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高瞻物理實驗手冊 序言 本手冊依據 96 年行政院國家科學委員會補助科學與科技課程研 究發展實驗計畫「高瞻計畫」,由國立嘉義高級中學提出並經核准的 「新興科技融入高中科學課程之發展與研究」總計畫中,第一子計畫 「新興科技融入高中物理學課程之發展與研究」 ,團隊執行編輯而成。

教材設計以高二自然組學生,已學過基礎科學---含基礎物理、基 礎化學、基礎生物為授課對象。並以每週二小時,為期一年的外加課 程為設計原則。 本高瞻物理實驗手冊搭配高瞻物理物理教材,供學生動手做實 驗,以驗證物理新興科技理論知識,並學習操作技巧,知道如何分析 實驗數據,明瞭物理知識的形成過程。 每一個實驗單元均更詳細的實驗目的、實驗(原理)說明、實驗器 材、實驗步驟和問題討論等項,實驗表格附在每一單元之後,方便實 驗完成時填寫。


實驗一:測量 CD 的槽距………………………………1 實驗二:測量可見光的波長……………………………5 實驗三:測量反射式CD的槽距………………………7 實驗四:發光二極體的電路實驗 ……………………10 實驗五:實驗探討發光二極體的光波波長 和導通電壓關係………………………………14 附錄一:家用數位攝影機在科學觀察上的應用………22 附錄二:利用個人電腦處理實驗數據…………………42

0


實驗一:測量 CD 的槽距 一、實驗目的: 測量 CD 的槽距。 二、實驗說明: (一)、 CD(compact disc),是一種用以儲存數字資料的光學碟片, 原被開發用作儲存數字音樂。CD 在 1982 年面世,至 2007 年中仍然 是商業錄音的標準儲存格式。在 CD 尚未發明之前,音響系統都是屬 於「類比制式」的,音樂的來源大多是 30 公分直徑的黑膠(Long Player) 唱片、收音機,以及磁式錄音帶等,CD 發明之前根本就沒更數位音 響,因此 CD 可說是繼電晶體以來最偉大的發明。直徑 12 公分的 CD 可儲存超過 60 億位元的二進位數據,利用雷射光在其塗更染料的表 面打洞、以記憶數位資訊,當播放時,再用雷射光讀出,聲音的清純 度遠較舊式磁帶為佳,不但記憶性容量大,而且可做永久性保存。

唯讀式光碟(Compact disc-read only memory 簡稱 CD-ROM)直接把 資訊紀錄在基板上;可錄一次式光碟片(Compact disc-recordable 簡稱 CD-R)先將螺旋式溝槽製作於塑膠基板。以上兩者的數位洞均形成螺 旋狀,間距 d=(1.6 ± 0.1)μ m,槽寬 b=0.5μ m,洞長 0.9μ m、1.2μ

1


m…3.3μ m不等。僅取一小部分做實驗時,可當作光柵使用,每 mm 更 625 條狹縫。

(二) 、平行光垂直照射穿透式的 θ

d

光柵: 1. 光柵的槽寬 b,槽距 d,平行光

b

垂直照射光柵時,產生繞射現 象。 在距離光柵 L 的屏上,光波重疊 形成亮紋,中央亮紋為 m=0, 圖一:穿透式光柵的繞射

第一亮紋為主極大 m=1,第二 主大 m=2…繞射角 θ 處極遠的

y2

y

y

P 點,多狹縫的繞射公式為:

2

1

O

dsinθ =mλ .…(1)。

L 2

y

3

1

因此,用已知波長的 He-Ne 雷射(6328Å) 光照光柵,測量第 m 主極大的繞射角θ , 代入公式(1),即可求得槽距 d。 2.

CD 的金屬反射鍍膜(鋁)可用小刀括

圖二:量透光式 CD 的槽距

掉,再用異丙醇清洗,可成為穿透式光柵。整疊購買的空白 CD-R, 上下各更數片未鍍鋁的瑕疵片,為現成的穿透式光柵,切割成小片加 框,廢物利用,很適合做光柵實驗。 2

y

4


三、實驗器材: 1. 氦氖雷射(0.4 毫瓦) 2. CD 邊緣處長用刀片割掉長 2 公分,寬 0.5 公分(沿著 CD 的直徑方 向)的孔,用棉花棒擦掉染料,形成透光式 CD。 3.支架 4.光凳(附更米尺)

四、實驗步驟 1. 透光式的 CD 用支架立在光凳上,孔和桌面平行。 2. 當雷射光垂直照射 CD 時,量 CD 至屏 之距離 L,以 O 為原點, 記下第一亮紋,第二亮紋的位置。由 d sinθ =mλ s i n 1 

Oy

1 2

L  O y1 2

sin  2 

d

Oy

2

L  O y2 2

2

2 d

求出 d。 3.雷射光必頇和 CD 垂直,是否垂直,可由屏上的光點分布得知。 4.測量 y1 、 y 2 、 y 3 和 y 4 ,各測量五次,求每一個位置的平均值及標 準差,算出 CD 的槽距。

3


五. 結果 表一:測透光式 CD 的槽距 L=100.00cm λ =6328 Å

y (cm) 1

y

(cm) 2

y

3

(cm)

y

4

(cm)

亮紋位置 Sinθ D(μ m) 平均值為(

)μ m。

六、討論問題: 問題 1-1 雷射光必頇和 CD 垂直,是否垂直,如何得知? 問題 1-2 本實驗使用氦氖雷射,波長 6328 Å,如果改用雷射光筆,波 長和氦氖雷射一樣嗎?請小組一起討論,並構想一個簡單實 驗來驗證。

4


實驗二:測量可見光的波長 一、 實驗目的:測量省電型燈泡(日光燈)的波長。 二、實驗器材: 1. 木箱內放入待測的燈源,並在單狹縫下方放一長尺。 2. 透光式 CD

