On travaille dans un plan a¢ne euclidien. Déterminer l’expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à la droite  d’équation  + 2 ¡ 3 = 0. Question 22.38 Quelle est la forme générale de l’expression analytique d’une ! ¡ ¡ ! isométrie plane dans un repère orthonormal R = (    ) du plan ? Quelle est l’expression analytique de la ré‡exion  par rapport au premier axe de coordonnées ? De la rotation  de centre  amenant le point de coordonnées (1 0) sur le point de coordonnées (0 1) ? Question 22.39 Un plan a¢ne euclidien orienté est rapporté à un repère ! ¡ ¡ ! orthonormal direct (    ). Soit  la rotation de centre ­ (1 0) et d’angle 3. Soit  un point de coordonnées ( ). Exprimer les coordonnées (0   0 ) de  () en fonction de celles de . ! ¡ ¡ ! Question 22.40 Dans le plan muni d’un repère orthonormal (    ), on considère la partie E d’équation cartésienne : 2  2 + = 1 16 9

a) Montrer que E est une partie bornée du plan. b) Montrer que les axes () et () du repère sont des axes de symétrie de E, puis que  est un centre de symétrie de E. c) Démontrer que E n’admet pas d’autres centres de symétrie que . Question 22.41 Pouvez-vous dé…nir ce qu’est un polygone ? Un polygone régulier ? Un polygone régulier convexe ? Question 22.42 Soit  2 Z.

a) Quelle est la nature géométrique de l’application : µ ¶ µ ¶  +  : R2 ! R2 ; 7!    b) Quelle est la nature géométrique de l’application : µ ¶ µ ¶  ¡ +  2 2  : R ! R ; 7!   ¡ c) Si  et  sont des entiers relatifs, décrire la composée  ±  .


170

22.2

CHAPITRE 22. TRANSFORMATIONS DU PLAN

Questions A

Question 22.43 Tracez un parallélogramme  et notez  l’intersection de ses diagonales. Tracez le cercle C de centre  passant par . Les droites () et () recoupent C en  et . Que dire du segment [ ] ?

Question 22.44 Tracez un parallélogramme  de centre . Une droite ¢ passant par , coupe [] en  et [] en . On demande de comparer les segments [] et [].

Question 22.45 (Régionnement du plan par une médiatrice) Soient  et  deux points distincts du plan. La médiatrice ¢ de [] permet de dé…nir une partition du plan en trois parties. a) Dites-nous de quelles parties il s’agit. b) Caractérisez ces parties en utilisant des distances. c) Démontrez ces caractérisations. Question 22.46 Est-il toujours possible de paver un rectangle avec des carrés identiques ? Dans la négative, proposez une condition nécessaire et su¢sante pour qu’il en soit ainsi. Question 22.47 Soient ( 0 ) et (¢, ¢0 ) deux couples de droites parallèles dans un plan. On suppose que  coupe ¢. Soit  un point. Déterminer les droites  qui passent par  et coupent les droites , 0 , ¢, ¢0 en ,  0 , ¡¡¡! ¡¡! ,  0 tels que  0 =  0 .


22.3. QUESTIONS B

171

Question 22.48 Montrer que l’ensemble des points équidistants de deux droites sécantes  et 0 est la réunion des bissectrices du couple ( 0 ). Question 22.49 Quel est l’ensemble des points du plan situés à égale distance de deux demi-droites de même origine [) et [) ? Démontrez-le.

22.3

Questions B

Question 22.50 Quelle est la forme complexe d’une isométrie plane ? Question 22.51 Un parallélogramme peut-il avoir deux centres de symétrie ? Plus généralement, le support C = Im  d’un chemin continu  : [0 1] ! P dans un plan P peut-il posséder deux centres de symétrie ? Question 22.52 Tracez deux droites  et 0 sécantes en . Choisissez un point  sur , et un point  sur 0 . Dessinez les projetés orthogonaux  0 et  0 de  et  respectivement sur  et 0 . Tracez la bissectrice ¢ du couple de demi-droites ([) [ 0 )). a) Tracez le symétrique 0 de  par rapport à ¢, puis le symétrique 00 de  0 par rapport à ¢. Que peut-on dire du segment [0 00 ] ? b) En déduire que :  0  0 =  (y)   c) A quoi peut servir cette démonstration en collège ?

N0

D

N'

M

O

M'

N'0

N

D'

Question 22.53 On travaille dans un plan P. On dit qu’une application  de P dans P est une similitude directe si elle s’écrit comme une composée de translations, de rotations et d’homothéties. Soient , , ,  quatre points du plan tels que  6=  et  6= . Montrer qu’il existe une et une seule similitude directe qui transforme  en  et  en .


172

CHAPITRE 22. TRANSFORMATIONS DU PLAN

22.4

Questions C

Question 22.54 Deux cercles ont même rayon et se coupent en  et . Une droite passant par  recoupe le premier cercle en  , le second en . Montrer que le triangle  est isocèle. On pourra utiliser la symétrie par rapport au milieu ­ de [] et le point  = ­ ().

Question 22.55 (Oral du CAPES externe 2009) On se place dans un plan a¢ne euclidien P. a) Montrer qu’une isométrie qui admet trois points non alignés invariants est l’identité. b) Montrer qu’une isométrie distincte de l’identité qui admet deux points distincts  et  invariants est la ré‡exion par rapport à la droite (). c) Montrer qu’une isométrie qui possède un unique point invariant ­ est la composée de deux ré‡exions d’axes passant par ­. d) Montrer qu’une isométrie sans points invariants est soit une translation de vecteur non nul, soit la composée de trois ré‡exions. e) Montrer qu’une isométrie plane est la composée d’au plus trois ré‡exions. Question 22.56 (Oral du CAPES externe 2008) Dans un plan a¢ne euclidien, on considère une symétrie  par rapport à une droite  parallèlement à une droite ¢. Montrer que  conserve les distances si et seulement si  est orthogonale à ¢. Les questions qui suivent vont plus loin dans la connaissance des isométries a¢nes. Certains savoirs mis en jeu font partie du programme de la première épreuve écrite du CAPES externe pour l’option mathématiques de la session 2018, et il semble raisonnable qu’un futur professeur de mathématiques connaisse certaines de ces propriétés. Cela peut motiver un questionnement à l’oral au détour d’un entretien pour mesurer l’étendue des connaissances du candidat. Néanmoins, ces questions ne sont pas à traiter en priorité pour préparer le CAPES. Elles permettent d’approfondir sa connaissance du sujet.


22.4. QUESTIONS C

173

Question 22.57 (Conservation des barycentres) On considère une isométrie plane, c’est-à-dire une application du plan dans le plan qui conserve les distances. Sans utiliser autre chose que cette dé…nition : a) Montrer que les isométries conservent les barycentres de deux points. b) En déduire que les isométries conservent les barycentres. Question 22.58 (Isométries conservant une partie) Soit  une partie d’un espace a¢ne euclidien . On note Is ( ) (resp. Is+ ( ), Is¡ ( ) l’ensemble des isométries (resp. positives, négatives) laissant  globalement invariante. Montrer que (Is ( )  ±) est un groupe, que Is+ ( ) est un sous-groupe de Is ( ), et que, s’il existe  2 Is¡ ( ), alors l’application : ª : Is+ ( ) ! Is¡ ( )  7!  ±  est une bijection de Is+ ( ) sur Is¡ ( ). Que peut-on en déduire pour notre stratégie de recherche de Is ( ) ? Question 22.59 Montrer que toute isométrie  qui laisse invariante une partie …nie laisse invariant l’isobarycentre des points de cette partie. En déduire les seules natures possibles des isométries planes laissant une partie …nie invariante. Question 22.60 Déterminer le groupe des isométries planes qui laissent un triangle non isocèle  invariant. Question 22.61 Déterminer toutes les isométries du plan qui laissent invariant un triangle  isocèle en  (mais non équilatéral). Question 22.62 Déterminer les isométries du plan qui laissent un triangle équilatéral  invariant. Question 22.63 Déterminer toutes les isométries du plan qui laissent invariant un quadrilatère qui n’est pas un parallélogramme. Question 22.64 Déterminer les isométries du plan qui laissent invariant un parallélogramme (qui n’est ni un rectangle, ni un losange). Question 22.65 Déterminer les isométries du plan qui laissent invariant un losange (qui n’est pas un carré).


174

CHAPITRE 22. TRANSFORMATIONS DU PLAN

D C

A C

D O A 2 rotations

B

D

C

A

B

2 rotations et 2 symétries

B

D

A

J

C

4 rotations et 4 symétries

I

B

2 rotations et 2 symétries

Vue d’ensemble des isométries d’un quadrilatère Question 22.66 Déterminer les isométries du plan qui laissent invariant un rectangle (qui n’est pas un carré). Question 22.67 Déterminer les isométries du plan qui laissent un carré invariant. Question 22.68 Déterminer les isométries du plan qui conservent un polygone régulier à  sommets ( ¸ 3).


Chapitre 23

Cercles Cette leçon a disparue à la session 2017. Les questions seront à supprimer ou à placer dans des rubriques ad hoc.

23.1

Questions

23.1.1

Questions A

Question 23.1 [30] Soient , ,  trois points distincts et alignés. Montrer qu’il n’existe pas de cercle qui passe par ces trois points. Question 23.2 [28] Montrer que tout segment inclus dans un disque fermé est de longueur inférieure au diamètre du disque. Question 23.3 (Oral du CAPES 2015) Dessiner le patron d’un cône de révolution de hauteur  et de rayon du disque de base . Question 23.4 [30] Montrez que, par trois points non alignés, on peut faire passer un cercle et un seul. Question 23.5 [30] Montrez qu’un cercle admet un unique centre de symétrie. Question 23.6 [30] Soit C un cercle de centre  et de rayon . Montrez qu’une droite est un axe de symétrie de C si et seulement si elle contient . Question 23.7 Les équations cartésiennes d’un cercle sont-elles toutes de la forme  ( ) = 0 où  est une fonction polynomiale de degré 2 en  et  ? Question 23.8 D’où vient l’adjectif « cartésien » dans « équation cartésienne » ? 175


176

CHAPITRE 23. CERCLES

Question 23.9 Peut-on trouver une équation cartésienne d’un cercle qui soit de la forme  ( ) = 0 où  est une fonction polynomiale du premier degré en  et  ? Question 23.10 (Oral du CAPES 2010) Montrer que deux cercles qui possèdent deux points communs  et , et une tangente commune en , sont égaux. Question 23.11 [36] En restant au niveau du collège, démontrer que le cercle de diamètre [] est égal à l’ensemble des points  tels que le triangle  est rectangle en . Question 23.12 [28] Enoncez et démontrez le résultat concernant l’intersection d’une droite et d’un cercle. Question 23.13 [28] Enoncez et démontrez le résultat concernant l’intersection de deux cercles. L’existence d’un point  à l’intersection de deux cercles donnés de centres  et 0 équivaut à la constructibilité d’un triangle 0 de longueurs imposées, si bien que la Question 23.13 nous ramène tout de suite au problème de savoir si un certain triangle est constructible ou pas. L’occasion est o¤erte pour poser la Question 23.14 qui est loin d’être évidente et qui laisse un mauvais arrière-goût si on ne sait pas y répondre lors d’une interrogation orale : Question 23.14 [28] Enoncez une CNS pour qu’un triangle de côtés de longueurs imposées , ,  (   2 R¤+ ) soit constructible. Démontrez-là. Question 23.15 [28] Soit C un cercle de centre  et de rayon   0. Soit  un point du plan. Combien peut-on abaisser de tangentes à C issues de  ? Proposer une construction à la règle et au compas de ces tangentes quand cela est possible. Question 23.16 Toutes les équations de cercles sont-elles nécessairement de la forme ( ¡ 0 )2 + ( ¡ 0 )2 = 2 ? Question 23.17 A quoi ressemble une équation de sphère dans R3 ? Question 23.18 [34] (Ecrit du CAPLP 2016) p Vrai ou faux : dans un repère ! ! orthonormal ( ¡ ¡  ), la droite d’équation 3+ = 2 est tangente au cercle d’équation 2 +  2 = 1. Justi…er sa réponse.


23.1. QUESTIONS

177

Question 23.19 (Un candidat au CAPES 1994 communique) Mon expérience remonte à loin mais me semble intéressante. Interrogé sur le cercle à l’oral 1, le jury m’a posé les questions suivantes en me guidant pour la première (et a sans doute décidé que je maitrisais le sujet car j’ai obtenu 19/20) : a) Qu’appelle t-on cercles orthogonaux ? b) Donner une condition nécessaire puis su¢sante pour qu’ils le soient.

23.1.2

Questions B

Question 23.20 (Ecrit du CAPES interne 2008) Soit C un cercle de centre  et de rayon  strictement positif. Soit  un point de C, et 00 le point diamétralement opposé à . Soit  un point de C distinct de  et 00 . Soit en…n ¡ le cercle de centre  et de rayon  = . Montrer que ¡ coupe C en deux point distincts. Question 23.21 [28] Enoncez le Théorème de l’angle inscrit. Démontrez-le. Question 23.22 [29] On veut démontrer le Théorème de l’angle inscrit en utilisant des angles géométriques comme on pourrait le faire en troisième. a) Sur la fig. 23.1, évaluer tous les angles accessibles en fonction de , , \ = 2. \ . En déduire que  b) Y a-t-il d’autres cas de …gures à envisager ? Expliquer.

Fig. 23.1 – Avec des angles géométriques Question 23.23 [28] Montrer que le symétrique de l’orthocentre d’un triangle par rapport à l’un des côtés du triangle appartient au cercle circonscrit au triangle. ¡! ¡¡! Question 23.24 Quel est le nom de l’angle ( ) ?


178

CHAPITRE 23. CERCLES

Question 23.25 Que doit-on dire : que deux angles inscrits « intersectent » ou « interceptent » le même arc ? Réponse — Un petit tour sur le dictionnaire permettra de voir qu’on peut dire ou l’un, ou l’autre. - Le verbe « intersecter » existe bien, et signi…e « couper ». En géométrie, on parle par exemple d’un plan qui intersecte un cône pour donner une conique. On peut même employer le participe passé et parler de plans intersectés par une sphère, de droites intersectées, etc. - « Intercepter un arc », c’est le « couper », avoir une « intersection » avec lui. Ainsi, comme le disent Roux & Miellou dans leur ouvrage de géométrie de 1946 : « deux arcs égaux sont interceptés par des angles au centre égaux ».

23.1.3

Questions C

Question 23.26 [28] Montrer qu’une tangente  à un cercle coupe celui-ci en un seul point. Question 23.27 [28] Montrer qu’un cercle est toujours inclus dans le demiplan fermé de frontière l’une de ses tangentes et contenant son centre. Question 23.28 [28] Montrer qu’un disque est un ensemble convexe. Que peut-on en déduire concernant l’intersection d’un disque et d’une droite ? Question 23.29 [28] (Oral 2 du CAPES externe 2006) L’espace  est rap! ¡ ¡ ! ! ¡ porté à un repère orthonormal (      ). On considère l’ensemble : S = f (  ) 2   2 +  2 +  2 ¡ 4 + 2 + 1 = 0g a) Montrer que S est une sphère. Déterminer son centre  et son rayon. b) Montrer que le plan P d’équation  +  ¡  ¡ 1 = 0 coupe S. c) Déterminer le rayon du cercle C intersection de P et S, puis les coordonnées de son centre ­.

23.2

Sur le terrain

Voici quelques exemples de la façon dont le jury mène le débat, tirés de [23] : 1. Le candidat parle de deux cercles C et C’ de rayons  et 0 tels que 0  0  . Il note  et 0 les deux centres. Le candidat traite quatre cas : cercles sécants en deux points, cercles tangents à l’extérieur, cercles disjoints


23.2. SUR LE TERRAIN

179

(selon que l’un est à l’intérieur de l’autre ou pas) selon la position de la distance entre les deux centres 0 par rapport à  ¡ 0 et  + 0 . Est-ce que tous les cas possibles sont bien là ? 2. Vous avez traité les cas où 0    0 . Et si  = 0 ? 3. Est-ce que vous pouvez démontrer ces résultats énoncés ? 4. Le candidat précise les positions possibles d’une droite et d’un cercle en fonction du rayon  du cercle et de la distance  du centre du cercle à la droite. Pouvez-vous donner une démonstration du résultat dans le cas où    ? I Questions posées à un autre candidat : 1. Quel repère utilisez-vous dans l’exposé ? 2. Démontrer précisément la proposition menant à l’équation cartésienne d’un cercle. 3. Reprenons les positions relatives de deux cercles. Quel est le lien avec l’inégalité triangulaire ? 5. L’exposé comprend une partie intitulée "Point de vue analytique". Il y est énoncé qu’un point  appartient à deux cercles C et C 0 si et seulement si ses coordonnées  et  véri…ent les équations des deux cercles qui sont rappelées. L’étude des con…gurations possibles s’appuie sur l’étude de ces équations. Un argument simple permet-il de borner le nombre de solutions de l’intersection des deux cercles ? ... Comment déterminer ces intersections en pratique ? Par substitution, on peut exprimer  en fonction de ... Et quel genre d’équation obtient-on ? I Et voici les souvenirs d’un candidat 2007 : 1. Pouvez-vous nous donner les prérequis pour votre exposé ? 2. Le candidat se rappelle avoir selon ses termes saboté une preuve pour …nir l’exposé dans les temps. On lui demande : Pouvez-vous reprendre cette preuve ? 2

3. L’intersection de la droite d’équation  = 3 ¡ 7 et du cercle d’équation + 2 ¡ 6 + 4 ¡ 39 = 0 est-elle vide ?


180

CHAPITRE 23. CERCLES


Chapitre 24

Solides de l’espace et volumes 24.1

Questions

24.1.1

Questions A

Question 24.1 Qu’est-ce qu’un dièdre ? Un dièdre est-il convexe ? Un tétraèdre est-il convexe ? Question 24.2 Comment mesurer le volume d’un solide en faisant une exprérience de physique ? Et en utilisant un algorithme ? Indication — a) En le plongeant dans un liquide placé dans un récipient gradué et en mesurant l’augmentation du niveau du liquide, penser à Archimède. b) On peut modéliser le volume, choisir des points dedans pour le triangulariser (faire un maillage en …l de fer) puis voir ce volume comme la réunion d’un certain nombres de tétraèdres dont on sait calculer les volumes. Question 24.3 (Oral du CAPES 2016) Démontrez la formule donnant le volume d’un cône de révolution. [Voir Section 24.3.1] Question 24.4 Démontrez la formule donnant le volume d’une boule. Question 24.5 Pouvez-vous dé…nir la frontière d’une partie  de R3 ? L’intérieur et l’extérieur d’une partie ? Théorème de passage des douanes ? Question 24.6 Connaissez-vous des propriétés des demi-espaces ? Indication — Voir l’exercice de TD où on dé…nit un demi-espace et où on démontre des propriétés intéressantes, en particulier la convexité. Question 24.7 Démontrer qu’un demi-espace est convexe. Est-il connexe ? 181


182

CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES

Question 24.8 Dessiner un parallélépipède non rectangle. Question 24.9 Pouvez-vous donner une dé…nition générale d’un cône et d’un cylindre ? Indication — On considère une courbe place C dessinée dans un plan  . Soit  un point n’appartenant pas à  . Le cône de sommet  et de courbe S directrice C est  = 2C (). Si  est une droite non parallèle à  , le S cylindre de courbe directrice C et de génératrice  est  = 2C ¢ où ¢ désigne la droite passant par  et parallèle à . Les cônes et les cylindres sont des surfaces réglées. Une surface réglée est surface par chaque point de laquelle passe une droite, appelée génératrice, contenue dans la surface.

Question 24.10 (Oral du CAPES 2015) Dessiner le patron d’un cône de révolution de hauteur  et de rayon du disque de base . Question 24.11 Convertir 1 cl en cm3 . Puis 1 ml en cm3 . Question 24.12 (Ecrit du CAPLP 2017) Quand on double le rayon d’une sphère, double-t-on la surface de cette sphère ? Question 24.13 Dessinez un cube à main levée au tableau et en perspective cavalière. Ce cube est posé sur un plan et l’on dessine une ampoule derrière lui sur la gauche. Dessinez l’ombre du cube sur le plan. Question 24.14 Enoncez les lois de la perspective cavalière.


24.1. QUESTIONS

183

Question 24.15 Qu’appelle-t-on solide de révolution. Question 24.16 Qu’appelle-t-on cylindre ? cône ? tétraèdre ? dièdre ? polyèdre ? [Pour polyèdre, voir Question 24.36.] Question 24.17 [30] Montrer que la section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle. Question 24.18 [30] Montrer que la section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à l’axe est un rectangle. Question 24.19 [30] (Ecrit du CAPLP externe 2013) La section d’un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 8 cm par un plan parallèle à son axe peut-elle être un carré ? Justi…ez. Question 24.20 [30] (Oral du CAPES 2008) On sait réaliser le patron d’un cube. Pouvez-vous nous présenter la construction d’un patron d’un cube surmonté d’une pyramide, comme si nous étions dans une sympathique classe de sixième ? Question 24.21 [34] (Ecrit du CAPLP 2016) Vrai ou faux : un cylindre a pour volume  , donc si on multiplie par 2 son diamètre, on doit diviser par 2 sa hauteur pour obtenir un cylindre de même volume  . Justi…er sa réponse. Question 24.22 [28] L’équation  2 = 2 dé…nit-elle un paraboloïde de l’espace de dimension 3 ? Proposez des équations de paraboloïdes dans R3 . Question 24.23 (Niveau seconde) Un parallélépipède rectangle possède des faces d’aires 500, 700 et 200 cm2 . Quel est son volume ? En déduire ses dimensions. Indication — On doit résoudre un système formé des trois équations à trois inconnues ,  et  suivantes :  £  = ,  £  =  et  £  = , où , ,  sont les aires données dans l’énoncé. On obtient  2 =  d’où la valeur de  . En remplaçant ensuite, on trouve  =  =  d’où , etc.

Question 24.24 [30] Que représente la partie de l’espace dé…nie par le système () ci-dessous ? On proposera une vue de cette partie en perspective ca8 valière. 0··4 > > > < 0··4 () > 0··4 > > : ++ ·8


184

CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES

Question 24.25 [30] (Oral 2 du CAPES externe 2011) Soient 0  0  0 0 un cube, et , ,  les milieux des arêtes [], [ 0 ] et [ 0 ]. D'

A'

C'

B' +

D

J

A

I

K C

B

1) Indiquer pour chacune des a¢rmations suivantes si elle est vraie ou fausse en justi…ant votre réponse : a) Les points , ,  sont alignés. b) Les droites () et (0 ) sont sécantes. c) Les droites () et (0 0 ) sont parallèles. d) Les droites () et () sont parallèles. 2) Commentez les réponses ci-dessous données par un élève : a) Les points , ,  ne sont pas alignés car il n’appartiennent pas tous au même plan. b) Les droites () et (0 ) sont sécantes car elles ne sont pas parallèles. c) 0 n’est pas sur la face 0  0 donc les droites () et (0 0 ) ne peuvent pas être parallèles. d) Les droites sont parallèles car elles appartiennent à deux plans parallèles. Question 24.26 (Boule immergée) Une boîte cylindrique de rayon 12 cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de 5 cm. On immerge une boule métallique dans ce récipient et on constate que la surface de l’eau est tangente à la boule. Soit  le rayon de la boule en millimètres. a) Montrer que 25 ·  · 120. b) Etablir une équation véri…ée par . c) Déterminer une valeur approchée de  à 0 1 mm près.. Indications — Il s’agit de l’exercice 52 p. 70 du manuel Sésamaths de TS [16]. L’énoncé du manuel indique que l’on obtient 3 ¡21600+540000 = 0, et pose la question suivante avant la question c) : montrer que l’équation véri…ée par  admet deux solutions positives  et  telles que 25 6 ·  · 26 et 125 ·  · 135 sans indiquer de méthode pour le calcul de . Il faudra donc être imaginatif et utiliser par exemple un grapheur ou balayer les intervalles [25 6 26] et [125 135] pour encadrer plus précisément les nombres  et .


24.1. QUESTIONS

185

Question 24.27 (Oral du CAPES 2016) On dispose d’un cylindre avec une boule de rayon  à l’intérieur. On ajoute une certaine quantité d’eau de façon à ce que la boule soit recouverte d’eau, et que le niveau d’eau soit tangent à la boule. Si on enlève la boule de rayon , peut-il exister une autre boule de rayon  6=  qui, plongée dans le même liquide, soit encore tangente à la surface de l’eau ? Question 24.28 [30] Un parallélépipède rectangle est dessiné en perspective, posé sur un plan  horizontal. Un peu en arrière de ce parallélépipède, on trace un segment vertical [] ( est au-dessus de ). Une lampe est placée en , à la verticale du point  qui est supposé appartenir à  . Tracer l’ombre du parallélépipède sur la table. M

E

D

H G

F

C A B P

Question 24.29 [30] Une pyramide à base rectangulaire  est posée sur un plan horizontal ¦ sur sa face . On choisit trois points  , ,  situés respectivement sur les arêtes [], [] et []. a) Tracer l’intersection des plans ( ) et ¦. b) Tracer l’intersection de la pyramide et du plan ( ). O

P R D A

C

Q B


186

CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES

Question 24.30 [30] La …gure ci-dessous représente un cube dont un coin a été coupé. On a choisi un point  sur une de ses arêtes. Tracer l’intersection du cube avec le plan passant par  et parallèle au plan ( ). H

U G

P E

R F

Q D C A B

Question 24.31 [30] Les points  et  de la …gure ci-dessous appartiennent aux faces  et  d’un tétraèdre . Comment faire pour construire l’intersection de la droite ( ) et du plan () ? A

P Q D B

C

Question 24.32 [30] Les points  , ,  de la …gure ci-dessous appartiennent respectivement aux faces ,  et  du tétraèdre . On demande de tracer la section du tétraèdre par le plan ( ). A

P B

Q

C

R

D


24.1. QUESTIONS

24.1.2

187

Questions B

Question 24.33 (Ecrit du CAPLP 2017) Dans l’espace muni d’un repère ! ! ¡ ¡ ! ¡ orthonormé (      ), on considère les points (3; 1; 1) et (¡2; 1; 0). Calculer l’aire du triangle . Question 24.34 Vous dé…nissez un solide de l’espace comme un ensemble de points situés à l’intérieur d’une partie fermée de l’espace. Que voulez-vous dire par « partie fermée » ? Voulez-vous parler d’une partie fermée pour la topologie de R3 ? Connaissez-vous le Théorème de passage des douanes ? Y-at-il un rapport ? Question 24.35 [30] (Oral 2 du CAPES externe 2012) La …gure ci-dessous représente un cube dont l’arête mesure 1 cm. On place les points , ,  sur les arêtes [ ], [ ], [ ] tels que   =   =   =  où  2 ]0 1]. a) Quelle est la nature du triangle  ? Preuve. b) Déterminer le volume du tétraèdre   en fonction de . c) La perpendiculaire menée par  au plan () coupe ce plan en un point . La hauteur   du tétraèdre   est-elle proportionnelle à la mesure de la longueur   ? On s’attachera à répondre à ces questions comme on le ferait devant des élèves de seconde.

Question 24.36 [30] Qu’est-ce qu’un polyèdre ? Pouvez-vous proposer une dé…nition ? Qu’appelle-t-on polyèdre convexe ? Réponse — On peut donner des dé…nitions plus ou moins originales suivant les buts poursuivis, par exemple pour éliminer certains solides pathologiques de Lhuilier ([22], [54]). En général, un polyèdre est : - un solide plein limité par des faces planes, - ou une surface constituée d’un système de polygones. On pose aussi :


188

CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES Dé…nition — Un polyèdre convexe (fermé) est une partie non vide et bornée de l’espace obtenue comme l’intersection d’un nombre …ni de demi-espaces fermés. Un point est un sommet du polyèdre s’il appartient à celui-ci et à l’intersection d’au moins trois frontières de demi-espaces fermés dé…nissant le polyèdre. Une arête du polyèdre est un segment joignant deux sommets et inclus dans l’une des frontières des demi-espaces fermés dé…nissant le polyèdre.

24.1.3

Questions C

Question 24.37 [28] Soit ¤ le cône d’équation 2 +  2 ¡  2 = 0 dans l’espace ! ! ¡ ¡ ! ¡ rapporté à un repère orthonormal (      ). Trouvez un plan  tel que ¤ \  soit respectivement un cercle, une hyperbole, ou encore une parabole. Peut-on trouver un plan  tel que ¤ \ soit une ellipse (sans être un cercle) ? Question 24.38 [28] (Ecrit du CAPES externe 2000) Par dé…nition, on ap¡ ¡! ¡! ¡¡! pelle volume du tétraèdre  le réel  = 16 j det(  )j, où le déterminant est considéré dans un base orthonormale de l’espace. Soit  le projeté orthogonal de  sur le plan (). On note aire () l’aire du triangle . Montrer que : 1  =  £ aire ()  3 Question 24.39 [30] Comment dé…nissez-vous un polyèdre régulier ? Réponse — Un polyèdre convexe non aplati est dit régulier si : - Sur chacun des sommets aboutissent le même nombre  d’arêtes ( ¸ 3), - Chacune des faces possède le même nombre  de côtés ( ¸ 3). Question 24.40 [30] Connaissez-vous les solides de Platon ? Combien en existe-t-il ? Comment s’appellent-t-ils ? Réponse — Il existe exactement 5 polyèdres réguliers convexes dessinés sur la fig. 24.1. On le démontre en utilisant la relation d’Euler  ¡  +  = 2. La preuve est facile à lire et proposée en [22]. Ces polyèdres « parfaits » apparaissent dans les discours de Platon, et sont naturellement appelés des polyèdres platoniciens. La preuve, facile à lire et proposée en [22], utilise la relation d’Euler  ¡  +  = 2.


24.2. PERSPECTIVE CAVALIÈRE

189

Fig. 24.1 – Les 5 solides platoniciens Question 24.41 [30] Connaissez-vous la relation qui lie le nombre de sommets, d’arêtes et de faces d’un polyèdre convexe ? Qu’appelle-t-on polyèdre eulérien ? Existe-t-il des polyèdres non eulériens ? Réponse — Si  désigne le nombre de sommets d’un polyèdre convexe (fermé et non aplati),  le nombre de ses arêtes et  le nombre de ses faces, la formule d’Euler s’écrit :  ¡  +  = 2 (¤) Euler propose cette formule mais n’arrive pas à la prouver. Une démonstration est proposée pour la première fois par Legendre en 1794. Un preuve très simple et très jolie (que l’on peut retrouver dans mon article intitulé Polyèdres eulériens et solides pathologiques [22]) est donnée par Cauchy en 1811. Un polyèdre eulérien est un polyèdre qui véri…e la relation (¤). Un polyèdre est dit pathologique s’il n’est pas eulérien. Il existe des polyèdres pathologiques, et des contre-exemples sont obtenus en prenant des polyèdres à structures multiples, des polyèdres à tunnels ou encore des polyèdres à cavités (fig. 24.2 et fig. 24.3).

24.2

Perspective cavalière

I La perspective cavalière permet de représenter des objets de l’espace sur une feuille en respectant deux règles :


190

CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES

a. Structures multiples pour ce polyèdre : S-A+F = 3

b. Un cadre S-A+F = 0

c. Une bibliothèque ! S-A+F = -n

Fig. 24.2 – Structures multiples et tunnels

a. Cubes imbriqués

b. Deux faces annulaires et un tunnel

Fig. 24.3 – Toujours avec des cubes... - la conservation du parallélisme, - la conservation des rapports de points alignés, et un certain nombre de conventions : - les segments cachés sont représentés en pointillés et les segments visibles en traits pleins. - deux droites sécantes sont représentées par deux droites sécantes, mais en revanche deux droites sécantes sur le dessin peuvent ne pas l’être réellement dans l’espace. - dans un plan frontal les grandeurs (angles, distances...) sont conservées, mais ce n’est pas le cas dans un plan non frontal où les grandeurs et l’orthogonalité sont faussées. - un plan est habituellement représenté par un parallélogramme, c’est-à-dire un rectangle fuyant vu en perspective, et il est important de savoir dessiner un plan de cette façon au tableau. Le jury peut très bien demander au candidat de tracer deux plans sécants au tableau, à main levée, et ne pas savoir répondre à cette attente peut facilement être considéré comme éliminatoire, qu’en pensez-


24.3. TÉMOIGNAGES

191

vous ? I Les Questions 24.28 à 24.32 montrent comment résoudre certains tracés en perspective cavalière, ce qui permet de mieux appréhender l’espace et de bien comprendre certains résultats importants concernant les interactions entre droites et plans. De tels exercices permettent d’utiliser ce que l’on sait des positions relatives des droites et des plans. Ils permettent d’utiliser des résultats cruciaux, et en particulier les trois propriétés suivantes qui ont été employées dans la quasitotalité des problèmes de tracés que l’on a traités : - Si deux points distincts ,  appartiennent à un même plan, la droite () est incluse dans ce plan. - Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre, et les droites d’intersection sont parallèles. - Si deux plans sécants sont parallèles à une droite , leur droite d’intersection est parallèle à  (théorème du toit). Les démonstrations de ces résultats sont considérées comme évidentes dans la plupart des cas, quand l’interlocuteur suppose que l’on connaît bien la structure a¢ne, mais il ne faut pas rester sans voix si l’on doit répondre à une demande d’explications au tableau pendant l’oral d’un concours. Il faut reprendre ses esprits, bien utiliser le cadre dans lequel on a envie de se placer, et raisonner comme dans les Questions 21.35, 21.36 et 21.37 du chapitre sur les droites et les plans.

24.3

Témoignages

24.3.1

De l’échec à la réussite

Le témoignage suivant [64] permet de comprendre ce que représente un oral du CAPES maths en évoquant deux expériences vécues par la même personne aux sessions 2015 et 2016 après avoir suivi deux préparations di¤érentes. Je remercie la candidate qui a fait l’e¤ort d’écrire ce texte pour me l’envoyer et me permettre de le di¤user pour les futurs candidats. Quand vous passerez les oraux du CAPES, pensez à m’envoyer vos comptes rendus. Même l’indication d’une seule question qui vous aura été posée par le jury m’intéresse et me permet de la collectionner quelque part : c’est un travail sur lequel je me suis attelé, aidez-moi ! Je laisse la parole à cette candidate issue des CPGE, formée à la physique, qui a raté complètement sa première tentative, mais a su réussir brillamment


192

CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES ses oraux dès le second essai. Le texte a été légèrement adapté et corrigé par mes soins pour obtenir la plus grande lisibilité, et donc pour le plaisir du lecteur.

Avant de commencer mon témoignage sur les oraux du CAPES, je vais un peu parler de mon cursus. J’ai fait deux ans de classe préparatoire (MPSI + PSI = équivalent L1 et L2 mathématiques), j’ai continué par une année d’école d’ingénieur inachevée, puis j’ai validé une L3 en physique. Par la suite j’ai fait une année de M1 MEEF Physique-Chimie (premier passage à l’oral du CAPES de math) et l’année d’après une année de M1 MEEF Mathématiques (second passage à l’oral du CAPES de math). Première expérience à l’oral : échec total ! Lors de mon année de M1 en physique chimie, je me suis inscrite au CAPES de mathématique ainsi que celui de physique-chimie. J’ai révisé toute l’année la physique-chimie et n’ai jamais ouvert un livre de math de l’année. A ma plus grande surprise j’ai été admissible en mathématiques et non en physique. J’étais donc prête à passer le CAPES de physique et non de mathématiques, et les oraux ne se déroulent pas du tout de la même manière. Lors de mon oral 1, je suis tombée sur les leçons Séries statistiques à une variable et Suites de nombres réels dé…nies par une relation de récurrence. N’ayant plus fait de probabilité/statistique depuis le lycée je me suis jetée sur le sujet Suites de nombres réels dé…nies par une relation de récurrence. Lorsque j’ai vu le terme récurrence, j’ai pensé au principe de récurrence, j’ai donc fait un oral complet sur le principe de récurrence au niveau terminal S, en présentant l’oral sous forme de séance comme on nous l’enseigne en M1 de physique. Le jury m’a écouté sagement et nous sommes passés à la démonstration. Ils m’ont demandé de faire la démonstration de l’inégalité (1 + ) ¸ 1 + , que j’ai su faire. Ensuite, ils sont revenus sur des exercices que j’avais proposé, Ils m’ont gentiment fait comprendre que certains exercices n’avaient aucun intérêt et que d’autres étaient faux, mais en discutant avec moi pour que je puisse défendre mes idées ou me rendre compte de mes erreurs. Comme mon sujet était les suites, ils ont …ni par me poser des questions sur les dé…nitions globales des suites, où je n’ai pas vraiment su répondre. En sortant de mon oral, j’étais très con…ante car je pensais avoir réussi mon développement et ma démonstration, puisque je ne savais pas que j’avais fait un hors-sujet total. Le jury était très agréable, souriant et rassurant. J’ai eu la note de 120 à cet oral. Pour mon oral 2, je suis tombée sur le thème Conjecture et démonstration. Je ne me souviens plus exactement du sujet, mais je n’arrivais pas à résoudre complètement l’énoncé. Je m’étais appuyée sur la correction d’un élève mais je


24.3. TÉMOIGNAGES

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sentais qu’il manquait quelque chose. Lors de mon développement, les membres du jury parlaient beaucoup entre eux, et de façon peu discrète, et l’un des membres envoyait des SMS et son téléphone vibrait sur la table. Le jury m’a posé des questions sur la correction de l’exercice auxquelles je ne savais pas répondre. J’essayais de répondre, j’avais faux, je leur disais que je ne savais pas et on se regardait. Les secondes étaient interminables ! On a …ni avec la fameuse question professionnelle, ils m’ont fait parler sur les établissements REP. J’ai dit qu’il y avait plus de moyens qui étaient mis en œuvre pour aider les élèves, que ce soit les sorties scolaires, les budgets déployés pour acheter des tablettes, des livres etc. J’ai rajouté qu’on devait être plus à l’écoute des élèves en REP. Qu’est-ce que je n’avais pas dit là ! On me dit immédiatement : « Parce que l’on ne doit pas être à l’écoute des autres élèves ? ». J’avais tendu le bâton pour me faire battre, donc j’ai essayé tant bien que mal de faire une pirouette en expliquant qu’il faut toujours être à l’écoute des élèves. Puis on m’a demandé le montant du budget qui était attribué pour les établissements REP. Je n’ai pas su répondre, et internet n’ont plus d’ailleurs. Le jury était froid, fatigué et pas agréable. En sortant, j’étais persuadée d’avoir loupé cet oral, et j’ai eu la note de 4. Seconde expérience à l’oral : suprême réussite ! Cette fois-ci je me suis inscrite en M1 MEEF Mathématiques, et je savais ce qui m’attendait. L’écrit ne me faisait pas vraiment peur. Dès la rentrée scolaire, j’ai préparé mes leçons petit à petit dès que j’avais le temps. Lorsque j’ai eu les résultats du CAPES, il devait me rester une petite quinzaine de leçons à terminer. J’avais toujours travaillé sur les mêmes livres que j’ai acheté à la rentrée : la collection BORDAS me plaît énormément. Lors de mon oral 1, je suis tombée sur le choix entre les leçons Lois uniformes lois exponentielles et Solides de l’espace et volume. J’ai choisi le second sujet. Je me suis placée en classe de première STD2A, car dans leur programme les élèves ont une partie réservée pour les solides. Pour mon plan je me suis inspirée largement de leur programme. I. Rappels dé…nitions Dé…nition : perspective cavalière Dé…nition : patron II. Représentation des solides simples 1. Cube (représentation sur Geogebra en 3D avec le patron + volume) 2. Prisme droit (représentation sur Geogebra en 3D avec le patron + volume) 3. Pyramide (représentation sur Geogebra en 3D avec le patron + volume) + Exercice de type première STD2A


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III. Section d’un solide simple 1. Cube (dé…nition + propriété) 2. Prisme (dé…nition + propriété) 3. Pyramide (dé…nition + propriété) + Exercice de type première STD2A IV. Autres solides 1. Cône de révolution (dé…nition, volume + section propriété et dé…nition) 2. Cylindre de révolution (dé…nition, volume + section propriété et dé…nition) Je suis arrivée devant la salle de passage, il y avait une femme et deux hommes, la femme était très agréable et m’expliquait que le jury allait parler mais c’était au sujet de mon exposé. J’attendais que mes dossiers (PPT et Geogebra) s’ouvrent, et j’explique que cela va prendre quelques minutes. Un des hommes me répond froidement que le temps de parole a commencé depuis que je suis rentrée dans la salle. Je décide donc de commencer et expose mon plan au tableau, puis je fais des allers-retours sur le PC qui a en…n ouvert les …chiers. Mon oral semble bien se passer... On me demande la démonstration du volume d’un cône de révolution, que j’ai su faire (méthode d’intégration de disques). La dame me demande d’expliquer mon choix de plan et de niveau d’enseignement, puis on passe aux exercices. Les membres du jury ne parlent pas de mes exercices mais m’en proposent un autre. Le jury reste assez tendu et froid. L’homme commence à me dicter le début de l’énoncé, j’arrête d’écrire, le regarde et …nis la …n de l’énoncé. Le jury rit car je connais l’énoncé par cœur ! On dispose d’un cylindre avec une boule à l’intérieur, on ajoute une certaine quantité d’eau de façon à ce que la boule soit recouverte d’eau, et que le niveau d’eau soit tangent à la boule. Si on enlève la boule de rayon , existe-t-il une boule de rayon  di¤érent de  qui soit également tangent au niveau de l’eau ? J’ai donc commencé à résoudre l’exercice et je me suis trouvée bloquée vers la …n pour factoriser une équation de degré 3. Ils m’ont demandé d’expliquer les di¤érentes façons d’y arriver (on peut utiliser une calculatrice ou le logiciel Geogebra), de dire les données de l’énoncé, puis de prouver l’existence d’une telle solution en utilisant les théorèmes que je voulais. J’ai eu droit à un second exercice à résoudre, mais cette fois-ci avec une boule dans un cône de révolution, et il fallait travailler sur certains paramètres pour optimiser la taille de la boule. Quand je suis repartie, le jury était plus détendu qu’au début, aussi détendu qu’à mon premier oral 1, donc je pensais ne pas avoir réussi. J’ai été donc surprise d’obtenir la note de 2020. Pour mon second oral, je suis à nouveau tombée sur le thème Conjecture et démonstration. Je disposais de l’équation d’un polynôme du second degré qui


24.3. TÉMOIGNAGES

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dépendait d’un paramètre. En faisant varier ce paramètre sur Geogebra, on remarquait que la parabole bougeait, et on demandait de trouver l’équation que décrivait le sommet de la parabole. J’ai assez vite trouvé une méthode pour obtenir une équation. Mais cela me paraissait trop dur pour un niveau de première S, et ne ressemblait pas du tout aux corrections proposées par les élèves. J’ai, à la dernière minute, trouvé une autre méthode qui me semblait plus appropriée pour la résolution. J’ai donc commencé mon exposé en parlant des compétences mathématiques mis en évidences dans les corrections des élèves, les membres du jury ne me regardaient pas, écrivaient sur leurs cahiers et parlaient entre eux, et c’était très déstabilisant. J’ai continué par la correction que j’aurais proposée aux élèves, en faisant bien la di¤érence entre conjecture ET démonstration. En faisant ma correction, j’ai remarqué qu’elle n’était pas totalement judicieuse, mais j’ai décidé de faire semblant et je l’ai terminé. Puis j’ai proposé des exercices comme il était demandé. Le jury est revenu sur di¤érents points de mon exposé, en me demandant pourquoi j’avais proposé ces exercices, comment j’avais fait pour évaluer par compétences, etc. Puis le jury est revenu sur ma correction bancale (évidemment). Donc je leur explique que j’ai choisi cette correction à la dernière minute car je voulais m’appuyer sur la correction des élèves et qu’il était important de mettre en avant le travail des étudiants pour les dynamiser. Ils m’ont donc demandé de faire mon autre correction au tableau et n’ont rien ajouté dessus. Ils m’ont ensuite parlé d’inclusion d’ensemble. J’ai donc vite compris que j’avais travaillé sur l’implication et oublié la réciproque. Ils m’ont demandé mon raisonnement pour faire la réciproque, et je leur ai proposé une idée. Ils n’avaient pas l’air d’accord mais on est passé à autre chose... A la …n de l’entretien, le jury m’a demandé de décrire le rapport entre parents d’élèves et professeurs. Il m’a demandé ce qu’il fallait dire aux parents si le directeur insistait pour que je fasse un discours à la rentrée des sixièmes, devant les parents. Quel aurait été mon discours ? J’ai expliqué qu’il fallait être vigilant avec les sixièmes car ils changeaient d’établissement, passaient d’un professeur des écoles à plusieurs professeurs d’un coup, que le rythme ne serait pas le même mais que je serais derrière les élèves pour les aider. Ce n’était pas les réponses qu’on attendait vu les expressions des visages qui me regardaient, mais je ne savais pas quoi dire de plus. Le jury ne paraissait ni chaleureux ni enjoué. J’ai quand même obtenu la note de 1420 pour cet oral.

24.3.2

Un oral exceptionnel sur les solides de l’espace

Voici le compte rendu d’un oral 1 du CAFEP 2017 où le candidat possède un excellent niveau en mathématiques et propose un plan dangereux pour qui ne saurait pas le maîtriser. Le jury lui pose


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CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES d’ailleurs des questions di¢ciles en rapport avec son exposé, mais le candidat arrive à y répondre sauf quand la question est exagérée. Il maîtrise son domaine. Il faut dire que le candidat est passé par Polytechnique et a achevé quelques formations complémentaires de haut niveau. Je vous laisse découvrir ce compte rendu d’un oral exceptionnel (qu’il ne s’agit pas de copier tel quel car il existe d’autres façons plus tranquilles de construire sa leçon sur les solides de l’espace).

