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Bรกsico

matemรกtica


Matemática 6 Te damos la bienvenida a tu libro de Matemática. En él podrás aprender sobre esta disciplina que está presente en tu vida cotidiana y que utilizas en muchas ocasiones, generalmente, sin darte cuenta, como cuando revisas que te hayan dado bien el vuelto de una compra o mides cierto objeto o superficie. En esa y otras ocasiones, pones en práctica tu competencia Matemática.

s olvería s e r o Cóm ente el sigui a problem

Cristina mide 1,59 m y Sebastián 1,75 m. ¿Cuántos centímetros más mide Sebastián que Cristina?

Concreto

Simbólicamente

U

1.°

– 2.°

Gráficamente

1,5

1,6 1,59

1,7

Mientras más opciones conozcas, más fácil será encontrar la respuesta.

1,75

1,8

d

c

6

15

1

,

7

5

1

,

5

9

0

,

1

6


El texto Matemática para Sexto año de Educación Básica forma parte del proyecto editorial de SM. En su desarrollo participó el siguiente equipo:

Edición Cristina Ayala Altamirano Autoría Andrea Cáceres Guzmán Nelson Figueroa Hermosilla Elizabeth Gatica Vásquez Ayudante de edición Roxana Zambrano Parra Asesoría pedagógica Roberto Vidal Cortés Marcia Villena Ramírez Solucionario Esteban Fernández Ortega Nadia Fredes Hernández Corrección de estilo y pruebas Víctor Navas Flores Dirección de arte Carmen Gloria Robles Sepúlveda Coordinación de diseño Gabriela de la Fuente Garfias Diseño y diagramación Mauricio Fresard Lemmermann Ilustración de portada María José Arce Letelier Ilustración Estefani Bravo Morales Felipe Lira Pizarro

Fotografía Pixabay Latinstock Wikimedia Commons Google Maps Banco de imágenes SM Gestión de derechos María Loreto Ríos Melo Jefatura de producción Andrea Carrasco Zavala Dirección editorial Arlette Sandoval Espinoza

El proyecto Savia ha sido enriquecido gracias a las reflexiones y los aportes del Equipo de Profesores Asesores (EPA) que participó en su creación. Vilma Aldunate Díaz Mónica Cañete Martínez Heidi Graver del Valle Andrés López Umaña Rosario Pulido Maino Paula Russi García Marlene Saldes Wuth Paulina Silva Molina Marianela Valladares Sáez Catalina Varas Angotzi

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© 2016 – Ediciones SM Chile S.A. ISBN: 978-956-349-995-7 / Depósito legal: N° 259834 Impreso en Chile por Salesianos Impresores S.A. / Printed in Chile. E-mail: chile@ediciones-sm.cl – Servicio de Atención al Cliente: 600 381 13 12 Coyancura 2283, oficina 203 – Providencia. Quedan rigurosamente prohibidas, sin autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

Proyecto savia © Ediciones SM

Coordinación área Matemática Carla Frigerio Cortés


Índice Unidad

Unidad

1

Números naturales .......................................... 8

Activo lo que sé ........................................................................ 10 Lección

1

Operaciones básicas

Estimar sumas y restas ............................................................. 12 Estimar productos y cocientes ............................................... 14

Integro lo que aprendí........................................................... 16 Lección

2

Múltiplos y factores

Múltiplos de un número natural ........................................... 18 Factores ....................................................................................... 22 Números primos y compuestos ............................................ 24 Descomposición en factores .................................................. 26 Mínimo común múltiplo .......................................................... 28

Integro lo que aprendí........................................................... 32 Resuelvo problemas ............................................................... 34 Matemáticamente ................................................................... 36 Organizo mis ideas ................................................................. 38 Compruebo lo que aprendí .................................................40

2

Fracciones y decimales ..............................44

Activo lo que sé ........................................................................46 Lección

1

Fracciones y números mixtos

Fracciones propias e impropias.............................................48 Fracciones impropias y números mixtos ............................50 Representación en la recta numérica .................................. 52 Fracciones equivalentes .......................................................... 54 Orden y comparación de fracciones ................................... 56 Fracción de un número............................................................60 Lección

2

Suma y resta de fracciones

Suma y resta de fracciones de igual denominador .............................................................................. 62 Suma y resta de fracciones de distinto denominador ..............................................................................64 Operaciones combinadas y fracciones ............................... 68

Integro lo que aprendí........................................................... 70 Lección

3

Números decimales

Relación entre decimales y fracciones ................................ 72 Sumar y restar números decimales ...................................... 74 Multiplicar un número decimal por uno natural .............. 76 Dividir un número decimal por un natural......................... 78 Multiplicar y dividir un número decimal por un múltiplo de 10 ...............................................................80 Producto entre números decimales..................................... 82 Cociente entre números decimales .....................................84 Operaciones combinadas ....................................................... 86

Integro lo que aprendí...........................................................88

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Resuelvo problemas ...............................................................90 Matemáticamente ................................................................... 92 Organizo mis ideas .................................................................94 Compruebo lo que aprendí ................................................. 96

3


Índice

Lección

3

Razones y porcentajes.............................100

Activo lo que sé ..................................................................... 102 Lección

1

Razones

Concepto de razón ................................................................ 104 Razones iguales ...................................................................... 108

Integro lo que aprendí......................................................... 112 Lección

2

Porcentajes

Concepto de porcentaje ........................................................114 Porcentajes como fracciones o decimales ....................... 116 Porcentaje de un número .....................................................118 Cálculo del tanto por ciento .................................................122 Cálculo del 100 % ................................................................... 124

Integro lo que aprendí.........................................................126 Resuelvo problemas ............................................................ 128 Matemáticamente ................................................................ 130 Organizo mis ideas ...............................................................132 Compruebo lo que aprendí .............................................. 134

Unidad

4

Patrones y álgebra ..................................... 138

Lección

1

Lenguaje algebraico

Lenguaje algebraico .............................................................. 142 Valorizar expresiones algebraicas ..................................... 144 Aplicaciones del lenguaje algebraico............................... 146 Lección

2

Secuencias

Secuencias numéricas.............................................................. 148 Secuencias formadas por figuras ........................................ 150 Término general ......................................................................... 154

Integro lo que aprendí........................................................ 158

4

Ecuaciones

Ecuaciones y balanzas ............................................................. 160 Ecuaciones: descomposición y correspondencia .......... 164 Ecuaciones: aplicando propiedades................................... 168 Planteamiento de ecuaciones................................................ 172 Estudio de soluciones ............................................................... 174

Integro lo que aprendí.........................................................176 Resuelvo problemas .............................................................178 Matemáticamente ................................................................ 180 Organizo mis ideas .............................................................. 182 Compruebo lo que aprendí .............................................. 184

Unidad

5

Ángulos ............................................................. 188

Activo lo que sé ..................................................................... 190 Lección

1

Ángulos y su construcción

Elementos de un ángulo .......................................................192 Ángulos y el transportador .................................................. 194 Clasificación de ángulos ....................................................... 196 Copiar ángulos con regla y compás.................................. 198 Construir ángulos con software ......................................... 202

Integro lo que aprendí........................................................204 Lección

Activo lo que sé ..................................................................... 140

3

2

Ángulos entre rectas

Ángulos complementarios y suplementarios ................. 206 Ángulos opuestos por el vértice .......................................... 208 Trazar rectas paralelas: regla y escuadra .......................... 210 Trazar rectas paralelas: regla y compás ............................ 212 Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal..................................................................................... 214

Integro lo que aprendí........................................................ 218 Resuelvo problemas ............................................................ 220 Matemáticamente ................................................................ 222 Organizo mis ideas .............................................................. 224 Compruebo lo que aprendí .............................................. 226

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Unidad


Unidad

Unidad

6

Figuras 2D y 3D ............................................230

Activo lo que sé ..................................................................... 232 Lección

1

Figuras 2D

Ángulos en triángulos ........................................................... 234 Clasificación de triángulos según la medida de sus lados.............................................................................. 236 Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos interiores ................................................................... 238 Construcción de triángulos..................................................240 Desigualdad triangular ......................................................... 244 Ángulos en cuadriláteros ..................................................... 246 Lección

2

7

Activo lo que sé ..................................................................... 298 Lección

1

Datos

Construir e interpretar gráficos de barras dobles ........300 Interpretar gráficos circulares .............................................304 Construir gráficos circulares ................................................ 308 Construir e interpretar diagramas de puntos ................ 310 Construir e interpretar diagramas de tallo y hojas ....... 314

Integro lo que aprendí........................................................ 318 Lección

Teselados

Datos y probabilidades ........................... 296

2

Probabilidades

Transformaciones isométricas ............................................ 248 Teselaciones regulares .......................................................... 252 Teselaciones semirregulares ............................................... 256

Experimentos aleatorios y determinísticos......................... 320 Describir el espacio muestral ...................................................... 322 Repetición de experimentos aleatorios ................................ 326 Probabilidad de ocurrencia de un suceso .......................... 330

Integro lo que aprendí........................................................ 260

Integro lo que aprendí........................................................ 334

Lección

3

Área y volumen

Unidades de medida de superficies ................................. 262 Área del cubo .......................................................................... 264 Área del paralelepípedo ....................................................... 268 Concepto de volumen........................................................... 272 Unidades de medida de volumen ......................................274 Volumen del cubo .................................................................. 276 Volumen del paralelepípedo............................................... 280

Resuelvo problemas ............................................................ 336 Matemáticamente ................................................................ 338 Organizo mis ideas ..............................................................340 Compruebo lo que aprendí .............................................. 342 Recortables ..............................................................................347

Integro lo que aprendí........................................................ 284 Resuelvo problemas ............................................................ 286 Matemáticamente ................................................................ 288 Organizo mis ideas .............................................................. 290

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Compruebo lo que aprendí .............................................. 292

5


Conoce tu texto tu libro está dividido en siete unidades de diferentes colores. Cada una te mostrará diferentes áreas de la Matemática por medio del planteamiento de interesantes y desafiantes actividades. A continuación te invitamos a conocer los tipos de páginas y las secciones que encontrarás en tu texto.

Inicio de unidad Páginas que, a través de una imagen, te invitan a resolver un problema guiado por los pasos de la sección Miro y resuelvo. Al final de las páginas podrás conocer lo que aprenderás a lo largo de la unidad, tu meta de aprendizaje.

Activo lo que sé Actividades a través de las cuales podrás activar tus conocimientos necesarios para abordar los temas que estudiarás en la unidad. La sección Reflexiono da término a cada evaluación invitándote a pensar sobre las dificultades que tuviste y cómo las enfrentaste.

Páginas de contenido Comienzan con una actividad en la que podrás activar lo que ya sabes de cada tema y otras que resolverás intuitivamente. Luego podrás corroborar tus respuestas con el contenido matemático, seguido de actividades de ejercitación y resolución de problemas.

Cálculo mental

Escribe en los recuadros los resultados del cálculo mental que proponga tu profesor o profesora.

6

¿Sabías que…?

Para comprender

Sección que te entregará datos curiosos e interesantes relacionados con las temáticas tratadas.

Sección que te ayudará a aprender el significado de palabras que no conozcas.

Recuerda que Sección que te recordará contenidos matemáticos de unidades o años anteriores.

Qué importante es... Sección que te invita a incorporar valores y actitudes en tu vida.

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Además encontrarás algunas secciones como:


Integro lo que aprendí Actividades que te permiten reconocer y aplicar lo aprendido hasta ese momento en la unidad. Incluye la sección Reflexiono.

Resuelvo problemas te invitamos a conocer estrategias de resolución de problemas y a ponerlas en práctica resolviendo algunos ejercicios. Incluye la sección Creo, en la cual debes crear un problema con los datos entregados, y la sección Tiene sentido, en la que analizarás si una respuesta o un planteamiento tienen o no sentido.

Matemáticamente te desafiamos a aprender estrategias de cálculo mental que mejorarán tu agilidad para resolver ejercicios matemáticos. Recuerda que las pondrás en práctica al inicio de cada tema.

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Organizo mis ideas Se presentan en ocasiones un pequeño resumen y actividades breves para cada tema que aprendiste durante la unidad. Así podrás saber qué aprendiste y qué debes reforzar.

Compruebo lo que aprendí Actividades que te permiten verificar lo que aprendiste al término de la unidad. Incluye la sección Reflexiono.

7


Unidad

Nuestro grupo tiene menos integrantes que los otros. ¿De qué forma podemos reagrupar a todo el curso para que cada grupo tenga la misma cantidad de integrantes? 8

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1

Números naturales


Miro y resuelvo O PAS

1

Comprendo el problema Explica de qué se trata el problema.

O PAS

2

Creo el plan Escoge uno de los siguientes planes: Agrupar encerrando los grupos que se pueden formar. Contar los y las estudiantes y recordar una combinación multiplicativa que resulte dicho número. Sumar y dividir.

O PAS

3

Ejecuto el plan Pon en práctica el plan seleccionado y responde.

O PAS

4

Compruebo el resultado Compara tu respuesta con la de un compañero o compañera: ¿son las mismas?, ¿hay solo una opción de agrupar?

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¿Qué voy a aprender? A estimar el resultado de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. También conoceré los múltiplos y factores de un número, y los números primos y compuestos. Además, resolveré problemas que involucran múltiplos y las cuatro operaciones. Todo esto, demostrando una actitud de esfuerzo y perseverancia. Lección 1: Operaciones básicas. Lección 2: Múltiplos y factores. 9


ACTIVO lo que sé Adición y sustracción

1 La siguiente imagen muestra la altura de las capas de la atmósfera. +500 000 m 500 000 m

90 000 m 50 000 m 10 000 – 12 000 m

Exosfera Termosfera Mesosfera Estratosfera Troposfera

¿Cuánto más arriba se encuentra la termosfera que la mesosfera?

Respuesta:

2 Un avión comercial vuela a una altura de 10 348 m, mientras que un transbordador espacial lo hace 351 000 m más arriba que el avión. ¿A qué altura vuela el transbordador?

Respuesta: Multiplicación

3 Un globo de helio, que estaba amarrado, se encontraba a una altura cercana a

Respuesta: 10

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los 4 metros; no obstante, se suelta la amarra y el globo recorre la atmósfera, aumentando su altura 3 096 veces. ¿Qué altura alcanzó el globo?


Evaluación inicial

1

4 Resuelve las siguientes multiplicaciones. a.

245 · 6

b.

30 568 · 12

c.

45 895 · 27

5 Completa cada operación con los números que faltan. a. 7 · b.

= 49 · 8 = 56

c. 5 ·

= 125

d. 108 =

·9

e. 52 = 13 · f. 60 =

·5

División

6 Resuelve las divisiones. a.

5 232 : 8

b.

7 160 : 20

c.

1 143 : 9

7 El primer cohete lanzado desde Cabo Cañaveral, en EE.UU., fue el Bumper 2, el cual alcanzó

una altura máxima de 400 000 m. Si aproximadamente necesitaba 10 litros de combustible para recorrer 50 m, ¿cuántos litros de combustible necesitó para alcanzar la altura máxima?

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Respuesta:

Reflexiono ¿Qué operación aritmética fue la que más te costó: adición, sustracción, multiplicación o división?, ¿por qué? De los temas desarrollados en la actividad, ¿qué te gustaría reforzar, profundizar o mejorar?, ¿por qué? 11


Le

cción

1

Operaciones básicas Estimar sumas y restas

1 Observa la imagen y, sin realizar cálculos escritos, responde.

$109 900

0 65 72 6 $

$52 99

0

$489 990

¿Será suficiente $ 700 000 para comprar un notebook y una impresora?, ¿por qué? Si compras la cámara fotográfica y te hacen un descuento de $ 48 999, ¿gastarás más o menos de $ 450 000? Explica la estrategia que utilizaste en las preguntas anteriores para calcular la cantidad de dinero que gastarás en cada compra.

Al estimar no se requiere de un cálculo exacto, sino de cálculos aproximados o cercanos al valor exacto. Por tanto, no existen estimaciones erróneas, solo existen estimaciones más cercanas al valor exacto. Una estrategia para estimar sumas y restas es el redondeo. Este permite realizar los cálculos con números más sencillos y obtener una respuesta rápida. Por ejemplo:

Estimación 1 → 100 000 + 500 000 = 600 000 Estimación 2 → 100 000 + 490 000 = 590 000 Precio exacto → 109 900 + 489 990 = 599 890

Las dos estimaciones son correctas, pero la primera es más cercana al precio exacto.

Estimar, ¿podría ser una estrategia para comprobar los resultados de la adición y la sustracción?, ¿por qué? 12

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¿Cuánto dinero se necesita para comprar una cámara fotográfica y una impresora de la imagen?


1 Aplicar

2 Estima el resultado y selecciona la frase correcta. Luego, comprueba tus respuestas con una calculadora. a. 448 690 – 250 000 ≈

b. 76 812 + 26 614 ≈

El resultado es mayor que 200 000.

El resultado es mayor que 100 000.

El resultado es menor que 200 000.

El resultado es menor que 100 000.

Analizar

3 Escoge rápidamente la alternativa que represente el resultado. a. 5 875 + 4 835 =

9 710

b. 54 310 – 27 205 =

27 105

10 710

33 105

11 710

37 105

¿Qué estrategia utilizaste para escoger las respuestas?, ¿qué elementos analizaste?

Problemas 4 A una obra de teatro el viernes asistieron 4 587 personas, el sábado

2 974 y el domingo 3 928. Estima: ¿cuántas personas asistieron a la obra el fin de semana? Explica cómo realizaste la estimación.

5 Un pendrive cuesta $ 4 560, un cargador de celular $ 9 990 y unos audífonos $ 6 530. ¿Cuánto dinero se necesita para comprar los tres productos?

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5 000 + 10 000 + 6 500 Gastaremos cerca de $ 21 500.

5 000 + 10 000 + 7 000 Gastaremos cerca de $ 22 000.

¿Quién logró una estimación más cercana al valor exacto? Justifica.

13


Lección

1 Estimar productos y cocientes 1 Responde sin realizar cálculos escritos. El pendrive es un dispositivo de almacenamiento que fue creado en 1998 con el objetivo de reemplazar los disquetes.

¿Sabías que...?

Se necesitan cerca de 6 910 disquetes de 1,44 MB para igualar la capacidad de un pendrive de 1 GB.

1 GB = 1 000 MB

El tamaño de la mayoría de las canciones en formato MP3 que se quieren almacenar es cercano a 3,7 MB. ¿Cuántas canciones estimas que se podrían almacenar en un pendrive de 1 GB?, ¿por qué? Si una carpeta con fotografías ocupa 4 789 MB, ¿son suficientes 5 pendrives de 1 GB de capacidad cada uno para almacenar todas las fotos?, ¿por qué? Las estrategias para responder las preguntas, ¿se relacionan con las utilizadas para estimar adiciones y sustracciones?, ¿por qué?

Al estimar multiplicaciones y divisiones, el redondeo puede ser una estrategia útil. Al igual que en la estimación de adiciones y sustracciones, no existen estimaciones incorrectas, solo algunas más cercanas al valor exacto. Por ejemplo:

Estimación → 6 000 : 6 = 1 000

Cálculo exacto → 5 844 : 6 = 974

¿En qué situaciones es útil estimar multiplicaciones y divisiones? ¿Cómo explicarías el proceso de estimar 1 303 · 11? 14

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Si tengo 5 844 cajas de leche individual y las agrupo de 6 para formar un pack, se podría afirmar que se formarán cerca de 1 000 packs, pues:


1 Aplicar

2 Estima los resultados aplicando el redondeo. Luego, comprueba con una calculadora cuán cerca estuviste del resultado exacto. a. 423 · 27 ≈

c. 81 999 : 99 ≈

b. 14 970 · 5 ≈

d. 567 : 6 ≈

Recuerda que El signo ≈ significa que el resultado obtenido es un valor cercano al exacto, es decir, el resultado corresponde a un valor estimado.

¿Qué cambios realizarías en tu estrategia de redondeo para obtener resultados más cercanos al resultado exacto?

Problemas 3 El grosor de 120 hojas de papel apiladas es de 11 mm. Estima: ¿cuántos milímetros medirá la altura de una pila de 360 hojas de igual grosor?, ¿y una de 1 000 hojas?

1 000 hojas

360 hojas 120 hojas

4 Martín quiere comprar 6 autos de juguete para su colección. Si cada

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uno cuesta $ 2 550, y ahorra $ 1 000 cada semana, ¿cuánto tiempo tardará en tener el dinero suficiente para comprar los autos? Explica la estrategia.

5 Tres amigos ganaron $ 9 630 120 en un concurso de la televisión, repartiéndolo en partes iguales entre ellos. Estima: ¿cuánto dinero recibirá cada uno? Explica cómo obtuviste la respuesta.

15


INTEGRO lo que aprendí Descubre cómo una persona puede utilizar el agua diariamente.

1 En un baño de tina se pueden utilizar 175 litros de agua y en una carga completa

la lavadora utiliza 285 litros. Estima: ¿cuántos litros de agua se ocupan al realizar ambas actividades?, ¿por qué?

Respuesta:

2 Cada vez que utilizas el WC y realizas una descarga de agua, puedes ocupar

4,8 litros de agua. Si ahorras 3 descargas al día, estima: ¿cuánta agua habrás ahorrado en un mes?

Respuesta:

3 Se estima que durante una ducha de 5 minutos se consumen 95 litros de agua. Esa

Según la información entregada, ¿es correcto afirmar que una persona debería consumir, estimadamente, 2 litros de agua a diario? Explica.

16

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cantidad equivale a la cantidad mínima de agua que debería beber una persona en 50 días.


Evaluación intermedia

1

4 En Chile, una persona utiliza en promedio 170 litros de agua al día. Si en el lavamanos de su

hogar tiene una gotera, esto podría aumentar su consumo en 27 litros diarios. Estima: ¿cuánta agua utilizará diariamente? Explica tu respuesta.

Respuesta:

5 Una publicación de Explora CONICYT muestra que en el sector de Pan de Azúcar, en la

comuna de Colina, cada persona utiliza en promedio 1 120 litros de agua diariamente, siendo las que más consumen en Chile. En Frutillar, cada persona utiliza 64 litros. Estima: ¿cuál es la diferencia, en litros, de lo utilizado por cada persona en ambos sectores?

Respuesta:

6 La UNESCO recomienda que una persona utilice 100 litros de agua diarios como máximo.

Considerando los datos de la actividad anterior, ¿para cuántos días alcanzaría el agua que se utiliza durante un día en Pan de Azúcar si se siguiera la recomendación?, ¿por qué?

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Respuesta:

Reflexiono ¿Qué estimaciones fueron las más difíciles de realizar? Márcalas. ¿Qué necesitas mejorar en tu estrategia de estimación?, ¿por qué? ¿Utilizas el agua de forma responsable?

17


Le

cción

2

Múltiplos y factores Múltiplos de un número natural

1 Lee y responde. La mamá de Sofía compra packs de yogures para la colación de su hija. Si decide comprar 3 packs de yogures, ¿cuántas unidades en total comprará la mamá de Sofía? Completa la tabla. 1

Cantidad de packs

2

3

4

5

6

10

Cantidad de yogures

Observa la secuencia de la tabla. ¿Cómo podrías determinar la cantidad de yogures que tendría al comprar 16 packs? ¿Se podrían comprar exactamente 43 yogures al comprar packs?, ¿por qué? Las cantidades de yogures de la tabla describen una secuencia llamada "múltiplos de 5". Explica cómo se pueden obtener los múltiplos de 5.

·1

·2

·3

·4

·5

·6

·7

·8

·9

·…

M(3)

3

6

9

12

15

18

21

24

27

Múltiplos de 11 M(11)

11

22

33

44

55

66

77

88

99

Múltiplos de 3

La notación M(a) indica el conjunto de todos los múltiplos de a, siendo a un número natural cualquiera. ¿Cuál crees que es el primer múltiplo de un número?, ¿y el último múltiplo?