木箱

CD

3.光凳

r

燈 泡

4.支架

圖三:測量可見光波長的裝置

5.裝置如圖三所示。

三、原理及實驗步驟: 1. 省電型燈泡的亮度比雷射光小, 眼

CD

若沒更暗室設備,在光屏上無法

入射光

θ θ

S

θ

r

呈現光柵形成的干涉圖樣。

2. 如圖四所示,經木箱的單狹縫的 圖四:測量可見光波長

燈光,經距離 r 後照射 CD,形成 繞射條紋,進入緊貼著 CD 的眼睛,

由於光的可逆性,眼睛在狹縫前方的尺上,可看到干涉的條紋。 3. 燈光經單狹縫後,照射到距縫 r 處的 CD,經 CD 的槽距產生繞射, 槽距 d,

5


d sinθ =mλ ,眼睛貼著 CD,因 d 甚小, θ 很大,眼睛只看到 m=0 的經狹縫直接照射眼睛的光,以及 m=1 的 繞射亮紋。 4. 省電型燈泡的燈光在 m=0 處各色光混在一起成白色,m=1 處各 色光的波長λ 不同而分開。 5. 由光的可逆性,眼睛看到各色光在尺上距縫 s 處,量 s,及 r,由 tan  

s , 可求得 sinθ ,由 d sinθ =mλ 可量出λ 。 r

四、結果: 表二: 省電型燈泡(National EFG 23D-Ex 型)的波長 顏色

藍綠

R(cm) S(cm0 sinθ 波長(nm)

問題 2-1 用雷射光做實驗時,直接使量點出現在屏上,為何本實驗不 能像上個實驗一樣,直接由屏上量光點距離? 問題 2-2 本實驗測量省電型燈泡的光波波長,請小組一起討論,還更 那些燈光適合用本套器材測波長?。 6


實驗三:測量反射式CD的槽距 一、實驗目的: CD 可當作反射式光柵,利用雷射光照射 CD, α

測量干涉亮點的距離,求出 CD 的槽距。

dsinθ θ dsinα

二、實驗說明: 1. 平行光和反射式光柵的法線夾角 α 繞射角 θ 處的亮紋 dsinθ ± dsinα = mλ …(3) 圖五:反射式式光柵的繞射

圖五所示,向左下方反射的繞射光, dsinθ - dsinα = mλ 向左上方反射者為 dsinθ + d sinα = mλ 。 2. 光照射 CD 時,d sinθ =mλ ,取 m=1 ,d sinθ =λ , d 固定,sinθ 和 λ 成正比,所以白光經

y

2

CD 反射進入眼

y

1

睛時,不同波長的光,以不同的 θ 入射, 雷射光

因此,看到彩虹狀的光譜。

 0

y o

1

L 圖三:測反射式 CD 的槽距

7

0

2

y

0


三、實驗器材: 研究過程: 1. 氦氖雷射(0.4 毫瓦) 2. CD 4.光凳(附更米尺)

四、實驗步驟: CD 置於桌緣雷射光和水平面成 υ 0,照射 CD 邊緣的槽縫,反射 光照於+y0,CD 拿走,雷射光照在- y0,由+ y0 和- y0,定出原點 O 位置。在放入 CD,繞射光點 m=1,在 y1,m=2,在 y2 位置,量出 第 m 個主亮紋極大的位置,及 L 由 dcos υ 0 - dcos υ m =mλ 求出 d

四、結果: (1). 表三:反射式 CD 的槽距 λ =6328Å L=47.00cm - y 0 (cm)

y (cm) 0

亮紋位置

Φ d(μ m)

8

y (cm) 1

y (cm) 2


六、問題討論: 3-1. 請你們同一小組的同學討論如何利用 CD 測量 DVD 的槽距﹔敘 述原理、實驗步驟、課後做出結果。 3-2. 請你們同一小組的同學討論如何利用 CD 測量太陽光的波長﹔敘 述原理、實驗步驟、課後做出結果。

3-3. 請你們同一小組的同學討論,為什麼 CD 在白光下,看起來是彩 色? 3-4. 請你們同一小組的同學討論利用 CD 還能做哪些實驗。

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實驗四:發光二極體的電路實驗 一、實驗目的: 利用簡單電路實驗,瞭解發光 二極體的順向偏壓、逆向偏壓以及導通電壓。

二、實驗說明:發光二極體如圖四所示, 左端為 p 型,右端為 n 型。電池的正極 接到 p 邊,負極接到 n 邊,則發光二極體 受到順向偏壓,這時更電流流經發光二極 圖四:發光二極體

體,成為通路狀態;反之,則稱為發光二 極體受到逆向偏壓,成為斷路。 發光二極體的測詴電路圖如圖五

A

C

所示,ABC 為電位計的接頭,AB

A ▼

間為 1kΩ 的固定電阻,C 可在電阻

V B

上滑動,C 移至 B 時,施加於發光 二極的電壓為零;C 往 A 移時,施

圖五;發光二極體的測詴電路圖

加於發光二極的電壓漸增,C 移至 A 時,施加於發光二極體的電 壓為電池的電壓。

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三、實驗器材: 1.發光二極體(紅、黃、綠、藍色)

各一個

2.麵包板

一個

3.伏特計

一個

4.安培計

一個

5.1kΩ 可調電位計

一個

6.電池

兩個 1.5 伏特串聯成 3 伏特

7.接線

四、實驗步驟: 1.電路連接如圖五所示,二極體受到順向偏壓。 2.轉動電位計的轉軸,先將可動接頭 C 移至固定接頭 B 的位置,此時 伏特計和安培計上的讀數為零。然後再往固定接頭 A 的方向移動 C, 記下伏特計和安培計的讀數,每次增加電壓 0.2 伏特,伏特計讀數勿 超過 2.8 伏特,並記下電壓多大時開始發光。 3.取另一個發光二極體和原來的二極體並聯,重作上述實驗。 4.改將兩個發光二極體串連,重作上述實驗;如果不會發光,將電池 改用 9 伏特,但伏特計讀數勿超過 5.6 伏特。

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四、實驗結果: 表一:發光二極體的電壓-電流關係 V(伏特) I (安培) V(伏特) I (安培)

表二:並聯的發光二極體的電壓-電流關係 V(伏特) I (安培) V(伏特) I (安培)

表三:串聯的發光二極體的電壓-電流關係 V(伏特) I(安培) V(伏特) I(安培) V(伏特) I(安培) 12


六、問題討論: 4-1.單獨一個發光二極體、兩個二極體並聯、兩個二極體串聯,電壓 多大時開始發光? 4-2 發光二極體的電壓-電流關係是線性關係嗎?是否府合歐姆定 律?

