Page 1

‫الصف األول الثانوي‬

‫منهاج موهبة اإلضافي المتقدم‬

‫الرياضيـات‬

‫كتـاب الطالب‬


‫مت تطوير مادة منهاج موهبة الإ�ضايف املتقدم لت�ستعمل يف املدار�س املن�ضوية يف مبادرة موهبة لل�رشاكة مع املدار�س‪.‬‬

‫حقوق الن�شر محفوظة لم�ؤ�س�سة الملك عبد العزيز ورجاله للموهبة والإبداع‬ ‫�شارع تركي بن عبدالعزيز الأول‬ ‫�صندوق بريد ‪ 300820‬الريا�ض ‪ ،11372‬المملكة العربية ال�سعودية ‪www.mawhiba.org.sa -‬‬ ‫الإ�شارة الواردة في هذا الكتاب �إلى ت�صنيف �آير للأداء المعرفي المتقدم مطبوعة بت�صريح من البروف�سور ديبورا �آير‪ ،‬مالك جميع الحقوق‬ ‫المتعلقة بهذا الت�صنيف‪.‬‬


‫المحتويات‬ ‫ا�ستعمال كتاب الطالب ‬ ‫ ‬

‫‪6‬‬

‫الوحدة الأولى‪ :‬المنطق واال�ستدال ل‬ ‫العبارات المتكافئة ‬ ‫ الن�شاط الأول ‬ ‫جداول ال�صواب ‬ ‫ الن�شاط الثاني ‬ ‫لي�س مع ً ا‬ ‫ الن�شاط الثالث ‬ ‫تب�سيط الرموز المنطقية ‬ ‫ الن�شاط الرابع ‬

‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬المجموعات والبرها ن‬ ‫ الن�شاط الأول �إثبات عبارات ب�سيطة ‬ ‫المثال الم�ضاد ‬ ‫ الن�شاط الثاني ‬ ‫البرهان الخط�أ ‬ ‫ الن�شاط الثالث ‬ ‫ الن�شاط الرابع �أ�شكال فن البيانية ‬

‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬

‫الوحدة الثالثة‪ :‬الم�ستقيمات المتوازي ة‬ ‫الأ�شكال المتوازية ‬ ‫ الن�شاط الأول ‬ ‫الم�ستقيمات المتوازية في الأ�شكال ‬ ‫ الن�شاط الثاني ‬ ‫متوازي الأ�ضالع ‬ ‫ الن�شاط الثالث ‬ ‫المربعات في الم�ستوى الإحداثي ‬ ‫ الن�شاط الرابع ‬

‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪22‬‬

‫الوحدة الرابعة‪ :‬ميل الخط الم�ستقيم ومعادالت ه‬ ‫تقاطع الم�ستقيمات ‬ ‫ الن�شاط الأول ‬ ‫ الن�شاط الثاني �إزاحة الم�ستقيمات ‬ ‫ الن�شاط الثالث �إن�شاء مثلثات من م�ستقيمات ‬ ‫الم�سافة الهند�سية ‬ ‫ الن�شاط الرابع ‬

‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬

‫الوحدة الخام�سة‪ :‬تطابق المثلّثا ‬ ‫ت‬ ‫العالقات بين �أنواع المثلثات ‬ ‫ الن�شاط الأول ‬ ‫المثلثات ذات الزوايا بالن�سبة‪ : n + 1 : n + 2 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ الن�شاط الثاني ‬ ‫تجزئة المثلث �إلى مثلثات متطابقة ‬ ‫ الن�شاط الثالث ‬ ‫المثلثات الم�شتركة ب�ضلع ‬ ‫ الن�شاط الرابع ‬ ‫�شروط التطابق المتعلقة بالم�ساحة ‬ ‫ الن�شاط الخام�س ‬ ‫التحويالت الهند�سية للمثلثات ‬ ‫ الن�شاط ال�ساد�س ‬

‫‪30‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪34‬‬


‫الوحدة ال�ساد�سة‪ :‬العالقات في المثلثا ‬ ‫ت‬ ‫ن�صفة الزوايا ‬ ‫ الن�شاط الأول ‬ ‫الأقطار ُم ِّ‬ ‫متباينات المثلث ‬ ‫ الن�شاط الثاني ‬ ‫حركة الو�سيط ‬ ‫ الن�شاط الثالث ‬ ‫المثلثات في دوائر النقاط الت�سع ‬ ‫ الن�شاط الرابع ‬ ‫الج ُزر ‬ ‫ الن�شاط الخام�س ‬ ‫ربط ُ‬

‫‪36‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪43‬‬

‫الوحدة ال�سابعة‪ :‬الأ�شكال الرباعي ة‬ ‫ت�صغير المربعات ‬ ‫ الن�شاط الأول ‬ ‫تجزئة المثلث �إلى �أ�شكال رباعية ‬ ‫ الن�شاط الثاني ‬ ‫الزوايا الداخلية في الم�ضلعات المنتظمة ‬ ‫ الن�شاط الثالث ‬ ‫حذف مربعات من الم�ستطيالت ‬ ‫ الن�شاط الرابع ‬

‫‪45‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪50‬‬

‫الوحدة الثامنة‪ :‬التنا�سب والت�شاب ه‬ ‫الم�ساحات والمثلثات المت�شابهة ‬ ‫ الن�شاط الأول ‬ ‫المثلثات قائمة الزاوية المت�شابهة ‬ ‫ الن�شاط الثاني ‬ ‫الأ�شكال المت�شابهة ‬ ‫ الن�شاط الثالث ‬ ‫تق�سيم الكعكة ‬ ‫ الن�شاط الرابع ‬

‫‪52‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪59‬‬

‫الوحدة التا�سعة‪ :‬التحويالت الهند�سي ة‬ ‫الدوران واالنعكا� س‬ ‫ الن�شاط الأول ‬ ‫تركيب التحويالت الهند�سية ‬ ‫ الن�شاط الثاني ‬ ‫معكو�س التحويالت الهند�سية ‬ ‫ الن�شاط الثالث ‬ ‫هل ي�ؤثر الترتيب في التحويالت الهند�سية؟ ‬ ‫ الن�شاط الرابع ‬

‫‪61‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪65‬‬

‫الوحدة العا�شرة‪ :‬الدوائر ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫الن�شاط الأو ل‬ ‫الن�شاط الثاني ‬ ‫الن�شاط الثالث ‬ ‫الن�شاط الرابع ‬

‫ ‬ ‫ن�سب الدوائر ‬ ‫المخروط ‬ ‫المثلثات المتما�سة مع الدوائر ‬ ‫معادلة الدائرة ‬

‫الوحدة الحادية ع�شرة‪ :‬قاعدة بنفورد ‬ ‫معلومات عن الوحدة ‬

‫‪66‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪73‬‬


‫كيفية ا�ستعمال هذا الكتاب‬ ‫الغر�ض من الأن�شطة المت�ضمنة في هذا الكتاب هو م�ساعدتك على �أن ت�صبح متعلم ًا متقدم ًا‪ ،‬ولهذا ف�إنها �سوف تتحدى قدراتك‬ ‫وتحفزك على القيام ب�أ�شياء عدة‪ ،‬منها على �سبيل المثال‪:‬‬ ‫• ا�ستخدام المهارات التي تعلمتها في درو�سك الأخرى بحيث تطبق مهاراتك على م�شاكل وم�سائل جديدة �أو غير م�ألوفة‬ ‫• التميز باالبداع والمرونة عند القيام بحل هذه الم�شاكل والم�سائل‬ ‫• المثابرة في تنفيذ المهام‪ ،‬مع تجريب طرق عمل بديلة �إذا لم يحالفك التوفيق من �أول مرة‬ ‫• تطوير مهارات التفكير واال�ستدالل‬ ‫• �شرح نتائج عملك وا�ستنتاجاتك للآخرين لم�ساعدتهم على الفهم والإبداع‪.‬‬ ‫لكي ي�صبح طلبة المدار�س الم�شاركة في م�شروع موهبة متعلمين متقدمين‪ ،‬ف�إن هذه الأن�شطة تركز على �ست قيم واتجاهات‬ ‫و�سمات �أ�سا�سية تعزز هذا النوع من التعلم والتفكير‪ .‬وهي‪:‬‬

‫اال�ستق�صاء‬

‫�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح اال�ستق�صاء‪ .‬و�سيكونوا راغبين في التعلم الذاتي ونا�شطين فيه وتواقين �إليه‪ .‬و�ستظهر‬ ‫عليهم �سمات المبادرة والتفكير الم�ستقل وتحدي االفترا�ضات وطلب البرهان على الم�س ّلمات والتوكيدات‪ .‬و�سينظمون م�سيرة تعلمهم‬ ‫بفعالية‪ ،‬منتقلين من ا�ستيعاب المعارف و�إتقان الخطوات العملية �إلى تطوير وجهات النظر ال�شخ�صية والحلول الفردية‪.‬‬

‫المجازفة‬

‫�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح المجازفة‪ .‬و�سيظهرون الثقة بالنف�س‪ ،‬ويتناولون الأفكار والظواهر الجديدة عليهم‬ ‫بالتجربة والنقد‪ ،‬ويقدمون على التخمين وطرح الفر�ضيات‪ ،‬ولن يزعجهم العمل في ظل ظروف جديدة عليهم‪ .‬و�سوف يرجئون‬ ‫التو�صل �إلى اال�ستنتاجات قبل ن�ضوجها في �أذهانهم‪ ،‬ويتحملون نق�ص اليقين الم�ؤقت‪.‬‬

‫الإبداع‬

‫�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح الإبداع واالبتكار‪ .‬و�سي�صبحوا متفتحو العقول ومرنون في طريقة تفكيرهم‪ ،‬مع �إظهار‬ ‫اال�ستعداد لالبتكار و�إيجاد حلول متعددة للم�شاكل والمواقف‪ .‬مع التحلي بالقدرة على تكييف �أ�ساليب عملهم لتتالءم مع الظروف‪.‬‬ ‫و�سوف يغدو عملهم مثاراً للده�شة ودلي ًال على الإ�صالة ومتميزاً ب�أ�سلوبهم ال�شخ�صي الخا�ص‪.‬‬

‫المثابرة‬

‫�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح المثابرة‪ .‬ولن تثبط العقبات وال�صعوبات من عزائمهم‪ ،‬بل �سي�صرون على موا�صلة بذل‬ ‫الجهود‪ .‬و�سوف يبرهنون على تميزهم بالت�أني في العمل وااللتزام بالأ�سلوب المنهجي المنظم‪ ،‬ولن يكلوا �إلى �أن يحققوا النتائج‬ ‫المرجوة ب�أعلى م�ستويات الجودة والدقة الممكنة‪.‬‬

‫التعاون‬

‫�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح التعاون والعمل الجماعي‪ .‬و�سي�سعون للح�صول على المالحظات والتعليقات على‬ ‫عملهم‪ ،‬والإدالء ب�آرائهم و�أفكارهم بو�ضوح واخت�صار مع الإ�صغاء �إلى وجهات نظر الآخرين و�أفكارهم‪ ،‬و�سيتمتعوا بالقدرة على‬ ‫العمل الجماعي واال�ستعداد له‪ ،‬مع ت�أدية �أدوار متنوعة �ضمن فرق العمل والتمكن من تقييم �أفكارهم و�إ�سهاماتهم‪.‬‬

‫االهتمام بالمجتمع‬

‫�سوف ينمي طلبة مدار�س �شراكة موهبة روح االهتمام بالمجتمع‪ .‬ففي حين يكونوا مدفوعين بالطموح ال�شخ�صي والرغبة في‬ ‫قويا ب�أهمية الإ�سهامات التي يقدمونها للمجتمع تحقيق ًا لم�صلحة الوطن ومنفعة‬ ‫أي�ضا �‬ ‫تحقيق النجاح‪ ،‬ف�إنهم �سيمتلكون � ً‬ ‫إح�سا�سا ً‬ ‫ً‬ ‫َمن هم �أقل ن�صيب ًا من �أنف�سهم‪ .‬و�سيكونوا مثا ًال للمواطن ال�صالح المتعاطف مع الم�صلحة الجماعية لمحيطه االجتماعي‪ ،‬المدرك‬ ‫لأوجه التباين والت�شابه بين الأفراد وال�شعوب‪ ،‬والواعي بتراثه الثقافي والتراث الثقافي للآخرين‪ ،‬كما �سيكون الطلبة متجاوبين مع‬ ‫الق�ضايا الأخالقية التي تثار في �سياق درا�ساتهم‪.‬‬

‫ت�سجيل عملك‬ ‫‪6‬‬

‫�سوف يح�صل طلبة المدار�س المن�ضوية في مبادرة موهبة لل�شراكة مع المدار�س على دفتر ي�سجلون فيه جميع الأعمال المتعلقة بهذا‬ ‫الكتاب‪ ،‬ليتوفر لهم �سجل متكامل عن تح�صيلهم و�إنجازهم في هذا المادة‪ ،‬ويواكب اكت�ساب وتطوير المهارات وال�سمات التي تجعل‬ ‫منهم متعلمين متقدمين‪.‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫المنطق واال�ستدالل‬

‫‪7‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫ •الثقة عند تطبيق المنطق الريا�ضي على م�سائل متنوعة‬ ‫ •الطالقة في ا�ستخدام المنطق ال�شكلي والرموز المرتبطة به‬

‫الن�شاط الأول‬ ‫العبارات المتكافئة‬ ‫‪� -1‬ضع �إ�شارة (‪� )ü‬أمام العبارة ال�صحيحة و�إ�شارة (‪� )û‬أمام العبارة غير ال�صحيحة فيما يلي‪:‬‬ ‫‪� )a‬إذا كان هذا تمراً فهو ينمو على الأ�شجار‪.‬‬ ‫‪� )b‬إذا كان ينمو على الأ�شجار فهو تمر‪.‬‬ ‫‪� )c‬إذا لم يكن تمراً فهو ينمو على الأ�شجار‪.‬‬ ‫تمرا فهو ال ينمو على الأ�شجار‪.‬‬ ‫‪� )d‬إذا لم يكن ً‬

‫تمرا فهو ال ينمو على الأ�شجار‪.‬‬ ‫‪� )e‬إذا كان هذا ً‬

‫تمرا‪.‬‬ ‫‪� )f‬إذا كان ينمو على الأ�شجار فهو لي�س ً‬

‫تمرا‪.‬‬ ‫‪� )g‬إذا لم يكن ينمو على الأ�شجار فهو لي�س ً‬ ‫‪ )h‬‬

‫�إذا لم يكن ينمو على الأ�شجار فهو تمر‪.‬‬

‫ود ّل (‪ )T‬على العبارة (ينمو على الأ�شجار)‪ ،‬فيمكن كتابة العبارة (‪)a‬‬ ‫�إذا َد ّل الحرف (‪ )D‬على العبارة (هذا تمر)‪َ ،‬‬ ‫بال�صيغة‪.G D → :‬‬ ‫‪� -2‬أعد كتابة العبارات في ال�س�ؤال الأول با�ستخدام الرموز‪ D :‬و‪ G‬و→ و ~‪.‬‬ ‫‪ -3‬ان�شئ جدول ال�صواب لتثبت �أن ‪.D → G ≡~G → ~D‬‬ ‫ ‬

‫‪ D → G‬و ‪ ~G → ~D‬هما زوجان متكافئان‪.‬‬ ‫‪ -4‬اكتب جميع �أزواج العبارات المتكافئة في ال�س�ؤال الأول‪.‬‬

‫‪8‬‬


‫الن�شاط الثاني‬ ‫جداول ال�صواب‬ ‫الحرف ‪ P‬يمثل العبارة‪ n" :‬عدد من م�ضاعفات الرقم ‪."3‬‬ ‫الحرف ‪ Q‬يمثل العبارة‪ n" :‬عدد زوجي"‬ ‫الحرف ‪ R‬يمثل العبارة‪ n" :‬من م�ضاعفات الرقم ‪."6‬‬ ‫عبر عن العبارة ‪ R ↔ P ∧ Q‬بلغتك الخا�صة‪.‬‬ ‫‪َّ -1‬‬ ‫‪ -2‬اثبت �أن ‪� R ↔ P ∧ Q‬صائبة دائم ًا‪.‬‬ ‫عبر عن العبارة المنطقية ‪ ~P ∨ ~Q → ~R‬بلغتك الخا�صة‪.‬‬ ‫‪ -3‬‬ ‫ّ‬ ‫‪� -4‬أن�شئ جدول ال�صواب لتبين �أن ‪.~P ∨ ~Q → ~R‬‬ ‫"‪ -5‬ا�ستخدم جدول ال�صواب لإثبات �أن العبارة التالية خط�أ‪:‬‬ ‫عددا زوجي ًا‪.‬‬ ‫�إذا لم يكن عدد ما من م�ضاعفات ‪ ،6‬ف�إنه لي�س من م�ضاعفات ‪ ،3‬ولي�س ً‬ ‫‪ -6‬اكتب مثا ًال عددي ًا يثبت �أن العبارة ال�سابقة خط�أ‪.‬‬