18

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En general, los múltiplos de un número natural se obtienen al multiplicar dicho número por uno, por dos, por tres, etc., es decir, por cada uno de los números naturales. Por ejemplo:


1 Representar

2 Representa en cada recta numérica los múltiplos de cada número.

a. Múltiplos de 3

b. Múltiplos de 4

c. Múltiplos de 2

d. Múltiplos de 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20

¿Es correcto decir que el conjunto de los números naturales representa los múltiplos de 1?, ¿por qué? Identificar

3 Escribe los múltiplos solicitados. a. Los primeros múltiplos de 6.

b. Los primeros múltiplos de 2 terminados en 4 o 6.

c. Los primeros múltiplos de 5 que sean además múltiplos de 10.

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d. Los menores múltiplos de 9 que sean mayores que 70.

19


Lección

2 Aplicar

4 El número que se encuentra en el interior del pentágono no es múlti-

plo de uno de los números que aparecen en sus vértices. ¿Cuál es ese número en cada caso? Márcalo con una ✗. 3

2

4 7

30 1

5

2

7 3

84 7

6

5

3 2

3

42 4

2

7

315 9

5

Comprobar

5 Resuelve las divisiones e identifica de qué números son múltiplo 28 y 126. Pinta las casillas correspondientes. 28 : 4 =

28 : 6 =

28 es múltiplo de …

126 : 4 =

28 : 9 =

4

6

9

126 : 6 =

126 es múltiplo de …

126 : 8 =

4

6

8

Completa la oración.

. ¿Qué otra estrategia podrías aplicar para descubrir si un número es múltiplo de otro?

20

Recuerda que El resto o residuo es lo que sobra al realizar una división.

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Para comprobar si un número a es múltiplo de otro número b, se divide a en b, y el resto de esa división debe ser


1 Problemas 6 María compra algunos packs de ampolletas como las de la imagen. a. ¿Cuántas unidades de ampolletas comprará si lleva 6 packs?

Respuesta: b. ¿Cuánto dinero deberá pagar por los packs comprados?

$ 5 999

as Pack Ampollet , 2 unid, 15 W luz cálida

Respuesta:

7 Los huevos se venden, por lo general, en cajas de una o media docena. a. Al comprar cierta cantidad de cajas, ¿puedes comprar exactamente 20 huevos? Explica.

Respuesta: b. ¿Cuál es la cantidad mínima de cajas que debes comprar para tener 25 huevos?

Qué importante es...

Respuesta:

8 ¿Están en lo correcto? Escribe un ejemplo para justificar tu respuesta. Los múltiplos de un número natural siempre son menores que dicho número.

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Se pueden escribir todos los múltiplos de un número.

¿Está en lo correcto?

.

¿Está en lo correcto?

.

Porque

.

Porque

.

Escuchar la opinión de otras personas. Si no estás de acuerdo con lo que dicen o notas que cometen algún error, es importante que se lo hagas saber con respeto. ¿De qué forma le dices a alguien que no estás de acuerdo con su opinión?

21


Lección

2 Factores 1 Lee y resuelve. Margarita tiene 24 baldosas que colocará en su patio, formando un rectángulo. Representación con baldosas Representación con cubos Representa las 24 baldosas con cubos o con cuadrados de papel. Busca todos los arreglos rectangulares que se pueden formar con ellas y dibújalos en la cuadrícula.

¿Qué relación hay entre el largo y ancho de cada rectángulo formado y la cantidad total de baldosas? Explica.

Los factores de un número corresponden a todos los números naturales que, multiplicados entre sí, dan como resultado el mismo número. Asimismo, los factores de un número natural representan los divisores de dicho número. Por ejemplo: Para encontrar los factores de 30, buscamos todos los números que, multiplicados entre sí, den como resultado 30. 2 · 15 = 30

3 · 10 = 30

5 · 6 = 30

F(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} F(a) representa el conjunto de todos los factores de a. Los arreglos rectangulares que encontraste, ¿representan a todos los números que, multiplicados entre sí resultan 24? ¿Qué números te faltan? 22

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1 · 30 = 30


1 Identificar

2 Busca todos los factores de cada número. Puedes representar los arreglos rectangulares con cubos o cuadrados de papel. a. F(36) = b. F(49) = c. F(100) = d. F(120) = ¿Es correcto afirmar que los factores de un número pueden ser menores o iguales que ese número?, ¿por qué? Aplicar

3 Escribe el factor que falta. d. 6 ·

a. 45 = 5 · b. c. 99 =

· 7 = 28 ·3

= 72

e. 26 = 13 · f. 90 =

· 18

Problemas 4 Observa el dibujo y contesta.

a. La cantidad total de muñecos, ¿es múltiplo de 2?

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b. El número 4, ¿es factor de la cantidad total de muñecos?, ¿y el 3?

c. ¿Cuántos muñecos habría que añadir, como mínimo, para que el total de muñecos tenga el número 6 como uno de sus factores?, ¿por qué?

23


Lección

2 Números primos y compuestos 1 Con cubos o fichas cuadradas forma todos los arreglos rectangulares que puedas realizar con 2, 4, 7, 8, 9, 11 y 13 cuadrados en total.

Considera, por ejemplo, que (2 · 4) y (4 · 2) son respuestas diferentes.

Completa una tabla para cada caso. Para arreglos con 8 cuadrados

Para arreglos con 4 cuadrados

N.º de filas

N.º de filas

N.º de columnas

Para arreglos con 9 cuadrados N.º de filas

N.º de columnas

Para arreglos con 2 cuadrados N.º de filas

N.º de columnas

N.º de columnas

Para arreglos con 11 cuadrados N.º de filas

N.º de columnas

Para arreglos con 7 cuadrados N.º de filas

N.º de columnas

Para arreglos con 13 cuadrados N.º de columnas PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

N.º de filas

24


1 2 Analiza tus resultados y responde. a. ¿En qué casos encontraste solo dos soluciones? b. ¿Qué características o regularidades observas en los casos con dos soluciones? Menciona al menos 2.

Los números primos son aquellos números naturales que tienen solo dos factores: el 1 y el mismo número. Los números que tienen más de dos factores distintos se llaman números compuestos. El número 1 no es primo ni es compuesto. De los números de la actividad inicial (2, 4, 7, 8, 9, 11 y 13), ¿cuáles son primos y cuáles son compuestos? Clasificar

3 Ubica los números en los vértices de los hexágonos correspondientes. ¿Sabías que...? 19 Primos

24 16

17

31 23

11 14

30 18

37

Compuestos

36

Eratóstenes fue un matemático griego que creó un método para obtener números primos. Hoy se conoce ese método como la criba de Eratóstenes.

Problema 4 La edad del padre de Juan está comprendida entre 45 y 55 años y es

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múltiplo de 3. Tiene el triple de años que su hijo. La edad de Juan es un número primo. ¿Qué edad tiene cada uno?

Respuesta: 25


Lección

2 Descomposición en factores 1 Completa el diagrama de árbol con los factores que faltan. 240 10

·

· 3

·

4

·

2

· 2

Los números que se obtienen en los casilleros rojos, ¿son primos o compuestos?, ¿por qué?

¿Crees que hay una combinación de otros números primos que, multiplicados entre sí, den como resultado 240?, ¿por qué?

Cualquier número compuesto se puede descomponer como producto de factores primos. Y cada descomposición es única. Un diagrama de árbol puede ser de ayuda para encontrar estos factores. Por ejemplo: 1.° 45 es el número inicial.

45

3.° Como el 5 es primo, no es necesario descomponerlo; pero el número 9 es compuesto, por lo que repetimos el paso anterior.

9

3

·

·

3

La descomposición en factores primos del número 45 es: 45 = 3 · 3 · 5 ¿Cuál es la descomposición en factores primos de 240? 26

5

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2.° Piensa en dos números que multiplicados entre sí den como resultado 45. En este caso, puede ser 9 · 5 o bien 3 · 15.


1 Aplicar

2 Encuentra los factores primos a partir de un diagrama de árbol. a.

c.

42 7

1 250

·

2

125 25

·

·

·

· 42 =

1 250 =

b. 860

860 =

d.

98

98 =

¿De qué forma la descomposición en factores primos podría ayudar a determinar todos los factores de un número cualquiera?

Problema 3 Dos amigas se encuentran y una le comenta a la otra que el producto

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de la edad de sus tres hijas es 105. Si todas tienen distinta edad y se llevan por dos años de diferencia, ¿cuántos años tienen las hijas?

Respuesta: 27


Lección

2 Mínimo común múltiplo 1 Resuelve el problema y responde. Teresa observa las estrellas con su telescopio cada 2 días, desde el segundo día del mes; mientras que Valentín lo hace cada 3 días, desde el tercer día del mes. L

M

M

J

V

S

D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

¿En qué días coinciden? Márcalos en el calendario con un

.

¿Cuál fue tu estrategia para saber en qué días coinciden? Los días en los cuales Teresa observó las estrellas, ¿de qué número son múltiplos?, ¿y aquellos en los que observó Valentín?

¿En qué día coincidirán los dos niños por primera vez? ¿Qué podrías decir sobre los días en que coincidieron?

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más números es el menor múltiplo común entre dichos números. Por ejemplo, para encontrar el m.c.m. de 6 y 9: 1.º Escribimos los múltiplos de cada número. 2.º Comparamos las listas y buscamos el menor múltiplo que se repita. M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, ...} m.c.m.(6, 9) = 18

Los días en que coinciden Teresa y Valentín, ¿corresponden a los múltiplos comunes de 2 y 3? ¿Cuál es el m.c.m. en esa situación?

28

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M(9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...}


1 Conjeturar

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2 Determina el m.c.m. entre los números dados. m.c.m.(3, 12) =

m.c.m.(6, 5) =

m.c.m.(25, 5) =

m.c.m.(4, 7) =

m.c.m.(8, 24) =

m.c.m.(8, 11) =

m.c.m.(2, 6, 12) =

m.c.m.(2, 3, 5) =

¿Qué relación observas entre los números dados y su m.c.m.?

¿Qué relación observas entre los números dados y su m.c.m.?

¿Qué podrías concluir sobre calcular el m.c.m. entre dos números cuando uno es múltiplo del otro?

¿Qué podrías concluir sobre calcular el m.c.m. entre dos números que son primos entre sí?

Si descompones en factores primos los números anteriores, ¿cómo explicarías la estrategia para calcular el m.c.m. considerando esa descomposición?

Para comprender Dos o más números se consideran primos entre sí cuando no tienen algún factor primo en común. 6 y 25 son primos entre sí. 6 y 45 no son primos entre sí, porque el número 3 es factor de ambos.

29


Lección

2 Analizar

3 ¿Cómo se relaciona la descomposición en factores primos y el m.c.m.? Observa y responde.

Descomposición de 12 y 18

Descomposición de 24 y 32

12 = 2 · 2 · 3

24 = 2 · 2 · 2

18 = 2 ·

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2

3·3

2 · 2 · 3 · 3 = 36 El 2 es factor en ambas descomposiciones, pero los 2 que se repiten se escriben una sola vez. Sucede lo mismo con el 3. Los que se repiten se escriben una sola vez. m.c.m.(12, 18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36 Comprobación: M(12) = {12, 24, 36, 48, ...}

·3

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 96 El 3 no se repite, se escribe tantas veces como aparece. m.c.m.(24, 32) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 96 Comprobación: M(24) = {24, 48, 72, 96, 120, ...} M(32) = {32, 64, 96, 128, ...}

M(18) = {18, 36, 54, ...} Explica cómo encontrar el m.c.m. a partir de la siguiente descomposición prima. 9=3·3 12 = 2 · 2 · 3 27 = 3 · 3 · 3 m.c.m.(9, 12, 27) = Compara los pasos con un compañero o compañera: ¿qué mejorarías de tu explicación? Aplicar

30

a. m.c.m.(10, 6) =

d. m.c.m.(8, 9) =

b. m.c.m.(15, 20) =

e. m.c.m.(12, 15, 17) =

c. m.c.m.(9, 54) =

f. m.c.m.(6, 16, 32) =

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4 Calcula el m.c.m. con las estrategias que estimes convenientes.


1 Problemas 5 El médico ha recetado a Tamara un jarabe y unas vitaminas para me-

jorar del resfriado, con la dosificación que señala la ilustración. Hoy, a las 8:00 horas, ha comenzado con el tratamiento. ¿A qué hora volverá a tomar los dos remedios juntos?

cada 6 h

cada 4 h

Respuesta:

6 Camila demora 12 minutos en dar una vuelta trotando alrededor de la cancha, mientras que Daniela tarda 18 minutos. Si parten juntas, ¿en cuánto tiempo más se volverán a encontrar?

Respuesta:

7 Alonso y su mamá están haciendo galletas para regalar. Al final del

día han horneado más de 30, pero menos de 40. Pueden agruparlas de 3 en 3 y de 4 en 4, sin que sobre ninguna. a. ¿Cuántas galletas han horneado?, ¿por qué?

Respuesta:

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b. ¿Pueden hacer grupos de 9 galletas?, ¿por qué?

Respuesta: 31


INTEGRO lo que aprendí

6 pack 6 pack 6 pack Compotas

Jugos

Frutas

1 ¿Cuántas cajas de jugos individuales se necesitan para formar 10 packs?

Respuesta:

2 Si hay 23 potes de fruta, ¿es posible agruparlos en packs con igual cantidad y sin que sobren potes? Justifica tu respuesta.

Respuesta:

3 ¿De cuántas maneras distintas se pueden agrupar las compotas sin que sobre

Respuesta: 32

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ninguna? Cuenta las compotas en la imagen y nombra todas las posibilidades.


Evaluación intermedia

1

4 El camión A sale a despachar y vuelve cada 2 horas. El camión B realiza lo mismo cada

3 horas. Si salen juntos a repartir a las 9:00 de la mañana, ¿a qué hora vuelven a juntarse en la fábrica?

Respuesta:

5 En la empresa deciden colocar un cupón “vale otro” cada 15 productos envasados. ¿Cuál es el

número de serie de los productos ganadores si el número del primer ganador es 15? ¿Cuántos cupones regalarán si la promoción es válida para 200 productos?

Respuesta:

6 En un carro se transportan 3 cajas con 7 bolsas de galletas cada una, cada una de las cuales contiene 27 unidades. Para calcular la cantidad de galletas transportadas, Juan escribe:

3 · 7 · 27 = ¿Escribió la descomposición en factores primos del número total de galletas? Si no es así, escríbela.

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Respuesta:

Reflexiono ¿Qué conceptos o estrategias de la lección crees que se relacionan con cada pregunta? ¿Cuál de ellos crees que aún no comprendes en su totalidad?

33


Resuelvo problemas Comprendo

Estrategia: Utilizar una tabla

1 Lucas quiere organizar sus fotografías en un álbum. Si sabe que tiene menos de 40 fotografías, y que las puede agrupar de 5 en 5 o de 7 en 7 sin que le sobren, ¿cuántas fotografías tiene en total?

Plan sugerido: Organizaremos la información en una tabla para poder encontrar regularidades y obtener la respuesta. Ordenar los datos en una tabla permite visualizar en paralelo los resultados obtenidos. 1.º Escribe, al inicio de cada columna, qué representarás en ella.

Fotografías agrupadas de 5 en 5 5·1=5 5 · 2 = 10

2.º Completa las celdas con la información que debes organizar. En este caso, realiza el cálculo de múltiplos en cada columna.

5·3= 7 · 4 = 28 7·5=

3.º Analiza los datos obtenidos en la tabla. En este caso, tienes que seleccionar el primer producto que se repite en las dos columnas.

Respuesta:

34

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4.º Vuelve a leer la pregunta y redacta la respuesta en coherencia con ella.


1 Resuelvo 2 Benjamín comenzó su tratamiento con dos

jarabes para el resfrío ingiriéndolos juntos a las 07:00 a. m. Si el jarabe A lo toma cada 4 horas y el jarabe B cada 8, ¿a qué hora volverá a tomar los dos remedios juntos? Respuesta:

3 En el gimnasio de una ciudad, cada 15 minutos ingresan 24 personas. ¿Cuántas habrán ingresado al cabo de 3 horas? Respuesta:

4 Un motociclista que participará en el Dakar debe recorrer 9 300 kilómetros. Si su motocicleta rinde 8 litros de bencina por cada 100 kilómetros, ¿cuántos litros necesitará para recorrer esa distancia? Respuesta:

¿Tiene sentido? 5 Juan dice que ha comprado 52 jugos de piña en paquetes de seis unidades. ¿Es posi-

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ble? Justifica.

6 Una abuela hizo 98 croquetas y después de repartirlas de 7 en 7 en algunas bandejas, no le sobró ninguna. ¿Puede la abuela haber hecho este reparto? Justifica.

35


Matemáticamente Sumar en vez de restar Estrategia 1 Usando la recta numérica 5 300 – 3 700 1 000

300 3 000

3 700

300

4 000

5 000

5 300

6 000

1.º Representa en la recta el minuendo y el sustraendo. 2.º Desde el sustraendo avanza hasta llegar al minuendo. Puedes dar saltos del largo que estimes conveniente. En este caso, se realizaron tres saltos: De 3 700 a 4 000, un salto de 300 unidades. De 4 000 a 5 000, otro salto; esta vez de 1 000 unidades. De 5 000 a 5 300, el último salto de 300 unidades. 3.º Suma los saltos y obtendrás el resultado de la sustracción. 300 + 1 000 + 300 = 1 600 Por lo tanto, 5 300 – 3 700 = 1 600. Estrategia 2 Representando en diagrama 8 142 – 3 715 3 715

4 000 285

8 000 4 000

8 142 142

4 427 1.º Representa los saltos desde el sustraendo hasta el minuendo. En este caso: De 3 715 a 4 000, hay un salto de 285 unidades. De 8 000 a 8 142, un último salto de 142 unidades. 2.º Suma los saltos para obtener el resultado de la sustracción. 285 + 4 000 + 142 = 4 427 Por lo tanto, 8 142 – 3 715 = 4 427. 36

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De 4 000 a 8 000, otro salto de 4 000 unidades.


Estrategias de cálculo mental

1

1 Resuelve representando en la recta numérica. a. 4 500 – 2 800 =

b. 3 300 – 1 700 =

c. 740 – 590 =

2 Calcula las sustracciones realizando diagramas. 4 128 – 2 550

3 880 – 1 287

6 915 – 2 620

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3 Completa la tabla con el valor que se recibe de vuelto. Paga con

Compra

$ 4 500

$ 4 278

$ 5 000

$ 2 649

$ 10 000

$ 6 137

$ 2 000

$ 1 976

Recibe de vuelto

37


Organizo mis ideas Estimar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones Al estimar, redondear las cifras es una estrategia útil para calcular con números más sencillos. Recuerda que no buscas el resultado exacto, solo un valor cercano al resultado. Estima los resultados. a. 1 549 + 6 432 ≈

c. 36 724 – 4 051 ≈

b. 4 209 · 23 ≈

d. 68 429 : 17 ≈

Múltiplos Se obtienen al multiplicar un número por 1, por 2, etc, es decir, por cada número natural. Escribe los 10 primeros múltiplos de los siguientes números. a. M(8) = b. M(13) = En una relojería a las 12:00 se programan las alarmas de tres relojes según muestra la imagen. ¿A qué horas sonará cada uno de ellos en el transcurso de media hora?

cada 12 min cada 6 min cada 18 min

Respuesta:

Factores Los factores de un número son todos los números naturales que, multiplicados entre sí, dan como resultado dicho número. Escribe todos los factores de los siguientes números. a. F(36) = b. F(13) =

Respuesta:

38

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Los 30 alumnos que participan en las olimpiadas escolares quieren desfilar de modo tal que en cada fila haya la misma cantidad de alumnos. ¿Qué opciones de agruparse tienen? Escríbelas todas.


1 Números primos y compuestos Los números primos son los que solo tienen dos factores: el 1 y el mismo número; mientras que los números compuestos tienen más de dos factores distintos. Pinta verde los números primos y de azul los números compuestos. 16

13

29

27

17

99

Descomposición en factores Realizar la descomposición en factores primos de un número es escribirlo como producto de números primos. Completa estas descomposiciones en factores primos. a. 45 =

·3·

b. 16 = 2 · 2 ·

c. 18 = 2 · 3 · ·

d. 27 =

·

·3

Mínimo común múltiplo (m.c.m.) El m.c.m. de varios números dados es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Por ejemplo: m.c.m.(3, 5) = 15 Calcula. a. m.c.m.(4, 6)

b. m.c.m.(3, 12)

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Pedro practica ciclismo cada 15 días y corre cada 10 días. Si hoy practica los dos deportes, ¿qué día de la semana volverá a practicar ambos deportes?

Respuesta:

39


COMPRUEBO lo que aprendí 1 Se ha organizado una campaña de

recolección de tapas de plástico. En el curso de María, los 26 alumnos han reunido 2 158 tapas. Si cada uno de ellos ha aportado la misma cantidad de tapas, estima cuántas ha traído cada uno. A. menos de 10.

5 ¿Cuál de estos números no es múltiplo de 9? A. 3 B. 9 C. 18 D. 36

B. entre 10 y 50. C. entre 50 y 100. D. más de 100.

6 ¿Cuál es la descomposición en factores primos del número 48? A. 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3

2 Si en un curso hay 36 estudiantes, ¿cuál es la alternativa que no corresponde a una posible agrupación? A. 6 grupos con 6 estudiantes. B. 5 grupos con 7 estudiantes. C. 4 grupos con 9 estudiantes. D. 2 grupos con 18 estudiantes.

3 En un polideportivo se juegan partidos

de hándbol cada 7 días, y de baloncesto, cada 5. Si hoy han coincidido, ¿en cuántos días más lo volverán a hacer? A. 7 B. 12 C. 35 D. 70

4 El número 48 es compuesto porque A. los únicos números que lo dividen son el 1 y el 48.

B. 2 · 2 · 2 · 2 · 3 C. 4 · 2 · 2 · 3 D. 2 · 2 · 2 · 6

7 ¿Cuál de los siguientes es un número compuesto? A. 49 B. 53 C. 59 D. 67

8 A un concierto ingresaron 7 589 personas por la puerta A y 3 538 por la puerta B. ¿Cuál es la estimación más cercana a la cantidad exacta de espectadores? A. 10 000 espectadores. B. 10 500 espectadores. C. 11 000 espectadores. D. 11 500 espectadores.

C. tiene más de 2 factores. D. es divisible solo por 3.

40

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B. tiene múltiplos distintos: 1 y 7.


Evaluación final

9 ¿En cuál de estas operaciones el

resultado es más cercano a 200?

14 Un canguro en un salto avanza 7 metros.

B. 79 239 – 78 962

¿Qué alternativa podría representar lo avanzando por el canguro al realizar diversos saltos seguidos de igual distancia?

C. 12 294 : 59

A. 36 metros.

D. 210 987 : 99

B. 48 metros.

A. 14 127 – 13 980

10 ¿Cuál alternativa muestra solo números primos?

A. 19 – 17 – 15 – 13 B. 63 – 53 – 43 – 33 C. 77 – 67 – 57 – 47 D. 53 – 47 – 43 – 37

11 ¿Cuál es el m.c.m. entre 6 y 8?