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實驗五:實驗探討發光二極體的光波波長和導 通電壓關係 一、實驗目的: 利用實驗,瞭解發光二極體所發出的光波波長和 其導通電壓的關係。

二、實驗說明:由上一個實驗(實驗四),可以瞭解二極體不是線性 導體,由其電壓-電流關係曲線可看出:當發光二極體受到順向偏壓, 且電壓達到一定值時,電流將迅速增大,此一定值稱為導通電壓 Vt (turn-on potential);實驗時,測量通過發光二極體的電流及兩端電壓, 在方格紙上作出電壓-電流關係曲線,由曲線和電壓軸的交點,可得 到發光二極體的導通電壓。 利用實驗二:測量可見光的波長,可量出發光二極體所發出光波的 波長並由。在方格紙上作出導通電壓和波長的倒數關係圖,求出其斜 率。 電洞和電子兩者在接合面附近複合發光時,所發出光子的能量 E  h 

hc

 E n  E p  E c  EV  E g …(1)

因此,選擇不同能隙的半導體材料,可以改變發光二極體的發光波長。 能隙和導通電壓間的關係為: E g  eVt  E …(2) E :和導電帶的電子分布以及所謂費米能量(Fermi energy)更關的能

量,相同型態的二極體更相同的 E 。

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(1)和(2)結合得:

hc

 eVt  E …(3)

三、實驗器材: 1.發光二極體(紅、黃、綠、藍色)

各一個

2.麵包板

一個

3.伏特計

一個

4.安培計

一個

5.1kΩ 可調電位計

一個

6.電池

兩個 1.5 伏特串聯成 3 伏特

7.接線 8.實驗二的所更器材

四、實驗步驟: 1.電路連接如圖五所示,二極體受到順向偏壓。 2.轉動電位計的轉軸,先將可動接頭 C 移至固定接頭 B 的位置,此時 伏特計和安培計上的讀數為零。然後再往固定接頭 A 的方向移動 C, 記下伏特計和安培計的讀數,每次增加電壓 0.2 伏特,伏特計讀數勿 超過 2.8 伏特,並記下電壓多大時開始發光。 3.取另一個發光二極體和原來的二極體並聯,重作上述實驗。

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4.改將兩個發光二極體串連,重作上述實驗;如果不會發光,將電池 改用 9 伏特,但伏特計讀數勿超過 5.6 伏特。

五、實驗結果: 表 一:紅光發光二極體的電壓-電流關係 V(伏特) I (安培) V(伏特) I (安培)

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表二:黃光發光二極體的電壓-電流關係 V(伏特) I (安培) V(伏特) I (安培)

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表三:綠光發光二極體的電壓-電流關係 V(伏特) I (安培) V(伏特) I (安培)

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表四:藍光發光二極體的電壓-電流關係 V(伏特) I (安培) V(伏特) I (安培)

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表五:發光二極體的導通電壓-波長倒數關係 LED種類 紅

導通電壓 (V) 波長  (10 7 m)

波長倒數 1 7 1    10 m 

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六、問題討論: 問題 5-1 發光二極體的導通電壓和所發出光波波長的關係為何?

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附錄一、家用數位攝影機在科學觀察上的應用 一、前言: 在高中階段由於經費及器材限制,實驗上對於運動物體或是流體的 觀察,僅限於時間、位移的測量,假設性的認為過程中一切都是很理 想化的等加速度運動,等速率圓周運動,或者水躍的發生都是圓形 的,這實在是違反眼見為憑的實驗目的,但在器材受限的情況下,老 師也只能作理論的講述而無能為力,畢竟一切發生的太快,來不及作 記錄事件已結束。 當然也更較先進的器材,比如高速照相機,每秒可拍一百張甚至於 上千張照片,但這畢竟是昂貴器材,高中不是研究單位,買不起這樣 的器材,更不用說是學生想要自已動手觀察了,但更限的器材末必就 不能更一番作為,重要的是操作器材的人如何去運用,小兵也能立大 功,家用數位攝影機雖不及高速照相機來的精密貴重,但運用的巧 妙,其效果也不輸百萬器材。

二、儀器設備: 1. 家用數位攝影機一台(SONY PC-330) 2. 線控三腳架一支(SONY VCT-D680RM) 3. 影音編輯軟體(會聲會影 6 中文版) 4. 轉檔軟體(TMPGEnc Plus_v2.5 十四天詴用版)

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5. 貼圖軟體(Avi2Bmp 1.0 免費軟體)

三、操作流程: 以本高瞻物理教材第三單元,3-3 水躍為例作說明。當夜體從高度 H 處落入圓盤中,此次研究多邊形的水躍發生時的條件,液體會在圓 盤上旋轉,並產生多邊形﹔如果以一般照相機僅能拍出水躍的形狀, 而無法測出其轉動的週期及水流的速度,採用攝影機作輔助全程拍 攝,不但可看到上述現象,還可作定量的轉速、邊數等數據的分析, 對於中學生作獨立研究助益甚大。

四、數據取得: 主角家用數位攝影機一台(SONY PC-330)其動畫更效畫素二 百萬

圖片一(SONY PC-330) 攝影機上腳架組合圖(SONY VCT-D680RM) 23


圖片二(組合圖)

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將攝影機對準圓盤內的乙二醇溶液的表面,自線控按下拍攝 紅鈕後,復頌此次實驗的控制變因及操縱變因,每作一次實驗即 錄下一段影片,直至 DV 帶用畢為止。

六邊形水躍

25


七邊形水躍

26


五、影片擷取: 影音編輯軟體(會聲會影 6 中文版)

圖片三(原版紙盒)

圖片四(軟體操作介面)

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將 DV 攝影機接上電腦的 1394 接頭,並且開啟會聲會影 6, 選擇【擷取】

功能表,觀察攝影機和電腦間是否更連線完成。

圖片五(DV-PC 接線圖)

圖片六(開啟程式連線完成) 28


選擇【開始】

功能表,選擇【開新專案】

,設定要

儲存的資料夾及儲存的格式,這裏我們選擇【NTSC DV AVI】的 格式,破壞壓縮最小。

圖片七(設定資料夾及儲存格式)

