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Cours régimes Périodiques©

Philippe Abbo

Les régimes périodiques Introduction Précisons qu'un régime est périodique s'il se reproduit identique à lui même au bout d'un temps « T » que l'on appelle période. Une confusion parfois fréquence et celle avec le régime sinusoïdal qui dans ce cas particulier peut-être étudié avec les nombres complexes. La fréquence Une onde périodique a une fréquence exprimée en Hz par exemple 60 Hz définit un signal qui se reproduit identique à lui même 60 fois en une seconde. Est-ce beaucoup ? Pour répondre à cette question il est important de considérer la nature du signal , en effet si il est électrique c'est une fréquence faible, par contre si la grandeur est mécanique la fréquence peut-être considérée comme élevée. Enfin la période est donnée par 1 f= T La valeur Moyenne Tentons une explication physique: Prenons un moteur à courant continu de jouet électrique par exemple. Alimentons le avec une tension de cette forme: Si la fréquence reste basse la vitesse du moteur va suivre les variations de la tension d'alimentation; nous aurons donc deux phases distinctes correspondantes aux niveaux haut puis au niveau bas de la tension. Si la fréquence augmente le moteur va se stabiliser autour d'une vitesse qui ne variera pas. Comment est fixée cette vitesse ? Simplement par la valeur moyenne de la tension d'alimentation, dans notre cas en simplifiant cette valeur serait voisine de 1V. y

2

1

0

0

x

1

2

Expression mathématique En considérant T la période du signal U moy =

1 × T

t 1T

u t d t

t1

Ce calcul revient à évaluer l'aire sous la courbe entre les instants t 1 et t 1 T La valeur efficace Explication physique: La valeur efficace d'un signal renseigne sur la puissance active mise en jeu. Par exemple un fer à repassé alimenté par une tension sinusoïdale chauffe, on devine que la puissance de chauffe n'est pas liée à la valeur moyenne puisque celle-ci est nulle...! Il convient donc de définir une nouvelle grandeur que l'on appelle valeur efficace et qui « traduit » la puissance de chauffe.

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Expression mathématique U 2=

1 × T

t 1T

u t 2 dt

t1

La lecture de cette expression peut-être la suivante: 1. On élève le signal au carré, 2. On calcule sa valeur moyenne ⇒ cela correspond à l'aire de la courbe élevée carré 3. On calcule sa racine carrée. Exercices Je vous encourage à vous entrainer pour cela rendez-vous à cette adresse: http://hebergement.ac-poitiers.fr/l-cc-angouleme/coulomb-exos-phy/exos_c/moy_eff/val_moy_eff.htm Il s'agit d'un QCM en ligne qui permet de mettre en œuvre le calcul des valeurs moyennes et efficaces. Mesure des valeurs moyennes et efficaces ● La valeur moyenne se mesure sur la position continue de l'appareil ● La valeur efficace se mesure sur la position AC+DC, il convient de s'assurer que l'appareil est de type RMS (Root Mean Square). La seule position alternative ne suffit pas pour mesurer une valeur efficace sauf si le signal est sinusoïdal pur. La puissance active La puissance active appelée parfois puissance moyenne correspond à la puissance mesurée par le compteur d'électricité son expression est donnée par la formule: P=

Formules de base Dipôle purement résistif

1 × T

t 1 T

u t i t d t

t1

Dipôle purement inductif

Dipôle purement capacitif

P =0

P=0

2

P=

U =R×I 2 R

Mesure de la puissance Pour cela on utilise un wattmètre, appareil qui comprend un circuit de mesure de l'intensité et un autre circuit de mesure de la tension. Dans ces conditions l'appareil dispose de calibres intensités et tensions. Montage possible

W

A

L'ampèremètre permet notamment de choisir le calibre intensité du wattmètre, en effet un mauvais choix peut conduire à la destruction de l'appareil...!

D

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Valeur moyenne et composantes variables Si le signal périodique comporte une composante continue, alors son écriture mathématique est la suivante: u t =umoy u ond t avec u ond t  la composante alternative de u(t) Prenons un exemple: La courbe rouge Y2(t) correspond à u(t), tandis que Y1(t) correspond à u ond t 

0V Y1Y2

Temps (s/Div) Y1 (V/Div)

Y2 (V/Div)

200µs/Div

2,0V/Div

2,0V/Div

Couplage : AC

Couplage : DC

On peut observer que Y1(t) n'a pas de valeur moyenne, d'après l'équation précédente u ond t =u  t – u moy donc dans notre cas la valeur moyenne qui n'est pas représenté directement sur le dessin correspond à la chute de Y2(t). En d'autre terme pour obtenir Y2(t) à partir de Y1(t) il suffit d'ajouter une constante qui correspond à la valeur moyenne. Cette mesure peut se faire simplement avec un l'oscilloscope en basculant la position DC en AC du commutateur de couplage.