1

C. 63 metros. D. 67 metros.

15 Una persona compra un chaleco que

cuesta $ 13 246. Si paga con $ 20 000, ¿cuál alternativa muestra una estimación más cercana a la cantidad exacta de vuelto? A. $ 10 000 B. $ 7 000

A. 8

C. $ 6 000

B. 24

D. $ 5 000

C. 48 D. 72

12 ¿Cuáles son todos los factores de 72? A. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 B. 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 C. 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 D. 1, 2, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 18, 24, 36, 72

13 Marca la descomposición correcta en

como mínimo, para comprar 4 juegos que cuestan $ 14 890 cada uno? A. $ 40 000 B. $ 52 000 C. $ 60 000 D. $ 80 000

17 Diego visita a su tía Miriam cada 8 días

A. 42 = 7 · 2 · 3

y a su prima Emilia cada 12. Si hoy ha visitado a ambas, ¿en cuántos días volverá a ocurrir esto?

B. 90 = 9 · 5 · 2

A. 8 días.

C. 120 = 4 · 5 · 6

B. 12 días.

D. 154 = 2 · 1 · 7 · 11

C. 16 días.

factores primos.

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16 Estima: ¿cuánto dinero necesitas ahorrar,

D. 24 días

41


COMPRUEBO lo que aprendí 18 Encuentra y marca el número intruso en cada grupo de múltiplos. Múltiplos de 9

27

19

81

243

Múltiplos de 4

24

48 74

88

Múltiplos de 7

27

49

161

84

19 En la tabla, encierra todos los números compuestos. 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

20 Descompón en factores primos los siguientes números. 80

39

99

102

21 En la costa hay tres faros: el primero se enciende cada 30 segundos; el segundo cada

Respuesta:

42

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45 segundos y el tercero, cada 60 segundos. Si los tres faros fueron encendidos a las 2:00 a.m., ¿cuándo será la próxima vez que volverán a encenderse al mismo tiempo?


Evaluación final

1

22 Un juguetero ha colocado en vitrina una colección de 81 soldaditos, distribuidos en filas con

la misma cantidad de soldados. ¿De cuántas formas distintas puede colocar a los soldados? Nómbralas todas.

Respuesta: A partir de la información, responde las preguntas 23 y 24.

Comienza el rally Todo está preparado para dar comienzo al mayor rally del mundo. En esta edición se han inscrito 166 motos, 44 cuadriciclos, 132 autos y 72 camiones. Los participantes viajarán, durante 15 etapas, a través de Argentina, Chile y Bolivia, en un recorrido total de 9 828 km. Sin embargo, el rally continúa creciendo y se espera que participen unos 600 vehículos en la próxima edición.

23 Estima: ¿cuántos vehículos participan en el rally actual?, ¿y cuántos cupos más crecerá?

Respuesta:

24 Si una de las 15 etapas es de descanso y el resto de etapas tienen la misma longitud, estima cuántos kilómetros recorren en cada una.

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Respuesta:

Reflexiono Si comparas tus resultados de las actividades “Integro lo que aprendí” y los obtenidos en estas páginas, ¿crees que fue más fácil responder? Lo que identificaste que te costaba en ese momento, ¿aún te sigue costando? ¿Qué temas te gustaría profundizar?

43


Unidad

2

Fracciones y decimales Bolt

Gatlin

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Brom e ll

44


Miro y resuelvo O PAS

1

Bromell llegó en tercer lugar, trece centésimas de segundo después del primer lugar.

Comprendo el problema ¿Qué datos del problema conoces? Escríbelos.

O PAS

2

Creo el plan ¿Este problema es similar a alguno que ya hayas resuelto? ¿Cómo lo resolverías?

¿Qué tiempo hizo Bromell en la final de 100 m varones? O PAS

3

Ejecuto el plan Resuelve el problema y escribe la respuesta.

O PAS

4

Compruebo el resultado Lee nuevamente el problema y la respuesta: ¿es lógica la solución?, ¿cómo la comprobarías?

¿Qué voy a aprender?

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A establecer equivalencias entre números mixtos y fracciones impropias, representarlos en la recta numérica y resolver adiciones y sustracciones, además de multiplicar y dividir números decimales. Todo demostrando una actitud de esfuerzo y perseverancia. Lección 1: Fracciones y números mixtos. Lección 2: Suma y resta de fracciones. Lección 3: Números decimales.

45


ACTIVO lo que sé Fracciones impropias y números mixtos

1 Escribe cada fracción como número mixto. 15 = b. ___ 8

16 = a. ___ 5 Fracciones equivalentes

2 Escribe una fracción equivalente mediante amplificación o simplificación. 5 es equivalente a a. ___ 12

3 es equivalente a c. ___ 18

6 es equivalente a b. __ 8

9 es equivalente a d. ___ 12

Comparación de fracciones

3 Representa gráficamente cada fracción y compáralas utilizando los signos < o >. 3 a. __ 5

2 __ 5

7 b. __ 12

5 __ 6

Adición y sustracción de fracciones

4 Resuelve y representa gráficamente cada adición o sustracción. 8 – __ 1 c. ___ 12 4

3 + __ 1 b. __ 9 3

3 6 – __ d. __ 7 7 PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

3 4 + __ a. __ 8 8

46


2

Evaluación inicial

Relación fracción decimal y expresión decimal

5 Escribe cada parte pintada como expresión decimal y como fracción. a.

Decimal:

b.

Fracción decimal:

Decimal: Fracción decimal:

6 Escribe cada fracción como expresión decimal o viceversa, según corresponda. 5 = a. ___ 10

c. 0,15 =

2= b. __ 5

d. 1,02 =

Adición y sustracción de números decimales

7 Javier tiene tres cuerdas: la primera mide 0,6 m; la segunda, 0,4 m; y la tercera, 0,14 m. Si se unieran las tres cuerdas, ¿cuánto mediría la cuerda resultante como máximo?

Respuesta:

.

8 Una cuerda medía 1 m de largo. Si le cortaron un trozo de 0,7 m y luego otro trozo de 0,04 m, ¿cuánto mide ahora la cuerda?

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Respuesta:

.

Reflexiono ¿Qué actividad te costó más resolver? Márcala con un ✓. ¿Qué conceptos te resultaron desconocidos o no entendiste? ¿Qué recuerdas de las fracciones y los números decimales?

47


Le

Cálculo mental

cción

1

Fracciones y números mixtos Fracciones propias e impropias

1 Lee la situación y responde lo pedido. Cada caja 1 de contiene __ 5 litro de leche.

¿Cuántos litros de leche tiene cada niño? Escríbelo como fracción.

¿Quién tiene justo un litro de leche? Márcalo con un ✓. Marca con una ✗ el casillero de quien tenga menos de un litro de leche y con un el del que tenga más. ¿Cómo son los numeradores y los denominadores de las fracciones que representan menos de un litro, más de un litro o un litro exacto?

Las fracciones las puedes clasificar tomando como referencia la unidad. Es menor que la unidad: 2 __ 4 El numerador es menor que el denominador.

Equivalente a la unidad Es igual a la unidad:

Fracción impropia Es mayor que la unidad: 5 __ 4

4 __ 4 El numerador es igual que el denominador.

El numerador es mayor que el denominador.

¿Cómo se clasifican las fracciones que representan los litros de leche? ¿Qué recuerdas de las fracciones propias, impropias y equivalentes a la unidad?

48

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Fracción propia


2 Representar

2 Dos papeles de igual tamaño representan cuartos de distinta manera. 1 unidad

1 unidad

Escribe la fracción representada en cada figura, considerando como 1 unidad las figuras de arriba. Luego, responde. a. ¿Se necesita más de una unidad para construir la figura?, ¿por qué?

b. ¿Es alguna de las dos figuras menor que una unidad? Justifica.

Figura 1

Figura 2

Clasificar

3 Representa gráficamente cada fracción y clasifícala en propia o impropia. Fracción

Representación

Clasificación

7 __ 3 6 ___ 11 16 ___ 6

Problema

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4 En una corrida en la que participaron dos hermanos, cada uno recibió 6 de su una botella de agua. Uno dijo que tenía tanta sed que bebió __ 5 3 . ¿Es posible esta contenido, mientras que el otro dijo haber tomado __ 5 situación? Justifica tu respuesta. Respuesta:

49


Cálculo mental

Lección

1 Fracciones impropias y números mixtos 1 Observa y responde.

¿Cuántas cajas se completaron?

En cada caja caben 6 témperas. Se distribuirán las témperas en las cajas y cuando una ya esté completa, se procederá a llenar la siguiente.

De la caja que no se alcanzó a llenar, ¿qué parte se utilizó? ¿Cómo expresarías, utilizando una fracción, la cantidad de cajas que se necesitaron para organizar todas las témperas?, ¿por qué?

Representación gráfica

Descomposición aditiva

Cociente o producto

13 ___ 6

13 = __ 6 + __ 6 + __ 1 ___ 6 6 6 6 1 = 2 + __ 6 1 = 2 __ 6

13 : 6 = 2 1.° Divide el numerador por el denominador. 1 2.° El cociente será la parte entera y el resto, el numerador. 1 Cociente Resto 2 __ 6

3 2__ 4

3 = 2 + __ 3 2__ 4 4

(2 · 4) + 3 1.° Multiplica el entero por el 8+3 denominador de la fracción. 11 2.° Suma el numerador al resultado. 11 ___ 3.° El resultado será el numera4 dor de la fracción impropia y el numerador es el mismo que el del número mixto.

3 4 + __ 4 + __ = __ 4 4 4 11 = ___ 4

¿Qué relación hay entre las tres estrategias presentadas para cada caso? 50

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Una fracción impropia es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador, por lo tanto, es mayor que un entero. Puede ser representada como número mixto, es decir, como la suma de un número entero y una fracción propia. Para esto, puedes utilizar diversas estrategias.


2 Representar

2 Escribe el número nombrado en cada situación como fracción y como número mixto.

Fracción impropia

Número mixto

a. Cada día Martín corre nueve kilómetros y medio. ¿Cuántos kilómetros corre? b. La señora María compró seis trozos de queso de un cuarto de kilogramo. ¿Cuánto queso compró? Representar

3 Escribe como número mixto o como fracción impropia, según sea el caso. Utiliza dos estrategias distintas. Estrategia 1

a.

17 ___ 7

b.

5 3__ 6

c.

7 5__ 9

Estrategia 2

¿Qué estrategia prefieres utilizar?, ¿por qué?

Problema 4 En una fábrica envasadora de jugos se han envasado el día de hoy

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39 litros de jugo de arándanos. ¿Qué han 2 litros de jugo de naranja y ___ 6__ 5 5 envasado más: jugo de naranja o de arándanos? Justifica tu respuesta.

Respuesta: 51


Cálculo mental

Lección

1 Representación en la recta numérica 1 Observa la siguiente situación. Yo salté 13 metros. ___ 2

Mi salto fue de 3 metros. 7___ 10

Marca en la pista de salto el lugar al que llegó cada deportista. ¿Quién ganó la competencia? Explica considerando el orden en la recta.

Qué importante es... Ser perseverante, pues permite alcanzar lo que nos proponemos y buscar soluciones a las dificultades que se nos presentan.

¿Qué pasos seguiste para representar las fracciones en la recta numérica?

0

1

2 1__ 6

2

3

¿De qué forma explicarías cómo representar fracciones en la recta numérica? 52

10 ___ 3

4

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En una recta numérica puedes representar y ordenar los números. Por ejemplo, para 10 y 1__ 2 , puedes seguir estos pasos: representar las fracciones ___ 6 3 1.º Dibuja una línea que represente la recta numérica. 2.º Gradúa la recta representando los enteros que estimes necesarios. Recuerda ubicarlos a la misma distancia entre sí. 3.º Divide los enteros según lo indicado por el denominador de la o las fracciones que quieras ubicar. En este caso, los denominadores son 3 y 6. 10 , tienes que representar 10 tercios. 4.º Representa las fracciones dadas. En el caso de ___ 3 2 , representa un entero y dos sextos En el caso de 1__ más. 6


2 Representar

2 Escribe cada número representado en las rectas numéricas como fracción impropia y como número mixto. 0

1

2

3

0

=

0

1

2

=

1

2

0

1

=

2 =

Representar

3 Ubica en la recta numérica las fracciones impropias y los números mixtos. 8 , __ 7 , 1__ 4 2 , __ a. 3__ 3 9 9 3 0

1

2

3

4

8 , __ 6 1 , __ b. 1__ 4 3 2 1

2

3

¿Qué estrategias aplicas para graduar la recta cuando los denominadores son primos entre sí? Explica a partir del ejercicio b.

Problema 4 Si en cada recipiente viertes la cantidad de agua indicada, ¿hay alguno

en el que el contenido se derramará? Marca el nivel de agua y justifica tu respuesta.

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17 litros. ___ 8

16 litros. ___ 4

15 litros. ___ 6

Respuesta: 53


Cálculo mental

Lección

1 Fracciones equivalentes 1 Representa las fracciones equivalentes. Puedes usar las tiras fraccionarias.

6 y __ 3 Las fracciones __ 8 4 son equivalentes, ya que representan la misma parte del rectángulo.

6 → __ 8 3 → __ 4 →

→ ¿Qué otras fracciones son equivalentes a las fracciones anteriores? Represéntalas en los rectángulos. 3 , ¿qué Si todas las fracciones anteriores pertenecen a la familia de __ 4 relación hay entre sus numeradores y denominadores? 3 = __ 6 __ 4 8

3= __ 4

3= __ 4

Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo valor. Cuando las fracciones son equivalentes representan la misma parte de un todo o el mismo punto en una recta numérica. Por ejemplo: 0

1

2

0

1

2

3 = __ 6 = 1__ 1 = 1__ 2 __ 4 2 4 2

Puedes obtener fracciones equivalentes al simplificar o amplificar. Esto consiste en multiplicar o dividir la fracción por 1, expresado de una manera conveniente.

3 6 : 2 = __ ____ 8:2 4

Aquí se dividió numerador y denominador por dos.

Amplificar

14 7 = ____ 7 · 2 = ___ __ 5 5 · 2 10

Aquí se multiplicó numerador y denominador por dos.

Al amplificar una fracción, ¿la fracción resultante es mayor que la original? 54

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Simplificar


2 Aplicar

2 Amplifica o simplifica de modo que las fracciones tengan el mismo denominador.

8 12 y ___ b. ___ 9 12

6 9 y __ a. __ 3 4

Problemas 6 ?, ¿por qué? 4 es equivalente a 3___ 3 Lee la situación y responde: ¿3___ 10

15

6 tienen la 4 y 3___ 3___ 15 10 misma cantidad de enteros, por lo que analizaré solo la parte fraccionaria. Para esto, amplifico cada fracción considerando el denominador de la otra. 60 4 · 15 = ____ ______ 10 · 15 150

Yo también analizaré solo la parte fraccionaria, pero aplicaré el producto cruzado.

6 · 10 = ______ 15 · 10

4 · 15 = 60

6 4 ___ ___ 15 10 Multiplicaré numeradores y denominadores, como muestra la flecha. 10 · 6 =

Respuesta: ¿Qué relación hay entre las dos estrategias para comprobar si las fracciones son equivalentes? 10 km y Romina 5 ___ 10 km. Dos de 4 km, Alejandro 5___ 4 Macarena corrió 5___

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14 28 ellos corrieron la misma distancia, ¿quiénes son?

35

Respuesta: 55


Cálculo mental

Lección

1 Orden y comparación de fracciones 1 Escribe qué fracción de cada recipiente ha llenado cada niño y niña.

Pareja 1

Pareja 2

Completa cada con los signos > o <. ¿Quién tiene el recipiente más lleno en cada pareja? Compara la cantidad que logró llenar cada niño: ¿quién llenó más en cada pareja?, ¿por qué?

Pareja 3

Pareja 4

5 __ 9

7 __ 9

7 ___ 10

7 __ 8

¿De qué forma igualarías los denominadores o los numeradores para comparar la cantidad que llenó cada pareja?

Pareja 6

3 __ 4

56

5 __ 8

9 ___ 10

3 __ 7

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Pareja 5


2 Para ordenar y comparar fracciones, existen diversas estrategias: Denominadores iguales: es mayor la fracción de mayor numerador. 3→ 5 y __ __ 8 8

5 > __ 3 __ 8 8

Numeradores iguales: es mayor la fracción de menor denominador. 7→ 7 y __ __ 4 5

7 > __ 7 __ 4 5

Numeradores y denominadores diferentes: para comparar este tipo de fracciones, se amplifica o simplifica para igualar los numeradores o denominadores, y se aplican los criterios anteriores.

3 9 , __ 1 y __ ___ 5

10 2

Opción 2: Igualar numeradores. 9 9 9 1 · 9 = ___ 3 · 3 = ___ ___ ____ ____ 2 · 9 18 5 · 3 15 10 3 < ___ 9 1 < __ __ 2 5 10

Opción 1: Igualar denominadores. 1 · 5 = ___ 5 6 9 3 · 2 = ___ ___ _____ ____ 5 · 2 10 10 2 · 5 10 3 < ___ 9 1 < __ __ 2 5 10

¿Por qué crees que, al ser iguales los denominadores, es mayor la fracción que tiene mayor numerador?, ¿y por qué, al ser iguales los numeradores, la fracción con menor denominador es mayor? Comparar

2 Compara cada par de fracciones escribiendo los signos > o < según

corresponda. Comprueba tu respuesta representando las fracciones en la recta numérica.

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Comprobación

a.

3 ___ 11

5 ___ 11

0

1

b.

6 ___ 15

3 __ 5

0

1

c.

3 __ 4

5 __ 3

0

1

2

d.

8 __ 3

8 __ 5

1

2

3

57


Lección

1 Comparar

3 Escribe la fracción representada en cada caso. Luego, ordénalas de mayor a menor. 0

1

2

Si el criterio para comparar las fracciones fuera su clasificación, ¿qué es mayor: una fracción propia o una impropia?, ¿por qué?

4 Escribe dos fracciones según lo indicado. 5 es mayor que ___ y mayor que ___. a. __ 9 9 9

6 . 2 es mayor que ___ y menor que ___ c. 2 __ 6 3

15 y mayor que ___ 15 . 15 es menor que ___ b. ___ 4

5 es menor que ___ y mayor que ___. d. 1__ 6 12 12

¿En cada caso la respuesta es única?, ¿por qué? Aplicar

5 Ordena las siguientes fracciones según lo pedido.

3 1 __ 4

7 __ 6 >

5 ___ 12 >

De menor a mayor 5 1 __ 6

5 __ 3

11 ___ 18 <

<

¿Qué estrategia utilizaste para ordenar las fracciones?

58

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De mayor a menor


2 Aplicar

6 Carolina compara fracciones aplicando la siguiente estrategia. 3 , busco fracciones 2 y __ Para comparar las fracciones __ 4 5 equivalentes de igual denominador, amplificando cada fracción por el denominador de la otra. 2 • 5 = ___ 3 3 • 4 = ___ 10 12 2 < __ _____ _____ __ 4 5 4 • 5 20 5 • 4 20 Se puede abreviar el proceso aplicando la estrategia del producto cruzado. 2 • 5 = 10

2 __ 4

3 __ 5

3 • 4 = 12

Compara las fracciones aplicando la estrategia de Carolina. Escribe > o < según corresponda. 5 a. 1__ 6

1 2__ 4

8 c. __ 5

17 b. ___ 7

6 __ 5

1 d. 2 __ 6

5 __ 2

23 e. ___ 12 3 2 __ 4

2 f. 3 ___ 10

19 __ 7 1 3___ 13

Problemas 9 km para llegar a su colegio, mientras que 7 Francisca caminó 1___

11 18 ___ Fernando caminó km. ¿Quién caminó menos? Justifica tu respuesta. 11

Respuesta:

8 En un grupo de niños, que trabaja en el proyecto de construcción de

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casas para sus mascotas, todos disponen del mismo tipo de tablas de 70 4 tablas de madera; Valentina, ___ madera. Sabiendo que Juan utilizó 15 __ 5 5 4 , ordénalos desde el que más tablas utilizó hasta el que y Tomás, 15 __ 7 menos utilizó.

Respuesta:

59


Cálculo mental

Lección

1 Fracción de un número 1 Observa cada imagen y responde.

40 kg

20 kg

Si en cada grupo de sacos hay 40 kg distribuidos equitativamente, ¿cuántos gramos de trigo hay en los sacos destacados? Justifica tu respuesta.

Si del primer saco se han sacado 8 kg de trigo, ¿qué parte de su contenido se sacó? Exprésalo como fracción irreductible.

Para calcular la fracción de un número, puedes hacer lo siguiente:

2 de 15 __ 3

1.º El número total de elementos se divide según lo indicado por el denominador: 15 : 3 = 5 2.º El resultado obtenido se multiplica por el numerador: 5 ⋅ 2 = 10. 2 __ Por lo tanto, de 15 es 10. 3

Para determinar qué parte del total es una cierta cantidad, se puede realizar lo siguiente: Parte 10 → _____ ___ Total 60

Al simplificar, se obtiene 1 del total. que 10 kg son __ 6

Las estrategias que utilizaste para responder las preguntas iniciales, ¿son similares a las presentadas? De no serlo, ¿en qué se diferencian?

60

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Si hay un saco de 60 kg, ¿qué parte del saco son 10 kg?


2 Aplicar

2 Calcula la fracción de cada número. Comprueba con una representación. Representación

a.

5 de 48 es __ 6

b.

2 de 35 es __ 7

c.

8 de 45 es ___ 15

Aplicar

3 ¿Qué parte del total corresponde a cada número destacado? Representación

a. 5 es

de 20.

12 es

de 36.

Cálculo

b.

Problema 4 En un curso hay 32 estudiantes: 20 niños y 12 niñas. Todos tienen una

mascota y al realizarles una encuesta, los resultados fueron los siguientes:

2 de las __ niñas tienen 3 un gato.

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1 de las niñas y __ 1 de __ 4 4 los niños tienen una tortuga.

1 de los niños tienen __ 2 un perro.

¿Cuántos niñas y niños tienen cada mascota? Completa la tabla. Gato

Tortuga

Perro

Niñas Niños

61


Le

Cálculo mental

cción

2

Suma y resta de fracciones

Suma y resta de fracciones de igual denominador 1 Para hacer un mural, los estudiantes pintan pliegos de cartulina, de iguales dimensiones, con franjas de 4 colores distintos.

3 de cada Yo pinté __ 4 uno de los cuatro pliegos que me dieron.

Yo pinté 3 pliegos 3 de completos y __ 4 otro.

¿Qué fracción del papel pintó cada niño? Pinta sus cartulinas y escribe las fracciones correspondientes. ¿Cuál es la fracción que representa lo que han pintado entre los dos? ¿Cuánto más ha pintado la niña que el niño?

Para sumar y restar fracciones de igual denominador, se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores. Por ejemplo: 5 + __ 7 = 2 __ 9 = ___ 14 = __ 1 __ 6 6 6 3 3

8 – __ 6 = 1__ 2 = __ 1 __ 5 5 5 5

0

1

2

3 1 2 __ 3

0

1

1 1__ 5

¿Por qué crees que los denominadores se mantienen y no se suman, como los numeradores? ¿Qué adiciones y sustracciones representan las situaciones anteriores?

62

2

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↷↷

↷↷↷↷↷↷↷↷↷↷↷↷↷↷


2 Representar

2 Plantea la adición o la sustracción representada. a. 0

1

2

3

b.

c.

Calcular

3 Resuelve, gráfica y simbólicamente, cada adición o sustracción. Representación gráfica

a.

5 1 + __ 1__ 8 8

b.

5 9 – __ __ 2 2

c.

15 – 1__ 2 ___ 5 5

Representación simbólica

Problemas 3 de su 4 En una piscina, el agua que hay en su interior representa __

8 2 de su capacidad total. Si luego de rellenarla el nivel sube __ capacidad, 8 ¿cuánta agua le falta para estar llena?