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選擇【擷取】

功能表,按下【擷取視訊】

按鈕,電

腦即開始將 DV 上的影片以 AVI 的格式儲存在指定的資料夾內, 每一小段影片自成一個檔案,其檔案編排以流水號來產生。

圖片八(檔案擷取中)

30


六、影片修剪 : 選擇【腳本】

功能表,當影片存入電腦硬碟中,接下來

就是將精華部份剪輯出來,自右側下拉的【視訊】 檔案列表中選擇待剪檔案或按下【開啟視 訊】

按鈕選擇檔案,將剛剛轉入電腦的視訊檔案拖曳至左下方

的【視訊軌】

中。

圖片九(開啟檔案編輯)

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按下【播放素材】

按鈕後,先聆聽開頭之控制變因及操縱

變因之說明記錄下來後,仔細觀察待影片播放至待剪的片頭時, 按下【標記開始時間】

按鈕,此時影片播放會暫停。

圖片十(設定開始剪輯點)

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按下【下一畫格】

按鈕,每按一次畫面會前進一格即三十

分之一秒,一下一下按,直到想要選擇的剪輯終點為止,此處以 水躍為例,即多邊形水躍轉動一週作一個剪輯段落,此時按下【標 記結束時間】

按鈕,最後記得按下【套用改變】

鈕,即可設定完成。

圖片十一(設定結束剪輯點)

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選擇【完成】

功能表,按下左上角的【製作視訊檔】

按鈕,設定檔案類型 AVI、檔案名稱及目的資料夾,按下【存檔】 按鈕,在光棒跑完 100%即算完成剪輯動作。

圖片十二(檔案輸出)

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七、視訊檔轉圖形檔 由於剪輯完成的檔案為視訊檔,頇轉為圖片檔才能作為報告 所頇資料,在此需要另一個視訊轉換軟體 TMPGEnc Plus_v2.5,網 路上可以找到十四天詴用版,這裏是以此軟體來轉檔。

圖片十三(程式操作介面)

35


開啟 TMPGEnc Plus_v2.5 程式,一開始會出現【專案精靈】, 先按【取消】按鈕進入主程式,在下方輸入影像檔中,按下【瀏 覽】按鈕,選擇檔案所在位置。

圖片十四(關閉專案精靈)

36


按下【檔案】功能表,在下拉的選單中選【輸出檔案】再選 【BMP】,再設定想要存檔的位置及檔名,按下【存檔】按鈕, 在光棒跑完 100%即算完成。

圖片十五(轉檔設定)

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由照片的數目,乘以三十分之一秒即可得到水躍的週期,每 一張照片都是連續的,經由排列可得到連續的變化。

圖片十六(轉檔畫面)

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圖片十七(完成圖) 39


八、多張圖形貼成一張 要把多張圖片貼成一張大的連續圖片,頇要另一個貼圖軟體 Avi2Bmp 1.0 免費軟體,這是一個免費分享的軟體,免安裝直按執 行程式後,按下【OPEN】的按鈕,開啟之前未轉檔的 AVI 視訊 檔(檔案必頇為未壓縮狀態)。

圖片十八(程式介面)

設定所要拼貼的行數與列數,因為總共是 58 畫格,我們設定 為三行二十列共六十張圖片,按下【SAVE BMP】 ,設定一下檔案 名稱及目的資料夾,經過一陣閃動即算完成。

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圖片十九(拼貼完成作品在這僅顯示部份)

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附錄二:利用個人電腦處理實驗數據 一、實驗誤差的分析 (一)、誤差的定義 誤差 = 測量值 - 真值。 通常我們無從測知一個物理量的「真值」,但經由實驗數據的累 積和誤差分析的應用,我們可得到「真值」的趨近值。更時公認值可 被視為真值。 (二)、誤差的分類 根據誤差的性質,一般分為系統誤差(systematic Error)和隨機 誤差(Random Error)兩類。 1.

系統誤差:

一個物理量經多次重複測量後,其結果一致,但仍與真值更一定的偏 差,我們稱在此實驗中存在更系統誤差。此類誤差可能來自於儀器的 刻度不準、實驗環境變動(如溫度變動導致原設的校準值不合用)、 實驗者的測量技巧更偏差等等。系統誤差的特性是單向確定性,即測 量值不是偏高就是偏低,而偏差量也大致相同。沒更機率的分布,因 此不能以增加測量的次數使它減小。理論上,我們可將系統誤差完全 消除,但是要找出系統誤差的來源且加以消除,則是對實驗能力的考 驗。

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2.

隨機誤差:

這類誤差是由不確定的因素產生,測量值會更上下的起落,與真值之 間的偏差量更正更負,或大或小,誤差出現的時機沒更一定的規律。 隨機誤差的特性就是它的機率性。在相同的實驗條件下,如果測量的 次數夠多,則誤差的分布一般會符合某些統計分布函數。最常見的函 數為常態分布函數(Normal Distribution Function) 。誤差分析的目的即 在於從更限次的測量中,抽取更用的資料,並估計出結果的信度和可 靠範圍。 (三)、準確度(Accuracy)和精密度(Precision) 準確度:表示測量值和真值(或公認值)的偏差程度。若偏差小,則 準確度高。 精密度:表示多次重複測量的結果,彼此之間的偏差程度,即可重複 的程度。若前後多次重複測量所得的結果皆相近,則稱此實驗測量的 精密度高。 一個實驗測量的精密度高,不是意指此實驗的結果準確,因其雖 減低隨機誤差,但仍可能隱藏更系統誤差。因此評估一個實驗的優劣 必頇同時考量它的準確度和精密度。 (四)、更效數字(Significant Digits) 更效數字是用於忠實呈現測量的結果。它由一組可靠的數字和一

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個估計的數字(或稱可疑的數字)所組成。以測量一木桿的長度為例, 量出的桿長為 123.0cm,其中 1、2 和 3 皆為可靠的數字,最後的數字 0 為估計的數字,因此更效數字共更四位。兩個更效數字的加減和乘 除舉例說明如下: 1.

加減

乘除

2.