‫‪9‬‬


‫الن�شاط الثالث‬ ‫لي�س معاً‬ ‫‪� -1‬أن�شئ جدول ال�صواب لإثبات �أن "نفي ‪� P‬أو نفي ‪ "Q‬مكافئ لـ "نفي (‪ P‬و ‪")Q‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫)‪ P ∨ ~Q → ~(P ∧ Q‬‬ ‫~‬ ‫هذا هو املق�صود بــــِ " لي�س معاً"‪� ،‬أو ما يعرف با�سم �رشط ‪ .NAND‬وي�ستخدم يف بع�ض الأحيان الرمز ↑ للداللة‬ ‫عليه‪.‬‬ ‫وبذلك ف�إن ‪ P ↑ Q‬تكافئ ‪.~P ∨ ~Q‬‬ ‫وينتج �إثبات ال�صواب من هذه العملية ال�صواب �إذا كانت قيمة واحدة على الأقل خط�أ‪.‬‬

‫ ‬

‫وبلغة الحياة اليومية ف�إن ذلك يماثل المنطق في العبارة "يموت الإن�سان �إذا لم يح�صل على الماء والغذاء"‪ ،‬و"يموت‬ ‫الإن�سان �إذا لم يح�صل على الغذاء �أو لم يح�صل على الماء"‪.‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫بين �إمكانية تطبيق "لي�س مع ًا" لى �أ�شكال ِفن‪.‬‬ ‫‪ّ -2‬‬ ‫ ‬

‫من الممكن تعريف �أدوات الربط الأخرى بداللة ↑‪ ،‬فعلى �سبيل المثال ‪~P ≡ P ↑ P‬‬

‫معا ‪"p‬تكافئ «لي�س ‪.»p‬‬ ‫كون جدول ال�صواب لإثبات �أن «‪ p‬لي�س ً‬ ‫‪ّ -3‬‬ ‫كون جدول ال�صواب لإثبات �أن ‪P ∨ Q = ( P ↑ P) ↑ (Q ↑ Q).‬‬ ‫‪ّ -4‬‬ ‫عبر عن ‪ P ∧ Q‬بداللة ↑ فقط‪.‬‬ ‫‪ّ -5‬‬ ‫عبر عن ‪ P → Q‬بداللة ↑ فقط‪.‬‬ ‫‪ّ -6‬‬

‫‪10‬‬


‫الن�شاط الرابع‬ ‫تب�سيط الرموز المنطقية‬ ‫يقول فريد‪:‬‬ ‫‪ ،~(a ∧ b) ≡ a ∨ ~b‬ولذلك فنحن ال نحتاج �إىل الرمز ∧‪.‬‬ ‫‪ -1‬هل ما يقوله فريد �صحيح؟‬ ‫ �إذا كان �صحيحاً‪ ،‬فاكتب ‪ ،a ∧ b‬دون ا�ستخدام الرمز ∧‪.‬‬ ‫‪ -2‬علق على �صواب العبارة‪:‬‬ ‫ ‬

‫"�إذا كانت ‪ a‬تق�سم ‪ ،b‬وكانت ‪ a‬تق�سم ‪ ،c‬ف�إن ‪ a‬تق�سم ‪."b ⋅ c‬‬ ‫‪ -3‬العبارة (‪ a‬تق�سم ‪ )b‬تكتب بالرموز ‪.a | b‬‬

‫ �أعد كتابة العبارة يف ال�س�ؤال ‪ 2‬با�ستخدام الرموز‪.→ ،∧ ,c ، b ، a ، | :‬‬ ‫‪� -4‬أعد كتابة الإجابة على ال�س�ؤال ‪ 3‬با�ستخدام الرموز‪.→ ،∨،~ ,c ، b ، a ، | :‬‬ ‫‪ -5‬لماذا يحتاج عالم المنطق الريا�ضي �إلى ا�ستخدام �أقل عدد ممكن من الرموز ؟‬

‫‪11‬‬


‫الوحدة الثانية‬ ‫المجموعات والبرهان‬

‫‪12‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫ •الثقة والقدرة على ا�ستعمال طرائق متنوعة للبرهان مثل (المثال الم�ضاد‪ ،‬الجدل المنطقي‪� ،‬أو الجدل غير‬ ‫المبا�شر)‪.‬‬

‫الن�شاط الأول‬ ‫�إثبات عبارات ب�سيطة‬ ‫�سي�ساعدنا التكاف�ؤ التايل‪ a ⟹ b ≡ ~b ⟹ ~a‬يف الربهان‪.‬‬ ‫يف الأ�سئلة التالية‪ ،‬يكون ‪ m‬و‪ n‬عددان �صحيحان موجبان‪.‬‬ ‫‪ -1‬ا�ستخدم العبارة‪ a ⟹ b ≡ ~b ⟹ ~a‬لإثبات �أن‪:‬‬ ‫عددا‬ ‫زوجيا ⟸ ‪ m‬و ‪� n‬إما زوجيان كالهما �أو فرديان كالهما‪.‬‬ ‫ �إذا كان ‪ً m + n‬‬ ‫ً‬ ‫زوجيا ⟸ ‪ n‬عدد زوجي‪.‬‬ ‫‪� -2‬أثبت �أنه‪� :‬إذا كان ‪ 2n‬عدداً‬ ‫ً‬ ‫‪3‬‬ ‫فرديا ⟸ ‪ n‬عدد فردي‪.‬‬ ‫‪� -3‬أثبت �أنه‪� :‬إذا كان ‪ً n‬‬ ‫عددا ً‬

‫الن�شاط الثاني‬ ‫المثال الم�ضاد‬ ‫العبارات التالية جميعها خط�أ‪.‬‬ ‫�أثبت خط�أ ك ٍّل منها ب�إعطاء مثال م�ضاد‪.‬‬ ‫‪ -1‬كل عدد �صحيح يمكن كتابته على ال�صورة ‪ 2n‬يوجد بجانبه عدد �أولي يكبره بواحد �أو ي�صغره بواحد‪.‬‬ ‫‪ -2‬كل عدد �صحيح يمكن كتابته على ال�صورة ‪ 6n‬يوجد بجانبه عدد �أولي يكبره بواحد �أو ي�صغره بواحد‪.‬‬ ‫‪ -3‬كل عدد يمكن كتابته على ال�صورة ‪ n2 + 41n + 41‬هو عدد �أولي‪.‬‬ ‫‪ -4‬كل عدد �صحيح له عدد زوجي من العوامل‪ ،‬فعلى �سبيل المثال‪ ،‬عوامل العدد ‪ 24‬هي ‪ 1‬و‪ 2 ،24‬و‪ 3 ،12‬و‪ 4 ،8‬و‪6‬‬ ‫(عددها ‪.)8‬‬ ‫‪� -5‬أعلى قيمة للزاوية الداخلية في ال�شكل الرباعي هي ‪( 179°‬مقربة �إلى �أقرب عدد �صحيح)‪.‬‬ ‫‪ -6‬الفرق بين مربعي عددين �صحيحين مختلفين يكون دائم ًا �أكبر من الفرق بين العددين ال�صحيحين‪.‬‬ ‫‪� -7‬ضمن كل ‪ 1000‬عدد‪( ،‬مثل ‪ 1000‬و‪ )1999‬يوجد عدد مربع واحد على الأقل‪.‬‬ ‫‪ -8‬يوجد عدد �أولي واحد على الأقل في كل عقد من ال�سنوات (مث ًال‪ :‬العقد ‪ 39-30‬ي�ضم ال�سنوات ‪ 31‬و‪.)37‬‬ ‫‪13‬‬


‫الن�شاط الثالث‬ ‫البرهان الخط�أ‬ ‫فيما ي�أتي برهانني لإثبات �أن ‪( 1 = 2‬من البديهي �إنهما برهانان غري �صحيحني)‪.‬‬ ‫‪ -1‬يقول محمد‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪ 2 =1‬وبرهاين هو‪:‬‬ ‫باجلمع‪ ،‬نح�صل على ‪3 = 3‬‬ ‫من البديهي �أن عبارة ‪� 3 = 3‬صحيحة‪ ،‬مما يثبت �صحة فر�ضيتي‪ ،‬وهي �أن ‪.1 = 2‬‬ ‫ا�ستخدم املنطق الريا�ضي لإثبات خط�أ هذا الربهان‪.‬‬ ‫‪ -2‬يقول عبد اللـه‪:‬‬

‫افر�ض �أن ‪x = y‬‬ ‫ ‬ ‫ا�رضب كل طرف من الطرفني يف ‪ x‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫اطرح ‪ y‬من كل طرف من الطرفني ‬ ‫ ‬ ‫حلل كل طرف �إىل عوامله ‬ ‫ ‬ ‫اق�سم كال الطرفني على (‪ )x-y‬‬ ‫ ‬ ‫ �إذا كانت ‪ ،x = 1‬ف�إن ‪ ،y = 1‬وبالتعوي�ض يف املعادلة ‬ ‫ ‬

‫‪x=y‬‬ ‫‪x = xy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x -y = xy - y2‬‬ ‫)‪(x + y) (x - y) = y(x-y‬‬ ‫‪x +y = y‬‬ ‫‪1 +1 =1‬‬ ‫ف�إن ‪2 = 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ا�ستخدم اال�ستدالل الريا�ضي لإثبات خط�أ هذا الربهان‪.‬‬ ‫‪ -3‬كيف يمكنك التفريق بين (ا�ستخدام) المنطق الريا�ضي واال�ستدالل الريا�ضي لإثبات خط�أ عبارة ما؟‬

‫‪14‬‬


‫الن�شاط الرابع‬ ‫�أ�شكال ِفن البيانية‬ ‫ومو�ضح عليها المناطق الثمانية‪ ،‬من ‪� 1‬إلى ‪.8‬‬ ‫�إليك �أ�شكال فن لثالث مجموعات ‪،C ،B ،A‬‬ ‫َّ‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ -1‬اكتب الرموز الدالة على كل منطقة من ‪� 1‬إلى ‪ 8‬م�ستخدم ًا الرموز ‪ ،∪ ،∩ ،C، B، A‬و ‘‪.‬‬ ‫كون جدو ًال لكل منطقة با�ستخدام العالقة بين المجموعات ‪.C ،B ،A‬‬ ‫‪ّ -2‬‬ ‫‪ -3‬اختر �إحدى المناطق‪ ،‬مثل المنطقة ‪.1‬‬ ‫ ‬

‫كون جدول ال�صواب با�ستخدام الرموز التي ا�ستخدمت في الإجابة على ال�س�ؤال ‪.1‬‬ ‫ّ‬

‫‪ -4‬هل تتفق القيم الموجودة في جداول ال�صواب الخا�صة بال�س�ؤالين ‪ 3‬و‪ 4‬مع القيم المقابلة لها في جدول ال�صواب‬ ‫الخا�ص بال�س�ؤال ‪2‬؟ و�إذا كانت تتفق‪ ،‬فهل هذا يعني �أن �إجابتك عن ال�س�ؤال الأول �صحيحة؟‬

‫‪15‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫الم�ستقيمات المتوازية‬

‫‪16‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫ •تو�سيع فهم الم�ستقيمات المتوازية‬ ‫ •زيادة الإدراك بالم�ستقيمات المتوازية في الأ�شكال الهند�سية‬ ‫ •القدرة على ا�ستعمال الفرق في الإحداثيات لح�ساب الم�سافات‬

‫الن�شاط الأول‬ ‫الأ�شكال المتوازية‬ ‫‪� -1‬إليك مثل ًثا متطابق الأ�ضالع‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫ �إذا ر�سم خط م�ستقيم موازٍ ل ـِ ‪ ،AB‬و�آخر موازٍ ل ـِ ‪ ،BC‬وثالث موازٍ ل ـِ ‪� ،AC‬سوف يتكون مثلث جديد‪� ،‬إال �إذا تقاطعت‬ ‫هذه الخطوط الثالث في النقطة نف�سها‪.‬‬ ‫‪ )a‬جرب هذا �أكثرمن مرة وتحقق من �صحته‪.‬‬ ‫‪ )b‬هل لجميع المثلثات الأبعاد نف�سها التي للمثلث الأ�صلي؟‬ ‫‪ )c‬هل المثلثات الجديدة جميعها متطابقة الأ�ضالع؟‬ ‫‪ )d‬هل المثلثات الناتجة من ر�سم م�ستقيمات موازية لأ�ضالع المثلث المتطابق الأ�ضالع �ستكون متطابقة الأ�ضالع �أي�ض ًا؟‬ ‫و�ضح كيف عرفت‪.‬‬ ‫‪� -2‬أعد تطبيق الن�شاط مع مثلث متطابق ال�ضلعين‪ ،‬هل تح�صل دائم ًا على مثلث متطابق ال�ضلعين قيا�سات زواياه هي‬ ‫قيا�سات زوايا المثلث الأ�صلي نف�سها؟‬ ‫‪ -3‬كرر الن�شاط ال�سابق بمثلث مختلف الأ�ضالع‪ ،‬هل تت�ساوى قيا�سات زوايا المثلثات الجديدة مع قيا�سات الزوايا في‬ ‫المثلث الأ�صلي بغ�ض النظر عن مقا�س المثلث؟‬ ‫‪ -4‬الآن‪ ،‬ابد�أ بمربع‪ ،‬هل تح�صل على مربعات �أخرى؟ متى تح�صل على مربعات؟‬ ‫‪ -5‬الآن‪ ،‬ابد�أ بخما�سي منتظم‪ .‬ماذا �سيحدث؟‬ ‫‪17‬‬


‫الن�شاط الثاني‬ ‫الم�ستقيمات المتوازية في الأ�شكال الهند�سية‬ ‫في هذه الأ�سئلة‪ ،‬يجب عليك ا�ستخدام قيم الزوايا المكتوبة في الر�سم‪ ،‬ولي�س القيا�سات الحقيقية‪.‬‬ ‫و�ضح كيف عرفت‪.‬‬ ‫‪ -1‬في هذا ال�شكل الخما�سي المحدب‪ ،‬هل ‪ BC‬يوازي ‪DE‬؟ ِّ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪130°‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪120°‬‬

‫‪120°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪C‬‬

‫الر�سم غير دقيق‬

‫‪D‬‬

‫‪� -2‬إذا قمنا بمد �أ�ضالع الخما�سي في االتجاهين ف�إننا نح�صل على �شكل النجمة‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ )a‬ق�س الزوايا الداخلية ‪ E ،D ،C ،B ،A‬لهذا ال�شكل �أو ل�شكل م�شابه‪.‬‬ ‫ما مجموع هذه الزوايا؟‬ ‫ ‬

‫‪18‬‬

‫أ�ضالعا متوازية‪ ،‬فهل يت�ساوى مجموع زواياه الداخلية مع‬ ‫‪� )b‬إذا مدت �أ�ضالع �أي �شكل خما�سي محدب �آخر ال يحوي � ً‬ ‫مجموع الزوايا الداخلية لل�شكل �أعاله؟‬


‫ ‬

‫‪� )c‬إذا تم َمد �أ�ضالع ال�شكل في ال� س�ؤال ‪ ،1‬فكم عدد النقاط المتكونة؟‬ ‫وما مجموع الزوايا الداخلية الناتجة عند تلك النقاط؟‬

‫‪ )d‬هل مجموع الزوايا الناتجة من َمد �أ�ضالع ال�شكل الخما�سي ال�سابق لها المجموع نف�سه لكل �شكل خما�سي م�شابه له‬ ‫يحوي عدداً من الأ�ضالع المتوازية‪.‬‬ ‫‪ -3‬في ال�شكل ال�سدا�سي التالي‪:‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪135°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪135°‬‬ ‫‪90°‬‬

‫‪90°‬‬ ‫‪130°‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪140°‬‬

‫‪F‬‬

‫الر�سم غير دقيق‬

‫‪E‬‬

‫‪ )a‬هل الم�ستقيمان ‪ AB‬و‪ DE‬متوازيتان؟ ف�سر كيف عرفت‪.‬‬ ‫‪ )b‬هل الم�ستقيمان ‪ BC‬و‪ EF‬متوازيتان؟ ف�سر كيف عرفت‪.‬‬ ‫‪ )c‬هل الم�ستقيمان ‪ CD‬و‪ AF‬متوازيتان؟ ف�سر كيف عرفت‪.‬‬

‫‪19‬‬


‫الن�شاط الثالث‬ ‫متـوازي الأ�ضـالع‬ Activity 2 .‫متوازي الأ�ضالع هو �شكل رباعي فيه كل �ضلعين متقابلين متوازيين‬ Parallelograms

.‫المربع والم�ستطيل والمعين كلها حاالت خا�صة من متوازي الأ�ضالع‬

Parallelograms are quadrilaterals in which both pairs of opposite sides are parallel.