Para comprender

Respuesta: 3 kg durante la 5 En la recolección del piñón, una familia recolecta 2__

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8 7 kg durante la tarde. Si su objetivo era recolectar 4 kg, ¿lo mañana y __ 4__ 8 8 lograron?

El piñón es el fruto de la araucaria y tiene un carácter sagrado para el pueblo mapuche, que lo conoce con el nombre de nguilliu.

Respuesta: 63


Cálculo mental

Lección

2 Suma y resta de fracciones de distinto denominador 1 Representa la situación en la imagen. Luego, responde. 6 km, un grupo de obreros En una carretera en la que hay que reparar 3___ 10 1 km. 7 km y otro grupo 1__ han reparado __ 5 2

0

1

2

3

4

5

¿Cuántos kilómetros han reparado entre los dos grupos? Exprésalo a partir de una adición o una sustracción de fracciones.

¿Cuántos kilómetros les falta por reparar? Exprésalo a partir de una adición o una sustracción de fracciones.

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Al sumar o restar fracciones de distinto denominador, ¿la estrategia es la misma que cuando tienes fracciones de igual denominador? Justifica tu respuesta resolviendo los siguientes ejercicios. 6 + __ 1= 9 – __ 4= b. __ a. __ 8 4 3 6

64


2 Al sumar y restar fracciones de distinto denominador, es necesario igualar los denominadores de las fracciones planteando fracciones equivalentes que cumplan con esa condición. Para esto, existen distintas alternativas dependiendo de cuáles sean las fracciones. • Igualar los denominadores mediante la amplificación o simplificación de una de las fracciones. 5= 4 + __ __ 3 9

5 = ___ 12 + __ ___ 17 9 9 9

En este caso se amplificará el primer sumando por 3. Se recomienda simplificar el resultado hasta obtener la fracción irreductible. Además, puedes expresarlo como número mixto.

8 1__ 9

• Igualar los denominadores mediante la amplificación de ambas fracciones. Esto, considerando el denominador de la otra fracción. 3= 12 – __ ___ 7 2

En este caso se amplificará por 2 el primer sumando y por 7 el segundo.

3 21 = ___ 24 – ___ ___ 14 14 14 • Calcular el m.c.m. de los denominadores. Luego, amplificar las fracciones. 7= 11 + __ ___ 6 9

Ahora calcularemos el m.c.m. entre 6 y 9.

Múltiplos de 6

6, 12, 18, 24, …

Múltiplos de 9

9, 18, 27, 36, …

Como el m.c.m. de 6 y 9 es 18, se amplifican ambas fracciones para que tengan ese denominador. ¿? ¿? 11 · 3 = ___ 33 7 = ___ 14 7 · 2 = ___ 11 = ___ ___ _____ __ _____ 6 18 9 · 2 18 9 18 6 · 3 18

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33 + ___ 14 = ___ 47 = 2 ___ 11 7 = ___ 11 + __ ___ 6 9 18 18 18 18 ¿Por qué crees que es importante igualar los denominadores buscando fracciones equivalentes? La estrategias presentadas, ¿se parecen a las que planteaste tú?

65


Lección

2 Representar

2 Resuelve las adiciones y sustracciones, representándolas en la recta numérica. 4= 11 + __ a. ___ 12 6 0

1

2

1

2

18 – __ 4= b. ___ 15 5 0 6 = 1 + 1___ c. 2__ 14 2 0

1

2

3

4

¿Cómo podrías comprobar tus respuestas? Explica y comenta. Aplicar

3 Decide por cuánto amplificarás o simplificarás cada fracción destacada. Luego, resuelve las adiciones y sustracciones. 5= 3= 20 – __ 7 + __ b. ___ a. ___ 16 4 21 3

Aplicar

4 Calcula el m.c.m. entre los denominadores y resuelve. 13 – ___ 4 b. ___ 9 12

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13 3 + ___ a. 1__ 4 6

66


2 Aplicar

5 Resuelve las adiciones y sustracciones con la estrategia que prefieras.

3 + __ 7 a. __ 4 6

6 2 + __ c. 1__ 3 5

9 – __ 4 b. __ 4 5

8 11 – ___ d. 1___ 7 11

¿Aplicaste siempre la misma estrategia?, ¿cuál es la estrategia que prefieres aplicar?, ¿por qué?

Problemas 1 de litro, y 6 Francisco compró una bebida de 3 litros. De ella se tomó 1__ 1 litro más. luego __ 2 a. ¿Cuántos litros de bebida se tomó? Resuelve gráfica y simbólicamente.

4

Respuesta:

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b. ¿Cuántos litros de bebida le quedan?

Respuesta: 67


Cálculo mental

Lección

2 Operaciones combinadas y fracciones 1 Lee la situación y responde. En la tienda en que se venden frutillas queda una sola caja por vender. A Teresa y Alonso les han vendido de esa caja. Aquí tiene medio kilogramo de frutillas.

3 kg __ 4

7 kg __ 3

¿Qué expresión permite calcular qué parte de las frutillas queda en la caja?, ¿por qué?

(

3 1 + __ 7 – __ __ 3 2 4

)

3 7 – __ 1 – __ __ 3 2 4

Escoge una opción de cálculo, resuelve y escribe los pasos de tu resolución.

Existen situaciones problema y ejercicios que pueden ser resueltos mediante operaciones combinadas, en este caso adiciones y sustracciones. Solo debes tener la precaución de que los denominadores sean iguales, para lo cual debes buscar fracciones equivalentes antes de resolver. Si hay paréntesis, deberás resolver estos antes. De no haberlos, debes resolver de izquierda a derecha. Por ejemplo:

¿Por qué en las expresiones iniciales se obtiene el mismo resultado si en una se realiza una sustracción y una adición y en la otra, dos sustracciones? 68

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3 – __ 3 = 1__ 18 = __ 11 + __ 9 – ___ 2 = ________ 11 + 9 – 2 = ___ 1 = ___ 11 + ___ 1 ___ 12 4 6 12 12 12 12 12 2 2


2 Aplicar

2 Resuelve.

(

5 + __ 5 5 – ___ c. __ 4 16 8

5 – ___ 20 + __ 1 a. 3 + __ 2 4 2

(

4 – 1 – __ 2 2 + __ b. ___ 15 5 5

)

(

)

)

5 + 1__ 1 – 1 – __ 1 d. ___ 4 12 2

Problemas 5 del terreno fueron destinados a lechugas, __ 1a 3 En una parcela, __

4 8 tomates y el resto a acelga. ¿Qué fracción del terreno será destinado a acelga? a. Representa gráficamente la situación y selecciona la operación que permite resolverla.

(

)

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5 + __ 5 + __ 1 1 1 – __ 1 – __ 8 4 8 4 b. ¿Ambas operaciones combinadas llegan al mismo resultado? Comprueba.

¿Qué función cumplen los paréntesis en una operación combinada? 69


INTEGRO lo que aprendí 1 Encierra la canasta que tiene una masa mayor que un kilogramo y clasifica las fracciones en propias, impropias o equivalentes a la unidad. 5 __ kg 4

4 __ kg 4

2 kg __ 3

2 ¿Cuántos kilogramos hay en cada cajón? Expresa como número mixto.

7 kg __ 2

14 kg ___ 4

10 kg ___ 8

A partir de la imagen, responde las preguntas 3 y 4. 3 kg de Quiero 1__ 4 zanahorias.

5 kg de tomates. Quiero 3__ 8

1 kg de Quiero 3__ 2 papas.

3 Transforma a fracción impropia la cantidad de kilogramos que compra cada persona.

4 Representa la cantidad de kilogramos comprados por cada persona en la recta PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

numérica.

70


Evaluación intermedia

2

A partir de la imagen, responde las preguntas de la 5 a la 7. 9 kg __ 5

Naranjas

7 kg __ 8

7 kg __ 5

Manzanas

Limones

5 kg __ 4

10 kg ___ 7

Manzanas

Plátanos

5 Ordena las cajas desde la que contiene menos kilogramos hasta la que contiene más.

6 Si se carga un carro con los limones y las naranjas, ¿cuántos kilogramos de fruta transportará?

Respuesta:

7 ¿Cuántos kilogramos hay más de manzanas rojas que de manzanas verdes?

Respuesta: 2 de estos son de 8 La señora Marta tiene para la venta 45 huevos y se sabe que __

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color. ¿Cuántos son los huevos de color? Píntalos.

5

Respuesta:

Reflexiono ¿Qué preguntas encontraste más difíciles?, ¿por qué? ¿Qué temas crees que necesitas reforzar?

71


Le

Cálculo mental

cción

3

Números decimales Relación entre decimales y fracciones

1 Escribe de distintas maneras la cantidad representada en la imagen. Considera que cada región rectangular es un entero.

Fracción decimal

Fracción impropia irreductible

Número mixto

Número decimal

¿Cómo se pueden relacionar los números que escribiste anteriormente?

¿Qué haces para transformar un decimal a fracción y viceversa?

Una fracción se puede escribir como una expresión decimal o viceversa. Dependiendo del caso, puedes utilizar distintas estrategias. Por ejemplo: De fracción a expresión decimal Opción 1: Si es posible, representa la fracción como una fracción decimal. Busca una fracción equivalente cuyo denominador sea 10, 100, 1 000 u otra potencia de 10. 5 12 . Es decir, 1,2. fracción ___ 10

Opción 2: Divide el numerador por el denominador. 6 __ 6 : 5 = 1,2 → 5

Sugerencia: Considera solo la parte fraccionaria y conserva la parte entera.

72

4 3__ 16

10 0//

4 : 16 = 0,25 40 80 0//

Unidad , décimas , 1 2

6 = 1,2 __

4 = 3,25 3__ 16

5

Para comprender Las potencias de 10 son: 1, 10, 100, 1 000, 10 000… PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

6 al ser amplificada por 2 resulta la La fracción __


2 De expresión decimal a fracción Identifica la posición de cada dígito del número decimal. Unidad , décimas , 2 5

centésimas 2

El número lo puedes leer como: “dos enteros y cincuenta y dos centésimas”

“doscientos cincuenta y dos centésimas”

Entonces, el número 2,52 se puede representar como fracción de las siguientes formas: 52 = 2 ___ 13 2____ 100 25

252 = ___ 63 ____ 100 25

¿Conocías o habías aplicado antes algunas de las estrategias para relacionar fracciones y decimales?, ¿cuáles? Aplicar

2 Escribe como expresión decimal o fracción irreductible según corresponda. a. 0,45

c. 1,005

36 b. ___ 20

12 d. ___ 5

Problema

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3 Un número decimal está formado por cuatro dígitos que suman 23.

Si la cifra de las unidades es la mitad de la cifra de las centésimas y, además, el dígito de las decenas es ocho y el de las unidades es un cuarto del dígito de las decenas, ¿cuál es el número? Escríbelo como expresión decimal y como fracción. Respuesta:

73


Cálculo mental

Lección

3 Sumar y restar números decimales 1 Lee y responde. De los siguientes trozos de cadena, se unen tres de ellos formando una cadena que mide 2,5 m. 0,9 m 0,8 m 0,5 m 1,2 m 1,1 m

¿Cuánto miden los trozos que se unieron?

¿Qué estrategia aplicaste para obtener la respuesta? Explica.

¿Es correcto afirmar que la situación se puede resolver sumando o restando?, ¿por qué?

Para sumar o restar números decimales, tienes que considerar la posición de cada dígito. Por ejemplo: 13,76 – 2,3

D 1 – 1

U 3 2 1

, , , ,

d 7 3 4

c 6 0 6

Si lo resuelves de forma horizontal, también debes relacionar cada dígito según su valor posicional. 13,76 – 2,30 = 11,46

En ambos casos, como 3 décimas es equivalente a 30 centésimas, se agrega un 0. ¿Crees que en la adición de números decimales se cumplen las mismas propiedades que en la adición de los números naturales? 74

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Si organizas los números en forma vertical, debes alinear cada dígito según su valor posicional.


2 Calcular

2 Resuelve las adiciones y sustracciones. a. 24,31 + 3,57

c. 98,134 – 17,021

b. 23,497 + 56,14

d. 13,45 – 11,02

¿Qué estrategia aplicarías para saber si respondiste bien?

Problemas 3 En la imagen se muestra el plano de un departamento cuyas esquinas forman ángulos rectos.

a. ¿Cuánto mide el ancho de la puerta de la entrada del departamento?

b. ¿Cuál es el perímetro del departamento?

5,50 m

Respuesta:

6,00 m

3,05 m

?

2,10 m

Respuesta:

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4 Francisco sumó 12,04 y 10,3, obteniendo como resultado 13,07. Cuando comprobó su resultado, descubrió que cometió un error. ¿Cuál fue su error? Explica.

75


Cálculo mental

Lección

3 Multiplicar un número decimal por uno natural 1 Completa la tabla y responde. Décima

Unidad

Centésima Representación gráfica 2 veces 6

2 veces 0,6

Suma iterada

Multiplicación

6+6=

2·6=

0,6 + 0,6 =

2 · 0,6 =

2 veces 0,06

¿Qué similitudes y diferencias hay entre los resultados obtenidos? ¿Existe alguna relación entre la cantidad de dígitos que hay después de la coma en el factor que es un número decimal y la cantidad de dígitos después de la coma que hay en el producto? Explica.

Para multiplicar un número decimal por un número natural, podemos resolver la multiplicación a partir de una suma iterada. Por ejemplo: 3 · 12,04

12,04 + 12,04 + 12,04 = 36,12

12,04 · 3 _____ 36,12 ¿Habías notado la relación entre las cifras decimales después de la coma? 76

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También la podemos resolver siguiendo el mismo procedimiento realizado al multiplicar números naturales, no obstante hay que considerar la parte decimal al expresar el resultado. El producto tendrá tantas cifras decimales como el factor decimal.


2 Aplicar

2 En cada producto dado, ubica la coma decimal según corresponda. a. 0,4 · 35 = 140

c. 12,45 · 8 = 9960

e. 23,12 · 5 = 11560

b. 8,05 · 113 = 90965

d. 2,6 · 204 = 5304

f. 7,097 · 12 = 85164

¿En qué casos es posible que la cantidad de cifras decimales del producto sea distinta a la del factor decimal?, ¿por qué? Calcular

3 Resuelve las multiplicaciones y comprueba el resultado a partir de la suma iterada. a. 2,7 · 8

b. 142,91 · 3

Problemas 4 Para confeccionar unas cortinas se considera el cuádruple del ancho

de la ventana que van a cubrir. Si el ancho de la ventana es 3,25 m, ¿cuántos metros de tela se necesitarán para confeccionar las cortinas?

Respuesta:

5 Una persona recorre en bicicleta 2,7 km desde su casa hasta su lugar

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de trabajo y viceversa. ¿Cuántos kilómetros recorre en 20 días de trabajo considerando los trayectos de ida y de vuelta?

Respuesta:

77


Cálculo mental

Lección

3 Dividir un número decimal por un natural 1 Resuelve la situación y responde. Se reparte la cantidad de arroz en 5 porciones con igual cantidad de kilogramos. Para realizar el cálculo, Felipe realizó una representación gráfica.

0,75 kg

Realiza el reparto en la representación. ¿Cuántos kilogramos hay en cada porción? ¿Cuál es la división que representa la situación?

Al dividir un número decimal por un número natural, comienzas dividiendo la parte entera para continuar dividiendo la parte decimal. Por ejemplo, al dividir 7,56 por 3: Representación gráfica

Representación simbólica

1.º En este caso se divide 7 por 3.

7,56 : 3 = 2 1

2.º Al quedar una unidad, se reagrupa en décimas para seguir la división. Se obtienen 15 décimas, lo que dividido por 3, da como resultado 5 décimas. 3.º Continúa el proceso de división de los centésimas.

7,56 : 3 = 2,5 15 Aquí se escribe la 0 coma, pues estás dividiendo la parte decimal del dividendo. 7,56 : 3 = 2,52 15 06 0//

¿Crees que la cantidad de cifras decimales del cociente tiene relación con la cantidad de cifras decimales del dividendo? Explica mediante un ejemplo. 78

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7,56 : 3


2 Aplicar

2 Resuelve las divisiones gráfica y simbólicamente. Utiliza los recortables de la página 351.

Representación gráfica

Representación simbólica

a. 0,52 : 4

b. 1,4 : 7

Calcular

3 Resuelve las divisiones. a. 126,72 : 12

b. 415,25 : 5

c. 90,81 : 18

Escoge una división y describe los pasos que realizaste para resolverla.

Problema 4 Un edificio de 13 pisos tiene 35,75 m de alto. Juan se demora

19,5 segundos en recorrerlos en el ascensor sin parar en ningún piso. a. ¿Qué altura tiene cada uno de los departamentos, si todos tienen la misma altura?

Respuesta: PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

b. ¿Cuánto tiempo demora el ascensor en subir un piso?

Respuesta: 79


Cálculo mental

Lección

3 Multiplicar y dividir un número decimal por un múltiplo de 10 1 Analiza los resultados y luego responde. Multiplicación

División

13,85 · 10 = 138,5 13,85 · 100 = 1 385 13,85 · 1 000 = 13 850

13,85 : 10 = 1,385 13,85 : 100 = 0,1385 13,85 : 1 000 = 0,01385

1,1427 · 10 = 11,427 1,1427 · 100 = 114,27 1,1427 · 1 000 = 1 142,7

1,1427 : 10 = 0,11427 1,1427 : 100 = 0,011427 1,1427 : 1 000 = 0,0011427

¿Qué regularidades observas en los resultados?

¿Qué relación hay entre los ceros de los múltiplos de 10 y la posición de la coma en el resultado? Explica.

Resuelve aplicando lo descubierto. 258,46 · 10 =

258,46 : 10 =

258,46 · 100 =

258,46 : 100 =

258,46 · 1 000 =

258,46 : 1 000 =

Recuerda que Las potencias de 10 son: 1, 10, 100, 1 000, 10 000…

Al analizar la multiplicación de un número decimal por una potencia de 10, puedes observar que, en el producto, la coma se ubica a la derecha tantas veces como ceros tenga la potencia por la que es multiplicado el decimal. El caso de la división de un número decimal por una potencia de 10 es similar, no obstante, en este caso, la coma se ubica a la izquierda tantas veces como ceros tenga la potencia por la que es dividido el decimal. 35,75 : 10 = 3,575

35,75 : 100 = 0,3575

35,75 : 1 000 = 0,03575

¿Qué otros ejemplos puedes plantear para explicar las regularidades? 80

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Por ejemplo:


2 Conjeturar

2 Analiza las estrategias para multiplicar y dividir. 4,37 · 50 = (4,37 · 5) · 10 = 21,85 · 10 = 218,5

108,8 : 800

= (108,8 : 8) : 100 = 13,6 : 100 = 0,136

¿Qué pasos se siguieron para resolver la multiplicación y la división?

Aplicar

3 Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones. a. 35,27 · 100

c. 12,46 : 10

b. 203,89 · 30

d. 4 687,05 : 500

Problemas 4 En un banco pesan las monedas para cambiarlas por billetes. a. Si una persona lleva 1 000 monedas de $ 100, cuya masa es 7,58 g cada una, ¿cuántos gramos debería mostrar la pesa?, ¿cuánto dinero cambió?

Respuesta:

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b. Otra persona cambia 300 monedas de $ 500. Si la masa de cada una es 6,5 g, ¿cuántos gramos debería mostrar la pesa?, ¿cuánto dinero cambió?

Respuesta: 81


Cálculo mental

Lección

3 Producto entre números decimales 1 Representa y resuelve las multiplicaciones siguiendo el ejemplo. Multiplicación de números naturales 3 · 4 = 12

4

Multiplicación de números decimales 0,3 · 0,4 = 0,12

0,3

3

0,4

5·6

0,5 · 0,6

¿Qué relación hay entre las multiplicaciones con números naturales y las multiplicaciones con números decimales?

¿Cuál crees que es el resultado de las siguientes multiplicaciones?, ¿por qué? 0,03 · 0,04 =

0,05 · 0,07 =

1,56 · 2,5 =

156 · 25 = 3 900

1,56 · 2,5 = 3,900 = 3,9

¿Qué relación descubriste entre la cantidad de cifras decimales de los factores y el producto? 82

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Al calcular el producto entre números decimales, puedes hacer lo siguiente: 1.° E s cr ibe los númer os 2.° En el producto escribe como números naturales, la coma, dejando tantas e s d e c ir, s in c o m a s . cifras decimales como las Luego, multiplica. que hay entre los factores.


2 Calcular

2 Resuelve cada multiplicación. a. 71,3 · 3,4

c. 123,45 · 0,03

b. 0,02 · 12,5

d. 1 487,7 · 0,9

Al multiplicar números decimales, ¿el producto siempre es mayor que los factores, del mismo modo que sucede al multiplicar números naturales?

Problemas 3 Estas dos multiplicaciones están bien resueltas, sin embargo, tienen

dos cifras decimales en lugar de tres. ¿Por qué crees que sucede esto? 3,72 · 6,5 = 24,18

4,15 · 13,2 = 54,78

Respuesta:

4 A partir de la siguiente información, responde. a. ¿Cuánto tiempo tardó el vencedor en completar 12,5 vueltas?

Victoria en el velódromo

El vencedor de la carrera de ciclismo logró batir el récord al tardar 17,5 s en cada vuelta.

Respuesta:

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b. ¿Qué distancia recorrió en total en las 12,5 vueltas, si avanzó 333,3 m en cada vuelta?

Respuesta: 83


Cálculo mental

Lección

3 Cociente entre números decimales 1 Resuelve las divisiones. Puedes usar calculadora. 5,4 : 0,45 = 54,0 : 4,5 = 540 : 45 = 12 5 400 : 450 = 54 000 : 4 500 = 540 000 : 45 000 =

¿En todas las divisiones el cociente en el mismo?, ¿por qué?

¿Cuál de estas divisiones crees que tiene el mismo cociente que 540 : 45? Márcalas. 5 400 : 45 =

0,0054 : 0,00045 =

54 000 000 : 4 500 000 =

0,054 : 0,0045 =

¿Qué habría que hacer para transformar 17,78 : 2,2 en una división con el mismo resultado y cuyo divisor sea 22?

Para dividir dos números decimales, transforma la división en otra equivalente sin decimales en el divisor.

· 100

Divisor

91,5 : 0,75

9 150 : 75 = 122 · 100

9 150 : 75

1.° Multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida por tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor.

91,5 : 0,75 = 122

3.° El resultado es el mismo porque son divisiones equivalentes.

¿Cómo explicarías lo que son las divisiones equivalentes? 84

2.° Resuelve la división equivalente.

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Dividendo


2 Aplicar

2 Decide por cuánto multiplicarás el divisor y el dividendo para plantear una división equivalente con divisor natural. Luego, resuelve. a.

c.

85,5 : 4,5 ·

·

:

b.

·

·

d. ·

=

·

:

=

3,15 : 0,21 :

0,034 : 0,008 =

9, 4955 : 3,5 ·

·

:

=

Problemas 3 Un vendedor debe envasar 15,5 kg de porotos verdes en bolsas de

0,25 kg cada una. ¿Cuántas bolsas necesitará para envasar todos los porotos?

Respuesta:

4 Marta tiene 91,5 m de cinta y corta trozos de 0,75 m. ¿Cuántos trozos

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obtiene?

Respuesta: 85


Cálculo mental

Lección

3 Operaciones combinadas 1 Lee la situación y responde. Carmen vende bolsas con frutos 2 kg de nueces y secos. Si tiene 8__ 5 3,75 kg de almendras, y cada bolsa puede contener 12 g de frutos secos, ¿cuántas bolsas necesitará para embolsar la mayor cantidad de frutos secos posible?

Completa la expresión con los datos del problema.

+

:

Recuerda que 1 kg = 1 000 g

¿Qué pasos seguirás para calcular la respuesta a partir de la expresión anterior?