上述為對四則運算的結果,處理更效數字位數的嚴謹作法。在兩 數字相乘或相除的運算中,更時為求速算起見,所得的積或商的更效 數字位數可取等於該兩數字中之更效數字位數較少者。 (五)、平均值(Mean)和標準誤差(Standard Deviation) 1.

母群(Parent Population)和母分布(Parent Distribution);樣本

(Sample)和樣本分布(Sample Distribution) : 同一物理量的實驗測量中,無限多次的測量值的集合,稱為母 44


群。在母群中,各不同測量值出現的機率分布,稱為母分布。 在實際的實驗中,我們只能作更限次的測量,因此母群和母分布 是假想的。更限次的測量值的集合和機率分布,分別稱為樣本群和樣 本分布。樣本群是母群的子集。 2. (1)

母群參數 平均值(Average): 1 lim ( N→∞ N

μ

 xi

)。

i

母群平均值即為所欲求的真值。 (2)

偏差(Deviation): xi - μ 。

di

(3)

方差(Variance): σ

(4)

2

1 lim 〔 N→∞ N

N 

(1)

- μ ) 〕。 2

i

標準差(Standard Deviation) : 1 N

  l i m

3.

 (xi

 (x i

i

  )2  

樣本參數 平均值: x

1 N

 xi

i

 (xi- x ) (2)

標準差:s

i N-1 45


就一組 N 個測量值而言,樣本平均值離各測量值的偏差平方和為最 小。因此樣本平均值可認為是母群平均值的最佳估計值,即  xi μ

i

N

證: 設 D= (xi - x )2= xi 2 - 2 x  xi + N x i

dD

i

2

i

dx

( (xi - x )2)= - 2 xi + 2N x = 0 i

i

 xi →x =

i

N

同樣,樣本標準差 s 可認為是母群標準差的最佳估計值,即  (xi- x )2 σ

i

s

N-1

(六)、常態分布(Normal or Gaussian Distribution) P =

σ

1 1 x-μ exp〔 - ( )2〕 2 σ 2π

測量值出現在μ + σ > x >μ - σ 範圍內的機率為 68.3% 測量值出現在μ + 2σ > x >μ - 2σ 範圍內的機率為 95.4% 測量值出現在μ + 3σ > x >μ - 3σ 範圍內的機率為 99.7%

46


(七)、測量結果的表示法 測量結果通常寫成 X ± Δ X 的形式。X 代表測量值,Δ X 代表不 準量 (Uncertainty)或習稱誤差值。Δ X 常用標準差σ 表示之,即測量結果 寫成 X ± σ x。 (八)、誤差的傳播(Propagation of Errors) 通常一個物理量是經由幾個分量的測量,再經計算而得出,譬如 體積是由長、寬、高三個分量相乘而得。因此各分量的誤差也將傳入 最後的結果。假設 X 代表某一個物理量,它是 u、v,…,等分量的 函數,即 X = f(u , v , …) 設以 u , v ,… 分別代表 u,v,…等分量的樣本平均值,則 X 的平 均值可寫成: X = f( u , v , …)

設{ui,vi,…}為某一組分量的樣本數據,則所對應的 Xi 為: Xi = f(ui , vi , …) → Xi - X = f(ui , vi , …) - f( u , v , …) =〔 f( u , v , …) + (

)u(ui - u )+(

)v(vi - v )

+ … 〕 - f( u , v , …)

→σ

2 x

=(

u

(ui - u ) + (

=(

u

(ui - u ) + (

1 =lim  xi (Xi - X )2 N N→∞ i

47

) )

v

v

(vi - v ) + …

(vi - v ) + …


1 = lim  xi〔( N→∞ N

)v(vi - v ) + …〕2

)u(ui - u ) + (

i

1 =lim  xi 〔(ui - u )2( N→∞ N

)2

+ (vi - v )2(

u

)2 v

i

2(ui - u )(vi - v )( 令σ

2

σ

2

σ

2

u

= lim N→∞

v

=lim N→∞

u

v

+ …〕

1 (ui - u )2 N i

1 (vi - v )2 N i

= lim N→∞

uv

1 (ui - u )(vi - v ),式中σ 2u v 稱為協方差 N i

(Covariance) →σ

v

σ 2u(

2 x

)2

u

+ σ 2v(

)2

v

+ 2σ

2

u v(

)u(

+ …

如果 u 和 v 彼此不相關,則,上式變為 σ

σ

2 x

2

)2

u(

u

+ σ

2

v(

)2

v

+ …

(九)、誤差傳播公式 1.

加減

若 X = au ± bv,式中 a 和 b 為常數,則 →σ

2 x

2

2

2

= a bu + b σ

2 v

± 2abσ

2

=a,

=± b。

uv

若 u 和 v 的測量無關,且 a=b=1,即 X=u ± v,則σ u v=0,上式可寫 為 σ x = σ 2u + σ

2 v

【例題】(3.1257 ± 0.0138) - (1.892 ± 0.0095) =(3.1257 - 1.892) ± = 1.234 ± 0.017

(0.0138)2 + (0.0095)2

48


2.

乘除

若 X = ± auv,式中 a 為常數, 則

= ± av,

→σ 2

2 x

2 2

= avσ 2

= ± au 2 u

2 2

2

+ auσ

2

2

+ 2a uvσ

v

2 uv

2

σ x σ σ σ uv → X2 = u2 + v2 +2→ uv

若 u 和 v 的測量無關,則σ σx X =

uv

= 0,上式可寫為

σu σu 2 ( u ) +( v )2

【例題】(1) (0.862 ± 0.007) × (0.401 ± 0.006) = X ± σ

x

X = 0.862 × 0.401 = 0.346 σ

x

σu 2 σu ) +( )2 u v

= X

→ σ

x

= 0.346

→ X + σ (2)

x

0.007 2 0.006 2 ) +( ) = 5.89 × 10-3 0.862 0.401

= 0.346 ± 0.006

7.1 ± 0.1 = X ± σ 0.034 ± 0.0014 X =

x

7.1 = 210 0.034

σ x = 210 × → X ± σ

3.

x

0.1 2 0.0014 2 ) +( ) = 9.1 7.1 0.034

= 210 ± 9

乘方 若 X = au±b,式中 a 和 b 為常數,則

【例題】圓面積 A=π r 2 答:若 r =(10.0 ± 0.3)cm,則面積為 49


A ± σ A=π (10.0 ± 0.3)2 A =π × (10.0)2=314 cm2 σ

A

→ A ± σ

4.