.BC‫ و‬AD ‫ ي�ساوي طول كل من‬AE ‫ وطول الخط‬،‫ م�ستقيم في ال�شكل التالي‬CDE -1 Squares and rectangles and rhombuses are special cases of parallelograms.

.‫ متوازي �أ�ضالع؟ و�ضح تف�سير �إجابتك‬ABCD ‫هل ال�شكل‬

1.

A In this figure, CDE is a straight line, and AE is equal in length to AD and to BC. B Is ABCD a parallelogram? Explain how you know. A

105°

B

105°

Not drawn

‫الر�سم غير دقيق‬

accurately

75° 75°

E

D

E

C

D C

2.

:‫ نقاط في الم�ستوى الإحداثي‬4 ‫ �إليك‬-2

Here are four points on a coordinate grid.

y (24, 19) (5, 16)

(17, 10)

(–2, 7)

x a.

Do they form a parallelogram? Explain how you know.

b.

Can you tell if these sets of coordinates would form a parallelogram, without putting them on grid? Can you visualise them and explain their position?

.‫) هل ت�شكل النقاط متوازي �أ�ضالع؟ و�ضح �إجابتك‬a

‫) هل يمكنك تحديد �إذا كانت الإحداثيات التالية تمثل متوازي �أ�ضالع دون تمثيلها على الم�ستوى الإحداثي؟ هل يمكنك‬b ‫ر�سمها؟‬ ‫تكوين �صورة ذهنية هذه النقاط‬ (i) (7, 5) (8, 11) ‫مواقعها دون‬ (9, 6) ‫و�شرح‬ (6, 10) (ii)

20

(8, 3)

(10, 10)

)10 ,6( )5 ,10(

(8, 7)

(10, 5)

) 6 ,9( )7 ,8(

) 11 ,8( )10 ,10(

) 5 ,7( ) 1( )3 ,8( )2( 20


.3 3.

y

(48, 59) (–36, 47)

x

‫الر�سم غير دقيق‬

(–20, –80) Not drawn accurately

.‫تكون متوازي �أ�ضالع؟ اكتب الإجابات الثالث الممكنة جميعها‬ ِّ ‫) ما �إحداثيات النقطة الرابعة التي‬a ‫مدعمة‬ ‫و�ضح‬ � ‫ متوازي‬of ‫ال�شكل‬ ‫الرابعة‬that ‫النقطة‬ ‫لإيجاد‬a ‫طريقة‬ ‫ ِ�ص ف‬،‫نقاط‬ ‫ثالث‬ � )b a. ‫طريقتك‬ What are the.‫أ�ضالع‬ coordinates the ‫لي�صبح‬ fourth point will form parallelogram with the‫أعطيت‬ three� ‫إذا‬ given .‫بالأمثلة‬ points? Give all three possible answers.

b.

21

escribe a method for finding the coordinates of a point that forms a parallelogram with three given points. D Illustrate your method with an example.


‫الن�شاط الرابع‬ Activity 4 Squares on a grid ‫المربعات في الم�ستوى الإحداثي‬

When two pairs of parallel lines are perpendicular, a rectangle is formed. If the p ‫البعد العمودي بين الم�ستقيمات‬ ‫�إذا تعامد زوجان من الم�ستقيمات المتوازية ف�إن ال�شكل الناتج يكون‬ ُ ‫ �إذا كان‬.‫م�ستطيال‬ perpendicular distance between them, it is a square. .‫ ف�إننا نح�صل على مربع‬،‫مت�ساويا‬ ‫المتوازية‬ ً

1.

Draw a pair of parallel lines and measure the perpendicular distance betwe another pair of parallel lines with the same perpendicular distance between of lines are perpendicular to each other.

‫البعد بينهما ي�ساوي البعد بين‬ ُ ‫ ثم ار�سم م�ستقيمين �آخرين متوازيين‬،‫البعد بينهما‬ ُ ‫ ار�سم م�ستقيمين متوازيين وق�س‬-1 .‫الم�ستقيمين ال�سابقين ويكونا متعامدين على الم�ستقيمين ال�سابقين‬ This will form a square.

.‫نح�صل بذلك على مربع‬

‫ما م�ساحة المربع المتكون؟‬

What is the area of the square that they form? 2.

x =3

-2

x =8

y y =9

y =4 x a.

What are the coordinates of the vertices of this square?

b.

What is the area of the square?

3.

How can you express the coordinates of the vertices of a square that has and which is made from horizontal and vertical parallel lines.

‫) ما �إحداثيات ر�ؤو�س هذا المربع؟‬a ‫) ما م�ساحة المربع؟‬b

‫ومكون من م�ستقيمين �أفقيين متوازيين‬ ‫ وحدة مربعة‬100 ‫ كيف يمكنك و�صف �إحداثيات ر�ؤو�س مربع م�ساحته‬-3 ّ ‫وم�ستقيمين ر�أ�سيين متوازيين؟‬

22

22


‫‪ -4‬ما م�ساحة المربع؟‬ ‫?‪What is the area of this square‬‬

‫‪4.‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪(5, 9‬‬

‫ )‪(9, 6‬‬ ‫)‪(2, 5‬‬

‫)‪(6, 2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪Give the coordinates of the vertices of a square made from parallel lines that ar‬‬ ‫‪vertical, and which has an area of 100 square units.‬‬

‫‪5.‬‬

‫‪ -5‬اكتب �إحداثيات ر�ؤو�س مربع مكون من م�ستقيمات متوازية لي�ست ر�أ�سية �أو �أفقية‪ ،‬وم�ساحته ‪ 100‬وحدة مربعة‪.‬‬

‫‪6a. U‬‬ ‫‪ sing parallel lines that are not horizontal or vertical, draw some different squar‬‬ ‫‪on grid‬‬ ‫‪intersections.‬‬ ‫‪their‬على تقاطعات �شبكة الم�ستوى الإحداثي با�ستخدام‬ ‫‪vertices‬ؤو�سها‬ ‫بحيث تقع ر�‬ ‫إحداثي‬ ‫‪�6‬أ‪ -‬ار�سم مربعات مختلفة في الم�ستوى ال‬

‫م�ستقيمات متوازية لي�ست �أفقية وال ر�أ�سية‪.‬‬

‫‪Explain how you can be sure they are square.‬‬

‫‪b.‬‬

‫‪ )b‬و�ضح كيف يمكنك الت�أكد من �أنها مربعات‪.‬‬ ‫?‪How do you know that the parallel lines are parallel‬‬

‫)‪(i‬‬

‫‪ِ that the two‬‬ ‫متوازي ٌة‬ ‫الم�ستقيمات‬ ‫من � ّأن‬ ‫التحقق‬ ‫(‪ )1‬كيف يمكنك‬ ‫المتوازي َ‬ ‫‪How‬فع ً‬ ‫ال؟)‪(ii‬‬ ‫‪you‬ة ‪do‬‬ ‫‪know‬‬ ‫‪pairs‬‬ ‫‪are perpendicular‬‬ ‫?‪to each other‬‬

‫بع�ضا؟‬ ‫عمودية على‬ ‫الم�ستقيمات‬ ‫مجموعتي �‬ ‫معرفة �أن‬ ‫‪perpendicular‬كيف‬ ‫(‪ )2‬‬ ‫‪How do‬‬ ‫أزواج‪you know‬‬ ‫‪that‬‬ ‫‪the two pairs‬‬ ‫يمكنك‪have‬‬ ‫‪the same‬‬ ‫‪distance as‬‬ ‫)‪ (iii‬بع�ضها ً‬ ‫(‪ )3‬كيف يمكنك معرفة �أن مجموعات الم�ستقيمات لهما البعد العمودي نف�سه عن بع�ضها؟‬ ‫‪Work out the areas of the squares you have made.‬‬

‫‪c.‬‬

‫‪ )c‬اح�سب م�ساحة المربعات التي ح�صلت عليها‪.‬‬

‫‪Give the coordinates of the vertices of a square that has an area of 10 square u‬‬

‫‪7.‬‬

‫‪ -7‬اكتب �إحداثيات ر�ؤو�س المربع الذي م�ساحته ‪10‬وحدات مربعة‪.‬‬

‫‪Only some squares with whole number unit areas can be made by joining coord‬‬ ‫‪example an area of 2 is possible, but an area of 3 is not.‬‬

‫وتتكون من تو�صيل النقاط على‬ ‫ ال يمكن الح�صول �سوى على عدد محدود من المربعات التي م�ساحتها �أعداد كلية‬ ‫َّ‬ ‫مربع ‪8.‬‬ ‫‪ When making squares on grids where the vertices are grid intersections, which‬‬ ‫م�ساحته ‪ ،2‬ولكن ال يمكن الح�صول على مربع‬ ‫الم�ستوى الإحداثي‪ .‬فعلى �سبيل المثال‪ ،‬يمكن الح�صول على‬ ‫‪possible, and which are not? Explain why others are not possible.‬‬ ‫م�ساحته ‪.3‬‬ ‫‪ -8‬عند عمل مربعات في الم�ستوى الإحداثي بحيث تكون ر�ؤو�سها عند تقاطعات الم�ستقيمات المكونة للم�ستوى‪ ،‬ما‬ ‫القيم الممكنة لوحدات الم�ساحة (حتى ‪ 20‬قيمة)‪ ،‬وما هي القيم غير الممكنة؟ و�ضح لماذا هناك قيم غير ممكنة‪.‬‬ ‫‪23‬‬


‫الوحدة الرابعة‬ ‫ميل الخط الم�ستقيم ومعادالته‬

‫‪24‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬

About this unit

Unit learning objectives ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ About this unit • Deeper understanding of line equations and their relationship to slopes and intercepts

.‫ •تعميق فهم معادالت الم�ستقيم وعالقتها بالميل والتقاطع‬

Unit learning objectives

Activity 1 Where lines meet

‫الن�شاط الأول‬ ‫تقاطع الم�ستقيمات‬

• Deeper understanding of line equations and their relationship to slopes and intercepts

1.

Activity 1 Differentlines line segments Where meet can be formed by joining up these points.

1.

Different line segments can be formed by joining up these points.

Two of the line segments, when extended, go through the origin.

‫بنقطة‬ ‫يمران‬ ‫ وعند تمديد جزءان منها ف�إنهما‬.‫ يمكن تكوين �أجزاء مختلفة من خط واحد بتو�صيل النقاط الآتية‬-1 Two of the line segments, when extended, go through the origin. .‫الأ�صل‬ direction yy‫االتجاه‬ (60, 48)

y direction

(63, 45) (60, 48) (64, 40) (63, 45) (49, 35)

(64, 40)

(50, 32) (48, 30) (49, 35)

x ‫االتجاه‬ x direction

a.

Which pairs of points (50, are on 32)lines that go through the origin?

b.

(48, 30)of these two lines? What are the equations

a. 2.

‫ما معادلة كل منهما؟‬ Which pairs of points are on lines that go through the origin? Here are four points. Each pair of points is on a line, making six lines altogether.

b.

are the equations of these two lines? yWhat direction

2.

Here are four points. Each pair of points is on a line, making six lines altogether.

‫) ما النقطتان من هذه النقاط تقعان على الم�ستقيمين اللذين يمران بنقطة الأ�صل؟‬a x direction

)b

.‫ م�ستقيمات في الإجمالي‬6 ‫ ومكونة‬،‫(على م�ستقيم‬64, ‫تقع‬18) ‫ كل نقطتين منها‬،‫ نقاط‬4 ‫ �إليك‬-2 (40, 16)

yy‫االتجاه‬ direction

(64, 18) (40, 16) (32, 10)

(64, 10)

(32, 10)

(64, 10)

x direction a.

What are the equations of the six lines?

b. Apart from the point (64,10) which are the other three coordinates of the points where the lines meet? a.

What are the equations of the six lines?

x ‫االتجاه‬ x direction

‫) ما معادالت الم�ستقيمات ال�ستة؟‬a

b. Apart from the point (64,10) which are the other three coordinates of the points where the lines meet?

25

25

‫ ما �إحداثيات النقاط الثالث التي تلتقي فيها الم�ستقيمات؟‬،)64, 10( ‫) بخالف النقطة‬b

25


‫الن�شاط الثاني‬ ‫�إزاحة الم�ستقيمات‬ ‫يبين ال�شكل نقطة على الم�ستقيم الغامق‪� ،‬أزيحت �إلى نقطة مقابلة لها على الم�ستقيم الموازي المنقط‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬

‫يمكن �إجراء �إزاحة لم�ستقيم بهذه الطريقة عن طريق �إزاحة كل نقطة من نقاطه بمقدار عدد�أ من الوحدات في االتجاه‪، x‬‬ ‫مث ًال ‪ ،a‬وعدداً �آخر من الوحدات في االتجاه ‪ ،y‬مث ًال ‪ .b‬ويمكن التعبير عن ذلك بالرمز ) ‪.T( a‬‬ ‫فمث ًال‪� ،‬إذا كانت معادلة الم�ستقيم هي ‪ ،y = -x + 1‬ف�إن �صورة النقطة (‪ )0, 1‬بت�أثير الإزاحة (‪T)2, 5‬‬ ‫ت�صبح (‪.)2, 6( = )5 + 1 ،2 + 0‬‬ ‫‪� )a1‬إذا �أجرينا �إزاحة للم�ستقيم ‪ y = 2x + 1‬بنقل كل نقطة مقدار وحدتين في االتجاه ‪ ،x‬وثالث وحدات في االتجاه ‪� ،y‬أي‬ ‫بالإزاحة ‪.)2, 3(T‬‬ ‫ ‬

‫فما معادلة الم�ستقيم بعد الإزاحة؟‬ ‫‪� )b‬إذا �أجرينا الإزاحة ‪ )3, 5(T‬للم�ستقيم ‪ ،y = 2x + 1‬فما معادلة الم�ستقيم بعد الإزاحة؟‬ ‫‪� )c‬أوجد �إزاحتين تنقالن الم�ستقيم ‪� y = 2x + 1‬إلى �صورته في الإزاحة ال�سابقة‪.‬‬ ‫‪ )d‬ما القاعدة العامة للإزاحة التي تكون �صورة الم�ستقيم ‪ y = 2x + 1‬عندها هي نف�سها؟‬

‫‪26‬‬


‫‪� )a2‬أوجد ثالثة �إزاحات تجعل � ًّأيا من الم�ستقيمين ‪� y = -3x + 2 ،y = -3 x + 4‬صورة للآخ ر‪.‬‬ ‫‪ )b‬ما القاعدة العامة لتلك الإزاحات؟‬ ‫‪� )a3‬أوجد �إزاحتين تنقالن الم�ستقيم ‪� y = 5x + 5‬إلى نف�سه‪.‬‬ ‫‪ )b‬ما قاعدة الإزاحة العامة التي تنقل هذا الم�ستقيم �إلى نف�سه؟‬ ‫‪ )c‬ما قاعدة الإزاحة العامة التي تنقل الم�ستقيم ‪� y = mx + c‬إلى نف�سه؟‬ ‫‪ -4‬ما قاعدة الإزاحة العامة التي تنقل الم�ستقيم ‪� y = mx + c‬إلى نف�سه؟‬

‫‪27‬‬


‫الن�شاط الثالث‬ ‫�إن�شاء مثلثات من م�ستقيمات‬ ‫�سوف يتكون مثلث من �أية ثالثة م�ستقيمات في الم�ستوى نف�سه‪ ،‬وذلك ما لم يكن اثنان من الم�ستقيمات متوازيين‪� ،‬أو‬ ‫تالقت جميعها في نقطة واحدة‪.‬‬ ‫‪ )a1‬ما ر�ؤو�س المثلث الناتج من الم�ستقيمات الثالثة الآتية؟‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫‪y=x+1‬‬

‫‪ y = 2x + 1‬‬

‫‪y = 3x – 1‬‬

‫‪ )b‬اكتب معادلة م�ستقيم ال ي�شكل مثلث ًا مع الم�ستقيمين الآتيين‪:‬‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫‪y = x +2‬‬

‫‪y = 2x + 2‬‬

‫تكون الم�ستقيمات الثالثة الآتية مثل ًثا؟ و�ضح كيف عرفت ذلك‪.‬‬ ‫‪ )c‬هل ّ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫‪y=x+6‬‬