Après les préparatifs, je tire en…n un sujet au hasard. Je tombe sur 6 et 15, autrement dit « Intervalles de ‡uctuation, intervalles de con…ance. Applications. » et « Solides de l’espace et volumes ». Pas très content du sort car ce sont deux sujets que je ne maîtrise pas si bien que cela et qui ne sont pas les maths que j’ai eu l’habitude de faire à haute dose. Mais je les ai justement revus l’avant-veille et l’avant-avant-veille des oraux (n’écoutez pas ceux qui disent que travailler la veille ne sert à rien, j’ai découvert et appris le cours sur les applications a¢nes, isométries a¢nes la veille de l’écrit et c’est tombé dans un sujet !). Je me dis que le sujet 6 est glissant, il y a plein de subtilités dans la partie « intervalles de con…ance » (estimation quand on ne connaît pas la proportion), il faut un bon background sur les probas et sur le théorème central limite pour comprendre ce qu’on fait je trouve, background qui date chez moi de quelques mois : c’est mince. Je choisis 15. La di¢culté est peut-être d’avoir quelque chose à dire : aligner les solides du collège et les formules du volume, d’accord, et c’est tout ? Je me souviens bien de la relation d’Euler et des solides de Platon, ça peut nourrir mon exposé, car je connais la démonstration de la relation d’Euler, non triviale, grâce au cours de géométrie de Dany-Jack, et comment déduire à partir de là qu’il n’y a que 5 solides de Platon. J’ai quelques dé…nitions en tête des surfaces, des cylindres, des polyèdres convexes réguliers, quelques notions de topologie que je prendrai soin de ne pas trop développer pendant la leçon, mais d’évoquer parfois ici et là pour pouvoir montrer que je sais dé…nir précisément les choses si on me pose la question. Je perds un temps monstrueux à magouiller des choses sur ordinateur : je cherche l’application capture d’écran, ne la trouve pas, m’aperçois au bout d’un quart d’heure qu’elle est dans le dossier « Logiciels ». Je perds un temps fou avec GeoGebra 3D pour magouiller des conjectures sur le volume de la sphère à présenter à des élèves. Je commence par chercher des dé…nitions précises mathématiquement du cube, du cylindre. Tout à coup, je me dis que cela est grotesque, on ne donne aucune dé…nition aux élèves du cube. On ne donne pas non plus de système d’inéquation cartésienne dé…nissant le cube


24.3. TÉMOIGNAGES

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(x,y,z compris entre 0 et 1), on liste les propriétés : il a 6 faces, etc. Pour les solides de Platon, je fais une animation sur TI-Nspire CX CAS dont je me dis qu’elle est un peu super‡ue. Je trace les droites d’équation y=3, x=3, et la fonction homographique f(x)=2+4/(x-2). Le domaine triangulaire délimité par les trois courbes est un triangle, je fais parcourir les coordonnées entières au voisinage de la zone à un point qui bouge (car ses coordonnées sont liées à deux curseurs dont le pas est 1) et j’obtiens graphiquement les 5 solutions liées aux solides de Platon... J’arrête là mes tentatives informatiques foireuses et me lance dans un PowerPoint basique en quatre parties. Il était temps, j’ai perdu une heure ! Voilà le canevas de ma présentation : Solides de l’espace et volumes (photo avec des pyramides, avec la géode, etc.) Prérequis : Géométrie plane, Rudiments de topologie, Droites et plans de l’espace, Aires, Calcul intégral. I. Solides usuels Je dis qu’on va parler de parties de l’espace fermées et connexes, bornées, non contenues dans un plan. (j’avais écrit « dé…nition : on appelle solide une partie de l’espace... », mais je me reprends, je crains qu’on m’attaque sur cette dé…nition super‡ue). J’explique qu’on classe les solides usuels au collège et lycée en les regroupant suivant la formule donnant le volume des solides de la famille. Je donne une liste succincte de vocabulaire (face, arête, sommet...) et je dis qu’on ne donne pas de dé…nition au collège mais qu’on illustre ces mots par des exemples et qu’on peut familiariser les élèves avec les solides grâce à GeoGebra. A) Prismes droits et cylindres Cube, pavé droit, cylindre de révolution, illustrations GeoGebra. Je mets 2 remarques sur « de révolution » en dé…nissant un peu le terme, et sur « cylindre » (en parlant de génératrice). B) Pyramides et cônes Tétraèdre, pyramide à base carrée, cône de révolution, illustrations GeoGebra. C) Boules Boule de centre O et de rayon r : ensemble des points M tels que OM inférieur ou égal à r. II. Représenter et construire un solide J’explique qu’il s’agit de passer du plan à l’espace et réciproquement, sans parler de projection. A) Les règles de la perspective cavalière


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CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES

Ici, on passe de l’espace au plan. Je dis qu’il y a 3 règles importantes (je les donne à l’oral, je fais un dessin de cube), je dis qu’il y a 2 données à retenir (angle de fuite, coe¢cient de perspective), j’explique sur mon dessin. B) Construire le patron d’un solide Ici, on passe du plan à l’espace. Je donne la dé…nition d’un patron. J’explique un peu. Je propose un exercice typique : construire le patron d’un cône de révolution de rayon r et de hauteur h, dis qu’on le résout au collège avec des valeurs particulières, que c’est l’occasion d’un petit travail de proportionnalité, et permet d’appliquer Pythagore. III. Les 5 solides de Platon Un peu en vrac sur ma diapo : relation d’Euler valable pour les polyèdres convexes, quelques équations conduisant aux 5 solides de Platon dont j’explique qu’ils sont liés aux 5 éléments et qu’on peut les voir dans une partie culturelle du cours au collège/lycée. J’a¢rme sans marquer « proposition » (j’ai eu beaucoup de mal à marquer dé…nition, proposition, remarque, etc. dans mon cours, à cause du fait qu’il me semblait un peu super‡u dans un premier temps de dé…nir les solides) qu’il existe seulement 5 polyèdres convexes réguliers. IV. Volumes usuels. Je reprends le I et inscris rapidement les formules : A) Prismes droits et cylindres V= (Aire de la base)x(hauteur) B) Pyramides et cônes V=1/3(Aire de la base)x(hauteur) Exercice : retrouver la formule pour une pyramide/cône quelconque (en appliquant les résultats sur les réductions) avec un calcul intégral. C) Boules  = 43 3 Exercice : retrouver la formule avec un calcul intégral. Je conclus en disant qu’on peut utiliser la propriété d’additivité des volumes pour calculer des volumes un peu complexes. Un peu comme les aires avec le procédé de triangulation. Je parle d’autres façons de faire, comme le principe de Cavalieri, mais c’est risqué. J’ai terminé. On me dit qu’il reste 3 minutes : est-ce que vous voulez poursuivre ? Je dis que je m’arrête (j’aurais pu résoudre l’exercice du patron par exemple, un peu bête ma réaction). Le jury me demande de développer la relation d’Euler. Je dis qu’au collège on peut véri…er que la relation est véri…ée et qu’au lycée on peut passer de la relation à la résolution d’un système d’équations non linéaires pour les solides


24.3. TÉMOIGNAGES

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de Platon. J’explique un peu le système, je n’ai que deux bouts de tableau entre lesquels je déambule de part et d’autre de l’écran pour vidéoprojecteur, pas très pratique pour rédiger complètement, je trouve que j’ai très mal rédigé, et complété une bonne partie du raisonnement à l’oral. Le jury semble me presser un peu tout en m’écoutant, j’aboutis à mon animation TI-Nspire CX CAS (je parle d’un exercice typique au niveau BTS de résoudre ainsi graphiquement le système). Au bout d’un moment, il me dit qu’il attendait que je développe la relation d’Euler et non l’application aux solides de Platon. Zut ! J’ai peur d’avoir fait 10 minutes de hors sujet ! Je dis alors qu’on peut projeter un graphe plan sur la sphère pour obtenir la relation d’Euler véri…ée par les polyèdres convexes, à partir de celle qu’on démontre pour les graphes plans. Le jury me demande de démontrer. Je commence à parler de récurrence sur les arêtes. Il me demande de démontrer au niveau collège : Comment démontrer niveau collège la relation d’Euler ? Je m’arrête, je dis qu’il me semble que c’est non trivial ! Je commence à dire qu’il faut distinguer si le graphe contient un cycle ou non, mais le jury m’interrompt. Niveau collège ! Je suis un peu désarçonné, je dis qu’on peut commencer par des cas simples. Je prends un triangle, et je véri…e dessus la relation d’Euler, puis j’hésite à poursuivre, je dis qu’on pourrait agrandir la …gure par des triangles successifs. Puis je m’arrête, ne sachant pas trop comment développer tout ça niveau collège sans faire de récurrence. Le jury dit : oui, votre idée du triangle, c’était bien. Et ensuite ? Je sèche, je me sens coincé entre mes idées et le niveau auquel on me demande de démontrer. Après coup, je pense que le jury attendait que je fasse de la triangulation. J’ai trouvé ensuite une démonstration assez élémentaire de la relation d’Euler qui répond à ma question sur cette page web ([6], pp. 9-13) et aussi une démonstration avec les angles page 339 du tome 3 algèbre CASSINI. Pouvez-vous dé…nir une partie « convexe » ? Fermée ? Connexe ? Je réponds rapidement. Pour la connexité, je dé…nis sans m’en rendre compte la connexité par arcs (avec une fonction continue, etc.), le jury me le fait remarquer. Je dis oui mais c’est celle dont je parlais dans mon plan en fait, et puis je dé…nis connexe (ne pouvant être réunion disjointe de 2 ouverts non vides, etc.). Pouvez-vous dé…nir un cylindre ? Je commence par signaler que d’habitude on parle surtout de la « surface cylindre », et qu’étant donné le sujet je vais dé…nir le « solide cylindre » : je parle de la base, une surface bornée dans un plan. Je dessine un disque. Je parle d’une droite non parallèle au plan et de la réunion des droites qui lui sont parallèles et qui passent par un point de la surface. J’oublie de parler de deux


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CHAPITRE 24. SOLIDES DE L’ESPACE ET VOLUMES

plans parallèles qui délimitent le cylindre. Le jury pro…te du cas particulier que j’ai pris pour dire « donc toute section droite d’un cylindre est une ellipse suivant votre dessin ? », je dis « euh oui » et le jury me dit « je ne peux donc pas avoir un haricot ? ». Je me reprends : si, j’ai pris un cas particulier, mais on peut prendre une palette de peintre pour base. Dessinez un repère orthonormé. Nommez les axes. Je m’exécute en me demandant s’il y a un piège. Dessinez un solide de révolution. Je dessine un disque loin de l’axe  et parallèle à lui, je le fais tourner autour. Qu’obtient-on ici au passage ? Je réponds un tore. Pouvez-vous me donner la forme générale de l’équation cartésienne d’un solide de révolution ? Je sèche sur cette question, j’hésite, je dis que si on prend un point M(x,y) et que l’on considère son image M’ par une rotation autour de Oz, M’ devra véri…er l’équation cartésienne. Je commence à sortir des cos et des sin mais le jury me presse de donne le résultat sans me laisser poser mes équations. (Je suis habitué aux oraux de grandes écoles où on laisse sécher le candidat pendant 20 minutes sur un exo, pas à cette interruption permanente qui attend le résultat sans me laisser dérouler le raisonnement. Ou alors, c’est ici une question de cours et je me dis zut je ne devrais pas sécher là-dessus, je stresse un peu et paralyse ma ré‡exion). Le jury me dit alors qu’on pourra écrire f(z,x2 +y2 )=0. Je tente de me rattraper en disant qu’en e¤et avec le cos et le sin on aurait retrouvé cela, qu’il n’y a que deux paramètres, z et le rayon. Connaissez-vous d’autres types de perspectives ? Je dessine la …gure de Dany-Jack dans son cours de géométrie du collège pour matheux où l’on voit trois pans de mur, un proche, un qui s’éloigne et un dernier au loin, tous reliés. J’explique que les deux droites des deux pans de murs frontaux (proche et lointain), sont parallèles tandis que celles du pan de mur qui s’éloigne ne le sont pas, que le plus loin n’est pas à l’échelle, toutes choses qui enfreignent les lois de la perspective cavalière. Je pense tout à coup qu’il s’agit de perspectives utilisées en peinture et j’en parle en parlant de « perspective à point de fuite ». Je ne sais pas s’il y a un autre nom. On me demande si j’en connais encore d’autres. J’avoue que non, mais dis qu’on peut probablement en dé…nir d’autres avec d’autres règles. Pouvez-vous démontrer comme en terminale la formule du volume de la sphère ? Je songe aux coordonnées sphériques dont je parle, et je dis tout à coup qu’en terminale « l’intégrale triple » risque d’être un peu technique. J’oublie une façon de faire avec Pythagore en sommant l’aire de disques d’épaisseur dx. Je


24.3. TÉMOIGNAGES

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propose d’utiliser l’aire de la sphère (après tout c’est dans mes prérequis) : 4PiR2 . Et de sommer les volumes de « sphères » concentriques d’épaisseur dr. J’intègre rapidement ça. J’avais parlé des coordonnées sphériques et on me pose alors la question : Parle-t-on de coordonnées sphériques dans le secondaire, au collège ? Et de quoi sinon ? Je dis que non, on parle de longitude, de latitude. On me demande un schéma. Je dessine une sphère-terre. Je dessine deux ou trois ‡èches et prie pour ne pas me tromper entre la latitude et la longitude, parle du niveau de la mer comme troisième coordonnée. Le jury semble approuver. Comment appelle-t-on « Phi » d’ailleurs ? Je ne sais pas trop. On me dit que c’est la « colatitude ». On s’arrête là. J’ai le sentiment d’avoir mal rédigé au tableau et d’avoir été plutôt collé, contrairement à la seconde épreuve où j’ai le sentiment d’avoir très bien fait. J’ai obtenu 14,8 à cette épreuve, plutôt bonne surprise ! Et 18,15 à la seconde. Avec les écrits à 18,6 et 19,3, je suis admis sans souci...


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CHAPITRE 24. SOLIDES DE Lâ&#x20AC;&#x2122;ESPACE ET VOLUMES


Chapitre 25

Produit scalaire 25.1

Questions

25.1.1

Questions A

¡ Question 25.1 Résoudre !  2 = 5. ! ! ! ¡ Question 25.2 Résoudre ¡ 2 = ¡  2 où ¡  est l’inconnue et !  un vecteur donné. Question 25.3 [28] Soit  2 R. Déterminez l’ensemble E des points  du plan tels que  = . Question 25.4 Soit  un espace vectoriel euclidien. Ecrire de deux façons di¤érentes le produit scalaire  de deux vecteurs en n’utilisant que des normes. Question 25.5 a) Comment dé…nir le produit scalaire au lycée ? b) Connaissez-vous deux autres dé…nitions du produit scalaire ? c) Montrez l’équivalence entre ces trois dé…nitions. Question 25.6 Quelle est l’expression d’un produit scalaire dans une base ! ¡ ¡ ! quelconque (    ) ? Réponse — Avec des notations évidentes : ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ !  ¡  = (  +   )(0  +  0  ) ! ¡ ! ¡ !¡ ¡ ! = 0 jj  jj2 +  0 jj  jj2 + ( 0 + 0 )    ! ¡ ! ¡ ! ¡ ¡ ! ! ¡ ¡ ! = 0 jj  jj2 +  0 jj  jj2 + ( 0 + 0 )jj  jjjj  jj cos(    ) 203


204

CHAPITRE 25. PRODUIT SCALAIRE

! Question 25.7 [27] Soit  un espace vectoriel euclidien. Soit ¡  un vecteur ! non nul de . Donnez l’expression du projeté orthogonal  (¡  ) d’un vec! ¡ ! ¡ teur  de  sur la droite  de vecteur directeur  . Démontrez-la. Question 25.8 [27] Si  est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien , démontrer que  =  ©  ? et  = ( ? )? . Question 25.9 [27] Soient  et  deux sous-espaces d’un espace vectoriel euclidien . Quand dit-on que  et  sont orthogonaux ? perpendiculaires ? supplémentaires orthogonaux ? Question 25.10 Comment peut-on démontrer la formule trigonométrique suivante au lycée : cos ( + ) = cos  cos  ¡ sin  sin . Question 25.11 On se donne un cube  . Calculer la mesure de l’angle formé par les demi-droites [) et [). H E

G F

D A

C B

Réponse — On peut supposer que le côté du cube mesure une unité quitte à utiliser un agrandissement ou une réduction. Dans un repère orthonormal adapté à la situation, on a : 0 1 0 1 ¡ ¡! ¡! 1 1 ¡ ¡! @ A ¡! @ A ¡¡ ! ¡!  1 0 et  1 donc cos( ) = ¡¡  ! ¡! = p  3 jjjjjjjj 0 1 p ¡ ¡! ¡! Par suite ( ) = arccos(1 3) = 0 955 radians, ce qui correspond à un peu moins de 55± . Le produit scalaire permet d’avoir rapidement accès aux angles géométriques formés par deux demi-droites de même origine dans l’espace.

Question 25.12 [27] Soit  un espace euclidien. Rappeler sans démonstration l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Enoncer et démontrer une CNS pour que l’on ait l’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz.


25.1. QUESTIONS

205

Question 25.13 [27] Soit  un espace euclidien. Rappeler sans démonstration l’inégalité de Minkowski. Enoncer et démontrer une CNS pour que l’on ait l’égalité dans l’inégalité de Minkowski. Question 25.14 [27] Dé…nir ce qu’est un espace vectoriel euclidien. Question 25.15 [27] Comment dé…nit-on un produit scalaire ? Existe-t-il des produits scalaires ? Question 25.16 [27] Soit  un espace vectoriel euclidien. Enoncez et démontrez le Théorème de Pythagore. Question 25.17 [27] Si  est un espace vectoriel euclidien, montrer qu’il existe toujours au moins une base orthonormale de . Question 25.18 [27] Si  représente un espace vectoriel euclidien, montrer que toute famille orthonormale (1    ) peut être complétée en une base orthonormale. Question 25.19 [27] Soit  un espace vectoriel euclidien. Soient  un sousespace de , et (1    ) une base orthogonale de  . Si  2 , exprimer le projeté orthogonal  () de  sur  en fonction de  et des vecteurs de base  . Même question avec l’image  () de  par la symétrie orthogonale de base  . Question 25.20 [27] Soit  un espace vectoriel euclidien de dimension 3, rapporté à une base orthonormale  = (1  2  3 ). On considère le plan  d’équation 5 ¡ 8 +  = 0. Trouver une base orthonormale de ce plan. Question 25.21 Dessinez un parallélépipède rectangle en perspective cavalière. Nommez ses sommets. Les côtés de ce parallélépipède valent 5, 3 et 2. Combien vaut l’angle \  ? [Notations données ci-dessous.] H E

G

F

D

A 2 3 B

5

C


206

25.1.2

CHAPITRE 25. PRODUIT SCALAIRE

Questions B

Question 25.22 [28] L’espace est rapporté à un repère orthonormal. Soient  ! le plan d’équation  +  +  +  = 0,  un point de  , et ¡  un vecteur non nul orthogonal à  . Montrer que la distance d’un point  (0  0  0 ) à  est : ¡¡! ! j¡ j j0 + 0 + 0 + j p =  d (  ) = ! ¡ jj  jj 2 + 2 + 2 Question 25.23 ~[28] Soient trois points non alignés , ,  dans le plan. Déterminer le lieu des points  du plan tels que 2 + 4 2 + 5 2 = 7. Question 25.24 ~[28] Soient trois points , ,  dans le plan. Quel est le lieu des points  tels que 72 ¡ 2  2 ¡ 5 2 = 7. Question 25.25 Comment dé…nit-on un produit scalaire ? Existe-t-il des produits scalaires ? Question 25.26 Déterminer tous les produits scalaires de R2 , c’est-à-dire dé…nis sur R2 £ R2 . Que peut-on dire matriciellement ? ! ! Question 25.27 On se donne ¡  (1 0) et ¡  (3 1). Existe-t-il un produit sca! ! laire tel que (¡ ¡  ) soit une base orthonormale ? Question 25.28 Combien de structures euclidienne peut-on dé…nir sur un plan vectoriel donné ? ! ! ! ! ! ! Question 25.29 Vous proposez la formule ¡  ¡  = k¡  k k¡  k cos (¡ ¡  ) dans le plan en employant des angles orientés. Cette formule reste-t-elle vraie avec des angles géométriques ? ! ! ! ! ! ! Question 25.30 Quel est l’interêt de la formule ¡  ¡  = k¡  k k¡  k cos (¡  ¡ ) ! ¡ ! ¡ quand l’angle (    ) n’est pas orienté ? Réponse — Calculer l’écart angulaire entre deux demi-droites de même origine quand on travaille dans un espace a¢ne euclidien de dimension …nie  quelconque. Voir Question 25.11. Question 25.31 [27] Qu’appelle-t-on « identité du parallélogramme » dans un espace vectoriel euclidien ? Ecrivez-la et démontrez-la. Question 25.32 [27] Comment dé…nissez-vous un espace préhilbertien réel ? Qu’appelle-t-on espace de Hilbert réel ?


25.1. QUESTIONS

207

Question 25.33 [28] Dans l’espace de dimension 3, on considère deux droites non coplanaires  et 0 . Montrer qu’il existe une et une seule droite ¢ à la fois orthogonale et sécante à  et à 0 . Réponse — Nous ne reprenons ici que la solution de [28] qui utilise le produit scalaire et du calcul algébrique. Sur la fig. 25.1 on a dessiné deux droites  ! ! et 0 non coplanaires. Posons  =  + R¡  et 0 = 0 + R¡  0. D D'

D

D'

I  J

Fig. 25.1 – Perpendiculaire commune Trouver une perpendiculaire commune () à  et 0 revient à trouver un ¡ !! ¡ ! !0 couple de point ( ) 2  £ 0 tel que ¡  = ¡  = 0 ou, ce qui revient au même, des réels  et  qui véri…ent le système : 8 ¡ ! ! ¡ > (1) > <  =   ¡! ! ¡ ()  =   0 (2) > > !¡ ¡ !¡ : ¡ ! ! 0   =   = 0 (3) Les équations (3) s’écrivent :

( ¡ ! ¡¡ ! ¡! ! ( +  + )¡  =0 ¡ ! ¡¡ ! ¡! ¡ ! ( +  + )  0 = 0 ou encore, en développant et en utilisant les relations (1) et (2) : (

¡¡ !! ! ! ! ¡jj¡  jj2 + ¡  + (¡  ¡  0) = 0 ¡ ¡! !0 ! ! ! ¡(¡  ¡  0 ) + ¡  + jj¡  0 jj2 = 0


208

CHAPITRE 25. PRODUIT SCALAIRE

soit : ¡ 0¢ 

(

¡¡ !! ! ! ! jj¡  jj2 ¡ (¡  ¡  0 ) = ¡  ¡ ¡ ! ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (    0 ) ¡ jj  0 jj2 = ¡  0

Le déterminant du système ( 0 ) est :

! ! ! !  = (¡  ¡  0 )2 ¡ jj¡  jj2 jj¡  0 jj2  ! ! Comme ¡  et ¡  0 ne sont pas colinéaires, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est ! ! ! ! stricte et l’on aura j¡  ¡  0 j  jj¡  jj £ jj¡  0 jj ([24], Th. 86). Le système ( 0 ) est donc un système de Cramer qui admettra un unique couple-solution ( ). L’existence et l’unicité des points  et , et donc de la perpendiculaire commune (), est ainsi démontrée. Remarques — La droite ¢ est appelée perpendiculaire commune à  et 0 , et le résultat que nous venons de démontrer est connu sous le nom de Théorème de la perpendiculaire commune. L’exercice proposé dans le volume IV de la collection Acquisition des fondamentaux pour les concours [28] continue en demandant ensuite de déduire que la distance entre  et 0 est donnée par : ¡¡! ! ¡ ¡ ¢ j0 (¡  ^!  0 )j 0 d   = ! ¡ ! ¡ jj  ^  0 jj ! ! où ( 0 ) 2  £ 0 et où ¡  et ¡  0 sont des vecteurs directeurs de  et 0 . Question 25.34 [29] Soit  un tétraèdre régulier. On note ­ le centre de gravité du triangle . Montrer que (­) est perpendiculaire au plan ().

25.1.3

Questions C

Question 25.35 [27] Rappelez comment on peut dé…nir le produit scalaire dans le plan en utilisant le cosinus d’un angle, puis démontrez la symétrie et la bilinéarité du produit scalaire en utilisant cette dé…nition. Question 25.36 [27] Soit  :  £  !  un produit scalaire sur un espace vectoriel  de dimension …nie. Soit  ¤ le dual de . Montrer de deux façons di¤érentes que l’application : »

:  ! ¤  7!  ( ) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Quelle est l’image d’une base ortho» normale de  par  ?


25.2. FRONT DES EXPOSÉS

25.2

Front des exposés

25.2.1

De bonnes applications du produit scalaire

209

Dans une leçon sur le produit scalaire, Hanna proposait avec justesse les applications suivantes qui permettent toutes de calculer des distances : - Théorème d’Al Kashi. - Théorème de la médiane. - Identité du parallélogramme. - Distance d’un point à une droite (Question 25.22). On peut rajouter la Question 25.10 qui …gure au programme de première S.

25.2.2

Une présentation de niveau lycée

L’exercice suivant, extrait du volume de géométrie de la collection PREPA CAPES MATHS [49], propose une présentation simple du produit scalaire qui peut aider à construire son exposé d’oral 1 : Question 25.37 (Dé…nition de la norme et du produit scalaire au lycée) Les réponses doivent être données dans le cadre des programmes du lycée. On se place dans un plan P. ¡ ¡! a) Dé…nir la norme d’un vecteur  comme on peut le faire au lycée. b) Soient  et  deux points de coordonnées (   ) et (   ) dans un ! ¡ ¡ ! repère orthonormal R = (    ) du plan. Démontrer que la distance  entre  et  est donnée par : q  = ( ¡  )2 + ( ¡  )2  ! ! En déduire l’expression de la norme jj¡  jj d’un vecteur ¡  du plan en fonction ! ¡ ¡ ! de ses coordonnées ( ) dans la base orthonormale (    ). c) En utilisant les questions précédentes, démontrer que pour tout réel  et ! ! pour tous vecteurs ¡ , ¡  du plan : ! ¡ ! ¡ ! ¡ (1) jj  jj = 0 ,  = 0 , ! ! (2) jj¡  jj = jj £ jj¡  jj, ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (3) jj  +  jj · jj  jj + jj¡  jj.

¡ ¡ d) Par dé…nition, on dit que le produit scalaire de !  et !  le nombre réel, ! ¡ ! ¡ noté    , suivant : ¢ 1¡ ¡ ¡ ! ! ! ! !  ¡  = jj!  +¡  jj2 ¡ jj¡  jj2 ¡ jj¡  jj2  2


210

CHAPITRE 25. PRODUIT SCALAIRE

! ¡ ! ¡ ¡ ! ! ¡ ! ! Si ¡  =   +   et ¡  = 0  +  0  sont les expressions de deux vecteurs ! ¡ ¡ ! ! ! dans une base orthonormale (    ), montrer que ¡  ¡  = 0 +  0 . e) Démontrer que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique ! ¡ dé…nie positive sur P . f ) Si ,  et  sont trois points non alignés du plan, montrer l’équivalence : ¡ ¡! ¡!  rectangle en  ,  = 0 g) (Expression à l’aide d’une projection orthogonale) Soient  et  deux points distincts. Démontrer que si  est le projeté orthogonal de  sur la ¡¡ ! ¡! ¡¡ ! ¡¡! droite (), alors  = . Montrer ensuite que si  et  désignent les projetés orthogonaux de deux points  et  sur la droite (), alors ¡ ¡! ¡¡! ¡¡ ! !  =  ¡ . ! ! h) (Expression à l’aide du cosinus) Si ¡  et ¡  sont deux vecteurs non ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ nuls, montrer que    = k  k k  k cos (    ).

25.3

Témoignages

25.3.1

Témoignage de David

A. Compte rendu Voici le compte rendu d’un oral de CAPES passé en juin 2013, envoyé par David. Bon... j’ai passé mes épreuves orales vendredi et samedi... C’était ma première fois ! Je vous avoue que j’en garde un goût assez amer (dû au stress) surtout en ce qui concerne la leçon. Plusieurs amis ayant passé le CAPES en 2008 m’avaient mis en garde : attention ! ! ! tu n’as le droit aux livres QUE pour l’épreuve sur dossier. Donc quand je suis arrivé pour l’épreuve de leçon, je n’avais pas pris mes 30kg de bouquins... ERREUR, en fait on y a bien le droit. Je suis tombé sur le couple : lois normale/ produit scalaire. Evidemment je choisis le produit scalaire. Je construis un petit plan pendant 15 min en listant les résultats intéressant. Je m’aperçois que c’est quasiment le même plan que la leçon de 1S de chez Bordas ! Je me dis que c’est une bonne idée ! Introduire le produit scalaire en 1ere est très intéressant et comme je maitrise le sujet, les questions peuvent fuser sur le programme de terminale, je me préparerai sur mon temps de préparation. Je pense que le produit scalaire dans les espaces de Hilbert n’était pas une bonne idée, c’est le CAPES pas l’agrégation.


25.3. TÉMOIGNAGES

211

Au …nal, je prépare 3 …gures Geogebra (pas le temps d’en faire plus), mon plan, la démo de TOUS les résultats que j’avance, 2 idées pour des exercices d’application faciles (pas le temps d’en faire plus) et j’anticipe quelques questions niveau terminale. Tous cela sous un stress horrible ca je suis un énormément stressé dans ce genre de conditions. Tout à coup je me retrouve devant le jury sans trop savoir comment. Ils me disent : c’est parti 15 min. Je réponds que n’ayant aucune pendule dans la salle je vais retirer ma montre et la poser sur la table....J’ai perdu une minute à essayer de la retirer sans y arriver... Merci Captain Stress ! Au tableau, je leur parle de la manière dont j’introduirai le produit scalaire, j’utilise une …gure Geogebra... Le jury fait la moue. J’annonce les prérequis et mon plan. Il ne me reste plus que 5 minutes... Au …nal je ne présente qu’une petite moitié de ma leçon. ! ! ! ! Question : montrez et démontrez votre partie 3 (¡  ¡  = jj¡  jj jj¡  jj cos  et théorème de la médiane)

Captain Stress à la rescousse : j’écris AH au lieu de CH, je change un + en x... Je m’aperçois que j’utilise un résultat dans ma partie 2 pour la démonstration or je n’ai pas pu en parler... Bref : mon raisonnement était certes juste mais j’ai écrit n’importe quoi. Je vois la tête du jury... Pas bon, mais un des membres essaye de m’aider : vous êtes sûr de votre produit scalaire là ? Moi : euh... Ah ! Non pardon veuillez m’excuser. Je me suis trompé quand j’ai écrit AH, c’était CH. Je suis allé trop vite. Ensuite une question sur « le sens des vecteurs » qui m’a un peu perturbé mais je pense qu’au …nal j’ai donné une réponse potable. Question sur la projection... Je pense avoir pas trop mal justi…é ma réponse. Démonstration du théorème de la médiane : Captain stress était toujours au rendez-vous. Un membre du jury me demande d’expliquer une ligne de la démo. Je regarde et dit : pardon excusez-moi, je n’ai pas écrit ce qu’il fallait. En fait il fallait écrire ceci. Je constate que le jury remarque que j’arrive à me corriger comme il faut dès que l’on me fait une remarque. Je sens qu’ils sentent que le stress y est pour beaucoup dans cette histoire. On me demande les démos de bilinéarité et la démo d’équivalence entre la dé…nition du produit scalaire par coordonnées et celle par les longueurs au carré. Là ça passe. Puis la question : est ce que l’on a besoin d’un repère orthonormé pour parler de produit scalaire ? Et là, c’est le drame : je dis que non. On peut dé…nir des produits scalaires avec n’importe quelle autre base. Jury : ah tiens donc ! Donc vos résultats sont toujours vrais si je prends une base faite dans un plan maillé par des triangles équilatéraux ?


212

CHAPITRE 25. PRODUIT SCALAIRE

Je sentais le piège arriver, mais je n’arrive pas à répondre correctement, je me sens trop agressé de questions et plombé par le stress qui m’empêche de penser normalement. Voilà comment s’est achevé mon oral 1. Quant à l’épreuve sur dossier, cela s’est mieux passé, même si je pense que j’aurais pu mieux faire. Je n’ai pas trop aimé l’attitude du jury pour la partie « agir en pantin de l’état » : ils sont assez fermés d’esprit. J’ai en e¤et parlé de l’expérience de certains professeurs qui communiquent avec les parents d’élèves par méls. Ils m’ont interrompu immédiatement en disant que c’était une mauvaise pratique. Je leur ai dit que je leur faisais part de ce qu’il se pratiquait dans certains établissements et non de ce qu’il faut faire, même si je pense que le mél au professeur ne peut être une solution qu’en cas d’urgence, d’urgence lorsqu’il n’y a pas d’autre moyens... Bref voilà. Je pourrais rentrer un peu plus dans les détails quand je m’en serais remis. Je suis déçu car je savais faire beaucoup de chose mais le stress a vraiment été mon pire ennemi. B. Commentaires Je reviens seulement sur la dernière question « A-t-on besoin d’un repère orthonormé pour parler de produit scalaire ? ». Vous répondez que l’on peut dé…nir des produits scalaires avec n’importe quelle autre base, et vous avez raison. Le « Ah tiens donc ! » semble bien agressif, puisque l’important est ici de demander au candidat de justi…er son a¢rmation, et d’expliquer son point de vue. Ou bien le jury a voulu vous déstabiliser pour voir comment vous réagissez, ou bien n’avait-il plus de temps, ou bien travaillait-il inconsciemment dans le cadre spéci…que d’une présentation au lycée où l’on admet que l’on dispose déjà de la notion d’angle droit vue au collège, et où l’on construit le produit scalaire uniquement à partir de cette notion supposée acquise une fois pour toute. La réponse à une telle question d’ordre général est longue, et sera di¤érente suivant le point de vue que l’on adopte : il faut relativiser. On ne peut pas répondre à la question de « savoir si les résultats obtenus sont toujours vrais avec un repère quelconque », sans se demander de quels résultats on parle ni dans quelle situation on se place. ! ¡ ¡ ! Par exemple, si l’on travaille dans un repère orthonormal donné (    ) dans un plan a¢ne euclidien donné, et si l’on a envie de rapporter les points à


25.3. TÉMOIGNAGES

213

! ! un autre repère ( ¡ ¡  ) non orthonormal du plan, il est évident que l’écri0 ture algébrique  +  0 du produit scalaire ne sera plus valable dans la nou! ! velle base, puisque le produit ¡  ¡  interviendra forcément dans le développe! ! ! ! ment de (¡  + ¡  )(0 ¡  + 0 ¡  ), et n’est plus nul. Par contre, rien n’empêche ! ! de changer de structure euclidienne en décidant que le repère ( ¡ ¡  ) sera orthonormal pour cette nouvelle structure, et travailler dans ce nouveau cadre. Il su¢t de dé…nir le produit scalaire de deux vecteurs par la formule : ¡ ¡ ! !    = 0 +  ! ¡ ! ¡ ! ! ! ! lorsque  = ¡  + ¡  et  = 0 ¡  + 0 ¡  , et le tour est joué. Personne n’empêche de le faire ! Bien sûr, l’orthogonalité n’aura pas le même sens dans l’une ou l’autre des structures, mais ce n’est pas la question. Je tente de justi…er mon point de vue en peu de lignes : ² Il existe grosso modo deux façon de faire de la géométrie : en utilisant l’axiomatique d’Euclide-Hilbert (EH), ou en utilisant l’axiomatique espace vectoriels/espaces a¢nes (VA). ² L’axiomatique EH est celle qui est adoptée (sans le dire) dans le secondaire dès le collège. On travaille avec des points et des droites, on présente la notion de distance entre deux points et l’on admet que deux droites peuvent être perpendiculaires. Les objets et les notions présentés sont régis par des axiomes spéci…ques, comme par exemple l’inégalité triangulaire ou le cinquième postulat d’Euclide. Dans cette présentation, on sait d’abord ce que sont un point et une droite dans un plan (ou dans l’espace), puis on dit savoir ce que sont deux droites perpendiculaires, puis on dé…nit les vecteurs, puis on dé…nit le produit scalaire en utilisant la notion d’orthogonalité (c’est-à-dire d’angle droit et de distance) héritée des axiomes EH qui dé…nissaient le plan ou l’espace. ² L’axiomatique VA est adoptée en post-BAC (sauf si l’on secondarise l’enseignement universitaire comme cela se fait avec le nouveau programme 2013-14 des CPGE, pour adapter l’enseignement aux connaissances des nouveaux bacheliers). Dans cette axiomatique, on dé…nit ce qu’est un espace vectoriel, puis on dé…nit ce qu’est un espace a¢ne. En…n on dé…nit ce qu’est un produit scalaire dans un espace vectoriel, et ce produit scalaire permet de dé…nir l’orthogonalité de deux vecteurs, de deux droites, etc. A chaque pas, on dé…nit un espace et l’on décide de travailler dans celuici, ce qui revient à admettre qu’il existe un espace possédant ces propriétés, et donc revient à considérer les items qui dé…nissent ces espaces comme des


214

CHAPITRE 25. PRODUIT SCALAIRE

axiomes, d’où la proximité entre la notion de dé…nition et celle d’axiomes (ne parle-t-on pas d’axiomes d’un espace vectoriel ?) Dans cette présentation, on sait d’abord ce qu’est un vecteur, puis on dé…nit un point, puis on dé…nit la notion de produit scalaire et en…n celle d’orthogonalité en disant, par dé…nition, que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, puis que deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. ² EH versus VA : l’axiomatique d’Euclide-Hilbert convient pour construire un plan ou un espace géométrique de dimension 3. Pas plus. L’axiomatique espace vectoriels/espaces a¢nes permet de dé…nir en une seule fois des espaces géométriques de n’importe quelle dimensions, voire de dimension in…nie. De plus, l’axiomatique VA est plus simple et connue de tous les mathématiciens depuis le début du XXe siècle. Il est plus facile d’échanger entre matheux en utilisant ces axiomes. Ce n’est pas le cas de l’axiomatique d’Euclide-Hilbert qui possède de nombreuses variantes, si bien que personne ne pourra dire quels résultats sont des axiomes et quels résultats sont véritablement déduits, à moins de se souvenir en tête de toutes la construction de l’édi…ce géométrique (impossible et de toute façon cette construction ne sera pas dans la tête de votre interlocuteur). Personne ne saura exactement dans quelle variante on se place, ce qui n’est pas une gêne pas tant que l’on ne remonte pas aux énoncés primordiaux, mais peut tout de même nuire à la communication. Conclusion — Le jury a posé une question dangereuse et di¢cile, qui demande du recul. Pour éviter les problèmes, on devrait peut-être se contenter de répondre : « Oui, on a besoin de la notion d’orthogonalité et de travailler dans un repère orthonormal pour introduire le produit scalaire au lycée ». Ce n’est pas faux, même si c’est incomplet. Ce type réponse devrait enchanter la plupart des inspecteurs qui sont de plus en plus présents dans le jury du CAPES, et pourraient se placer trop systématiquement et trop naturellement dans le cadre de l’enseignement secondaire, même quand la question débouche sur des réponses plus nuancées et plus globales. En répondant ainsi : si personne de relève quoi que ce soit, c’est tout béné…ce et tout est bien dans le meilleur des mondes, et si quelqu’un demande des précisions, on peut en donner. Ah ! Ces oraux demandent bel et bien de mettre au point toute une stratégie qui n’a parfois que peu à voir avec les mathématiques, n’est-ce pas ?


25.3. TÉMOIGNAGES

25.3.2

215

Un bon niveau est toujours récompensé

Voici un retour d’expérience écrit le 29 mars 2016 sur le forum Néoprofs. Il montre que l’on peut réussir un oral si l’on possède des connaissances solides en mathématiques, même si l’on ne sait pas trop comment les adapter pour les enseigner dans le secondaire. A l’opposé, ne pas maîtriser des points importants dans notre discipline est certainement éliminatoire. Voici : Je peux vous parler de mon expérience du CAPES 2015. Ancien élève de prépa (PSI) ayant intégré une école du concours mines-ponts, je décide de me reconvertir et pense donc à l’enseignement. Je m’inscris au CAPES mais des obligations professionnelles m’empêchent de réviser. A ce moment j’étais loin d’avoir retrouvé le niveau qui fut le mien à la sortie de la spé. Je me présente aux écrits sans grandes ambitions (je passe quand même un concours à BAC+4). Finalement un sujet que j’aurais pu réussir en …n de terminale et une admissibilité acquise facilement. J’arrive aux oraux sans plus de préparation, en touriste diront certains, aucune leçon préparée. Je tombe sur produit scalaire, je recopie plus ou moins la leçon d’un manuel et je dé…nis le produit scalaire par la formule utilisant la norme. Le jury me demande à la …n de mon exposé quelle norme j’utilise ? Moi : j’utilise de préférence la norme 2 ou norme euclidienne. Jury : Comment la dé…nissez-vous ? Moi : Cette norme se dé…nit à partir d’un produit scalaire. Jury : vous n’avez pas l’impression de vous mordre la queue ? Moi : Oui mais si on veut être un minimum rigoureux il faudrait dé…nir le produit scalaire comme une forme bilinéaire symétrique dé…nie positive d’un espace vectoriel sur R. Il s’ensuit une discussion d’un niveau sup sur les normes et la notion d’orthogonalité. Ensuite question sur l’interdisciplinarité, je pars sur le lien entre les mathématiques et la physique, symbolisé par les équations di¤érentielles avant que le jury ne m’arrête et que j’apprenne avec stupeur que ce n’est plus au programme. Conclusion j’ai montré que je ne connaissais pas le milieu scolaire, que je n’avais aucune notion de pédagogie et de didactique et pourtant une note de 11. Il su¢t juste de quelques connaissances mathématiques (niveau sup) et de bien présenter. Le deuxième oral est du même acabit. J’ai compris ma note lorsque j’ai vu d’autres candidats en spectateur. L’un a annoncé …èrement qu’une fonction égale à plus l’in…ni multiplié par une fonction égale à 0 était une forme indéterminée. Il n’a jamais su malgré les questions du jury trouver son erreur : il ne maîtrisait pas la notion de limite.


216

CHAPITRE 25. PRODUIT SCALAIRE

L’autre a annoncé que lorsque la dérivée d’une fonction s’annulait, on obtenait un extremum et malgré les questions du jury qui lui a fait tracé la fonction cube, il n’a pas su corriger son a¢rmation. Et je ne parle pas des M1 MEEF que je côtoie cette année à l’ESPE. Très peu ont un niveau qui leurs permettraient d’être admissibles aux concours CCP. Moralité de cette histoire écrite par un commentateur de Néoprofs : « un jury intelligent cherche juste à transposer le potentiel du candidat qu’ils ont face à eux dans une classe. Si tu sembles avoir une certaine maîtrise disciplinaire, être capable d’en discuter, tu as les bases, aucune raison de te barrer par une sale note (ils en sont pas allés jusqu’à te mettre une note qui t’assure l’admission, il fallait aussi réussir l’autre épreuve). Comme tu le dis, il y a tellement pire. »

25.4

Cherchez les erreurs

Extrait 25.1 Des erreurs se sont glissées dans la dé…nition suivante d’un produit scalaire donnée sur le dictionnaire Larousse (version en ligne [8] relevée le 18 mars 2017). Sauriez-vous les trouver en commençant par la plus importante ?

P Analyse — L’expression  ( ) = =1   est correcte quand on considère des coordonnées des vecteurs  et  dans une base orthonormale. Ici, on dote l’espace vectoriel euclidien d’une base qui est seulement orthogonale. L’expression annoncée est donc fausse. Beaucoup d’autres erreurs ou imperfections peuvent être relevées dans ce texte si court. Elles constituent parfois des abus que l’on fait à l’oral pour simpli…er


25.4. CHERCHEZ LES ERREURS

217

et aller droit au but sans perdre le …l. Mais d’autres incorrections ne sont pas excusables. Citons : - Un espace euclidien est toujours de dimension …nie, inutile de le rappeler. - On ne précise pas si l’espace est vectoriel ou a¢ne. - L’entier  n’est pas dé…ni. - Personne ne rappelle que les  et les  sont les coordonnées des vecteurs  et  dans la base considérée. ! ! - Les vecteurs  et  sont notés ¡  et ¡  un peu plus loin. - Il y a ambiguïté à supposer que l’espace est déjà euclidien, puisqu’un espace vectoriel euclidien est par dé…nition un espace vectoriel de dimension …nie sur R muni d’un produit scalaire. On ne peut pas dé…nir une notion qui fait déjà partie de la dé…nition de l’ensemble dans lequel on travaille. - La dé…nition proposée ne dit pas qu’un produit scalaire est une application. - Pourquoi prendre un plan orienté pour donner l’expression du produit scalaire avec le cosinus ? Premièrement : on n’a pas besoin d’orienter le plan vecto! ! riel euclidien pour dé…nir des angles orientés, l’angle orienté (¡ ¡  ) entre deux vecteurs non nuls étant parfaitement dé…ni sans avoir à choisir une orientation du plan. Secondement : il su¢t d’utiliser un angle géométrique, c’est-à-dire non orienté, pour que la formule soit vraie dans un espace vectoriel euclidien de dimension quelconque, ce qui permet entre autre de calculer facilement des écarts angulaires dans R3 . - On annonce que « deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul » alors qu’on pourrait annoncer une équivalence. - Le texte n’indique nulle part ce que signi…e pour deux vecteurs d’être orthogonaux, alors que dans le cas d’un espace de dimension  quelconque, cela signi…e « avoir un produit scalaire nul » (une seule exception possible : quand on veut dé…nir le produit scalaire dans le plan en partant d’une axiomatique euclidienne du plan a¢ne, comme c’est le cas au lycée où on suppose connus bien des rudiments de géométrie plane). Il s’agit alors simplement d’une dé…nition à présenter comme telle. - Et comme le dit si bien David Baudoin qui m’a aidé dans la recherche de toutes ces incorrections : « en typographie, on ne commence pas une ligne par une virgule, jamais ! ». Moralité : il faut conserver son esprit critique même quand on consulte le Larousse.


218

CHAPITRE 25. PRODUIT SCALAIRE


Chapitre 26

Problèmes d’alignement, de parallélisme ou d’intersection 26.1

Questions sur les droites du triangle

Sur la page Oral 1 du site MégaMaths, on trouvera un extrait du Chapitre 12 de mon livre Géométrie du collège pour les matheux [50] sur les droites remarquables d’un triangle.

26.1.1

Questions A

Question 26.1 {[28] Q115} Trouver toutes les ré‡exions qui échangent deux droites  et 0 sécantes en . Question 26.2 {[28] Q116} Donner une dé…nition d’une bissectrice d’un couple de demi-droites ([) [)). Question 26.3 {[28] Q116} Comment peut-on dé…nir la bissectrice intérieure issue de  d’un triangle  ? Question 26.4 {[28] Q116} Comment peut-on dé…nir la bissectrice extérieure issue de  d’un triangle  ? Question 26.5 {[28] Q117} Comment construire la bissectrice d’un couple de demi-droites au collège ? Question 26.6 [30] a) Montrer que les médiatrices d’un triangle sont concourantes. b) Soit  un triangle non aplati. Montrer qu’il existe un et un seul cercle qui passe par les sommets de ce triangle. 219


220 CHAPITRE 26. ALIGNEMENT, PARALLÉLISME, INTERSECTION Question 26.7 {[28] Q29} Montrer que les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Question 26.8 {[28] Q142} Démontrez que les trois médianes d’un triangle sont concourantes en utilisant seulement des outils du collège. Question 26.9 {[28] Q30} Montrer que deux médianes d’un triangle ne sont jamais confondues. Question 26.10 [30] Démontrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. Question 26.11 {[28] Q31} Montrer que les bissectrices intérieures d’un triangle sont concourantes. Question 26.12 Combien y-a-t-il de cercles exinscrits à un triangle ? [NB : si le candidat reste étonné par la question et n’a jamais entendu parlé des cercles exinscrits à un triangle, il y a un léger malaise. On se reportera par exemple à la Section 12.4.2 de [50] pour démontrer qu’il existe trois cercles exinscrits.]