Si las operaciones combinadas involucran fracciones y números decimales, antes de realizar los cálculos, deberás escoger si expresar todos los números como fracciones o todos como números decimales. Además, recuerda que si planteas una sola expresión, debes respetar la prioridad: 1.° Resolver las operaciones entre paréntesis. 2.° Resolver multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

¿Qué ocurriría si las expresiones las resolvieras sin seguir la prioridad de las operaciones?

86

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3.° Resolver adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.


2 Calcular

2 Resuelve las siguientes operaciones combinadas. 3 + 21,5 – 2,2 · 10 a. __ 4

(

3 + 1,45 – __ 2 + __ 1 b. 5__ 5 2 8

)

c. (54,9 – 50,1) : 0,05 · 2

Describe qué pasos seguiste para resolver la actividad c.

Problemas Resuelve cada problema planteando una expresión con operaciones combinadas.

3 Un recolector de latas juntó 37,5 kg de latas el día viernes. El día sábado recolectó 250 latas más, cuya masa es aproximadamente 0,025 kg cada una. Al vender lo recolectado en los dos días, recibe $ 700 por cada 1 kg de latas. ¿Cuánto dinero recibió?

Respuesta: 3 litros más. 4 Un bidón de agua tiene 5,7 litros de agua y se rellena con 2__

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4 Si se extrae agua con cuatro vasos de 0,6 litros cada uno, ¿cuántos litros de agua quedan en el bidón?

Respuesta: 87


INTEGRO lo que aprendí ¿Sabes cuántos datos consume un celular al utilizar las redes sociales, al subir o bajar fotos y archivos, o al jugar a través de internet móvil o aplicaciones? Red al s oci

Un “me gusta”

0,04 MB

Un comentario de texto

0,2 MB

Una fotografía

1 MB

1 Si das 24 “me gusta”, ¿cuántos MB utilizas?

Respuesta:

2 ¿Cuántos MB se utilizan al subir dos fotografías, realizar un comentario de texto y dar un “me gusta” a una publicación?

Respuesta:

3 Al reproducir un video en calidad HD, se utilizan 5 MB por cada minuto. ¿Cuántos minutos se pueden reproducir si el saldo de una persona es 127,5 MB?

Respuesta:

4 Al escuchar música online, a través de alguna aplicación, en un minuto se utilizan

Respuesta: 88

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1,25 MB. ¿Cuántos MB se utilizarán al escuchar una canción cuya duración es 3,7 minutos?


Evaluación intermedia

e ón d i c a c Apli sajería e m n n t án e a a inst

1 mensaje de texto

0,02 MB

1 mensaje con texto y foto

0,08 MB

10 mensaje con video

6,6 MB

2

5 ¿Cuántos MB utilizas al enviar 100 mensajes de texto?

Respuesta:

6 ¿Cuántos MB utilizas al enviar un mensaje con video?

Respuesta:

7 Si Francisca compra una bolsa que incluye 60 MB, ¿cuántos mensajes con fotos podría recibir o enviar?

Respuesta:

8 Completa la tabla transformando a fracción o expresión decimal según corresponda. Fracción 1 minuto jugando en alguna aplicación.

3 MB ____ 100

1 minuto visualizando un mapa.

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1 minuto navegando en un sitio web con alto contenido gráfico.

Expresión decimal

1,03 MB 3 MB 1__ 5

Reflexiono ¿Qué situación fue más difícil calcular?, ¿por qué? ¿Qué temas de los estudiados en la lección te parecieron más interesantes?

89


Resuelvo problemas Comprendo

Estrategia: Representar en diagrama

1 Tres amigas beben cada una un jugo de 600 cc. Transcurrido un

rato, se detienen y observan cuánto han tomado hasta el momento: 3 y Sofía __ 3 de sus respectivos jugos. 2 , Camila __ Antonia ha bebido __ 4 6 3 ¿Quién bebió más jugo?, ¿cuántos cc más que la que bebió menos?

Jugo 600 cc

Plan sugerido: Para resolver el problema, organizaremos la información en diagramas. 1.° Dibuja el referente que permitirá representar las fracciones. En este caso serán rectángulos, pero puede ser la figura que consideres conveniente.

600 cc 200 cc Jugo tomado

2.° Representa las fracciones mencionadas en el problema. Completa los diagramas siguiendo el ejemplo.

200 cc 200 cc

Antonia

Camila

Sofía

3.° Colorea y rotula cada una de las partes del diagrama.

5.° Redacta la respuesta al problema. Respuesta:

90

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4.° Utiliza el diagrama para comparar visualmente quién bebió más cantidad de jugo y para extraer la información necesaria para realizar los cálculos y saber cuánto más jugo bebió que la que bebió menos.


2 Resuelvo 9 2 Rodrigo tiene que completar un mosaico con 30 cuadrados de color. De estos, ___

15 2 son verdes y el resto son azules. ¿Cuántos cuadrados son azules? son amarillos, ___ 15

Respuesta: 2 del trayecto se 3 Un curso organizó una caminata de 24 km. Tras haber avanzado __ 6 detienen a descansar. Si luego caminan otros 6 km, ¿qué parte del trayecto les falta por recorrer?, ¿a cuántos kilómetros corresponde?

Respuesta:

4 El estanque de bencina de un automóvil se llena con 32 litros. En el primer tramo

1 de su capacidad y en el segundo tramo se utilizan 8 litros de recorrido se utiliza __ 8 bencina. ¿Con cuánta bencina debería cargarse el estanque para que vuelva a estar lleno?

Respuesta:

Creo 5 Observa el diagrama que representa la distribución de un terreno. Inventa un problema en el que se utilicen fracciones para resolverlo.

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Vendido Cultivado Arrendado

91


Matemáticamente Sumar y restar descomponiendo números decimales 1.° Descompón cada sumando en parte entera y parte decimal. 2.° Suma los enteros.

12,75 + 3,25 12

0,75

15

3.° Suma los decimales.

0,25

3

1

4.° Suma los resultados anteriores.

16

1 Aplica la estrategia y anota los resultados de cada adición. a.

b.

3,75 + 6,7

15,3 + 11,25

c.

11,9 + 1,25

d.

6,4 + 9,25

2 Elige dos o tres números cuya suma dé el número del centro. 12,5

8,2

c.

14,9

24

b.

19,75

5,9

11,5

14,3

8,3

d.

11,25

8,5

7,3

12,1

18,2 9,9

92

4,75

22,5 8,9

2,9

3,1

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a.


Estrategias de cálculo mental

2

19,31 – 15,19

1.° Descompón minuendo y sustraendo en parte entera y parte decimal.

19

2.° Resta los enteros.

0,31

4

3.° Resta los decimales.

0,19

15

0,12

4.° Suma los resultados anteriores.

4,12

3 Resuelve mentalmente aplicando la estrategia para restar. a.

b.

8,73 – 4,5

c.

11,18 – 9,2

d.

36,1 – 26,02

29,4 – 29,04

4 Calcula y completa la tabla. Minuendo

Sustraendo

15,5

7,35

11,82

8,5

29,36

12,16

Diferencia

5 Encierra aquellas parejas cuya diferencia es 6,07. 19,28 – 13,21

11,5 – 5,43

26,13 – 20,06

18,07 – 16,07

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41,8 – 36,71

34,27 – 26,2

93


Organizo mis ideas Fracciones propias e impropias Las fracciones propias son aquellas fracciones menores que un entero y las fracciones impropias son aquellas mayores que un entero. Encierra las fracciones propias con color rojo y las impropias con color azul. 4 __ 5

8 __ 3

3 __ 7

12 ___ 15

9 __ 8

1 __ 4

3 __ 2

5 __ 2

18 ___ 19

5 __ 6

7 ___ 10

Fracciones impropias y números mixtos Las fracciones impropias son aquellas mayores que el entero y se caracterizan por tener un numerador mayor que el denominador. Los números mixtos son expresiones que se escriben 1. 1 representa 2 + __ con un número entero y una fracción propia; por ejemplo: 2__ 5 5 Expresa como fracción impropia o número mixto según corresponda. 5= a. 3__ 8

3= c. 2__ 4

5= e. __ 4

2= b. 1__ 3

13 = d. ___ 8

13 = f. ___ 4

Adición y sustracción de fracciones Al resolver adiciones y sustracciones, considera que los denominadores sean iguales. Si no lo son, puedes amplificar o simplificar para igualarlos.

94

7 + ___ 4 = a. ___ 12 12

5 + __ 1= c. __ 9 3

8= 2 + __ e. 1___ 11 3

5= 7 – __ b. __ 9 9

3 – ___ 1 = d. __ 4 16

13 – 1___ 2 = f. ___ 6 13

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Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.


2 Relación entre números decimales y fracciones Las fracciones decimales pueden ser expresadas como número decimal; y los números decimales se pueden expresar como fracciones decimales o como expresiones equivalentes a estas. Por ejemplo: 2 = ___ 4 = 0,4 __ 5 10

8 = ___ 2 0,08 = ____ 100 25

De fracción a decimal

De decimal a fracción

Escribe cada fracción como decimal y cada decimal como fracción irreductible. 15 = 7 = 1= e. ___ c. ___ a. 2__ 6 20 2 b. 2,025 =

d. 0,59 =

f. 15,25 =

Multiplicación de números decimales Resuelve las siguientes multiplicaciones. a. 14,46 · 8

c. 402,21 · 10

e. 0,37 · 8,8

b. 20,003 · 5

d. 301,12 · 100

f. 1,9 · 33,02

División de números decimales Resuelve las siguientes divisiones. a. 4,86 : 2

c. 567,2 : 10

e. 9,6 : 1,6

b. 27,99 : 3

d. 9 742,32 : 100

f. 9,76 : 1,22

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Operaciones combinadas Calcula. 3 + 0,31 · 10 = a. ___ 20

b. (34,6 – 2,2) : (12,8 : 4) =

95


COMPRUEBO lo que aprendí propia? 12 A. ___ 11 6 B. __ 6 3 C. __ 7 2 D. 1__ 3

2 ¿A qué número mixto corresponde la 15 ? fracción ___ 6 3 A. __ 6 5 B. 1__ 6 13 C. 2 ___ 6 3 D. 2 __ 6

3 ¿Cuál de las siguientes fracciones es 54? equivalente a ___ 12 9 A. __ 2 2 B. __ 9 4 C. ___ 18 108 D. ____ 36 5 de 4 Marcos tiene 49 tarjetas y regala __ 7 ellas. ¿Cuántas tarjetas le quedan? A. 7 tarjetas. B. 14 tarjetas. C. 30 tarjetas. D. 35 tarjetas.

96

5 Francisca compró 3 kg de comida para

cada uno de sus perros. Al cabo de un 3 kg; Lulú, __ 7 kg y tiempo Toby comió 1__ 5 5 7 __ Manchitas, kg. ¿Qué alternativa muestra 4 ordenados los perros desde el que comió menos hasta el que comió más? A. Lulú, Toby y Manchitas. B. Manchitas, Toby y Lulú. C. Toby, Lulú y Manchitas. D. Lulú, Manchitas y Toby.

6 ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica? 0

1

2

3 A. __ 8 11 B. ___ 8 8 C. __ 3 8 D. ___ 11 3 + 3 __ 2? 7 ¿Cuál es el resultado de 1___ 5 A. ___ 15 7 B. ___ 10 7 C. 4___ 10 5 D. 4___ 15

10

5

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1 ¿Cuál de las siguientes fracciones es


Evaluación final

5 y ___ 13 ? 8 ¿Cuál es la diferencia entre __ 8 A. __ 3 2 B. __ 9 8 C. __ 9 32 D. ___ 27

3

9

9 Un vaso de leche contiene

aproximadamente 0,31 g de sal. ¿Cómo escribirías la cantidad de sal como una fracción? 31 A. ___ 10 31 B. ____ 100 31 C. _____ 1 000 31 D. ____ 250

de 34,891 mm, mientras que en otra se registró 10 veces dicha cantidad. ¿Cuántos mm de agua han caído en la segunda zona? A. 3,4891 B. 348,91 C. 3 489,1 D. 34 891

13 ¿Cuántas bolsas se necesitan para

envasar 2,6 kg de harina en porciones de 0,2 kg? A. 10 bolsas. B. 13 bolsas. C. 15 bolsas. D. 16 bolsas.

14 En una fiesta hay 42 personas, de las

a su automóvil; luego recorre 21,3 km y llega a su destino. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total? A. 2,57 km.

A. 9 personas.

B. 21,47 km.

B. 14 personas.

C. 21,75 km.

C. 19 personas.

D. 25,7 km.

D. 28 personas.

11 ¿Cuál de las siguientes expresiones es correcta?

A. 25,36 : 100 = 253,6 B. 25,36 : 100 = 2,536 C. 25,36 : 100 = 0,2536 PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

12 En una zona la cantidad de agua lluvia es

3 1 tiene entre 20 y 25 años, ___ cuales __ 6 18 tienen 18 o 19 años y el resto más de 25 años. ¿Cuántas personas tienen más de 25 años?

10 Tamara recorre 0,45 km y carga bencina

D. 25,36 : 100 = 2 536

2

15 ¿Qué número decimal representa la 12 ? fracción 3 ___ 25 A. 0,312 B. 0,348 C. 3,12 D. 3,48

97


COMPRUEBO lo que aprendí Resuelve los siguientes problemas. 5 litros de café y 1__ 1 litros de 16 Para preparar café con leche, Margarita colocó en un jarro __ leche. ¿Cuántos litros de café con leche preparó?

8

2

Respuesta: 28 litros de agua. Si su capacidad máxima es de 10__ 2 litros, 17 Un contenedor de agua tiene ___ 10 ¿cuánta agua hay que agregar para llenarlo?

5

Respuesta:

18 Tomás se entrena para correr en la competencia de 100 m planos. El primer día registró

12,5 segundos, el tercer día bajó su marca en 1,3 segundos y el cuarto día de entrenamiento subió su última marca en 0,7 segundos, ¿cuánto tiempo registró el último día?

Respuesta:

19 Soledad estudia por 7 días para una prueba. Si cada día estudia 2,5 horas, ¿cuánto tiempo

Respuesta:

98

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ha dedicado al estudio?


Evaluación final

2

20 Resuelve las siguientes operaciones combinadas. 3 – 0,07 a. 6,7 + __ 5

(

1 + __ 2 – __ 7 – __ 2 b. 3__ 7 8 4 4

c. 34,7 · (0,2 + 45,7) – 6,09

)

d. 36,9 · (3 + 12,9) : 10

21 Escribe cada fracción impropia como número mixto o viceversa. 3= a. 7__ 5

3= c. 2__ 8

17 = e. ___ 3

1= b. 12__ 4

23 = d. ___ 9

76 = f. ___ 10

22 Representa las fracciones en cada recta numérica. 10 1 , __ 4 , ___ 7 , 2__ a. __ 6 6 6 6

0

1

2

3

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3 , ___ 8 17, __ b. __ 4 12 6

0

1

2

Reflexiono Si tuvieras que responder otra vez las actividades, ¿qué harías de otra forma? Las fracciones y números decimales los estudiaste ya en cursos anteriores. ¿Qué cosas nuevas aprendiste este año? Explica.

99


Unidad

3

Razones y porcentajes

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La estatura de las personas que aparecen en las pinturas, ¿tendrán las proporciones que muestra este afiche?

100


Miro y resuelvo O PAS

1

Comprendo el problema ¿Cuál es la pregunta del problema? ¿Qué datos permiten responderla?

O PAS

2

Creo el plan ¿Cómo puedes resolver el problema? Marcando las partes del cuerpo. Midiendo con una regla en las fotografías. De otra forma:

O PAS

3

Ejecuto el plan ¡Resuelve y encuentra la respuesta!

Respuesta: O PAS

4

¿Sabías que la medicina y el arte han definido las proporciones del cuerpo humano en distintas etapas de su vida?

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La estatura se define considerando como referente la cabeza. La estatura de un niño de un año es 4 veces su cabeza, mientras que la de un adulto es 8 veces la cabeza.

Compruebo el resultado ¿Qué aspectos te dicen que tu estrategia funcionó en el proceso de resolución de problemas?

¿Qué voy a aprender? A interpretar y plantear una razón, a comparar dos razones equivalentes, a estimar y calcular porcentajes en distintas situaciones. Todo, expresando y escuchando ideas de manera respetuosa. Lección 1: Razones. Lección 2: Porcentajes. 101


ACTIVO lo que sé Representación de fracciones

1 Representa las fracciones pintando los recuadros. 25 a. ____ 100

75 b. ____ 100

10 c. ____ 100

Fracciones equivalentes

2 Escribe una fracción equivalente, simplificando o amplificando. Simplifica

Amplifica

15 a. ___ 25

3 d. __ 4

3 b. ___ 12

3 e. ___ 20

24 c. ____ 100

1 f. __ 4

Relación entre fracción y número decimal

3 Escribe cada fracción como expresión decimal, o viceversa.

102

De expresión decimal a fracción

7 a. ____ 100

e. 0,37

49 b. ____ 100

f. 0,8

6 c. ___ 10

g. 0,76

9 d. ___ 10

h. 0,05

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De fracción a expresión decimal


Evaluación inicial

3

Situaciones multiplicativas

4 En el supermercado el pack de 4 jaleas cuesta $ 990. a. Si compras varios packs de jalea, ¿cuánto deberías pagar en cada situación? Completa la tabla. Cantidad de packs

1

2

Cantidad de jaleas

4

8

Dinero a pagar

$ 990

3

4

5

b. Si compras 3 packs, ¿cuántas jaleas llevas? c. ¿Cuántos packs puedes comprar con $ 7 000?

5 Una vaca consume aproximadamente 240 kg de alfalfa al mes, lo que corresponde a 80 fardos. ¿Cuántos fardos aproximadamente se necesitan para alimentar a 212 vacas?

Respuesta: 1 litros, 6 Si el litro de parafina tiene un valor de $ 680 y el estanque de una estufa se llena con 2__ ¿cuánto hay que pagar para llenar una vez el estanque?

2

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Respuesta:

Reflexiono ¿Qué actividades te resultaron más fáciles de responder?, ¿por qué? ¿Qué tema crees que fue el más difícil? Subraya su nombre. ¿Por qué crees que ese tema es el más difícil?

103


Le

Cálculo mental

cción

1

Razones Concepto de razón

1 Observa las bandejas que tienen igual cantidad de galletas y responde. De 6 bandejas, 3 tienen galletas con mermelada, es decir, la mitad de las galletas llevan mermelada.

Hay 10 galletas de chocolate y 5 con chips. Entonces, las galletas de chocolate son el doble de las galletas con chips.

¿Qué cálculos realizaron los niños para concluir que las galletas son la mitad o el doble? Explica. Mitad

Doble

¿Qué se compara en cada uno de los casos?, ¿qué se puede concluir? 15 : 5

10 ___ 30

¿Qué puedes concluir al comparar por cociente lo siguiente?

104

Galletas de chocolate y galletas de mermelada.

Para comprender Al comparar por cociente, determinas cuántas veces mayor es un número que otro; esto, mediante una división.

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Galletas con chip y total de galletas.


3 Una razón corresponde a una comparación por cociente entre magnitudes. Se puede comparar una parte con otra parte, una parte con el todo o el todo con una parte. Si las magnitudes son a y b, la razón se expresaría como: a , lo que se lee “a es a b”. a : b o __ b ↑ ↑ Antecedente Consecuente El valor del cociente se llama valor de la razón. Por ejemplo: Valor de la razón

Razón

Interpretación del valor de la razón

24 : 4

24 ___ 4

24 : 4 = 6

La cantidad de círculos totales es 6 veces la cantidad de círculos azules.

4:8

4 __ 8

4 = __ 1 = 0,5 __ 8 2

La cantidad de círculos azules es la mitad de la cantidad de círculos blancos.

12 : 4

12 ___ 4

12 = 3 ___ 4

La cantidad de círculos rojos es el triple de la cantidad de círculos azules.

¿Cuáles son las razones que representan lo dicho por los niños en la situación inicial?, ¿por qué? Interpretar

2 Completa la tabla escribiendo 2 razones para cada caso. Valor de la razón

Interpretación del valor de la razón

Razón

Valor de la razón

Interpretación del valor de la razón

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Razón

105


Lección

1 Interpretar

3 A partir de la información, escribe 3 razones que estén asociadas a ella e interprétalas. Sigue el ejemplo. Ejemplo: Al analizar las ventas de una automotora el mes de junio, esta informó que por cada 7 automóviles vendidos, había 4 sin vender. Razón 1

7:4

Por cada 7 automóviles vendidos, había 4 sin vender.

Razón 2

11 : 7

De cada 11 automóviles que había en la automotora, 7 de ellos fueron vendidos.

Razón 3

11 : 4

De cada 11 automóviles que había en la automotora, había 4 sin vender.

Al cumpleaños de Renato asistieron 15 niños y 9 niñas.

Razón 1

Razón 2

Razón 3

En un estacionamiento hay 13 bicicletas de adultos y 4 bicicletas de niños. Razón 2

Razón 3

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Razón 1

106


3 Problemas 4 Hay dos cuerdas: la cuerda A mide 15 m y la cuerda B, 5 m. ¿Cuántas veces el largo de la cuerda B es el de la cuerda A?

Respuesta:

5 En una clase hay 15 niños y 30 niñas. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de niños y el total del curso?, ¿cómo interpretarías el valor de la razón?

Respuesta:

6 Alejandra y su papá están de cumpleaños en la misma fecha. Este año Alejandra cumple 12 años y su papá 48.

a. ¿Qué puedes concluir si comparas sus edades planteando una razón?

Respuesta: b. ¿El resultado y la conclusión cambiarán si comparas de la misma forma las edades que tendrán en 12 años más?, ¿por qué?

7 Carlos, Margarita y Luis tienen 11 tarjetas. Si las reparten en la razón

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4 : 2 : 5, respectivamente, ¿cuántas tarjetas recibe cada uno?, ¿por qué?

Respuesta: 107


Cálculo mental

Lección

1 Razones iguales 1 Observa la imagen y luego responde. En ambos grupos la razón entre la cantidad de lápices grafito y lápices de color es 4 : 5. Grupo A

Grupo B

Reagrupa los lápices del grupo B y comprueba si están en la razón 4 : 5. Si se representa cada razón como fracción, ¿qué relación observas? Grupo A

Lápices grafito

Grupo B

4

Lápices de color

15

Si se mantiene la razón 4 : 5, pero ahora hay 25 lápices de color, ¿cuántos lápices grafito debiera haber?

Lápices grafito

Lápices de color

4

5

8

10 15 20 25

Yo busco una fracción equivalente. ·

4 5

25 ·

¿Se obtiene la misma respuesta en ambos procedimientos? Explica.

108

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Yo tabulo los datos.


3 Dos razones o más son iguales si, aun cuando se escriban distinto, representan la misma información. Por ejemplo:

1 __ 3

4 ___ 12

5 ___ 15

1 __ 3

Tanto 4 : 12 como 5 : 15 representan 1 : 3, entonces son iguales. Las razones iguales forman una proporción. Esto se escribe: medios c , lo que se lee “a es a b como c es a d”. a = __ __ a:b=c:d o b d extremos En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Es lo que se llama propiedad fundamental de las proporciones. En el ejemplo anterior: medios Cálculo de los productos 5 4 ___ = ___ 4 · 15 = 12 · 5 4 : 12 = 5 : 15 12 15 60 = 60 extremos Se comprueba que ambas razones son iguales y representan una proporción, pues el producto de los extremos es igual al de los medios.

Las razones de la situación inicial, ¿forman una proporción? Representar

2 Completa las representaciones según se solicita y responde. Por cada 2 bolitas rojas hay 3 azules.

Por cada 4 bolitas rojas hay 9 azules.