‫‪ y = 2x + 2‬‬

‫‪y = 3x – 2‬‬

‫‪ )a2‬هل ت�شكل الم�ستقيمات الثالثة الآتية مثل ًثا قائم الزاوية؟ و�ضح كيف عرفت ذلك‪.‬‬ ‫ ‬ ‫(‪y = x + 4 )1‬‬

‫‪ y = 2x + 2‬‬

‫‪y=6 – x‬‬

‫ ‬ ‫(‪y = x + 4 )2‬‬

‫‪ y = 2x + 2‬‬

‫‪y=8 – x‬‬

‫ ‬ ‫(‪y = x + 4 )3‬‬

‫‪ y = 2x + 2‬‬

‫‪y = 10 – x‬‬

‫‪ ) b‬لكل م�ستقيمين من الم�ستقيمات الآتية اكتب معادلة م�ستقيم ثالث بحيث ت�شكل الم�ستقيمات الثالثة مثل ًثا قائم‬ ‫الزاوية‪.‬‬ ‫في كل حالة‪� ،‬أوجد �إحداثيات ر�ؤو�س المثلثات التي ح�صلت عليها‪.‬‬ ‫ ‬ ‫هل هناك � ّأي ا�ستثناءات؟‬ ‫ ‬

‫‪28‬‬

‫ ‬ ‫(‪y = x + 5 )1‬‬

‫‪y = 5x + 5‬‬

‫ ‬ ‫(‪y = x – 2 )2‬‬

‫‪y = 1 – 2x‬‬


‫الن�شاط الرابع‬ ‫الم�سافة الهند�سية‬ ‫أعدادا �صحيحة تبعد ‪ 5‬وحدات عن نقطة الأ�صل‪.‬‬ ‫اكتب النقاط جميعها بحيث تكون �إحداثياتها � ً‬ ‫‪ )a2‬بالن�سبة للم�ستقيمين ‪ y = 2x‬و ‪� y = 3x‬أوجد‪:‬‬ ‫(‪ )1‬قيمة ‪ x‬التي تجعل الم�سافة الر�أ�سية بين الم�ستقيمين ت�ساوي ‪ 10‬وحدات‪.‬‬ ‫(‪ )2‬قيمة ‪ y‬التي تجعل الم�سافة الأفقية بين الم�ستقيمين ت�ساوي ‪ 10‬وحدات‬

‫ ‬

‫‪ُ )b‬ر�سم م�ستقيمان يمران بنقطة الأ�صل‪� .‬أحدهما ‪ ،y = 2x‬والم�سافة الأفقية بينهما ‪ 40‬وحدة عندما ‪.y = 100‬‬ ‫ما معادلة الم�ستقيم الثاني؟ (هناك حالن ممكنان)‬

‫‪ -3‬اثبت �أن الم�سافة العمودية ‪ d‬بين الم�ستقيمين المتوازيين ‪ y = 2x‬و ‪y = 2x + c‬‬ ‫ ‬

‫يمكن التعبير عنها بالعالقة ‪.d = 0.8 c‬‬

‫‪� -4‬أوجد �أق�صر م�سافة ممكنة بين ك ّل م�ستقيمين من الم�ستقيمات المتوازية الآتية‪:‬‬ ‫‪ y = x )a‬و ‪y = x + 1‬‬ ‫‪ y = x )b‬و ‪y = x + 2‬‬ ‫‪ y = x )c‬و‪) c > 0( ، y = x + c‬‬ ‫‪ y = x + c )d‬و ‪)d > c( ،y = x + d‬‬ ‫"‪� -5‬إذا كانت الم�سافة الر�أ�سية بين الم�ستقيمين ‪ y = mx - 2‬و ‪،y = -2x + c‬‬ ‫ت�ساوي ‪ 5‬وحدات عندما ‪ ،x = 2‬وت�ساوي ‪ 40‬وحدة عندما‪ ، x = 7‬ف�أوجد‪:‬‬ ‫ ‬ ‫(‪ )1‬قيمتي الثابتين ‪ c‬و ‪.m‬‬ ‫(‪ )2‬ح ًال �آخر لقيمتي الثابتين ‪ c‬و ‪.m‬‬

‫‪29‬‬


‫الوحدة الخام�سة‬ ‫تطابق المث ّلثات‬

‫‪30‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫ريا�ضية‬ ‫ •اكت�ساب القدرة على تطبيق المعرفة ال�سابقة عن التطابق على مهام و�أن�شطة‬ ‫ّ‬ ‫ •زيادة فهم كيفية �صياغة براهين التطابق‬ ‫ •الفهم المتعمق ل�شروط التطابق‬

‫الن�شاط الأول‬ ‫العالقات بين �أنواع المثلثات‬ ‫يوجد �س ّتة �أ�سما ٍء لأنواع المثلثات‪:‬‬

‫(حاد الزوايا‪ ،‬منفرج الزاوية‪ ،‬قائم الزاوية)‪.‬‬ ‫ •ثالثة منها بداللة الزاوية ّ‬

‫ •وثالثة بداللة الأ�ضالع (مختلف الأ�ضالع‪ ،‬متطابق ال�ضلعين‪ ،‬متطابق الأ�ضالع)‬ ‫‪ -1‬اكتب �أكبر ٍ‬ ‫عدد ممكن من العبارات ال�صحيحة التي تربط بين �أنواع المثلثات بح�سب زواياها و�أ�ضالعها م�ستعم ًال‬ ‫الكلمات "جميع"‪" ،‬بع�ض"‪" ،‬ال يوجد"‪ .‬وفيما يلي ثالثة �أمثلة‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫حادة الزوايا‪.‬‬ ‫المثلثات المتطابقة الأ�ضالع جميعها تكون مثلثات ّ‬

‫بع�ض المثلثات قائمة الزاوية تكون مثلثات مختلفة الأ�ضالع‪.‬‬

‫ ال يوجد مثلث منفرج الزاوية ومتطابق الأ�ضالع‪.‬‬ ‫‪ -2‬احذف "العبارات ال�ضعيفة" في �إجابتك عن ال� س�ؤال ‪ .1‬ومن الأمثلة على "العبارات ال�ضعيفة" العبارة "بع�ض‬ ‫زوجية"‪ .‬ومع �أن هذه العبارة �صحيحة‪� ،‬إ ّال �أن العبارة "م�ضاعفات العدد ‪ 4‬جميعها �أعداد‬ ‫م�ضاعفات العدد ‪� 4‬أعداد‬ ‫ّ‬ ‫أي�ضا وتعتبر عبارة �أقوى‪.‬‬ ‫زوجية" �صحيحة � ً‬ ‫ّ‬ ‫منا�سبا (قائمة �أو جدول �أو م�صفوفة) لتعر�ض العبارات ال�صحيحة‪.‬‬ ‫�صمم تمثي ًال‬ ‫‪ -3‬‬ ‫ً‬ ‫ّ‬

‫الن�شاط الثاني‬ ‫المثلثات ذات الزوايا بالن�سبة ‪n : n + 1 : n + 2‬‬ ‫‪ -1‬ما قيا�سات زوايا مثلث الن�سبة بين قيا�ساتها ‪1 : 2 : 3‬؟‬ ‫‪ -2‬ما قيا�سات زوايا مثلث الن�سبة بين قيا�ساتها ‪2 : 3 : 4‬؟‬ ‫‪ -3‬اكتب جميع زوايا المثلثات التي تكون الن�سبة بين قيا�ساتها ‪.n: n + 1: n + 2‬‬ ‫‪� -4‬أكتب �أكبر ٍ‬ ‫اعتمادا على نتائجك ال�سابقة‪.‬‬ ‫عدد ممكن من خ�صائ�ص المثلثات‬ ‫ً‬ ‫‪ -5‬حاول برهنة الخ�صائ�ص التي الحظتها‪.‬‬

‫‪31‬‬


‫الن�شاط الثالث‬ ‫تجزئة المثلث �إلى مثلثات متطابقة‬ ‫وعين نقطة المنت�صف لكل �ضلع فيه (‪ِ .)F ،E ،D‬‬ ‫و�ص ْل بين كل نقطتين منها لت�شكل �أربعة‬ ‫‪ -1‬ار�سم المثلث ‪ّ ،CBA‬‬ ‫مثلثات داخل المثلث الأ�صلي‪.‬‬ ‫‪� -2‬أثبت �أن المثلثات الأربعة ‪ DFE ،DEB ،FCE ،AFD‬المر�سومة داخل المثلث الأ�صلي متطابقة‪.‬‬

‫الن�شاط الرابع‬ ‫المثلثات الم�شتركة ب�ضلع‬ ‫يبين ال�شكل الآتي مثلثين م�شتركين في �ضلع‪ ،‬هما المثلث ‪ ABD‬و‪.BCD‬‬ ‫ّ‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪� -1‬إذا كان قيا�س الزاوية ‪ ABD‬ي�ساوي قيا�س الزاوية ‪ ،DBC‬و‪ AD‬ي�ساوي ‪ .DC‬ف�أي العبارات الآتية �صحيحة؟‬ ‫‪ )a‬المثلثان ‪ ABD‬و‪ BCD‬غير متطابقين‪.‬‬ ‫‪ )b‬قد يتطابق المثلثان ‪ ABD‬و‪.BCD‬‬ ‫حتما‪.‬‬ ‫‪ )c‬المثلثان ‪ ABD‬و‪ BCD‬متطابقان ً‬ ‫ار�سم �شك ًال دقي ًقا ي�ؤكد �إجابتك‪.‬‬

‫‪32‬‬


‫‪ -2‬افر�ض الآن �أن المعلومة الوحيدة لدينا حول المثلثين هي �أن قيا�سات الزوايا الثالث (‪ ،y‬و ‪ x‬و ‪ )z‬في المثلث ‪BCD‬‬ ‫ت�ساوي قيا�سات الزوايا الثالث في المثلث ‪� .BDA‬أي ‪ ،x‬و‪ ،y‬و ‪.z‬‬ ‫‪ )a‬ما عدد الطرق المختلفة لترتيب الزوايا ‪ ،x‬و‪ ،y‬و ‪ z‬في المثلث ‪BCD‬؟ وفيما يلي مثال على ذلك‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪x‬‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪A‬‬

‫‪z‬‬

‫‪B‬‬

‫زوجا مختل ًفا من المثلثات‪.‬‬ ‫‪ )b‬كل طريقة لترتيب الزوايا تعطي ً‬

‫ ‬

‫فما ال�شروط التي تجعل �أزواج المثلثات مت�شابهة؟ وما ال�شروط التي تجعل �أزواج المثلثات متطابقة؟‬

‫ ‬

‫برر �إجابتك‪.‬‬ ‫ّ‬

‫الن�شاط الخام�س‬ ‫�شروط التطابق المتعلقة بالم�ساحات‬ ‫المثلثان المتطابقان لهما الم�ساحة نف�سها‪� ،‬أما المثلثان اللذان لهما الم�ساحة نف�سها فلي�س بال�ضرورة �أن يكونا‬ ‫متطابقين‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫�صحة العبارة ال�سابقة‪.‬‬ ‫‪ -1‬‬ ‫هات مثا ًال يدعم ّ‬ ‫�شرطا للتطابق‪.‬‬ ‫‪ -2‬حدد � ّأي العبارات في ال�صفحتين الآتيتين تمثل ً‬ ‫ ‬

‫وفي كل حالة‪� ،‬إذا كانت ال�شروط لي�ست كافية للتطابق‪ ،‬ف� ِ‬ ‫يبين �أنها لي�ست كافية‪.‬‬ ‫أعط‬ ‫تبريرا �أو مثا ًال ّ‬ ‫ً‬

‫ ‬

‫و�إذا اعتقدت �أنها كافية فبرر ذلك‪.‬‬ ‫‪ )a‬المثلثان مت�ساويان في الم�ساحة‪ ،‬وقيا�سا زاويتين في �أحدهما ي�ساويان قيا�سي زاويتين في المثلث الآخ ر‪.‬‬ ‫‪ )b‬المثلثان مت�ساويان في الم�ساحة‪ ،‬وطوال �ضلعين في �أحدهما ي�ساويان طولي �ضلعين في المثلث الآخ ر‪.‬‬

‫‪33‬‬


‫‪ )c‬المثلثان مت�ساويان في الم�ساحة‪ ،‬وقيا�سا �ضلع وزاوية مجاورة له في �أحدهما ي�ساويا قيا�سي �ضلع وزاوية مجاورة‬ ‫له في المثلث الآخ ر‪.‬‬ ‫‪ )d‬المثلثان مت�ساويان في الم�ساحة‪ .‬وقيا�سا �ضلع والزاوية المقابلة له في �أحدهما ي�ساويا قيا�سي �ضلع والزاوية‬ ‫المقابلة له في المثلث الآخ ر‪.‬‬ ‫‪ )3‬هل كل مثلثين لهما الم�ساحة نف�سها والمحيط نف�سه متطابقان؟‬ ‫تبريرا‪� ،‬أو � ِ‬ ‫يبين �أ ّنهما لي�سا متطابقين بال�ضرورة‪ .‬و�إن اعتقدت �أنهما متطابقان‪،‬‬ ‫فقدم‬ ‫ �إن كان الجواب ال‪ّ ،‬‬ ‫أعط مثا ًال ّ‬ ‫ً‬ ‫تبريرا لذلك‪.‬‬ ‫فقدم‬ ‫ّ‬ ‫ً‬

‫الن�شاط ال�ساد�س‬ ‫التحويالت الهند�سية للمثلثات‬ ‫يبين ال�شكل �أدناه المثلث ‪ ،T1‬ور�ؤو�سه هي‪ :‬نقطة الأ�صل‪ ،‬و (‪ )1, 3‬و (‪.)4, 0‬‬ ‫ّ‬

‫أفقية ويطابق المثلث ‪� .T1‬أما المثلث ‪ T2‬فهو ناتج �إزاحة المثلث ‪.T1‬‬ ‫والمثلث المن ّقط ‪ T2‬قاعدته � ّ‬ ‫(‪)1, 3‬‬ ‫‪31‬‬

‫‪T2‬‬ ‫‪2T‬‬

‫‪y‬‬

‫‪T1‬‬ ‫‪1T‬‬ ‫‪x‬‬

‫(‪)4, 0‬‬ ‫‪04‬‬

‫‪� )1a‬أوجد معادالت الم�ستقيمات الثالثة التي ت�شكل �أ�ضالع المثلث ‪.T1‬‬ ‫‪� )b‬إذا �أزيح ر�أ�س المثلث ‪ T1‬الواقع عند نقطة الأ�صل �إلى النقطة (‪ ،)6, 3‬فما �إحداثيات الر�أ�سين الآخرين للمثلث ‪T2‬؟‬ ‫ؤو�سا للمثلث ‪.T2‬‬ ‫‪ )c‬‬ ‫ّ‬ ‫و�ضح لماذا ال يمكن �أن تكون النقاط (‪ ،)25, 2( ،)21, 2‬و (‪ )22, 6‬ر� ً‬ ‫‪� )d‬إذا ُ�س ِح َب ر�أ�س المثلث ‪ T1‬الواقع عند نقطة الأ�صل �إلى النقطة (‪ ،)a, 1‬فاكتب �إحداثيات الر�أ�سين الآخرين للمثلث ‪T2‬‬ ‫بداللة ‪.a‬‬ ‫‪� )e‬إذا وقع ر�أ�سان للمثلث ‪ T2‬على الم�ستقيم ‪ ،y = -x + 15‬ووقع ر�أ�سان على الم�ستقيم ‪ ،y = 1‬فما معادلة الم�ستقيم‬ ‫الثالث الذي يقع عليه ر�أ�سا المثلث ‪.T2‬‬

‫‪34‬‬


‫‪ُ -2‬د ّور المثلث ‪ T1‬بزاوية ‪ 90º‬عك�س اتجاه عقارب ال�ساعة حول نقطة الأ�صل لي�شكل مثلثا ثال ًثا ‪.T3‬‬ ‫‪� )a‬أوجد �إحداثيات ر�ؤو�س المثلث ‪.T­3‬‬ ‫‪� )b‬أوجد ميل كل �ضلع من الأ�ضالع الثالثة للمثلث ‪.T3‬‬ ‫‪ )c‬قارن بين ميل كل �ضلع للمثلث ‪ T3‬بميل ال�ضلع المناظر له في المثلث ‪ T1‬الذي وجدته في ال� س�ؤال ‪ .1‬ما العالقة‬ ‫بين كل ميلين؟‬