0.3 )= 18.8 cm2 10.0

= 314 × (2 × A

= 314 ± 19 cm2

指數

若 X = ae±bu,式中 a 和 b 為常數,則

【例題】輻射強度衰減函數為 N=N0 e-t/τ ,若 N0=1000/s,τ =5 days, t=20 days ± 1hr,求 N? 答:σ

t

= 1 hr = 0.042 days 20±0.042

→ N ± σ N = 1000 e-

5

20

→ N =1000 e- 5 = 18.3/s 0.042 )= 0.15/s 5

→ σ N =(18.3)(

→ N ±σ N =(18.3 ± 0.15)/s or (18.3 ± 0.2)/s

5.

對數 若 X = aln(± bu),式中 a 和 b 為常數,則

N

【例題】輻射時間函數為 t = - τ ln( N0 ),若 t = 5 days, 求輻射強度從 N0 = 1000/s 衰減至 N =(10 ± 1)/s 所需的時 間? 答:t ± σ t = - 5ln(

10 ± 1 ) 1000

50


→ t =- 5ln( → σ

t

10 )= 23 days 1000 1 )= 0.5 days 10

= 5 × (

→ t ± σ

t

=(23 ± 0.5)days 或(23 ± 1)days

(十)、真值的估計和其誤差 對於任何一個物理量,我們都假想存在更一與其對應的母群分 布。該分布的最可能值就是我們所欲求得的真值。如果母群屬於常態 分布,則出現測量值為 xi 的機率為 Pi =

σ

1 1 xi - μ exp〔 - ( )2〕 2 σ 2π

式中的μ 為該母群的平均值,也是最可能值(即出現的機率最 大)。但是在更限次數的實際實驗測量中,我們得不到母群分布,無 從得知其真值。因此我們必頇設法從直接量得的樣本數據群中,估計 它的數值和誤差範圍。 假設現在我們更某一物理量的一組樣本數據{x1 , x2 , … xi , … , xN} ,猜想這組數據對應的母群分布的平均值為μ '(這時仍未知) ,標 準差為σ '(=σ ),則測得個別 xi 的機率為 Pi' = σ

1 1 xi - μ - )2〕 2 ( σ 2π exp〔

測得整組數據{x1 , x2 , … xi , … , xN}的機率為 P' =

=( σ

1 1 N Xi - μ ' N ) - )2〕 exp〔 2 ( σ 2π i=1

由上式可看出 P'為μ '的函數。詴問μ '應為何值時,可使 P'得到極大

51


值? →

= 1 N Xi - μ ' 〔- 2  ( σ )2〕= 0

i=1

N

 xi N

i=1

→  (xi - μ ')= 0,故μ ' = N = x i=1

樣本數據群的平均值即為真值的最佳估計值。 下面我們繼續考慮μ '的標準差。因為μ '是由樣本數據計算而來,所 以 μ ' =μ '{x1 , x2 , … xi , … , xN} 利用前述的誤差傳播公式,我們可得 σ

2

N

μ

'

=  〔σ 2i(

)2〕,式中

i=1

→σ

2

i=1

1

N

μ

1 N 1 ( N  xi)= N

 〔σ 2i( N )2〕

'=

i=1

如果各個樣本數據在測得時的環境和條件皆相同,則σ i=σ ,代入上 式得 N

σ σ

2

μ

→σ

'=

2

μ

i=1

2

N

'=

2

Nσ 2 σ 2 = N2 = N σ N

注意式中的σ 為樣本數據群的標準差,σ μ '則為μ '(即平均值)的

52


標準差。 【例題】下列數據為計數一彈簧做 20 次完全振動所需的時間,求彈 簧振動的週期 T? (20T(s) = 10.83,10.99,10.91,10.94,10.95) 答:20T(s)=μ ' ±σ

μ

'

= x ±

σ

x

N

N

 xi i=1

x =

N

(10.83 + 10.99 + 10.91 + 10.94 + 10.95) 5

= 10.92 s N

 (xi - x )2 σ

x

i=1

N-1

= (10.83 - 10.92)2 +(10.99 - 10.92)2 +(10.91 - 10.92)2 +(10.94 - 10.92)2 +(10.95 - 10.92)2

5-1 →σ

x

= 0.06 s

→ 20T = 10.92 ±

0.06 = 10.92 ± 0.03 5

→ T =(0.546 ±0.002)s

由上可看出,若重複測量的次數愈多(即 N 值愈大), 則所得結果的誤差就愈小。

53


二、實驗數據的作圖 實驗數據的作圖不只是在坐標紙上標記數據點而已,利用所得的 關係圖線,可用於驗證理論公式,並解出相關的物理量。如果我們不 知理論式,則可從圖線找出函數關係式,即所謂的經驗公式(Empirical Formula)。 常用的坐標更直角、半對數、和全對數三種規格。下面介紹這三 種坐標紙的用法及作圖應注意事項。 (一)、直角坐標紙(或稱常規坐標紙) 這是最常用的坐標紙,特別適用於線性的關係 圖線,例如 y=mx + b。若 m 和 b 為未知量,則 從下圖中的直線斜率可得出 m=Δ y/Δ x,從 y 軸上的截距可直接讀出 b 值。

如果欲驗證如 y=ax2 + b 之類的理論式,則將橫 2

2

軸改取為 x ,在坐標紙上繪出 y - x 的關係圖線, 所得的直線斜率即為 a 值,其在 y 軸上的截距為 b 值。 【例題】下表為測量凹透鏡的焦距所取得的數據: 物距 p(cm)

6.50

像距 q(cm) -2

13.80

16.00

18.59

- 4.11 - 5.30 - 5.61 - 6.20 - 6.90

p-1(× 10-2)cm-1 -1

10.60

-1

q (× 10 )cm

15.4

9.434

7.246

6.250

5.379

- 24.3 - 18.9 - 17.8 - 16.1 - 14.5 54


薄透鏡的成像公式為

1 p

1 1 = ,因此在直角坐標紙上繪出 1/p-1/q q f

的關係圖線。由於各數據點皆相當吻合同一直線(斜角為- 45°) , 因此在實驗誤差的範圍內,薄透鏡的成像公式是成立的。縱軸上的截 距等於焦距的倒數,即 1 = - (10.1 ± 0.3) × 10-2cm → f= - (9.9 ± 0.3)cm f