Question 26.13 {[28] Q31} Que dire des bissectrices intérieures et extérieures d’un triangle ? Question 26.14 [28] (Oral du CAPES interne 2006) Comment construire la droite ¢ passant par un point  et par l’intersection de deux droites  et 0 sachant que ces deux droites ne se coupent pas sur la feuille ? Les droites  et 0 ainsi que le point  sont dessinés sur la feuille, et l’on suppose que  n’appartient ni à , ni à 0 . 1) Proposer une solution permettant de construire ¢ et utilisant l’orthocentre d’un triangle. 2) Peut-on trouver un autre construction utilisant une symétrie centrale ? Si oui, expliquez et justi…ez-la. Question 26.15 [31] On demande de répondre aux questions suivantes comme on le ferait dans une classe de seconde en 2014, en utilisant uniquement des outils du collège et la notion de vecteur que les élèves viennent de découvrir. En particulier, on ne dispose pas de la notion de barycentre ni de celle d’homothétie. Soient  un triangle non aplati et  le centre de son cercle circonscrit. On note 0 ,  0 ,  0 les milieux respectifs des côtés [], [], et [].


26.1. QUESTIONS SUR LES DROITES DU TRIANGLE

221

¡! ¡¡! ¡¡! ¡ ! a) Montrer qu’il existe un unique point  tel que  +  +  = 0 . b) Montrer que : ¡! 2 ¡!0  =   3 En déduire que  appartient aux trois médianes du triangle . Comment appelle-t-on  ? ¡¡! ¡! ¡¡! ¡¡! c) Soit  le point tel que  = +  + . Montrer que  appartient à la hauteur issue de  du triangle . En déduire que les trois hauteurs du triangle concourent en . Comment appelle-t-on  ? ¡¡! ¡¡! d) Démontrer la relation d’Euler  = 3. Que peut-on dire des trois points ,  et  ? ¡¡! ¡! ¡¡! ¡¡! Indications — a) Ecrire  = 13 ( +  + ). ¡! ¡ ¡ ! ¡! ¡! ¡! b) Si  = ,  = 13 ( + ) = 13 £ 20 = 23 0 donc  appartient à la médiane (0 ) (...). ¡¡! ¡¡! ¡! ¡¡! ¡¡! ¡! c)  =  ¡  =  +  = 20 donc  est sur la hauteur issue de  (...). ¡¡! ¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! d)  =  +  +  = 3. Question 26.16 Quel est l’a¢xe de l’orthocentre d’un triangle ? ¡¡! ¡¡! Réponse — On connaît la relation d’Euler  = 3 entre l’orthocentre , le centre de gravité  et le centre du cercle circonscrit  d’un triangle . On sait aussi que l’a¢xe de  dans un repère d’origine  est : =

1 ( +  + )  3

cette égalité traduisant seulement l’égalité vectorielle : ¡¡! 1 ¡! ¡¡! ¡¡!  = ( +  + ) 3 qui dé…nit l’isobarycentre  du système f  g. Dans cet écriture, bien sûr, , ,  désignent les a¢xes de ,  et . On en déduit que l’a¢xe  de  est  = 3 =  +  + . Remarque — On peut véri…er directement, en utilisant des complexes, que le point d’a¢xe ++ est bien l’orthocentre du triangle. Cette véri…cation est donnée dans la seconde preuve du Théorème 111 de [19] qui résume ce qu’on doit savoir sur le cercle d’Euler, ou cercle des neufs points, d’un triangle.


222 CHAPITRE 26. ALIGNEMENT, PARALLÉLISME, INTERSECTION Question 26.17 {[28] Q88} On demande de rechercher des équations cartésiennes des bissectrices des droites d’équations  = 8 + 3 et 7 ¡ 5 = 4.

! ¡ ¡ ! Question 26.18 [30] Soit  un triangle. Soit R = (    ) un repère ¡ ¡ ! ! ¡ orthonormal d’origine , tel que  et  soient colinéaires de même sens. a) Déterminez une équation cartésienne de la bissectrice intérieure ¢ issue de  du triangle . b) Déterminez une équation cartésienne de la droite (). c) Soit  l’intersection de ¢ et (). Connaissez-vous une propriété véri…ée par  ? Expliquer comment l’on pourrait faire pour démontrer analytiquement cette propriété (on ne demande pas d’e¤ectuer tous les calculs). Question 26.19 [31] Dans le plan, on considère un triangle non aplati . Pouvez-vous dé…nir le secteur angulaire saillant déterminé par les demi-droites [) et [) ? Et le secteur angulaire rentrant ?

26.1.2

Questions B

Question 26.20 {[28] Q122} Soient  et 0 deux droites strictement sécantes en un point . Montrer que les seules droites ¢ incluses dans  [ 0 sont  et 0 . Question 26.21 {[28] Q121} Deux tangentes en  et  0 à un cercle de centre  se coupent en un point . Montrer que () est la bissectrice inté\0 . rieure de l’angle  Question 26.22 {[28] Q31} Quelles sont les coordonnées barycentriques du centre du cercle inscrit dan un triangle , dans le repère a¢ne (  ) ? Preuve ? Que peut-on déduire ? Question 26.23 {[28] Q125} Que peut-on dire du point  de la fig 26.1 ? U M S T

Fig. 26.1 – Que dire de  ?


26.1. QUESTIONS SUR LES DROITES DU TRIANGLE

223

Question 26.24 Avec les conventions d’usage, on note 0 ,  0 ,  0 les milieux des côtés d’un triangle . Le triangle médian 0  0  0 est-il semblable au triangle  ? Est-il directement ou inversement semblable ? Justi…ez vos ré0  0 et \ 0 0  0 sont bien égaux, les points ,  0 ,  0 , 0 ponses. Si les angles \ devraient être cocycliques. Est-ce vrai ? Dans la négative, quelle erreur a-t-on commise ? Question 26.25 [31] Déterminer une condition nécessaire et su¢sante portant sur un triangle non aplati  pour que les médiatrices des côtés [] et [] soient perpendiculaires. Question 26.26 [31] Montrer que, dans un triangle , les bissectrices b et  b ne peuvent pas être perpendiculaires. intérieures des angles  Question 26.27 [31] Déterminer une condition nécessaire et su¢sante portant sur un triangle  pour que les hauteurs de ce triangle issues des sommets  et  soient perpendiculaires. Question 26.28 [30] On considère un triangle  et les ré‡exions  ,  et  par rapport à chacune des bissectrices intérieures de ce triangle issues de ,  et . Déterminez la nature de la composée  ±  ±  . Réponse — L’application  =  ± ± est la composée de trois ré‡exions, c’est donc une ré‡exion ou une ré‡exion glissée. Le centre  du cercle inscrit au triangle  appartient à chacune des bissectrices intérieures du triangle, donc  () = , et  est une ré‡exion par rapport à une droite ¢ passant par . Les ré‡exions par rapport aux bissectrices intérieures échangent les supports de certains côtés du triangle. Dans notre cas, on peut écrire : 

   () 7¡! () 7¡! () 7¡! ()

donc  laisse la droite () globalement invariante. On peut donc a¢rmer que () est soit la base de la ré‡exion , soit une droite perpendiculaire à cette base. Si  était la ré‡exion par rapport à (), on aurait  () =  et par conséquent ( ±  ) () = , ce qui est absurde puisque  ± est une rotation de centre  di¤érent de . Donc ¢? (), et l’on peut conclure : l’application  est la ré‡exion par rapport à la droite ¢ passant par  et perpendiculaire à ().


224 CHAPITRE 26. ALIGNEMENT, PARALLÉLISME, INTERSECTION

26.1.3

Questions C

Question 26.29 [30] Soient ,  et  le centre du cercle circonscrit, l’orthocentre et le centre de gravité d’un triangle . On note 0 ,  0 ,  0 les milieux des côtés du triangle , avec les conventions usuelles. a) Que pouvez-vous dire des points ,  et  ? b) Existe-t-il une homothétie  qui transforme le triangle 0  0  0 en  ? ¡¡! ¡¡! c) Utilisez  pour trouver une relation de dépendance entre  et .

26.2

Exposés sur les droites du triangle

26.2.1

Est-ce un théorème ?

Question 26.30 Dans votre exposé, vous énoncez le théorème suivant :« Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point  centre du cercle circonscrit ». a) S’agit-il vraiment d’un théorème ? b) Quels types de textes trouve-t-on en mathématiques ? c) Pourquoi ce point de concours  est-il appelé le centre du cercle circonscrit ? Est-ce juste pour se faire plaisir ? Réponse — a) Non ! Il s’agit d’un théorème et d’une dé…nition. On a¢rme que les trois médiatrices d’un triangle concourent en un certain point . On constate que ce point est unique, et on le dé…nit comme étant le centre du cercle circonscrit au triangle. b) Le candidat doit vite réagir sur le statut des textes qu’il présente. Il doit les connaître : c’est primordial ! Il faut savoir distinguer entre : - un résultat : théorème, proposition, lemme ; - une dé…nition : il s’agit de dé…nir des notions, des objets ou de préciser des notations. On se permet souvent de faire des abus, mais il faut savoir préciser lesquels, qu’il s’agisse de texte écrit ou parlé. - une remarque : c’est un complément d’information visant à éclaircir un passage. On pense à une remarque, une note, un complément, ou encore une scholie (une scholie, ou scolie, est un commentaire qui sert à éclairer un texte) comme dirait le grand Baruch de Spinoza dont je lisais l’Ethique (quatre volumes en collection de poche que j’avais demandé en cadeau d’anniversaire quand j’étais lycéen en terminale C au Lycée Saint–Exupéry à Saint-Raphaël : je n’ai pas été déçu du voyage, ah, sacré Spinoza !). Au niveau des dé…nitions, les abus sont parfois indispensables pour se simpli…er la tâche (écrire un angle comme une mesure d’angles, confondre un point et ses coordonnées, ...) ou pour continuer à avancer (il serait suicidaire de s’obliger à ne représenter un réel que comme une classe d’équivalence de


26.2. EXPOSÉS SUR LES DROITES DU TRIANGLE

225

suites de Cauchy de Q, imaginer les nombres rationnels uniquement comme étant des classes d’équivalences de couples d’entiers relatifs, puis considérer les entiers relatifs comme des classes d’équivalences de couples d’entiers naturels. Comment pourrions-nous nous en sortir si nous ne voulions pas identi…er N et Z à des sous-ensembles de Q ? Pourtant une identi…cation est une forme de violence, un abus caractérisé... En tout cas, quel que soit l’abus que l’on fait, il faut savoir l’expliquer très précisément, en remettant chaque chose à sa place. Pour revenir à la question, le texte proposé n’est pas un théorème. Il s’agit d’un « théorème-dé…nition », donc à la fois un résultat (on a¢rme que les médiatrices concourent) et une dé…nition (on appelle centre du cercle circonscrit le point de concours des médiatrices). Quel drôle de nom : le centre du cercle circonscrit. On n’aurait pas pu trouver plus court ? Voilà pourquoi le jury pose une troisième question... c) Oh non, ce n’est pas juste pour se faire plaisir. Le point  est vraiment le centre d’un cercle qui passe par ,  et , et l’on dé…nit évidemment à part ce qu’on entend par « cercle circonscrit à un triangle ». Par dé…nition, on appelle cercle circonscrit à un triangle tout cercle qui contient les sommets de ce triangle. J’ai posé ces questions pendant une simulation d’oral, et l’oratrice est restée bouche bée sans pouvoir expliquer son énoncé ni préciser les di¤érents statuts des passages qu’elle avait écrits. C’est mauvais ! Entraînez-vous à tout expliquer, avec des phrases simples, de façon précise, en long et en large. Dès que le jury constate que vous êtes capable de donner des explications claires et rigoureuse, il passera à autre chose, et vous n’aurez pas travaillé pour rien : vous aurez marqué des points !

26.2.2

N’armez pas le jury contre vous !

Lundi 10 février 2014. Je viens d’assister à un exposé sur les droites remarquables d’un triangle. Le plan était parfait, l’exposé clair, le contenu très fourni, mais à un moment l’oratrice a cru bon d’expliquer que le centre  du cercle circonscrit d’un triangle  pouvait parfois se trouver à l’extérieur du triangle. Tiens, tiens... Evidemment, cela a titillé l’unique membre du jury que je suis quand je dois écouter un exposé d’entraînement. Pendant l’entretien, j’ai voulu savoir ce que


226 CHAPITRE 26. ALIGNEMENT, PARALLÉLISME, INTERSECTION savait la candidate à ce sujet, donc j’ai posé la question de savoir dans quels cas le point  était à l’extérieur d’un triangle. La réponse n’étant vraiment pas claire, j’ai demandé de dessiner une …gure où c’était le cas. La candidate essaie mais n’y arrive pas : il faut dire qu’au tableau on n’arrive parfois plus à reprendre ses esprits, on ne voit plus rien... Un étudiant propose de tracer d’abord le cercle, puis le triangle, et l’oratrice s’o¤usque en disant que c’est tricher. Pourtant il a raison, et ce n’est pas tricher, puisque tous les coups sont permis pour obtenir un contre-exemple. Je sais que l’oratrice est très honnête, et cela vient de jouer contre elle. Je dis qu’on a l’impression que  est à l’extérieur du triangle quand l’un des angles du triangle est obtus. On dit alors que le triangle est obtusangle, mais je n’emploie pas ce terme qui pourrait paniquer quelqu’un de non averti, ce qui n’est pas mon but. La candidate reste perplexe. Je lui demande si elle voit comment on pourrait le démontrer. Encore plus perplexe. Donc je pose des questions pour mesurer la profondeur de sa perplexité : - Vous pouvez dé…nir ce qu’est l’intérieur d’un triangle ? Pas de réponse, puis une idée intéressante sur l’intersection de trois demi-plans, mais ce n’est pas énoncé jusqu’au bout. On parle ensuite de secteurs angulaires. D’où ma question suivante. - Pouvez-vous dé…nir très précisément ce qu’est un secteur angulaire ? Un secteur saillant ? Rentrant ? Ces questions n’ont pas été préparées. On n’y répond pas (Question 26.19). - Je dé…nis donc l’intérieur d’un triangle comme étant l’ensemble des points du plan qui possèdent des coordonnées barycentriques positives (ou de même signe) dans le repère a¢ne (  ), ce que tout candidat au CAPES est supposé connaître. Puis je demande si la candidate connaît les coordonnées barycentriques de  ? Là ce n’est pas grave : même si elle ne sait rien à ce sujet, cela n’enlèvera aucun point. Si l’on avait plus de temps, je pourrais lui donner des indications pour rechercher ces coordonnées barycentriques et noter ses réactions. Mais on a autre chose à véri…er. - Je pose une question plus simple et plus sensible : qu’est-ce qu’un angle aigu ? Obtus ? On ne me répond pas de façon claire et précise. Là c’est plus dangereux : cela fait perdre des points. Moralité de l’histoire : si vous ne connaissez pas bien la réponse à un problème, ne parlez pas de ce problème dans votre exposé, car cela peut inciter le jury à voir ce que vous savez vraiment sur ce sujet, et avoir des conséquences bien fâcheuses. Donc motus et bouche cousue, si on peut se le permettre.


26.2. EXPOSÉS SUR LES DROITES DU TRIANGLE

227

Au fait, les coordonnées barycentriques du centre  du cercle circonscrit au b sin 2 b sin 2) b à un coeftriangle  dans le repère (  ) sont (sin 2 …cient multiplicatif non nul près. Et l’on peut véri…er que ces coordonnées on b  b et  b sont aigus, toutes le même signe si et seulement si les trois angles , donc si on a un triangle acutangle. C’est fait en détail dans les Questions 32 et 33 de [28], mais ce n’est pas exigible au CAPES. Pour obtenir les coordonnées barycentriques de , on commence par écrire : ¡! ¡¡! ¡¡! ¡ !  +   +   = 0 pour en déduire successivement :

¯ ¯ b ¯  sin 2 soit ¯ b ¯  sin 2

¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡ !  ^  +   ^  = 0 ¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! 2 sin( ) + 2 sin( ) = 0 ¡ ¡! ¡¡! ¡¡ ! ¡!  sin 2( ) +  sin 2( ) = 0 b +  sin 2 b=0 ¡ sin 2

¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯  sin 2 ¯ = 0. De même ¯ b ¯ ¯  sin 2

¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯  sin 2 ¯=¯ b ¯ ¯  sin 2

¯ ¯ ¯ ¯ = 0, et l’on ¯

b sin 2 b sin 2) b sont peut conclure en disant que les suites (  ), (sin 2 proportionnelles. Moralité de cette histoire :

A l’oral d’un concours, ne parlez pas de ce que vous ne maîtrisez pas. Ne donnez pas d’armes au jury pour « tirer » sur vous. Ne faites pas allusion à un résultat que vous ne connaissez pas bien et dont on peut se passer dans la leçon que vous présentez.

26.2.3

Compte rendu de Matheod

Compte rendu de Matheod sur son oral 1 passé en juin 2015, extrait de [9]. Pour mon plan atait très classique : I Médiatrice II Bissectrice III Hauteur IV Médianes A chaque fois je donnais la dé…nition puis les propriétés : équidistance dans les deux sens pour I et II, plus une troisième propriété d’équidistance et une


228 CHAPITRE 26. ALIGNEMENT, PARALLÉLISME, INTERSECTION remarque sur la symétrie pour II, propriété sur les aires pour III et IV, la concourrance, les cercles circonscrits et inscrits pour les deux premiers en prenant bien soin d’avoir un théorème assurant l’existence et l’unicité avant la dé…nition. Ah aussi le théorème de la médiane pour IV. Le tout ponctué de l’utilisation de Geogebra de manière dynamique pour illustrer mes propos, et d’exercices maisons. En V j’avais l’étude des cas particulier (triangle isocèle, rectangle, équilatéral) et pour terminer en VI le théorème de la droite des milieux. J’avais préparé toutes les démonstrations (j’ai perdu un peu de temps avant de retrouver celles de la concurrence des hauteurs et médianes, hors programme pour info), sauf la concourrance des médiatrices et bissectrices vu que je savais que je serais faire et que je n’avais plus de temps. Pour info, je me suis préparé des feuilles avec juste mon plan rédigé succinctement de manière à ne rien oublier et à pouvoir le suivre en un rapide coup d’oeil, ainsi que des feuilles résumant les étapes des démonstrations, encore une fois de manière à pouvoir en un coup d’oeil me débloquer si besoin. Donc je présente mon plan pile poil en vingt minutes. Le jury me demande de développer la concourrance des médiatrices et des bissectrices (bon au …nal cela revient à écrire quasiment deux fois la même chose, j’aurais préféré qu’on me demande les démonstrations des propriétés, ou bien la concourrance des hauteurs ou des médianes) ainsi que de corriger un des exercices que j’avais proposé.


Chapitre 27

Proportionnalité et géométrie Quand on pense à la proportionnalité en géométrie, on pense au théorème de Thalès et aux agrandissements et aux réductions, donc aux homothéties a¢nes, et à leurs e¤ets sur les longueurs, les aires et les volumes. Le Théorème de Thalès joue encore un rôle important dans l’étude des mathématiques o¤erte aux élèves du collège unique. Il ne peut décemment pas en être autrement, mais nous aurions tort de ne pas nous réjouir que ce chapitre n’ait pas été supprimé à l’occasion d’une réforme de l’éducation nationale. Au lycée, des notions aussi importantes que la logique, les barycentres ou les dénombrements ont disparues des programmes des sections scienti…ques depuis la réforme Chatel 2010, et la liste n’est pas exhaustive. Mais Thalès perdure et continue à être enseigné dans nos collèges. Cela justi…e notre attention particulière pour ce théorème dans les pages qui suivent.

27.1

Questions sur le théorème de Thalès

27.1.1

Questions A

Question 27.1 [30] En utilisant uniquement le Théorème de la droite des milieux, démontrer que le projeté du milieu d’un segment est égal au milieu du segment projeté. Continuation possible après la Question 27.1 : déduire qu’une graduation régulière se projette en une graduation régulière ; utiliser ce résultat pour démontrer le théorème de Thalès (voir [50], Section 6.4).

229


230

CHAPITRE 27. PROPORTIONNALITÉ ET GÉOMÉTRIE

Question 27.2 [28] [36] Dans quelles classes du secondaire étudie-t-on le Théorème de Thalès ? Et sa réciproque ? Sous quelles formes ? Question 27.3 [28] Enoncez et démontrez le Théorème de Thalès. Question 27.4 [28] Enoncez et démontrez la réciproque du Théorème de Thalès. Question 27.5 [28] La réciproque du Théorème de Thalès est-elle vraiment une réciproque ? Question 27.6 [28] [36] A quoi sert le Théorème de Thalès ? Question 27.7 [28] [36] (Oral du CAPES externe 2005) Proposez une démonstration du Théorème de Thalès qui utilise des aires. Question 27.8 [28] On s’intéresse à la dé…nition de la mesure algébrique d’un bipoint ( ). C’est une quantité que l’on note . a) Dé…nissez le symbole  dans une espace a¢ne. b) Dé…nissez le symbole  en fonction de la distance  (lorsqu’on se place dans un espace a¢ne euclidien). c) Connaissez-vous une troisième façon de dé…nir une mesure algébrique ? Question 27.9 [36] [30] Une mesure algébrique de bipoints dépend du choix d’un vecteur directeur sur la droite considérée. Or le Théorème de Thalès s’intéresse à des quotients de la forme  où , ,  sont des points alignés. Ces quotients  doivent donc dépendre du choix d’un repère sur la droite () et (), ce qui est ennuyeux. Qu’en pensez-vous ? Question 27.10 (Oral du CAPES interne 2012) Dans le résultat de Thalès, on conclut à l’égalité des rapports  = 0  0 0  0 . Peut-on aussi conclure à des égalités de rapports construits de la même façon, par exemple à  =  0  0  0 0 ? Réponse — Bien sûr, il su¢t juste de s’adapter et de changer les notations des points. Par exemple pour montrer que  =  0  0  0 0 , on va écrire :    00 0 0 =¡ = ¡ 0 0 = 0 0    


27.1. QUESTIONS SUR LE THÉORÈME DE THALÈS

231

Question 27.11 [36] Un parallélépipède rectangle est dessiné en perspective, posé sur un plan  horizontal. Un peu en arrière de ce parallélépipède, on trace un segment vertical [] ( est au-dessus de ). Une lampe est placée en , à la verticale du point  qui est supposé appartenir à  . Tracer l’ombre du parallélépipède sur la table. M

E

D

H F

G C

A B P

Question 27.12 A partir de trois segments de longueurs 1,  et , on demande de construire un segment de longueur  à la règle et au compas. Expliquez. Question 27.13 A partir de trois segments de longueurs 1,  et , on demande de construire un segment de longueur  à la règle et au compas. Expliquez. Question 27.14 A partir de trois segments dep longueurs 1,  et , on demande de construire un segment de longueur  à la règle et au compas. Expliquez. p Question 27.15 Construire un segment de longueur ( 7 ¡ 1)5 à la règle et au compas. Question 27.16 [30] [36] Pouvez-vous construire la moyenne proportionnelle de deux nombres  et  à la règle et au compas ?

Question 27.17 Dans la con…guration de Thalès générale comportant deux sécantes et trois parallèles, on aboutit à la formule  = 0  0 0  0 . Mais peut-on aller plus loin et écrire :  0  0 0 = 0 0 = ?    0


232

CHAPITRE 27. PROPORTIONNALITÉ ET GÉOMÉTRIE

Question 27.18 [28] [36] Que diriez-vous à un élève qui écrirait ainsi la réciproque du Théorème de Thalès (en faisant un dessin correct) :  0 = ) (0 )( 0 ) ?   0 Question 27.19 Est-il exact d’écrire la réciproque du Théorème de Thalès de cette façon :  0  0 = 0 0 ) (0 )( 0 )( 0 ) ?   Question 27.20 Lorsque les points , ,  d’une part, et , 0 ,  0 d’autre part, sont distincts et alignés, est-il exact d’écrire la réciproque du Théorème de Thalès dans un triangle de cette façon :  0 = ) (0 )( 0 ) ?   0 Question 27.21 On considère la …gure ci-dessous. Démontrer que :  0  0 = 0 0  

C' C O

B' B A

A'

Réponse — Voir Section 27.2.4.

27.1.2

Questions B

Question 27.22 [36] Enoncez et démontrez le Théorème de Ménélaüs (le sens direct et la réciproque). Question 27.23 [28] Enoncez le Théorème de Thalès dans le triangle, puis démontrez-le en utilisant uniquement les axiomes d’un espace a¢ne. Utilisez ce « Théorème de Thalès dans le triangle » pour démontrer le Théorème de Thalès « général » concernant trois parallèles et deux sécantes.


27.1. QUESTIONS SUR LE THÉORÈME DE THALÈS

233

Question 27.24 [28] Enoncez le Théorème de Thalès. Démontrez-le en utilisant seulement des projections. Question 27.25 [30] [36] Quel rapport y a-t-il entre le Théorème de Thalès et les projections ? Explicitez ce rapport. Question 27.26 [28] Enoncez le Théorème de Thalès. Démontrez-le en utilisant seulement des homothéties. Question 27.27 [28] [36] Le Théorème de Thalès est-il un résultat a¢ne ou euclidien ? Question 27.28 [28] Dessinez quelques …gures-clés rencontrées dans le secondaire concernant le Théorème de Thalès. Question 27.29 [28] Enoncez et démontrez une version du Théorème de Thalès dans l’espace. [Facultatif : peut-on donner une réciproque ?] Question 27.30 [28] Soit  un trapèze de bases [] et []. Les droites () et () se coupent en , et les diagonales () et () se coupent en . La droite () coupe () en  et () en . La parallèle à () issue de  coupe () en  et () en  . En utilisant seulement le Théorème de Thalès, montrer que : a)  est le milieu de [ ], b)  est le milieu de [], et  est le milieu de [], c) la division (   ) est harmonique. Question 27.31 Soit  un triangle non aplati. On suppose que l’on sait que la bissectrice intérieure issue de  du triangle  coupe () en un point  . En utilisant le Théorème de Thalès, démontrez que :    =¡     [Indication : tracer le symétrique de  par rapport à la bissectrice extérieure issue de ...] Réponse — Voir fig. 27.1. La solution est contenue dans la Question 152 de [28], très complète sur ce qu’il faut savoir sur le sujet, où l’on démontre en plus, et de deux façons, que la bissectrice intérieure d’un triangle coupe le côté opposé, ce qui pourrait faire l’objet d’une question enchaînée ou être demandé indépendamment du reste comme dans la Question 60 de [28].


234

CHAPITRE 27. PROPORTIONNALITÉ ET GÉOMÉTRIE C'' A C' JA

B

IA

DA

C

D'A B'

Fig. 27.1 – Une conséquence du Théorème de Thalès !

27.1.3

Questions C

Question 27.32 [28] [36] Enoncez le Théorème de Thalès dans le « cadre général » concernant trois parallèles et deux sécantes, puis démontrez-le analytiquement (autrement dit en faisant intervenir des coordonnées de points). Question 27.33 [28] (Oral du CAPES externe 2006) Qu’est-ce qu’une application a¢ne ? Quel rapport y-a-t-il entre le Théorème de Thalès et les applications a¢nes ? Preuve. Réponse — Le Théorème de Thalès est équivalent à l’assertion suivant laquelle toute projection a¢ne conserve les barycentre (et donc est bien une application a¢ne). Question 27.34 [28] [36] Connaissez-vous une preuve du Théorème de Thalès utilisant la densité de Q dans R ? Question 27.35 Supposons que l’on connaisse seulement le Théorème de projection du milieu d’un segment. En utilisant uniquement ce théorème, pouvezvous expliquer comment démontrer le Théorème de Thalès dans toute sa généralité ? Réponse — On montre que la projection d’une division régulière est encore une division régulière, puis on véri…e que le Théorème de Thalès est vrai quand les rapports sont rationnels, puis on utilise la densité de Q dans R exactement de la même façon que dans la Question 27.34 (détaillé en [28], [20] et [36]). Question 27.36 Quel lien y-a-t-il entre le Théorème de Thalès et les barycentres ?


27.2. COMPLÉMENTS SUR LE THÉORÈME DE THALÈS

235

Réponse — Une projection conserve les barycentres. Ecrire  =  revient à dire que  est le barycentre de...

27.2

Compléments sur le théorème de Thalès

27.2.1

Peut-on résumer en un seul théorème ?

Dans le recueil de questions du jury de Fabien Herbaut [13], au sujet de la leçon sur Thalès, on peut lire la question suivante (posée au CAPES externe 2006) : Peut-on résumer en un seul théorème ? Suivie de : Vous ne parlez que de longueurs. Ne peut-on pas donner un résultat plus puissant ? Cette façon de faire nous renseigne sur le mode de questionnement du jury à l’oral, et il est bon de s’y arrêter un court instant pour permettre au lecteur de mieux cerner la spéci…cité de l’oral du CAPES (et d’autres concours de recrutement, bien sûr), et la nécessité d’approfondir l’étude des thèmes de l’oral. Aucune leçon toute faite, prévue pour être exposée en temps limité, ne pourra permettre de répondre à des questions précises du jury qui nous poussent dans nos retranchements... Pour être e¢cace, un préparation au concours doit être le moment privilégié où l’on approfondit les thèmes du programme pour les posséder réellement. Avec ces deux questions, tout est clair. Il s’agit d’un candidat qui a choisi de présenter son exposé sur Thalès en se plaçant au niveau du collège, ce qu’il parfaitement le droit de faire. Au collège, comme au lycée, il existe une certaine omerta sur la notion de mesures algébriques. On n’en parle pas et il est interdit d’en parler. Ce faisant, le Théorème de Thalès n’o¤re qu’une égalité de longueurs et ne dit rien sur les positions des points sur les droites, et la réciproque de Thalès dans le triangle, au programme de 3ème, impose que nous rajoutions des hypothèses sur ces positions relatives de points. Obtenir de simples rapports de distances égaux revient à perdre des informations. Travailler avec des mesures algébriques donne non seulement une indication sur les rapports de longueurs, mais aussi sur les positions des points sur les droites. On comprend mieux les questions du jury. Le jury attend donc que le candidat propose un énoncé où intervient les mesures algébriques :


236

CHAPITRE 27. PROPORTIONNALITÉ ET GÉOMÉTRIE

- Si le candidat ne répond pas à ses attentes, il montre qu’il ne sait pas ce qu’est une mesure algébrique. - S’il répond à ses attentes, il est obligé de parler de mesures algébriques, et se met donc dans l’obligation de savoir dé…nir cet objet de façon très rigoureuse. Dans les deux cas, il faut savoir expliquer en deux mots, et les bons, ce qu’est pour nous une mesure algébrique d’un bipoint sur une droite. Et il faut connaître le résultat de Thalès, et sa réciproque, énoncés avec des mesures algébriques ! On comprend dès lors pourquoi j’estime que la question suivante est importante pour les épreuves : Question 27.8 — On s’intéresse à la dé…nition de la mesure algébrique d’un bipoint ( ). C’est une quantité que l’on note . a) Dé…nissez le symbole  dans une espace a¢ne. b) Dé…nissez le symbole  en fonction de la distance  (lorsqu’on se place dans un espace a¢ne euclidien). c) Connaissez-vous une troisième façon de dé…nir une mesure algébrique ? De plus, avoir une dé…nition claire et précise des mesures algébriques de bipoints permet de se lancer dans certains problèmes de géométrie des concours sans perdre un temps précieux. Cette connaissance est utile pour les écrits et les oraux des concours, comme par exemple dans la première partie de la seconde composition du CAPES externe 1990. En conclusion, s’il est vrai que le candidat expose en étant libre de choisir le niveau de son exposé (il choisira en général entre le niveau lycée et le niveau université), il n’en demeure pas moins vrai qu’il faut qu’il ait des notions sur les deux niveaux possibles de l’exposé. Dans l’exposé sur Thalès, on peut se placer au niveau lycée (le même qu’au niveau collège donc). Mais il faut alors connaître les énoncés plus généraux du théorème, comme celui qui fait intervenir deux sécantes et trois parallèles, et savoir ce qu’est une mesure algébrique. L’impasse sur ces connaissances sera sévèrement sanctionné, car il faut qu’un futur professeur en sache plus que ses élèves ! A l’opposé, on peut se placer au niveau le plus général, et parler du théorème de Thalès le plus général, en utilisant des mesures algébriques. Dans ce cas, il y a fort à parier que le jury demandera si l’on l’on connaît les versions du théorème qui sont enseignées dans le secondaire...


27.2. COMPLÉMENTS SUR LE THÉORÈME DE THALÈS

237

Dans les deux cas, il faut bien connaître ce qu’on expose, et avoir des idées pour répondre à des questions du jury sur l’autre manière de traiter la leçon. Il faut donc fouiller, creuser et pratiquer les thèmes qui sont au programme !

27.2.2

Exposer à quel niveau ?

Question — Je suis admissible au CAPES externe 2014 et je prépare les leçons d’oral 1. J’ai une question sur le plan de la leçon sur le Théorème de Thalès. J’ai proposé le plan suivant : I.1) Théorème de Thalès dans le triangle, I.2) Réciproque, II) Dans le plan, III) Dans l’espace, IV) Applications. Ma question est la suivante : est-ce que j’écris les théorèmes avec les mesures algébriques dans le cas général ? Dans ce cas je ne sais pas à quel niveau je dois la placer, sachant qu’on s’arrête au niveau BTS. Autre question, doit-on annoncer au début de la leçon qu’on va travailler dans l’espace a¢ne, ce qui n’est pas du niveau secondaire comme l’exige le concours ? Réponse — C’est la grande question pour cette leçon : avec ou sans les mesures algébriques. Les mesures algébriques ne …gurent plus nulle part dans les programmes du secondaire ou de BTS, donc il est tout à fait naturel de les éviter dans son exposé. On présentera les di¤érents cas de …gure du Théorème de Thalès, on parlera de l’ordre des points sur les droites en admettant au besoin que c’est le cas, comme on le fait en troisième , mais il faudra au besoin donner des explications sur la preuve de ce résultat si le jury le demande, et là ne pas hésiter à faire feu de tout bois, donc à employer les mesures algébriques ou les vecteurs. En…n on prendra garde à rappeler l’hypothèse concernant l’ordre des points sur les droites au moment de la réciproque de Thalès. Une autre solution serait plus fédératrice : s’autoriser à utiliser des mesures algébriques et prendre le problème avec une certaine altitude. C’est aussi possible et simpli…e. C’est toujours possible, mais en sachant comment répondre au jury qui demandera si on proposerait un développement semblable en troisième. Faites donc comme vous le sentez le mieux. Choisissez l’exposé avec lequel vous serez le plus à l’aise, le plus en accord avec vous-même. Pour le cadre du travail ce sera pareil : soit dire que l’on se place dans un plan a¢ne, soit ne pas mettre l’accent dessus en signi…ant seulement que l’on travaille “en géométrie plane”, donc avec les “non-dits habituels du collège”. Encore une fois, cela n’interdit pas au jury de demander si l’on a besoin de distances pour parler du théorème de Thalès, ce qui revient à savoir si le théorème de Thalès est un résultat a¢ne, ou euclidien. Ceci dit, le jury peut


238

CHAPITRE 27. PROPORTIONNALITÉ ET GÉOMÉTRIE

zapper cette question et estimer que d’autres questions sont préférables, mais ça, c’est di¢cile à prévoir. Comme toujours pour les oraux, cela dépendra aussi de la position de Bételgeuse dans la constellation du Scorpion... C’est bien l’oral ça ! Et dès la session 2014 l’oral compte avec un coe¢cient double, même si les questions posées aux candidats pendant une demi-heure seront di¤érentes suivant les candidats et si l’on dispose de 5h de composition pour un écrit. Mais à l’oral il est aussi possible de faire bonne impression, donc c’est ce à quoi on s’attachera en proposant un exposé raisonnable et en le défendant en utilisant ses connaissances tout azimuths

27.2.3

Thalès et développements limités, même combat !

Question — J’aurais encore deux petites questions concernant deux leçons, encore une fois pour savoir ce qui est au programme de l’oral de ce qui ne l’est pas/plus - Leçon 58, Développements limités – Peut-on introduire la leçon via la formule de Taylor Young, Mac-Laurin ? Est-ce toujours dans le programme du BTS ? Si ce n’est pas le cas, comment introduire cette leçon selon vous ? - Leçon 33, Théorème de Thales – J’étais certaine qu’on pouvait parler de mesure algébrique pour généraliser la formule dans le plan (hors triangle) et dans l’espace. Mais une amie m’a fortement déconseillée d’en parler car c’est encore une fois hors programme. Alors je souhaite savoir, si je peux dé…nir la mesure algébrique d’un bipoint, placer la leçon au niveau BTS, pour pouvoir par exemple évoquer le théorème de Ménélaus, autrement je ne vois pas comment faire tout ça sans mesure algébrique. Réponse — Pour ces leçons, je pense qu’il faut déjà choisir une solution qui mette l’orateur à l’aise, dans son élément, tout en sachant que, quoi que l’on choisisse, les questions pourront être posées pour que l’orateur explique ces choix et montre qu’il sait aussi présenter ce théorème dans les petites classes, en suivant un programme bien précis. Pour Thalès, l’utilisation des mesures algébriques, notion que l’on marquerait en prérequis, ne pose pas de problème selon moi, et permet de donner une approche directe et dé…nitive du théorème de Thalès dans le plan. Bien sûr, pendant l’entretien, on expliquera que l’on procéderait di¤éremment au collège en faisant découvrir des cas de …gures di¤érents et en multipliant les exercices de calcul de distances. Les développements limités …gurent encore un peu dans les programmes de BTS de 2014 où l’on précise : « Approximation locale d’une fonction. Développement limité en 0 d’une fonction. Développement limité en 0 et tangente à la courbe


27.2. COMPLÉMENTS SUR LE THÉORÈME DE THALÈS

239

représentative d’une fonction. Déterminer, à l’aide d’un logiciel, un développement limité en 0 et à un ordre donné d’une fonction. Exploiter un développement limité pour donner l’équation réduite de la tangente et préciser sa position par rapport à la courbe représentative de la fonction. On introduit graphiquement la notion de développement limité en 0 d’une fonction  en s’appuyant sur l’exemple de la fonction exponentielle sans soulever de di¢culté théorique. L’utilisation et l’interprétation des développements limités trouvés doivent être privilégiées. » [59] L’étude des développements limités dans ces classes est donc réduite à peau de chagrin, à l’utilisation d’un logiciel pour savoir comment appuyer sur certaines touches pour faire apparaître miraculeusement un développement que l’étudiant devra s’accoutumer à utiliser pour étudier localement la position d’une courbe et de sa tangente en un point, interpréter des comportements locaux... Le savoir-faire basique prime sur la connaissance. Il semble que le XXIe siècle ait seulement besoin d’utilisateurs fonctionnels et polyvalents. Les multiples réformes de l’éducation que l’on vient de vivre pendant ces trente dernières années vont toutes dans le même sens. Néanmoins, un futur professeur de mathématiques ne peut pas se contenter de ce contenu, et les questions du jury seront parfois très certainement du niveau d’une troisième année de licence, niveau que l’on suppose acquis. Donc présentez cette notion à ce niveau, sans insister pendant l’exposé compte tenu du peu de temps imparti, mais conservez vos justi…cations académiques en tête pour l’entretien, et passez aux applications comme on pourrait le faire en BTS en projetant au moins une fois un graphique de fonction et en l’interprétant comme il est possible. Le XXIe siècle sera visuel. Question — Je vais suivre vos conseils, évoquer la théorie « vitale » à demimot et passer mon chemin... Je préciserai à l’oral que la formule de MacLaurin est à la limite du programme. J’attaquerai directement avec la dé…nition du développement limité comme () =polynôme + ()  . Et passer vite aux développements limités usuels et opérations, avec une jolie courbe, tangente... et surtout comment calculer les développements limités grâce à une commande magique. J’espère ne pas tomber sur ce genre de leçons ... Merci encore une fois ! Réponse — Pour moi, le choix que vopus m’indiquez est bon. Hum, je comprends ce que vous dite 55 : moi aussi, si je devais repasser le CAPES, je


240

CHAPITRE 27. PROPORTIONNALITÉ ET GÉOMÉTRIE

n’aimerais plus tomber sur cette leçon car maintenant on a l’impression que l’on peut être attaqué de beaucoup de façons suivant le point de vue dans lequel on se place. Prions pour que le jury conserve tête froide et jugement ré‡échi.

27.2.4

Thalès et invariance du birapport

Cas particulier — La fig. 27.2 montre des con…gurations formées par deux parallèles et trois ou quatre droites concourantes. Le Théorème de Thalès permet d’écrire :    = = 0  0 0 0  0 d’où :  0  0 = 0 0  

(¤)

D' C' C O

D

B'

C

B A

C'

A'

Trois sécantes

O

B' B

A Quatre sécantes

A'

Fig. 27.2 – Deux parallèles coupant 3 ou 4 droites concourantes Les rapports obtenus avec les points , ,  sur la première droite, et les points 0 ,  0 ,  0 sur la deuxième, sont les mêmes. Une autre façon d’exprimer ce résultat est de dire qu’une projection centrale d’une droite sur une autre droite parallèle conserve les barycentres. En e¤et, dans la situation de la fig. 27.2 on dit que 0 ,  0 et  0 sont les images de ,  et  par la projection centrale  de centre  dont l’ensemble de départ est la droite () et dont l’ensemble d’arrivée est la droite (0  0 ) parallèle à


27.2. COMPLÉMENTS SUR LE THÉORÈME DE THALÈS

241

(). Puis on remarque que l’égalité :  =  s’écrit  ¡ = 0, et signi…e que  est le barycentre de  (1) et (¡). En jouant sur  on peut écrire ainsi n’importe quel point  de la droite () autre que , et utiliser l’égalité de rapports (¤) pour déduire que  transforme tout barycentre de  et  a¤ectés de certains coe¢cients en le barycentre de  0 et  0 a¤ecté de ces mêmes coe¢cients. En raisonnant de la même façon sur le second dessin de la fig. 27.2, on constate que :   0 0 =   0 0 quels que soient les points , ,  choisis dans l’ensemble f   g et distincts. On en déduit que :   0  0  0  0 : = 0 0 : 0 0     Par dé…nition, le birapport (ou rapport anharmonique) de quatre points distincts et alignés , , ,  pris dans cet ordre, est le réel : [   ] =

  :   

On peut donc a¢rmer que : £ ¤ [   ] = 0   0   0  0

(y)

et qu’une projection centrale d’une droite sur une droite parallèle conserve les birapports. Cas général — Si les droites () et (0  0 ) ne sont plus parallèles, l’égalité (¤) n’est plus véri…ée, mais la conservation des birapports écrite en (y) reste vraie. Pour le voir, dessinons la parallèle à () issue de  comme sur la fig. 27.3, et notons  et  les intersections de cette parallèle et des droites () et (). Le Théorème de Thalès permet d’écrire : [   ] =

       : = : = : =        


242

CHAPITRE 27. PROPORTIONNALITÉ ET GÉOMÉTRIE O J D

I B

C

A

Fig. 27.3 – Première réduction Sur la fig. 27.4 on a tracé une autre sécante (0  0 ), et ce qui précède montre que : £ 0 0 0 0¤ 0 0     = 0 0   O J

J'

I

D

I'

B

C

A

B'

A'

C'

D'

Fig. 27.4 – Conservation des birapports Le Théorème de Thalès utilisé comme dans la première partie, mais avec les droites parallèles (), ( 0  0 ) et les sécantes (), (), () donne :  0  0 = 0 0   d’où [   ] = [0   0   0  0 ]. Conclusion — Une projection centrale conserve les birapports.


27.2. COMPLÉMENTS SUR LE THÉORÈME DE THALÈS REFERENCE : [28], Question 214.

243


244

CHAPITRE 27. PROPORTIONNALITÉ ET GÉOMÉTRIE


Chapitre 28

Trigonométrie 28.1

Questions

28.1.1

Questions A

Question 28.1 Comment dé…nit-on le cosinus d’un angle au collège ? Dans quelle classe commence-t-on à en parler ? Réponse — Le Théorème de Thalès dans le triangle (sans la réciproque) et la dé…nition du cosinus d’un angle aigu sont abordés en 4e , mais il faut attendre la 3e pour disposer de la réciproque du Théorème de Thalès dans le triangle et de la dé…nition du sinus d’un angle aigu. Chose étonnante : la tangente et la cotangente d’un angle ont disparues des programmes de la section S du lycée après la réforme Chatel 2010. Question 28.2 Vous avez dé…ni le cosinus d’un angle aigu comme étant le rapport de certaines longueurs de côtés dans un triangle rectangle. Cette dé…nition est-elle acceptable ? A-t-on le droit de procéder ainsi ? Réponse — Question dangereuse que l’on peut reformuler ainsi : n’y a-t-il pas quelque chose à véri…er pour pouvoir ainsi dé…nir le cosinus d’un angle aigu ? Cette question est destinée à faire prendre conscience que le cosinus d’un angle doit être rattaché à un angle et non à un certain triangle rectangle construit « sur » cet angle. Le candidat a-t-il déjà ré‡échi à cette question ? Il répondra en montrant que b », est indépendant du le nombre que l’on désire appeler « cosinus de l’angle  choix du triangle rectangle construit « sur » cet angle, que celui-ci ait un angle droit sur l’un ou l’autre des supports de l’angle. Si la réponse est trop courte ou incomplète, le jury pourra poser une série de questions enchaînées où il en 245


246

CHAPITRE 28. TRIGONOMÉTRIE

pro…tera pour demander certaines preuves. Il s’agit aussi de donner des arguments qui montrent que notre dé…nition est indépendante de l’endroit où l’on dessine e¤ectivement les deux demi-droites de même origine qui représentent un angle. Cette question montre que l’on demande plus à un élève-professeur qu’à un élève de collège. Question 28.3 A quoi sert le cosinus au collège ? Réponse — A calculer des longueurs, voir Section 28.7. Question 28.4 Dans votre exposé, vous enroulez une droite autour d’un cercle trigonométrique. C’est une façon imagée de parler d’une abscisse curviligne sur le cercle. Est-ce que l’abscisse curviligne représente toujours une distance sur la courbe ? Un point du cercle possède-t-il une ou plusieurs abscisses curvilignes ? Question 28.5 Dé…nissez ce qu’est un angle de 1 radian. Question 28.6 [29] Au Lycée, comment peut-on démontrer les formules trigonométriques concernant les angles ¡, ¡, 2¡,  +, 2+ associés à ? p  3 Question 28.7 Comment démontrer que sin = ? 3 2 Question 28.8 Pour démontrer que cos 60 = 12, vous utilisez le fait que les trois angles d’un triangle équilatéral mesurent 60 . Démontrez-le. Question 28.9 [29] Comment obtenir cos ( + ) en fonction des lignes trigonométriques de  et  ? Et sin ( + ) ? Réponse — On peut utiliser le produit scalaire et exploiter correctement les ! ¡ ! ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! écritures ¡  = cos   + sin   , ¡  = cos   + sin   qui donnent : ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ !  ¡  = (cos   + sin   )  (cos   + sin   ) = cos  cos  + sin  sin  mais aussi :

¡ ! ! ! ! ! !  ¡  = jj¡  jj jj¡  jj cos(¡  ¡  ) = cos ( ¡ )

d’où l’expression de cos ( + ) et :

sin ( + ) = cos (2 ¡ ( + )) = cos ((2 ¡ ) ¡ ))

= cos (2 ¡ ) cos  + sin (2 ¡ ) sin  = sin  cos  + sin  cos 


28.2. BON PLAN

247

Question 28.10 [32] Montrer que les pieds des hauteurs d’un triangle acutangle appartiennent aux côtés du triangle.