‫‪35‬‬


‫الوحدة ال�ساد�سة‬ ‫العالقات في المثلثات‬

‫‪36‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪21‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫ •القدرة على ا�ستعمال الخ�صائ�ص الهند�سية للمثلثات‪ ،‬وتطبيقها في البراهين‪ ،‬وحل الم�سائل‬ ‫ •الألفة بالبرمجيات الهند�سية‪ ،‬والقدرة على �إن�شاء �أ�شكال ذات خ�صائ�ص محددة‬

‫الن�شاط الأول‬ ‫ن�صفة الزوايا‬ ‫الأقطار ُم ِّ‬ ‫ين�صف الزاويتين ‪ ،BAD‬و ‪.BCD‬‬ ‫‪ -1‬القطر ‪ AC‬لل�شكل الرباعي ‪ّ ABCD‬‬ ‫‪ )a‬ما اال�سم الريا�ضي لل�شكل ‪ABCD‬؟‬ ‫ريا�ضيا يثبت �صحة �إجابتك على ال�س�ؤال ‪.a1‬‬ ‫‪ )b‬اكتب برها ًنا‬ ‫ًّ‬ ‫‪ -2‬ين�صف قطرا ال�شكل الرباعي ‪ EFGH‬زوايا الر�ؤو�س الأربعة‪.‬‬ ‫‪ )a‬ما اال�سم الريا�ضي لل�شكل ‪EFGH‬؟‬ ‫ريا�ضيا يثبت �صحة �إجابتك على ال� س�ؤال ‪.a2‬‬ ‫‪ )b‬اكتب برها ًنا‬ ‫ًّ‬

‫الن�شاط الثاني‬ ‫متباينات المثلث‬ ‫‪ -1‬ما مجال القيم الممكنة لمحيط المثلث الآتي؟‬

‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪y‬‬ ‫ال�شكل ال يلتزم بمقيا�س ر�سم‬

‫‪37‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪x‬‬

‫‪5‬‬


‫يبين ال�شكل �أدناه �أطوال �أ�ضالع مثلثين‪ .‬وفي الحالتين ت�أخذ ‪ x‬القيمة نف�سها‪.‬‬ ‫‪ّ -2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪5‬‬ ‫ال�شكل ال يلتزم بمقيا�س ر�سم‬

‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪ )a‬اكتب �أدق متباينة تحققها ‪ x‬في ك ّل مثلث‬ ‫‪ )b‬ما القيمة الوحيدة الممكنة ِلـ ‪ x‬في مجموعة الأعداد ال�صحيحة؟‬ ‫يبين ال�شكل �أدناه �أطوال �أ�ضالع مثلثين‪ .‬وفي الحالتين ت�أخذ ‪ y‬القيمة نف�سها‪.‬‬ ‫‪ّ -3‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ال�شكل ال يلتزم بمقيا�س ر�سم‬

‫‪z‬‬

‫‪ )a‬ما مجال القيم الممكنة ِلـ ‪z‬؟‬ ‫و�ضح تبريرك‪.‬‬ ‫‪ )b‬‬ ‫ّ‬

‫‪38‬‬

‫‪z‬‬


‫‪ -4‬ا�ستعمل متباينة المثلث لإثبات �أنه ال يمكن ر�سم ال�شكل الرباعي �أدناه بالأبعاد المعطاة‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪� -5‬أوجد مجال القيم الممكنة ِلـ ‪ x‬في ال�شكل الرباعي �أدناه‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪39‬‬


‫الن�شاط الثالث‬ ‫حركة الو�سيط‬ ‫ُع ّينت ثالث نقاط هي‪ ،A :‬و‪ B‬و ‪ G‬على الم�ستوى الإحداثي �أدناه‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪G‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫حيث يمثل جزء الخط الم�ستقيم ‪� AB‬أحد �أ�ضالع المثلث‪.‬‬ ‫وتمثل النقطة ‪ G‬مركز المثلث‪.‬‬ ‫‪� -1‬أوجد �إحداثيات الر�أ�س الثالث ‪ c‬للمثلث‪.‬‬ ‫‪� -2‬إذا ُح ّر ِ‬ ‫كت النقطة ‪� G‬إلى موقع �آخر على الم�ستقيم ‪ y = 2‬نف�سه‪ ،‬فما الإحداثيات الجديدة للر�أ�س ‪C‬؟‬ ‫دائما‪.‬‬ ‫‪ّ -3‬‬ ‫و�ضح كيف يمكنك الت� ّأكد من �أن ذلك �صحيح ً‬ ‫‪� -4‬أوجد قاعدة لإيجاد الإحداثي ‪ x‬الجديد للر�أ�س ‪ C‬بداللة الإحداثي ‪ x‬للنقطة ‪.G‬‬ ‫دائما على الم�ستقيم ‪ ،y = x‬فما معادلة الم�ستقيم الذي يجب �أن تبقى عليه‬ ‫‪� -5‬إذا �أمكن تحريك النقطة ‪ G‬بحيث تبقى ً‬ ‫النقطة ‪C‬؟‬

‫‪40‬‬


‫الن�شاط الرابع‬ ‫المثلثات في دوائر النقاط الت�سع‬ ‫يبين ال�شكل �أدناه دائرة عليها ت�سع نقاط‪ .‬والم�سافات بين كل نقطتين متتاليتين على الدائرة مت�ساوية‪ .‬ويمكن تكوين‬ ‫ّ‬ ‫مثلثات بالتو�صيل بين هذه النقاط‪.‬‬

‫عد النقاط بعك�س اتجاه‬ ‫ّ‬ ‫عقارب ال�ساعة!‬

‫‪ -1‬ما عدد المثلثات المتمايزة التي يمكن ر�سمها على دائرة النقاط الت�سع؟‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ثالثي الأرقام‪.‬‬ ‫حدد ك َّل مثلث با�ستعمال نظام الترميز‬ ‫ّ‬ ‫ّ‬

‫مرة واحدة‪.‬‬ ‫ار�شاد‪ :‬تح�سب المثلثات المت�شابهة التي في مواقع مختلفة‪� ،‬أو التي كل منها انعكا�س للآخر ّ‬

‫‪ -2‬كيف تت�أكد من �أنك وجدت المثلثات جميعها؟‬ ‫حددتها؟‬ ‫‪ -3‬ما قيا�سات الزوايا في ك ِّل مثلث من المثلثات التي ّ‬ ‫‪ -4‬ما العالقة بين المثلث وزواياه؟‬ ‫ناتجا من تو�صيل النقاط على دائرة النقاط الع�شرة؟‬ ‫‪ -5‬كيف �ستكون العالقة بين المثلث وزواياه �إذا كان المثلث ً‬ ‫‪ -6‬كيف �ستكون العالقة بين المثلث وزواياه على دائرة النقاط التي عددها ‪�( n‬أي دائرة عليها ‪ n‬من النقاط على � ٍ‬ ‫أبعاد‬ ‫مت�ساوية)‪.‬؟‬

‫‪41‬‬


42


‫الن�شاط الخام�س‬ ‫الجزُر‬ ‫ربط ُ‬ ‫في عام ‪ 1410‬هجري‪ 1989 /‬ميالدي �أكمل اتحاد من �شركات االت�صاالت مد خط رئي�س جديد من الألياف ال�ضوئية عبر‬ ‫المحيط الهادئ ُيدعى ‪ ،TPC–3‬يربط بين اليابان وجزيرتي جوام وهاواي‪.‬‬ ‫(تقريبا بين ‪� 200‬ألف ريال‬ ‫جدا‬ ‫مدها عبر قاع المحيط مكلف ًّ‬ ‫وبما �أن ك ًّال من الألياف ال�ضوئية هي نف�سها‪ ،‬و�أن عملية ّ‬ ‫ً‬ ‫و‪� 400‬ألف ريال لكل ميل)‪ ،‬فقد كان من المهم ل�شركات االت�صاالت �أن تجد طريقة لربط الجزر الثالث ب�أقل تكلفة ممكنة‪.‬‬

‫‪N‬‬

‫‪‬‬

‫‪3910‬‬ ‫‪1620‬‬ ‫‪‬‬

‫‪3820‬‬ ‫‪‬‬

‫مهمتك المطلوبة‬ ‫�إذا كنت تعمل م�ست�شار ريا�ضيات لدى اتحاد ال�شركات‪ .‬وما تريده ال�شركة هي نقطة و�صل مركزية‪،X ،‬‬ ‫حيث يكون ‪� XJ + XG + XH‬أق�صر م�سافة ممكنة ‪ -‬انظر ال�شكل �أدناه‪.‬‬ ‫‪J‬‬

‫‪H‬‬

‫‪‬‬

‫‪X‬‬

‫‪G‬‬

‫‪43‬‬


‫هند�سيا دينامي ًا‪ ،‬مثل ‪ Geo Gebra‬لمعرفة النقطة التي مجموع �أبعادها عن ر�ؤو�س المثلث �أقل ما‬ ‫نظاما‬ ‫ًّ‬ ‫‪ -1‬ا�ستعمل ً‬ ‫يمكن‪ .‬هل هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث �أم مركز الدائرة التي تمر بر�ؤو�س المثلث؟ �أم مركز المثلث؟ �أم ملتقى‬ ‫االرتفاعات؟‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ثم يقوم زميل لك بر�سم ال�شكل �أدناه قائ ًال‪" :‬هذا ال�شكل �سي�ساعدك"‪.‬‬ ‫ثم ير�سم دائرة تمر بر�ؤو�س ك ّل مثلث‪.‬‬ ‫فير�سم مثل ًثا متطابق الأ�ضالع على كل �ضلع للمثلث الأ�صلي‪ ،‬ومن َّ‬ ‫وتعرف النقطة التي تلتقي عندها الدوائر الثالث با�سم نقطة �ستاينر (‪ ،)Steiner point‬حيث تكون نقطة الو�صل‬ ‫المركزية الممكنة‪.‬‬

‫كلية �أق�صر من تلك التي‬ ‫نظاما‬ ‫ً‬ ‫هند�سيا مثل ‪ Geo Gebra‬لمعرفة ما �إذا كان هذا المدخل يعطيك م�سافة َّ‬ ‫‪ -2‬ا�ستعمل ً‬ ‫وجدتها في ال� س�ؤال رقم ‪.1‬‬ ‫المركزية‪ ،‬مرف ًقا بمبررات اقت راحاتك‪.‬‬ ‫تبين فيه �أين �ستقع نقطة الو�صل‬ ‫تقريرا‬ ‫‪ -3‬اكتب‬ ‫ّ‬ ‫مخت�صرا لمدير ال�شركات ّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫‪44‬‬


‫الوحدة ال�سابعة‬ ‫الأ�شكال الرباعية‬

‫‪45‬‬ ‫‪18‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫ •تطوير فهم الطالب لخ�صائ�ص الأ�شكال الرباعية المختلفة‬

‫الن�شاط الأول‬ ‫ت�صغير المربعات‬ ‫يبين ال�شكل الآتي �أربعة مربعات‪ .‬وتقع ر�ؤو�س كل مربع من المربعات الثالثة الداخلية عند نقطة منت�صف �ضلع من �أ�ضالع‬ ‫المربع الأكبر التالي له‪.‬‬

‫‪ )a1‬افر�ض �أن م�ساحة المربع الأكبر ‪�100‬سم‪ ،2‬اح�سب �أطوال �أ�ضالع المربعات جميعها وم�ساحاتها‪ ،‬وا�ستخدم هذه‬ ‫النتائج لإكمال الجدول الآتي‪:‬‬

‫المربع‬

‫طول ال�ضلع‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� )b‬صف النمط في م�ساحة هذه المربعات‪.‬‬ ‫‪46‬‬

‫الم�ساحة‬

‫ن�سبة م�ساحة المربع‬ ‫�إلى م�ساحة �أكبر مربع‬


‫جديدا‪ .‬ا�ستمر في الطريقة نف�سها‬ ‫‪ )a2‬ار�سم م�ستطي ًال �أبعاده ‪�16‬سم‪ ،‬و‪�12‬سم‪� ،‬صل بين منت�صفات �أ�ضالعه لتكون �شك ًال‬ ‫ً‬ ‫لعمل �سل�سلة من الأ�شكال المتداخلة‪.‬‬ ‫‪ )b‬ماذا تالحظ من هذه الأ�شكال؟‬ ‫وكون جدو ًال لح�ساب �أطوال �أ�ضالع الم�ستطيالت الداخلية وم�ساحاتها‪ ،‬ثم‬ ‫‪ )c‬اتبع الطريقة نف�سها في ال� س�ؤال الأول‪ّ ،‬‬ ‫اح�سب ن�سبة هذه الم�ساحة �إلى م�ساحة الم�ستطيل التالي الأكب ر‪.‬‬ ‫‪� )d‬صف النمط في م�ساحة هذه الأ�شكال‪.‬‬ ‫‪ -3‬ار�سم عدة �أ�شكال رباعية مختلفة على ال�صفحة المقابلة مثل‪ :‬متوازي �أ�ضالع‪ ،‬و�شبه المنحرف‪ ،‬وطائرة ورقية‪� ،‬أو �أي‬ ‫�شكل رباعي مختلف الأ�ضالع‪ ،‬واتبع الأ�سلوب نف�سه في الأ�سئلة ال�سابقة‪ .‬ما الأ�شكال التي �ستح�صل عليها؟ وهل‬ ‫يوجد النمط نف�سه في م�ساحة الأ�شكال المتتالية؟‬

‫‪47‬‬


‫الن�شاط الثاني‬ ‫تجزئة المثلث �إلى �أ�شكال رباعية‬ ‫ �إذا و�صلت نقطة داخل المثلث بر�ؤو�سه‪ ،‬ف�إنها ت�شكل ثالثة مثلثات‪.‬‬

‫دت نقطتان داخل مثلث‪ ،‬وو�صل بينهما وبين ر�ؤو�س المثلث‪ ،‬ف�سينتج عدة ت راتيب‪ .‬ومختلفة �إليك ثالثة منها‪:‬‬ ‫ �إذا ُح ِّد ْ‬ ‫مثلثان و�شكل‬ ‫خما�سي واحد‬

‫�شكالن رباعيان‬ ‫ومثلث واحد‬

‫�شكل رباعي‬ ‫و�شكل خما�سي‬

‫‪ )a1‬ما الأ�شكال الناتجة من و�صل ثالث نقاط داخل المثلث مع بع�ضها ومع ر�ؤو�س المثلث وبطرق مختلفة؟‬ ‫‪ )b‬هل يوجد ترتيب منها يت�ضمن �أ�شكا ًال رباعية فقط‪.‬‬ ‫معينة كما في ال�شكل �أدناه‪ .‬فتم تجزئة‬ ‫‪ُ -2‬ح ِّددت �أربع نقاط داخل المثلث‪ ،‬ثم و�صلت ببع�ضها وبر�ؤو�س المثلث بطريقة ّ‬ ‫المثلث �إلى �أربعة �أ�شكال رباعية‪ ،‬ومثلث واحد هو ‪.1T‬‬

‫‪1T‬‬

‫‪ )a‬ار�سم مثلث ًا وحدد �أربع نقاط داخله‪ .‬هل يمكن الو�صل بين النقاط ور�ؤو�س المثلث بطريقة مختلفة بحيث ال يتبقى في‬ ‫الأ�شكال الناتجة �سوى �أ�شكال رباعية فقط (�أي بدون المثلث ‪)T1‬؟‬ ‫‪ )b‬هل تت�أثر النواتج �إذا تغير �شكل المثلث؟‬ ‫‪48‬‬


‫�ست �أو �أكثر داخل المثلث هل ب�إمكانك عمل ت�صميم يق�سم مثل ًثا �إلى �أ�شكال‬ ‫‪ )c‬ماذا ينتج �إذا ُح ِّد َد ْت‬ ‫خم�س نقاط �أو ّ‬ ‫ُ‬ ‫رباعية فقط؟‬ ‫‪� )d‬إذا كانت الإجابة ال‪ ،‬فما ال�سبب باعتقادك؟‬ ‫معا ومع ر�ؤو�سه؟ �إذا كانت‬ ‫‪ -3‬هل يمكن تق�سيم �شكل خما�سي �إلى �أ�شكال رباعية فقط عند و�صل نقاط محددة داخله ً‬ ‫الإجابة ال‪ ،‬فما ال�سبب باعتقادك؟‬

‫الن�شاط الثالث‬ ‫الزوايا الداخلية في الم�ضلعات المنتظمة‬ ‫‪ -1‬مجموع قيا�سات الزوايا الخارجية لم�ضلع منتظم عدد �أ�ضالعه ‪ n‬ي�ساوي ‪ ،360°‬ا�ستخدم هذه القاعدة لإثبات �أن‬ ‫قيا�س زاوية الم�ضلع المنتظم الداخلية الذي عدد �أ�ضالعه ‪ n‬تعطى بالمعادلة‪:‬‬ ‫ ‬