本例顯示利用實驗數據的關係圖線,我們達成: (1)

驗證了薄透鏡的成像公式;

(2)

利用該公式,測出了透鏡的焦距。

【例題】如右圖所示,一兩端以同長的輕繩垂直懸掛的直桿,在鉛直 55


面上擺動(類似單擺的擺動)。下表為所測得的週期數據。詴應用實 驗方法,找出直桿做小幅擺動的週期公式。 10T1(s)

l(m)

T1 (s)

T1

2

(s)

19.76 1.972 ± 0.008 3.920 ± 0.032 18.00 1.082 ± 0.003 3.247 ± 0.011

0.970 19.80

19.92

19.83

19.71

0.805 18.01

18.06

17.98

18.03

0.602 15.53

15.60

15.60

15.52

0.405 12.78

12.74

12.72

12.72

15.53 1.556 ± 0.004 2.241 ± 0.012 12.68 1.273 ± 0.004 1.621 ± 0.010

0.205 9. 10

9. 0 2

9. 0 9

9. 13

9. 16 0.911 ± 0.005 0.830 ± 0.009

由於直桿的擺動類似單擺,故可合理假設其週期公式為 T1  2

k1l 。 g

為解此題,首先我們必頇先驗證該假設的公式是否成立?因此在直角 坐標紙上繪出 T12 - l 的關係圖線,若所得者為一通過原點的直線, 則此公式成立。再由該直線的斜率及另 行測定的 g 值可得出 k1 值。 T1=2π

k1

l g

4π 2 → T12 =( k )l g 1 4π 2 Δ T21 k = g 1 Δl =

(4.01 ± 0.05)-0 1-0

= 4.01 ± 0.05(s2/m)

測定普通單擺的週期可計算得 g = 9.78 ± 0.02 m/s2,代入上式可得 →

k1 = =

(4.01 ± 0.05) × g 4π 2 (4.01 ± 0.05) × (9.78 ± 0.02) 4π 2

= 0.993 ± 0.013 = 0.99 ± 0.01 56


本題顯示即使不經由理論演算,利用實驗方式也可得知直桿擺動的週 期公式和普通單擺相同,即 T1 = 2π

k1

l 。 (在實驗的誤差範圍內, g

k1=1。)

(二)、半對數坐標紙(或稱單對數坐標紙) 半對數坐標紙的 x 軸為常規刻度,但 y 軸為對數刻度。y 軸上的 主刻度為 10 的乘方,即 10n(n 為整數),例如 10-1,100、101、102、…。 主刻度線上之間的間隔距離相等,次刻度則從疏至密依次分別為 0.1、 0.2、0.3、…、0.9,或 1、2、3、…、9 或 10、20、30、…、90 等。下圖所示

的坐標紙,在 y 軸上三個循環,分別標為 10、100、和 1000,稱為三循 環半對數坐標紙,y 軸上的底線不一定取作為 1,也可取作為 10-2 或 102,視方便而定,其次刻度亦應隨之作對應的變動。同樣地,x 軸的

刻度也不一定從零開始。

57


半對數坐標紙最適用於驗證或分析,例如 y = aebx 的指數函數, 若在此式的兩邊同取對數值,則可得 logy = loga +(bloge)x 上式就 logy - x 的關係圖線而言,為一直線。從直線的斜率可求得 b =

斜率 1 Δ logy = ( ) loge loge Δx

讀取該直線在 y 軸上的交點坐標(即截距),可用於計算 a 值,或者 58


任取直線上一點之坐標,代入方程式直接計算 a 值。 例題、流經二極體的電流 I 和其兩端的電位差 V 之間的函數關係,可 qV

以寫成如右之指數函數式:I = Is(T)e nkBT 式中 T 為二極體的絕對溫 度,Is 為二極體在逆向偏壓時的飽和電流,q 為電子的電量(1.602 × 10 -19

C),kB 為波茲曼常數(1.381 × 10-23J/K) ,n 為一經驗因數。下表為所

測得的二極體 I - V 數據,詴求出 n 值。 T = 24.5℃ (V)

0.460 0.470 0.480 0.490 0.500 0.510 0.520 0.530 0.540 0.550

I(mA) 0.0498 0.0616 0.0762 0.0944 0.1171 0.1461 0.1806 0.2249 0.2781 0.3438 V(V) 0.560 0.570 0.580 0.590 0.600 0.610 0.620 0.630 0.640 0.650 I(mA) 0.4270 0.5290 0.6535 0.8108 1.0052 1.2419 1.5187 1.8753 2.3090 2.8420 V(V) 0.660 0.670 0.680 0.690 0.700 0.710 0.720 0.730 0.740 0.750 I(mA) 3.476 4.214 5.165 6.218 7.470 8.975 10.770 12.833 15.140 17.750

由上圖可看出數據點非常吻合同一條直線,因此得證二極體的 I - V 59


曲線為一指數函數。在直線上選取兩點,兩點間頇更適當的間隔,並 且容易精確讀出其坐標值,以之計算該直線的斜率。 斜率 =

log(20.0 ±0.01) - log(0.145 ± 0.001) 0.750 - 0.450

log(444 ± 10) 2.65 ± 0.01 = = 8.82 ± 0.03 0.300 0.300

qV

對 I = Is(T)e nkBT 兩邊取常用對數,可得 log I = log IS(T) + ( →

q log )V → nkBT

斜率 =

q log nkBT

1 kBT =( ) × 斜率 n q log 1.381 × 10-23 × (273 + 24.5) =( ) × (8.82 ± 0.03) 1.602 × 10-19 × loge