28.1.2

Questions B

28.1.3

Questions C

Question 28.11 Qu’est-ce qu’un arc recti…able ? Pouvez-vous dé…nir ce qu’est une abscisse curviligne d’un arc recti…able ? Comment peut-on écrire ces abscisses curvilignes lorsque l’arc est régulier et de classe  1 ? Pouvez-vous dé…nir le repère de Frénet d’un arc birégulier de classe  2 ? Réponse — Ces questions sortent du cadre strict de l’oral du CAPES, mais il n’est pas interdit de chercher à savoir ce que le candidat sait sur les arcs recti…ables. Ne rien savoir à ce sujet ne devrait pas faire perdre de points au CAPES, ce qui ne serait pas forcément le cas à l’agrégation interne. On pourra se reporter aux rappels de cours sur les abscisses curvilignes et les repères de Frénet que j’ai écrits dans les annales [38], repris dans le regroupement d’annales d’agrégation interne [39] et que je compte placer dans le volume II des Cahiers de mathématiques du supérieur actuellement en préparation. Question 28.12 [29] Soit  un réel compris entre 0 et 2. On trace un cercle \ = trigonométrique de diamètre [], et un point  du cercle tel que  (il s’agit d’une mesure d’angle géométrique). Soit  le projeté de  sur (). a) Exprimer , , ,  en fonction de . En calculant l’aire du triangle  de deux façons di¤érentes, en déduire que sin 2 = 2 sin  cos . b) En étudiant la fonction dé…nie sur R par  () = sin 2 ¡ 2 sin  cos , démontrer que la formule obtenue au a) est vraie pour tout réel . c) En déduire que cos 2 = cos2  ¡ sin2  quel que soit  2 R.

28.2

Bon plan

Le plan suivant proposé le 12 janvier 2012 en oral sur la leçon Trigonométrie me paraît bon : I. Trigonométrie dans le triangle rectangle Introduire le cosinus comme en 4e , puis le sinus comme en 3e . II. Utilisation d’un cercle trigonométrique Enrouler la droite autour du cercle trigonométrique pour parler d’abscisse  d’un point  sur ce cercle. Dé…nition de cette abscisse modulo 2. Visualisation avec Geogebra. Dé…nition des lignes trigonométriques cos  et sin  comme


248

CHAPITRE 28. TRIGONOMÉTRIE

les coordonnées de () dans le repère qui dé…nit le cercle trigonométrique. Dé…nition de tan  et visualisation sur la droite des tangentes. III. Mesure d’un angle ! ! mes(¡ ¡  ) = 0 ¡  où  et 0 sont les abscisses curvilignes de  et  0 points ¡¡! ¡¡! ! ! du cercle trigonométrique tels que ¡  =  et ¡  0 =  0 . Pour dé…nir une telle mesure, on a besoin d’orienter le plan (i.e. tourner dans un sens dit positif sur le cercle trigonométrique). IV. Applications Pour calculer des distances ou des angles : Formule d’Al Kashi, formule des sinus...

28.3

A ne pas rater

Sur la page Oral 1 du site MégaMaths, on trouvera un extrait du Chapitre 11 de mon livre Géométrie du collège pour les matheux [50] concernant la trigonométrie.

28.4

Simulation d’oral du 21 mai 2008

28.4.1

Introduction

Voici un exemple de séquence d’interrogation à partir d’une question assez éloignée du sujet. Les questions retranscrites ici, que j’ai posées lors d’une séance de simulation d’oral en mai 2008 sur une leçon intitulée « cocyclicité », donneront une idée de la façon dont le débat peut s’orienter suivant les réponses du candidat (ici une candidate). Pour situer ce compte-rendu, il faut dire que la candidate a bien réussi à exposer son thème. Le tableau est bien disposé, bien écrit, les énoncés sont clairs, les dessins sont bien placés et utilisés à bon escient pour expliquer une démonstration... La diction est bonne. Ne riez pas, c’est tres important ! Imaginez donc un candidat qui aurait des fèves dans la bouche ou qui parlerait en mastiquant un chewing-gum. Pensez-vous qu’il ait ses chances ? Bon exposé, donc peu de questions sur celui-ci. La candidate a déjà engrangé des points essentiels, et il faut maintenant voir comment elle répond à des questions sur des sujets parfois plus périphériques... Au niveau de la simulation, je donnerais seulement deux conseils : - Premièrement : de parler deux fois plus fort pour être mieux entendue du jury. Ce point est tres important : on parle distinctement et su¢samment fort pour montrer qu’on sera plus tard capable de parler à toute une classe !


28.4. SIMULATION D’ORAL DU 21 MAI 2008

249

- Deuxièmement : de se retourner beaucoup plus vers le jury, et de regarder alors la "globalité" de la salle, ainsi que les membres du jury, sauf s’ils intimident trop, auquel cas il vaut mieux enbrasser globalement la salle du regard, ce qui se fait très bien avec un peu d’entraînement. Il est important de s’adresser directement au jury à certains moments de l’exposés, par exemple quand on donne des indications en étant très détaché vis à vis de ses notes. C’est le moment ! Ma première idée était de demander directement à la candidate de donner une démonstration de la symétrie du rapport de projection utilisant une cocyclicité. Posée ainsi, on comprend pourquoi la question intervient dans ce chapitre. On apprend aussi si la candidate connaît la dé…nition d’un rapport de projection. Mais j’ai …nalement préféré partir d’une question plus éloignée, qui en a entraînée d’autres auxquelles je ne m’attendais pas ! Et la candidate non plus. Dans cette transcription, je placerai des remarques et des commentaires entre crochets pour donner des idées sur les motivations réelles du jury et sa façon de réagir, et par la même, permettre de comprendre ses réactions et répondre autant que possible à ses attentes.

28.4.2

Suite de questions enchaînées

Jury : Connaissez-vous la façon dont on introduit le cosinus d’un angle en classe de quatrième ? Candidat : Pas vraiment... Jury : Auriez-vous une idée quelconque permettant de dé…nir le cosinus en quatrième ? Candidat : Oui. Je peux dessiner un triangle  rectangle en , et poser \ [Le dessin est fait à main levée au cos  =  où  est l’angle aigu . tableau.] Jury : Avez-vous ainsi dé…ni le cosinus d’un angle aigu ? N’y-a-t-il pas une di¢culté à soulever quand on considère la dé…nition que vous avez proposée ? Candidat : Je ne vois pas... Jury : On désire dé…nir le cosinus d’un angle aigu, et vous nous parlez d’un certain triangle rectangle... Et puis d’abord, on désire dé…nir le cosinus d’un angle de quoi ? Candidat : ?...


250

CHAPITRE 28. TRIGONOMÉTRIE

Jury : Un cosinus d’angles de demi-droites, ou de vecteurs non nuls. En quatrième, on se limite aux cosinus d’angles aigus de deux demi-droites. Ici, il faut absolument véri…er que, étant données deux demi-droites , 0 de même origine  et formant un angle aigu, la dé…nition que vous proposez est indépendante du choix d’un triangle rectangle que l’on imbriquerait dans la …gure. Votre dé…nition est juste, si l’on arrive à démontrer qu’elle ne dépend que des deux demi-droites ! Je vous demande donc de tracer deux deux demi-droites , 0 d’origine , de choisir un point  sur , de tracer le projeté  de  sur le support de 0 . Que doit-on faire ensuite ? [Le jury laisse au candidat la possibilité de continuer.] Candidat : ?... Jury : On choisit un autre point 0 sur , on le projette orthogonalement en  0 sur , et dans un premier temps, on véri…e que le cosinus de  = ( 0 ), tel qu’on veut le dé…nir, est indépendant du choix des points  et 0 sur . Complétez le dessin... Candidat : Voilà... Ah ! Là c’est facile. Le Théorème de Thalès nous donne justement l’égalité des rapports  et  0 0 . Jury : Ce n’est pas …ni pour autant. Connaissez-vous les rapports de projection de deux demi-droites ? Candidat : J’en ai entendu parlé, mais là je ne vois pas... Jury : Dans la situation qui nous intéresse [celle où les deux demi-droites forment un angle aigu  = ( 0 ), sinon il faut mettre des mesures algébriques, voir [20], Déf. 50], le rapport de projection de  sur 0 est le rapport . Ce rapport est aussi appelé "cosinus de ( 0 )" et noté cos . Mais il faut encore prendre des précautions ! Pour pouvoir dé…nir ce cosinus, il faut être certain qu’une autre personne, en suivant notre dé…nition, qui choisit un point  sur l’une des deux demi-droites, le projette en  sur l’autre demidroite, et s’écriant : le cosinus de  est , trouve la même chose que nous. Il faut donc véri…er la symétrie du rapport de projection, c’est-à-dire que   =    [En e¤et, si l’on note  ( 0 ) = , l’égalité précédente signi…e que  ( 0 ) =  (0  ) et donc que le rapport de projection est indépendant de l’ordre dans lequel on considère les demi-droites. On peut alors parler de "rapport de projection d’un couple non ordonné de demi-droites.] Candidat : Ca me revient un peu...


28.4. SIMULATION D’ORAL DU 21 MAI 2008

251

d D A +

O B

C

d'

Fig. 28.1 – Symétrie du rapport de projection et cocyclicité Jury : Voici une dernière question. En regardant votre …gure (fig. 28.1), pouvez-vous déceler une cocylicité ? Candidat : Oui ! Les points , , ,  sont cocycliques car on a deux triangles rectangles  et  de même hypoténuse []. Jury : Il ne vous reste plus qu’à utiliser cette cocyclicité pour démontrer l’égalité des rapports. Candidat : ? ... Jury : Que faire du point  et du cercle C sur la …gure ? Candidat : Ce doit être... la puissance d’un point par rapport à un cercle. La puissance de  par rapport à C est égale à , ... Jury : Vous voulez dire  £  avec des mesures algébriques... Candidat : Oui. Donc j’obtiens  £  =  £ , d’où l’égalité de rapports  = . Jury : On pourrait maintenant essayer de parler des rapports de projections de deux-demi-droites formant un angle quelconque, mais nous allons passer à autre chose. Dites-moi, pensez-vous qu’il soit nécessaire d’orienter le plan pour parler du théorème de l’angle inscrit ? (...) Tout ce qu’il faut savoir sur les rapports de projection et la dé…nition du cosinus d’un angle aigu au collège se trouve dans un chapitre de mon livre Géométrie du collège pour les matheux, à paraître en février 2015.


252

28.4.3

CHAPITRE 28. TRIGONOMÉTRIE

D’autres questions

L’exposé ayant été très bon, je pose des questions sur les prérequis annoncés. Dans ceux-ci, on lit en particulier "Angles orientés de demi-droites ou de droites", "Mesure d’un angle", "Relation de Chasles", "Somme des angles d’un triangle". On peut facilement demander des précisions sur tous ces présupposés acquis. Il y a les sampiternelles questions : Qu’est-ce qu’un angle ? Doit-on orienter le plan ? Qu’est-ce qu’une rotation ? etc, qui sont reprises dans la Section ??.

28.4.4

Réaction d’Emmanuel

Je viens de recevoir un courrier d’Emmanuel qui s’interroge sur cette simulation, et dont les questions me semblent intéressantes. Voici ce qu’il écrit : Emmanuel — J’ai bien sûr savouré ce nectar « simulation d’oral sur la cocyclicité / symétrie du rapport de projection », mis en ligne récemment sur MégaMaths. A propos du cosinus d’un angle aigu en 4ème : 1) Dans le cas des triangles rectangles "croisés", vous résolvez le problème grâce à la puissance d’un point à rapport à un cercle. Y-a-t-il une démonstration accessible en 4ème ? Sinon, faut-il ignorer le problème face aux élèves ? face au jury ? 2) Il reste un problème, celui de l’égalité des mesures de deux angles géométriques di¤érents. Yves Chevallard, professeur à l’université d’Aix-Marseille, propose dans excursus n± 4 (glané sur le net), l’existence d’une isométrie pour passer d’un angle à l’autre, décomposée par les symétries axiales (qui engendrent ce groupe). Faut-il pointer cette di¢culté face au jury, sans trop s’exposer sur le groupe des isométries ? Y. Chevallard fait-il autorité en didactique (le ton est parfois à la controverse) ? Ma réponse — Je suis content que ce rapport de simulation d’oral vous ait plu. L’objectif d’un tel rapport est, e¤ectivement, de nous faire réagir et vibrer sur ces thèmes mathématiques, pour arriver à mieux les cerner, les comprendre puis les expliquer. Je vais donc « vibrer » à partir de vos questions : 1) Je suppose que les triangles rectangles croisés dont vous parlez sont ceux du rapport de projection. Dans ce cas la puissance d’un point par rapport à un cercle fonctionne bien, mais n’est pas la seule méthode, comme on s’en doute. Dans le §.6.1.3 de l’exposé-type du Vol. IV, je choisis de démontrer la symétrie du rapport de projection en utilisant une ré‡exion et le Théorème de Thalès, ce qui est plus approprié en 4e .


28.5. COMPTE RENDU D’ORAL DE STÉPHANE

253

2) Les angles géométriques peuvent être vus comme des classes d’équivalence de couples de demi-droites de même origine pour la relation suivante : ( 0 ) et ( 0 ) sont en relation si et seulement si une même isométrie a¢ne fait passer de  à 0 , et de  à 0 . Je parle ainsi de ces angles géométriques dans mon Vol. II, à la Section 4.1.3 (Corollaire 5, Conséquence n± 2), puis donne une petite précision en 4.2.7 pour qu’on évite de donner une dé…nition proche de cette relation d’équivalence qui, bien que fonctionnant avec des angles orientés, ne fonctionne plus avec des angles géométriques. Mais on peut sauter cela en première lecture, ou à quelques semaines de l’oral, car il s’agit d’un approfondissement. Je ne conseille pas de pointer cette di¢culté devant le jury, car le rapport de projection permet de construire une relation d’équivalence qui dé…nisse aussi angles géométriques, et que le dire ou le sous-entendre su¢ra dans une leçon dont le libellé porte sur les projections orthogonales sur une droite. 3) Je pense que Y. Chevallard fait autorité en didactique, mais que, chacun ayant aussi son approche et ses sensibilités, il existe et existera toujours des façon di¤érentes de ressentir, dire et vivre les mathématiques et leur enseignement. Pour ce qui nous concerne, Y. Chevallard a tout à fait raison d’insister sur les isométries a¢nes planes, qui ne sont que des composées de ré‡exions d’après le Théorème de Cartan-Dieudonné, pour nous donner une dé…nition rigoureuse des angles géométriques.

28.5

Compte rendu d’oral de Stéphane

Voici le compte rendu de Stéphane qui a passé ses oraux du CAPES externe 2012. En oral 1, il choisit la leçon intitulée Trigonométrie. Voici son plan : I) Au collège : cosinus, sinus, tangente et quelques propriétés. II) Au lycée : cercle trigonométrique, mesure en radian, angle orienté de vecteurs (ce qui est vu au lycée, pas la vraie dé…nition), dé…nitions du cosinus et du sinus d’un réel, d’un angle orienté de vecteurs, propriétés, formules d’addition, de duplication... (le candidat a pressé le cercle trigonométrique comme un citron). III) Applications - Deux classiques : - Construction du pentagone régulier par le calcul de cos 25 - Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus. Les 15 min de présentation sont trop courtes pour une telle leçon. Stéphane condense au maximum et tient juste le temps imparti. Le jury lui demande de


254

CHAPITRE 28. TRIGONOMÉTRIE

démontrer la formule donnant cos( + ). Il leur propose une démonstration géométrique, avec le cercle trigonométrique et Thalès, sans le produit scalaire. Stéphane s’emmêle un peut les pinceaux mais arrive à ses …ns. Il évoque la démonstration qui utilise le produit scalaire et qui permet d’éviter d’envisager plusieurs cas de …gure. La deuxième question porte sur la justi…cation des dé…nitions des cosinus et sinus d’un angle aigu au collège. Stéphane répond correctement, mais le jury lui dit qu’il n’avait pas à démontrer certaines choses, ce qui surprend le candidat qui avait travaillé cette justi…cation en classe. Stéphane a ensuite droit à de nombreuses questions assez basiques : connaissezvous d’autres relations faisant intervenir le cosinus d’un angle ? (Al-Kashi) Quelle est la relation de Chasles pour les angles orienté de vecteurs ? On parle de la formule d’Al Kashi, et ainsi de suite, mais chaque fois que Stéphane répond, le jury passe à une autre question. Ah ! Stéphane se trompe en disant que les fonctions cosinus et sinus d’un angle aigu était abordés en 3e alors que c’était en 4e mais peu importe. Le jury ne s’est intéressé à aucune des applications proposées, et Stéphane est sorti de cette leçon pas vraiment déçu mais avec un goût d’inachevé. Qu’en pense donc le jury ? Le candidat estime avoir répondu à de nombreuses questions, et s’étonne de ce que le jury passe à chaque fois très rapidement à une autre question. C’est pourtant un bon signe qui prouve que vous avez répondu de façon su¢sante, et que votre réponse et vos connaissances à ce sujet ont été validées. Le jury ne s’est pas intéressé aux deux applications proposées : ce n’est pas grave. Il a décidé de véri…er que certains autres points étaient acquis, car il s’agissait de points capitaux. Peut-être n’avait-il tout bonnement pas envie de parler de ces exercices, disposant de su¢samment de questions sur le reste de la leçon pour tenir 30 minutes et dresser une carte convenable de leur candidat.

28.6

L’oral du CAPES réservé d’Aurélie

Aurélie a présenté son oral du CAPES réservé en avril 2013, et nous adresse ce précieux compte rendu. Celui-ci montre comment l’oral peut se dérouler et quels écueils on doit essayer d’éviter. Son témoignage montre combien il est souhaitable d’avoir énormément travaillé toutes les notions rencontrées en collège, comment il faut les faire siennes pour pouvoir ensuite naviguer à vue en étant au tableau et en devant répondre à des questions en temps limité. Il faut se préparer à ces questions consciencieusement et très tôt. Je laisse la parole à Aurélie :


28.6. L’ORAL DU CAPES RÉSERVÉ D’AURÉLIE

255

On nous fait entrer dans le collège à l’heure de notre convocation à une minute près. Ensuite, on entre dans le réfectoire, on présente convocation et carte d’identité et là commence les 30 minutes les plus longues de votre vie.... Sur les 10 ou 11 candidats présents, personne n’ose parler, alors on a rien d’autre à faire que regarder les minutes qui s’écoulent. Un conseil, faite comme moi, sortez un truc à lire, personne ne vous en empêchera. Ensuite, une personne vous emmène au premier dans la salle de préparation, une dame très rassurante qui s’exprime clairement et doucement, nous donne les indications o¢cielles pendant que les enveloppes avec les sujets nous sont distribuées. Rappel des objectifs de ce concours, des postes, du déroulement de l’épreuve... Rien de neuf mais c’est rassurant. Pas besoin d’apporter tout un tas de matériels (comme règle, équerre....) tout est interdit, vous ne pouvez prendre que des stylos. Information importante : le sujet vous a été concocté personnellement, par rapport à votre dossier et aux niveaux dans lesquels vous avez enseigné. Les sujets sont uniques et personnalisés et ils ont beaucoup insisté sur ce point, notamment pour justi…er que les candidats qui auront l’opportunité d’assister à des oraux ne seront pas avantagés. Comme si on pouvait y croire ! A l’heure prévue précisément, on vous donne le feu vert et on ouvre l’enveloppe et là tout le monde à penser la même chose (témoignages recueilli à la sortie) le sol s’ouvre sous vos pieds. En ce qui me concerne mon dossier porte sur les proportionnalités en 4e et mon sujet était : présenter la notion de cosinus d’un angle dans le cadre de l’enseignement de la géométrie en classe de 4e. Pour m’aider, 4 questions auxquelles je peux répondre ou pas, le sujet laisse entendre que si ce n’est pas dans l’exposé, le jury m’interrogera dessus. Vous n’avez le droit à aucun document et tout ce qu’on vous donne c’est le programme. Autant dire, rien ! 1) Donner une activité d’introduction de la notion du cosinus d’un angle aigu. J’ai proposé une activité dans laquelle il y aurait plusieurs triangles ABC rectangles en B (j’ai fait un schéma) dont on donnerai la valeur de l’angle BAC et les longueurs AB et AC. On demanderait aux élèves de calculer le cosinus de BAC puis AB/AC. Ensuite, quelle conjecture peut-on faire ? Puis on leur ferait noter le cours. 2) Donner une propriété du cosinus d’un angle aigu et la démontrer. Et la première erreur, je ne vois de quoi il s’agit alors je passe à la question suivante. 3) Dé…nition du cosinus d’un angle aigu. Je note : dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l’hypoténuse. Et je pense que le cosinus d’un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1. Là, je pense que la propriété qu’ils veulent


256

CHAPITRE 28. TRIGONOMÉTRIE

c’est surement l’histoire des rapports alors je cherche à le démontrer mais bien entendu je n’y arrive pas. Et puis moi je le donne comme une dé…nition alors est-ce que c’est une ânerie... Bref, je commence à être perdue. Je passe à la dernière question 4) Donner des exercices d’applications mettant en œuvre plusieurs utilisations possibles du cosinus d’un angle aigu. - Première utilisation : calcul de longueur, je donne des exemples. - Seconde utilisation : calcul d’angle, je donne aussi des exemples. J’ai pris le temps de préparer une introduction et une conclusion pour ne pas me focaliser sur cette démonstration que je ne trouve pas, et la dame dit c’est terminé, prenez toutes vos a¤aires et on vous emmène à votre jury. J’arrive devant la porte, je frappe et c’est parti ;) Je pense à faire quelques exercices de respiration abdominale avant de passer la porte, j’entre souriante, je salue le jury (un homme et une femme) et je m’installe comme on nous la expliqué avant la préparation, je remets ma convocation, puis on me dit : « c’est quand vous voulez ». Information : votre sujet et vos feuilles de brouillon pour la 2e partie sont à glisser dans une pochette prévue sur le bureau pendant la 1ère partie. Je démarre ma présentation, et pendant que je parle le jury acquiesce ce qui me fait penser qu’ils ont vraiment lu mon dossier. Je tiens pile les 10 minutes et les questions fusent, tout se passe bien, la femme essaye de me faire dire que mon activité aurait pu être mieux pensée, alors je défends mon choix en lui expliquant que mon but n’était pas de faire découvrir la proportionnalité mais d’amener les élèves à l’utiliser naturellement parce qu’ils l’ont déjà vu. Je ne sais pas si je l’ai convaincue ! Ensuite, il m’emmène sur le produit en croix, comment l’introduire, choix pédagogique de le voir qu’à partir de la 4e et démonstration de l’égalité, après un peu d’hésitation, je m’en sors. Elle me demande quelles transformations permettent de passer d’une …gure à une …gure semblable (je parle de …gures semblables dans mon activité), j’hésite, je pense similitudes, homothéties mais j’ai peur d’aller sur ce terrain que je ne maîtrise pas et j’hésite un peu trop longtemps puisqu’une autre question fuse, avant la …n des 20 minutes. Je place ma similitude de rapport k, elle semble satisfaite. On démarre la deuxième partie, je présente mon exposé et mes deux problèmes. Je mets 5-6 minutes, un peu court, je dis que le cosinus d’un angle est un nombre décimal, je sais que j’ai dit une connerie mais je perds pieds et je ne me corrige pas, je sais même pas pourquoi, avec du recul ça me paraît incompréhensible : c’est comme si ce n’était pas moi qui avait dit cela ! Lors des


28.6. L’ORAL DU CAPES RÉSERVÉ D’AURÉLIE

257

questions évidemment, ils m’ont emmené sur ce terrain et je me suis corrigée comme j’ai pu. J’ai parlé de nombres sous forme fractionnaire, de valeurs non exactes. Elle me demande de préciser. Je dis « avec un nombre in…ni de chi¤res après la virgule ». Je sens qu’elle veut que je parle d’irrationnels, et encore une fois je bloque car je ne me rappelle plus d’un angle dont le cosinus est irrationnel, et le cauchemar se poursuit1 , les questions se succèdent et je ne sais répondre à aucune. J’essaye de me raccrocher à quelque chose mais je ne vois pas le lien avec la classe de 4e. Entre autres, on me demande quelle est la fameuse propriété. Je réponds, elle me dit c’est une propriété ? Je réponds non, qu’il s’agit d’une dé…nition, et elle attend et je ne sais pas quoi dire. Ensuite elle me demande comment trouver le cosinus sans calculatrice mais j’en ai pas la moindre idée, donner moi le cosinus d’un angle que vous connaissez, je pense à ce que j’ai vu au lycée, mais plus aucun ne me reviens. Elle me demande si le cosinus peut être négatif, je dis oui. Quand ? Et là à nouveau je m’embrouille dans les angles, parlant même d’angle saillant, je creuse un peu plus ma tombe. p Avec des indications, je …ni par démontrer que cos 45± = 22. Puis elle me demande si j’ai enseigné au lycée. Je réponds que non, et elle semble gênée car comprend qu’on n’était pas sur la même longueur d’onde. J’étais toujours au collège moi2 . Là je me débloque et parle de cercle trigonométrique, avec hésitation j’en dessine un, elle me fait une remarque. Je me dit que je dois l’orienter, puis je trouve où on lit le sin et le cos, et j’arrive à répondre à LA question qui je crois était la propriété attendue : le signe du cosinus en fonction de la valeur de l’angle. Elle me demande d’écrire l’angle 0 de mon cercle d’une autre manière, j’écris 42 = 2, puis même chose pour 32, j’écris 32 = ¡2. Erreur fatale, je recti…e en disant que ce ne sont, bien sûr, pas deux nombres égaux, mais qu’ils sont placés au même endroit sur le cercle. Elle me demande d’écrire une égalité, je l’écris avec le modulo puis avec 2. Elle me demande la nature de . Je réponds que c’est un entier. Elle me dit « positif ? », je réponds que non, il peut être négatif, et j’écris  appartient à Z. 1

NDA : dans le feu de l’action la candidate n’arrive plus à rassembler ses souvenirs sur le cosinus d’un angle qui serait manifestement irrationnel. Ce passage montre l’importance de beaucoup s’entraîner pour expliquer des « banalités » qui n’en sont pas quand on est stressés au tableau. 2 NDA : il faut donc toujours répondre en s’autorisant tous les écarts nécessaires. Si l’on ne voit pas comment répondre à une question en restant au niveau collège, il ne faut pas s’interdire de proposer une réponse à n’importe quel niveau que l’on maîtrise, qui à le préciser si on le désire ou si le jury le demande.


258

CHAPITRE 28. TRIGONOMÉTRIE

Fin du calvaire je ramasse mes a¤aires, rends le sujet mais garde mes brouillons, puis je leur souhaite une bonne …n de journée avant de leur dire au revoir et de sortir. Bilan, je suis très déçue de ma 2e partie. C’est très déstabilisant et je ne maîtrisais vraiment pas le sujet. J’aurai du comprendre tout de suite que j’avais inversé la propriété et la dé…nition. J’aurai dû corriger quand j’ai parlé de ce foutu décimal. Mais je ne peux plus rejouer le match... Il n’y a plus qu’ à attendre les résultats ! Bon courage à tous !

28.7

Dans des manuels de collège

L’énoncé direct du Théorème de Thalès dans le triangle est proposé pour la première fois en quatrième, et l’étude de cet énoncé est immédiatement suivi par l’introduction du cosinus d’un angle droit d’un triangle rectangle. Des activités diverses permettent de conjecturer que certains rapports de distance restent égaux, puis on démontre cette conjecture en utilisant le Théorème de Thalès, pour appeler en…n cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle le rapport du côté adjacent sur l’hypoténuse. A ce niveau, l’angle aigu est attaché au triangle, ce qui ne pose pas de problème. Mais que répondra un candidat au CAPES si le jury lui fait remarquer que l’on a ainsi dé…ni le cosinus d’un angle aigu d’un angle d’un certain triangle rectangle particulier, et de lui expliquer pourquoi cette dé…nition est en fait aussi celle du cosinus d’un angle aigu quelconque (sans lien avec un quelconque triangle rectangle déjà tracé) et que cela a un sens (donc donne le même résultat quel que soit l’endroit où l’on a représenté l’angle par deux demidroites de même origine) ? La question n’est pas bien méchante puisqu’il su¢ra d’expliquer que des angles géométriques de demi-droites sont égaux si, et seulement si, il existe une isométrie qui fait passer du premier couple de demi-droites au second, et que dans ce cas, la construction de triangles rectangles ad hoc permettant de dé…nir le cosinus donne le même résultat, puisqu’une isométrie conserve l’orthogonalité et les distances ! Nous voilà tirés d’un mauvais pas à l’oral. Mais pas d’inquiétude, je ne pense qu’il y a peu de chances pour que l’on pose une telle question si l’on tombe sur cette leçon à l’oral. Pour préparer sa leçon d’oral, n’oublions pas d’utiliser les livres de 4e et de 3e à notre disposition pendant les 2h30 de préparation, pour y puiser un exercice sur tableur ou quelques énoncés d’applications immédiates du Théorème de Thalès et du cosinus. La fig. 28.2 montre un exercice d’application bien intéressant sur les lentilles convergentes proposé dans le manuel Prisme 4 e (programme 2009). On peut


28.8. DÉRIVÉE DE SINUS ET COSINUS PAR LES AIRES

259

le proposer en ne retenant que les questions 2.a, b et c et en proposant un dessin épuré au tableau ou sur open o¢ce. Les exercices de calculs de distances sont légion dans les manuels de collège, et montrent que l’utilité principale des Théorèmes de Thalès et de Pythagore, comme de l’introduction des sinus et cosinus, est le calcul des longueurs, et en particulier celui des longueurs inaccessibles. On sait donc quoi répondre si un membre du jury nous demande à quoi sert le cosinus...

Fig. 28.2 – Exercice 85 du Prisme 4 e (programme 2009)

28.8

Dérivée de sinus et cosinus par les aires

Ce qui suit est un extrait de mon livre Brèves de mathématiques [37] où l’on retrouve, comme par hasard, des développements qui intéressent le CAPES mathématiques. Comme l’utilisation des aires comme outil de démonstration est à la mode, et bien adapté au collège, pourquoi ne pas donner une démonstration géométrique au calcul de certaines limites ?


260

CHAPITRE 28. TRIGONOMÉTRIE

Qui plus est ces remarques conviennent parfaitement à qui introduit les fonctions sinus et cosinus des angles orientés comme on le fait au lycée sin  ² Montrons que lim!0 = 1.  Soit  2 ]0 2[. Un repère orthonormal étant …xé, on trace un point  sur le cercle trigonométrique et dans le premier quart de plan (fig. 28.3). Posons  (cos  sin ). L’aire du secteur angulaire saillant  est 2. En comparant les aires des triangles  et  , et celle du secteur angulaire saillant , on obtient : sin  ·  · tan 

(¤)

sin  · 1  Il su¢t de faire tendre  vers 0 par valeurs positives dans ces inégalités pour obtenir : sin  lim = 1 !0+  d’où cos  ·

Fig. 28.3 – Prouver que lim!0

sin  = 1. 

Comme :

sin  sin(¡) sin  = lim = lim = 1 !0¡  !0+ !0+  ¡ sin  on obtient bien lim!0 = 1.  lim

² Connaître la limite de (sin ) quand  tend vers 0 permet de calculer les fonctions dérivées de cos  et sin . En e¤et : µ ¶ sin( + ) ¡ sin  2   = sin cos  + ¡! cos    2 2 !0


28.8. DÉRIVÉE DE SINUS ET COSINUS PAR LES AIRES et :

261

µ ¶ cos( + ) ¡ cos  2   = ¡ sin sin  + ¡! ¡ sin    2 2 !0

² On notera que les limites de cos  et sin  quand  tend vers 0 se déduisent facilement de la majoration sin  ·  obtenu dans (¤). Comme  est dans le premier quart de plan, on a 0 · sin , et donc : 0 · sin  ·  pour tout  2 ]0 2[, ce qui permet d’a¢rmer que lim!0+ sin  = 0. L’imparité de la fonction sinus permet d’obtenir la même limite lorsque  tend vers 0 par valeurs négatives. Quant à cos , il su¢t de remarquer que : p cos  = 1 ¡ sin2  pour tout  2 [¡2 2], pour en déduire que lim!0 cos  = 1.


262

CHAPITRE 28. TRIGONOMÃ&#x2030;TRIE


Chapitre 29

Relations métriques et angulaires dans un triangle 29.1

Questions

29.1.1

Questions A

Question 29.1 Démontrer que la somme des angles d’un triangle est un plat. Question 29.2 Les dé…nitions des sinus et des cosinus d’un angle sont-elles irrémédiablement liées à un triangle rectangle ? Question 29.3 [28] Enoncez une condition nécessaire et su¢sante pour qu’un triangle de côtés de longueurs imposées , ,  (   2 R¤+ ) soit constructible. Démontrez-là. Question 29.4 [28] Démontrer le Théorème de Pythagore sans utiliser le produit scalaire. Question 29.5 [28] Démontrer la réciproque du Théorème de Pythagore sans utiliser le produit scalaire. Question 29.6 [28] (Oral du CAPES interne 2007) Etant donnés trois nombres positifs , ,  tels que 2 + 2 = 2 , montrez que l’on peut tracer un triangle dont les côtés sont de longueurs ,  et . Question 29.7 [28] (Ecrit du CAPES interne 1993) Enoncez et démontrez la formule d’Al Kashi dans un triangle quelconque. Question 29.8 [28] Montrer qu’un triangle  est rectangle en  si et seulement si  appartient au cercle de diamètre []. 263


264

CHAPITRE 29. RELATIONS DANS UN TRIANGLE

Question 29.9 ~[28] Soient  un triangle rectangle en , et  le pied de la hauteur de ce triangle issue de . Montrer que  2 = . La réciproque est-elle vraie ? Question 29.10 ~[28] Soient  un triangle rectangle en , et  le pied de la hauteur de ce triangle issue de . Montrer que 2 =  £ . La réciproque est-elle vraie ? Question 29.11 ~[28] Soient  un triangle rectangle en , et  le pied de la hauteur de ce triangle issue de . Montrer que  £  =  £ . La réciproque est-elle vraie ? Question 29.12 Comment calculer sin (6) ? cos (3) ?

Question 29.13 [28] (Ecrit du CAPES interne 2009) Soit  un triangle b  b et , b d’aire . Soit  le rayon de son cercle de côtés , , , d’angles , circonscrit. Démontrez la formule des sinus :     = = = 2 =  b sin  b b 2 sin  sin 

Question 29.14 ~[28] Montrer que la bissectrice intérieure issue de  du triangle  coupe () en un point  tel que :    =¡     Question 29.15 [31] Théorème de la médiane Soit  un triangle non aplati. Soit  le milieu de []. Démontrer que :  2 +  2 = 2 2 +

 2  2

Question 29.16 [30] Quels que soient les points ,  et  du plan, on sait que  ·  + . C’est l’inégalité triangulaire bien connue. Pouvez-vous démontrer cette a¢rmation ? Réponse — On peut répondre par une entourloupette en disant qu’il s’agit d’un des axiomes de la géométrie euclidienne, et qu’un axiome ne se démontre pas, mais sert à construire une théorie. Ce sera vrai si nous nous plaçons dans le cadre de l’axiomatique d’EuclideHilbert, et cela su¢t pour enseigner au collège, puisqu’à ce niveau on expérimentera sur des …gures, on verra que l’on a toujours  ·  +  quels


29.1. QUESTIONS

265

que soient les points , , , et l’on rajoutera que la plus courte distance d’un point à un autre est la ligne droite. Le « bon sens » nous demande alors d’admettre que cette inégalité est toujours véri…ée. On en fait un postulat, un axiome. Mais si le jury insiste en disant que l’on peut toutefois démontrer cette inégalité en se plaçant dans un contexte di¤érent (et plus récent), il faudra bien trouver autre chose. On se rappellera alors que depuis le XXe siècle on présente la géométrie d’une façon un peu plus générale (du moins à l’université) et que l’on se place dans une axiomatique espaces vectoriels - espaces a¢nes pour ensuite dé…nir et travailler dans des espaces a¢nes euclidiens. On dispose ainsi de toute la puissance des espaces vectoriels euclidiens et du produit scalaire. Dans ce cadre, on peut dire que :  ·  + 

¡! ¡¡! ¡! ¡¡! , jj + jj · jjjj + jjjj ¡! ¡¡! ¡! ¡¡! , jj + jj2 · (jjjj + jjjj)2 ¡! ¡¡! ¡! ¡¡! ,  · jjjjjjjj

en développant et réduisant. Il su¢t de rappeler la formule de Cauchy-Schwarz ([21], Th. 72) : ¯¡! ¡¡!¯ ¡! ¡¡! ¯ ¯ ¯ ¯ · jjjjjjjj

qui s’écrit aussi  ( )2 ·  ( )  ( ) lorsque  est une forme bilinéaire symétrique positive, et pour tous vecteurs ,  d’un espace vectoriel euclidien, pour conclure à : ¡! ¡¡! ¯¯¡! ¡¡!¯¯ ¡! ¡¡!  · ¯ ¯ · jjjjjjjj Question 29.17 [20] Démontrer la caractérisation métrique d’un segment, autrement dit l’équivalence : ( 2 [] ,  =  +  ).

Question 29.18 [20] Montrer qu’un point  appartient à une droite () si et seulement si j ¡ j =  ou  +   = .

29.1.2

Questions B

Question 29.19 Y-a-t-il une di¤érence entre une aire et une surface ? Réponse — Une aire est la mesure d’une surface (...). Question 29.20 [30] Montrer qu’une rotation plane conserve les distances.


266

CHAPITRE 29. RELATIONS DANS UN TRIANGLE

Réponse — Considérons la rotation ­ de centre ­ et d’angle , et les images  0 = ­ ( ) et  0 = ­ () de deux points  et  distincts ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! de ­. Alors (­ ­ 0 ) = (­ ­ 0 ) entraîne (­ ­) = (­ 0  ­ 0 ) et la formule d’Al Kashi dans les triangles ­ et ­ 0  0 donne : ( ¡¡! ¡¡!  2 = ­ 2 + ­ 2 ¡ 2 ­ ­ cos(­  ­) ¡¡! ¡¡!  0  02 = ­ 02 + ­ 02 ¡ 2 ­ 0 ­ 0 cos(­ 0  ­ 0 ) d’où  =  0  0 . Une rotation plane est donc bien une isométrie.

29.1.3

Questions C

Question 29.21 [28] Dessiner un triangle  rectangle en , puis le pied  de la hauteur issue de . Combien voit-on de triangles semblables sur cette …gure ? Justi…er. Quelles relations métriques peut-on en déduire ? Question 29.22 [30] (Manuel Transmath de seconde, 2000)  est un triangle rectangle en  et  est le projeté orthogonal de  sur []. Démontrez que : aire() b 2 = (tan ) aire() Réponse — On fera un dessin. On a tout d’abord :

aire()  £  2  = £ = aire() 2  £   \=\ puis en rappelant que  , on obtient :

d’où :

b =  =  tan   

aire()    b 2 = = £ = (tan ) aire()   

Question 29.23 [28] a) Soit  un triangle de côtés ,  et , d’aire , et de demi-périmètre . Montrez la formule de Héron : p  =  ( ¡ ) ( ¡ ) ( ¡ ) b) Montrez que  =  = ( ¡ )  = ( ¡ )  = ( ¡ )  où  est le rayon du cercle inscrit à  et où  (resp.  ,  ) est le rayon du cercle exinscrit dont le centre appartient à la bissectrice intérieure issue de  (resp. p , ). Déduisez-en la formule  =     .


29.2. TÉMOIGNAGE DE FÉLIX

267

Question 29.24 [30] (Baccalauréat 1905, Nancy) Etant donnés la surface et les angles d’un triangle, déterminer ses trois côtés. b , b  b et les formules : Réponse — On connaît , ,

1 b = 1  sin  b = 1  sin  b  =  sin  2 2 2

donc tout revient à résoudre le système : 8 <  =   =  :  = 

b  = 2 sin  b et  = 2 sin . b On trouve  = ,  =  où  = 2 sin ; et la condition de compatibilité :   £ =  

s’écrit  =

r

 . Ainsi :    = p  = 

En remplaçant : =

r

 = 

s

r

 

b 2 2 sin  £ £ = b sin  b 2 sin 

et par permutation circulaire : s b 2 sin  = b sin  b sin 

29.2

 et  = p  =

et  =

Témoignage de Félix

s

r

s

  

b 2 sin  b sin  b sin 

b 2 sin   b sin  b sin 

Voici un témoignage, reçu en mai 2008, et concernant un oral de CAPES interne passée en 2005. Ce témoignage m’a été envoyé « toute honte bue », selon les termes de mon correspondant qui, vous le verrez, ne manque pas d’humour... Le prénom du candidat a été modi…é et nous l’appellerons Félix.


268

29.2.1

CHAPITRE 29. RELATIONS DANS UN TRIANGLE

Le candidat raconte

Thème – Introduire le théorème de Pythagore en 4ème, sans TICE. Documents proposés – Trois démonstrations, piochés dans des manuels scolaires. Les démonstrations d’Euclide, de Gar…eld et de Pythagore (quatre triangles rectangles formant un carré, la preuve étant appelée « preuve moderne » sur Wiki !). Travail demandé – Justi…er le choix d’une démonstration, puis proposer une liste d’exercices. I Présentation de la leçon Pour seule préparation, j’avais lu le programme o¢ciel où il est mentionné : « les candidats doivent pouvoir situer les contenus (. . . ) dans une perspective historique (. . . ) ». Je décide alors de présenter Euclide sous son meilleur jour, qui n’était pas le mien : en 30 secondes chrono, face au jury, je fais l’unanimité contre moi ! En e¤et, ce que je pense être l’inspectrice m’interrompt et me signale que la démonstration est du niveau seconde. Passe le témoin au « big boss » (sûrement prof. de fac) qui con…rme. Passe le témoin au prof. « du bout » qui con…rme - ce n’était déjà plus utile. Temps suspendu. Solitude. Je pense à une perspective historique : le massacre de la St Barthélemy ! J’ai donc grand’peine à glisser, tourner, déformer les triangles de la démonstration sur le tableau noir comme mon destin. Une lueur dans ce puit sans fond : le colimaçon de Pythagore que je propose en exercice. . . On se retrouve lors de l’entretien face à un bébé mort-né (toute proportion gardée), mais le jury fait son boulot. Pêle-mêle : passer la démonstration au peigne …n, vocabulaire, dé…nition d’un angle, rentrant, saillant. . . Le jury propose d’autres démonstrations. Au lycée : sommet de l’angle droit abaissé sur l’hypoténuse, triangles semblables. . . J’agace ? Mes réponses sont données in extremis. . . Temps écoulé, dépassé : colimaçon (ré‡exion du jury : exercice intéressant mais on n’a plus le temps), Al-Kashi ? Trop tard ! Autre jury (plutôt bienveillant), autre candidat, autre sujet, à propos d’un terme employé : « Attention, vous savez, si vous nous parlez de convergence, on vous demande les dé…nitions précises et ce qui suit. . . ». Cela s’est réellement passé ! Note : 8/20. Pas si mal compte tenu de la prestation. Note que je traduis ainsi : « revenez-nous voir quand vous serez préparé ».


29.2. TÉMOIGNAGE DE FÉLIX

269

Ah ! Si j’avais pu lire les bonnes leçons de D.-J. Mercier1 ) ! I Moralité 1) Oubliez les perspectives historiques ; 2) « Mâchez » les théorèmes et leurs démonstrations ; 3) N’évitez pas, pointez les di¢cultés ; 4) Leçon : 30 min, c’est court, allez à l’essentiel ; 5) Entretien : 45 min, c’est long, allez à l’essentiel ! 6) Soyez technique : on parle à des spécialistes (on le sait mais il faut s’en convaincre). I Deux questions posées par Félix à propos de ce témoignage 1) Quand le jury parle d’exercice intéressant pour le colimaçon de Pythagore, le seul sous-entendu est-il sur les nombres (plus généralement …gures) constructibles ? Aurait-il l’audace de nous cuisiner lors de l’entretien sur des structures algébriques du genre (extension de) corps ? 2) Je vois un développement moins classique pour cette leçon : di¤érentes démonstrations d’un même exercice. Par exemple relier un point et le point d’intersection de deux droites sécantes en dehors de la feuille de papier, en proposant des preuves di¤érentes (voir Question 29.25 p. 271). Est-ce pertinent (risqué ?) : jury réjouit ou agacé (dans l’attente d’une leçon purement Pythagore) ? Dans l’exercice ci-dessus, je ne veux mettre en relief qu’une partie du sujet de l’oral du capes, en oubliant le Théorème de Pythagore. L’idée est de surprendre agréablement le jury (qui s’ennuie à mourir) et lui proposer à mon tour (mon ego est élastique !) plusieurs démonstrations d’un même exercice. Je propose alors : - De ramener le point d’intersection dans la feuille grâce à une transformation bien choisie : symétrie axiale (6ème) ou centrale (5ème), translation (en seconde), puis utiliser la transformation réciproque. - De construire un triangle pour utiliser son orthocentre (voir troisième solution de l’Exercice 29.25) - De dire qu’il existe beaucoup d’autres solutions et que chacune peut être proposée à un niveau ou un autre d’enseignement (par exemple la première solution de l’Exercice 29.25 qui utilise des triangles rectangles). 1

Il s’agit du chap. 7 du Vol. II [18]. J’ai laissé le texte tel quel car il est trop croustillant, et que je suis bien content de m’être fendu dans le Vol. II de plusieurs preuves di¤érentes et historiques du Théorème de Pythagore (§. 7.2.5 en complément). Cela prouve que l’idée de rajouter des compléments et des approfondissements tous azimuths n’est pas mauvaise.


270

CHAPITRE 29. RELATIONS DANS UN TRIANGLE

Je pense éviter le hors sujet car je me focalise sur « choisir une démonstration » plutôt que sur le thème du Théorème de Pythagore, et car il s’agit bien ici de choisir une démonstration en fonction du matériel dont on dispose dans une classe particulière (voir ce qui m’a été reproché en présentant la preuve d’Euclide en quatrième). J’espère aussi - secrètement - mettre en place un raisonnement du type analysesynthèse au collège : dessiner le point d’intersection  au brouillon pour voir ce qui se passe. I Une dernière remarque Selon moi, votre leçon sur le triangle rectangle ([18], Chap. 7) cadre parfaitement avec le concours : dé…nir l’existant et élaborer un meilleur chemin de construction. C’est l’activité même du professeur du second degré que je mettrai en avant pour le prochain oral. Je l’applique déjà à la leçon sur la division euclidienne où l’on travaille avec N en sixième, puis avec Z en lycée, et les démonstrations qui vont avec, proposées ou non aux élèves. Bref, il s’agit de montrer que l’on a ré‡échi aux leçons et que l’on arrive à pointer les di¢cultés. J’ai raté cette leçon de rêve mais on ne m’y reprendra pas !