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¿Son razones iguales? ¿Qué pasos seguiste para comprobar si las razones son iguales?

109


Lección

1 Aplicar

3 Completa las razones y sus representaciones para que sean iguales. 3= a. __ 8

6

10 cm cm

10 = b. ___ 8

8 cm

2= c. __ 3

6

d.

5 = ___ 20

8

4 cm

4

¿Qué se compara en cada razón planteada anteriormente? Aplicar

4 Representa cada situación y responde la pregunta. Sigue el modelo. a. La razón entre bolitas rojas y azules es 4 : 5. Si hay 60 bolitas azules, ¿cuántas rojas hay?

R A

12

12

12

12

12

b. Hay 50 cartas en total. Si la razón entre el total de cartas y las de color verde es 5 : 2, ¿cuántas cartas verdes hay?

110

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Total 60


3 Problemas 5 Una doctora realiza turnos de noche: cada tres noches seguidas que

trabaja, descansa un día. Para conocer sus días libres, fue completando una tabla, como la que aparece a continuación. a. Completa la tabla con los datos del problema. Cantidad de noches trabajadas

3

Cantidad de días libres

1

6

9

12

15

b. ¿Cuántos días libres habrá tenido al completar 27 noches trabajadas?

Respuesta:

6 Una bandeja contiene 4 huevos blancos y 8 huevos de color. Una segun-

da bandeja contiene 16 huevos blancos y 8 huevos de color. La razón entre la cantidad de huevos blancos y huevos de color, ¿es igual en ambas bandejas?

Respuesta:

7 La altura de un florero equivale a 6 fósforos o 4 clavos. Si la altura de

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otro florero equivale a 6 clavos, ¿cuál es su medida en fósforos?

Respuesta: 111


INTEGRO lo que aprendí Cauquenes

Cobquecura

Parral

San Carlos

Coelemu Tomé

Chillán

Bulnes Concepción

40 km

En los mapas se utilizan las razones y proporciones para representar superficies reales de manera reducida. Esto se realiza por medio de las escalas.

1 ¿Cuál es la razón que representa la escala? Explica cómo interpretarla.

cm

La razón es:

40

km

Se interpreta de la siguiente forma:

Escala gráfica

Para comprender La escala es la relación matemática entre las medidas reales y las de su representación gráfica. Puede presentarse en forma gráfica y como una razón.

2 ¿Cuál es la distancia aproximada en kilómetros entre Cauquenes y Chillán?

km

Respuesta: 112

40

= PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

cm


Evaluación intermedia

3

3 Si la distancia marcada entre Coelemu y Concepción es aproximadamente 47 km, ¿cuántos centímetros debería medir esa distancia en el mapa? cm km

40

=

Respuesta:

4 Según el Banco Mundial, en Chile la densidad de la población es 24 habitantes por cada km2. Para obtener este número, se divide la cantidad de habitantes del país por la superficie total del país en km2. Total de habitantes

17 772 871

Superficie en km2

756 102,4

= 23,5 ≈ 24

Plantea la razón que permite calcular la densidad poblacional de cada una de las ciudades que muestra la tabla. Ciudad

Población

Superficie (km2)

San Fernando

75 221

2 441

Curicó

177 766

1 328

Talca

215 413

232

Densidad

5 ¿La densidad poblacional de San Fernando y Talca es cercana a la estimada por el Banco

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Mundial para todo Chile? Justifica tu respuesta. Puedes utilizar calculadora para realizar los cálculos.

Reflexiono ¿Qué conceptos crees que se aplican en cada una de las preguntas?, ¿cuál te causó mayor dificultad?

113


Le

Cálculo mental

cción

2

Porcentajes Concepto de porcentaje

1 Observa y resuelve ¿Qué empresa telefónica escogerías?

s lamo c e r 120

150 r ecla

mos

Yo escogería la que tiene menos reclamos. Entonces, lo más justo es que comparemos en relación con la misma cantidad de clientes. Planteemos una razón igual con consecuente 100.

Pero ¡Aló! tiene 200 clientes y de ellos 120 han reclamado. Mientras que FonoMobile tiene 500 clientes y 150 han reclamado.

Completa la igualdad entre las razones para cada caso. Teléfonos FonoMobile

Teléfonos ¡Aló! N.º de reclamos N.º de clientes

Qué importante es...

=

N.º de reclamos 100

N.º de clientes

=

100

¿Cuál empresa de telefonía crees que escogerán? Explica.

Escuchar y expresarse con respeto pues permite mejorar la comunicación. ¿Es posible hacer entender a los otros la importancia del respeto? ¿Qué tan influyente puede ser en el éxito de lo que se está realizando?

Se representa con el signo % que se lee por ciento. Por ejemplo, la 90 representa noventa por ciento o 90 %. razón ____ 100 ¿Cuál es el porcentaje de reclamos de cada una de las empresas? ¿Cuál crees que es la importancia y la utilidad de utilizar porcentajes? 114

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Una razón cuyo consecuente es 100 representa un porcentaje. Los porcentajes permiten realizar comparaciones de forma relativa al utilizar siempre el consecuente 100.


3 Representar

2 Expresa, como razón y porcentaje, la parte pintada de amarillo. b.

a.

=

c.

%

=

%

=

%

Representar

3 Representa en cada entero el porcentaje indicado y exprésalo como razón. b.

a.

65 % =

c.

21 % =

3% =

Problemas 4 Representa la siguiente situación y responde.

Elecciones centro de alumnos Total de votos: 100 Lista A: 55 votos

Lista B: 40 votos

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a. ¿Qué porcentaje de los estudiantes votó por la lista A? b. ¿Cuál es el porcentaje de votos obtenido por la lista B? c. ¿Qué porcentaje de los estudiantes no votó por ninguna de las dos listas?

115


Cálculo mental

Lección

2 Porcentajes como fracciones o decimales 1 Un teatro tiene capacidad para 100 asistentes. Observa y responde.

Pinta, de colores diferentes, las butacas que representan la cantidad de niños y de adultos que asistieron a la función. Identifica si las frases son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica tu elección. El 68 % de los asientos son utilizados por adultos. 68 del total de asientos. Los niños utilizan ____ 100 Los asientos desocupados son el 7 % de la capacidad total. 1 de los asientos los utilizan adultos. __ 4

El porcentaje se puede escribir como una razón cuyo consecuente es 100, como una fracción irreductible y como una expresión decimal. Razón 20 %

Fracción irreductible Expresión decimal

20 o 20 : 100 ____ 100 20 = __ 1 ____ 100 5 20 = 0,2 ya que 20 : 100 = 0,2 ____ 100

¿Cómo está expresado el porcentaje en cada una de las frases anteriores?

116

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Por ejemplo:


3 Representar

2 Pinta el porcentaje de recuadros señalado. Escribe cada porcentaje como razón, fracción irreductible y expresión decimal.

Recuerda que Un fracción es irreductible cuando el único número que divide tanto al numerador como al denominador es 1. Por ejemplo: 8 = ___ 4 = __ 2 ___ 20 10 5 La última fracción es irreductible.

b. 8 %

a. 45 %

Razón

Razón

Fracción irreductible

Fracción irreductible

Decimal

Decimal

Representar

3 Expresa cada número decimal como porcentaje y represéntalo. a. 0,75

b. 0,07

%

%

Aplicar

4 Amplifica las siguientes fracciones y exprésalas como porcentajes. 1 = ____ a. __ 5 100

%

1 = ____ b. __ 4 100

%

1 = ____ c. ___ 20 100

%

Problemas Completa las situaciones. 3 de su tarea, por lo tanto le queda el 5 Francisca ha realizado __

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4 de la tarea por realizar.

%

6 El 90 % de los estudiantes aprobó Matemática. Eso significa que no aprobaron.

7 En un centro odontológico, el 60 % de los dentistas prefieren Dentín, es decir,

de cada

escoge Dentín. 117


Cálculo mental

Lección

2 Porcentaje de un número 1 Observa y responde. Para aprobar un curso, se necesita contestar el 70 % de una prueba correctamente. Si la prueba tiene 60 preguntas, ¿cuántas hay que contestar correctamente como mínimo para aprobar el curso?

Representaré gráficamente la situación en una barra. Para eso, escribo los datos del problema. ¿Cuántas preguntas representan cada recuadro?

Datos situación

Porcentajes

Cantidad de preguntas para aprobar 0

0%

Total de preguntas 60

30

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

60 %

70 %

80 %

90 %

100 %

Calcula la cantidad de preguntas que representa cada recuadro y escríbela en todos los recuadros de la representación gráfica. Con la información que tienes representada, ¿qué tendrías que hacer para saber cuántas preguntas, como mínimo, se deben contestar correctamente para aprobar el curso?

Completa: Se aprueba el curso al responder, al menos, tas correctamente.

pregun-

Resuelve la situación planteando un par de razones iguales. ¿Obtuviste la misma respuesta?

N.º de preguntas de la prueba

=

¿Cómo explicarías la forma de calcular el 70 % de 60? Comenta con un compañero o compañera.

118

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N.º de preguntas correctas


3 Para calcular el porcentaje de un número, existen distintas estrategias que se basan en la forma en que expresamos el porcentaje. Por ejemplo, Calcula el 40 % de 20. 1.º Expresamos el porcentaje como razón: 40 . ____ 40 % 100 2.º Buscamos una razón igual, considerando que no conocemos qué parte de 20 es equivalente al 40 %. Parte Razón

Todo

40 = ? 100 20

3.º Podemos buscar una razón igual por medio de la amplificación, la simplificación o la propiedad de las proporciones. Simplificación 40 : 5 = ___ 8 ______ 100 : 5 20

Producto medios y extremos 40 · 20 = 100 · ? 800 = 100 · 8

4.ºEn ambos casos resulta que el 40 % de 20 es 8. 1.º Expresamos como decimal: 40 % Decimal

0,4.

2.º 0,4 de 20 es lo mismo que calcular: 0,4 · 20 = 8 3.º Nuevamente obtenemos que el 40 % de 20 es 8.

Fracción irreductible

40 = __ 2. 1.º Expresamos como fracción irreductible: 40 % = ____ 100 5 2 de 20. 2.º Calculamos la fracción de un número: __ 5 20 : 5 = 4 4·2=8 3.º Una vez más resulta que el 40 % de 20 es 8.

¿Cómo representarías gráficamente la forma de calcular el 40 % de 20?

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Escoge la estrategia que más te gustó o que entendiste mejor. ¿Cómo podrías ejemplificar su uso al calcular el 65 % de 260?

119


Lección

2 Aplicar

2 Calcula cada porcentaje gráficamente. Luego, comprueba tu resultado utilizando la estrategia que estimes conveniente. a. 20 % de 30 Datos situación Porcentaje

0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

Comprobación

b. 75 % de 50 Datos situación Porcentaje

0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

Comprobación

Aplicar

3 Calcula empleando dos estrategias distintas. a. 30 % de 18 000

b. 83 % de 1 500

¿En qué te fijaste para escoger las estrategias?, ¿funcionaron bien? Explica a un compañero o compañera la ruta de pasos que seguiste para calcular los porcentajes. 120

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c. 18 % de 12 500


3 Aplicar

4 Ordena los resultados de menor a mayor. 54 % de 1 468

1 % de 72 927

<

10 % de 792

<

El orden, ¿está relacionado con los porcentajes o con la cantidad a la cual se le calcula el porcentaje? Explica.

Problemas 5 Un pantalón tiene un 15 % de descuento. Si el precio normal, sin descuento, es $ 26 700, ¿cuánto dinero se descontará al precio?

Respuesta:

6 En la vitrina de una tienda dice: “Lector de DVD $ 21 000 + IVA”. ¿Cuál es el valor final del producto?

¿Sabías que...? IVA es el impuesto sobre el valor agregado. En Chile consiste en un recargo del 19 % sobre el valor de un bien o un servicio.

Respuesta:

7 Se encuestó a 480 personas, de las cuales el 35 % dijo que el fin de

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semana practicaba algún deporte. Entre los encuestados, ¿cuántos no practican deporte el fin de semana?

Respuesta:

121


Cálculo mental

Lección

2 Cálculo del tanto por ciento 1 Observa y responde. ¿Cuál de los dos envases tiene mayor porcentaje de su contenido gratis?

+ 30 % gratis

+ 84 g gratis

Choc full

Fullchoc

220 g

350 g

A

B

Completa la igualdad entre las razones para saber qué porcentaje del producto A es gratis. Parte gratis

=

Total contenido

=

100

%

¿Cuántos gramos son gratis en el producto B?

¿Es suficiente determinar qué porcentaje del total del contenido es gratis para saber cuál oferta es más conveniente?, ¿por qué?

Para saber a qué porcentaje corresponde una cantidad de otra, escribimos esas cantidades como una razón igual a otra que tiene consecuente 100 y antecedente desconocido. Por ejemplo: ¿Qué porcentaje de los cuadrados son rojos? Parte

7

Todo

20

=

? 100

Producto de los medios y extremos 7 · 100 = 20 · ? 700 = 20 · 35

7 20

=

35 100

Los cuadrados rojos representan el 35 % del total de cuadrados. ¿Qué porcentaje de los cuadrados son celestes? Explica el procedimiento que realizarás. 122

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? = 35


3 Representar

2 Expresa como porcentaje la parte pintada en cada representación. a.

% de 30

b.

% de

Aplicar

3 Calcula a qué porcentaje del total corresponde cada número. a. 22 de 110

%

b. 49 de 70

%

Problemas 4 Marta compró un regalo por $ 12 000. Cuando llegó a la caja le hicieron un descuento de $ 600. ¿Qué porcentaje le descontaron?

Respuesta:

5 El médico le dice a un hombre cuya masa corporal es 70 kg que el contenido de

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agua corporal debería ser 42 litros; de este modo, los litros de agua corresponderían al porcentaje ideal de su masa total. ¿Cuál es el porcentaje ideal que debería representar el agua en el cuerpo del hombre?

Respuesta:

123


Cálculo mental

Lección

2 Cálculo del 100 % 1 Observa y responde. En la huerta del colegio, Pedro debe plantar algunas plantas medicinales. Hemos plantado 8 mentas, o sea, hemos plantado el 20 % de las mentas de la huerta.

¿Cuántas mentas en total crees que deben plantar en la huerta?, ¿por qué? Completa la igualdad entre las razones que representan la situación: Parte

=

Todo

100

¿Cuál es el valor desconocido?, ¿cómo se podría calcular?

Para calcular el 100 %, conociendo un valor y el porcentaje al que corresponde, se puede plantear razones iguales y buscar el valor desconocido, o bien representar la información gráficamente. Por ejemplo: Gráficamente:

Parte

27

Todo

?

=

30 100

27 · 100 = 30 · ? 2 700 = 30 · 90 ? = 90

27 es el 30 % de 90.

30 % 9

9

27 9

9

9

9

9

9

9

9

100 %

Se divide 27 en 3, porque es la cantidad de partes que representan el 30 %; luego 27 : 3 = 9. Cada parte equivale a 9; por lo tanto, si se repite hasta completar el 100 %, el total será 90, coincidiendo con el cálculo anterior.

La representación gráfica de la situación, ¿te ayuda a encontrar la respuesta?

124

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27 es el 30 % de ...


3 Representar

2 Determina el 100 % gráficamente. a. 12 equivale al 60 % de...

b. 3 equivale al 25 % de...

Aplicar

3 Calcula el 100 %. Une cada caso con su respuesta. 21 es el 1 % de

160

96 es el 6 % de

2 100

16 es el 10 % de

840

336 es el 40 % de

1 600

Problemas 4 En un huerto hay 96 limoneros, que corresponden al 64 % del to-

tal; 18 naranjos, que corresponden al 12 % del total; y el resto son manzanos. a. ¿Qué porcentaje de árboles son manzanos?

Respuesta: b. ¿Cuántos árboles en total hay en el huerto?

Respuesta:

5 ¿Cuántos hombres hay en un curso si se sabe que hay 12 niñas que rePROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

presentan el 60 % del total?

Respuesta: 125


INTEGRO lo que aprendí ¿Sabes cuánta azúcar tienen algunos de los alimentos que consumes diariamente?

1 Observa la cantidad de azúcar que tiene una porción de flan y una de galletas. ¿Qué porcentaje de cada porción es azúcar?

1 porción

100 g

Azúcar (g)

Porcentaje de azúcar

1 porción

100 g

Azúcar (g)

%

Porcentaje de azúcar

%

2 30 g de cereales azucarados contienen cerca de 18 g de azúcar. Si se recomienda

un consumo diario de 90 g de azúcar, ¿qué porcentaje del consumo total de azúcar diario representa el azúcar de los cereales aproximadamente?

Respuesta:

3 En una porción de kétchup el 50 % es azúcar. ¿Cuántos gramos de azúcar hay en

Respuesta:

126

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20 g de kétchup?


Evaluación intermedia

3

La Guía de Valores Diarios de Referencia (GDA) permite conocer los gramos por porción y el porcentaje que representa de las necesidades diarias; esto, basado en una dieta de 2 000 calorías que debería consumir un adulto. Observa la información nutricional de una bebida deportiva.

4 La bebida contiene 98 mg de sodio, que representan el 4 % del consumo diario recomendado. ¿Cuál es el consumo diario recomendado de sodio?

Respuesta:

5 Si se representaran como decimal los porcentajes de azúcares totales, de calorías y de sodio, ¿cómo se escribirían?

Cada porción contiene Calorías 48

Azúcares totales 12 g

2%

13%

Grasas totales 0g

Grasas saturadas 0g

Sodio 98 mg

4%

6 Completa el etiquetado de una galleta de vainilla rellena de chocolate. ¿Qué porcentaje de

calorías, azúcares y grasas contiene una porción si los valores de referencia según la GDA son 90 g de azúcares, 55 g de grasas totales y 22 g de grasas saturadas? Cada porción contiene Calorías 143

Azúcares totales 9g

Grasas totales 5,5 g

Grasas saturadas 3,3 g

Sodio 84 mg

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3% Consumo diario, 2 000 calorías.

Reflexiono ¿Qué actividad te costó menos realizar? Encierra su número. ¿Qué es lo que consideras que mejor aprendiste en esta lección?, ¿por qué?

127


Resuelvo problemas Comprendo

Estrategia: Extraer información de imágenes

1 Diego vive en Valparaíso y quiere salir de vacaciones, pero aún no decide si viajar al norte o al sur de Chile. Si decide ir al destino más económico, ¿adónde viajará?

¡Oferta! Todos los hoteles tienen 70 % de descuento Norte de Chile San Pedro de Atacama

$ 45 000

+19 % IVA

City Tour Valparaíso

Sur de Chile Chiloé

$ 34 000 p/p

$ 32 000

H $ 310 000

+19 % IVA

H $ 466 000

Plan sugerido: Para resolver el problema, es necesario analizar la imagen de apoyo y buscar en ella la información requerida para responder la pregunta. 1.º ¿Qué información deben considerar para decidir adónde viajar? Destácala. 2.º ¿Cuál es el costo total de cada viaje? Vuelo:

San Pedro de Atacama

Precio inicial $ 45 000

Impuesto 19 % IVA 45 000 · 0,19 = 8 550

45 000 + 8 550 = 53 550

Hotel: Precio inicial $ 310 000

Descuento 70 % 310 000 ⋅ 0,7 = 217 000

Costo total: 53 000 + 93 000 = 146 550 3.º Compara los precios y redacta la respuesta. Respuesta: 128

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310 000 – 217 000 = 93 000


3 Resuelvo

% s 10 Lune

uento c s e de d

$ 550 pack $ 567 pack $ 155 unidad

$ 299 unidad

Pagando con tu tarjeta SÚPER, obtén un 30 % de descuento adicional 2 Francisca quiere comprar la colación para 5 días. Si su colación consiste en un

jugo y un postre lácteo para cada día, ¿qué productos debería escoger para gastar la menor cantidad de dinero?, ¿cuánto gastará si realiza la compra el lunes?

Respuesta:

3 Si compra 10 packs de flan y 3 packs de jugos, ¿cuánto dinero ahorrará si paga con la tarjeta SÚPER?

Respuesta:

¿Tiene sentido? 4 Sabemos que un libro cuesta $ 16 000 y que, durante el día del libro, todos los libros

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tendrán un 10 % de descuento. ¿Es correcto decir que, con el descuento, el libro costará $ 6 000?

Respuesta: 129


Matemáticamente El doble y la mitad de un número decimal descomponiendo Doble de 12,2 12

Mitad de 17,6 doble

24

12,2

24,4 0,2

doble

mitad

17

8,8

17,6

0,4

mitad

0,6

12,2 · 2 = 24,4

Para calcular el doble de un número decimal, puedes: 1.° Calcular el doble de la parte entera, que en este caso es 12; luego, el doble de la parte decimal, 0,2. 2.° Después, sumar los dobles calculados anteriormente.

8,5

0,3

17,6 : 2 = 8,8

Para calcular la mitad de un número, puedes: 1.° Calcular la mitad de la parte entera; luego, la mitad de lo correspondiente a la parte decimal. 2.° Enseguida, sumar los resultados obtenidos en el paso anterior.

1 Identifica si la representación gráfica corresponde al doble del número decimal. representa el entero.

Doble de 0,5

No

Doble de 1,7

Doble de 1,2

130

No

No

Doble de 1,3

No

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Considera como referencia que


Estrategias de cálculo mental

3

2 Marca con una ✗ la alternativa que representa la mitad de cada número. 23,3

11,15

11,65

12,15

14,06

7,12

7,3

7,03

37,14

18,57

19,2

18,07

3 Completa la tabla. Mitad

Número

Doble

14,2

28,4

13,8 6,7

4 ¡A jugar! En pareja, jueguen a calcular los dobles y mitades.

Mitad de 55,7

Deben tener una moneda y una ficha cada uno. Quien comienza, lanza la moneda. Si sale sello, avanza una casilla; si sale cara, avanza dos.

Pierde turno

En cada casilla tiene que resolver el cálculo que aparece. Si lo hace bien, sigue jugando; en caso contrario, pierde su turno.

Doble de 17,6

Gana el primero en llegar al final del camino.

Mitad de 69,02

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Doble de 15,03

Doble de 2,7

Mitad de 6,9

Mitad de 6,8

Doble de 10,52

Pierde turno

Doble de 36,12 Avanza Mitad de 112,3 dos lugares

131


Organizo mis ideas Razón Representa una relación entre dos o más magnitudes, las que se comparan por cociente. En una tienda de mascotas hay 8 hurones, 12 canarios, 18 gatos, 16 perros y 22 peces. Escribe las razones que representen cada caso y calcula el valor de la razón. a. Perros y peces

c. Hurones y total de mascotas

b. Canarios y gatos

d. Total de mascotas y canarios

¿Cómo interpretarías el valor de la razón, para cada uno de los casos anteriores? a. b. c. d.

Razones iguales Dos o más razones son iguales si el producto de sus medios es igual al producto de sus extremos. Calcula el término que falta para igualar las razones. 5 = ___ a. __ 8 48

30 c. ___ = ___ 5 50

2 = ___ e. __ 3 15

24 1 = ___ b. __ 2

1 12 = __ d. ___ 4

6 2 = ___ f. __ 9

Resuelve el siguiente problema.

Respuesta

132

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Si 6 de cada 8 gatos prefieren alimentos Miau, ¿cuántos gatos se espera que escojan Miau si hay 160 gatos en total?


3 Porcentaje Representa una razón de consecuente 100. Representa la información pintando la cuadrícula y escribe los porcentajes pedidos. En un ramo de 100 flores, 25 son rojas, 16 son amarillas y el resto blancas. ¿Qué porcentaje de flores rojas y blancas hay?

