Issuu on Google+

Dr. O LFA M EDDEB Fonctions Polynômes

Limite en un point limx0 f (x) = f (x0 ) = an x0n + . . . + ak x0k + . . . +a1 x0 + a0 ; n, k ∈ N, n ≥ k, x0 ∈ R n : le plus grand entier tel que an 6= 0

Limite à l’infini limx→+∞ f (x) = limx→+∞ an xn = signe(an )∞ limx→−∞ f (x) limx→−∞ an xn = (−1)n signe(an )

0) limx→x+ f (x) = limx→x+ P(x 0+ = signe(P(x0 ))∞

limx→±∞ f (x) = limx→±∞ bamn xxm

0

Rationnelles f (x) =

P(x) Q(x)

0

0) limx→x− f (x) = limx→x− P(x 0− = - signe(P(x0 ))∞ 0

0

P(x) = an xn + . . . + a1 xk + a0 , x0 6∈ D f ; P(x0 ) 6= 0 Q(x) = bm xm + . . . + b1 xk + b0

f (x) = Log(x)

limx→0+ Log(x) = −∞ ; limx→0+ xLog(x) = 0 limx→0+ Log(x+1) = 1 (Log(x) ∼ x, au v(0)) x limx→0 e x−1 = 1, (ex − 1 ∼ x, au v(0))  si α > 0 ;  0, +∞, si α < 0 ; limx→0+ xα =  0∞ 0 e = 0 = F.I., si α = 0. limx→0 sin(x) x =1 1−cos(x) = 0 ; limx→0 1−cos(x) = limx→0 x x2

sin n’a pas de limite à l’infini cos n’a pas de limite à l’infini

x

sin : x 7→ sin(x) cos : x 7→ cos(x)

si le degré de P < au degré de Q, limx→+∞ f (x) = 0 = limx→−∞ f (x)  limx→+∞ f (x)= signe( bamn )∞, si le degré de P > au degré de Q, limx→−∞ f (x)= (−1)n signe( bamn )∞ si le degré de P = au degré de Q,limx→±∞ f (x) = bamn limx→+∞ Log(x) = +∞ = 0, (Log(x) = o(x), au v(+∞)) x limx→+∞ ex = +∞; limx→+∞ ex = +∞ limx→−∞ ex = 0; limx→−∞ xex = 0  si α < 0 ;  0, +∞, si α > 0 ; limx→+∞ xα =  0∞ 0 e = ∞ = F.I., si α = 0.

f (x) = ex

xα = eαLog(x) , α ∈ R

n

1 2

Limites pour les fonctions usuelles

limx→+∞ Log(x) x


Limites pour les fonctions usuelles