‫‪f (n) = 180 (1– 2 )°‬‬ ‫جزء من م�ضلع منتظم‬ ‫عدد �أ�ضالعه ‪n‬‬

‫الداخلية‪elgna‬‬ ‫الزاوية‪roir‬‬ ‫‪etni‬‬ ‫الخارجية‪elgn‬‬ ‫الزاوية‪a roir‬‬ ‫‪etxe‬‬

‫‪ -2‬كم عدد �أ�ضالع �أ�صغر م�ضلع منتظم قيا�س زاويته الداخلية عدد غير �صحيح؟‬ ‫‪� -3‬أوجد عدد �أ�ضالع م�ضلع منتظم قيا�س زاويته الداخلية ‪.156º‬‬ ‫‪� -4‬أثبت �أنه ال يوجد م�ضلع منتظم عدد �أ�ضالعه ‪ n‬يكون قيا�س زاويته الداخلية ‪.155º‬‬ ‫�صحيحا‪.‬‬ ‫عددا‬ ‫‪ -5‬ما الم�ضلع المنتظم الذي لديه �أكبر عدد من الأ�ضالع‪ ،‬ويكون قيا�س زاويته الداخلية ً‬ ‫ً‬ ‫‪� -6‬أوجد �صيغة )‪ g(n‬تمثل الفرق بين قيا�س الزاوية الداخلية لم�ضلع منتظم عدد �أ�ضالعه ‪ n‬وم�ضلع �آخر منتظم عدد‬ ‫�أ�ضالعه ‪ ،n - 1‬واكتبها في �أب�سط �صورة‪.‬‬ ‫‪ -7‬ا�ستخدم ال�صيغة )‪ g(n‬في ال� س�ؤال ال�سابق لإيجاد قيمة ‪ n‬عندما يكون ‪.g(n) = 4º‬‬ ‫‪ -8‬ا�شتق ال�صيغة )‪ h(n‬من ال�صيغة )‪ f(n‬في ال� س�ؤال الأول لإيجاد مجموع قيا�سات الزوايا الداخلية لم�ضلع منتظم عدد‬ ‫�أ�ضالعه ‪.n‬‬ ‫دائما بمقدار ثابت‪� ،‬أوجد هذا الثابت‪.‬‬ ‫‪� -9‬أثبت �أنه �إذا زاد ‪ n‬بمقدار ‪ ،1‬ف�إن )‪� h(n‬ستزداد ً‬

‫‪49‬‬


‫الن�شاط الرابع‬ ‫حذف مربعات من الم�ستطيالت‬ ‫‪ -1‬اتبع الخطوات في هذا الن�شاط‪ ،‬وا�ستخدم النتائج التي �ستح�صل عليها لإكمال الجدول المرفق في الجزء (‪ )d‬من هذا‬ ‫ال� س�ؤال‪.‬‬ ‫‪ )a‬ار�سم م�ستطي ًال‪ ،‬وق�س طوله وعر�ضه‪ ،‬ثم �أوجد م�ساحته‪.‬‬

‫‪2qs‬‬

‫‪1sq1‬‬ ‫المربع‬

‫‪sq2‬‬ ‫المربع ‪2‬‬ ‫‪1qs‬‬

‫‪ )b‬احذف �أكبر مربع ممكن (المربع ‪ )1‬واح�سب م�ساحته‪ ،‬ثم اح�سب م�ساحة الم�ستطيل المتبقي‪.‬‬ ‫‪ )c‬احذف �أكبر مربع ممكن من الم�ستطيل المتبقي (المربع ‪ )2‬واح�سب م�ساحته‪ ،‬ثم اح�سب م�ساحة الم�ستطيل المتبقي‪.‬‬ ‫�سج ل م�ساحة ك ّل من المربع و الم�ستطيل المتبقي‪.‬‬ ‫‪ )d‬‬ ‫كرر هذه العملية قدر الإمكان‪ ،‬ثم ّ‬ ‫ّ‬

‫الم�ساحة‬ ‫الم�ستطيل‬ ‫المربع (‪)1‬‬ ‫المربع (‪)2‬‬

‫‪50‬‬

‫ن�سبة م�ساحة المربع ن�سبة م�ساحة المربع‬ ‫المحذوف �إلى م�ساحة �إلى م�ساحة المربع‬ ‫الم�ستطيل‬ ‫ال�سابق‬


‫‪َ -2‬ك ِّر ِر الخطوات من ال� س�ؤال ال�سابق با�ستخدام م�ستطيالت �أخرى‪.‬‬ ‫‪ -3‬قارن النتائج التي ح�صلت عليها لك ّل م�ستطيل مع نتائج الطالب الآخرين‪ .‬هل هناك نمط في التنا�سب في �آخر‬ ‫عمودين من الجدول؟‬ ‫‪ )a4‬هل يوجد م�ستطيل من النتائج ال�سابقة كانت الن�سبة بينه وبين المربع هي نف�سها في الخطوات جميعها؟‬ ‫‪� )b‬إذا كانت الإجابة ال‪ ،‬هل ت�ستطيع �إيجاد هذا الم�ستطيل؟‬ ‫ ‬

‫م�ساعدة‪ :‬ابحث عن الم�ستطيل الذهبي في المراجع �أو الإنترنت‪.‬‬ ‫‪ )c‬ما الن�سبة بين �أ�ضالعه؟‬ ‫‪ )d‬ما ن�سبة الم�ساحة بين المربعات في هذا الم�ستطيل؟‬

‫‪51‬‬


‫الوحدة الثامنة‬ ‫التنا�سب والت�شابه‬

‫‪52‬‬ ‫‪18‬‬


About this unit

‫معلومات عن الوحدة‬

Unit learning objectives

‫الأهداف التعليمية للوحدة‬

• To understand the effect of similarity on areas

‫ •فهم ت�أثير الت�شابه على الم�ساحات‬

Activity 1 Areas and similar triangles

‫الن�شاط الأول‬ ‫الم�ساحات والمثلثات المت�شابهة‬

1a. A right-angled triangle has an area of 15 units2 and a height of 10 units.

‫مناظرا له‬ ‫قائما �آخر‬ ً ‫ وي�شابه مثل ًثا‬،‫ وحدات‬10 ‫ وحدة مربعة وارتفاعه‬15 ‫) مثلث قائم الزاوية م�ساحته‬a1" ً A triangle similar to this first triangle has a corresponding height of 20 units. What is its area? ‫ ما م�ساحة هذا المثلث؟‬،‫ وحدة‬20 ‫ارتفاعه‬

b.

What didn’t know the� ‫�ستختلف‬ two triangles your ‫ؤال؟‬if�‫س‬you �‫من ال‬ a ‫الجزء‬ ‫في‬that ‫إجابتك‬ ‫كيف‬were ،‫الزاوية‬right-angled? ‫المثلثين قائما‬How ‫ ب�أن‬would ‫نكن نعلم‬ ‫ماذا لو لم‬ findings in part a differ?

)b

‫مثلثين‬ .A2 B2 C2 ‫ والمثلث‬،A1 B1C1 ‫ المثلث‬:‫منفرجي الزاوية مت�شابهين هما‬ B C and A2B‫أدناه‬ C .� ‫يمثل ال�شكل‬ 2a. This diagram shows two similar obtuse-angled triangles, A 1 1 1 2 2

)a2

A2 A1

h2 h1

B2 B1

l1

l2

C2

C1

Prove that the corresponding altitudes h and h of the two triangles are in the

2 ‫القاعدتين‬ ‫معامل الت�شابه‬ ‫هو‬lengths h1 2 ,h1 l‫المتناظرين‬ ,l1 ‫المتناظرتين‬same ratio‫لطولي‬ as the‫نف�سه‬ corresponding base and l2 . ‫ �أثبت �أن معامل الت�شابه لالرتفاعين‬ 1 .l2

b.

Two similar triangles have the same area. What can you deduce?

c.

If two triangles are similar, with scale factor R, write down an expression in terms of R for .R ‫ فاكتب الن�سبة بين م�ساحتيهما بداللة‬،R ‫) �إذا كان معامل الت�شابه بين مثلثين‬c the ratio of the areas of the triangles.

‫ ماذا ت�ستنتج عن قاعدتيهما وارتفاعيهما؟‬،‫) مثلثان مت�شابهان لهما الم�ساحة نف�سها‬b

2 and 5 one side� length of 5،‫مربعة‬ units.‫وحدة‬ A triangle similar to 3. A‫وحدات‬ triangle has an area units،‫وحدات‬ ‫ ما طول‬،‫مربعة‬ 7 ‫م�ساحته‬ ‫ا �آخر‬of ‫مثل ًث‬175 ‫وي�شبه‬ ‫أ�ضالعه‬ ‫وطول �أحد‬ 175 ‫مثلث‬ ‫م�ساحة‬ -3 this first triangle has an area of 7 units2. ‫ال�ضلع المناظر في هذا المثلث ل�ضلع المثلث الأول المعلوم؟‬

What is the corresponding side length?

53


‫ وحدات مربعة �أوجد معامل الت�شابه‬10 ‫ الذي م�ساحته‬2 ‫ وي�شبه المثلث‬،‫ وحدة مربعة‬1000 ‫ م�ساحته‬1 ‫ المثلث‬-4 4. Triangle 1 has an area of 1,000 units2 and triangle 2 has an area of.‫بينهما‬ 10 units2. They are similar.

Find the scale factor between them.

‫ ومن‬،2T ‫ �إلى‬T1 ‫ من‬R ‫ وقد تم تكرار معامل التنا�سب‬،T1 ,T2 ,T3 :‫ ال�شكل �أدناه يمثل ثالثة مثلثات مت�شابهة هي‬-5 .T3 ‫ �إلى‬T2 5. This diagram shows three similar triangles, T , T and T , with the scale factor R repeated 1

across T1 to T2 , and T2 to T3 .

T1

a.

T1

R

R T2

R

T2

3

3

R T3

T3

The following table shows some possible areas with different scale factors. Complete

‫مقربا الإجابة �إلى �أقرب جزء من‬ ‫ �أكمل‬.‫) يمثل الجدول الآتي بع�ض الم�ساحات الممكنة ومقايي�س ر�سم مختلفة‬a ً ‫الجدول‬ the table, giving answers to three decimals places where necessary. .‫�ضروريا‬ ‫�ألف �إن كان ذلك‬ ً R

Area T1

2

1

T3 ‫الم�ساحة‬ 10

Area T2

T2 ‫الم�ساحة‬

1

2

10 6.25

100

5

0.5

5 64

64 12

R

22.5

6.25

2

T1 ‫الم�ساحة‬

22.5

100

0.5

Area T3

10

10

2

12

b. Now add a new line in the table. Fill in two cells and give it to another student to complete. ‫م�ستخدما �أمثلة لي�ست �سهلة‬ ‫ ثم �أعطه لأحد الطالب ليكمله‬،‫ واملأ خليتين منه‬،‫جديدا للجدول‬ ‫ �أ�ضف �صن ًفا‬،‫) الآن‬b ً ً Use an example that is not too easy, but involves only whole numbers or simple decimals. .‫ك�سورا ع�شرية ب�سيطة‬ ‫أعدادا كلية �أو‬ ً � ‫تحتوي‬ ً

R

Area T1 T ‫الم�ساحة‬ 3

Area T2 T ‫الم�ساحة‬ 2

Area T3 T ‫الم�ساحة‬ 1

R

54 54


‫الن�شاط الثاني‬

Activity 2 ‫المثلثات قائمة الزاوية المت�شابهة‬ Similar right-angled triangles

،‫ بحيث يقوم ك ّل طالب بر�سم مثلث قائم الزاوية كبير كما في ال�شكل الذي على الي�سار‬،‫ نفذ الن�شاط ب�شكل مجموعات‬-1 1. Work in small groups. Each person should draw a large right-angled triangle to look rough .‫وبحيث تكون هذه المثلثات مختلفة في �أطوال �أ�ضالعها وقيا�س زواياها‬ shown here on the left. Each person’s right-angled triangle should be different, with differen and different angles (other than the right angle).

C β

α A

E

β

G α

α

B

A 2.

C

C

A

B

A

F

C

β

E

β

G αD

F

B

D

B

orking individually, measure the angle α on your triangle. This is now your angle for the re W activity.

.‫ وقم بقيا�س الزاوية ؟ في المثلث الذي ر�سمت ُه وا�ستخدم هذا القيا�س لبقية الن�شاط‬،‫منفردا‬ ‫ اعمل‬-2 ً 3.

On your triangle draw lines DE and FG parallel to BC, as in the triangle on the right.

4.

Measure the different lengths of line segments on your diagram.

.‫ في المثلث الذي ر�سمت ُه كما في ال�شكل ال�سابق‬BC ‫ موازيتين ِل ـ‬FG, DE ‫ ار�سم القطعتين الم�ستقيمتين‬-3

Then copy ‫جداول‬ and complete the tables of ratios‫الم�ستقيمة‬ below. Express your� ratios ‫مقربا �إجاباتك �إلى �أقرب منزلتين‬ ‫الن�سب ال‬ ‫ ثم �أكمل‬،‫ر�سمك‬ ‫المختلفة في‬ ‫أطوال القطع‬ ‫ ق�س‬-as4decimals to ً ‫آتية‬ two decimal places. .‫ع�شريتين‬

C

BC/AB

DE/AD

FG/AF

BC/AC

DE/AE

FG/AG

AB/AC

AD/AE

AF/AG

B

‫) ماذا تالحظ من هذه النتائج؟‬a

a.

What do you notice about these results?

b.

‫ال�شكل؟‬ Explain why the results are as they are.‫و�ضح لماذا ظهرت النتائج على هذا‬

)b

‫إجابتك؟ هل يمكنك تف�سير ذلك؟‬ � ‫ ماذا تالحظ؟ ما الت�شابه واالختالف مع‬،‫) قارن نتائجك بنتائج الطالب الآخرين‬c c. Compare your results with those of other students. What do you notice?

What are similarities and differences in your answers ? Can you find the reasons for these?

55


‫قدر مع زميلك كيف �ستجيبون عن الأ�سئلة الآتية (تذكر �أن‬ ‫‪ -5‬‬ ‫اعتمد قيا�س الزاويتين ‪ β ، α‬في المثلث الذي ر�سمت ُه‪ِّ ،‬‬ ‫‪α‬‬ ‫الإجابات �ستكون مختلفة لأن قيا�س الزاويتين ‪ β ،α‬مختلفة عن قيا�س زميلك)‪.‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪ )a‬ما ارتفاع ال�شجرة؟‬

‫‪α‬‬

‫‪35‬‬

‫قائما ارتفاعه ‪� 3.5‬أمتار‪ ،‬تم تدعيمه وتثبيته بوا�سطة حبلين في الأر�ض‪ ،‬قيا�س الزاوية‬ ‫‪ )b‬يو�ضح ال�شكل الآتي‬ ‫ً‬ ‫عمودا ً‬ ‫بين الحبل والأر�ض هو ‪ β‬وهي نف�سها ‪ β‬التي ا�ستعملتها في مثلثك‪.‬‬

‫‪β‬‬

‫ �أوجد الحد الأدنى لطول الحبال الداعمة‪.‬‬

‫‪β‬‬

‫‪56‬‬


‫الن�شاط الثالث‬ ‫الأ�شكال المت�شابهة‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫ال�شكالن الهند�سيان ‪ P‬و‪ Q‬مت�شابهان‪.‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪P‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪� -1‬إذا كان محيط ال�شكل‪ P‬هو ‪ 40‬وحدة‪:‬‬ ‫‪ )a‬ما محيط ال�شكل ‪Q‬؟‬ ‫ �إذا كانت م�ساحة ال�شكل ‪ P‬هي ‪ 30‬وحدة مربعة‪.‬‬ ‫‪ )b‬ما م�ساحة ال�شكل ‪Q‬؟‬ ‫‪� -2‬أعد حل ال� س�ؤال الأول مع القيا�سات ‪ g‬و‪ h‬الجديدة‪ .‬ولكن بالمحيط نف�سه لـ ‪ P‬الذي ي�ساوي ‪ 40‬وحدة‪ ،‬وم�ساحته ‪30‬‬ ‫وحدة مربعة‪.‬‬

‫‪g‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪g‬‬ ‫‪ )a‬ما محيط ‪P‬‬ ‫ال�شكل ‪Q‬؟‬

‫‪h‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪ )b‬ما م�ساحة ال�شكل ‪Q‬؟‬

‫‪57‬‬


‫‪K‬‬

‫‪ -3‬المثلث ‪ JKL‬في ال�شكل الآتي ي�شبه المثلث ‪ .NML‬وم�ساحة المثلث ‪ JKL‬هي وحدة مربعة واحدة‪.‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪K‬‬