%

%

Porcentaje como fracción o decimal Escribe los porcentajes como fracción irreductible y como expresión decimal. a. 31 %

c. 24 %

b. 80 %

d. 36 %

Porcentaje de un número Calcula los siguientes porcentajes. a. El 15 % de 700

c. El 28 % de 1 300

b. El 55 % de 350

d. El 90 % de 100

Cálculo del tanto por ciento Completa la frase con el porcentaje que corresponda. a. 120 es el b. 48 es el

de 400. de 80.

c. 83 es el d. 750 es el

de 100. de 1 250.

Cálculo del 100 % PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

Calcula el 100 %. a. ¿De qué número 32 es el 20 %?

b. ¿De qué número 75 es el 25 %?

133


COMPRUEBO lo que aprendí A partir de la imagen, responde las preguntas 1 y 2.

4 En un curso hay 14 niñas y 17 niños. ¿Cuál es la razón entre niños y niñas? A. 14 : 17 B. 17 : 14 C. 14 : 31 D. 17 : 31

representa la relación entre los triángulos y el total de figuras? 3 A. __ 5 3 B. __ 8 5 C. __ 8 8 D. __ 3

2 Según la imagen, ¿qué representa la razón “3 es a 4”?

A. Por cada 3 triángulos hay 4 círculos. B. Por cada 3 figuras verdes hay 4 amarillas.

forman una proporción? 15 3 = ___ A. __ 8 8 5 = __ 8 B. __ 3 5 6 = ___ 18 C. __ 3 9 3 1 = ___ D. __ 2 10

6 Para hacer la masa de un pastel

se necesitan 3 tazas de harina y 4 cucharadas de azúcar. Si se utilizan 9 tazas de harina, ¿cuántas cucharadas de azúcar serán necesarias para mantener el sabor?

C. Por cada tres figuras amarillas hay 4 figuras azules.

A. 12

D. Por cada 3 figuras amarillas hay 4 en total.

C. 27

3 Hay dos planes de internet banda ancha: uno navega a 120 Mbps y el otro lo hace a 40 Mbps. ¿Cuántas veces la velocidad del segundo plan corresponde la del primero?

B. 24 D. 36

7 ¿Cuál es el valor de b para que las razones formen una proporción? A. 19

A. 3 veces.

B. 24

B. 4 veces.

C. 32

C. 6 veces.

D. 72

D. 80 veces.

134

5 ¿Cuál de los siguientes pares de razones

3 = ___ 27 __ 8 b

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1 ¿Cuál de las siguientes razones


Evaluación final

8 Si 70 corresponde al 35 % de un número, ¿cuál es dicho número? A. 85 B. 105

3

12 Fernanda ha pegado 75 láminas en su

álbum, las que corresponden al 60 % del total de las láminas. ¿Cuántas láminas en total tiene el álbum? A. 30 láminas.

C. 200

B. 60 láminas.

D. 205

C. 95 láminas.

5 ? 9 ¿A qué porcentaje corresponde ____

D. 125 láminas.

100

A. 5 % B. 20 % C. 50 % D. 105 %

10 ¿A qué porcentaje corresponde el número decimal 0,2? A. 2 % B. 5 % C. 20 % D. 80 %

11 ¿Qué porcentaje de la figura está sombreada?

13 ¿Cuál es el 80 % de 40? A. 4 B. 8 C. 32 D. 320

14 En una automotora se hizo el balance de ventas del año 2015. Se comprobó que durante el mes de enero se vendieron 24 automóviles, lo que representa el 5 % de las ventas del año. ¿Cuántos automóviles se vendieron ese año? A. 4 B. 6 C. 480 D. 4 800

15 ¿Qué porcentaje es 20 de 80? A. 20 % B. 25 % A. 75 % B. 55 %

C. 40 % D. 50 %

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C. 50 % D. 25 %

135


COMPRUEBO lo que aprendí A partir de la situación, responde las preguntas de la 16 a la 18. Un tarro de pintura rinde para una superficie de 4 m2.

16 ¿Cuál es la razón entre la cantidad de tarros y la superficie que puedes pintar? Respuesta:

17 ¿Cuántos tarros se necesitan para pintar 16 m2?

Respuesta:

18 Si hay 9 tarros de pintura, ¿cuántos metros cuadrados se pueden pintar? Explica.

Respuesta:

19 Javier ha pintado el 84 % de una muralla, cuya superficie es 24 m2. ¿Cuántos metros

Respuesta: 136

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cuadrados faltan aún por pintar?


Evaluación final

3

20 Los dueños de una florería encargaron 100 flores, pero solo llegaron 25 rosas, 30 lirios y 32 astromelias. ¿Qué porcentaje de flores falta que llegue? Representa y responde.

Respuesta:

21 En una oficina, mensualmente el 27 % de los trabajadores llega atrasado a su trabajo. ¿Qué porcentaje no llega atrasado? Resuelve, expresando el porcentaje como razón, fracción irreductible y decimal. Razón

Fracción irreductible

Decimal

22 En un gimnasio, 270 de los 450 socios asisten solo a dos clases diariamente. ¿Qué porcentaje de los socios asiste solo a dos clases diarias?

Respuesta:

23 En un puesto de jugos, se vende el 60 % de los 70 vasos preparados. ¿Cuántos vasos de jugo fueron vendidos? Utiliza el diagrama para responder.

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0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

Respuesta:

Reflexiono ¿Te costó menos responder las preguntas relacionadas con las razones o con los porcentajes?, ¿por qué? ¿Cuál es la pregunta que más te costó responder?, ¿por qué?

137


Unidad

4

Patrones y álgebra

Los pesos que están ordenados delante de las balanzas forman una secuencia numérica.

¿Cuántos gramos masa cada peso? Escríbelo en cada pesa.

100 g

40 g

140 g

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120 g

x

138


Miro y resuelvo O PAS

1

Comprendo el problema Marca con una ✗ qué información es necesaria para resolver el problema. Cuál es la masa de cada peso. Cuántos pesos tienen los niños. Cómo equilibrar las balanzas.

O PAS

2

Creo el plan ¿Qué pasos seguirás para resolver el problema? Escríbelos. 1.° 2.° 3.°

O PAS

3

Ejecuto el plan Sigue los pasos anteriores.

210 g y

O PAS

4

30 g

Compruebo el resultado Lee y observa nuevamente el problema. ¿Averiguaste todo lo que se te pedía?

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160 g

180 g

200 g

¿Qué voy a aprender? A relacionar el lenguaje cotidiano con el lenguaje algebraico; completar secuencias y descubrir su término general, y resolver ecuaciones. Todo esto, manifestando curiosidad y perseverancia. Lección 1: Lenguaje algebraico. Lección 2: Secuencias. Lección 3: Ecuaciones. 139


ACTIVO lo que sé Secuencias y patrones

Observa la secuencia formada por estrellas y responde las preguntas de la 1 a la 3.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

1 Dibuja los términos que siguen en la secuencia.

Figura 5

Figura 4

2 ¿Cuál es el patrón de formación que seguiste en la secuencia anterior?

3 Completa la siguiente tabla con la información que entrega la secuencia. Figura

1

2

3

4

5

6

Número de estrellas

4 Representa en los recuadros una secuencia formada por figuras cuyo patrón sea

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restar 5.

140


Evaluación inicial

4

Ecuaciones

5 Determina a cuántas frutas equivale x en cada balanza para que se cumpla el equilibrio. Considera que cada fruta tiene la misma masa. X

x=

X

x=

6 Sofía compra una lechuga a $ 1 250 y un kilogramo de tomates, pagando en total $ 2 240. Si afirma que el kilogramo de tomates le costó $ 900, ¿está en lo correcto? Explica.

Respuesta:

7 Plantea la ecuación relacionada con el siguiente problema y resuélvela: "Tomás quiere comprar un kilogramo de papas en $ 1 350 y solo tiene $ 830. ¿Cuánto dinero le falta?"

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Respuesta:

Reflexiono Marca con una ✗ el número de la pregunta que menos te costó responder. ¿Por qué fue la que menos te costó? Marca con un las preguntas en las que tuviste más dificultad. ¿Qué fue lo que te costó de esas preguntas? 141


Le

Cálculo mental

cción

1

Lenguaje algebraico Lenguaje algebraico

1 Lee y responde. Francisca diseña la tapa de un cuaderno usando tres triángulos equiláteros con distintas medidas. Sin embargo, aún no sabe la medida exacta de sus diseños. La x representa la medida de los lados del triángulo amarillo. El triángulo verde tiene lados que miden el doble de los lados del triángulo amarillo.

x

¿Por qué utilizó x para representar la medida del lado del triángulo? ¿Cómo expresarías la medida de cada lado del triángulo verde? ¿Qué crees que representó Francisca al escribir: x + x + x?

Ciertas situaciones expresables en lenguaje natural pueden ser expresadas también en lenguaje algebraico por medio de expresiones algebraicas. En ellas, se relacionan números, operaciones aritméticas y letras, siendo estas últimas las utilizadas para representar las incógnitas o valores desconocidos o variables. Por ejemplo: Lenguaje natural

Lenguaje algebraico Se utilizan dos letras distintas, porque desconocemos los dos números.

x–y

El triple de un número.

3·y

3y

El signo de la multiplicación se puede omitir.

La mitad de un número.

x:2

x __ 2

La división se puede representar por notación fraccionaria.

¿Cuál crees que es la utilidad del lenguaje algebraico? 142

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La diferencia entre dos números.


4 Representar

2 Escribe la situación usando lenguaje natural o lenguaje algebraico según corresponda. Yo tengo la mitad de la edad del abuelo.

Tengo diez años más que Pedro.

Yo tengo x años.

Tengo un décimo de la edad del abuelo.

x – 23 x x+3

Abuelo

Problemas 3 Raúl y Rafaela recolectan dinero para un hogar de ancianos. Reuní el triple de $5 000 más $400.

Reuní el triple de $5 000, más $400.

Qué importante es... Ser solidario y organizar actividades de beneficencia para ayudar a quienes lo necesiten. ¿En tu curso realizan campañas solidarias? ¿Qué campaña podrían organizar?

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a. Usando el lenguaje algebraico, escribe la cantidad de dinero que reunieron Rafaela y Raúl.

b. ¿Quién reunió más dinero?, ¿por qué?

¿Por qué los niños no recolectaron la misma cantidad de dinero? ¿En qué se diferencian sus expresiones? 143


Cálculo mental

Lección

1 Valorizar expresiones algebraicas 1 Lee y responde. Dos albañiles están colocando baldosas cuadradas sobre un muro.

Los lados de los cuadrados de color miden el doble de los lados de cada baldosa.

x cm 2x cm

¿Qué representan x y 2x en la situación anterior?

Si cada lado de la baldosa mide 30 cm, ¿cuánto mide cada lado del cuadrado de color amarillo?

Si se utilizaran baldosas cuyos lados miden 35 cm, ¿los lados del cuadrado de color medirían 80 cm? Explica.

Valorizar una expresión algebraica es remplazar la o las letras por un valor numérico y resolver las operaciones involucradas. Esto permite determinar el valor numérico de la expresión algebraica para ciertos valores de la incógnita. Por ejemplo:

4x+2w

Valor de las incógnitas

x=3

w=5

Valor numérico

4·3+2·5 12 + 10 = 22

¿Una expresión algebraica tiene solo un valor numérico o podría tener más de uno?, ¿por qué? 144

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Expresión algebraica


4 Aplicar

2 Valoriza cada expresión considerando los valores de n dados. Expresión algebraica

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

2n 2n + 1

¿Qué tipo de número representa cada expresión?

Problemas 3 Martín obtuvo 2x puntos en un juego; Isidora, x + 200 puntos y Ramón,

x + 100 puntos. Si x representa el puntaje de Daniela, quien obtuvo 500 puntos, ¿qué lugar ocupó cada jugador, si gana el que obtiene más puntos?

Respuesta:

4 En una granja se venden huevos blancos a $ 100 y de color a $ 120. Para

calcular el dinero recaudado en ventas diariamente, el dueño construyó una expresión algebraica. ¿Qué día recaudó más dinero? Valoriza la expresión algebraica.

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Días de la semana

Cantidad de huevos vendidos blancos (b)

de color (c)

Lunes

50

60

Martes

30

80

Miércoles

12

20

Expresión algebraica 100b + 120c

Dinero recaudado ($)

Respuesta:

145


Cálculo mental

Lección

1 Aplicaciones del lenguaje algebraico 1 Calcula y responde. 2·0=

5:1=

5·0=

12 : 1 =

0 · 748 =

15 : 1 =

0 · 1 000 =

201 : 1 =

¿Qué puedes concluir sobre multiplicar un número por 0? ¿Qué concluyes al dividir un número por 1? Las conclusiones anteriores, ¿se cumplen para cualquier número?

Se utiliza el lenguaje algebraico para resolver problemas que involucren incógnitas o variables, o bien para generalizar situaciones, como ciertas propiedades numéricas. Por ejemplo: Al sumar dos números no importa el orden de los sumandos, pues el resultado siempre es el 2+5=5+2 mismo. Esto se llama propiedad conmutativa y 7=7 se cumple para cualquier número. Se puede ex70 + 80 = 80 + 70 presar usando lenguaje algebraico, donde a y b 150 = 150 representan cualquier número. 142 + 357 = 357 + 142 a+b=b+a 499 = 499

¿En qué otras situaciones podrías aplicar el lenguaje algebraico? 146

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Utilizando lenguaje algebraico, escribe las dos propiedades ejemplificadas anteriormente.


4 Aplicar

2 Resuelve y generaliza las siguientes situaciones utilizando lenguaje natural y lenguaje algebraico.

(12 + 27) + 50 = 12 + (27 + 50)

52 + 0 =

(100 + 300) + 250 = 100 + (300 + 250)

360 + 0 =

Propiedad asociativa de la adición.

Neutro aditivo.

En lenguaje natural:

En lenguaje natural:

En lenguaje algebraico:

En lenguaje algebraico:

Problemas 3 Andrés tiene una parcela cuya forma es rectangular. a. Si el largo se representa por l y el ancho por a, ¿qué cálculos debería realizar Andrés para obtener las siguientes medidas? Medida del contorno.

Medida de la superficie.

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b. Si la medida del largo de la parcela es 50 metros y la de su ancho es 10 metros, ¿cuánto miden el contorno y la superficie de la parcela?

Respuesta:

147


Le

Cálculo mental

cción

2

Secuencias Secuencias numéricas

1 Observa y responde. Formé la secuencia sumando 7 cada vez.

El patrón de formación de mi secuencia es más 7.

9, 16, 23, 30, ...

7, 14, 21, 2

8, ...

Catalina

7, 14, 9, 17, 19, ...

Yo formé una secuencia sin aplicar un patrón. Escribí números al azar.

Tomás

Mateo

Plantea una secuencia numérica distinta a la de Mateo y Catalina, que siga el mismo patrón.

¿Qué diferencia la secuencia planteada por Tomás de las secuencias de Catalina y de Mateo? ¿Qué características tienen las secuencias de Mateo y Catalina?

Una secuencia numérica se representa por una lista de números. Algunas se generan a partir de un patrón o regularidad numérica simple, como sumar 5 o multiplicar por 3. Hay otras que siguen un patrón compuesto, como sumar 2 y restar 1. Una secuencia siempre tiene un número inicial y se puede identificar la posición de cada uno de sus términos (T). Por ejemplo:

T1

+5

10 T2

+5

15 T3

+5

20 T4

+5

25 T5

+5

30 T6

En esta secuencia el patrón que la forma es Sumar 5; por lo tanto, al extenderla, el 7.° y el 8.° términos serían 35 y 40 respectivamente. ¿Una secuencia numérica puede tener más de un patrón?

148

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5


4 Relacionar

2 Une cada secuencia con un patrón que la genera y complétala. 2, 5, 8, 11, 14,

,

16, 12, 15, 11, 14,

, ,

Restar 4 y al siguiente sumar 3 ,

1, 3, 9, 27, 81,

,

,

1, 0, 1, 0, 1, 0,

,

,

Multiplicar por 3 Sumar 3 Restar 1 y al siguiente sumar 1

¿Qué secuencias siguen un patrón simple?, ¿cuál un patrón compuesto?

Problemas 3 Observa la imagen y responde. El patrón es sumar 100, porque así puedes obtener el segundo término.

El patrón es dividir en 2, porque así puedes obtener el tercer término.

20 120 60 160 80 180

a. ¿Estás de acuerdo con las conclusiones de los niños?, ¿por qué? b. Escribe un patrón de formación de la secuencia.

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c. Si sigues la secuencia según el patrón que escribiste, ¿cuáles son los términos séptimo y octavo? d. ¿El 200 podría ser parte de la secuencia antes de llegar al décimo término?, ¿por qué?

149


Cálculo mental

Lección

2 Secuencias formadas por figuras 1 Observa y responde. Trinidad diseña una repisa para su habitación utilizando cubos.

1.º

2.º

3.º

4.º

5.º

¿Cuántos cubos necesita para la quinta columna de la repisa? Si consideras la cantidad de cubos en cada columna, y esta se mantiene, ¿cuál es la secuencia numérica hasta su octava columna?

¿Cuál es el patrón de formación que utilizaste?

Una secuencia numérica también se puede representar utilizando figuras. En este caso, para encontrar el patrón de formación, cuenta los elementos que se agregan o quitan a cada figura consecutiva y establece las relaciones entre ellos. Por ejemplo:

Cada figura se genera agregando dos palitos a la figura anterior. Si el patrón de formación es Sumar 2, numéricamente la secuencia de la cantidad de palitos sería: 2.° término

3

5

3.° término

7

4.° término

9

5.° término

11

¿Una secuencia se puede representar solo mediante un tipo de figuras? ¿Las figuras se deben ordenar de una sola forma? 150

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1.° término


4 Aplicar

2 Observa la secuencia formada por cuadrados y responde.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a. De mantenerse el patrón, ¿cuál es la cuarta figura? Dibújala. b. ¿Qué patrón de formación consideraste? c. Completa la tabla con la cantidad de cuadrados en cada figura. Figura

1

2

3

4

5

6

7

Cantidad de Inferir

3 De mantenerse el patrón de la secuencia anterior, ¿puede haber una figura que tenga 46 cuadrados? Explica.

Evaluar

4 Observa la secuencia formada por triángulos y responde.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

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a. De mantenerse el patrón, ¿cuáles son los errores en la siguiente tabla? Corrígelos. Figura Cantidad de

1

2

3

4

5

6

7

3

6

9

13

15

19

21

151


Lección

2 Analizar

5 Marca con una ✗ las figuras que pueden formar parte de la secuencia.

Figura 1

Figura A

Figura 2

Figura 3

Figura B

Figura 4

Figura C

Figura D

¿Por qué seleccionaste esas figuras? ¿Qué pasos realizaste para escoger las figuras? Representar

6 Dadas las tablas, escribe un patrón y crea una representación gráfica para cada una de las secuencias numéricas. Figura

1

2

3

4

5

Cantidad de

2

4

6

8

10

Figura

1

2

3

4

5

Cantidad de

19

16

13

10

7

Patrón de formación:

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Patrón de formación:

152


4 Problemas 7 Antonia es bióloga y ha observado en un cultivo de bacterias que, si

estas disponen de suficiente espacio y nutrientes, aumenta su número. ¿Cuál es el patrón de crecimiento?, ¿por qué?

Respuesta:

8 Francisco diseña un mosaico.

1.a vuelta

2.a vuelta

a. Si continúa su trabajo de forma regular, ¿cuántos cuadrados pintará en cada vuelta? Vuelta

1

2

Cuadrados pintados

8

16

3

4

5

6

7

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b. ¿Cuántos cuadrados pintará en la vuelta 10? c. ¿Es correcto afirmar que, para conocer la cantidad de cuadrados pintados en cada vuelta, hay que multiplicar por 8 el número de vuelta? Explica.

153


Cálculo mental

Lección

2 Término general 1 Lee y responde. Debemos encontrar el término 100 y hemos descubierto que todos los términos se forman sumando 6. Posición

1

2

3

4

5

Término

6

12

18

24

30

+6

+6

+6

100

+6

Sumar 6 hasta llegar al término 100 nos podría tomar mucho tiempo; por ello, es mejor que busquemos el término general. Como siempre sumamos 6, podemos probar multiplicar por 6 la posición. Posición

1

2

3

4

5

100

1·6=6

2 · 6 = 12

3 · 6 = 18

4 · 6 = 24

5 · 6 = 30

100 · 6 = 600

6

12

18

24

30

¿?

Término

Para encontrar el valor de cada término en esta secuencia, tenemos que multiplicar la posición por 6. Si n representa cualquier posición, el término general sería 6n o 6 · n. En la siguiente secuencia se puede observar que, de forma similar a la secuencia anterior, se suma 6 para obtener el siguiente término, pero se obtienen otros números. Posición

1

2

3

4

5

Término

7

13

19

25

31

+6

+6

+6

100

+6

Además de multiplicar por 6 la posición, ¿qué otra operación se debe aplicar para obtener los términos de esta nueva secuencia? 1 =7 2·6

1·6 Término

2

7

3 = 13 3 · 6

13

= 19 4 · 6 19

¿Cuál es el término general de esta secuencia?

154

4

5 = 25 5 · 6

25

= 31 31

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Posición


4 El término general es una expresión algebraica que permite determinar los términos de una secuencia numérica en función de su posición. Por lo general, se utiliza la letra n para representar la posición. Por ejemplo, en la siguiente secuencia, el término general es 5n + 1. 6

11

16

21

26

Si remplazas n por el número de la posición, obtienes el número de la secuencia correspondiente. Posición 5n + 1

1

2

3

4

5

(5 · 1) + 1 5+1

(5 · 2) + 1 10 + 1

(5 · 3) + 1 15 + 1

(5 · 4) + 1 20 + 1

(5 · 5) + 1 25 + 1

6

11

16

21

26

Secuencia

¿Cómo explicarías lo que es el término general en una secuencia? ¿Qué pasos o estrategias utilizas para encontrar el término general? Aplicar

2 Escribe la secuencia relacionada con cada término general. a. Posición

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

3n – 2 Secuencia

b. Posición 7n + 3 Secuencia

c. Posición n+8 Secuencia

d. Posición PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

12n Secuencia

155


Lección

2 Analizar

3 Completa cada secuencia y propón un término general para cada una. a. Posición

1

2

3

4

5

Término

2

6

10

14

18

6

7

100

120

250

6

7

100

120

250

6

7

100

120

250

Término general: b. Posición

1

2

3

4

5

Término

1

3

5

7

9

Término general: c. Posición

1

2

3

4

5

Término

4

5

6

7

8

Término general: Analizar

4 Dada la secuencia formada por círculos, complétala y responde.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

a. Completa la tabla. Figura

1

2

3

4

5

6

7

8

Cantidad de

c. ¿Cuántos círculos forman la figura 120? d. ¿Se puede formar una figura con 105 círculos? Explica.

156

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b. ¿Cuántos círculos hay en la figura n?


4 Problemas 5 Mauricio y Sofía construyen torres de vasos. Dibuja la quinta torre.

Torre 1

Torre 2

Torre 3

Torre 4

Torre 5

a. Si el patrón que usan los estudiantes para construir las torres es el mismo, completa la tabla según corresponda. Torre

1

2

3

4

5

6

7

8

Cantidad de vasos

b. ¿Cuál es el término general de la secuencia formada por la cantidad de vasos? c. Sofía dice que si en la torre 5 utilizan 9 vasos, para la torre 10 necesitarán el doble de vasos. ¿Es correcto lo que dice? Explica.

6 Traza todas las diagonales que se puedan dibujar desde un vértice en cada polígono.

Para comprender La diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no consecutivos. Diagonal del rectángulo

a. Completa la tabla. Cantidad de lados del polígono

3

4

5

6

7

8

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Cantidad de diagonales

b. ¿Cuál es la relación entre el número de lados del polígono y las diagonales que se pueden dibujar desde un vértice? Escribe el término general.