29.2.2

Commentaires

Je peux essayer de faire quelques commentaires, et répondre à vos deux questions. Attention, tout ce que je dis ici n’engage que moi et doit toujours être relativisé. Les paramètres qui entrent en ligne de compte sont nombreux et parfois insoupçonnés ! X Votre témoignage nous fait prendre conscience des attentes du jury et de la façon dont on peut facilement se placer hors sujet. Il est intéressant, mais m’a un tantinet énervé car, si la preuve d’Euclide n’a qu’un seul défaut, celui d’utiliser une rotation qui malheureusement ne fait pas partie du programme de quatrième, je frémis toujours à l’idée qu’on puisse rater un oral pour une si petite chose. J’ai révisé la preuve d’Euclide sur mon livre, car je l’avais oublié. Ma première réaction a été de dire qu’elle pouvait convenir en quatrième où l’on sait calculer l’aire d’un triangle, mais j’ai ensuite vu la rotation. X A la …n de votre compte rendu, j’ai été un peu rassuré de m’apercevoir vous avez obtenu un 8/20, ce qui n’est pas une très mauvais note. Certaines questions sont éliminatoires, d’autres "coûtent cher" mais sont toujours susceptibles d’être rattrapée dans la suite de l’entretien. Il ne faut donc jamais baisser les bras, mais agir pour le mieux, comme vous l’avez fait, et la note


29.2. TÉMOIGNAGE DE FÉLIX

271

remonte. Jusqu’où ? On est pas devins. Disons qu’elle peut remonter de façon nette, prompte et inattendue. X Je tire une conclusion : pour l’interne encore plus que pour l’externe, il semble nécessaire de « potasser » su¢samment les programmes des collèges et lycées. Diable : le jury comprend normalement un inspecteur (spécialiste des programmes), un enseignant-chercheur de la faculté, et un enseignant en lycée ou de collège (en général lycée, et en général agrégé). L’aspect « programme » ne doit donc pas être mis de côté. X Pour répondre à votre première question, il faudrait savoir pourquoi le jury a trouvé l’histoire de colimaçon intéressante. Elle permet de construire des radicaux à la règle et au compas, donc d’introduire le problème plus général de la constructibilité des nombres à la règle et au compas (instruments de Platon), des rationnels, des extensions algébriques de corps... Normalement le jury ne devrait pas trop pousser dans cette direction, mais si le candidat en parle, il le peut. Il faudra donc parler des avantages de cette confuration avec modération et en choisissant ses termes ! On pourrait aussi parler de l’orbite d’un point sous l’action d’une similitude directe, mais seulement si on connaît bien les similitudes, car cela donnera l’occasion au jury de poser des tas de questions pour connaître l’étendu des connaissances du candidat, et la façon dont il en parle ! X Je réponds à votre seconde question. Personnellement je trouve cet exercice très intéressant, et la place à la Question 29.25 dans ce document sur les triangles rectangles. Mais à bien y ré‡échir, où est Pythagore ? Je ne vois pas de calcul de distances, mais seulement la construction d’un cercle circonscrit au triangle  0 où  est notre point, et ,  0 les projetés orthogonaux de  sur les droites sécantes. En lisant votre justi…cation du choix de cet exercice, je m’aperçois que vous voulez proposer une activité qui possède plusieurs réponses di¤érentes suivant le niveau où l’on se place, et voilà sans doute une bonne idée. Pourquoi pas ?

29.2.3

L’exercice proposé par le candidat

Question 29.25 Tracer la droite qui relie un point et le point d’intersection de deux droites sécantes en dehors de la feuille. Proposer des preuves di¤érentes. Réponse — Voyons plusieurs réponses possibles : Première solution — J’ai tout de suite pensé à projeter orthogonalement le point  donné sur les droites sécantes  et 0 , disons en  et  0 (FIG. 29.1).


272

CHAPITRE 29. RELATIONS DANS UN TRIANGLE

Si  désigne le point d’intersection de  et 0 , celui qui est inaccessible, on constate que les triangles  et  0  sont rectangles d’hypoténuse [], donc que les points , ,  0 ,  appartiennent au cercle de diamètre []. Si  désigne le milieu de [], il su¢t de tracer () pour obtenir la droite () et conclure. Si  a encore le mauvais goût d’être hors de la feuille, le Théorème de Thalès et des constructions ad hoc (fig. 29.1) permettront de troquer  pour un point 1 de la feuille tel que ( ) = (1 ) et de conclure quand même.

Fig. 29.1 – Construction de () Deuxième solution — On ramène le point d’intersection dans la feuille grâce à une transformation bien choisie : symétrie axiale (6ème) ou centrale (5ème), translation (en seconde), puis on utilise la transformation réciproque. Troisième solution — Sur la fig. 29.1, si  coupe ( 0 ) en , et si 0 coupe ( ) en  , le point  apparaît comme l’orthocentre du triangle   dont on connaît deux hauteurs (  0 ) et (). La perpendiculaire à (  ) issue de  sera alors la droite () que l’on doit tracer.


29.3. TÉMOIGNAGE DE PHILIBERT

29.3

273

Témoignage de Philibert

Voici un compte-rendu d’oral du CAPES interne 2008 posté le 12 juillet 2008, où l’on parle du cosinus d’un angle en quatrième. Le prénom du candidat a été volontairement modi…é. Je suis admis au capes interne 2008. Mais qui en doutait ? Ah si ! Le jury qui, m’octroyant 13/20, s’en remettait en partie à la note d’écrit et à la providence ! Je vous livre ici mon témoignage en bonne et due forme, étape par étape : j’ai tenté de faire court. L’essentiel s’est joué avant l’oral. Ce succès est donc d’abord le votre : votre site, vos ouvrages, vos mails. Mais si ! On reviendra fureter sur le site pour préparer. . . L’agreg ? Interne ? Merci ! [Ma réponse : j’ai proposé quelques outils mais le succès vous en revient entièrement. Le candidat se retrouve seul au moment des épreuves, avec uniquement ce qu’on a compris et vraiment retenu par lui-même, ce qui dépendra du temps qu’il aura investi et des documents plus ou moins bien centrés sur le sujet qu’il aura utilisé, mais c’est bien lui qui fait tout le travail et tous les approfondissements, et quel travail ! Bravo pour votre réussite, et merci pour votre compte-rendu d’oral] PREPARATION : JOUR J - 1 MOIS Signe particulier : admissible 3 ans plus tôt, oral catastrophique. ² Je glane des témoignages sur le net : le site de C. Vassard de Rouen, spéci…que à l’interne, et MégaMaths. C’est su¢sant. ² J’essaie de comprendre mon échec lors du précédent oral : je trouve en D.J. M. les réponses à mes questions (cf. exposé-type triangle rectangle ; mails). . . le début de ma psychanalyse : le cas Emma B. ² J’épluche les démonstrations en arithmétique dans les moindres détails ; j’alterne avec la géométrie ; je n’hésite pas à poser des questions débiles. ² A mi-parcours, je me rends compte que je suis nul en math. (j’avais déjà des doutes) et qu’il n’y a toujours pas de leçon sur laquelle je souhaiterai tomber sans m’exposer au terrible entretien de 45mn. . . ² Je forge donc ma leçon idéale sur le PGCD, plusieurs jours durants. Les questions du jury sont faciles à imaginer : preuve div. euclidienne, congruences, critères de divisibilité. . .


274

CHAPITRE 29. RELATIONS DANS UN TRIANGLE

² Le temps me manque : je comprends la dynamique du mouvement inachevé et la fait mienne (cf. « …nitude absolue » de D.-J. M. citant Toshiro Kageyama en avant-propos). ² Je sors avec ma valise de 500kg. . . et remarque qu’il est bon et beau d’associer nombre et unité de mesure dans les calculs (cf. Y. Chevallard ou doc. d’accompagnement « Grandeurs et mesures »). JOUR J : 2 HEURES DE PREPARATION Thème retenu « introduction du cosinus en 4e & présentation d’au moins une propriété » (non tice) Thème rejeté « production de formules algébriques en 4e » (tice) avec une ‡opée d’exercices (3 pages min, infaisable ! ?) Deux documents proposaient comme séquences d’intro. : conjecture (dont une tice), puis déf. / démonstration. Un coup de pouce du destin ! Le compte-rendu d’oral « angle inscrit, cocyclicité » mise en ligne sur MégaMaths illustrait exactement cette leçon ! ! J’avais même posé une question et obtenu la réponse de ce cher D.-J. M. (encore lui) pour l’adapter au niveau 4e ! ! ! Points d’orgue : aborder la notion à partir d’un angle et non d’un triangle, fut-il rectangle ; présenter l’inversion des rapports de projection, pour assurer l’unicité. Pour la mise en œuvre pratique, je disposais dans mes notes personnelles d’un doc. du CNDP, pillé honnêtement chez un titulaire, qui adoptait ce point de vue. Pour autant, au bout d’une heure, je n’avais rien écrit, rien décidé ! Conjecturer ou appliquer directement Thalès ? Donner la dé…nition pour un angle, puis l’appliquer au tri. rect. sous la forme d’une proposition, quitte à éloigner momentanément les élèves de la seule notion exigible ? Finalement, je rédigeai vite le plan de la séquence, puis la note de synthèse : déf. + propriété. Le reste sera improvisé ! JOUR J : 30 MINUTES D’EXPOSE Pas de craie blanche ! Rouge, bleu, vert, mais pas de blanc ! Une mise en scène ? Je me mords la langue pour ne pas questionner directement le jury : du jaune ! Plus tard : l’équerre et le compas XXL placés dans les coins, pour me dissuader de tourner le tableau ? Peuh ! En intro. : les prérequis ;


29.3. TÉMOIGNAGE DE PHILIBERT

275

I. Reproduction d’un angle géométrique (pour distinguer secteur angulaire et mesure d’angle, a…n d’éviter les sempiternelles questions : qu’est-ce qu’un angle ? de droites ? orienté ? . . . ) II. Rapports invariants (pas de conjecture  les élèves peuvent, de mon point de vue, reconnaître la con…g. de Thalès placée en prérequis ; cas important : l’inversion) III. Dé…nition (pour un angle puis appliquée au triangle rectangle) IV. Une propriété du cosinus (tableau de valeurs / conjecture / démonstration = 0  cos  1 N.B. strictement) En conclusion : les lignes trigonométriques plutôt en troisième. 30 min pile poil ! [pour le lecteur : pause pédagogique] JOUR J : 45 MINUTES D’ENTRETIEN (sur le ton de la conversation, jury bienveillant (homme+femme) tout sourire) Les questions portent essentiellement sur l’exposé ; pèle-mèle : ² Jury : lien entre cosinus "géométrique" et touche COS de la calculatrice ? Rép. quésaco ? Jury : comment passer de l’angle au nombre ? Rép. (après précisions) la mesure ! ² Jury : usage de Thalès ? Rép. la proportionnalité ! Jury : préciser le rapport de proportionnalité. . . Rép. le (fameux) k, puis les produits en croix. Jury : c’est exactement ça le cosinus ! ² Jury : avec votre tableau de valeurs, l’élève conjecture 0 02 ·  · 1 : pourquoi ? Comment résoudre le pb (0 ·  · 1) ? Rép. Etendre le tableau et prendre 89,1± , 89,2± . . . ² Jury : qu’est-ce que le côté adjacent ? Dé…nissez l’hypoténuse ! Rép. côté le plus long. Jury : donc, pas besoin de Pythagore ! Rép. côté opposé à l’angle droit (piège classique). ² Jury : dé…nition possible en 3e ? Rép. premier quadrant du cercle circonscrit ! non trigonométrique ! Jury : intérêt ? Rép. cos2  + sin2  = 1. Jury : m’oui ! ? Rép. n± 2 : encadrement et cos(0± ) = 1 et cos(90± ) = 0. Jury : tangente aussi. ² Jury : revenons sur le doc. n± 1 : pourquoi ne pas utiliser cette activité tice ? Rép. pas de con…g. de Thalès "observable" ! Jury : comment faire ? Rép. tracer la droite puis déplacer les points, tracer à nouveau. Jury : alors ? Rép. d’accord, mieux qu’au tableau : avec vidéo-projecteur !


276

CHAPITRE 29. RELATIONS DANS UN TRIANGLE

² Jury : pourquoi, dans la scolarité, cosinus avant sinus ? Rép. choix "arbitraire" ou pb de prérequis. ² Jury : dans quel cadre évoluons-nous dans cette leçon, cadre qui n’est peut-être pas ou plus au programme ? Rép. les projections, enseignées avant au collège (j’en étais : émotion palpable). ² Jury : on peut donc voir le cosinus comme un vestige des projections ; historiquement : sinus. Rép. merci (sincère) ! BILAN ² A mon avis, beaucoup de micro-imperfections dans l’exposé : pas assez insisté sur l’existence (dénominateurs non nuls : remarque orale uniquement, sans développer), oubli d’un prérequis (inégalité triangulaire : remarque orale pour s’assurer que les angles du triangle rectangle sont aigus), manque de rigueur dans la démonstration, ré‡exion par rapport à la bissectrice : conservation de l’alignement oubliée pour pouvoir appliquer Thalès. . . ² . . . compensées par des valeurs sûres : distinction secteur/mesure d’angle ; point de vue angle / triangle rectangle ; inversion. J’engrange de précieux points ! Le jury a cherché à combler le trou béant de ma leçon : le passage de l’angle géométrique à sa mesure et …nalement, n’est pas monté bien haut (j’étais prêt à leur donner cos(a-b) !). . . ² . . . travailler les leçons en amont est donc essentiel pour ne pas s’exposer aux questions spéci…ques (2h de prépa, ça reste court), tout en gardant sa spontanéité : oublier ses notes, critiquer mais utiliser les documents surtout tice (cf. rapport de jury), s’appuyer sur les programmes. ² Si c’était à refaire : lire AVANT L’ECRIT les « épreuve[s] d’exposé au capes de mathématiques » de D.-J. M. (vol. I, II, III et IV), divisées en 1) exposé-type 2) commentaires 3) approfondissements, géniales in …ne pour dévoiler la mécanique de l’oral (épreuve la plus éprouvante pour le capes interne). ² Ah, oui ! D.-J. M. est votre meilleur ami, pour un mois ou une année. Bonne chance à tous. . .


Chapitre 30

Constructions géométriques 30.1

Questions

30.1.1

Questions A

Question 30.1 Pouvez-vous construire la moyenne proportionnelle de deux nombres  et  à la règle et au compas ? Question 30.2 {[28] Q245} Dessiner deux con…gurations géométriques qui p peuvent être utilisées pour construire le nombre  à la règle et au compas (une fois l’unité et un segment de longueur  donnés). Question 30.3 {[28] Q246} A partir de deux segments de longueurs 1 et  (et en utilisant seulement une règle et un compas), comment construire un p segment de longueur  ? 2 ? Plus généralement, étant donnés deux segments p de longueurs  et , construire un segment de longueur , puis un segment de longueur . Question 30.4 {[28] Q247} Comment utiliser le Théorème de Pythagore pour p construire les nombres  lorsque  est un entier naturel ? Question 30.5 {[28] Q256} (Ecrit du CAPES interne 2008) Soit C un cercle de centre  et de rayon . Soit  un point de C. Construire à la règle et au compas un triangle équilatéral  inscrit dans C. On précisera les étapes de la construction, et on la justi…era. Question 30.6 [30] Tracer deux demi-droites [) et [) de même origine , et non opposées. Tracer un point  dans le secteur saillant formé par ces demi-droites. Comment construire un segment [] de milieu  tel que  appartienne à [) et  appartienne à [) ? Combien y-a-t-il de solutions ? 277


278

CHAPITRE 30. CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES

Question 30.7 {[28] Q243} (Oral du CAPES interne 2007) Soient deux droites sécantes  et 0 . a) Tracer un cercle tangent à ces deux droites. b) Construire un cercle tangent à  et 0 dont le centre est à 4 cm de . Question 30.8 {[28] Q244} (Oral du CAPES interne 2005) Dessinez deux demi-droites distinctes [) et [), puis placez un point  dans le secteur angulaire saillant formé par ces deux demi-droites. Trouvez les cercles tangents aux côtés [) et [) et passant par .

30.1.2

Questions B

Question 30.9 {[28] Q250} Soit  une racine complexe cinquième de l’unité distincte de 1. Montrer que  + 1 véri…e une équation du second degré à coe¢cients réels. En déduire la valeur exacte de cos(25) et une méthode de construction d’un pentagone régulier à la règle et au compas. Question 30.10 {[28] Q241} Construire un triangle connaissant son périmètre, de longueur identique à celle d’un segment [] donné, et deux de ses b et . b angles  Question 30.11 {[28] Q242} Soit  un triangle non rectangle en . Etant donné un point  de (), la perpendiculaire à () issue de  coupe () en , et la perpendiculaire à ( ) issue de  coupe () en  ( fig. 30.1). Déterminer géométriquement un point  pour lequel   = .

A

Q V B

R

W

U XP

S

C

Fig. 30.1 – Construction de  ,  et 


30.1. QUESTIONS

279

Question 30.12 [30] Tracez une droite. Comment construire un repère or! ! ¡ ¡ thonormal (    ) tel que cette droite admette l’équation  = ¡ 32  + 1 ? Question 30.13 [30] On se donne trois droites 1 , 2 , 3 distinctes qui concourent en un point . Construire un triangle qui admet ces droites comme médiatrices de ses côtés. On justi…era la construction proposée et l’on précisera comment obtenir tous les triangles solutions. Question 30.14 [30] On se donne trois droites 1 , 2 , 3 distinctes qui concourent en un point . Construire un triangle qui admet ces droites comme hauteurs. Justi…ez votre construction. Question 30.15 [30] On se donne trois droites 1 , 2 , 3 distinctes qui concourent en un point . Construire un triangle qui admet ces droites comme médianes. Justi…ez votre construction. Question 30.16 {[28] Q248} (Oral du CAPES interne 2006) Comment construire la droite ¢ passant par un point  et par l’intersection de deux droites  et 0 sachant que ces deux droites ne se coupent pas sur la feuille ? Les droites  et 0 ainsi que le point  sont dessinés sur la feuille, et l’on suppose que  n’appartient ni à , ni à 0 . 1) Proposer une solution permettant de construire ¢ et utilisant l’orthocentre d’un triangle. 2) Peut-on trouver un autre construction utilisant une symétrie centrale ? Si oui, expliquez et justi…ez-la.

30.1.3

Questions C

Les questions suivantes peuvent être laissées de côté si l’on prépare l’oral du CAPES. Elles intéresseront plutôt les agrégatifs : Question 30.17 [30] On se donne trois droites 1 , 2 , 3 distinctes qui concourent en un point . Construire un triangle qui admet ces droites comme bissectrices. Justi…ez votre construction. [Indication : si le triangle  admet 1 , 2 , 3 comme bissectrices issues respectivement de , , , et concourantes en , on pourra commencer par déterminer la nature géométrique de la composée  = 2 ± 3 ± 1 où  désigne la ré‡exion par rapport à  (1 ·  · 3).] Question 30.18 {[28] Q249} a) Soient  et  deux points du plan n’appartenant pas à une droite . Construire un cercle tangent à  et passant par  et .


280

CHAPITRE 30. CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES

b) Une parabole P est donnée par son foyer  et sa directrice . Construire, à la règle et au compas, les points de cette parabole situés sur une droite ¢ donnée. Question 30.19 {[28] Q251} Le plan est rapporté à un repère orthonormal d’origine . On se donne les points  ( 0) et  (0 ) (où 0    ) et l’on 2 2 considère l’ellipse E d’équation 2 + 2 = 1. Soit 0 un point strictement extérieur à l’ellipse. Construire les tangentes à E issues de 0 à la règle et au compas (à partir des seules données des points , ,  et 0 ). Question 30.20 {[28] Q252} Soient E une ellipse donnée par ses quatre som! ¡ mets, et  une direction. Tracer à la règle et au compas les deux tangentes ! ¡ à E de direction . Question 30.21 {[28] Q253} Soient E une ellipse donnée par ses quatre sommets, et  une droite quelconque. Tracer les points de  \ E à la règle et au compas.

30.2

Compléments

30.2.1

Sur cette leçon

Question — Concernant la leçon Problèmes de constructions géométriques du CAPES (session 2016), quels sont les attendus par rapport aux programmes ? Que doit-on privilégier ? Les exercices du type de ceux vus en TD de préparation à l’écrit su¢sent-ils, ou le jury attend-il que l’on propose des exercices extraits de manuels scolaires ? Réponse — On s’attend à devoir proposer des exercices ou des activités qui portent sur des problèmes de construction, avec des objectifs di¤érents : - réinvestir des connaissances, - construire un plan pour une charpente de maison (annales de CAP), - établir une conjecture, - utiliser ses connaissances géométriques pour créer un dessin artistique, - dessiner un patron pour construire un solide dans l’espace (ex. : construire un patron d’un cube surmonté d’une pyramide en sixième [30] Question 178) - montrer l’importance de penser à la réciproque dans la recherche de lieux (ex. : [30] Question 168), - résoudre un problème pratique (ex. : aller de A en B et savoir où il vaut mieux traverser la rivière qui sépare A de B [50] §3.4 ; comment placer sa


30.2. COMPLÉMENTS

281

corde pour traverser une rivière, dans le guide de survie de l’armée américaine [50] §5.8 ; sauvés grâce à Thalès [50] §6.5.4 ; et bien d’autres), - etc. Je pense qu’il est bon d’extraire quelques activités de manuels scolaires pour centrer ses propositions sur le secondaire, et utiliser Geogebra au moins une fois.

30.2.2

Témoignage de Jeanne

Jeanne S. passe son oral 2 à Paris pour la session 2014 anticipée, donc à Pâques 2014. Voici son vécu qu’elle désire partager avec nous : Convoquée à 6h20. Je me promène seule dans les rues de Paris dès 5h45 et là encore, j’essaie de faire des pronostics. Ayant assisté à des oraux 2 dès mon arrivée, je pense tomber sur : optimisation, géométrie plane ou algorithmique. C’est de la géométrie plane pour moi ! Mon exposé a duré 16 min. Mes exercices très bien choisis et présentés selon moi, le jury n’en a fait qu’une bouchée. Le premier exercice en classe de seconde avec un carré, auquel on rattache deux triangles équilatéraux et l’on doit montrer l’alignement de trois points : deux méthodes (coe¢cient directeur en seconde, ou colinéarité en première) Deuxième exercice : en troisième, utilisant Geogebra, théorème de Thalès, mise en équation d’un problème, etc. Dernier exercice : soit C(O,r) un cercle, Soient  un point du disque et  un point du cercle, et  0 le symétrique de  par rapport à  . Que décrit  0 quand  décrit le cercle [NDA : il s’agit de la question 169 de [30]]. C’est cet exercice qu’il m’a été demandé de développer. En passant à la réciproque, on m’a demandé de terminer oralement. J’ai oublié le cas particulier où  = . On m’a posé la question, et bien sûr, je me suis vite rattrapée. En dehors de cet exercice, il m’a juste été posé deux questions sur ma présentation, auxquelles j’ai su trouver des réponses. Ma partie agir : j’ai tout dit en cinq minutes mais j’ai dit tout ce que j’avais à dire. Le jury ne m’a posé que deux questions auxquelles je pense avoir répondu avec succès. Il avait l’air satisfait. J’ai été relâchée avec 15 min d’avance. Estce un bon signe ou pas ? C’est souriante que je suis sorti de cette épreuve avec l’espoir de vacances bien méritées. DJM : Sortir à l’avance est une bonne chose, surtout quand on a réussi à répondre à la majorité des questions du jury. Cela signi…e que le jury a porté un jugement positif sur la prestation et désire en rester là. Le candidat est apte à être recruté !


282

CHAPITRE 30. CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES

30.2.3

Où est passée la géométrie du lycée ?

Voici la question d’une candidate qui ne trouve plus d’études de transformations dans les programmes 2010 du lycée, et un contenu géométrique minimaliste. Cette question a été posée le 20 août 2013 : Question sur les transformations du plan - Je viens vers vous pour vous poser une question sur les programmes de géométrie du secondaire. Je regarde certaines annales de l’épreuve sur dossier, et je tombe sur des exercices du type “recherche de lieux géométriques” (ce qui est également un sujet de leçon me semble-t-il). Bien souvent la recherche de ces lieux géométrique implique une ou des transformations du plan, voire des composées de transformations. Je suis à la recherche de ces notions dans les programmes : il y a bien l’étude basique des symétries en 6e/5e mais je ne trouve rien au lycée... Peut-être ai-je mal cherché. Dans ces corrections d’annales on annonce ce type d’exercice comme étant du niveau permière S mais en géométrie dans les nouveaux programmes de première, je vois surtout de la géométrie vectorielle... Pouvez-vous m’éclairer ? Est-ce que l’étude des transformations du plan est maintenant réservée aux classes de CPGE ? Je vous mets plus bas le type d’exercice dont je souhaite trouver un lien avec les programmes (implique la notion d’image par une symétrie centrale et de composées de 2 symétries centrales) : Exercice : ,  et  sont trois points non alignés. ¢ est une droite non parallèle à ().  étant un point de ¢, on construit successivement les parallélogrammes  et  . 1. Faire une …gure en prenant plusieurs points  sur ¢. 2. Lieu géométrique de  : a. Déterminer une transformation  telle que, pour tout point M de ¢,  () = . b. En déduire le lieu géométrique ¢1 du point  lorsque  décrit ¢. 3. Lieu géométrique de  : a. Déterminer une transformation  telle que, pour tout point  de ¢1 , () =  . En déduire le lieu géométrique de  . b. Peut-on trouver une transformation  telle que, pour tout point  de ¢, () =  ? Retrouver ainsi le lieu géométrique du point  .


30.2. COMPLÉMENTS

283

Réponse de DJM - C’est exact, avec leur foutu programme 2010 ils ont torpillé la géométrie au lycée où l’on ne parle plus de transformation, si bien que les élèves auront leur BAC sans savoir ce qu’est une homothétie ou une translation. Ils font juste un peu de géométrie vectorielle (analytique : avec des repère cartésiens), parle des angles orientés et du produit scalaire, d’équations de plans. Pour l’oral, les transformations à l’honneur seront celles du collège. Toute la géométrie du collège et du lycée est supposée bien connue pour l’oral, à un meilleur niveau que celui des élèves. Et on a le droit de déborder pour agrémenter la leçon. Et il y a le programme de BTS où il peut y avoir de l’algèbre linéaire, et des passages de géométrie... Par exemple les barycentres ont disparus du lycée... mais on a le droit d’en parler et le devoir de répondre à des questions sur celui-ci pendant l’entretien car on le trouve encore dans les programmes de BTS : voir page 44 du projet de programme de BTS 2013 que j’ai placé en accès rapide sur ma page http ://megamaths.perso.neuf.fr/capes.html, ou encore à la page 48 avec les courbes de Bézier. Les transformations complexes sont aussi restées dans ce même programme de BTS 2013 qui devrait être adopté, à la page 51. Il y aura un peu plus de géométrie en CPGE, mais là c’est le programme de l’écrit du CAPES, pas de l’oral. Mais on peut utiliser toutes ses connaissances pour l’oral, même si c’est hors programme strict de l’oral du CAPES, et pour répondre aux questions du jury qui teste les candidats pour avoir une idée précise de l’étendue de ses connaissances mathématiques. Les deux exercices proposés utilisent des connaissances de collège (symétries), de lycée (vecteurs) et débordent un peu avec la translation dont on ne parle plus guère.

30.2.4

Recherche de lieux géométriques

Question 30.22 Lieu des points du plan tels que   +  = 5 ? Question 30.23 Déterminer le lieu des points  d’une droite ¢ donnée, tels que 2 +  2 = , où , ,  sont trois points distincts donnés arbitrairement sur ¢ ? Question 30.24 [30] Soient ,  et  trois points distincts d’un plan. Déterminer l’ensemble des points  tels que la quantité  2 +  2 +  2 soit minimum.


284

CHAPITRE 30. CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES

Question 30.25 [30] Soient ,  et  trois points distincts d’un plan. En raisonnant analytiquement, déterminer l’ensemble des points  tels que la quantité 2 +  2 +  2 soit minimum. Question 30.26 {~[28] Q88} Chercher l’ensemble des points  du plan équidistants des droites d’équations 2 + 5 ¡ 5 = 0 et 7 + 3 + 1 = 0. Déterminer une équation de cet ensemble. Question 30.27 {~[28] Q119} Quel est l’ensemble des points équidistants de deux droites sécantes  et 0 ? Question 30.28 [30] Tracer un cercle C de centre , et un point  n’appartenant pas à C. Choisir un point  sur C. Tracer le projeté orthogonal  de  sur la droite ( ). Quelle est le lieu décrit par les points  quand  parcourt C ? Question 30.29 [30] (Oral du CAPES externe 2012) Tracer un cercle de centre , et placer un point  à l’intérieur du disque ainsi dé…ni. Choisir un point  sur le cercle, et construire le symétrique  0 de  par rapport à . Que fait  0 quand  parcourt le cercle ? Proposer une solution au niveau du collège. [Indication : on pourra construire le symétrique de  par rapport à .] Les deux questions suivantes sont extraites du volume VI. La première suggère un raisonnement analytique, tandis que la seconde laisse plus d’autonomie et surtout le choix de raisonner analytiquement ou géométriquement : Question 30.30 [30] On considère deux droites ¢ et  données par leurs représentations paramétriques : 8 8 > > <  = 3 + 5 <  = 2 + 7 ¢:  =2+ 2R :  = 5 + 3  2 R. > > : :  = 7 ¡ 6  = 1 ¡ 4 Déterminer le lieu des milieux des segments [] quand  et  décrivent respectivement ¢ et .

Question 30.31 [30] Dans l’espace de dimension 3, on considère deux droites ¢ et  non coplanaires. Déterminer le lieu des milieux des segments [] quand  et  décrivent respectivement ¢ et  ?


Chapitre 31

Orthogonalité 31.1

Questions

31.1.1

Questions A

Question 31.1 (Oral du CAPES 2015) Donner l’équation du plan médiateur de []. Question 31.2 (Oral du CAPES 2015) Votre dé…nition du produit scalaire, à ! ! ! ! ! ! savoir ¡  ¡  = k¡  k k¡  k cos(¡ ¡  ), est-elle valable dans l’espace ? [discussion sur les angles] Pourquoi l’est-elle tout de même ? Question 31.3 (Oral du CAPES 2015) Dans un tétraèdre régulier , prouver que les arêtes [] et [] sont orthogonales. Dans ce tétraèdre, si on appelle  le point d’intersection des droites joignant  au milieu de [] et celle joignant  au milieu de [], montrer que la droite () est orthogonale au plan (). Réponse — Il est facile de véri…er que () est dans le plan médiateur de [], de sorte que () soit perpendiculaire à (). On montre de même que () est perpendiculaire à (). La droite () est donc perpendiculaire à deux droites non parallèles () et () du plan (), donc sera perpendiculaire à ce plan. Question 31.4 [27] Qu’est-ce qu’un angle droit ? Comment le dé…nir ? Réponse — Pour dé…nir un angle droit au collège, on peut évoquer une droite qui partage un angle plat en deux parties égales et faire un dessin au tableau, ou parler d’un angle qui mesure 90± au rapporteur. Mais que répondre 285


286

CHAPITRE 31. ORTHOGONALITÉ

à des questions pressantes d’un jury d’oral qui demanderait d’être plus précis ? Voici trois pistes : Lycée — On peut utiliser le Théorème de Pythagore, et a¢rmer que deux droites () et () sécantes en  sont orthogonales si et seulement si le triangle  est rectangle en . Que répondriez-vous alors si le jury demande de lui montrer que cette dé…nition est valide ? Tout simplement que l’on doit véri…er que cette dé…nition ne dépend pas des choix des points  et  sur les deux droites données, ce qui est évident. Lycée (bis) — On peut aussi répondre que, dans le plan, la notion d’angle droit est « vendue » avec celle de droites orthogonales (encore appelées droites perpendiculaires puisqu’on est dans un plan), et que cette notion est considérée comme acquise à partir du moment où l’on travaille en géométrie euclidienne plane en utilisant une axiomatique de type Euclide-Hilbert (ce que l’on fait sans le dire depuis la classe de sixième). Ce qui n’est pas faux ! Dans la pratique, et dans l’enseignement des mathématiques, la notion de perpendicularité de deux droites du plan est supposée acquise depuis la plus tendre enfance grâce à de nombreuses activités qui ne posent pas de problèmes particuliers. Université — On travaille dans un espace vectoriel euclidien (ou a¢ne euclidien), donc dans un espace muni d’un produit scalaire . Dans ce cas deux ! ! droites (a¢nes ou vectorielles) de vecteurs directeurs ¡  et ¡  sont dites or! ¡ ! ¡ thogonales si et seulement si (    ) = 0. En répondant ainsi on doit encore ! savoir expliquer pourquoi cette dé…nition a un sens. C’est évident puisque si ¡  ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ 0 0 et  sont respectivement colinéaires à  et  , alors (    ) = 0 équivaut ! ! à (¡  0 ¡  0 ) = 0. ! ¡ Une autre réponse, très proche, consiste à dire que deux droites vectorielles  ! ¡ ! ¡ ¡ !? et ¢ sont orthogonales si et seulement si  ½ ¢ , en sachant bien sûr dé…nir ! ¡ ! ¡ ce que représente l’orthogonal ¢ ? de ¢. ¡ ¡ Question 31.5 [27] Comment démontrer que les vecteurs !  et !  sont orthogonaux si et seulement si 0 +  0 = 0 ? Réponse — Cette équivalence est vraie lorsque ( ) et (0   0 ) sont les ! ! coordonnées des vecteurs ¡  et ¡  dans une base orthonormale du plan, ce qui est sous-entendu dans cette question. Voici deux réponses possibles : ¡ ¡ ! ! ¡! ! Lycée — Les vecteurs ¡  =  et ¡  =  sont orthogonaux si et seulement si le triangle  est rectangle en , ce qui revient à dire que :  2 = 2 +  2 


31.1. QUESTIONS

287

Il su¢t d’introduire les coordonnées des points , ,  dans un repère orthonormal, de démontrer que  2 = ( ¡  )2 + ( ¡  )2 (fig. 31.1) en utilisant le Théorème de Pythagore dans le triangle  d’hypoténuse [] dont les côtés de l’angle droit sont parallèles aux axes du repère, puis de remplacer dans  2 = 2 +  2 . y B

yB yA

A

H

xB

xA

O

x

Fig. 31.1 –  2 = ( ¡  )2 + ( ¡  )2 Voyons cette preuve en détail. On a  2 =  2 +  2 , et : ( ¡¡! ! ¡  = ( ¡  )  )  = j ¡  j ¡¡! ! ¡  = ( ¡  )  )  = j ¡  j donc  2 = ( ¡  )2 + ( ¡  )2 en remplaçant. Cela montre que si : µ ¶ µ ¶ ¡¡ !   ¡  ! ¡  =  = =   ¡  ¡ alors jj!  jj2 = 2 +  2 . Posons : ¡! ¡ !  =  = On a :

µ

¡¡! ¡! ¡¡ !  =  ¡  =

0 0 µ

=

µ

0 ¡  0 ¡ 

 ¡   ¡ 

=

µ

 ¡   ¡ 

et donc les équivalences suivantes : ¡ ! ¡  et !  orthogonaux

,  rectangle en  ,  2 = 2 +  2

, (0 ¡ )2 + ( 0 ¡ )2 = (2 +  2 ) + (02 +  02 ) , 0 + 0 = 0


288

CHAPITRE 31. ORTHOGONALITÉ

Université — La condition 0 + 0 = 0 sera véri…ée si l’on se place dans une ! ¡ ¡ ! base orthonormale, par dé…nition même d’une telle base. En e¤et, si (    ) ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ! est une base orthonormale, si ¡  =   +   et si ¡  = 0  + 0  , alors : ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ¡ ! !  ¡  = (  +   )(0  +  0  ) !¡ ¡ ! !¡ ¡ ! !¡ ¡ ! !¡ ¡ ! = 0    + 0    + 0     +  0    = 0 +  0  puisqu’un produit scalaire (noté ici avec un point) est une forme bilinéaire !¡ ¡ ! ¡ !¡ ! !¡ ¡ ! symétrique, et que par hypothèse    =    = 1 et    = 0. Question 31.6 [28] Démontrer la réciproque du Théorème de Pythagore sans utiliser le produit scalaire. Question 31.7 [27] Comment dé…nit-on un produit scalaire ? Existe-t-il des produits scalaires ? Question 31.8 [27] Déterminer tous les produits scalaires de R2 , c’est-à-dire dé…nis sur R2 £ R2 . Que peut-on dire matriciellement ? Question 31.9 [27] Dans un espace vectoriel euclidien , la relation d’orthogonalité est-elle une relation d’équivalence ? Et celle de perpendicularité ? Question 31.10 [27] Dans R3 muni de sa structure euclidienne canonique, on considère le plan vectoriel  d’équation ¡2+6 = 0. Trouver l’expression analytique de la projection orthogonale  sur  . Question 31.11 [28] Dans un espace a¢ne euclidien  de dimension 3, on considère un plan  et une droite  incluse dans  . On note  (resp.  ) la projection orthogonale sur  (resp.  ). Montrer que  =  ±  . Question 31.12 [27] Dans l’espace vectoriel euclidien R3 , on demande de trouver l’expression analytique de la ré‡exion  par rapport au plan vectoriel  dont une équation cartésienne est  ¡ 2 + 6 = 0. Question 31.13 [27] Connaissez-vous des di¤érences concernant certains résultats sur le parallélisme ou l’orthogonalité de deux droites suivant que l’on se place dans le plan ou dans l’espace ? Existe-t-il des di¤érences ? Réponse — Oui, la situation n’est pas la même suivant qu’on se place dans le plan ou dans l’espace. Il s’agit d’imaginer (ou de tracer) quelques …gures pour voir ces di¤érences. Par exemple :


31.1. QUESTIONS

289

I Deux droites d’un plan a¢ne sont parallèles ou sécantes (suivant un singleton). Ce n’est plus le cas dans l’espace où nous distinguons des droites parallèles (au sens strict ou au sens large), des droites sécantes (suivant un singleton) et des "droites en positions générales" qui ne sont ni parallèles ni sécantes ! Ce cas n’existait pas en dimension 2. I Dans un plan a¢ne, deux droites orthogonales sont perpendiculaires, et donc supplémentaires orthogonales. En particulier, elles sont sécantes. Cela devient faux dans l’espace de dimension 3 où deux droites peuvent être orthogonales, mais ne seront jamais perpendiculaires, et où deux droites orthogonales n’ont aucune raison de se couper ! I Je pense aussi à un énoncé fétiche que l’on apprend très vite en géométrie plane, dès la classe de sixième : « Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. » Cet énoncé devient caduque en dimension 3 où il est facile de dessiner deux droites orthogonales à une même troisième, mais qui ne sont pas parallèles. De même, l’implication suivante (qui intéresse des droites) : 9 ?¢ > = 0 0  ?¢ ) 0 > ; ¢¢0 est vraie en dimension 2, mais fausse eu dimension 3.

Question 31.14 [27] Il arrive que l’on dise que deux droites de l’espace sont perpendiculaires. A quel moment ? Expliquez. Question 31.15 [27] Comment peut-on permettre aux élèves de sa classe de se représenter deux plans perpendiculaires ? Deux plans en position générale (donc qui se coupent suivant une droite) ? Réponse — Le plus simple est sans doute de leur montrer le sol, le plafond et les murs de la salle qui forment un beau parallélépipède rectangle. Il ne manque alors pas de plans perpendiculaires à signaler ! On peut aussi faire pivoter la porte sur son axe, celle-ci prenant diverses positions qui donnent à chaque fois l’idée d’un plan qui passe par une droite donnée (l’axe de la porte), donc d’un faisceau de plans. Ouvrir un livre en le montrant à la classe, ou rapprocher deux feuilles (ou deux dossiers) tenus à bouts de bras permettra aussi de prendre conscience que l’on est bel et bien entouré de plans qui se coupent suivant des droites.


290

CHAPITRE 31. ORTHOGONALITÉ

L’un des objectifs de l’étude de la géométrie spatiale est, dès le plus jeune âge, de permettre une meilleure représentation spatiale personnelle et par voie de conséquence, une meilleure perception, du monde qui nous entoure. Question 31.16 [27] Soit  un espace vectoriel euclidien de dimension 3, rapporté à une base orthonormale  = (1  2  3 ). On considère le plan  d’équation 5 ¡ 8 +  = 0. Trouver une base orthonormale de ce plan. Question 31.17 [27] Dans l’espace vectoriel euclidien  = R4 , on considère le sous-espace vectoriel  engendré par les vecteurs 1 = (1 0 2 ¡3), 2 = (2 1 0 4) et 3 = (0 0 ¡3 6). Expliquez très précisément la méthode que vous emploieriez pour exhiber une base orthonormale de  (les calculs explicites ne sont pas demandés). Question 31.18 [27] (Oral du CAPES 2012) On sait que l’on peut dé…nir le produit scalaire en utilisant des normes, des cosinus, ou des projetés orthogonaux. Démontrer l’équivalence entre ces trois dé…nitions.

31.1.2

Questions B

Question 31.19 [27]  et  sont deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel euclidien . A quoi est égal ( \ )? ? ( + )? ? Que peut-on dire de ( [ )? ? On expliquera ses réponses sans pour autant tout démontrer précisément : on s’autorisera par exemple à utiliser des résultats connus concernant les formes bilinéaires symétriques. Question 31.20 [27] Soit  un espace euclidien. Rappeler sans démonstration l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Enoncer et démontrer une CNS pour que l’on ait l’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Question 31.21 [27] Soit  un espace euclidien. Rappeler sans démonstration l’inégalité de Minkowski. Enoncer et démontrer une CNS pour que l’on ait l’égalité dans l’inégalité de Minkowski. Question 31.22 [27] Soit  un espace vectoriel euclidien. Ecrire de deux façons di¤érentes le produit scalaire  de deux vecteurs en n’utilisant que des normes. ! ¡ Question 31.23 [27] Si  est un espace vectoriel euclidien, on sait dé…nir !? ¡ ! ¡ ! ¡ l’orthogonal  d’un sous-espace vectoriel  de  , et l’on sait montrer que !? ¡ ! ¡  est un sous-espace vectoriel. Que se passe-t-il si l’on remplace  par une ! ¡ partie quelconque A de  ? L’ensemble A? est-il alors bien dé…ni ? S’agitil encore d’un sous-espace vectoriel ? L’équivalence (A ½ B , B? ½ A? ) est-elle encore vraie ?


31.1. QUESTIONS

291

Question 31.24 [27] Si  est un espace vectoriel euclidien, montrer qu’il existe toujours au moins une base orthonormale de . Question 31.25 [27] Si  un espace vectoriel euclidien, montrer que toute famille orthonormale (1    ) peut être complétée en une base orthonormale. Question 31.26 [27] Soit  un sous-espace d’un espace vectoriel euclidien . Montrer que  =  ©  ? et  = ( ? )? . Question 31.27 [27] Soient  et  deux sous-espaces d’un espace vectoriel euclidien . Quand dit-on que  et  sont orthogonaux ? perpendiculaires ? supplémentaires orthogonaux ? ! Question 31.28 [27] Soit  un espace vectoriel euclidien. Soit ¡  un vec! teur non nul de . Donnez l’expression du projeté orthogonal  (¡  ) d’un ! ¡ ! ¡ vecteur  de  sur la droite  de vecteur directeur  . Démontrez-la. Question 31.29 [27] Soit  un espace vectoriel euclidien. Soient  un sousespace de , et (1    ) une base orthogonale de  . Si  2 , exprimer le projeté orthogonal  () de  sur  en fonction de  et des vecteurs de base  . Même question avec l’image  () de  par la symétrie orthogonale de base  . Question 31.30 [27] Dans l’espace vectoriel euclidien  = R4 , on considère le sous-espace vectoriel  engendré par les vecteurs 1 = (1 0 2 ¡3), 2 = (2 1 0 4) et 3 = (0 0 ¡3 6). Expliquez très précisément la méthode que vous emploieriez pour exhiber une base orthonormale de  (les calculs explicites ne sont pas demandés). Question 31.31 [28] Dans l’espace de dimension 3, on considère deux droites non coplanaires  et 0 . Montrer qu’il existe une et une seule droite ¢ à la fois orthogonale et sécante à  et à 0 .

31.1.3

Questions C

Question 31.32 [27] Soit  un espace euclidien dont le produit scalaire est noté avec un point. Soit  un endomorphisme de . Montrer qu’il existe un et un seul endomorphisme ¤ de  tel que  ()  = ¤ () pour tous   2 .


292

CHAPITRE 31. ORTHOGONALITÃ&#x2030;


Chapitre 32

Suites numériques, limites ¶ Les questions sont en cours de retraitement dans le but de publier un fascicule sur le thème des suites numériques. Elle seront replacées sur ce livre évolutif dès qu’elles seront prêtes.

293


294

CHAPITRE 32. SUITES NUMÃ&#x2030;RIQUES, LIMITES


Chapitre 33

Limites d’une fonction réelle d’une variable réelle ¶ Questions extraites du vol. 3 de la collection ORAL CAPES MATHS paru en mars 2017 [45]. Les réponses à ces questions, un exposé-type d’oral 1 et un cours sur les limites (avec rappel des dé…nitions de la droite numérique achevée R et de voisinage d’un point dans R), la continuité et l’étude des branches in…nies d’un arc paramétré sont proposés dans ce volume.

33.1

Questions

33.1.1

Questions A+

Question 33.1 Y-a-t-il une di¤érence entre une fonction et une application ? Question 33.2 Soient  une application de  ½ R dans R, et  2 . a) La limite lim! () existe-t-elle nécessairement ? b) Si elle existe, à quoi est-elle égale ? Question 33.3 Parler de la limite d’une application  :  ½ R ! R en un point  de R, demande toujours de savoir au préalable que  appartient à l’adhérence  de  dans R. Pourquoi ? Question 33.4 Dé…nissez la notation lim! () =  lorsque  et  sont des réels, et  une application de R dans R, en utilisant des  et des . Donne-t-on cette dé…nition au lycée ? Que dit-on à ce niveau ? Question 33.5 (Oral du CAPES 2007) Dans vos dé…nitions de limite, peuton changer les inégalités strictes en inégalités larges ? 295


296

CHAPITRE 33. LIMITES D’UNE FONCTION

Question 33.6 Soient   2 R et  une application de R dans R a) Que signi…e l’assertion lim! () =  ? b) Obtient-on des assertions équivalentes à la phrase mathématique que vous venez de donner si l’on met indi¤éremment des inégalités strictes ou larges ? Preuve ? Question 33.7 Soient   2 R et  : R ! R une application de R dans R. Ecrivez la négation de l’a¢rmation lim! () = . Question 33.8 En retournant à la dé…nition d’une limite, démontrez que : 3 + 1 lim = 3 !+1  ¡ 1 Question 33.9 Montrer que toute fonction polynomiale est continue sur R. Question 33.10 (Oral du CAPES 2007) Calculer : µ ¶ 1  lim 1 +  !+1  Question 33.11 (Oral CAPES 2006) Peut-on dire que la fonction  : N ! N qui à  associe 2 est continue ? Question 33.12 Soient  2 R et  : R ! R une application de R dans R. On suppose que lim! () =  où  est un réel strictement positif. Montrer qu’il existe un voisinage de  sur lequel  reste strictement positive. Question 33.13 Pouvez-vous énoncer le théorème de composition de limites pour deux fonctions de R dans R ? Le démontrer ? Question 33.14 Soient  un intervalle de R,  :  ! R une application d’un intervalle  de R dans R. On suppose que lim!  () = , où   2 R. On suppose en outre qu’une suite ( ) de  tend vers  quand  tend vers +1. Que peut-on dire se la suite ( ( )) ? Démonstration ? Question 33.15 (Oral du CAPES 2006) Le jury demande au candidat d’énoncer rigoureusement un théorème de composition de la limite d’une suite et d’une fonction en un point utilisé dans l’exposé. Le candidat répond : « Soit  un intervalle de R et  2 . Soit  une fonction continue sur , et ( ) est une suite d’éléments de  qui tend vers . Si  tend vers  quand  tend , alors la suite ( ) converge vers . ». Le jury demande alors si ce théorème admet une réciproque. Qu’en pensez-vous ?