off

Conséquence Avec un oscilloscope, pour visualiser correctement un signal il convient de se placer en position DC .... Quelques propriétés Il est possible d'obtenir la valeur efficace du signal connaissant sa valeur moyenne et la valeur efficace de l'ondulation: 2 2 2 U =U moy U ond La valeur moyenne se mesure sur la position DC du voltmètre, tandis que la valeur efficace de l'ondulation sur la position AC. Lois de Kirchhoff1 Je suppose que vous connaissez les lois élémentaires de l'électricité dans le cadre des régimes stationnaires, ici nous allons rappeler les conditions de validité de ces lois. Pour résumer on peut dire qu'elles se transposent dans le cas des régimes variables à condition d'utiliser les valeurs instantanées d'une part et de faire fonctionner le circuit à une fréquence telle que la longueur d'onde () est grande devant les dimensions du circuit. Cette dernière affirmation peut sembler sibylline en fait comprenez que la longueur du circuit et sa fréquence d'alimentation peuvent intervenir. En effet si nous choisissons un câble coaxial par exemple d'une longueur de 100 m et bien il est évident que la fréquence du signal deviendra importante dans certaines conditions: 8 3.10 =3.10 6 m >> devant L = 100 m Si f = 100 Hz soit  = c/f donc = 100 8 3.10 Si f = 106 Hz alors = =300 m cette valeur a peine plus grande que la longueur du circuit, impose 10 6 1 Voir le lien Page 3/6


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de tenir compte du temps de propagation du signal. Dans le cadre de notre étude, nous nous limiterons aux situations où  est très grande devant la longueur du circuit. Loi des noeuds La somme des courants qui convergents en un point, est égal à la somme des courants qui divergent du point ou noeud. Cette loi traduit la conservation des courants électrique dans un circuit. Loi des mailles La somme algébrique des tensions aux bornes des branches d'une maille décrite dans un sens arbitaire est nulle. ∑  k uk avec k =1 si les tensions ont le même sens que celui choisi sur la maille et k =– 1 dans le cas contraire. Les dipôles Résistance

Inductance u=

u=Ri

Condensateur

Ldi dt

i=C

u(t)

u(t)

u(t)

du dt

Séries de Fourier Ce chapitre expose des résultats importants ... En effet, Fourier a montré qu'un signal périodique quelconque peut se construire mathématiquement avec sa valeur moyenne et une somme infinie de fonctions sinusoïdales de périodes multiples les unes des autres. Dans certaines situations quelques fonctions sinusoïdales peuvent suffire pour (re)construire le signal. Par exemple, un signal triangulaire périodique peut être obtenu à partir de sa série de Fourier qui s'écrit:

y

inf

u t =

8 k  t  sin k ×sin 2 ∑ 2  x =1 k2

 

x

avec k un nombre entier positif Bien entendu, le calcul de cette série n'est pas au programme. Je vous encourage toutefois à pousser la porte des mathématiques afin de comprendre comment est obtenu ce résultat. Pour cela une petite visite sur le site de mon collègue de mathématiques devrait y contribuer...

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Il est possible de se « contenter » de quelques valeurs de « k » par exemple k ∈ [1 ; 9 ]

y

Nous observons deux courbes ● ●

Illustration 1: Pour information cette courbe a été tracé avec mon « grapheur » préféré : ORGE

celle qui est de forme triangulaire (en noir) sa (re)construction (en rouge) qui utilise les premières fonctions sinusoïdales de la série de Fourier.

x

Un peu de vocabulaire Les termes non constant qui composent la série de Fourier s'appellent harmoniques. Spectre d'amplitude Le spectre d'un signal périodique consiste à tracer sur un graphe l'amplitude des harmoniques associés à chaque fréquence. On parle alors de spectre d'amplitude. Ce graphique s'apparente aux barregraphes visibles sur les amplificateurs de chaines Hi-Fi en indiquant la présence de certaines fréquences. Pour un signal triangulaire de fréquence 1000 Hz cela permet de voir que les harmoniques de rang pair n'existent pas et que ceux de rang impair disparaissent très vite, il est donc inutile d'en prendre beaucoup pour reconstruire un signal triangulaire... u 0.8

1 k Hz

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

3 k Hz 5 k Hz

1

2

3

4

Illustration 2: Spectre obtenu avec Regressi

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5

7 k Hz

6

7

f (kHz)


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Taux d'ondulation Nous avons vu qu'un signal périodique peut s'écrire en ajoutant à sa valeur moyenne la composante liée à l'ondulation :

y =y moyy a

● ●

y a représentant l'ondulation du signal de y(t); Ya étant sa valeur efficace.

Le taux d'ondulation est donnée par la relation suivante : =

Ya y moy

Facteur de Forme Le facteur de forme est calculé en divisant la valeur efficace du signal par sa valeur moyenne.

F=

Y

Y moy

cette grandeur n'a pas d'unité, elle est toujours supérieure à 1.

Exercices Vous pouvez vous entraîner en vous rendant à cette adresse, dans la rubrique divers, vous y trouverez de nombreux exercices...

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Régimes périodiques  

Cours sur les régimes périodiques

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