Issuu on Google+

‫‪13‬‬

‫‪ ‬ا‪‬وران ‪  ‬ل ‪‬ر ‪‬‬

‫‪ .I‬ﺣﺮﻛﯿﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﻓﻲ دوران ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﺧﻼل ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺪوران ﻟﺠﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ﺛﺎﺑﺖ )‪ (Δ‬ﻣﺴﺎر‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ M‬داﺋﺮي ﻳﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻊ )‪ (Δ‬و ﻣﻤﺮﻛﺰ ﻓﯿﻪ‪.‬‬

‫• اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ‬

‫ﻧﻤﻌﻠﻢ ﺣﺮﻛﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﺠﺴﻢ ﺑﺄﻓﺼﻮﻟﮫﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ s‬أو أﻓﺼﻮﻟﮫﺎ اﻟﺰاوي ‪ θ‬و اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻨﮫﻤﺎ‬ ‫‪s =r θ‬‬ ‫ھﻲ ‪:‬‬

‫• اﻟﺴﺮﻋﺔ و اﻟﺘﺴﺎرع‬ ‫اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫اﻟﺘﺴﺎرع اﻟﺰاوي‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺴﺮﻋﺘﯿﻦ اﻟﺨﻄﯿﺔ و اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫اﻟﺘﺴﺎرع‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‬

‫‪dθ‬‬ ‫= ‪ω = θ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dω d 2θ‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪θ‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪v = rω‬‬ ‫‪  a = rθ‬‬ ‫‪a T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪aN = rω‬‬

‫ﻓﻲ ﻟﺤﻈﺔ ‪ t‬ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻧﻘﻂ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﻓﻲ دوران ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ﺛﺎﺑﺖ ﻧﻔﺲ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫و ﻧﻔﺲ اﻟﺘﺴﺎرع اﻟﺰاوي ﻟﻜﻦ ﺳﺮﻋﺎﺗﮫﺎ اﻟﺨﻄﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ‪.‬‬

‫• اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ‬ ‫دوران‬ ‫ﻣﻨﺘﻈﻢ‬

‫‪θ = 0‬‬

‫اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﺰاوﻳﺔ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ‬

‫اﻟﺘﺴﺎرع‬

‫اﻟﺘﺴﺎرع اﻟﺰاوي‬

‫‪ω = Cte = ω0‬‬

‫‪θ = ω0 t +θ0‬‬

‫دوران‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم‬

‫‪θ = Cte  0‬‬

‫‪ + ω‬‬ ‫‪ω = θt‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ aT = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪aN = rω0‬‬

‫‪‬‬

‫‪1  2‬‬ ‫‪θt + ω0 t +θ 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪θ‬‬

‫‪ aT = rθ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪aN = rω‬‬

‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ‪ :‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺪوران اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم ﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻋﻼﻗﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ اﻟﺰﻣﻦ ﺑﺈﻗﺼﺎء ‪ t‬ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ‬

‫اﻟﺰﻣﻨﯿﺘﯿﻦ )‪ ω(t‬و )‪: θ(t‬‬

‫) ‪ω - ω = 2 (  2 - 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .II‬ﻋﺰم اﻟﻘﺼﻮر ﻟﺠﺴﻢ ﺻﻠﺐ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻣﻘﺪار ﻳﻤﯿﺰ ﻣﺪى ﻣﻘﺎوﻣﺔ اﻟﺠﺴﻢ ﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﺪوران وﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﻜﺘﻠﺘﻪ و ﺑﺸﻜﻠﻪ اﻟﮫﻨﺪﺳﻲ أي‬ ‫ﻛﯿﻔﯿﺔ ﺗﻮزع اﻟﻤﺎدة ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺪوران‪ ،‬و ﻳﻌﺮف ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬ ‫وﺣﺪﺗﻪ ﻓﻲ اﻟﻨﻈﺎم اﻟﻌﺎﻟﻤﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪات ھﻲ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪kg  m2‬‬

‫‪J Δ = Σm i ri 2‬‬


‫أﻣﺜﻠﺔ‪ :‬ﻋﺰم اﻟﻘﺼﻮر ﻟﺒﻌﺾ اﻷﺟﺴﺎم ذات أﺷﻜﺎل ھﻨﺪﺳﯿﺔ ﺑﺴﯿﻄﺔ‬

‫‪ .III‬اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ﻟﺪﻳﻨﺎﻣﯿﻚ اﻟﺪوران )ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﺘﺴﺎرع اﻟﺰاوي(‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻏﺎﻟﯿﻠﻲ ﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﺠﺒﺮي ﻟﻌﺰوم اﻟﻘﻮى اﻟﻤﻄﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﻓﻲ دوران ﺣﻮل ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ )‪ (Δ‬ﺟﺬاء ﻋﺰم اﻟﻘﺼﻮر ‪ J Δ‬و اﻟﺘﺴﺎرع اﻟﺰاوي ‪ ‬ﻟﻠﺠﺴﻢ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ΣM Δ ( F ) = J Δ θ‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‪:‬‬ ‫‪ ‬إذا ﻛﺎن ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺰوم اﻟﻘﻮى ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ﻓﺈن اﻟﺪوران ﻣﻨﺘﻈﻢ‪،‬‬ ‫‪ ‬إذا ﻛﺎن ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺰوم اﻟﻘﻮى ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪم و ﺛﺎﺑﺖ ﻓﺈن اﻟﺪوران ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم‪.‬‬

‫‪M   0‬‬

‫‪M   0‬‬

‫‪M   0‬‬

‫ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺪوران ﻣﺘﺴﺎرﻋﺔ ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم‬

‫ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺪوران ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ‬

‫ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺪوران ﻣﺘﺒﺎﻃﺌﺔ ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم‬

‫‪‬‬ ‫‪θ > 0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪θ  0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪θ < 0‬‬

‫‪‬‬ ‫ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻋﺰم اﻟﻘﺼﻮر ﻟﺒﻜﺮة )‪ (P‬ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﺷﻌﺎﻋﮫﺎ ‪ r = 15 cm‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪوران ﺣﻮل ﻣﺤﻮرھﺎ )‪ (‬ﺗﻨﺠﺰ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪.‬‬ ‫ﺣﻮل)‪ (P‬ﻳﻠﻒ ﺧﯿﻂ ﻛﺘﻠﺘﻪ ﻣﮫﻤﻠﺔ و ﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻼﻣﺘﺪاد و ﻳﺮﺑﻂ ﻓﻲ ﻃﺮﻓﻪ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ )‪(S‬ﻛﺘﻠﺘﻪ ‪. m = 0,30 kg‬‬ ‫ﻳﻮﺿﻊ اﻟﺠﺴﻢ )‪ (S‬ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﻣﺎﺋﻞ ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻷﻓﻘﻲ ﺑﺎﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  = 28°‬ﺛﻢ ﺗﺤﺮر اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺑﺪون ﺳﺮﻋﺔ ﺑﺪﺋﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻠﺤﻈﺔ ‪. t = 0‬ﻳﻤﻜﻦ‬ ‫)‪1,398 1,211 0,989 0,699 t(s‬‬ ‫ﺗﺮﻛﯿﺐ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻣﻦ ﻗﯿﺎس اﻟﻤﺪة ‪ t‬اﻟﺘﻲ ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﮫﺎ اﻟﺒﻜﺮة ﻹﻧﺠﺎز ﻋﺪد ‪n‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺪورات‪.‬‬ ‫ﻳﻌﻄﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﯿﮫﺎ‪.‬‬ ‫ﺧﻼل اﻟﺪوران ﻻ ﻳﻨﺰﻟﻖ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﯿﻂ اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﮫﻤﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎﻛﺎت و ﺗﺆﺧﺬ ‪.g = 10 N.kg-1‬‬ ‫‪ -1‬ﺑﺎﺳﺘﻐﻼل ھﺬه اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺑﯿﻦ أن ﺣﺮﻛﺔ اﻟﺒﻜﺮة ﻣﺘﻐﯿﺮة ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻟﺤﺮﻛﺔ اﻟﺒﻜﺮة‪.‬‬ ‫‪ -2‬أﺣﺴﺐ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺘﺴﺎرع اﻟﺰاوي ‪‬‬ ‫‪ -3‬ﺑﺘﻄﺒﯿﻖ اﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻟﻨﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ )‪ (S‬و اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ﻟﺪﻳﻨﺎﻣﯿﻚ‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺪوران ﻋﻠﻰ اﻟﺒﻜﺮة)‪ (P‬أوﺟﺪ ﺗﻌﺒﯿﺮ ﻋﺰم اﻟﻘﺼﻮر ‪ J‬ﻟﻠﺒﻜﺮة )‪ (P‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ m‬و ‪ g‬و ‪ r‬و ‪ ‬و ‪ ‬و أﺣﺴﺐ ﻗﯿﻤﺘﮫﺎ‪.‬‬

‫ذ‪.‬زان‬ ‫‪2‬‬


حركة الدوران لجسم صلب حول محور ثابت