33.1. QUESTIONS

297

Question 33.16 Soient  un intervalle de R,  :  ! R une application de  dans R et  2 . Soit  2 R. Montrer que lim!  () =  si et seulement si lim!+1  ( ) =  pour toute suite ( ) de  tendant vers . Question 33.17 Montrer qu’une application  :  ! R monotone dé…nie sur un intervalle  admet une limite à droite en tout point  de  où cela a un sens. Question 33.18 (Oral du CAPES 2006) Soit  une fonction de limite   0 en +1, et  une fonction qui tend vers +1 en +1. Comment montrer que  tend vers +1 en +1 ? Question 33.19 Soient  et  deux applications de R dans R. On suppose qu’il existe des réels  et 0 tels que lim!  () =  et lim!  () = 0 . Que dire de lim! ( + ) () =  + 0 ? De lim! ( ) () ? De lim! () ? Pouvez-vous le démontrer ? [Une seule question su¢ra pour tester le candidat sur sa capacité à utiliser une dé…nition rigoureuse d’une limite.] Question 33.20 Quand dit-on qu’une fonction est continue en un point ? Qu’une fonction  est continue ? Question 33.21 On suppose que l’application  :  ! R est continue en  2 . Que peut-on dire de l’application jj ? Démontrez-le. Question 33.22 Etudier la fonction () = sin(1). Cette fonction est-elle prolongeable par continuité en 0 ? Question 33.23 Pouvez-vous calculer les limites de  lorsque  tend vers §1, et celles de ln  lorsque  tend vers 0+ ou +1, comme on le ferait devant une classe de terminale S ? Question 33.24 (Oral du CAPES 2006) ln  Montrer que lim!+1 = 0.  Question 33.25 Quelle est la limite lim!+1 ( ) ? Comment le démontrer ? Comment cela s’interprête-t-il pour la courbe représentative de l’exponentielle ? Question 33.26 Démontrer que lim!+1 (sin ) n’existe pas, mais que pourtant lim!+1 ( + sin ) existe.


298

CHAPITRE 33. LIMITES D’UNE FONCTION

Question 33.27 A l’oral du CAPES 2006, un candidat explique que la fonction  sin  n’admet pas de limite à l’in…ni car sin  n’a pas de limite. Le jury lui demande de démontrer cela. Le candidat ne voit pas quoi faire, et le jury lui demande d’essayer d’utiliser les suites. Que peut-il répondre ? Question 33.28 Si  () est une fonction polynomiale non nulle, calculer :  lim  !+1  () Question 33.29 Si  () est une fonction polynomiale non nulle, calculer : ln  lim  !+1  () (ln ) lorsque   2 R¤+ . !+1  P  Question 33.31 Comment démontrer que la série  ! est convergente ? Question 33.30 Calculer lim

Question 33.32 Un fonction  de R dans R peut-elle avoir une asymptote verticale quand  tend vers +1 ? Question 33.33 Comment cherche-t-on des asymptotes obliques d’une courbe représentative d’une fonction  de R dans R ? Comment détermine-t-on la position de la courbe par rapport à son asymptote ? Question 33.34 (Oral CAPES 2006) Déterminer l’équation d’une asymptote de la fonction () = 1 . Question 33.35 (Oral du CAPES 2007) La courbe représentative de l’appli1 cation  7! 2 sin( +1 ) admet-elle une asymptote ? Question 33.36 Enoncez puis démontrez le théorème de passage à la limite dans les inégalités. Question 33.37 Voici comment un étudiant démontre le théorème de passage à la limite dans les inégalités. Il suppose que  () ·  () ·  () pour tout  appartenant aux ensembles de dé…nition des fonctions ,  et , puis il suppose que lim!  () et lim!  () existent et sont égales à un même réel . A partir de là, il passe à la limite dans ces inégalités pour obtenir  · lim!  () · , d’où lim!  () = . Son raisonnement est-il juste ? Question 33.38 Soit  :  ! R une application d’un intervalle réel  dans R. a) Quand dit-on que  est uniformément continue sur  ? b) Ecrire à l’aide de quanti…cateurs la proposition «  n’est pas uniformément continue sur  ».


33.1. QUESTIONS

33.1.2

299

Questions A

Question 33.39 (Ecrit du CAPLP externe 2013) Si  et  sont deux fonctions dé…nies sur R, telles que lim  () = +1 et lim  () = ¡1, peut!+1

!+1

on en déduire que lim [ () +  ()] = 0 ? Justi…ez. !+1

Question 33.40 (Ecrit du CAPLP externe 2010) Soit 0 un nombre réel, soient  et  deux fonctions dé…nies sur R à valeurs dans R,  étant continue en 0 et  ne l’étant pas. Peut-on a¢rmer que la fonction  +  n’est pas continue en 0 ? Justi…ez votre réponse complètement. Question 33.41 (Ecrit du CAPLP 2012) La courbe représentative d’une fonction continue de R vers R peut avoir une tangente verticale. Vrai ou faux ? Justi…er. Question 33.42 Montrer que la fonction () =  sin(1) dé…nie sur R¤ , est prolongeable par continuité en 0, mais que la fonction b obtenue n’est pas dérivable en 0. Donnez l’allure de la courbe représentative de . Question 33.43 Chercher un équivalent et la limite de la fonction  suivante quand  tend vers 0 par valeurs positives :  () =

5 sin  ln   ln (1 + )

Question 33.44 Les fonctions polynomiales qui interviennent ici sont toutes à coe¢cients dans R. a) Montrer qu’au voisinage de +1, toute fonction rationnelle , quotient de deux fonctions polynômes, est équivalente au quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. En déduire la limite de  ()  () quand  tend vers +1 ? b) Chercher un équivalent et la limite en +1 de la fonction rationnelle  dé…nie par : 32 + 2 + 4  () =  53 + 8 c) Enoncer un résultat similaire au voisinage de 0.

33.1.3

Questions B

Question 33.45 Retournez à la dé…nition pour montrer que la fonction est continue en 2.

p 


300

CHAPITRE 33. LIMITES D’UNE FONCTION

Question 33.46 Retournez à la dé…nition pour montrer que la fonction est continue sur R+ .

p 

Question 33.47 Retournez à la dé…nition pour montrer que la fonction 2 est continue en 2. Question 33.48 a) Retournez à la dé…nition pour montrer que la fonction 2 est continue sur R. b) Peut-on répondre à la question précédente sans retourner à la dé…nition ? Question 33.49 (Oral CAPES 2006) Pourquoi la fonction sinus est-elle continue ? Pouvez-vous le démontrer ? Question 33.50 (Oral CAPES 2006) Pouvez-vous démontrer géométriquement que la limite de sin  lorsque  tend vers 0 est 1 ? Question 33.51 Montrer qu’une application lipschitzienne dé…nie sur un intervalle réel  et à valeurs dans R, est uniformément continue sur . Question 33.52 (Ecrit du CAPLP 2012) Soit  un nombre réel. Montrer que la fonction © dé…nie sur R¤ par :  ¡ 1 © :  7!  admet une limite …nie en 0 si et seulement si  = 1.

33.1.4

Questions C

Question 33.53 Soit  2 N¤ . Soient  et  deux applications d’une partie  de l’espace R à valeurs dans R. a) Soit  un élément de l’adhérence de . S’il existe ( ) 2 R2 tel que lim!  () =  et lim!  () = , montrer que la fonction Sup ( ) admet une limite …nie quand  tend vers . b) Si  et  sont continues sur , montrer que la fonction Sup ( ) est continue sur . Question 33.54 a) Montrer que jjj ¡ jjj · j ¡ j quels que soient les réels  et . b) On considère l’application  de R dans R dé…nie par : 1  () =  1 + jj Montrer que  est uniformément continue sur R.


33.1. QUESTIONS

301

Question 33.55 ¯p p p p p ¯ p a) Montrer que  +  ·  +  et que ¯  ¡  ¯ · j ¡ j quels que soient  et  appartenant à R+ . p b) Montrer que la fonction  :  7!  est uniformément continue sur R+ . c) Montrer que la fonction  n’est pas lipschitzienne sur R+ . Question 33.56 Soient  et  deux applications uniformément continues et bornées sur un intervalle  de R, à valeurs dans R. Montrer que   est uniformément continue sur . Question 33.57 Soient  et  deux applications lipschitziennes et bornées sur un intervalle  de R, à valeurs dans R. Montrer que   est lipschitzienne sur . Le résultat subsiste-t-il si l’on permet à  et  de ne pas être bornées ? Question 33.58 Peut-on trouver une suite ( ) de fonctions positives, dé…nies sur R et à valeurs dans R, qui converge simplement vers la fonction nulle mais dont l’aire sous la courbe de  tende vers +1 ? Justi…ez votre réponse. Question 33.59 Peut-on trouver une suite ( ) de fonctions de R dans R qui converge simplement vers la fonction nulle sans que cette convergence soit uniforme ? Question 33.60 Soit  un réel et  : [ +1[! R une fonction dé…nie et continue sur [ +1[ possédant une limite …nie en +1. a) La fonction  est-elle bornée ? b) La fonction  est uniformément continue sur [ +1[ ? Question 33.61 Soit  la fonction de R dans R qui à  associe  () = 2 . a) Soient   2 R avec   . Montrer que  est lipschitzienne sur [ ], et donc uniformément continue sur cet intervalle. b) Montrer que  n’est pas uniformément continue sur R. Question 33.62 (Théorème du point …xe) Soit  un intervalle fermé de R. Si  :  ! R est une application contractante sur , telle que  () ½ , montrez que  admet un unique point …xe dans . Question 33.63 (Ecrit du CAPLPA 2014) La limite quand  tend vers 0 de µ ¶ 2 la fonction : sin  1  7!  est-elle égale à 1 ? Justi…ez votre réponse.


302

CHAPITRE 33. LIMITES D’UNE FONCTION

33.2

Nouveautés

33.2.1

Une compte rendu d’oral 1 de 2017

Le compte rendu entier de cet oral réussi sur les limites se trouve en [3]. Pour moi, ça a été deux sujets d’analyse : problèmes conduisant à l’étude d’une suite et limites d’une fonction. Sans hésitation j’ai choisi le deuxième que j’avais préparé durant l’année et qui est assez classique. Je commence donc sereine à taper mon plan sur Libre O¢ce : I Dé…nitions II Opérations algébriques, Composition, Fonctions usuelles III Inégalités et limites. J’ouvre quand même le manuel Sésamaths pour véri…er que je n’oublie rien et avoir des exemples. Comme je suis plutôt habituée à écrire des maths à l’ordinateur, je tape bien proprement les premières dé…nitions de limites (je donne seulement celles en +in…ni et en un point). Comme je vois que je ne vais pas avoir le temps de tout taper, pour les opérations algébriques, je fais un copier/coller du tableau de Sésamaths et pour le reste, je me dis que je les écrirai au tableau. Je prépare aussi un …chier GeoGebra où je mets quelques exemples de fonctions pour illustrer les asymptotes verticales/horizontales. Dans le temps qu’il me reste, j’essaye de retrouver les preuves que je sais être « un peu compliquées » : limite de l’inverse, limite du produit. . . Et puis, comme je veux montrer que je sais utiliser XCAS, je prépare une petite activité sur « la découverte de la notion de limite ». Avec le recul, je me dis qu’il aurait mieux valu ne pas parler de cette activité car je ne l’avais pas su¢samment préparée pour la défendre correctement devant le jury. J’aurais voulu également faire une partie « méthode » pour expliquer comment lever une forme indéterminée : tant pis plus le temps ! Lors de mes 20 min de présentation, tout se passe normalement et après avoir repéré une femme dans le jury au regard plutôt bienveillant et qui acquiesce à tout ce que je dis, je choisis de ne regarder plus qu’elle, consciente cependant que cela ne l’empêche pas de penser que je dis n‘importe quoi. . . Vers la …n, le jury me prévient qu’il ne me reste que deux minutes. Comme j’ai encore mon III à faire, au lieu d’écrire les limites de fonctions usuelles, je les dis simplement à l’oral et passe à la partie sur les inégalités. Pour le développement, le jury me demande d’abord de montrer le théorème d’encadrement. Bon là je me dis « OK », dans mes souvenirs c’est « il su¢t de l’écrire ». Je commence donc en transcrivant lentement les hypothèses la sueur au front en espérant que tout va bien se passer et oui e¤ectivement


33.2. NOUVEAUTÉS

303

cela se fait tout seul ! Le jury apparemment convaincu me demande alors de montrer la formule donnant la limite d’un produit, comme j’avais prévu. Je relis deux secondes mes notes et commence la preuve. Là le jury me demande en souriant de ne plus regarder mes notes et, en fait même sans, tout se passe e¤ectivement bien, et j’arrive bien au epsilon tant espéré : ouf ! Pour l’entretien, le jury décide de revenir sur mon activité, j’explique comme je peux ce que je veux faire mais je sens bien que je les laisse perplexes. Mais bon au moins je ne crois pas avoir dit de bêtises. Le jury me demande alors de calculer une limite puis une autre. Là bon c’est assez laborieux et pourtant en y repensant c’était niveau terminale basique. Mais tout va bien puisque le jury n’hésite pas à me donner des indications pour me débloquer. Finalement, on en restera là et je repars assez contente de moi : j’ai …nalement obtenu 15,2/20.


304

CHAPITRE 33. LIMITES Dâ&#x20AC;&#x2122;UNE FONCTION


Chapitre 34

Théorèmes des valeurs intermédiaires 34.1

Questions

Question 34.1 (Oral du CAPES 2008) Considérons un carré de sommets (0 0), (1 0), (1 1) et (0 1). Considérons une fonction continue dont l’ensemble de dé…nition est [0 1] et dont le graphe reste dans ce carré. Est-ce que ce graphe coupe la première bissectrice ?

Réponse — La réponse est a¢rmative, et la preuve, qui utilise le théorème des valeurs intermédiaires, est dans la réponse à la Question 34.2.

Question 34.2 Soit  : [0 1] ! [0 1] une application continue. Montrer qu’il existe  2 [0 1] tel que  () = .

34.2

Pistes

Pour le CAPES 2017, le jury rappelle que la première épreuve orale privilégie la maîtrise, l’organisation et la présentation des connaissances …gurant au programme. Cela n’exclut pas une prise de recul critique et didactique. Les notions centrales de l’exposé (énoncé du théorème des valeurs intermédiaires dans la leçon Théorème des valeurs intermédiaires, par exemple) doivent être parfaitement maîtrisées. 305


306

CHAPITRE 34. THÉORÈMES DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

34.3

Compléments

34.3.1

Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61]

Cette leçon repose sur un théorème dont il convient, avec un recul de niveau M1, d’étudier la démonstration (en s’appuyant par exemple sur l’axiome de la borne supérieure) et d’en apprécier le caractère existentiel et non-constructif. Au-delà du théorème et de ses applications immédiates, apparaît une interrogation sur les images des intervalles par une fonction continue : que peut-on dire selon le type d’intervalle (ouvert, fermé, borné ou non) et le type d’image (directe ou inverse) ?

34.3.2

Un oral 1 de la session 2017

Voici le rapport d’un candidat du CAPES 2017 concernant la leçon sur le théorème des valeurs intermédiaires. Les questions posées par le jury donnent une idée de l’orientation du débat. Le témoignage complet est proposé sur le blog de MégaMaths [1]. Je suis tombé sur le théorème des valeurs intermédiaires et ses applications. J’ai construit un plan sans …oritures : 1) Continuité (comme vue au lycée). 2) Le théorème des valeurs intermédiaires (cas général et stricte monotonie). 3) Application 1 : approximation des solutions d’une équation (balayage, dichotomie). 4) Exercices tirés de manuels avec utilisation de TICE (GeoGebra et Algobox pour la dichotomie). En développement, on m’a demandé de démontrer le théorème des valeurs intermédiaires avec beaucoup de questions auxquelles il faut savoir répondre (suites adjacentes, passage à la limite, justi…cation des encadrements...), dé…nition de la continuité comme dans le supérieur, La réciproque du théorème des valeurs intermédiaires est-elle vraie ? Et le théorème des valeurs intermédiaires dans les complexes, cela donne quoi ? Connaissez-vous d’autres méthodes d’approximation de solutions d’une équation ? Que signi…e résoudre une équation ? Connaissez-vous une démonstration classique utilisant le théorème des valeurs intermédiaires avec une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite ? J’ai eu la chance de tomber sur un sujet que j’avais pu bosser de fond en comble et je m’en sors avec 18,5.


Chapitre 35

Dérivation 35.1

Questions

35.1.1

Questions A

Question 35.1 (Oral du CAPES 2016) Démontrez les deux formules de dérivation pour un produit et une racine carrée. Question 35.2 (Oral du CAPES 2016) Démontrez qu’une fonction dérivable est continue. Question 35.3 Pouvez-vous dé…nir ce que l’on entend par une tangente à une courbe ? Question 35.4 Pouvez-vous donner un exemple de fonction de R dans R continue mais non dérivable ? Réponse — La fonction  7! jj fait l’a¤aire, et le jury peut demander de prouver cela par le menu ! Question 35.5 (~[30], Q52) Pouvez-vous donner un exemple de fonction de R dans R dérivable sur R mais non continument dérivable ? Indications — On peut montrer que la fonction dé…nie par :  () = 2 sin

1 

si  6= 0, et  (0) = 0 sinon, est dérivable sur R mais sa dérivée n’est pas continue en 0. Si le candidat n’a pas de contre-exemple à donner, le jury l’orientera 307


308

CHAPITRE 35. DÉRIVATION

vers l’étude de cette fonction, et cela sera très riche en renseignements. L’exercice permet en e¤et de voir si le candidat : - a déjà vu ce contre-exemple dans ses études, - sait dériver cette fonction sur R¤ , - sait appliquer sa dé…nition de la dérivabilité en 0, - sait calculer des limites où interviennent des produits de fonctions dont l’une tend vers 0 et l’autre est bornée (suivant la réaction du candidat, le jury peut demander de démontrer complètement ce résultats). - sait raisonner pour démontrer que : µ ¶ 1 1 lim 2 sin ¡ cos 6= 0 !0   L’exercice est donc très riche et révélateur. Le candidat et le jury peuvent l’utiliser dans plusieurs leçons : celle sur la dérivabilité, mais aussi celles sur les fonctions et sur les limites. La Question 83 de [30] généralise ce contre-exemple pour obtenir des fonctions de classe   qui ne sont pas de classe  +1 . On peut lire les énoncés des Questions 83 et 84 de [30] en Annexe à la page 383. Question 35.6 [32] Sauriez-vous expliquer pourquoi, lorsque  0 est positive, la fonction  est croissante ? Question 35.7 Soit  l’application de R¤+ dans R qui à  2 R¤+ associe le réel  () =  ¡ 1. On note C la courbe représentative de . a) Etudier les variations de . b) Déterminer la tangente à C au point d’abscisse 1. c) Montrer que C admet une asymptote oblique. Question 35.8 (Oral du CAPES interne 2016) Etudiez la fonction qui à  associe  ( + 3). Question 35.9 [32] On suppose que la fonction  est dé…nie et dérivable sur un intervalle , à valeurs dans R. La condition : «  0 est strictement positive sur  » est-elle une condition nécessaire ou une condition su¢sante pour que  soit strictement croissante sur  ? Question 35.10 ([41], Th. 15) Enoncer, puis démontrer le Théorème de Rolle. Question 35.11 [30] Enoncez le Théorème de Rolle, encore connu sous le nom de formule (ou Théorème) des accroissements …nis, pour une fonction réelle de la variable réelle. Proposez une interprétation géométrique de ce résultat.


35.1. QUESTIONS

309

Question 35.12 ([41], Th. 16) Démontrer rigoureusement le théorème qui lie les variations d’une fonction à l’étude du signe de sa dérivée. Question 35.13 Dé…nissez un intervalle de R. Du point de vue topologique, qui sont les intervalles de R ? Question 35.14 Peut-on parler de limite d’une fonction quand  tend vers  lorsque cette fonction est dé…nie sur un ensemble  qui n’est pas un intervalle ? Expliquez complètement. Question 35.15 Démontrer qu’une fonction continue sur un intervalle réel , et à valeurs réelles, admet au moins une primitive sur cet intervalle. Donner toutes ses primitives sur cet intervalle. Indications — Il faut dé…nir l’application  :  ! R qui à  2  associe : Z   () =  ()  

où  est un réel …xé dans , puis démontrer proprement que  est dérivable sur , de fonction dérivée  0 = . La démonstration est simple, mais il faut savoir la retrouver au tableau ! Question 35.16 La fonction arcsin est-elle dérivable ? Comment le démontrer ? Calculer (arcsin )0 . Indications — On s’attend à ce que le candidat explique que l’on utilise le Théorème des fonctions réciproques, ici lorsqu’une fonction est dérivable, strictement monotone sur un intervalle, et de dérivée qui ne s’annule jamais sur cet intervalle. Il su¢t d’appliquer ce Théorème pour obtenir : 1 (arcsin )0 = p 1 ¡ 2

pour tout  2 [¡2 2]. La même question peut être posée avec arcsin, arccos ou arctan. Le lecteur qui désire réviser ce passage du cours de licence est invité à lire le chapitre 2 du livre Les grands théorèmes de l’analyse [41] entièrement consacré à ce résultat. Question 35.17 A quoi peut servir Geogebra dans l’étude de la dérivation des fonctions ? Question 35.18 Proposez une dé…nition géométrique de la tangente à une courbe en un point . Expliquez le lien entre cette dé…nition et le résultat suivant lequel la pente d’une tangente à une courbe représentative d’une fonction dérivable  au point d’abscisse  est  0 (). [Voir p. 311]


310

CHAPITRE 35. DÉRIVATION

Question 35.19 [32] (Ecrit du CAPLP 2015) Soient  et  deux fonctions réelles dérivables sur R telles que () · () pour tout  2 R et (0) = (0). Peut a¢rmer que  0 (0) · 0 (0) ? Justi…ez votre réponse. Question 35.20 [32] (Ecrit du CAPLP 2015) Soient  et  deux fonctions réelles dérivables sur R telles que () · () pour tout  2 R et (0) = (0). Peut-on a¢rmer que  0 () ·  0 () pour tout  2 R ? Justi…ez votre réponse. Question 35.21 [32] (Ecrit du CAPLP 2015) Soient  et  deux fonctions réelles dérivables sur tout R qui véri…ent  0 () ·  0 () pour tout  2 R+ et (0) = (0). Dans ce cas, peut-on a¢rmer que  () · () pour tout  2 R+ ? Justi…ez votre réponse. Question 35.22 [52] Soient   2 R¤ . On considère la fonction : : R ! R 3  7!  +  +  a) Etudier les variation de  lorsque   0. Montrer que, dans ce cas, on a ¢ = 43 + 27 2  0 et que l’équation ( ) : 3 +  +  = 0 admet une solution réelle et deux autres complexes conjuguées. b) Etudier les variation de  lorsque   0. Montrer que, dans ce cas, l’équation ( ) admet : - trois solutions réelles distinctes si ¢  0. - une solution multiple et toutes réelles si ¢ = 0. - une solution réelle et deux autres complexes conjuguées si ¢  0.

Question 35.23 (~[30], Q47) Toute fonction dé…nie et continue sur un intervalle de R à valeurs dans R est-elle dérivable sur cet intervalle ? Question 35.24 (~[30], Q48) Une fonction  de R dans R continue en un point  est-elle dérivable en  ? Question 35.25 (~[30], Q49) Toute fonction dé…nie et dérivable sur un intervalle de R à valeurs dans R est-elle continue sur cet intervalle ? Question 35.26 [30] Soient  et  deux réels tels que   . Si  est une fonction dé…nie, dérivable sur l’intervalle [ ] et s’il existe un réel 0 appartenant à ] [ tel que  0 (0 ) = 0 alors la fonction  change de variations au moins une fois sur l’intervalle [ ]. Vrai ou faux ? Justi…er. Question 35.27 [32] (Oral du CAPES 2008) Dérivée d’une fonction composée – Enoncez puis démontrez le théorème de dérivation des fonctions composées dans le cadre de fonctions dé…nies sur R et à valeurs réelles.


35.1. QUESTIONS

311


312

CHAPITRE 35. DÉRIVATION

35.1.2

Questions B

Question 35.28 [30] hhhComment dé…nir la tangente à un cercle C en un point  de celui-ci ? La dé…nition de cette tangente comme étant la droite passant par  et perpendiculaire au rayon issu de , est-elle en accord parfait avec la dé…nition générale de la tangente en un point d’un arc paramétré ?

35.1.3

Questions C

35.2

Ecueils à éviter

X Il est important de proposer des dé…nitions bien écrites car le jury commencera l’entretien en faisant relire et corriger toute les fautes qu’il détectera. Par exemple, dans un exposé, on me propose la dé…nition suivante d’un taux d’accroissement : Dé…nition — Soit  une fonction dé…nie sur un intervalle  et  2 . Pour tout  non nul, on peut associer le nombre : ( + ) ¡ ()  Ce nombre est appelé taux d’accroissement.

La première question du jury sera de demander de relire cette dé…nition et de la corriger. Voilà ce qu’on peut lui reprocher :


35.2. ECUEILS À ÉVITER

313

² L’intervalle  est–t-il quelconque ? Que se passe-t-il si c’est l’ensemble vide ? Un singleton ? Un intervalle fermé ? Quand  est une borne d’un intervalle  qui est fermé ? Qu’est-ce qu’un intervalle au fait ? (Ne riez pas, il faut savoir dé…nir un intervalle de R). X La phrase « Pour tout  non nul, on peut associer le nombre... » est fausse : si  +  2   le quotient proposé n’a plus de sens. X La phrase « Ce nombre est appelé taux d’accroissement » est scandaleuse : on n’a pas dé…ni un seul nombre, mais une in…nité de nombres qui dépendent du choix de . La dé…nition que l’on donne n’a donc pas de sens, et une erreur comme celle-ci doit être évitée, ou corrigée assez vite si le jury demande de se relire. On devrait marquer : « Ce nombre est appelé taux d’accroissement entre  et  +  ». Ce type d’erreur explique pourquoi certains candidats sortent de leurs épreuves en ayant l’impression d’avoir tout réussi, mais en ayant laissé des erreurs capitales un peu partout, et se retrouvent avec un 2/20 sans comprendre. Certains jury restent souriants et acquiècent facilement devant toutes les explications proposées par le candidat, sans insister ou revenir dessus, mais les erreurs éliminatoires ont été commises. D’autres jury montrent leur désaccord, ce qui permet au candidat de se situer plus facilement. X Rebelotte avec la dé…nition suivante qu’on m’a proposée un jour : Dé…nition — On dit que  une dérivable en  si : ( + ) ¡ () !0  existe et est …nie. Ce nombre est appelé nombre dérivé et on le note  0 (). lim

Il faut relire et corriger : ce nombre n’est pas appelé « nombre dérivé », mais « nombre dérivé en  » puisqu’il dépend de . X Il est impensable d’énoncer le théorème qui lie signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction sans être capable de le démontrer, et donc utiliser le Théorème de Rolle et savoir comment celui-ci se démontre. Dans une simulation du 4 juin 2014, l’orateur ne savait rien du tout à ce sujet, et son destin était tracé. Le Théorème de Rolle et le Théorème liant variations et signe de la dérivée sont détaillés au chapitre 3 du livre Les grands théorèmes de l’analyse [41] que je conseille de travailler pour préparer l’écrit et l’oral du CAPES.


314

CHAPITRE 35. DÉRIVATION

X On ne peut pas réussir cette leçon si l’on ne sait pas donner une dé…nition géométrique d’une tangente. Se borner à supposer  dérivable et à expliquer que la droite d’équation :  =  0 () ( ¡ ) +  () est appellée tangente à la courbe représentative de  au point (  ()) ne su¢t pas ! Le jury demandera pourquoi on choisit une telle dé…nition. Il faut alors savoir expliquer que, de façon générale, on appelle tangente en  à une courbe toute droite qui passe par  et qui est la position limite des sécantes à la courbe en deux points  et , lorsque  tend vers  en restant sur cette courbe (voir manuscrit à la page 311. Les deux dé…nitions sont équivalentes, quand la courbe est celle d’une fonction  , parce la limite des taux d’accroissements de  à partir de  n’est autre que la limite des pentes des sécantes à la courbe passant issues de . X Impossible de faire l’impasse sur le Théorème des fonctions réciproques et sur la façon dont on détermine les dérivées de fonction comme arcsin, arccos ou arctan (voir exercice fétiche placé à la Question 35.16). Le Théorème des fonctions réciproques fait l’objet d’un chapitre entier à bien « potasser » sur le livre Les grands théorèmes de l’analyse [41].

35.3

Questions de mégamathiens

Question de L. C. posée le 24 avril 2015 — Je suis en train d’essayer d’anticiper les questions que jury peut me poser pour l’oral 2 sur les exercices que je compte proposer. Sur un exercice d’intégration, il y a un graphique et deux courbes semblent symétriques par rapport à une droite oblique. Ce n’est pas l’objectif de l’exercice mais comment peut-on le démontrer ? Si c’était la première bissectrice je saurais le faire, mais pour une droite quelconque, je sèche... J’ai pensé à une rotation du repère mais parler de rotation c’est comme ouvrir la boîte de Pandore... Existe-t-il une méthode simple pour cette démonstration ? Réponse —Si vous avez deux équations de courbes, disons C et C 0 , qui semblent symétriques par rapport à une droite  :  =  + , pour le démontrer il faudra chercher l’expression analytique de la ré‡exion par rapport à cette droite. En repère orthonormal (ce qui est raisonnable de supposer ici) on prendra un point ( ), on notera  0 (0   0 ) son symétrique par rapport ¡¡¡! à , puis on écrira que le vecteur  0 est perpendiculaire à  et que le


35.4. TÉMOIGNAGES

315

milieu de [ 0 ] appartient à . On en déduira 0 ,  0 en fonction de ,  et il ne restera plus qu’à démontrer que (C) = C 0 où  désigne la ré‡exion par rapport à . En fait il su¢ra de montrer l’inclusion (C) ½ C 0 pour conclure car  est involutive. Cette question est intéressante, et pourrait e¤ectivement être posée à l’oral pour savoir si le candidat a au moins une méthode à proposer...

35.4

Témoignages

35.4.1

Un oral de juin 2016

A l’âge avancé de 50 ans, plus de 25 ans après une math sup et une math spé, les concours de grandes écoles et une carrière dans l’industrie après je me suis préparé pour le CAPES de maths. Je l’ai préparé avec le CNED, que j’ai trouvé assez utile pour les documents et livres. . . Pour l’oral ce n’était pas très adapté. Je m’y suis mis au mois de novembre, j’avais donc 6 mois pour avaler tout le programme. J’avais surestimé ma capacité d’apprentissage disparue et ma capacité à rester assis des heures devant mes bouquins. . . Le programme s’avérant être un puits sans …n pour moi j’ai …ni les 2 derniers mois à tester ma capacité à rester 5 heures assis et ne faire que des annales. J’ai enchaîné sur la préparation de l’oral dès la …n des écrits. Je me disais que je serais probablement admissible, le premier écrit s’était très bien passé avec des classiques de concours (Polynômes d’interpolation de Lagrange, déterminants de Vandermonde, inégalité de Taylor Lagrange. . . j’ai eu 16/20) alors que le second à base de probas avait été très moyen : pourtant d’un niveau de terminale S, mon …ls en terminale a été consterné par le niveau. . . J’avais oublié la formule de l’espérance ! J’ai eu 9/20 en essayant de gratter des points partout. C’est la grande di¢culté pour les gens de ma génération : les probas que l’on ne faisait quasiment pas, en tous cas dans mon souvenir. J’étais furieux, toutes ces révisions d’analyse, de topologie pour tomber sur des boules rouges et noires dans un sac. . . Pour ma préparation de l’oral, le site Mégamaths m’a été très utile, avec les témoignages et le livre Pistes & commentaires. . . Mon erreur a été je pense d’avoir négligé la di¢culté du deuxième oral en étant obsédé par le premier oral et sa liste de leçons. J’ai pourtant fait beaucoup d’annales corrigées d’oral 2. . . J’ai écrit mes …ches sur Open o¢ce pour me familiariser avec l’outil, j’ai bossé sur Algobox et sur Geogebra (un émerveillement pour les gens de ma génération, grand sourire du premier jury quand je leur ai raconté ça). J’ai listé toutes les leçons qui pouvaient s’appuyer sur le cours d’un manuel et j’ai préparé les


316

CHAPITRE 35. DÉRIVATION

leçons qui étaient plus transverses. L’oral 1 ! A Nancy, il y avait une très bonne organisation du concours (je n’avais pris que deux bouquins : Raisonnement mathématiques et Géométrie du collège pour les matheux de DJ) et après une petite prière avant de tirer les sujets (pas de probas, pas de probas, pas de stats. . . ) je tombe sur la leçon 41 Nombre dérivé, fonction dérivée et la leçon 32 Théorème de Thalès. J’avais bien préparé les deux leçons et j’avais le bouquin de Dany-Jack sur la géométrie du collège sous le coude. Ayant peur de m’emmêler les pinceaux sur la réciproque de Thalès et sachant que j’allais pouvoir m’appuyer sur le cours de première pour la dérivée j’ai donc choisi cette leçon : leçon 41 Nombre dérivé, fonction dérivée. Je jette un coup d’œil à mon voisin qui se prend la tête entre les mains, ça me rappelle les concours. . . Mon plan a été entièrement tapé sur Open o¢ce pour ne pas faire d’erreur en écrivant au tableau et j’ai choisi des fonctions très simples pour faire des animations Geogebra et gagner du temps. Le fait de faire des animations pendant la présentation de mon plan m’a permis de ne pas avoir une présentation trop statique. J’ai pris soins de véri…er que je savais démontrer toutes les formules que j’écrivais (pour les formules j’ai fait des copiés collés des cours pour gagner du temps) : les 2h30 passent très très vite. Au dernier moment je me suis dit que mes exemples étaient trop simplistes et j’ai voulu rajouter un exercice sur un mobile, 5 min avant la …n, je l’ai e¤acé en me rendant compte que je n’avais pas le temps de préparer parfaitement la solution. Gros stress ! Je conseille à tout le monde de préparer et réciter les premières phrases que vous allez dire pendant votre préparation, ça évite un gros bafouillage pour débuter. J’ai précisé les prérequis et j’ai indiqué que je me plaçais dans le cadre de la première S avec une extension sur l’année de terminale S pour introduire la notion de continuité. J’avais oublié de noter l’heure de début de mon plan, le jury m’a aimablement indiqué le temps qu’il restait, ce qui n’a pas été le cas lors du second oral, le jury refusant de me répondre comment con…gurer Geogebra qui ne marchait pas sur leur PC alors qu’il marchait dans ma préparation. Le jury très aimable m’a ensuite demandé de démontrer deux formules de dérivation : produit et racine. Il m’a ensuite demandé de démontrer qu’une fonction dérivable est continue. Tout s’est bien passé. Ils m’ont ensuite demandé de résoudre un exercice d’optimisation, chaque fois que j’hésitais un peu j’avais une petite indication. La dérivée de la fonction avait plein de racines au dénominateur, j’hésite. . . – « Comment fait on quand on a des racines ? »


35.4. TÉMOIGNAGES

317

– Ah oui ! On multiplie par l’expression conjuguée. – « Très bien » – « Comment feriez-vous pour montrer à un élève qu’une dérivée peut s’annuler et qu’il n’y a pas d’extremum local ? » – Je pense à la tangente. . . – « Non non quelque chose de très simple » – Ah oui : la fonction  = 3 . – « Très bien » J’ai eu le sentiment que tout s’était bien passé et ma note me l’a con…rmé : 19,6 ! Je retiendrai les points suivants : faire simple, ne pas vouloir en mettre plein la vue avec des exercices compliqués, savoir démontrer tout ce que l’on écrit (rabâché par Dany-Jack ! Merci !).


318

CHAPITRE 35. DÃ&#x2030;RIVATION


Chapitre 36

Fonctions polynômes du second degré Toutes les questions posées au Chapitre 13 dans la leçon sur les équations du second degré peuvent être posées ici. La connaissance d’un cours sur les polynômes ou d’une leçon sur les fonctions polynomiales (comme au chapitre 10 de [18]) permet de prendre du recul sur cet exposé.

36.1

Questions

36.1.1

Questions A

Question 36.1 a) Dé…nir une fonction polynomiale. b) Montrer que l’écriture  () =   +  + 1  + 0 d’une fonction polynomiale est unique. c) Montrer que l’écriture  () =  ( ¡ ) ( ¡ ) d’une fonction polynomiale non nulle du second degré sous forme factorisée est unique. Réponse — a) et b) Voir Extrait 36.1 p. 324. c) Si l’on a  () =  ( ¡ ) ( ¡ ) =  ( ¡ ) ( ¡ ) pour tout , on a  =  en identi…ant les coe¢cients de 2 des deux membres. Si  =  on obtient  ( ¡ ) ( ¡ ) = 0 donc  =  ou , par exemple  = . En remplaçant et en simpli…ant, on obtient  ¡  =  ¡  pour tout  6= , d’où  = . Question 36.2 [32] Soit (  ) 2 R3 tel que   0. Etudier les variations de la fonction polynomiale  :  7! 2 +  +  sans utiliser la dérivée de . On pourra écrire ce trinôme du second degré sous sa forme canonique et utiliser les variations de la fonction de référence  7! 2 après les avoir justi…ées. 319


320

CHAPITRE 36. FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

p Question 36.3 ~[25] Les fonctions  () = 2 + 2 et  () = ln ( + 1) sont-elles des fonctions polynomiales (ou des restrictions de fonctions polynomiales sur leurs intervalles de dé…nition) ? Question 36.4 Qu’appelle-t-on trinôme ? Question 36.5 Montrer que 3 + 2 ¡ 5 n’est pas une fonction polynomiale du second degré. Commentaire — Attention ! La question est loin d’être stupide mais peut désarçonner surtout quand on est debout au tableau sous les feux des projecteurs, et sous les prunelles attentives des membres du jury. Pour montrer que la fonction  de R dans R n’est pas une fonction polynomiale du second degré, il faut démontrer qu’il est impossible de trouver des réels , ,  avec  6= 0, tels que : 8 2 R 3 + 2 ¡ 5 = 2 +  +  On raisonne donc par l’absurde en supposant que c’est possible. Pour obtenir une absurdité, tous les coups sont permis. On pourra par exemple : - Dire que deux fonctions polynomiales de R dans R sont égales si et seulement si les coe¤cients des monômes en  sont tous égaux entre eux, donc procéder par identi…cation et voir que cela donne 1 = 0 pour le coe¢cient en 3 , ce qui est absurde. Mais attention, le jury vous demandera d’expliquer pourquoi on a le droit de procéder « par identi…cation », et là il vaut mieux savoir répondre à la Question 13.22 qui, utilisée correctement, donne la réponse ! - Chercher la limite des ces fonctions polynômes divisées par 2 . - Faire par exemple  = 0, puis  = 1, puis  = ¡1, obtenir un système de trois équations linéaires en ,  et , le résoudre si c’est possible. Et danbs l’af…rmative tester l’égalité avec une autre valeur de  pour voir... Echec garantie, ce qui tombe bien puisqu’on cherche une absurdité ! - Raisonner par l’absurde et utiliser des limites quand  tend vers +1. Tous les coups et tous les raisonnements sont permis : un candidat averti en vaut deux. p Question 36.6 ~[25] Les fonctions  () = 2 + 2 et  () = ln ( + 1) sont-elles des fonctions polynomiales (ou des restrictions de fonctions polynomiales sur leurs intervalles de dé…nition) ? Question 36.7 Dessiner à la main au tableau les allures des courbes représentatives des fonctions polynomiales de degré 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.


36.1. QUESTIONS

321

Question 36.8 [25] Montrer que tout polynôme à coe¢cients réels et de degré impair possède au moins une racine réelle. Question 36.9 La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré possède-t-elle une asymptote quand  tend vers +1 ? Question 36.10 La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré possède-t-elle un point d’in‡exion ? Question 36.11 [25] Dé…nissez ce qu’est une fonction, une application. Question 36.12 [25] Quand dit-on qu’une application est injective ? surjective ? bijective ? Question 36.13 [25] Donnez deux dé…nitions d’une bijection et montrez que ces dé…nitions sont équivalentes. Question 36.14 Résoudre  2 = 3 + 2 Question 36.15 [34] On considère une parabole P d’équation  = 2 ++ dans le plan rapporté à un repère orthonormal R. Montrer qu’il existe un repère R0 dans lequel l’équation de cette parabole est  = 2 . Ce repère est-il orthonormal ? Dans la négative, indiquez quel type d’équation simpli…ée de P on peut obtenir dans un bon repère orthonormal. Question 36.16 [34] Montrer qu’une parabole possède un axe de symétrie. Question 36.17 [34] Démontrer que la parabole d’équation  = 2 +  +  possède un axe de symétrie. Question 36.18 [34] Une parabole possède-t-elle un centre de symétrie ? Proposez une preuve.. Question 36.19 [32] Discuter le nombre de points d’intersection entre une parabole P d’équation  = 2 +  +  et une droite  d’équation  =  lorsque  parcourt R. Question 36.20 [33] (Ecrit du CAPLP 2016) Soient  et  deux fonctions polynomiales à coe¢cients réels et  2 R. On suppose que pour tout  2 R on a ( ¡ ) () = ( ¡ ) (). Montrer que () = () pour tout  2 R.


322

CHAPITRE 36. FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

Réponse — Pour tout  2 R on a ( ¡ ) () = ( ¡ ) () donc pour tout réel  distinct de  on obtient () = (), soit () ¡ () = 0. Cela montre que la fonction polynomiale  ¡  possède une in…nité de racines réelles : en fait tous les réels excepté peut-être . D’après le cours, tout polynôme non nul de degré  2 N possède au plus  racines. On en déduit que le polynôme attaché à  ¡  est nul, donc que les polynômes attachés à  et  sont égaux, et cela implique que les fonctions polynomiales  et  sont égales. Remarque — Les polynômes ne sont plus à la mode dans les épreuves de concours actuelles comme le CAPES ou le CAPLP, si bien que la réponse cidessus peut maintenant poser quelques problèmes aux candidats. Voici donc une autre réponse qui n’utilise que les propriétés des fonctions polynomiales. On sait qu’une fonction polynomiale est dé…nie et continue sur R, donc : ( ¡ ) () ( ¡ ) () = lim = lim  () =  () ! ! ! ¡ ¡

 () = lim  () = lim !

où la limite est bien sûr prise pour les  tendant vers  en restant di¤érents de . On vient d’enfoncer une porte ouverte.

36.1.2

Questions B

Question 36.21 [25] Y-a-t-il une di¤érence entre un polynôme et une fonction polynomiale ? Question 36.22 Résoudre l’équation du second degré 32 + 2 + 5 = 0 dans l’ensemble Z7Z. Question 36.23 On considère une parabole P d’équation  = 2 +  +  dans un repère orthonormal. Déterminer un point  de l’axe des ordonnées et une droite  parallèle à l’axe des abscisses tels que P soit l’ensemble des points équidistants de  et de .

36.1.3

Questions C

Question 36.24 [25] Résoudre une équation du second degré sous sa forme  générale 2 ++ = 0 dans ZZ lorsque  et 2 sont inversibles dans ZZ. Expliquez.


36.2. COMMENTAIRES

36.2

Commentaires

36.2.1

Sur un sujet d’oral 2 de 2015

323

Le dossier montre les graphes d’une parabole et d’une droite qui semblent tangentes. Il donne les équations de ces deux courbes : 5  = 2 ¡ 4 + 4 et  =  ¡ 4 3 et demande si la droite est bien tangente à la parabole, comme on le voit sur la …gure. Deux réponses d’élèves sont proposées et doivent être analysée. Le jury pose la question suivante : « Admettons qu’un troisième élève réponde : « j’ai zoomé sur la calculatrice et j’ai trouvé deux points d’intersection », comment évaluez-vous ces 3 élèves si vous notez l’exercice sur 4 ? ». Puis le jury enclenche sur les di¤érents types d’évaluation. Voilà donc des questions sur le thème de l’évaluation, où l’on parlera des évaluations diagnostiques, formatives et sommatives. En zoomant su¢samment sur une …gure faite de pixels qui n’est qu’une représentation imparfaite de la réalité, l’élève …nira toujours par voir une droite qui coupe la parabole en deux points, et …nira même par ne plus voir que des nuages de points ! Donner des points à cet élève à ce moment revient à l’encourager à rester dans le ‡ou et ne pas raisonner correctement. Mais la question est un pousse au crime, car la mode actuelle est de donner des points pour presque rien, à chaque preuve d’un léger intéressement de l’élève. Il faudra donc répondre avec diplomatie pour ne pas heurter le jury qui est de plus en plus constitué par des inspecteurs dont la fonction est de faire appliquer les programmes qui viennent d’en haut. On répondra donc en justi…ant ses choix, et on n’oubliera pas d’écouter le jury, puisqu’une épreuve orale sert aussi à mesurer la capacité d’écoute du candidat et son adaptation à l’auditoire. Sur le même sujet, un autre candidat raconte : « Globalement l’exercice n’était pas compliqué mais les extraits d’élèves étaient assez courts. Il fallait analyser jusque très loin pour tenir le temps. J’ai proposé deux problèmes ouverts dont un assez atypique niveau 1re S. J’ai eu des questions sur le décrochage scolaire. Je pense avoir plutôt bien géré mon oral. Je n’ai pas utilisé mes notes et je n’ai pas hésité à utiliser le tableau pour illustrer mes réponses aux questions du jury. » Donc a priori tout s’est bien passé.


324

CHAPITRE 36. FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

36.2.2

Danger !