‫‪M‬‬

‫‪N‬‬

‫‪L‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪L‬‬

‫‪J‬‬

‫‪J‬‬

‫ريا�ضيا لم�ساحة جزء ال�شكل الرباعي المظلل بداللة ك ّل من ‪ ،LK‬و‪.LM‬‬ ‫تعبيرا‬ ‫اكتب‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫طوليا من المنت�صف لت�شكل م�ستطي ًال �أ�صغ ر‪.‬‬ ‫‪� -4‬أبعاد قطعة ورقة م�ستطيلة ال�شكل هي ‪ r‬و‪ .t‬وقد طويت الورقة ً‬

‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫ وكان الم�ستطيل ال�صغير ي�شبه الم�ستطيل الأ�صلي الكبير ‪.‬‬ ‫ اح�سب الن�سبة ‪.t : r‬‬ ‫‪ -5‬الم�ستطيالت الثالثة الآتية مت�شابهة لها الأبعاد‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫• ‪u, v‬‬ ‫• ‪w, x‬‬ ‫• ‪y, z‬‬

‫‪y‬‬

‫ ‬

‫‪z‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪v‬‬

‫�أثبت �أن الم�ستطيل ذا الأبعاد (‪ )v + x + z( ،)u + w + y‬ي�شبه الم�ستطيالت التي في ال�شكل‪.‬‬

‫‪58‬‬


‫الن�شاط الرابع‬ ‫تق�سيم الكعكة‬ ‫لق�سمة قالب الكعك الدائري �إلى قطع مت�ساوية‪ ،‬ف�إن قيا�س زوايا القطع المركزية ي�ساوي ‪.120°‬‬ ‫يمثل ال�شكل الأيمن �سطح قالب كعك مربع طول �ضلعه ‪�21‬سم‪ ،‬وتمثل النقطة مركز المربع‪� ،‬سيتم تق�سيم القالب �إلى ثالث‬ ‫قطع مت�ساوية‪.‬‬

‫‪120º‬‬

‫‪120º‬‬ ‫‪120º‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪� -1‬إذا تم تق�سيم قالب الكعك المربع �إلى ثالث قطع مت�ساوية بحيث يكون لها محور تماثل واحد‪ ،‬ويكون قيا�س الزوايا‬ ‫المركزية ‪ ،120°‬فهل القطع الثالث لها الم�ساحة نف�سها؟‬ ‫‪120º‬‬

‫‪120º‬‬

‫‪120º120º‬‬

‫‪120º‬‬

‫‪120º‬‬

‫‪12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ -2‬فيما يلي طريقة �أخرى مختلفة لتق�سيم الكعك‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫ �أثبت �أن القطع الثالث لها الم�ساحة نف�سها‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪59‬‬


‫ِ‬ ‫ا�ستق�ص الأ�سئلة الآتية على ورقة منف�صلة‪.‬‬ ‫‪ -3‬محيط قالب الكعك المربع هو ‪�48‬سم‪ ،‬طول الحرف الخارجي لكل قطعة ‪�16‬سم‪ ،‬فهل �صحيح �أنه �إذا كان طول الحرف‬ ‫الخارجي لكل قطعة ‪�16‬سم‪ ،‬ف�إن القطع الثالث لها الم�ساحة نف�سها؟‬ ‫ ‬

‫هل يمكن تطبيق ذلك على مربعات بقيا�سات مختلفة؟‬ ‫مربعا �إلى �أربع‬ ‫(ق�س م ً‬ ‫‪� -4‬إذا اختلف عدد القطع؟ فهل يمكن تطبيق عالقة مكافئة للعالقة ال�سابقة؟ على �سبيل المثال ّ‬ ‫قطع مت�ساوية‪ ،‬طول الحرف الخارجي ‪�12‬سم لكل قطعة‪ ،‬ت�أكد �أن القطع كلها لها الم�ساحة نف�سها)‪.‬‬ ‫‪ -5‬ماذا لو كان قالب الكعك على �شكل م�ضلع خما�سي منتظم‪� ،‬أو م�ضلع �سدا�سي منتظم؟ فهل يمكن تطبيق عالقة‬ ‫مكافئة للعالقة ال�سابقة؟ (مث ًال‪� :‬إذا ق�سم مربع �إلى �أربع قطع‪ ،‬هل �أن طول "الحافة الخارجية" لكل قطعة ي�ساوي‬ ‫‪�12‬سم ي�ضمن �أن القطع الأربع �ستكون بنف�س الحجم؟)‬ ‫‪ -6‬ماذا لو كان قالب الكعك على �شكل م�ضلع خما�سي منتظم‪� ،‬أو م�ضلع �سدا�سي منتظم؟ فهل تنطبق عالقة التكاف�ؤ‬ ‫ال�سابقة؟‬

‫‪60‬‬


‫الوحدة التا�سعة‬ ‫التحويالت الهند�سية‬

‫‪61‬‬ ‫‪18‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫والتمدد‪.‬‬ ‫• تطوير فهم التحويالت الهند�سية الآتية‪ :‬الدوران‪ ،‬واالنعكا�س‪ ،‬والإزاحة‪،‬‬ ‫ّ‬

‫الن�شاط الأول‬ ‫الدوران واالنعكا�س‬ ‫ا�ستخدم ورقة الر�سم البياني‪� ،‬أو ورقة الر�سم البياني المرفقة في البرمجية ال�ستك�شاف حل الم�سائل الآتية‪:‬‬ ‫‪� )a1‬أوجد �صورة النقطة (‪ )3، 4‬بعد انعكا�سها في الم�ستقيم ‪.y = x‬‬ ‫‪� )b‬أكمل هذه الجملة عن االنعكا�س في الم�ستقيم ‪.y = x‬‬ ‫ �إذا انعك�ست النقطة (‪ )b ,a‬في الم�ستقيم ‪،y = x‬‬ ‫ف�إن �إحداثيات النقطة بعد االنعكا�س هي‪.................‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬ما النقاط التي ال يتغير �إحداثياتها ج راء انعكا�سها في الم�ستقيم ‪y = x‬؟‬ ‫‪ )a2‬انعك�ست النقطة (‪ )3، 4‬في الم�ستقيم ‪ ،y = x‬ثم انعك�ست في الم�ستقيم ‪ ،y = -x‬ما �إحداثيات النقطة الناتجة من‬ ‫تركيب التحويلين الهند�سيين؟‬ ‫‪� )b‬أكمل العبارة الآتية المتعلقة باالنعكا�س في الم�ستقيم ‪ ،y = x‬ثم االنعكا�س في الم�ستقيم ‪.y = -x‬‬ ‫ �إذا انعك�ست النقطة (‪ )a, b‬في الم�ستقيم ‪ ،y = x‬ثم ا ّتبع بانعكا�س في الم�ستقيم ‪ y = -x‬ف�إن �إحداثياتها الجديدة‬ ‫هي ‪.........‬‬ ‫‪ )c‬ما النقاط التي ال يتغير �إحداثياتها في تركيب هذين التحويلين الهند�سيين؟‬ ‫‪ -3‬ما ت�أثير تركيب التحويلين الهند�سيين؛ انعكا�س �شكل هند�سي في الم�ستقيم ‪ ،y = x‬ثم انعكا�سه في محور ‪x‬؟‬ ‫‪ -4‬ما ت�أثير تركيب التحويلين الهند�سيين؛ انعكا�س �شكل هند�سي في الم�ستقيم ‪ ،y = x‬ثم انعكا�سه في محور ‪y‬؟‬ ‫‪ )a5‬ما ناتج تركيب التحويالت الهند�سية الأربعة في ال� س�ؤالين ‪ 4‬و ‪� ،3‬أي االنعكا�س في الم�ستقيم ‪ ،y = x‬ثم في محور‬ ‫‪ ،x‬ثم في الم�ستقيم ‪ ،y = x‬ثم انعكا�س في محور ‪y‬؟‬

‫‪62‬‬


‫‪ )b‬هل ي�ؤثر ترتيب تركييب التحويالت الهند�سية ال�سابقة في النتائج؟‬ ‫‪� -6‬إذا انعك�س ال�شكل في الم�ستقيم ‪ ،y = 2x‬ف�أوجد االنعكا�س الثاني �إذا علمت �أن تركيب التحويلين الهند�سيين يكافئ‬ ‫دوران ال�شكل ‪ 90°‬حول نقطة الأ�صل باتجاه عك�س عقارب ال�ساعة‪.‬‬

‫الن�شاط الثاني‬ ‫تركيب التحويالت الهند�سية‬ ‫في هذا الن�شاط‪:‬‬ ‫• ‬ ‫ •‬ ‫• ‬

‫تمد ًدا‪.‬‬ ‫ن�ستخدم الحرف ‪ T‬للداللة على �أي تحويل هند�سي �سواء كان‬ ‫انعكا�سا‪� ،‬أو �إزاحة‪� ،‬أو دورا ًنا �أو ّ‬ ‫ً‬ ‫�إذا كان هناك �أكثر من تحويل واحد‪� ،‬سندل عليها با�ستخدام الرموز ‪ ، T2 ,T1‬وهكذا‪.‬‬ ‫�إذا كانت ‪ A‬نقطة‪ ،‬ف�إن )‪ T(A‬هي �صورة هذه النقطة تحت ت�أثير التحويل الهند�سي ‪.T‬‬

‫ا�ستخدم ورقة الر�سم البياني للم�ساعدة في حل الأ�سئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪� -1‬أوجد ‪� )A(T‬إذا كانت )‪ A(2, 3‬و‪ T‬هو‪:‬‬ ‫‪ )a‬‬ ‫انعكا�سا في الم�ستقيم )‪.y = x (T1‬‬ ‫ً‬ ‫‪� )b‬إزاحة بمقدار )‪.( 2 )(T2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ )c‬دورا ًنا ‪ 90°‬باتجاه عك�س عقارب ال�ساعة حول نقطة الأ�صل )‪.)T3( (0، 0‬‬ ‫تمد ًدا معامله ‪ 2‬ومركزه (‪.)T4( ،)1، 1‬‬ ‫‪ )d‬‬ ‫ّ‬ ‫‪� -2‬إن االنعكا�س في الم�ستقيم )‪ y = x (T1‬الذي تبعه �إزاحة بمقدار ( ‪ )T2( ) 1‬هو مثال على تركيب التحويالت‬ ‫‪2‬‬ ‫الهند�سية‪� .‬سنرمز �إلى ذلك بالرمز))‪. T2 (T1 (A‬‬ ‫ الحظ �أن الترتيب في �إج راء التحويالت الهند�سية لي�س كما هو مرتب في الكتابة‪.‬‬ ‫ ‬

‫ا�ستخدم التحويالت الهند�سية في ال� س�ؤال الأول لإيجاد ك ّل من‪:‬‬

‫‪T1 (T2(A)) )a‬‬ ‫‪T3 (T4(A)) )b‬‬ ‫‪T1(T1(A)) )c‬‬ ‫‪T2 (T2 (A)) )d‬‬ ‫‪T1(T2 (T3 (T4 (A)))) )e‬‬

‫‪63‬‬


‫وحيدا يكافئ ك ّل تركيب من التحويالت الهند�سية في ال� س�ؤال الثاني‪.‬‬ ‫هند�سيا‬ ‫‪� -3‬أوجد تحوي ًال‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫‪� -4‬إذا �أجرينا تركيب التحويالت الهند�سية نف�سه في ال� س�ؤال الثاني على النقطة ‪ .B‬فهل �سيكافئ التحويل الهند�سي‬ ‫الوحيد نف�سه في ال� س�ؤال الثالث؟‬

‫الن�شاط الثالث‬ ‫معكو�س التحويالت الهند�سية‬ ‫معكو�س التحويل الهند�سي ‪ T‬يعيد النقطة �إلى مو�ضعها الأ�صلي الذي كانت عليه قبل �إجراء التحويل الهند�سي‪ ،‬ويرمز �إلى‬ ‫معكو�س التحويل الهند�سي بالرمز ‪.T-1‬‬ ‫تركيب التحويل الهند�سي مع معكو�سه ال يحدث � ّأي ت�أثي ر؛ �أي �أن‪:‬‬ ‫‪ ، T-1 (T(A)) = A‬و ‪T (T-1 (A)) = A‬‬ ‫م�ستخدما ورقة الر�سم البياني‪.‬‬ ‫ا�ستق�ص حل الأ�سئلة الآتية‬ ‫ً‬ ‫"‪ -1‬ما معكو�س التحويل الهند�سي لك ٍّل من التحويالت الآتية‪ ،‬وفي كل حالة‪ ،‬ت�أكد من � ّأن ‪،T-1 (T (A)) = A‬‬ ‫و ‪ T (T-1 (A)) = A‬لأكثر من نقطة‪ ،‬ولي�س لنقطة واحدة‪.‬‬ ‫‪ )a‬االنعكا�س في ‪y = x‬‬ ‫‪� )b‬إزاحة بمقدار ( ‪.) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ )c‬دوران ‪ 90°‬عك�س اتجاه عقارب ال�ساعة حول (‪)0، 0‬‬ ‫تمدد معامله ‪ 2‬ومركزه (‪)1، 1‬‬ ‫‪ )d‬‬ ‫ّ‬ ‫‪ -2‬اعمل مع زمالئك �ضمن مجموعات �صغيرة ل�صياغة عبارات منا�سبة تلخ�ص النتائج التي تو�صلت �إليها في ال� س�ؤال‬ ‫‪ 2‬ب� ش�أن معكو�س التحويالت الهند�سية‪ ،‬وذلك كما يلي‪:‬‬ ‫‪ )a‬معكو�س االنعكا�س في [حدد خط م�ستقيم] هو ‪............‬‬ ‫‪ )b‬معكو�س الإزاحة بمقدار [حدد المتجه] هو ‪............‬‬ ‫الدوران بمقدار [حدد المقدار واالتجاه ونقطة الدوران] هو ‪.............‬‬ ‫‪ )c‬معكو�س ّ‬ ‫التمدد بمقدار [حدد معامل المقا�س ومركز التمدد] هو ‪...................‬‬ ‫‪ )d‬معكو�س‬ ‫ّ‬

‫‪64‬‬


‫الن�شاط الرابع‬ ‫هل ي�ؤثر الترتيب في التحويالت الهند�سية؟‬ ‫ي�ستعمل م�صطلح "االبدالية" في الريا�ضيات للداللة على الحاالت التي ال يكون الترتيب مهم ًا فيها‪.‬‬ ‫ففي الأرقام‪ ،‬مث ًال‪ ،‬تعتبر عملية الجمع ابدالية‪� ،‬أي � ّأن ‪ ،a + b = b + a‬ولكن عملية الطرح لي�ست ابدالية‪،‬‬ ‫وذلك لأن ‪� ،b - a ≠ a - b‬إ ّال �إذا كانت ‪.a = b‬‬ ‫يحقق التحويالن الهند�سيان ‪� T2 ,T1‬شروط االبدالية �إذا كان ترتيب �إج رائهما غير مهم‪� ،‬أي �أن‪:‬‬ ‫))‪.T2 (T1 (A)) = T1 (T2 (A‬‬ ‫ا�ستق�ص ح ّل الأ�سئلة الآتية على ورقة منف�صلة‪.‬‬ ‫ اعتمد التحويالت الهند�سية الأربعة الآتية‪:‬‬‫‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫• انعكا�س في )‪.y = x (T1‬‬ ‫• �إزاحة بمقدار (‪.)T2‬‬ ‫ ‬ ‫• دوران ‪ 90°‬عك�س اتجاه عقارب ال�ساعة حول (‪.)T3( )0، 0‬‬ ‫ ‬ ‫تمدد بمعامل مقيا�س ي�ساوي ‪ 2‬ومركزه (‪.)T4( )1، 1‬‬ ‫• ‬ ‫ ‬ ‫ّ‬ ‫• ا�ستق�ص � ّأي تركيب من التحويالت الهند�سية ال�سابقة يحقق �شروط االبدالية‪ ،‬فعلى �سبيل المثال‪:‬‬ ‫ ‬ ‫متبوعا بالتحويل ‪T1‬؟‬ ‫متبوع�أ بالتحويل ‪ T2‬يكافئ التحويل ‪T2‬‬ ‫هل التحويل ‪T1‬‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫متبوعا بالتحويل ‪T3‬؟ وهكذا‪.‬‬ ‫متبوعا بالتحويل ‪ T4‬يكافئ التحويل ‪T4‬‬ ‫وهل التحويل ‪T3‬‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫اعر�ض نتائجك م�ستعم ًال عبارات مثل‪.‬‬ ‫ ‬ ‫"التحويالت ‪ T­x ,Ty‬يحققان �شروط االبدالية"‪� ،‬أو "التحويالت ‪ T­x ,Ty‬ال يحققان �شروط االبدالية"‪.‬‬ ‫ ‬ ‫بين �أي تركيب من التحويالت الهند�سية الآتية يحقق الخا�صية االبدالية‪:‬‬ ‫‪ّ -2‬‬ ‫‪ )a‬انعكا�س في م�ستقيم يتبعه انعكا�س �آخر في م�ستقيم �آخ ر‪.‬‬ ‫‪� )b‬إزاحة تتبعها �إزاحة �أخرى مختلفة‪.‬‬ ‫‪ )c‬دوران حول نقطة يتبعه دوران �آخر حول النقطة نف�سها‪.‬‬ ‫تمدد حول النقطة نف�سها‪.‬‬ ‫‪ )d‬‬ ‫تمدد يتبعه ّ‬ ‫ّ‬ ‫عك�سيا �أو برها ًنا على كل ا�ستنتاجاتك‪.‬‬ ‫قدم مثا ًال‬ ‫ً‬