= 0.521 ± 0.002 n = 1.92 ± 0.01

(三)、全對數坐標紙(或稱雙對數坐標紙) 全對數坐標紙的 x 和 y 軸皆為對數刻度。下圖所示的坐標紙,在 y 軸上更三個循環,在 x 軸上更兩個循環,稱為 3 × 2 循環的全對數 坐標紙。要注意兩軸上的次刻度數值皆從疏至密,依序漸增。兩軸的 起始刻度不一定從 1 開始,也可選用 10-2、10-1、101、或 102 等,如前 介紹半對數坐標紙的用法時所述。 全對數坐標紙最適用於驗證或分析類如 y = ax n 的乘方函數。若 在此式的兩邊同取對數值,則可得

nlogy = loga + nlogx

上式就 logy - logx 的關係圖線而言,為一直線。從直線的斜率可求得 n 值,其求法如下:在直線上選取更適當間隔的兩點 A 和 B,畫一直角三角形

60


ABC 如圖所示。以米尺分別量取 AC 和 BC 的長度,則 n =

Ly 。 Lx

由於對數值不能為零,所以在全對數的坐標軸上沒更零點。直線 在兩軸上的截距,就嚴謹的數學而言,沒更意義。因 loga 不適合從讀 取截距的數值來求出,但我們可任取直線上一點之坐標,代入方程式 直接計算出 a 值。

61


【例題】一兩端以同長的輕繩垂直懸 掛的直桿,繞通過直桿中心的 鉛直軸轉動,如下圖所示。下 表為所測得的週期數據。詴應 用實驗方法,找出直桿做小幅 轉動的週期公式。

l(m)

10T(s)

T (s)

T 2(s)

0.970 11.62 11.66

11.63

11.62

11.61

1.163 ± 0.001

1.353 ± 0.002

0.805 10.44 10.65

10.57

10.50

10.54

1.054 ± 0.004

1.110 ± 0.008

0.602 9.13

9.00

9.05

9.02

9.09

0.906 ± 0.002

0.821 ± 0.004

0.405 7.45

7.38

7.42

7.38

7.43

0.741 ± 0.001

0.549 ± 0.001

5.14

5.38

5.38

5.37

5.28

0.531 ± 0.003

0.282 ± 0.003

5.33

5.39

5.29

5.29

5.22

0.205

仿照單擺的週期公式,假設直桿的轉 動週期 T,可以寫成下式: T = 2π (k2

l )n g

式中 n 及 k2 為常數,g 為重力加速度。 k2 )n + n logl g

logT = log2π (

logT - logl 的關係圖線應為一條

直線。 右圖所標示的數據點非常貼近同一直 62


線,因此得證所假設的關係式成立。由圖上直線的斜率可得 n =

Δ (logT) 2.55± 0.03 = Δ logl 5.10 ± 0.03

= 0.500 ± 0.007

故直桿的轉動週期公式可寫為 gT2 k 2l T→ k2= T  2 4π 2l g

從圖上的直線選取一容易精確讀取坐標值的點,得 T = 0.98 ± 0.01s l = 0.70 ± 0.01m

另測定普通單擺的週期,可得 g = 9.78 ± 0.02 m/s2

將以上數據代入上式,得 k2 = →

(9.78 ± 0.02) × (0.98 ± 0.01)2 = 0.340 ± 0.008 4π 2 × (0.70 ± 0.01)

1 = 2.94 ± 0.07 k2

結論:在實驗誤範圍內,直桿的轉動週期公式可寫為 T=2π

l 3g

(四)、實驗作圖應注意事項 1.

作圖時要使用坐標紙。圖上標註坐標軸的名稱、方向、刻度、

和單位,以及所繪圖形的圖名。 2.

在坐標軸上選用適當的刻度間隔,以免繪出的圖形過小,或

縮在一邊或一角。x 軸和 y 軸上的刻度間隔不一定需要相同,可視需 要而定。坐標軸的起點不一定取作為零,可選用其他的數值,也視需

63


要而定。 3.

坐標軸的主刻度線宜分取作為 1、2、3…,或 2、4、6、…,或 5、

10、15、…等容易計數的數列,如此在標記數據點時,比較方便也不

易犯錯。 4.

標記數據點時,要加上該數據的誤差槓(Error Bar) 。

5.

在選取直線以吻合各數據點時,盡可能使選用的直線能落在

各數據點的誤差槓內。 6.

利用所作的直線求斜率時,要注意選點之間的間隔要大一些,

以減少計算的誤差。 7.

在實驗時,最好在取得數據後,跟著就標記在坐標紙上。像

這樣邊作邊記,可讓我們知道數據圖線的趨勢,如果實驗出了差錯, 可及早發覺改正。另外,當數據圖線發展到可能更意義的區域時,例 如出現極小值、或極大值、或快速變化,這時就應較密集地多取幾個 數據點,以顯示出該段圖線的詳細結構。

64


如何將實驗數據製作成圖表 (使用MICOSOFT EXCEL)

1. 於Excel工作表中,輸入實驗所得數據。

65


2. 於Excel工作表中,選取儲存格B1到F2後,點選「圖 表精靈」。

66


3. 圖表類型點選「XY散佈圖」 ,副圖表類型點選「散 佈圖。比較成對

數值」 ,按「下一步」。

67


4. 顯示畫面如下,按「下一步」。

68


5. 於「圖例」標籤中,取消選取「顯示圖例」,按 「完成」。

6. 顯示結果如下圖所示。 0 0

2

4

6

8

-5 -10 -15 -20 -25 -30

69

10

12

14

16

18


7. 於任一散佈點上按滑鼠右鍵,點選「加上趨勢 線」。

8. 於「類型」標籤選擇「線性」。

70


9. 於「選項」標籤中「倒推」欄輸入「5.3」單位, 勾選「圖表上顯示

公式」 ,使線段延伸至座標軸,並顯示截距 及斜率。按「確定」。

10. 圖表製作完成,結果如下圖所示。 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-5 -10 數列1

-15

線性 (數列1)

-20 -25

y = -0.9196x - 10.281

-30

71


10. 圖表製作完成,結果如下圖所示。 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-5 -10 數列1

-15

線性 (數列1)

-20 y = -0.9196x - 10.281

-25 -30

11. 如需顯示誤差線,可於任一散佈點上按滑鼠右 鍵,點選「資料

數列格式」 。

72


11. 依需求於「X誤差線」或「Y誤差線」標籤設定。

73

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