I Il faut prendre garde à la dé…nition que l’on donnera d’une fonction polynomiale comme on le voit dans l’extrait suivant : Extrait 36.1 Dans une simulation d’oral du CAPES, un étudiant propose la dé…nition suivante d’une fonction polynôme : « Si  est une fonction polynôme non nulle, il existe une unique liste de réels (0  1    ) avec  6= 0, telle que pour tout  2 R, on ait  () =   ++1 +0 ». Le jury lui demande de relire et de corriger cette dé…nition. Analyse — Le texte proposé n’est pas celui d’une dé…nition. C’est plutôt celui d’un théorème ou d’une proposition qui énonce que, si  est une fonction polynôme non nulle, alors  s’écrit  () =   +  + 1  + 0 . Mais ce théorème venant en tout début de la leçon, on ne sait pas encore ce qu’est une fonction polynomiale ! Cela fait déjà deux erreurs graves à corriger. On fait une troisième erreur en demandant l’unicité de la suite (0  1    ). Celle-ci se démontre. Si on la demande dès la dé…nition, on ne pourra par exemple même pas a¢rmer que la fonction  () = 2 + 3 + 5 est une fonction polynomiale, à moins de démontrer que  ne s’écrit pas  () = 2 +  +  avec (  ) 6= (1 3 5), ce qui n’est pas acquis mais se démontre. Le chemin devient tortueux. On corrige cette dé…nition en déplaçant le « si », en supprimant l’unicité de la suite, en précisant dès le départ que  doit être une application de R dans R, et en n’envisageant pas le cas particulier du polynôme nul. On peut par exemple énoncer : Dé…nition — On dit qu’une application  de R dans R est une fonction polynôme s’il existe  2 N et une liste de réels (0  1    ) tels que  () =   +  + 1  + 0 pour tout  2 R ».

I Il existe beaucoup de dangers à parler de fonctions polynomiales. Il faut donner une dé…nition correcte, puis il faut savoir démontrer que les coe¢cients (0  1    ) tels que : 8 2 R  () =   +  + 1  + 0

(¤)

avec  6= 0, sont uniques, ce qui permet de dé…nir le degré de . On ne peut pas dé…nir le degré d’une fonction polynomiale avant d’être certain de cette unicité des coe¢cients. Pour démontrer cette unicité, plusieurs méthodes sont possibles. En voici une qui utilise une récurrence, des limites et un soupçon de raisonnement par l’absurde. Si : 8 2 R  () =   +  + 1  + 0 =   +  + 1  + 0


36.2. COMMENTAIRES

325

avec   6= 0, et si l’on suppose par l’absurde que   , on obtient pour tout  2 R¤ :   +  + 1  + 0   +  + 1  + 0 =   

Mais alors, lorsque  tend vers +1, le membre de gauche de cette égalité tend vers §1 suivant le signe de  , tandis que le membre de droite tend vers  . Absurde. Donc  = . On a donc : 8 2 R  () =   +  + 1  + 0 =   +  + 1  + 0  Cela entraîne :   +  + 1  + 0   +  + 1  + 0 = lim !+1 !+1   lim

soit  =  . En remplaçant, et en simpli…ant, on obtient : 8 2 R  () = ¡1 ¡1 +  + 1  + 0 = ¡1 ¡1 +  + 1  + 0 et on recommence : on utilise des limites pour prouver que ¡1 = ¡1 . Une récurrence …nie descendante pour  variant de  à 0 permet de conclure à (0  1    ) = (0  1    ). L’unicité de l’écriture (¤) est démontrée.


326

CHAPITRE 36. FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ


Chapitre 37

Fonctions exponentielle et logarithme 37.1

Questions

37.1.1

Questions A

Z  Question 37.1 Vous a¢rmez que la fonction  7!  () = 1  dé…nie 1 sur R¤+ est une primitive de  7! 1 sur R¤+ . Démontrez-le. Réponse — On répondra en énonçant le théorème faisant l’objet de la Question 38.5, et en le démontrant si le jury le demande. Question 37.2 (Oral du CAPES 2008) On suppose que la fonction  7! ln  a été introduite. Comment montrer graphiquement que sa réciproque est sa propre dérivée ? Réponse — Comme l’exponentielle est la fonction réciproque du logarithme népérien, les graphes de ces fonctions sont symétriques par rapport à la première bissectrice ¢ d’équation  = , le plan étant rapporté à un repère ! ¡ ¡ ! orthonormal (    ). Si  (  ) est un point du graphe C de  , son symétrique  0 (  ) appartiendra au graphe Cln  du logarithme népérien, donc il existera 0 2 R+ tel que (  ) = (0  ln 0 ). Les tangentes en  et  0 aux graphes C et Cln  seront symétriques par rap! ! port à ¢, et dirigées respectivement par les vecteurs ¡  (1 ( )0 ) et ¡  (1 10 ). Comme : µ ¶ 0 1 = 1 0 327


328 CHAPITRE 37. FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME ! ¡ est la matrice de la ré‡exion par rapport à la direction ¢ de ¢, on déduit l’existence d’un réel  tel que : µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 1 1 10 0 = = = ( )0 1 0 10 1  d’où  = ( )0 = 0 =  . Cela démontre « graphiquement » que ( )0 =  et répond à la question du jury.


Chapitre 38

Intégrales, primitives 38.1

Questions

38.1.1

Questions A

Question 38.1 (Ecrit du CAPLP 2017) Calculer  =

Z



cos(ln ) .

1

Question 38.2 Rappeler la dé…nition d’une fonction continue par morceaux. [Voir Section 38.3] Question 38.3 Qu’est-ce qu’une fonction intégrable sur un intervalle  quelconque de R ? [programme de CPGE] [Voir Section 38.3] Question 38.4 Pouvez-vous dé…nir exactement ce que vous voulez dire quand vous parlez de fonction intégrable sur un segment [ ] ? [Voir Section 38.3] Question 38.5 (Primitive d’une fonction continue) Soit  une application d’un intervalle ouvert  de R dans R. Soit  2 . On pose : Z  8 2   () =  ()  

ce qui dé…nit une application  de  dans R. a) On suppose  localement intégrable au sens de Riemann sur . Montrer que  est continue sur . b) On suppose  continue sur . Montrer que  est dérivable sur  et  0 = . [Autre façon de poser la question : « démontrer qu’une fonction continue sur un intervalle et à valeurs réelles admet une primitive sur cet intervalle ».] 329


330

CHAPITRE 38. INTÉGRALES, PRIMITIVES

Question 38.6 Soit  une fonction continue d’unRintervalle ouvert  de R  dans R. Soit  2 . Si  2 , on pose  () =   () . Lorsque  est positive et monotone sur , démontrer que  est dérivable sur  comme on le ferait dans un cours de terminale S. Réponse — En terminale S (programme 2015-16), on dit que l’intégrale d’une fonction  continue positive sur un segment [ ] de R (où  · ), R à valeurs réelles, est le nombre, noté   () , égal à l’aire A[] sous la courbe représentative de  sur l’intervalle [ ]. C’est donc l’aire délimitée par l’axe  des abscisses, les droites d’équation  =  et  =  (dans le repère orthonormal où on représente ), et la courbe représentative C de . On a donc par dé…nition : Z   ()  = A[]  

Si  ¸ , on pose :

Z

 ()  = ¡A[] 

Pour tout  2 , posons :  () =

Z

 () 

Supposons  continue, positive et décroissante sur l’intervalle ouvert . Le cas où  est croissante se traiterait de la même manière. Soit  2 , et  2 R tel que  +  2 .

Envisageons deux cas suivant le signe de  :


38.1. QUESTIONS

331

² Si   0, en regardant le dessin précédent on obtient l’encadrement : Z +  ( + ) £  ·  ( + ) ¡  () =  ()  ·  () £  

 ( + ) ¡  () ·  ()   Comme lim)0+  ( + ) =  (), le théorème des gendarmes montre que :  ( + ) ·

lim

)0+

 ( + ) ¡  () =  ()  

² Si   0, on obtient :  () £ (¡) ·  () ¡  ( + ) =  () · et l’on obtient encore : lim

)0¡

Z

(1)

+

 ()  ·  ( + ) £ (¡)

 () ¡  ( + ) ·  ( + ) ¡

 ( + ) ¡  () =  ()  

(2)

(1) et (2) donnent :  ( + ) ¡  () =  ()  )0  lim

ce qui démontre que  est dérivable en  et que  0 () =  (). Question 38.7 Soit  :  ! R une application continue dé…nie sur un intervalle  de R. a) Montrer que  admet au moins une primitive  sur . b) Montrer que  admet une in…nité de primitives sur cet intervalle et que ces primitives sont toutes de la forme  7!  () +  où  2 R. c) Montrer qu’il existe une et une seule primitive de  prenant une valeur donnée 0 en un point 0 de . Donner une expression de cette primitive. d) Montrer qu’il existe une et une seule primitive de  qui s’annule en 0 . Donner une expression de cette primitive. e) Montrer que : Z 

8  2 

 ()  =  () ¡  () 

[Autre façon de poser la question : « démontrer qu’une fonction continue sur un intervalle et à valeurs réelles admet une primitive sur cet intervalle, puis déterminer toutes les primitives de cette fonction sur cet intervalle. ».]


332

CHAPITRE 38. INTÉGRALES, PRIMITIVES

Question 38.8 [30] (Ecrit du CAPES externe 2012 & 2013) Soient  et  deux réels tels que   R. Si  est une fonction dé…nie, continue et positive sur  l’intervalle [ ] et si   ()  = 0 alors  est nulle sur l’intervalle [ ]. Vrai ou faux ? Justi…er. Question 38.9 [31] Rappeler et démontrer la formule de changement de variables pour une fonction réelle d’une variable réelle. Question 38.10 Peut-on trouver une suite ( ) de fonctions positives, dé…nies sur R et à valeurs dans R, qui converge simplement vers la fonction nulle mais dont l’aire sous la courbe de  tende vers +1 ? Justi…ez votre réponse. Réponse — Oui. Si  2 N¤ , la fonction  a¢ne par morceaux telle que () = 0 si  2  [[ 2]] et véri…ant  (32) = , dont le graphe est dessiné ci-dessous, converge simplement vers la fonction nulle, et pourtant l’aire sous la courbe de  est égale à l’aire A d’un triangle de base  et de hauteur associée , et A = 2 2 tend vers +1 quand  tend vers +1.

n fn

O

n

2n

Question 38.11 Z[32] (Ecrit du CAPLP 2016)  Peut-on dire que 2 cos   = ¡ ? Justi…er sa réponse. 0

Réponse — On ne peut pas le dire. On peut calculer cette intégrale à l’aide de deux intégrations par parties : Z  Z  Z  £2 ¤ 2 =  cos   =  sin  0 ¡ 2 sin   = ¡2  sin   0

et :

Z

0

Ainsi :

 sin   =

0

[(¡ cos )]0

¡

Z  = ¡2(¡ cos ) ¡ 2

Z

0

On n’obtient pas  = ¡.

(¡ cos )  = (¡ cos ) +

0

0

Z

cos  

0

cos   = ¡2 ¡ 2 [sin )]0 = ¡2


38.2. FRONT DES EXPOSÉS

38.1.2

333

Questions B

Question 38.12 [32] (Ecrit du CAPLP 2015) Si  est entier naturel, on Z +1 note :  =  ¡  0

Peut-on dire que pour tout entier naturel , le nombre  existe et vaut ! ? Justi…ez votre réponse.

38.2

Front des exposés

38.2.1

Une erreur facile à éviter

Samedi 9 avril 2016. J’écoute un exposé d’entraînement sur les aires. L’orateur explique qu’en terminale S, l’intégrale est présentée comme une aire sous une courbe, fait un dessin à main levée, puis écrit le théorème suivant au tableau : Théorème — Soit  une fonction continue et positive sur un intervalle  = [ ] de R. Alors : Z  © :  7!  ()  

est dérivable sur  et

©0

= .

Après les 20 minutes d’exposé, je demande de développer cette partie du plan, donc de démontrer ce théorème. Le candidat indique qu’il peut se ramener à une fonction croissante positive ou décroissante positive, puis propose la démonstration vue à la Question 38.6. L’entretien débute ensuite : Jury — Vous avez démontré le théorème dans le cas où  est monotone et positive, cela su¢t-il ? Candidat — En fait oui, parce que si  est continue et positive sur [ ], on peut toujours trouver des intervalles sur lesquels  sera monotone, et donc raisonner comme on l’a fait. Jury — Ce n’est pas si sûr. Pouvez-vous dessiner l’allure d’un graphe qui oscillerait comme une fonction sinusoïdale, mais de plus en plus vite en se rapprochant de 0 par exemple ? Candidat — ? Jury — Dessinez grossièrement l’allure de la courbe  = sin(1). Candidat — La fonction n’est pas dé…nie en 0. Jury — Son graphe est compris entre les droites d’équations  = ¡1 et  = 1, et oscille de plus en plus quand on se rapproche de zéro. On voudrait se


334

CHAPITRE 38. INTÉGRALES, PRIMITIVES

placer sur l’intervalle [¡1 1] et avoir une fonction continue en 0 dont le graphe oscillerait de la même façon au voisinage de zéro... Une idée ? Candidat — ? Jury — La fonction  :  7!  sin(1) sera continue en zéro, et il n’existera pas de subdivision …nie 0 = ¡1  1     = 1 où  possédera la même monotonie sur chacun des intervalles [  +1 ]. C’est notre contre-exemple. (...) Dans la simulation, je ne suis pas allé plus loin dans le questionnement car je devais avoir le temps de poser d’autres questions importantes sur l’exposé lui-même (les questions directes sur l’exposé sont prioritaires sur les autres pour observer la maîtrise que le candidat exerce sur son propre exposé). Mais rien n’empêche de continuer avec d’autres questions enchaînées, par exemple en demandant de : - tracer l’allure de la courbe représentative de  (une sorte de sinusoïde qui s’a¤ole vers 0 tout en étant écrasée entre les droites d’équations  = §). - prouver que  :  7!  sin(1) est continue en zéro.

- préciser comment obtenir une fonction positive qui aurait le même comportement au voisinage de zéro (par exemple  :  7! 1 +  sin(1)). - véri…er que sur n’importe quel intervalle de la forme [¡ ], la fonction  décroît (resp. croît) sur une in…nité d’intervalles  inclus dans [¡ ].

- (y) démontrer que le théorème est vrai lorsqu’on suppose seulement que  est continue sur [ ], en faisant appel à des connaissances de niveau licence (Question 38.7). Finalement, pour éviter quelques questions, le plus simple sera d’énoncer le théorème en supposant que  est continue, monotone et positive sur  = [ ]. Dans ce cas le développement du candidat convient et montre ce que l’on peut proposer dans une terminale S. Mais attention : le jury pourra toujours poser la question (y) puisque le niveau de questionnement aux oraux du CAPES reste celui d’une première année de master.

38.2.2

Cherchez l’erreur

Extrait 38.1 Une recherche Google sur le terme intégrande e¤ectuée le 15 mars 2017 donne le résultat suivant a¢ché en première ligne : « L’intégration est un concept fondamental en mathématiques, issu du calcul des aires et de l’analyse, et utilisé dans de nombreuses branches des mathématiques. L’intégration permet, entre autres, de calculer la surface de l’espace délimité par la représentation graphique d’une fonction... » La page citée sur Wikipedia n’existe plus et s’en transformée en une simple


38.2. FRONT DES EXPOSÉS

335

balise de redirection. Pourquoi ? Que dire au sujet de la dé…nition a¢chée cidessus ?

Cette question peut facilement être transformée en une question d’oral du CAPES, comme par exemple : « Sur Wikipedia, on m’indique que l’intégrand est un concept fondamental des mathématiques qui permet de calculer l’aire sous la courbe représentative d’une fonction. Qu’en pensez-vous ? » Analyse — On sursaute à la lecture de cette dé…nition. Le terme intégrande est présenté comme « un concept fondamental en mathématiques », qui est « utilisé dans de nombreuses branches des mathématiques », permettant par exemple de « calculer la surface de l’espace délimité par la représentation graphique d’une fonction ». Rien de moins que cela. Cette dé…nition est fausse, ce qui explique qu’elle ait disparu de l’encyclopédie collaborative qui se transforme et s’épure chaque jour. L’intégrande est simplement le nom que l’on donne à la fonction que l’on veut intégrer et que l’on place sous le signe somme. Ainsi dans l’écriture : Z

 () 

l’intégrand est la fonction . Il s’agit juste d’une dé…nition, donc elle n’a rien de fondamental en mathématiques : c’est une façon d’appeler un objet, c’est pratique mais arbitraire, et rien n’empêche de choisir un autre nom. Le rédacteur de la dé…nition relevée sur Google en mars 2017 a dû faire la confusion entre « intégrand » et « calcul intégral », ce qui n’est pas du tout la même chose. Moralité : en mathématiques comme ailleurs, il faut s’attacher à conserver intactes ses capacités d’analyse critique.


336

CHAPITRE 38. INTÉGRALES, PRIMITIVES

38.2.3

Passe facilement les écrits, mais chute à l’oral 2

Ce candidat passe facilement les écrits, mais chute à l’oral 2. Il aurait été reçu s’il avait passé le CAPES où la barre d’admission s’établissait à 50 points à la session 2017, et où il obtient 12 5 + 13 88 + 2 £ (10 4 + 5 2) = 57 58 points. Mais il passe le CAFEP et se retrouve collé. Dans les années à venir, il sera toujours di¢cile de choisir entre le CAPES et le CAFEP, le premier concours o¤rant plus de postes mais des postes de fonctionnaires où l’on doit partir loin de chez soi pour répondre au besoin du service public. Voici le compte rendu que l’on m’a demandé de partager : (...) Je souhaite tout d’abord vous remercier pour vos ouvrages très intéressants et uniques dans leur genre. J’ai préparé le CAPES (CAFEP) cette année et vos livres sur les di¤érents types de raisonnements mathématiques et sur les questions de l’oral 1 m’ont été très utiles ! Les questions dans le livre sur l’oral 1 m’ont permis de me poser des questions, d’enrichir mes connaissances en maths. J’ai aussi très apprécié les retours d’expériences. Je vous écris donc aussi aujourd’hui pour vous faire part de la mienne, qui pourra peut-être être utile à des futurs candidats. Je vais commencer par une petite présentation. Je suis en reconversion professionnelle : après une licence de mathématiques, un diplôme d’ingénieur, un diplôme de master de recherche en aéroacoustique et quelque temps en tant qu’ingénieur dans l’industrie aéronautique, j’ai choisi de me reconvertir vers l’enseignement. C’est un métier qui a plus de sens pour moi. J’ai pris 8 mois de disponibilité pour travailler seul le CAPES. Il a fallu tout d’abord choisir entre le public ou le privé. Etant marié à une femme qui n’est pas du tout mobile professionnellement pendant encore 5 ans, et ayant un enfant, j’ai choisi le CAFEP essentiellement pour être à peu près sûr de rester dans ma région. Je ne sais pas si j’ai fait le bon choix. J’ai préparé l’écrit avec des livres, dont les votre. Je n’ai pas utilisé mais anciens cours de licence à moitié jetés ou en mauvais états. J’ai trouvé que les écrits se sont bien passés. Je n’ai pas pu …nir les sujets mais c’est fait pour apparemment. Je m’en suis sorti avec 12,05 et 13,88. Je pensais avoir plus mais ce n’est déjà pas trop mal. Pour les oraux, un ami, ancien membre du jury d’un certain type de CAPES, m’a fait passer quelques oraux blancs. Sinon j’ai travaillé seul les 38 leçons en utilisant plusieurs manuels scolaires. J’ai préparé toutes les leçons sans impasse, avec bien sûr des préférences pour certaines. Oral 1 - J’arrive assez serein car j’ai assisté en visiteur la veille à des prestations où les candidats ne maîtrisaient pas des notions du secondaire (forme canonique d’un trinôme du second degré, di¤érents types de raisonnement,


38.2. FRONT DES EXPOSÉS

337

suites arithmético-géométriques). Je me dis que je ferai mieux. Par ailleurs, j’ai eu le temps de voir tout ce que je voulais : je suis prêt. Je pioche une feuille avec les leçons suivantes : « Géométrie vectorielle dans le plan et dans l’espace » et « Intégrales et Primitives ». Je n’étais pas très fan de ces deux leçons, la première étant très générale mais ne pouvant pas aborder le produit scalaire, la seconde étant très intéressante mais présentant trop de démonstrations à savoir pour l’oral. Je choisis celle qui m’inspire le plus : « Intégrales et primitives ». Je présente la leçon sur PowerPoint, en écrivant au tableau quelques théorèmes importants et les développements de certains exemples. Les parties de mon plan étaient : 1) Intégrale et notion d’aire sous la courbe, 2) Primitives, 3) Intégration. Je reste dans le programme de terminale et propose en ouverture l’intégration par parties et par changement de variables. Ce n’est pas tout à fait le plan que j’avais préparé mais dans l’ensemble, c’est ce que je voulais faire. Je propose deux applications, l’une ouverte et concrète avec un calcul exact d’intégrale, l’autre de type bac donc bien détaillée avec la méthode approchée du calcul d’une intégrale par la méthode des rectangles et l’écriture d’un algorithme. On me demande de démontrer le théorème de dérivabilité d’une primitive. Je connais les grandes idées mais je ne détaille pas les di¤érents objets : on me le reproche. C’est en e¤et primaire, je le sais bien, mais le jour de l’oral je ne voulais pas perdre trop de temps (je ne sais pas pourquoi d’ailleurs) et tous les objets étaient présentés juste au-dessus dans l’énoncé du théorème. Dans cette démonstration j’utilise une fonction dont on cherche la dérivabilité de son intégrale strictement croissante. On me pose des questions sur d’autre type de fonctions : décroissantes, non monotones... Je pense m’en sortir correctement. On me demande de développer un des exercices. Je le fais pas trop mal je pense. Ensuite on me demande de calculer l’intégrale d’une fonction du type ax*exp(bx). Je pars avec le changement de variables car je pensais avoir vu un carré dans l’exponentielle, je me corrige vite et seul et j’utilise une intégration par parties. Je commence le développement et on me demande d’intégrer la fonction f(x)=sqrt(1-x) entre -1 et 1. J’utilise la symétrie, je change de variable x=sin(u) et j’obtiens pi/2. Je sais que c’est juste car cette intégrale exprime l’aire d’un demi-disque de rayon 1 centré à l’origine du repère). Je me retourne vers les examinateurs, qui est resté très neutre tout le temps, sauf à ce moment où une des membres sourit et dit oui. Fin de l’oral. Je ressors plutôt content compte tenu de ce que j’ai pu voir la veille, même s’il est di¢cile de s’auto-évaluer et même si les dernières questions du jury étaient plutôt du type A dans vos ouvrages. Dans l’ensemble j’ai été plutôt à l’aise au tableau et dans la salle, je parle à haute voix. Je n’ai pas l’expérience d’un


338

CHAPITRE 38. INTÉGRALES, PRIMITIVES

professeur mais celle de l’ingénieur qui présente beaucoup de présentations. J’obtiens 10,4. Je pensais quand même avoir un peu plus. C’est l’oral 2 qui a plombé ma moyenne : je n’ai obtenu qu’un 5,2. Je n’ai pas su résoudre de manière mathématique le problème d’optimisation au niveau seconde où on me demandait de trouver le minimum sur R+ d’une fonction du type a/x*(bx^2+c). Je n’ai pas toujours su répondre clairement aux questions, mais sans gros blanc. J’ai analysé les productions d’élèves en fonction des six compétences mathématiques. J’étais sorti un peu plus déçu que la veille. J’entends les candidats de la même session en sortant dire qu’ils ont aussi bloqué sur la résolution mathématique du problème. Je ne pensais pas avoir cette note si catastrophique. J’ai contacté le jury pour comprendre mon échec mais aucune information personnalisée ne m’a été transmise. Je ressens cette note un peu comme une humiliation, comme « si la profession m’avait signi…é ne pas vouloir de moi ». Aujourd’hui je comprends à peu près ce que je peux faire pour m’améliorer à l’oral 1, par contre je ne saurais pas quoi faire à l’oral 2. Je ne vois pas comment on pourrait remonter d’un 5 alors que je ne pensais pas que ma prestation était si catastrophique. J’hésite donc à retenter le concours l’année prochaine, ne sachant pas quoi améliorer. C’est frustrant et peu motivant. Je me dis que je vais peut-être faire des remplacements, ce qui peut m’aider, mais dans ce cas je disposerai de moins de temps pour préparer le concours. Quelle en serait alors l’issue alors que cette année j’avais un plein temps pour le préparer ? Cette année je suis au-dessus de la barre d’admission du CAPES, mais endessous de celle du CAFEP. C’est vraiment dommage et pas du tout constructif de n’avoir aucun retour de ses prestations orales autres que les notes... Monsieur, à quand un ouvrage sur l’oral 2 ? (. . . ) [NDA : je n’ai pas prévu de travailler l’oral 2 malheureusement, mais les dossiers traités par Gilbert JULIA sur le web permettent un entraînement e¢cace.] Epilogue - C’est rageant de penser que l’on aurait été reçu si on avait passé le CAPES. Mais à quel prix ? Pour partir loin de chez soi ? C’est dur aussi. En tout cas vous avez réussi vos deux écrits, limité la casse à l’oral 1, et seul l’oral 2 a posé problème. Le fait de ne pas arriver à résoudre l’exercice proposé dans le dossier est a priori pénalisant. Ce qui explique peut-être la note. La précision mathématique des réponses est aussi importante. Un concours est toujours formé d’aléas dépendant de nombreux paramètres, et les épreuves d’un concours méritent bien leur nom : ce sont des épreuves qu’il faut passer, et encaisser. . . Courage en tout cas, et merci pour votre contribution en direction des futurs candidats.


38.3. L’INTÉGRATION EN TERMINALE

38.3

339

L’intégration en terminale

Parler d’intégrales demande de savoir dé…nir avec précision toute une classe de fonctions intégrables. Des questions pourront toujours être posées dans ce sens au candidat qui pourra se référer au programme o¢ciel tout en étant confronté aux carences de celui-ci qui cache la réalité des choses à des élèves qu’il traite comme absolument incapables de la moindre abstraction. La question fondamentale est sans doute la suivante : Comment répondre à un jury qui demande des réponses précises alors qu’on est incité à se référer à un programme de terminal défaillant ? Récemment, à la …n d’un exposé d’entraînement sur les aires, j’ai posé quelques questions simples sur les fonctions intégrables, ce qui semble bien naturel puisqu’on lie l’intégrale d’une fonction continue positive à une certaine aire sous une courbe. Il n’y a pas eu de bonne réponse, ce qui montre que la confusion ou le défaut de préparation est à son comble. Pourtant, il faut savoir répondre à la question suivante : Question 38.4 – Pouvez-vous dé…nir exactement ce que vous voulez dire quand vous parlez de fonction intégrable sur un segment [ ] ? La première réaction est de répondre au niveau d’une terminale S de l’année 2014-15, donc en utilisant le programme 2012 [58] et en s’aidant de manuels scolaires (j’ai utilisé [14] et [15]) : 1) Lorsque  est une fonction continue positive sur un segment [ ] de R (où  · ), à valeurs réelles, l’intégrale de  sur [ ], notée : Z   ()  

est, par dé…nition, l’aire sous la courbe représentative de  sur l’intervalle [ ]. C’est donc l’aire délimitée par l’axe  des abscisses, les droites d’équation  =  et  =  (dans le repère orthonormal où on représente ), et la courbe représentative C de . 2) Si  est une fonction continue négative sur [ ], on pose : Z  Z   ()  = ¡ (¡ ()) 

3) Si  est continue sur [ ] et ne s’annule qu’un nombre …ni de fois sur [ ], il existe une subdivision 0 =   1     =  telle que  conserve


340

CHAPITRE 38. INTÉGRALES, PRIMITIVES

un signe constant sur chacun des intervalles [  +1 ] (d’après le Théorème des valeurs intermédiaires), et l’on pose : Z

 ()  =

¡1 X

 ()

Z

+1

 () 



=0

où  () désigne le signe de  sur [  +1 ] ( () vaut 1 si  est positive, ¡1 sinon). Jusque-là tout va bien. Mais ensuite le livre de la collection Repère [15] saute le pas et donne des propriétés de l’intégrale d’une fonction continue (linéarité et Chasles) sans dé…nir ce qu’est l’intégrale d’une fonction continue sur [ ], donc en généralisant la dé…nition donnée au 3) sans suggérer qu’il existe pourtant des fonctions continues sur des segments qui s’annulent une in…nité de fois sur ce segment, comme la fonction  7! (sin ) sur [0 1] quand elle est prolongée par continuité en 0. Le livre de la collection Déclic préfère alors faire une pause pour dé…nir et étudier les primitives de fonctions continues, pour pouvoir démontrer un peu après (comme dans la Question 38.6) que l’application : Z   () =  ()  

est une primitive de  sur [ ] dès que  est continue positive sur [ ]. En admettant qu’une fonction continue  sur un segment [ ] possède un minimum  sur ce segment, et en appliquant le résultat précédent à la fonction continue positive  7!  ()+, on arrive alors à démontrer que toute fonction continue sur [ ] possède une primitive  sur [ ]. Dans cette présentation, on pose : Z 

 ()  =  () ¡  ()

et il ne reste plus qu’à véri…er les propriétés classiques d’une intégrale (Chasles, linéarité, positivité). Voilà deux réponses apportées en terminale sur un programme bancal. Ce n’est qu’en maths sup qu’on aura la possibilité de présenter plus correctement la classe des fonctions intégrables sur un segment, avec plus de latitude dans cette présentation. Sur le programme de maths sup de 2013 [60], on lit que « le programme n’impose pas de construction particulière » pour dé…nir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. A ce niveau, il est donc possible de dé…nir les fonctions intégrables au sens de Riemann sur [ ] en expliquant que


38.3. L’INTÉGRATION EN TERMINALE

341

ce sont des fonctions  telles que la borne supérieure des intégrales des fonctions en escalier qui minorent  est égale à la borne inférieure des intégrales des fonctions en escalier qui majorent . Cette façon de faire relie encore plus la dé…nition d’une intégrale à la notion d’aire sous une courbe, et exhibe formidablement la relation intime qui existe entre la dé…nition d’une fonction intégrable et celle d’une partie quarrable : Dans les deux cas, c’est l’égalité d’une certaine borne supérieure et d’une certaine borne inférieure qui permet de dé…nir un nombre que l’on appellera suivant le cas l’intégrale de la fonction sur le segment, ou l’aire d’une partie quarrable (Chapitre 41). Cependant le programme o¢ciel de maths sup évite de parler de fonctions intégrables au sens de Riemann, et demande de s’intéresser surtout aux fonctions continues par morceaux. A ce sujet, tout candidat au CAPES doit connaître les dé…nitions suivantes et les restituer si un jury les demande à l’oral : Dé…nition 1 — Une fonction continue par morceaux sur un segment [ ] est une fonction  telle qu’il existe une subdivision 0 =   1     =  de [ ] telle que, pour tout  appartenant à [[0  ¡ 1]], il existe une fonction  dé…nie et continue sur [  +1 ], qui coïncide avec  sur ]  +1 [. Dé…nition 2 —- Une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque  de R est une fonction dont la restriction à tout segment inclus dans  est continue par morceaux. On dé…nirait de la même façon une fonction de classe   par morceaux.


342

CHAPITRE 38. INTÃ&#x2030;GRALES, PRIMITIVES


Chapitre 39

Problèmes conduisant à des équations di¤érentielles 39.1

Questions

39.1.1

Questions B

Question 39.1 (Ecrit du CAPLP 2017) Soient  et  deux fonctions continûment dérivables de R dans R. On note  0 et  0 leurs fonctions dérivées. Si  0 =  et  0 = , et s’il existe  2 R tel que () = (), peut-on a¢rmer que  =  ? Justi…er.

39.1.2

Questions C

Question 39.2 (Oral du CAPES 2015) Sauriez-vous retrouver l’équation différentielle décrivant le comportement d’un circuit RLC ?

343


344

CHAPITRE 39. EQUATIONS DIFFÃ&#x2030;RENTIELLES


Chapitre 40

Problèmes conduisant à l’étude de fonctions Toutes les questions générales sur les fonctions (limites, dérivabilité, variations, fonctions particulières...) posées dans d’autres chapitres de ce livre peuvent être utilisées ici.

40.1

Questions

40.1.1

Questions A

Question 40.1 Soit  une application strictement croissante de R dans R. Montrer que  est bijective, puis que l’application réciproque de  est aussi strictement croissante. Question 40.2 Dé…nissez la fonction racine carrée. Question 40.3 Montrer que la fonction  7! sur R+ .

p  est strictement croissante

Question 40.4 Comment dé…nir la fonction qui à  fait correspondre  où  et  sont des entiers naturels donnés à l’avance ? Question 40.5 [32] (Asymptotes obliques) a) Comment recherche-t-on des asymptotes obliques d’une courbe représentative d’une fonction  de R dans R ? Comment détermine-t-on la position de la courbe par rapport à son asymptote ? b) On considère la fonction  de R dans R dé…nie par : 345


346

CHAPITRE 40. ETUDES DE FONCTIONS  () =

3 +  + 1 ¡1   2 + 1

Déterminer les asymptotes obliques de la courbe représentative de  et positionner cette courbe par rapport à celles-ci. Question 40.6 [32] Trouvez une fonction  de classe  1 dont la courbe représentative oscille sans cesse entre les paraboles d’équations  = ¡2 et  = 2 . Dessinez l’allure de cette courbe à main levée. Question 40.7 [32] Soit  2 R. Comment démontrer que la courbe représentative d’une application  de R dans R dans un repère orthonormal est : a) symétrique par rapport au point ( ()) ? b) symétrique par rapport à la droite verticale d’équation  =  ? Ces résultats restent-ils vrais si le repère n’est plus orthonormal ?


Chapitre 41

Aires 41.1

Questions

41.1.1

Questions A

Question 41.1 Pouvez-vous expliquer comment justi…er la formule de distributivité de la multiplication sur l’addition en collège en utilisant des aires ? Et l’identité remarquable donnant le développement de ( + )2 ? Indication de réponse — Dessiner un rectangle de longueurs de côtés  et +, et calculer son aire de deux façons di¤érentes. Pour l’identité remarquable ( + )2 = 2 + 2 + 2, faire de même avec une carré de côté  + . Question 41.2 On donne un polygone non croisé. Comment calculer son aire ? Question 41.3 Comment faire pour calculer l’aire d’une surface dans R3 ? Réponse — Choisir beaucoup de points sur cette surface, dessiner des triangles à partir de ces points pour obtenir une représentation de la surface en …l de fer, puis calculer la somme des aires de tous ces triangles. On dit qu’on a triangulé la …gure, ou que l’on a e¤ectué une triangulation. Cela me rappelle ma thèse de doctorat où il était question de triangulations... Plus on prend de points sur la surface et plus l’approximation obtenue de l’aire de cette surface est meilleure. Question 41.4 Que dire des aires et des symétries axiales ? Démontrez-le dans le cas d’un triangle. Question 41.5 Quelles sont les deux propriétés essentielles de l’aire ? 347


348

CHAPITRE 41. AIRES

Réponse — L’additivité ([50], 14.2.3.(3)) et l’invariance par isométrie ([50], 14.2.3.(4)) démontrée dans la Question 14.3 de [50]. Question 41.6 {[50], Question 14.1} Pourquoi un disque possède-t-il une aire ? Réponse — Parce que c’est une partie quarrable du plan, comme le montre par exemple la méthode d’Archimède (voir [50], chapitre 14). Question 41.7 Expliquez au moins deux façons di¤érentes de calculer l’aire d’un disque. Réponse — On peut penser à la méthode d’Archimède ([50], Section 14.5.2) et à la méthode de Monte-Carlo qui revient à calculer la probabilité pour qu’une ‡èche lancée au hasard sur une cible carrée tombe dans le grand cercle inscrit dans ce carré. Question 41.8 Qu’est-ce qu’une partie quarrable ? Réponse — C’est expliqué à la Section 14.2.3 de [50] qui est reprise ici dans les extraits de la Section 41.3. Les compléments sur les parties quarrables proposés en annexe de [50] permettront de mieux retenir le principe et voir quelques démonstrations si on dispose de su¢samment de temps pour approfondir cette question. Question 41.9 Quelle est l’aire d’un cercle ? Pourquoi ? Réponse — C’est zéro. Il faut avoir un argument à ce sujet ! Et cela revient à retourner à la dé…nition d’une partie quarrable. Question 41.10 Connaissez-vous des parties du plan qui n’ont pas d’aire ? Réponse — Des parties qui manquent d’air donc ? Une partie non quarrable du plan est par exemple donnée par l’ensemble des points du carré [0 1]£[0 1] de R2 dont les coordonnées sont des nombres rationnels. Il est très facile de démontrer que cette partie n’a pas d’aire en retournant à la dé…nition d’une partie quarrable, ce qui est l’objet de l’exemple 2 du §.15.8.2 de [50]. Question 41.11 Justi…ez que l’aire d’un rectangle est donnée par A =  £  ? Réponse — Cette question sera facile à poser par le jury, et une réponse est détaillée au §.14.2.2 de [50] (voir page 359 et suivantes). On ne nous aura pas si facilement !


41.1. QUESTIONS

349

Question 41.12 Quel lien existe-t-il entre la dé…nition d’une aire d’une partie quarrable et la dé…nition de l’intégrale d’une fonction d’un segment [ ] de R dans R ? Réponse — Le travail est identique puisqu’il revient dans les deux cas à dire que l’on peut encadrer une certaine quantité de façon aussi précise qu’on le désire. Cela se voit de façon frappante si l’on prend la peine d’énoncer les deux dé…nitions (possibles) côte à côte : Dé…nition d’une intégrale – Une fonction  de [ ] dans R est intégrable au sens de Riemann (c’est-à-dire « possède une intégrale ») si la borne supérieure des intégrales des fonctions en escalier qui minorent  est égale à la borne inférieure des intégrales des R  fonctions en escalier qui majorent . Dans ce cas, l’intégrale   ()  de  sur [ ] est la valeur commune de cette borne supérieure et de cette borne inférieure. Dé…nition d’une aire – Une partie  du plan est quarrable (c’est-à-dire « possède une aire ») si la borne supérieure des aires des parties pavables du plan incluses dans  est égale à la borne inférieure des aires des parties pavables du plan qui contiennent . Dans ce cas la valeur commune de cette borne supérieure et de cette borne inférieure. La démarche est identique, même si l’on a remplacé des sommes d’aires de rectangles « bien placés » par rapport à la courbe représentative de  (les intégrales des fonctions en escalier qui minorent ou majorent ) par des aires de parties pavables dé…nies comme des réunions …nies de pavés. Après avoir vu ça, on ne peut plus douter de la proximité de ces deux concepts ! Question 41.13 {Reprise de la Question 38.6} Soit  une fonction continue d’un R  intervalle ouvert  de R dans R. Soit  2 . Si  2 , on pose  () =   () . Lorsque  est positive et monotone sur , démontrer que  est dérivable sur  comme on le ferait dans un cours de terminale S. Question 41.14 Calculer l’aire de la surface d’un cône de révolution de hauteur  et de rayon de base .

41.1.2

Questions B

Question 41.15 [25] Connaissez-vous une interprétation géométrique de l’algorithme d’Euclide qui permet de calculer le pgcd de deux nombres entiers ? Réponse — Voir Question 12.138 p. 77.


350

CHAPITRE 41. AIRES

41.1.3

Questions C

Question 41.16 {[50], Question 14.2} La notion d’aire est une notion métrique ou a¢ne ? Question 41.17 [34] Transformer géométriquement un quadrilatère convexe en un triangle de même aire. Réponse — On se donne un quadrilatère convexe . On note  l’intersection de () et de la parallèle à la droite () issue de . Dans le trapèze  , les triangles  et  ont même aire, donc l’aire du triangle  sera égale à celle du quadrilatère . B

B

A

B

A

D

C W

D

C W

C

Question 41.18 Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère trois points  (3 8), (7 10) et  (¡5 2). Calculez l’aire du triangle . Réponse — Notons A l’aire du triangle . Les deux premières solutions proposées supposent que l’on connaît une expression de cette aire. La dernière solution permet de retrouver ces formules. Première solution — On sait que : ¡ ! ¡! 1 ¡ A = jj ^ jj 2 ¡ ¡! ¡! ¡¡ ! ¡! où  ^  désigne le produit vectoriel des vecteurs  et  lorsque le plan a été plongé dans un espace de dimension 3. Ici : 0 1 0 1 0 1 4 ¡8  ¡ ¡! ¡! @ A @ A @  ^  = 2 ^ ¡6 =  A 0 0  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¡6 ¯ ¯ 4 ¡8 ¯ ¯ 4 ¡8 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¡8. où  = ¯ ;  = ¡¯ et  = ¯ 0 0 ¯ 0 0 ¯ 2 ¡6 ¯ Donc A = 4.


41.1. QUESTIONS

351

Deuxième solution – On a : ¯¯ ¯¯ 1 ¡¡ ! ¡! 1 ¯¯ ¯¯ 4 ¡8 ¯¯ ¯¯ 1 A = j det( )j = ¯ ¯ = £ j¡8j = 4 2 ¡6 ¯ ¯ 2 2 2

Troisième solution – Si  désigne le pied de la hauteur issue de  du triangle , l’aire du triangle  est : ¡¡ ! ¡! ¡! ¡! 1 1 1 ¡ A =  £  =  £  j sin( )j = jj ^ jj 2 2 2 et comme : ¡ ¡! ¡! ¡ ¡! ¡! det( ) sin( )) =  £  on trouve A =

1 ¡ ¡! ¡! j det( )j. On est ramené à la seconde solution. 2

Question 41.19 Soit un triangle . Soient 0 ,  0 ,  0 les symétriques des points , ,  par rapport aux points , , . Calculer l’aire du triangle 0  0  0 en fonction de celle du triangle . Réponse — Première méthode — En utilisant le produit vectoriel, on trouve : ¡¡ ! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! 0  0 ^ 0  0 = (0  +  0 ) ^ (0  +  0 ) ¡¡ ! ¡¡! ¡ ¡ ! ¡! = ( + 2) ^ (2 + ) ¡ ¡ ! ¡! ¡ ¡ ! ¡! = (3 + 2) ^ (2 + ) ¡¡ ! ¡! ¡! ¡ ¡! ¡ ¡! ¡! = 3 ^  + 4 ^  = 7 ^  L’aire A0 0  0 du triangle 0  0  0 s’écrit donc : 1 ¡¡! ¡¡! 7 ¡¡ ! ¡! A0  0  0 = jj0  0 ^ 0  0 jj = jj ^ jj = 7A . 2 2 Remarque — On peut écrire les mêmes calculs en remplaçant les produits vectoriels par des déterminants puisque l’on a aussi : ¡¡! ¡¡! 1 A0 0  0 = j det(0  0 ^ 0  0 )j 2 Deuxième méthode — Deux triangles de même hauteur et de mêmes bases ont des aires égales. En traçant trois médianes, on obtient la …gure (b) et l’on dénombre 7 triangles de même aire. Par exemple, les triangles  0  et  0 0 ont même aire car ont des bases 0  et  égales, et ont même hauteur. Par conséquent A0 0  0 = 7A .


352

CHAPITRE 41. AIRES

(a) Situation générale

41.2

(b) Bon découpage

Sur le terrain

Ä Une candidate à une simulation propose un plan en quatre parties : I. Grandeur II. Mesure III. Aires des …gures usuelles IV. Intégration sous une courbe

Le libellé de la partie IV est étonnant : intègre-t-on « sous une courbe » ? Mais cela n’est pas trop grave. Par contre, la première dé…nition écrire au tableau au début de la partie I pose un véritable problème qui ne passera pas aperçu par le jury : Dé…nition – On dit que deux …gures ont la même aire si en découpant l’une d’entre elles, on peut recomposer l’autre. La candidate donne rapidement un exemple en dessinant un triangle , puis un polygone où l’on retrouve ce triangle quelque part, et où on peut le découper et le replacer ailleurs sans changer l’aire du polygone. Je joue le rôle du jury dans cette simulation. Pendant l’entretien, je demande de relire cette dé…nition et d’expliquer quel est son niveau de vérité, de la critiquer puis d’expliquer pourquoi on l’a choisie ici. Je n’obtiens malheureusement aucune réponse, aucune justi…cation. Il était pourtant nécessaire de corriger le tir... J’attendais à ce qu’on m’explique que cette dé…nition était inapplicable dans la pratique : - d’abord parce que « découper une …gure » est quelque chose de physique dont on peut se satisfaire dans un premier temps, mais en admettant de devoir travailler avec des approximations de longueurs,


41.2. SUR LE TERRAIN

353

- ensuite parce que cette dé…nition est inutilisable dans la pratique (essayez donc de montrer par des découpages qu’une …gure donnée n’a pas la même aire qu’une autre …gure donnée : bonjour les dégâts), sauf dans quelques activités triées sur le volet que l’on pourrait proposer à des élèves. L’idée n’est pas mauvaise en sixième pour faire prendre conscience de la notion d’aire, et la candidate aurait dû parler dans ce sens. Ne rien répondre à ce niveau montre un manque de ré‡exion critique sur cette dé…nition et la méconnaissance de ce qui pourrait être une dé…nition rigoureuse d’une aire, et cela sera très certainement lourdement sanctionné par un jury. La candidate se « suicide » alors dans le second énoncé qu’elle propose : Proposition – On peut toujours découper un polygone en un rectangle de même aire. Elle rajoute le dessin suivant pour seule justi…cation :

Que répondra-t-elle quand le jury lui demandera de démontrer cette proposition ? L’exemple pris montre un parallélogramme, ce qui est loin d’être un polygone quelconque. Ensuite elle insiste avec une seconde dé…nition qui reprend la première avec d’autres termes : Dé…nition – On dit que deux …gures n’ont pas la même aire si en essayant de découper une des …gures pour reconstituer l’autre, les deux surfaces obtenues ne sont pas superposables. Cette dé…nition a-t-elle été prise dans un livre de CM1 ? On notera qu’il su¢t de découper et de faire un seul essai pour pouvoir a¢rmer que deux …gures n’ont pas la même aire ! Pendant l’entretien, le jury aura beau jeu de demander comment faire pour savoir qu’il n’existe pas de méthode qui permette d’obtenir deux …gures superposables, même si on a l’impression qu’elles ne le seront jamais quelle que soit la découpe. On notera quand même que l’existence ou non de découpages et de recollements permet de caractériser deux polygones de même aire d’après le résultat bien di¢cile à établir suivant dont la preuve, inspirée de celle de Lebesgue, est proposée par Daniel Perrin en [55] et [56] :


354

CHAPITRE 41. AIRES Théorème de Bolyai (1832) – Si  et  sont deux polygones de même aire, alors  et  sont équivalents par découpage et recollement.