‫‪65‬‬


‫الوحدة العا�شرة‬ ‫الدوائر‬

‫‪66‬‬

‫‪18‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫• ‬

‫تعميق فهم العالقات بين الدوائر مختلفة المقا�سات‬

‫الن�شاط الأول‬ ‫ن�سب الدوائر‬ ‫مربعا ر�سمت بداخله دائرة تم�س �أ�ضالع المربع جميعها‪.‬‬ ‫يمثل ال�شكل �أدناه ً‬

‫ثم ر�سمت دائرة خارجية �أخرى تمر بر�ؤو�س المربع الأربعة‪.‬‬

‫‪ -1‬افر�ض �أن طول �ضلع المربع هو ‪�10‬سم‪.‬‬ ‫‪ )a‬ما م�ساحة الدائرة الدخلية؟‬ ‫‪ )b‬ما طول قطر المربع؟‬ ‫‪ )c‬ما م�ساحة الدائرة الخارجية؟‬ ‫‪ )d‬ما العالقة بين م�ساحتي الدائرتين الداخلية والخارجية؟‬ ‫‪� -2‬إذا كانت نتيجة ما ح�صلت عليه من العالقة بين م�ساحتي الدائرتين �صحيحة في ال� س�ؤال ‪ ،d1‬فهل تكون �صحيحة‬ ‫مهما كان طول �ضلع المربع؟ �أثبت ذلك‪.‬‬ ‫كبيرا يم�س الدائرة الخارجية‪:‬‬ ‫مربعا‬ ‫‪� -3‬إذا‬ ‫َ‬ ‫ر�سمت ً‬ ‫ً‬ ‫خارجيا ً‬ ‫‪ )a‬فما م�ساحته؟‬ ‫أي�ضا مهما كان طول �ضلع المربع الأ�صلي؟ �أثبت ذلك‪.‬‬ ‫‪ )b‬هل العالقة بين م�ساحتي المربعين �صحيحة � ً‬

‫‪67‬‬


‫الن�شاط الثاني‬ ‫المخروط‬ ‫‪A‬‬

‫مخروطا و�شبكة �سطحه دون قاعدته‪.‬‬ ‫يمثل ال�شكل �أدناه‬ ‫ً‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ارتفاع الخط المائل‬ ‫�سطح مقو�س‬ ‫تمت �إزالة هذا الجزء من‬ ‫الدائرة‬

‫‪B‬‬ ‫القاعدة‬

‫االرتفاع الر�أ�سي‬

‫‪BB‬‬

‫دائري‬ ‫قطاع‬ ‫�شبكة المخروط هي دائرة �أُ ِخ َذ منها‬ ‫ٌ‬ ‫ٌّ‬ ‫مخروطا‪.‬‬ ‫‪ -1‬ا�صنع �شبكة المخروط‪ ،‬و�صل بين النقطتين ‪ A‬و‪ ،B‬و�أل�صقهما لت�ش ِّك َل‬ ‫ً‬ ‫‪ )a‬هل تغيير زاوية القطاع الدائري ت�ؤثر في ارتفاع المخروط؟‬ ‫‪ )b‬هل تغيير زاوية القطاع الدائري ت�ؤثر في م�ساحة قاعدة المخروط؟‬ ‫دائري منها زاويته ‪.90°‬‬ ‫‪ -2‬يمثل ال�شكل �أدناه �شبكة مخروط من دائرة ن�صف قطرها ‪�5‬سم‪ ،‬تم اقتطاع قطاع‬ ‫ّ‬

‫‪� 5‬سم‬

‫‪mc5‬‬

‫‪°‬‬ ‫‪°90‬‬ ‫‪09‬‬ ‫‪mc5‬‬

‫‪ )a‬اح�سب م�ساحة المخروط الجانبية‪.‬‬ ‫‪� )b‬أوجد محيط قاعدة المخروط الدائرية‪.‬‬

‫‪68‬‬

‫‪°09‬‬


‫دائري منها زاويته ‪.120°‬‬ ‫‪ -3‬يمثل ال�شكل �أدناه �شبكة مخروط من دائرة ن�صف قطرها ‪�10‬سم‪ ،‬تم اقتطاع قطاع‬ ‫ّ‬

‫‪� 10‬سم‬ ‫‪m‬‬ ‫‪c01‬‬

‫‪120‬‬ ‫‪º02°1‬‬

‫‪� )a‬أوجد طول االرتفاع الجانبي المائل للمخروط‪.‬‬ ‫‪ )b‬اح�سب طول ن�صف قطر قاعدة المخروط الدائرية‪.‬‬ ‫‪ )c‬اح�سب م�ساحة قاعدة المخروط‪.‬‬ ‫‪ -4‬تم اقتطاع مخروط �صغير من �أعلى المخروط الكبير حيث كان ارتفاعه ي�ساوي ن�صف ارتفاع المخروط الكبي ر‪..‬‬ ‫ ‬

‫ار�سم �شبكة المخروط الدائري الناق�ص المتبقي‪.‬‬ ‫‪ -5‬االرتفاع الجانبي المائل للمخروط في ال�شكل �أدناه ي�ساوي ‪�25‬سم‪ ،‬وطول ن�صف قطر قاعدته ‪�20‬سم‪.‬‬ ‫‪�25‬سم‪m‬‬ ‫‪c52‬‬

‫‪�20‬سم‪mc‬‬ ‫‪02‬‬

‫‪ )a‬اح�سب ارتفاع المخروط‪.‬‬ ‫‪ )b‬اح�سب قيا�س زاوية القطاع الدائري الذي تم اقتطاعه من دائرة �شبكة المخروط ‪.b‬‬ ‫‪69‬‬


‫الن�شاط الثالث‬ ‫المثلثات المتما�سة مع الدوائر‬ ‫�سوف تتعاون مع طالب �آخرين في هذا الن�شاط‪ ،‬علم ًا ب�أنك �ستبد�أ العمل بمفردك في بادئ الأم ر‪.‬‬ ‫‪ -1‬اتبع التعليمات الآتية مع االنتباه لعمل الر�سم ب�شكل متقن‪.‬‬ ‫‪ )a‬ار�سم دائرة ن�صف قطرها ‪�6‬سم‪.‬‬ ‫تماما عن المحيط‪.‬‬ ‫‪ )b‬ار�سم � َّأي ن�صف قطر ّ‬ ‫ومده �إلى الخارج لت�صل �إلى النقطة ‪ A‬التي تبعد ‪�4‬سم ً‬ ‫و�س ِّم نقطتي التما�س ‪.C ,B‬‬ ‫‪ )c‬والآن‪ ،‬ار�سم م�ستقيمين متما�سين مع الدائرة‪،‬‬ ‫ً‬ ‫ابتداء من النقطة ‪َ ،A‬‬ ‫مما�سا للدائرة عند النقطة ‪ D‬يالقي الم�ستقيم‬ ‫‪ )d‬اختر � َّأي نقطة ‪ D‬على القو�س الوا�صل بين النقطتين ‪ B‬و‪ ،C‬وار�سم‬ ‫ً‬ ‫‪ AB‬في ‪ ،E‬ويالقي الم�ستقيم ‪ AC‬في ‪.F‬‬ ‫‪ )e‬الآن‪� ،‬أوجد محيط المثلث ‪.AEF‬‬ ‫‪ -2‬قارن بين قيمتي المحيط للمثلث ‪ AEF‬في ر�سمك مع المحيط المثلث الموجود في ر�سم كل زميل‪.‬‬ ‫ ‬

‫موقعا مختل ًفا للنقطة ‪ D‬على القو�س ‪ ،AB‬ومن المحتمل �أن بع�ض هذه النقاط متطابق‪ .‬على �أي‬ ‫يختار كل منكم‬ ‫ً‬ ‫حال‪ ،‬افتر�ض �أن اختياراتكم �صحيحة‪ ،‬وعليه‪ ،‬يجب �أن تكون قيمة المحيط ‪�16‬سم‪.‬‬

‫ ‬

‫و�ضح ذلك‪.‬‬ ‫محيط المثلث ‪ AEF‬ثابت بغ�ض النظر عن موقع النقطة ‪ّ ،D‬‬ ‫‪ -3‬ما محيط المثلث ‪� AEF‬إذا كان طول ن�صف قطر الدائرة ي�ساوي ‪�5‬سم‪ ،‬وبعد النقطة ‪ A‬ي�ساوي ‪�8‬سم عن محيط‬ ‫الدائرة؟‬ ‫‪� -4‬أوجد معادلة تعطي محيط المثلث ‪ AEF‬ل ِّأي دائرة ن�صف قطرها ي�ساوي ‪� r‬سم‪ ،‬والنقطة ‪ A‬تبعد م�سافة ‪� y‬سم عن‬ ‫محيط الدائرة‪.‬‬

‫‪70‬‬


‫الن�شاط الرابع‬ ‫معادلة الدائرة‬ ‫معادلة الدائرة التي مركزها (‪ )b, a‬وطول ن�صف قطرها ‪ ،r‬هي‪:‬‬ ‫‪(x – a)2 + (y – b)2 = r2‬‬ ‫حدد �إذا كانت ك ّل من المعادالت الآتية تمثل معادلة دائرة �أم ال‪ .‬ثم �أوجد مركز الدائرة وطول ن�صف قطرها‪.‬‬ ‫‪ّ -1‬‬ ‫‪(y – 1)2 = –(x – 2) (x + 2) )a‬‬ ‫‪+ 100 = 0 ) b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x – 3x + 3y – 2y + 1 = 0 )c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 +y‬‬

‫‪� -2‬أوجد معادلة �صورة ك ّل دائرة من الدوائر الآتية بعد االنعكا�س في الم�ستقيم الم�شار �إليه‪:‬‬ ‫‪ )a‬المعادلة ‪ x2 + y2 = 1‬في الم�ستقيم ‪.x = 10‬‬ ‫‪ )b‬المعادلة ‪ x2 + (y + 4)2 = 1002‬في الم�ستقيم ‪.y = 5‬‬ ‫‪ )c‬المعادلة ‪ 4 = (x-3)2 + (y-2)2‬في الم�ستقيم ‪.y = -x‬‬ ‫‪� )a3‬أوجد معادلة الدائرة التي تقع بين الم�ستقيمات الأربعة الآتية‪:‬‬ ‫‪ y = 4 ,y = 2 ,x = 3 ,x = 1‬وتم�سها‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ ) b‬ما معدلة الدائرتين اللتين تقعان بين الم�ستقيمات الثالثة الآتية‪:‬‬ ‫‪ y = 5 ,x = 8 ,x = -2‬وتم�سها‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬هناك عدة دوائر تقع بين الم�ستقيمين ‪ y = 4 ,x = 2‬وتم�سهما‪.‬‬ ‫ �أوجد معادلة الم�ستقيمين اللذين تقع عليهما م راكز هذه الدوائر‪.‬‬

‫‪71‬‬


‫الوحدة الحادية ع�شرة‬ ‫قاعدة بنفورد‬

‫‪72‬‬ ‫‪18‬‬


‫معلومات عن الوحدة‬ ‫الأهداف التعليمية للوحدة‬ ‫• تقدير قيمة تطبيق الريا�ضيات على الم�سائل والم�شاكل اليومية في الحياة‬

‫االستقصاء‬

‫ �ضمن الدول من‬41 ‫ وكان ترتيبها‬،‫ مليون ن�سمة‬28.687 ‫ كان عدد �سكان المملكة العربية ال�سعودية‬،‫م‬2009 ‫في عام‬ .‫حيث عدد ال�سكان‬ .‫ �ضمن الدول من حيث عدد ال�سكان‬139 ‫ وترتيبها‬،‫ مليون ن�سمة‬2.693 ‫�أما عدد ال�سكان الكويت فكان‬ 

  

 

   

    





   

  

 





 



250 250



 



  



    



 



   

  

50

73

0

25 50

25

0


‫نالحظ �أن الرقم "‪ "2‬يظهر في بداية العدد الذي يمثل ال�سكان في البلدين‪.‬‬ ‫الرقم "‪ "2‬هو الرقم الأول في عدد �سكان ‪ %14‬من دول العالم‪ ،‬هل هذا ما كنت تتوقعه؟ لماذا تجيب بنعم؟ �أو لماذا تجيب‬ ‫بال؟ كيف تتوقع �أن يتوزع الرقم الأول من عدد �سكان دول العالم؟‬ ‫تماما كيف يتوزع الرقم الأول فيها؟‬ ‫‪ -1‬قم ب�إعداد بحث عن عدد �سكان دول العالم لتعرف ً‬ ‫‪ -2‬ابحث عن "قاعدة بنفورد"‪.‬‬ ‫‪ -3‬هل يتبع عدد ال�سكان في مختلف دول العالم قاعدة بنفورد؟‬ ‫‪ -4‬ابحث كيف تمكن المحا�سبون القانونيون من ك�شف الحيلة �أو التزوير بعد ا�ستخدامهم لقاعدة بنفورد‪.‬‬ ‫‪ -5‬قم ب�إعداد عر�ض موجز �أو ت�سجيل �صوتي‪ ،‬ت�شرح فه لطالب من مدار�س �أخرى كيف ت�ستخدم قاعدة بنفورد‬ ‫لك�شف حاالت التزوير ‪.‬‬

‫مالحظة‪ :‬تم �إعداد الإح�صائيات ال�سكانية الم�ستخدمة في هذه الوحدة من دليل بيانات العالم ال�صادر عن وكالة اال�ستخبارات المركزية‪:‬‬ ‫‪https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/index.html‬‬

‫‪74‬‬


‫�شكر وعرفان‬

‫الوحدة ‪( 6‬الن�شاط الخام�س)‬ ‫يعتمد الن�شاط على بحث بعنوان‪" :‬ا�ستعمال الربجميات‬ ‫الهند�سية الدينامية ملحاكاة مواقف من واقع احلياة داخل‬ ‫غرفة ال�صف‪ :‬خربة معلمي الريا�ضيات املتدربني باحلد‬ ‫الأدنى من م�سائل ال�شبكات"‪ ،‬بقلم بولنت غوفن‬ ‫(‪ ،)2008( )Guven, B‬من�شور يف دورية "تدري�س‬ ‫الريا�ضيات وتطبيقاتها"‪ ،‬املجلد ‪ ،27‬العدد ‪ ،1‬ال�صفحات‬ ‫‪ .24-37‬وقد �أعيد ن�رشه مبوافقة م�شكورة من مطبعة جامعة‬ ‫اك�سفورد نيابة عن بولنت غوفن‪.‬‬

‫‪75‬‬


‫بوابة موهبة اإللكترونية‬ ‫شاركنا التجربة واكتشف عالم بوابة موهبة‬ ‫المرجع الرئيسي للموهبة واإلبداع واالبتكار في العالم العربي‬

‫ٌ‬ ‫بوابة علمية متخصصة في إرساء أسس تربية الموهوبين والمبدعين في المملكة العربية السعودية والعالم‬ ‫بوابة موهبة اإللكترونية‬ ‫معرفيًا متجددً ا ومجا ً‬ ‫ال تفاعليًا للمشاركة المجتمعية‪.‬‬ ‫تقدم خدمات متنوعة للموهوبين والقائمين على رعايتهم‪ ،‬وتعتبر مصدرًا‬ ‫العربي‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫ّ‬

‫‪Info@mawhiba.org.sa‬‬ ‫الرقم المجاني‪8 0 0 6 1 2 3 3 3 3 :‬‬


Mahiba Math Grade 10 Arabic  

كتاب موهبة للرياضات الصف الأول ثانوي

Advertisement
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you