Ce résultat est résolument hors du programme du CAPES, et je pense qu’il vaut mieux l’éviter, pour éviter des problèmes. Dans la troisième partie de son exposé, la candidate ne présente que les formules donnant l’aire d’un rectangle, d’un triangle rectangle, d’un carré, et en…n d’un disque. Elle oublie de parler de l’aire d’un triangle quelconque, ce qui est inacceptable, et montre un désintérêt complet pour les aires des losanges et des trapèzes, ce qui me semble inconcevable ! Je lui demande de démontrer la formule donnant l’aire du triangle rectangle (Question 41.11). La candidate arrive à la démontrer en partant de l’aire du triangle rectangle, et vice versa, mais s’interroge pour savoir si c’est su¢sant, sans voir le cercle vicieux dans lequel elle est tombée. Il faudra chercher une autre approche pour démontrer, ou tout au moins expliquer, pourquoi l’aire d’un rectangle est A =  £ , en s’inspirant par exemple du chapitre 14 de Géométrie du collège pour les matheux [50]. Je conclurai en disant que c’est en écoutant cet exposé que m’est venue à l’idée de poser beaucoup de questions « simples », et donc dangereuses les jours des oraux, que l’on trouvera maintenant pour vous dans la Section 41.1.1.

41.3

Extrait de Géométrie du collège

Le livre Géométrie du collège pour les matheux [50] permet de réunir su¢samment de munitions pour créer sa leçon de CAPES sur les aires. Ce livre, qui ne mentionne pas le concours du CAPES et ne propose pas de leçons toutes faites, permet de ré‡échir sur l’enseignement de la géométrie au collège, et à ce titre devrait être accepté comme compagnon pendant les épreuves orales d’admission. Les huit pages suivantes sont extraites du chapitre 14 consacré aux aires des …gures classiques et à la dé…nition des parties quarrables du plan qui est ensuite reprise et détaillée dans l’annexe qu’on pourra parcourir si on a le temps.


41.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE

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CHAPITRE 41. AIRES


41.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE

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CHAPITRE 41. AIRES


41.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE

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CHAPITRE 41. AIRES


41.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE

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CHAPITRE 41. AIRES


Chapitre 42

Exemples d’algorithmes 42.1

Questions

42.1.1

Questions A

Question 42.1 (Oral du CAPES 2015) Qu’est-ce qu’un algorithme ? Quelle dé…nition en donneriez-vous ? Quelle di¤érence avec un programme ?

42.2

Compte rendu de David T.

Voici le compte rendu détaillé d’un oral 1 du CAPES 2014 anticipé proposé par David Teubey pour éclaire nos lanternes ! J’avais déjà tenté de passer le concours session 2013, où j’avais été recalé pour 3 points sous le seuil d’admission (i.e. 1/20 à une épreuve). En cause mon stress intense qui me bloquait : au …nal 2/20 (non mérité même avec le stress). Si j’avais eu 3/20 j’étais admis. Bref mon état d’esprit pour ce nouveau rendez-vous était toujours rempli de rancœur. Je n’avais préparé qu’une seule leçon, persuadé que de toute façon cela ressemble au bac de français : ou on a de la chance ou pas. Mon bagage en maths jusque-là : M1 Recherche en analyse, M2 en ingénierie mathématiques, thèse en développement d’algorithmes pour résoudre des problèmes de physique ondulatoire. Trois ans en tant que chargé de TD a la fac d’Orsay pour les 1re année. Un an à mi-temps en seconde et consultant mathématiques pour la section BTS optique, et pendant cette année, je faisais partie des contrats 6h en seconde (j’étais de plus chargé de TD en première année en IUT d’électronique, c’est d’ailleurs ce qui m’a permis d’avoir mon CAPES). 363


364

CHAPITRE 42. EXEMPLES D’ALGORITHMES

Oral 1 : j’arrive avec mon gros sac de livres pour 11h20 le 25 avril. Gros stress encore, on nous fait patienter plus d’une heure. Puis après les tentatives des organisateurs (assez sympa) de nous faire relâcher la pression par un petit sketch explicatif du déroulement de l’épreuve, je me retrouve en salle de préparation ou je tire : droites du plan et exemples d’algorithmes. J’avoue, exemple d’algorithme est une vraie pépite pour moi, de par mon parcours, mais aussi par le fait que c’est une leçon très dépréciée par les candidats en général ! Je ré‡échis 3 min vite fait à un plan pour les droites du plan, mais après quelques secondes de ré‡exion « oh mais il va y avoir de la droite d’Euler et du théorème de napoléon, et risque de hors sujet avec les droites du triangle). Bon ce sera exemples d’algorithmes ! Je me liste tous les algorithmes que je connais, les ordonne par niveau et par thème (j’essaye d’en avoir un par thème : probabilité, analyse, algèbre/arithmétique) en ré‡échissant a avoir également au moins un algorithme de calcul formel et un autre de calcul numérique (et un tableur). Je rédige donc le plan suivant sous OpenO¢ce (à projeter donc) : Exemples d’algorithmes Dé…nition : Un algorithme est une suite …nie d’instructions logiques en vue de l’obtention d’un résultat à un problème donné. Il se rédige exclusivement dans la langue du rédacteur (à ne pas confondre avec un programme !) A) Niveau 3e 1- Algorithme du PGCD 2- Sa réutilisation pour un algorithme de réduction de fractions 3- Générer tableau de valeurs à partir d’une fonction B) Niveau Seconde 1- Echantillonnage, simuler un tirage aléatoire, déterminer un intervalle de con…ance 2- Déterminer les coordonnées de l’intersection (ou parallélisme) de deux droites du plan 3-Methode de Monte-Carlo : déterminer une valeur approchée de Pi/4 4- Algorithme véri…ant si deux vecteurs du plan sont colinéaires C) Niveau 1re S 1- Calcul de la somme des N premiers termes d’une suite 2- Déterminer si une suite est géométrique, arithmétique, ou pas, et si oui quelle est leur raison 3- Calcul des coe¢cients binomiaux


42.2. COMPTE RENDU DE DAVID T.

365

D) Niveau Terminale S 1- Calcul d’aire sous une courbe 2- Méthode d’Euler pour f=f’ 3- Dichotomie NB - J’avais rajouté une section BTS avec Fourier, calcul d’un développement limité et traitement de l’image, mais cela faisait trop, je l’ai donc « coupé au montage ». Lors de ma préparation TRES CHRONOPHAGE, gros temps pour comparer mon plan aux exigences des programmes, y-a-t-il de meilleurs algorithmes dans les bouquins ? Et y-a-t-il déjà du code de fourni dans les bouquins ? Pour A)1 je tente de le faire sous Algobox que j’ouvre pour la première fois. Impossible de me faire à cet environnement. J’utilise donc Scilab. Vingt grosses minutes plus tard il est prêt, le temps de me refaire à la syntaxe et au …chier d’aide nullissime. Le reste de A) peut se faire pendant l’oral avec tableur ou Scilab. Pour la partie B), j’avais déjà fait la partie 1 avec mes élèves sous un tableur, mais attention, je me suis attaché à donner la dé…nition d’un algorithme et l’utilisation d’un tableur est borderline ! Je me prépare donc juste à expliquer le principe si questions il y a. Pour B) 2 c’est très facile : je ne l’implémente donc pas et répondrai directement au jury. J’avais déjà fait la partie B) 3 en seconde avec le tableur de Geogebra, mais l’aide pour la syntaxe est en ligne et on a pas le net ! Je me résous donc à le préparer sous tableur : dommage car sous Geogebra on voit bien graphiquement ce qui se passe. La partie B) 4 est très facile aussi, je ne l’implémente pas. Pour C) : la première partie est très facile je ne l’implémente pas. Mes nonimplémentations sont surtout liées au caractère non générique du code : c’est à dire qu’il faudrait préparer une manière de recevoir l’implémentation de la fonction ou de la suite, ce qui est trop long et compliqué. le simple fait de les rentrer font déjà 90% de la résolution du problème et du code par la même occasion. La partie C) 2 est très facile et directe, je ne l’implémente pas. Je prépare la partie C) 3 en implémentant même une fonction factorielle. Je connais très bien la vision des coe¢cients binomiaux par l’inspection et le programme, mes réponses sont toutes prêtes quant à l’utilité de cet algorithme. Pour D) 1, 2 et 3, je n’implémente rien car c’est LA qu’est le cœur de la leçon en termes mathématiques : il faudra parler convergence, erreur, justi…cation du modèle et compétition avec d’autres méthodes. De plus, ces deux derniers mois


366

CHAPITRE 42. EXEMPLES D’ALGORITHMES

avec mes étudiants de l’IUT j’avais préparé un TP COMPLET sur : méthode des trapèzes, méthode des rectangle, méthode du point median ; algorithme de d’Euler (avec mes TS) ; dichotomie, méthode de Newton et méthode des tangentes pour la partie f(x)=0. . . En clair : du pain béni ! Bien que j’eus tout fait sous Maple qui n’est pas présent sur les PC du CAPES ! C’est déjà l’heure et j’ai perdu trop de temps sur le …chier d’aide de Xcas (en vain), Algobox (en vain) et Scilab ! J’arrive devant le jury et deux visiteurs : top à la vachette c’est parti ! J’expose tout d’abord le concept la dé…nition d’un algorithme et la di¤érence en calcul formel et calcul numérique, ce qu’on attend d’eux quels sont leur domaine d’utilisation préférentiel. J’attaque chaque partie en me référant au programme o¢ciel. J’explique l’algorithme du pgcd, et utilisant une boucle TANT QUE, et je tors le coup direct au problème de convergence : la suite des restes est par construction décroissante dans N et minorée par 0. J’explique l’utilité de réutiliser un algorithme existant pour en faire un autre : celui de la réduction des fractions. Puis tout au long de ma présentation, je me cantonne à justi…er de la pertinence des algorithmes choisis et expliquer leur principe de fonctionnement, en casant au passage dès que je peux « j’ai eu l’occasion de faire travailler mes élèves, et ça marche bien ». - « Monsieur, il vous reste 3 min ! » Pour Euler, j’explique vite fait au tableau le principe de discrétisation de l’EDO avec deux formules. J’explique en…n la stratégie globale de résolution de f(x)=0, deux phrase sur le calcul d’aire et HOP FINI ! Pile-poil dans les temps ! Le jury demande justement de développer les aires sous la courbe. Hé hé hé, tout se passe comme je l’avais prévu. J’explique donc le principe de la méthode des trapèzes car c’est la plus facile à rédiger au tableau. Je fais de beau graphique mais je dois choisir des notations pour mes formules et la... je sens que je patauge. J’écris une formule de principe et regarde le jury en disant : voilà. Dubitatif le jury me dit : vous avez …ni ? Il vous reste 10 min vous savez ? Euh... Ok on continue. Je développe un brin ma formule mais je sens qu’il vont essayer de m’attaquer sur ce que j’écris, alors j’essaye de peu écrire. J’insiste cependant sur une chose fondamentale : la méthode des trapèzes converge et vite, mais on ne connaît ABSOLUMENT PAS le degré de précision du résultat ! Or la méthode des rectangles, beaucoup rapide, donne un encadrement du résultat ! Pouf, mes 10 min sont passées.


42.2. COMPTE RENDU DE DAVID T.

367

Dans le jury : toujours pareil, les personnages classiques de Feydeau : le désintéressé total qui baille aux corneilles, le dubitatif qui parle peu mais doute de tout ce qu’on lui dit et ponctuant tout par des « Mouais... », et le surintéressé/premier de la classe qui pose tellement de questions pointues qu’on jurerait que c’est lui qui a créé toutes les mathématiques. Le premier de la classe est agressif : « Oui en…n je vois votre somme, là vous ne sommez rien du tout là ». Moi : « euh en e¤et, j’ai oublié d’écrire l’indice de somme dans la formule » (merci pour le stress). « OK, bon ben vous me l’explicitez mieux que ça quand même votre somme hein ! ». « Oui bien sûr ! ». Je le fais avec une astuce de calcul qui plait : la double somme des côtés intérieurs des trapèzes. Lui : « votre pas h, c’est quoi son expression ? ». Moi : « (b-a)/n ». Lui : « oui mais du coup dans votre formule, vous sommez jusqu’à n+1 ! ». Moi : « oui, on change l’indice de …n de somme en n-1 et c’est bon. . . ». S’en suit un court laïus de sa part pour dire qu’il faut bien donner la bonne borne de …n de sommation... C’est un détail en pratique, mais bon... Soit. Lui : « Voilà quand même ! Pourquoi c’est mieux tout ça maintenant ? ». Moi : « Le calcul est totalement optimisé. ». Lui : « En e¤et. A quelle vitesse cette méthode converge-t-elle ? ». Moi : « (MAUVAISE COMPREHENSION DE LA QUESTION) Euh je ne sais pas (JE ME REPRENDS !) mais je peux vous donner une majoration de l’erreur ! ». Lui : « Ah oui ! Ben ça m’intéresse beaucoup ça ! ». Moi : « C’est en n2 ! » et j’écris au tableau (un peu n’importe où d’ailleurs) : ¯ ¯ ( ¡ )3 Sup ¯ 00 ¯  2 12 Gros blanc du jury. Lui : « et vous faites comment pour... ». Moi : « l’inégalité des accroissements …nis ». Lui : « OK, passons, et donc avec la méthode des rectangles ? ». Je refais un schéma de principe et note les expressions des sommes. J’insiste encore une fois qu’on dispose ici d’un encadrement de l’erreur. Lui : « Et du coup la majoration ? ». Moi : « inférieure ou égal à la moyenne des rectangles supérieurs et des rectangles inférieurs ». Lui, se retournant vers Monsieur dubitatif : « ça me va, tu lui demandes quoi ? ». Dubitatif : « la méthode de Monte-Carlo, vous l’avez implémentée ? »


368

CHAPITRE 42. EXEMPLES D’ALGORITHMES

Moi : « oui la voici. Excusez-moi mais d’habitude je l’a fait sous le tableur de Geogebra pour observer visuellement le phénomène, mais je n’ai pas accès à l’aide, donc j’ai utilisé un tableur classique. . . ». Je montre et explique le principe par un dessin au tableau. Petit couac : je me trompe de colonne en simulant l’augmentation des tirages aléatoires... Je me sens pommé, ça marchait pourtant ! Le jury : « oui, vous n’avez pas tiré la bonne colonne ». Moi : « Oups oui, je n’avais pas vu que l’ascenseur de la fenêtre avait bougé ». Je tire la bonne colonne avec 200 points : boom précision de Pi/4 au centième près. Le jury se regarde... « Euh, bon. Les coe¢cients binomiaux, vous l’avez fait ? ». Moi (rire satanique intérieur Mouahahah !) : « oui bien sûr ». Je le montre et explique ce que dit le programme o¢ciel sur les coe¢cients binomiaux, et j’explique que cet exercice a pour but de savoir transposer le langage mathématique en langage informatique, sans avoir besoin de forte notion en maths ! Je montre d’emblée par une phrase que je connais l’implémentation récursive de la fonction factorielle. Premier de la classe : « ça marche bien avec de grandes valeur de n ? » Moi : « Non, la méthode explose assez rapidement. . . » Lui : « Une manière d’améliorer le calcul ? » Oups, oui mais j’ai un trou ! Moi : « oui mais en général cette fonction est déjà implémentée et optimisée dans les logiciels de programmation. Je ne sais pas sur quoi ils se basent mais cela peut être avec la fonction Gamma et une utilisation de la formule de Stirling certainement, sinon comme ça je ne vois pas ». C’est en sortant tout juste de la salle, que je vis directement la réponse EVIDENTE en plus : n !/k ! se simpli…e en amont TRES BIEN, et il s’agit de faire un produit avec une boucle POUR de k+1 à n selon que k ou n-k soit le plus grand. Je m’en suis voulu de ne pas avoir eu la présence d’esprit de le dire. Le jury cherche quelle question me poser... Dubitatif : « Un algorithme en probabilité ? ». Moi : « Par exemple MonteCarlo pour calculer Pi, il y a aussi l’échantillonnage, mais bon, c’est limite j’en conviens. ». Je parle brièvement de la simulation de n tirages d’une pièce. Le jury : « Et pour simuler une pièce non équilibrée ? ». Moi : « Parfait ! C’est facile ! ». J’explique, mais je commence à fatiguer, je m’embourbe un peu dans ma réponse, mais j’avais déjà fait ce TP en seconde, donc je me reprends et réponds correctement dans le fond ! Le jury acquiesce et cherche encore... « Et la dichotomie, vous savez le faire ? ». Moi : « Désolé, c’était plus long, je n’ai pas eu le temps de l’implémenter. mais je peux vous l’expliquer ! ».


42.2. COMPTE RENDU DE DAVID T.

369

Je recommence, schéma de principe, dé…nition des deux suites, j’insiste sur le théorème des valeurs intermédiaires bien évidemment ! Jury : « Majoration de l’erreur ? ». Moi : « c’est en 2^(n+1) ». Jury : « Ecrivez le svp ». Alors là il faut juste ne pas se tromper entre n et n+1, le premier de la classe y tient ! Je calcule la taille de l’intervalle à l’étape 0 puis à l’étape 1 et 2, ce qui donne la formule à l’étape n. Jury : « Ahahah nan ! » Moi : « Euh ? ahh ! ». J’avais dit : « taille de l’intervalle sur 2^(n+1) » mais j’ai écrit « taille = a+b ». Quel idiot, je corrige : a-b. Jury : « Aahahaha nan toujours pas ! » Moi : « Euh ? Oh mince ! ». Je corrige : b-a. Jury : « Ahahahah nan... » MINCE ! Je me suis trompé en écrivant au tableau n’importe où, j’ai écrit mon étape 1 en étape 0, etc... Je corrige. Le jury : « OK, oui. Bon c’est …ni, merci. . . ». En sortant les visiteurs m’attendent et me réconfortent : « Wow, vous connaissiez tout ! La formule d’erreur de la méthode des trapèzes ! Vous l’avez appris par cœur ? ». Moi : « J’ai eu beaucoup de chance : j’ai fait ce TP de fond en comble il y a trois semaines ». Finalement j’ai obtenu 16/20 à cette épreuve.


370

CHAPITRE 42. EXEMPLES Dâ&#x20AC;&#x2122;ALGORITHMES


Chapitre 43

Di¤érents types de raisonnements en mathématiques 43.1

Questions

43.1.1

Questions A

Question 43.1 (Oral du CAPES interne 2016) Enoncez la contraposée de la proposition suivante : « Si  est multiple de 3 et  est multiple de 3 alors  +  multiple de 3. » Question 43.2 ~[33] Résoudre l’équation

p 2 ¡ 2 =  ¡ 3 dans R.

Question 43.3 [33] On considère les deux assertions suivantes : (1 ) : (2 ) :

8 2  9 2  9 2  8 2 

 =  ()  =  ()

Ces deux assertions sont-elles identiques ? Que dire d’une fonction  qui véri…erait l’assertion (1 ) ? L’assertion (2 ) ? Que peut-on en déduire sur la place des quanti…cateurs dans un énoncé logique ? Question 43.4 Démontrer le théorème qui permet de raisonner par récurrence. Expliquer. Question 43.5 Montrer qu’il existe un et un seul cercle qui passe par les trois sommets d’un triangle. 371


372

CHAPITRE 43. RAISONNEMENTS MATHÉMATIQUES

Indications — Bien sûr, la recherche d’un tel cercle est lié à la preuve de la concourance des trois médiatrices d’un triangle. Mais chaque fois que je pose cette question, j’ai peu de réponses et beaucoup de méprises : on a du mal a détecter le raisonnement par analyse-synthèse que l’on doit utiliser. Cela signi…e que les idées ne sont pas claires, et que je reposerai souvent cette question... Question 43.6 Montrer le Théorème de Fermat en raisonnant par récurrence. Indications — Coup double : véri…er que le candidat connaît l’énoncé du petit théorème de Fermat et voir s’il est capable de mettre en oeuvre un raisonnement par récurrence, quitte à le guider un peu. On doit montrer que  ´  () quel que soit  2 Z lorsque  est premier. Une récurrence ne pourra pas se faire sur Z, donc il faudra commencer par travailler avec  2 N, utiliser la formule du binôme de Newton, un fait connu sur les coe¢cients binomiaux et …nalement envisager le cas où les entiers  sont négatifs (voir [25], Question 336). Cet exercice est très e¢cace et dévoile beaucoup. Question 43.7 [33] On résout l’équation du premier degré : ()

5 (6 ¡ 3) ¡ 2 (15 + 1) = 10

en écrivant des équivalence. On montre que () , 27 = 0. Que conclure ? Quel raisonnement utilise-t-on pour justi…er cette conclusion ? Réponse — On conclut que l’équation () n’admet pas de solution. Pour le démontrer, on utilise un raisonnement par l’absurde : si () possédait une solution , alors cette solution  véri…erait l’égalité (), qui est équivalente à l’a¢rmation 27 = 0 qui est fausse. Comme une proposition vraie ne peut pas être équivalente à une proposition fausse, tout cela est absurde : on a dû faire une erreur quelque part, mais où ? Ce n’est pas dans les transformations que l’on a faites subir à l’équation () pour arriver à 27 = 0. En fait l’erreur a été de supposer tout au départ qu’il existait un réel  solution de (), et que l’on pouvait partir d’une égalité vraie. On conclut qu’il n’existe pas de réel  solution de (). Question 43.8 Tracez un segment [] au tableau. Déterminez l’ensemble des points  tels que le triangle  soit isocèle. Quel raisonnement utilisezvous ? Veillez à le présenter de façon rigoureuse et complète.


43.1. QUESTIONS

373

Indications — On raisonnera par analyse-synthèse, en prenant garde de bien distinguer les deux phases du raisonnement. Attention de ne pas oublier la synthèse. Question 43.9 [31] L’implication 1 = 0 ) 10 · 3 est-elle vraie ? Dans l’a¢rmative, démontrez-là. Question 43.10 [42] Pouvez-vous dessiner la table de vérité d’une implication ? D’une conjonction ? D’une disjonction ? De l’instruction XOR aussi appelée « ou exclusif » ? Indications — Ces questions pourraient être posées à la suite de la Question 43.9. Voici une extrait de mon livre sur les raisonnements mathématiques [42] qui permettent d’y répondre : « Conjonction et disjonction — Il s’agit des connecteurs et et ou. L’assertion «  et  », notée  ^ , est vraie si et seulement si  et  sont simultanément vraies. L’assertion «  ou  », notée  _ , est vraie si  est vraie ou si  est vraie, et sera fausse seulement dans le cas où  et  sont simultanément fausses. On obtient donc les tables de vérité :  V V F F

 V F V F

 ^ V F F F

 V V F F

 V F V F

 _ V V V F

Ou exclusif (xor) — L’assertion «  xor  » est vraie seulement si  est vraie ou  est vraie sans que  et  soient vraies en même temps. La table de vérité du xor, appelé aussi « ou exclusif » est donc :  V V F F

 V F V F

 xor  F V V F

Implication — L’assertion «  implique  », notée  ) , est vraie dans tous les cas, sauf quand  est vraie et  fausse, car le bon sens indique que le vrai entraîne seulement le vrai, tandis que


374

CHAPITRE 43. RAISONNEMENTS MATHÉMATIQUES le faux peut entraîner le vrai comme le faux. Le tableau de vérité suivant dé…nit donc la proposition  )  :  V V F F

 V F V F

 ) V F V V

On peut ainsi raisonnablement dire que le faux implique n’importe quoi, et que le vrai est impliqué par n’importe quoi. Pour démontrer qu’une implication  )  est vraie, on n’a pas à s’inquiéter que l’assertion  soit vraie ou fausse, on doit seulement supposer que  est vraie et démontrer qu’alors  est vraie. Le modus ponens s’écrit : )  vraie )  vraie  )  vraie de sorte que pour montrer qu’une assertion  est vraie, il faut démontrer que deux assertions sont vraies, c’est-à-dire que  est vraie et que  )  est vraie. Cette remarque est importante car peut facilement être mal comprise. (...) » Question 43.11 [30] (Oral du CAPES externe 2012) Tracer un cercle de centre , et placer un point  à l’intérieur du disque ainsi dé…ni. Choisir un point  sur le cercle, et construire le symétrique  0 de  par rapport à . Que fait  0 quand  parcourt le cercle ? Proposer une solution au niveau du collège. [Indication : on pourra construire le symétrique de  par rapport à .]

Question 43.12 [27] a) Soient , ,  trois nombres réels positifs ou nuls tels que  ·  + . Montrer l’inégalité :    · +  1+ 1+ 1+ b) Soit  une distance sur un ensemble . Montrer que l’application 0 suivante est une distance sur  :  0 =  1+


43.2. COMPLÉMENTS Question 43.13 [31] Soit  un nombre réel tel que  ¸ µ ¶ p 1 3 + ¸ 3 2 

375 p 3. Démontrer que :

Question 43.14 [31] On veut montrer que dans toute boîte contenant  crayons de couleur, tous les crayons sont de la même couleur. On raisonne par récurrence sur . La propriété est triviale si  = 1. Si elle est vraie au rang , on considère une boîte contenant  + 1 crayons de couleur numérotés de 1 à  + 1. Si on enlève le premier crayon de la boîte, celle-ci ne contient plus que des crayons de même couleur d’après l’hypothèse récurrente. Si l’on enlève le dernier crayon de la boîte, celle-ci ne contient plus que des crayons de même couleur. Obligatoirement les  + 1 crayons de la boîte seront de la même couleur, et la propriété est vraie au rang . Où est l’erreur dans ce raisonnement ? Question 43.15 [30] Tracer un cercle C de centre , et un point  n’appartenant pas à C. Choisir un point  sur C. Tracer le projeté orthogonal  de  sur la droite ( ). Quelle est le lieu décrit par les points  quand  parcourt C ?

43.1.2

Questions B

p p2 p Question 43.16 [31] Calculer ( 2 ) 2 . Les assertions suivantes sont-elles vraie : (1)   2  Q )  2  Q, (2)    2  Q ) ( ) 2  Q?

43.1.3

Questions C

Question 43.17 Dans une contrée vivent uniquement des gueux et des chevaliers. Les chevaliers disent toujours la vérité, mais les gueux mentent irrémédiablement. Vous rencontrez deux hommes A et B. Soudain A dit que B est un chevalier, et B a¢rme que vous êtes devant un gueux et un chevalier. Qui sont A et B ?

43.2

Compléments

43.2.1

Conseils sur la leçon issus du rapport 2017 [61]

Elle doit être illustrée par des exemples variés et « consistants ». Rappelons que le raisonnement par disjonction de cas, s’il est très fréquent en arithmétique (disjonction selon les restes modulo un entier donné), peut également


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CHAPITRE 43. RAISONNEMENTS MATHÉMATIQUES

être invoqué en géométrie (disjonction selon la position relative de deux objets géométriques) ou en algèbre (disjonction selon le signe d’une expression littérale). La présentation au tableau de la rédaction précise d’un raisonnement par récurrence faisant usage de quanti…cateurs est attendue du jury.

43.2.2

Compte rendu d’oral 1 de Didier

Voici le témoignage de Didier S. qui a passé l’oral 1 du CAPES externe 2013 le vendredi 28 juin 2013 au lycée Jean Lurcat. Convoqué à 13h30, je suis invité à descendre avec mon énorme valise de 23kg à l’étage inférieur pour une petite réunion où l’on essaie de nous faire « rigoler » pour déstresser un peu. On nous donne à chacun la lettre de notre commission, puis on rejoint notre salle de préparation, encore deux étages avec cette valise. Moment fatidique du tirage au sort ! Une grosse boite en forme de camembert contenant des petites feuilles vertes où sont inscrites ces fameuses leçons. Nous tirons tous une feuille verte, hé oui nous y sommes obligés. Et nous conservons celle-ci face retournée. Il se trouve qu’au travers nous arrivons à discerner les intitulés des leçons... J’ai le choix entre « Loi de Poisson, Loi normale » et « Di¤érents types de raisonnements en mathématiques ». Par défaut je choisis de traiter la leçon portant sur « Di¤érents types de raisonnements en mathématiques ». Par chance la veille au soir Guédalia travaillait sur cette leçon et nous avons échangé. La tête pleine d’idées fraîches, grâce à elle, je dégage rapidement un plan : raisonnement par implication, par équivalence, raisonnement par récurrence ainsi que, le raisonnement par l’absurde et contraposée. Chacun de ces raisonnements sera accompagné d’une présentation (par exemple le théorème qui justi…e le raisonnement par récurrence) qui explique le principe de ce dernier. C’est ainsi que je pars à la recherche d’exercices illustrant chaque raisonnement. Pourple raisonnement par l’absurde ça sera de l’arithmétique en démontrant que 2 est irrationnel et l’in…nité des nombres premiers. Le raisonnement par récurrence sera présenté à l’aide d’un exercice sur les suites et avec la démonstration de l’inégalité de Bernoulli qui peut être exigible en classe de terminal S. Le raisonnement par équivalence : un problème de lieu géométrique ( =  avec k un réel strictement positif di¤érent de 1) en soulignant que le travail par équivalence est important dans la résolution de problème de lieux. Pour le raisonnement par implication j’ai choisi comme exercice un système pour mettre en avant l’implication puis l’implication réciproque (chose


43.2. COMPLÉMENTS

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que l’on demande aux élèves de faire sans qu’ils sachent vraiment pourquoi) a…n de pourvoir enchaîner sur le raisonnement par équivalence. C’est déjà le moment de présenter ! Deux heures et demie ça passe vite ! J’y vais ! Le jury est constitué de deux hommes et une femme. A première vue ils ont l’air sympathique. On m’ouvre ma session contenant mes documents sur un ordinateur mis à disposition. Je fais une petite introduction où je souligne que les élèves sont familiarisés tout au long de leur cursus à di¤érents types de raisonnements qui sont plus ou moins formalisés. Je présente le plan de ma leçon à l’aide du vidéo projecteur et je me lance, je …nis le tout en 13-14 minutes dira-t-on. Pour le développement on me demande de résoudre le problème de lieux (je me dis super !). Je le résous en trois coups de cuillères à pot (5 minutes) et je conclus : « Ainsi l’ensemble des points M appartient... ». Le jury me demande d’un air étonné « C’est …ni ? ». Je réponds un peu désabusé « Oui... », et l’on me répond en souriant « Non, non, c’est juste une question ». Nous démarrons l’entretien ; celui qui me semblait être le président du jury revient sur le système et me demande s’il s’agit d’une véri…cation logique ou d’une véri…cation « juste pour voir si on ne s’est pas trompé ». Je connaissais la réponse à cette question. On me demande aussi si dès qu’il s’agit de démontrer quelque chose pour des entiers naturels on procède par récurrence ? Non et j’illustre mon propos par un exemple. Cependant l’autre homme du jury, à chacune de mes phrases, garde les yeux et la bouche grands ouverts. Au bout de deux ou trois fois je me suis dit qu’il devait être comme ça après tout... La femme du jury me propose un petit exercice : « Un élève dispose d’un sac contenant des haricots. Je vous donne trois assertions : A : Un élève prend une poignée de haricots. B : Les haricots sont tous blancs, C : L’élève dit que tous les haricots du sac sont blancs ! Que dites-vous à cet élève sur son raisonnement ? » Voilà ma réponse : « la poignée qu’a pris l’élève n’est qu’un échantillon de la population de haricots présents dans le sac ; donc elle ne permet pas d’a¢rmer que tous les haricots du sac sont blancs ». Le membre du jury : « Comment feriez-vous avec des quanti…cateurs ? ». Je ré‡échis. « Si je note  l’ensemble des haricots contenus dans le sac et  la poignée,  est une partie …nie et  également, on a  = f g avec  dans f1     g, et  = f g avec  dans f1     g avec  · . De plus pour tout  appartenant à  ,  est blanc. Or  di¤érent de , donc... »


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CHAPITRE 43. RAISONNEMENTS MATHÉMATIQUES

Le membre du jury : « Par quoi pouvez remplacer le signe « di¤érent de » ? ». Ma réponse après ré‡exion : « il existe un  appartenant a l’intervalle [ + 1 ] tel que ai ne soit pas blanc. » Le membre du jury : « Voilà ! » Puis les autres membres du jury me posent d’autres questions auxquelles je pense avoir correctement répondu correctement. Il m’est demandé de démontrer que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède un diviseur premier. Je fais ma démonstration à la façon « Dany-Jack Mercier » et le jury semble agréablement surpris : j’ai eu un « je ne m’attendais pas à cette démonstration ! ». [NDA : ma méthode n’a rien de spécial, c’est celle qu’on trouve un peu partout. Par contre l’étude des fondamentaux pendant l’année de préparation aide à réviser toutes ces démonstrations considérées comme devant être connues des candidats. Il faudra donc que l’on continue à les travailler avec les prochains capétiens. . . ] En…n, la dernière question ! Elle est du président du jury : « On va dire qu’il y a un enseignant qui ne respecte pas le programme et qui distingue le sens direct du théorème de Pythagore et la réciproque. Je vous donne trois longueurs 6, 4 et 3. Que pouvez-vous me dire ? » Ma réponse : « 62 = 36 or 42 + 32 = 25, donc le triangle n’est pas rectangle d’après la contraposée du sens direct du théorème de Pythagore. » Voilà c’est terminé ! J’ai eu a¤aire à un jury assez sympathique. J’entends par là : courtois, non agressif, souriant ! J’ai un peu ramé sur l’exercice avec les haricots mais je sors avec le sentiment d’avoir fait de mon mieux. Je sors en me disant que ce n’était pas trop mal, et qu’il reste encore l’épreuve de demain. NB : j’ai obtenu la note de 1820 pour cette leçon.


Chapitre 44

Application des mathématiques à d’autres disciplines 44.1

Idées

J’imagine que cette leçon est le moment d’utiliser tous les livres du secondaire et de BTS avec lesquels le candidat est parti a¤ronter l’oral pour y extraire une panoplie d’applications des mathématiques. Une présentation de ces applications pourra être faite avec OpenO¢ce. Un exposé d’entraînement auquel j’ai assisté était très riche en applications. Peut-être trop car il convient de rester réaliste : quatre applications détaillées semblent su¢santes, et un dernier paragraphe déguisé en conclusion peut toujours permettre d’évoquer les autres applications auxquelles on a pensé. De toute façon, on ne pourra que donner quelques exemples sans prétendre à l’exhaustivité. Voici quelquestypes d’applications que l’on trouve dans les livres du secondaire qu’on apportera avec soi pour les oraux : Recettes de cuisine — Un cuisinier utilise deux types de chocolat pour sa pâtisserie, 30% du premier type qui contient 60% de cacao et 70% du second type qui en contient 25%. Quelle est la teneur en cacao de la pâte obtenue ? Notions math. utilisées : pourcentage, proportionnalité. Economie — Application d’une taxe du type TVA (prix HT ou TTC), calcul du change entre deux monnaies di¤érentes. Notions math. utilisées : pourcentage, proportionnalité. Géographie — Représentation d’une situation à l’aide d’un camembert. 379


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CHAPITRE 44. APPLICATION À D’AUTRES DISCIPLINES

Notions math. utilisées : statistiques, proportionnalité. Evolution d’une population — Des fourmis A et B qui évoluent suivant une certaine loi : chaque année 20% des fourmis A vont en B, et 30% des fourmis B vont en A (...). Notions math. utilisées : suites, suites constantes, suites géométriques. Sport — Problème d’optimisation. Notions math. utilisées : fonctions polynomiales de degré 2, étude de fonction avec recherche d’un maximum, tableau de variations. Economie — Placement avec intérêts et versements réguliers. Notions math. utilisées : suites arithmético-géométriques, étude de suites. Sciences physiques — Travail et puissance d’une force. Notions math. utilisées : vecteurs, produit scalaire, projection orthogonale, angles. Sciences physiques — Forces et la poussée d’Archimède : un liquide est versé dans un autre et sa densité est plus grande, l’exercice donne l’équation di¤érentielle du premier ordre qui rend compte du phénomène. Notions math. utilisées : équation di¤érentielle du premier degré à coe¢cients constants de la forme  0 =  + . Géologie — Datation au carbone 14. Notions math. utilisées : fonctions exponentielles et logarithme népérien. Médecine — E¢cacité d’un vaccin. Notions math. utilisées : probabilités conditionnelles. Médecine — Prise de décision à partir de la connaissance d’une fréquence d’apparition d’une maladie sur un échantillon donné. Notions math. utilisées : échantillonnage, intervalle de ‡uctuation, prise de décision, statistiques, approximation d’une loi binomiale par une loi normale. Sociologie/Vie quotidienne — Etude de l’entente entre salariés d’une même société, modélisation à l’aide de graphes. Notions math. utilisées : graphes.

44.2

Front des exposés

44.2.1

Questions entendues à la session 2015

Un candidat de la session 2015 [9] a recopié quelques questions posées par les jurys au sujet de cette leçon sur les applications des mathématiques à d’autres


44.2. FRONT DES EXPOSÉS

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disciplines. Comme on s’y attend, ces questions portent sur des domaines variés au gré des applications évoquées par les candidats. Ainsi peut-on entendre : - Qu’est-ce qu’un algorithme ? Quelle dé…nition en donneriez-vous ? Quelle di¤érence existe-t-il avec un programme ? - Connaissez-vous les conditions d’application de la formule qui donne l’intervalle de con…ance ? Comment faire quand on ne connaît pas la proportion ? Quelle est la di¤érence entre un intervalle de ‡uctuation et un intervalle de con…ance ? - Pouvez-vous justi…er le calcul de la matrice inverse : pourquoi calculer AB=I et BA=I ? Que répondre sur ce point à un élève ? A un collègue ? - Que savez-vous du code ASCII ? - Calculer l’inverse de 43 modulo 26 ? Pouvait-on prévoir que 43 est inversible modulo 26 ? Quels sont les entiers inversibles modulo 26 ? Quelle di¤érence y a t-il entre décryptage et déchi¤rage ? - Sauriez-vous retrouver l’équation di¤érentielle décrivant le comportement d’un circuit RLC ? - Quelles sont les applications des graphes ? [Alors que l’exposé n’en parlait pas :] Pouvez-vous montrer sur un exemple l’utilisation de l’algorithme de Dijsktra ?


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CHAPITRE 44. APPLICATION À D’AUTRES DISCIPLINES


Chapitre 45

Annexe Voici les Questions 83 et 84 de [30] montrant l’existence de fonctions de classe   qui ne sont pas de classe  +1 : Question 45.1 {[30], Q. 83} Pour tout  2 N¤ , on pose : ( ( 2 sin(1) si  6= 0 2 cos(1) si  6= 0  () =  () = 0 sinon 0 sinon. Démontrer que les fonctions  et  sont  fois dérivables sur R sans être de classe   . Question 45.2 {[30], Q. 84}(Ecrit du CAPES 1981) A tout couple ( ) de R¤+ £ R¤+ on associe la fonction  de  = [0 1] dans R dé…nie par : ( 0 si  = 0  () =    sin(1 ) sinon. a) Montrer que  est continue sur  quel que soit ( ) 2 R¤+ £ R¤+ . b) Déterminer l’ensemble  des couples ( ) tels que  soit dérivable sur  (on rappelle qu’une application est dérivable sur  si elle est dérivable sur ]0 1[, dérivable à droite en 0 et dérivable à gauche en 1). 0 soit : c) Déterminer les couples ( ) de  tels que la fonction dérivée  - bornée sur , - continue sur , - intégrable au sens de Riemann sur  (on rappelle que cette notion ne concerne que les fonctions bornées sur ).

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Du même auteur On peut obtenir la liste des ouvrages parus en se connectant sur le site MégaMaths ou en faisant une recherche sur Amazon.fr. Le site Amazon.fr permet aussi de feuilleter la plupart de mes livres. Pour toute question, écrivez à dany-jack.mercier@hotmail.fr qui sera heureux de vous répondre. Parmi les livres déjà parus, signalons les deux collections suivantes : DOSSIERS MATHEMATIQUES – Chaque fascicule de cette collection précise les connaissances de base sur un thème donné pour faire rapidement le point. Déjà parus : ² DM 01 - Méthode des moindres carrés ² DM 02 - Dualité en algèbre linéaire ² DM 03 - Probabilités ² DM 04 - Introduction à l’algèbre linéaire ² DM 05 - Déterminants et systèmes linéaires ² DM 06 - Les grands théorèmes de l’analyse ² DM 07 - Les raisonnements mathématiques ² DM 08 - Réduction des endomorphismes ² DM 09 - Mathématiques et codes secrets ² DM 10 - Codes correcteurs d’erreurs ² DM 11 - Loi normale, échantillonnage et estimation ² DM 12 - Corps …nis ² DM 13 - Formules de Taylor et développements limités ACQUISITION DES FONDAMENTAUX – Cette collection permet de travailler sur de nombreuses questions courtes extraites d’écrits et d’oraux de CAPES, CAPLP et agrégations internes, sur lesquelles il convient de savoir réagir e¢cacement. ² Vol. I - Nombres, algèbre, arithmétique, polynômes ² Vol. II - Algèbre linéaire ² Vol. III - Espaces euclidiens et hermitiens ² Vol. IV - Géométrie a¢ne et euclidienne ² Vol. V - Analyse, intégration et géométrie ² Vol. VI - Cuvée spéciale : analyse et autres joyeusetés ² Vol. VII - Topologie et autres thèmes lumineux


Bibliographie [1] Blog de MégaMaths, Devenir suppléant pour préparer le CAPES : cela a payé à l’oral !, paru en 2017. http ://megamathsblog.blogspot.fr/2017/07/devenir-suppleant-pour-preparer-le.html

[2] Blog de MégaMaths, Oral CAPES maths : on peut réussir après un premier oral di¢cile, mais avec beaucoup de courage ! https

://megamathsblog.blogspot.fr/2017/07/oral-capes-maths-on-peut-reussir-

apres.html

[3] Blog de MégaMaths, Une bonne prestation en oral 1 sur les limites au CAPES maths 2017 https

://megamathsblog.blogspot.fr/2017/07/une-bonne-prestation-en-oral-1-sur-

les.html

[4] CAPES externe & agrégation interne, Mégamaths 2017 http ://megamaths.1free-host.com/themes/th0015-concours.html

[5] Clément Boulonne, les leçons de mathématiques à l’oral du CAPES, Licence Creatice Commons, 2013. http ://cboumaths.wordpress.com/2013/06/08/les-lecons-de-mathematiques-aloral-du-capes-session-2013/

[6] Cellule de géométrie, Relation d’Euler et les polyèdres sans trou http ://www.cellulegeometrie.eu/documents/pub/pub_12.pdf

[7] Deux oraux du CAPES maths parfaitement réussis ! MégaMaths Blog https

://megamathsblog.blogspot.com/2017/07/deux-oraux-du-capes-maths-

parfaitement.html

[8] Dictionnaire Larousse en ligne, relevé le 18 mars 2017.http ://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/produit_scalaire/90397

[9] Comptes rendus d’oraux du CAPES 2015, MégaMaths Blog http :/ / m e ga m a th s b lo g .b lo gs p o t.co m / 20 15 / 06 / co m p tes -re n d u s-d o ra u x -d u -ca p es-20 1 5 .htm l

[10] Comptes rendus d’oraux du CAPES, Mégamaths 2017 http ://megamaths.1free-host.com/themes/th0080comptesrenduscapesinterne.html

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[11] G. Dupont, Probabilités et statistiques pour l’enseignement - CAPES, CAPLP, Agrégation : CAPES, CAPLP, Agrégation (Concours enseignement), Dunod, 2015. [12] J. Esco¢er, Probabilités et statistiques pour le CAPES et l’agrégation interne, Ellipses, 2006. [13] F. Herbaut, Souvenirs d’oraux du CAPES externe de mathématiques, 2006. [14] Manuel de Mathématiques de Terminale S, Enseignement obligatoire et de spécialité, collection Déclic, Hachette, 2012. [15] Manuel de Mathématiques de Terminale S, Enseignement obligatoire et de spécialité, collection Repères, Hachette, 2012. [16] Manuel de mathématiques de terminale S, Enseignement spéci…que, Collection Sésamath, Magnard, 2016. [17] D.-J. Mercier, L’épreuve d’exposé au CAPES mathématiques, 14 leçons rédigées et commentées, Vol. I, Publibook, 2007. [18] D.-J. Mercier, L’épreuve d’exposé au CAPES mathématiques, Leçons rédigées et commentées, Vol. II, Publibook, 2006. [19] D.-J. Mercier, L’épreuve d’exposé au CAPES mathématiques, Leçons rédigées et commentées, Vol. III, Publibook, 2007. [20] D.-J. Mercier, L’épreuve d’exposé au CAPES mathématiques, Leçons rédigées et commentées, Vol. IV, Publibook, 2008. [21] D.-J. Mercier, Fondamentaux de géométrie pour les concours (grandes écoles, CAPES, agrégation, ...), CSIPP, 2015. [22] D.-J. Mercier, Polyèdres eulériens et solides pathologiques, LMEC (Lectures sur les Mathématiques, l’Enseignement et les Concours), Vol. I, pp. 151-162, 2009. [23] F. Herbaut, D.-J. Mercier, Questions du jury d’oral du CAPES mathématiques & ré‡exions sur la préparation, Publibook, 2010. [24] D.-J. Mercier, Cours de géométrie, CSIPP, édition 4, 2014. [25] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. I : Nombres, algèbre, arithmétique et polynômes, CSIPP, 2014. [26] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. II : Algèbre linéaire, CSIPP, 2014 [27] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. III : Espaces euclidiens et hermitiens, CSIPP, 2014. [28] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. IV : Géométrie a¢ne et euclidienne, CSIPP, 2014.


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[54] G. Orvas, Des solides pathologiques, Les Cahiers de Science & Vie n± 59, octobre 2000, pp. 60-63. [55] D. Perrin D., Mathématiques d’école, Cassini, 2005. [56] D. Perrin, Aires et volumes : découpage et recollement, Conférence donnée au colloque de l’IREM de Rennes le 5 juin 2010. [57] Programme du collège, Enseignement de mathématiques, B.O. spécial n± 6 du 28 août 2008. [58] Programme de mathématiques de terminale S, B.O. spécial n± 8 du 13 octobre 2011. [59] Programme de mathématiques des brevets de technicien supérieur, Arrêté du 4 juin 2013 paru au Journal o¢ciel de la république française du 22 juin 2013, au Bulletin o¢ciel de l’enseignement supérieur et de la recherche et au Bulletin o¢ciel de l’éducation nationale du 4 juillet 2013, Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013. [60] Programme de mathématiques de la classe de MPSI (première année de CPGE), BOESR spécial 3 du 30 mai 2013. [61] Rapport du Jury du CAPES externe de mathématiques 2017 présenté par Loïc Foissy, président du jury, Ministère de l’Education Nationale, 2017. [62] K. Ravera, Les urnes d’Ehrenfest, Dossiers de l’APMEP, en ligne en février 2018. https ://www.apmep.fr/Les-urnes-d-Ehrenfest [63] Ressources pour la classe de terminale générale et technologique, Mathématiques série S, Enseignement de spécialité, Eduscol, juin 2012. http ://cache.media.eduscol.education.fr/…le/Mathematiques/20/8/LyceeGT_ ressources_SpeMath_Matrices_218208.pdf


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[64] Témoignage sur l’oral du CAPES Maths : de l’échec total à la réussite complète, Blog MégaMaths : http ://megamathsblog.blogspot.fr/2017/04/temoignage-sur-loral-du-capesmaths-de.html

Pistes & commentaires pour l'oral 1 du CAPES maths (mars 2018)  

Voici la version "mars 2018" d'un livre évolutif appelé à être modifié et adapté en temps réel, proposé sur le site MégaMaths. Dans ce livre...

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