157


INTEGRO lo que aprendí En el taller de arte realizan mosaicos para los espacios comunes del colegio.

Peldaño 1

Peldaño 2

Peldaño 3

Peldaño 4

Peldaño 5

1 Pinta el peldaño 5 siguiendo el patrón. 2 Cuenta las cerámicas azules en cada peldaño y completa la tabla. Peldaño

1

2

3

4

5

Cantidad de

3 ¿Cuál es el patrón de la secuencia? 4 De mantenerse el patrón, ¿cuál es el término general de la secuencia?

5 Si la escalera tuviera más peldaños, ¿podría alguno tener exactamente

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30 cerámicas azules? Explica.

158


Evaluación intermedia

4

6 Observa el peldaño 3 de la escalera. Su perímetro se puede representar como 26x y su área como 9x · 4x, donde x representa la medida del lado de la cerámica. Si cada lado de las cerámicas mide 5 cm, ¿cuál es el perímetro del tercer peldaño?, ¿ y su área?

Respuesta:

7 Para pegar las cerámicas se mezcla arena y cemento. Si sabemos que la cantidad de arena es el doble de la cantidad de cemento y que hay x cantidad de cemento, entonces, ¿cuánta arena hay? ¿Cómo expresarías esto en lenguaje algebraico?

Respuesta:

8 Francisca escribe lo siguiente. R Cerámica roja. V Cerámica verde. A Cerámica azul. T Total de cerámicas más que el peldaño superior.

T = 5R + 2V + A

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¿Qué expresó con lenguaje algebraico? Escríbelo con lenguaje natural.

Reflexiono ¿En qué actividades necesitaste más tiempo para comprender lo que había que realizar? Márcalas con . ¿Requerías más tiempo porque no dominabas el tema o porque no conocías una estrategia para resolverlo?

159


Le

Cálculo mental

cción

3

Ecuaciones Ecuaciones y balanzas

1 En la imagen se muestra la masa de cada objeto en gramos.

50 50

100

X

50

100 100

50

100 100

100

200

100

50

50

Y 50

200

200

50

200

50

200

50

50

300

50

50

100

100

Antonio relaciona los pesos de cada lado de la balanza y representa el proceso realizado tachando hasta dejar a un lado solo X . X

50

100 100

50

100 100

100

¿Cuál es la masa del tarro

X

50 200

en la balanza de Antonio?

¿Cuál es la masa del tarro

Y

en la balanza de Macarena?

¿Qué pasos seguiste para descubrir la masa del tarro

160

Y?

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Si se sacan los pesos tachados, la balanza sigue en equilibrio. ¿Por qué?


4 Una ecuación corresponde a la igualdad de expresiones algebraicas, en la que hay uno o más términos desconocidos, denominados incógnitas y representados por una letra. Resolver una ecuación consiste en determinar el valor de la o las incógnitas que hacen que la igualdad sea cierta. Este o estos valores se denominan solución o soluciones de la ecuación. Una forma de resolver una ecuación es representarla en una balanza en equilibrio. Por ejemplo, para resolver la ecuación 3x + 2 = 11: 1.º

x x x

1

3.º

11

x x x

x x x

10

1 1

3x + 2

2.º

1 1 1 1 1 1 1 1 1

En este caso, forma 3 grupos con igual cantidad de elementos, para conocer el valor de x.

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Saca la misma cantidad en ambos lados de la balanza. Representa esa acción de "quitar" tachando los números, para mantener la igualdad. Si es necesario, descompón sus valores. En este caso, 10 se descompuso en 10 unidades. 4.º

El valor de la incógnita es 3. x=3 Se puede comprobar remplazando el valor en la ecuación dada al principio: 3x + 2 = 11 3 · 3 + 2 = 11 9 + 2 = 11

¿Qué descomposición se podría realizar para determinar la masa del tarro Y en la balanza de Macarena? Representar

2 Plantea las ecuaciones representadas en las balanzas de Antonio y de

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Macarena.

Antonio

Macarena

161


Lección

3 Aplicar

3 Escribe la ecuación representada en cada balanza y determina el valor de x. Considera la masa de cada objeto en gramos. a. x

20

x

32

x

Comprobación: 2 ·

+ 20 =

+ 32

Ecuación: 2x + 20 = x + 32 x=

b.

x

x

x

6

x

x

x

x

x

10

Comprobación:

40

Comprobación:

Ecuación: x=

c. x

x

x

Ecuación: x=

x

Ecuación: x=

162

Comprobación:

x x

12

12

x

50

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d.


4 Representar

4 Representa cada ecuación en las balanzas y resuélvelas. a. Ecuación: 4x = 36

x=

Comprobación:

b. Ecuación: 32 = 4x + 12

x=

Comprobación:

c. Ecuación: 5x + 2 = 10 + 3x

x=

Comprobación:

Problema 5 Álvaro ayuda a su madre en la verdulería. En esta ocasión, pesa los kilogramos de fruta que compró Margarita.

2 kg

1 kg

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Luego Álvaro pesa toda la fruta junta, porque todas tienen el mismo precio. ¿Cuántos kilogramos de manzanas lleva Margarita?

5 kg

Respuesta:

163


Cálculo mental

Lección

3 Ecuaciones: descomposición y correspondencia 1 Lee y responde. Catalina y Rafael juegan a lanzar aviones de papel. En el primer lanzamiento los aviones recorrieron en línea recta distintas distancias, siendo la suma de ambas 53 metros.

x metros

x + 3 metros

Para calcular la distancia que recorrió cada avión, Catalina representó la ecuación en una balanza. 1 1 1 X X

10 10

10 10 10

1 1 1 X X

1 1 1

5 10 10

5 10 10

1 1 1

En cambio, Rafael escribió sus cálculos: x + x + 3 = 53 2x + 3 = 50 + 3 2 · x = 2 · 25 x = 25 ¿Sus respuestas son las mismas? Explica. ¿Cómo se relacionan las estrategias aplicadas?

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¿Cuántos metros recorrió cada uno de los aviones?

164


4 Otra forma de resolver ecuaciones es descomponer los términos de la ecuación y establecer la correspondencia término a término entre los lados de la igualdad. Por ejemplo: 7x – 3 = 39 7x – 3 = 42 – 3

Se descompone el 39, para expresarlo como un número menos tres: 42 – 3 = 39.

7x – 3 = 42 – 3 7x – 3 = 7 · 6 – 3

El número 42 lo expresamos como la multiplicación de 7 por otro número: 7 · 6 = 42.

7x – 3 = 7 · 6 – 3

Establecemos la correspondencia de los términos a cada lado de la ecuación. Es decir, vemos qué términos se repiten.

x=6

Finalmente, encontramos la solución.

¿Qué modificaciones le harías a la estrategia al aplicarla? Interpretar

2 Establece la correspondencia y descubre el valor de la incógnita. a. 5w + 12 = 32

c. 74 = 7a + 4

5w + 12 = 20 + 12

70 + 4 = 7a + 4

5 · w + 12 = 5 · 4 + 12

7 · 10 + 4 = 7a + 4

w=

b. 8z – 8 = 16

a=

d. 6p + 4 = 4p + 10

8z – 8 = 24 – 8

4p + 2p + 4 = 4p + 10

8z – 8 = 8 · 3 – 8

4p + 2p + 4 = 4p + 6 + 4 4p + 2p + 4 = 4p + 2 · 3 + 4

z= p=

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Escoge un ejercicio y explica cómo se realizó la descomposición.

165


Lección

3 Aplicar

3 Resuelve aplicando la estrategia de descomposición y correspondencia. Luego, comprueba tu respuesta. Resolución

Comprobación

a. 5x + 7 = 52

b. 45 = 7x – 4

c. 3x + 5 = 5x + 1

y d. __ + 12 = 14 9

Aplicar

4 Escribe las ecuaciones usando lenguaje algebraico y resuélvelas. a. El doble de un número es treinta. Ecuación:

Solución: b. Cuatro veces un número, más cinco es igual a 29.

Solución: 166

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Ecuación:


4 Problemas 5 José le regala un diario de vida a

Alicia y le entrega una tarjeta con una adivinanza para que descubra la clave del candado.

La clave del candado es ♠ ♣ ♥

¿Cuál es la clave del diario de vida?

1.° 2.° 3.° 4.°

Pistas ♠ + 11 = 12 ♣–5=3 7 = ♥+ 2 6=♦-2

Respuesta:

6 Macarena y Francisco están en desacuerdo sobre la solución de la ecuación.

2w + 2 = 16 2w + 2 = 16 2 · w + 2 = 14 + 2 w + 2 = 12 + 2 w=2

2w + 2 = 16 2 · w + 2 = 14 + 2 2·w=2·7 w=7

a. ¿Quién tiene razón?, ¿por qué? b. ¿Cuál fue el error de quien se equivocó?

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c. ¿Cómo le explicarías qué es lo que tiene que corregir?

Al resolver ecuaciones, ¿qué otras estrategias alternativas podrías emplear si no funciona la que estás utilizando? 167


Cálculo mental

Lección

3 Ecuaciones: aplicando propiedades 1 Resuelve y comprueba si se mantiene la igualdad. Caso A

3+2=5 3+2+3=5+3

Caso B

3+2=5 3+2–1=5–3 =

=

¿En qué casos la igualdad se mantiene a pesar de sumar o restar algo?, ¿por qué?

Caso A

7 · 4 = 28 7 · 4 · 3 = 28 · 4

Caso B

7 · 4 = 28 (7 · 4) : 2 = 28 : 2

=

=

¿En qué casos la igualdad se mantiene a pesar de multiplicar o dividir?, ¿por qué?

Otra estrategia de resolución de ecuaciones es aplicar propiedades. 4x + 200 = 800 4x + 200 – 200 = 800 – 200 → Restar 200 en ambos lados de la igualdad. 600 4x = ____ ___ → Dividir en 4 en ambos lados de la igualdad. 4 4 x = 150

¿Por qué crees que funciona la estrategia?

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¿Por qué crees que se restó 200 y se dividió en 4?

168


4 Algunas propiedades de la igualdad son: • Al sumar o restar la misma cantidad o expresión a ambos lados de la igualdad, esta se mantiene. • Al multiplicar o dividir la misma cantidad o expresión a ambos lados de la igualdad, esta se mantiene. Recuerda que no puedes dividir por cero. Estas propiedades permiten determinar el valor de la incógnita en una ecuación, procedimiento que algunos suelen llamar "despejar" la incógnita. Por ejemplo: 5 + 4x = 37

/–5 → Resta 5 en ambos lados de la igualdad.

5 – 5 + 4x = 37 – 5

/:4

4x = 32 32 4x = ___ ___ 4 4 x=8

→ Divide por 4 en ambos lados de la igualdad.

¿Por qué, en el ejemplo anterior, primero restas y luego divides? ¿De qué depende el orden? Analizar

2 Determina si al realizar las operaciones indicadas, a ambos lados de la igualdad, se despeja la incógnita. a.

b.

2 + 3x = 8

2y + 4 = 12

=

Restar 2.

=

Dividir por 2.

=

Dividir por 3.

=

Restar 4.

= Sí

= No

No

¿Cómo determinas qué operación realizar para despejar la incógnita? Comunicar

3 Resuelve las ecuaciones y escribe las propiedades utilizadas. 9x + 6 = 60

b.

5 345 = 7p – 45

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a.

169


Lección

3 Aplicar

4 Resuelve las ecuaciones aplicando las propiedades de la igualdad. a. 1 420 = y – 986

e. 10z + 790 = 2 500

b. m + 1 896 = 2 740

x – 986 f. 1 684 = __ 2

c. p – 4 722 = 3 190

g. 4 631 + 5r = 7 466

d. 5 178 = 2 639 + w

h. __f = 3 571 + 1 109 6

¿Qué relación existe entre la operación inversa y la aplicación de las propiedades de la igualdad al resolver las ecuaciones? Aplicar

5 Resuelve las ecuaciones y pinta del mismo color aquellas que tengan

170

680 + y = 4 638

1 277 = 134 + 3r

2 324 = 4a – 4 560

χ – 125 5 201 = __ 2

987 + 2w = 1 749

Z – 840 = 881

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igual valor en la incógnita.


4 Problemas 6 Dos amigas juegan a adivinar el número que piensa Alejandro. Si él les dice que el triple del número disminuido en 1 410 da como resultado 2 850, ¿quién adivinó el número que pensó Alejandro? ¿Cuál es el error que cometió la amiga que no adivinó el número? 3x – 1 410 = 2 850

3x – 1 410 = 2 850

3x – 1 410 + 1 410 = 2 850 – 1 410 3x = ______ 1 440 ___ 3 3 x = 480

3x – 1 410 + 1 410 = 2 850 + 1 410 3x = ______ 4 260 ___ 3 3 x = 1 420

Sandra

Paola

Respuesta:

7 Matilde ordena floreros de vidrio en un estante de 4 repisas. Si en cada

repisa colocará la misma cantidad de floreros y tiene 76 floreros que tienen capacidad para 12 flores, ¿cuántos floreros colocará en las repisas? Escoge la ecuación que representa la situación y resuélvela. 4x = 76 4x + 12 = 76 4x = 76 · 12 Respuesta:

8 Crea un problema que se resuelva con la ecuación: 4x + 100 = 1 500.

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Luego, resuélvelo.

Respuesta: 171


Cálculo mental

Lección

3 Planteamiento de ecuaciones 1 Resuelve el problema y responde. Una familia en el cine compró dos entradas para adultos y tres entradas para niños. Si pagaron $13 000 en total, ¿cuánto cuesta la entrada de adulto? Escribe los datos que conoces del problema. Precio de una entrada de niño

Precio de una entrada de adulto Bolet ería Entra

Total pagado

o. $ 2

da ad

Cantidad de entradas compradas Niños

da niñ

Entra

ulto.

000

Adultos

Completa la ecuación y escribe qué representa cada dato en la situación problema. ·

+

·

=

13 000

Total pagado

Resuelve la ecuación y determina el precio de la entrada de un adulto.

¿Cómo explicarías en qué consiste plantear la ecuación de un problema?

172

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Respuesta:


4 Para resolver un problema, puedes plantear una ecuación, es decir, formular una ecuación que modele la situación problemática. Para ello, ayúdate con estos pasos: 1.° Identifica los datos. 2.° Asocia el dato faltante del problema a una incógnita. 3.° Plantea la ecuación que modela la situación. 4.° Resuelve la ecuación. 5.° Verifica la solución y responde el problema.

¿Cómo puedes identificar la incógnita de un problema? Modelar

2 Une cada problema con la ecuación que lo modela. Un teatro tiene capacidad para 300 personas. Si hay 250, ¿cuántas personas faltan para que esté lleno? 250 + x = 300

En cierto juego en la primera etapa puedes obtener 250 puntos y en la segunda, 300. Si ganas las dos etapas, ¿cuántos puntos tienes?

x – 250 = 300

250 + 300 = x

a. 2 + 3 Problemas

3 Resuelve los problemas siguiendo los 5 pasos planteados. a. El ancho de un rectángulo mide x cm y el largo mide el doble de su ancho. Si su perímetro es 30 cm, ¿cuánto miden los lados de este rectángulo? Ecuación

Respuesta:

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b. El doble de la edad de Aurora, aumentada en 6 años es igual a la edad de su madre, que tiene 40 años. ¿Qué edad tiene Aurora? Ecuación

Respuesta: 173


Cálculo mental

Lección

3 Estudio de soluciones 1 Lee la situación y responde. Isabel hornea galletas y las reparte de forma equitativa guardando 8 galletas en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas necesita para guardar todas las galletas?

Para comprender Reparto equitativo significa, en este caso, que reparte igual cantidad de galletas en cada bolsa.

El problema se puede resolver a partir de la siguiente ecuación: 8x = 28 / : 8 28 8x = ___ ___ 8 8 x = 3,5 ¿Qué significa la solución 3,5 según los datos del problema? Márcalo. La cantidad de galletas en cada bolsa.

La cantidad de bolsas que necesita para guardar las galletas.

¿Cómo interpretarías la solución de la ecuación? Justifica tu elección. La cantidad de galletas no es la correcta.

Hay un error en los cálculos.

Al guardar las galletas habrá 3 bolsas llenas y una con la mitad de galletas.

El estudio de soluciones consiste en verificar que la solución de la ecuación sea pertinente al contexto de la situación problema e interpretarla.

En cambio si la solución es 2,5 y se refiere a litros de agua, entonces es pertinente, pues sí se puede tener dos litros y medio de agua.

¿Cuándo la solución de un problema podría no ser un número decimal?

174

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Por ejemplo, la solución de una ecuación es 2,5 y se refiere a la cantidad de mascotas en una casa, como no es posible tener dos mascotas y media, se interpreta como que en esa casa puede haber entre 2 y 3 mascotas.


4 Problemas 2 Resuelve cada problema y explica si la solución de la ecuación es solución del problema.

a. A un paseo de colegio asisten 333 personas. Si cada bus tiene capacidad para 45 personas, ¿cuántos buses se deben contratar para trasladarlas a todas?

¿La solución de la ecuación es solución del problema?

No

¿Por qué? b. Francisco, el dueño de una florería, quiere armar ramos de rosas. Si cada ramo tiene media docena de flores, ¿cuántos ramos puede formar?

¿La solución de la ecuación es solución del problema?

No

¿Por qué?

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c. Fernanda corre 3 km el primer día. Los siguientes dos días corre 4 km y el cuarto, 7 km. ¿Cuántos kilómetros corrió en promedio?

¿La solución de la ecuación es solución del problema?

No

Recuerda que Para calcular el promedio debes sumar todos los datos y, luego, dividir el resultado en la cantidad total de datos.

¿Por qué?

175


INTEGRO lo que aprendí A partir de la imagen, responde las preguntas 1 y 2.

x 120 kg

x

x

30 kg

100 kg

y

200 kg

40 kg w

y

w 50 kg

1 Escribe la ecuación representada en cada balanza. 7.° B

6.° B

8.° B

2 ¿Cuál es la masa de cada fardo de papel? Utiliza la estrategia que prefieras para

x=

Respuesta:

176

y=

w=

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resolver las ecuaciones.


Evaluación intermedia

4

3 En el marco de una campaña de recolección de materiales para reciclar, los segundos y ter-

ceros básicos de un colegio juntaron cartones. Los segundos básicos reunieron el triple de lo que lograron reunir los terceros básicos, más 12 kilogramos. Si los segundos básicos reunieron 192 kilogramos de cartón, ¿cuánto lograron reunir los terceros básicos? Modela la situación con una ecuación y resuélvela.

Respuesta:

4 El primero básico de un colegio inició una campaña de recolección de botellas desechables de

plástico. Si cada estudiante aportó cuatro botellas y, en total, se reunieron 144, ¿cuántos estudiantes tiene el curso? Modela la situación con una ecuación y resuélvela.

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¿La solución de la ecuación es solución del problema? ¿Por qué?

Reflexiono ¿Hay algo que aún no logres comprender de las ecuaciones?, ¿qué? ¿Cuál es la estrategia que te resultó más fácil de aplicar?, ¿por qué? Cuando tengas que resolver ecuaciones, ¿qué procedimiento utilizarás?

177


Resuelvo problemas Comprendo

Estrategia: Descartar datos innecesarios

1 El precio de un televisor es $ 290 000 si lo compras en cuotas. Si lo pagas en efectivo, el precio tiene un descuento del 10 %. Mateo pagó un quinto del total y el resto lo pagará en cuotas. ¿Cuánto le falta por pagar?

Plan sugerido: Para resolver este problema, aplicaremos la estrategia descartar datos innecesarios realizando los siguientes pasos: 1.º Identifica todos los datos del problema. 2.º Vuelve a leer la pregunta. 3.º Vuelve a leer los datos del problema y descarta aquellos que no sean necesarios para responder la pregunta. Los puedes tachar o destacar.

Datos: o Precio del televisor: $ 290 000. o El precio corresponde al valor pagando en cuotas. o Pagando en efectivo hay un 10 % de descuento. o Pagará en cuotas. 1 del total. o Abonó: __ 5 ¿Por qué es innecesario el dato tachado?

Respuesta:

178

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4.º Ejecuta el plan necesario para responder la pregunta. En este caso, plantea la ecuación que permita saber cuánto le falta a Mateo por pagar.


4 Resuelvo 2 Martín recibió, como regalo de cumpleaños, $ 20 000 de sus papás, $ 6 000 de su tía

y $ 7 000 de su padrino. Además, su padrino prometió regalarle $ 500 más cada día, durante una semana, de lunes a domingo. ¿Cuánto dinero en total le habrá regalado su padrino al término de la semana?

Respuesta:

3 El doble de la edad de Rafael, aumentado en 4 años, es igual a la edad de su pri-

mo mayor, que tiene 15 años. Si su hermano mayor tiene el doble de su edad, ¿qué edad tiene Rafael?

Respuesta:

Creo 4 Utiliza los datos de la tabla e inventa una situación problema. Puedes utilizar todos o solo algunos datos.

Lista de verduras

Valor unidad

Lechuga

$ 1 850

Zapallo

$ 1 150

Coliflor

$ 1 250

Brócoli

$ 940

Apio

$ 980

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Presupuesto familiar: $ 11 500

179


Matemáticamente Calcular el 50 %, 25 % y 75 % usando medios

84

50 %

25 %

75 %

50 % de 84

25 % de 84

75 % de 84

1 __ 2

1 __ 2

1 __ 2

42

50 % de 84 es 42.

84

42

1 __ 2

21

25 % de 84 es 21.

84

42

1 __ 2

21

63 75 % de 84 es 63.

Calcula la mitad del número dado. La mitad de 84 es igual al 50 % de este.

Calcula la mitad de la mitad del número dado. La mitad de 84 es 42, y la mitad de 42 es 21. Así, el 25 % de 84 es 21.

Sumar la mitad y la mitad de la mitad. 1.° La mitad de 84 es 42. 2.° La mitad de 42 es 21. 3.° Al sumar 42 y 21 se obtiene el 75 % de 84, que es 63.

25 % de 20

50 % de 36

75 % de 20

25 % de 36

50 % de 28 25 % de 28

180

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1 Pinta los cuadrados que representen el resultado.


Estrategias de cálculo mental

4

2 Aplica la estrategia aprendida y resuelve. 50 % de 88

25 % de 72

25 % de 50

50 % de 112

75 % de 48

25 % de 92

75 % de 64

75 % de 140

3 Marca el número que corresponde. a. 25 % de

7

28

30

17

b. 50 % de

25

125

50

100

c. 25 % de

30

120

60

40

d. 50 % de

66

122

132

33

4 Entre los bloques, aparece la operación y el porcentaje que debes calcular desde fuera hasta el centro, donde se encuentra el círculo amarillo. Para conocer el valor del círculo amarillo, suma todos los resultados que obtengas al final. 60

+ 98

38

50 %

+ 50 %

+

49 56

+ 7 25 % 28 +

+

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12

25 %

+

10

75 % +

62

181


Organizo mis ideas Lenguaje algebraico Completa la tabla. Lenguaje natural

Lenguaje algebraico

La diferencia entre el triple de un número y siete unidades. 2x + 1 (x + 7) · 6 El orden de los factores no altera el producto.

Valorizar expresiones algebraicas Valoriza las expresiones algebraicas considerando a = 3, b = 4 y c = 5. a. 7a + 3b – c

b. 5c – 2b – 3a

c. 9b – 2c + 5a

Ecuaciones en balanzas Representa cada ecuación en las balanzas y encuentra su solución. a. 3x + 2 = x + 20

b. x + 13 = 2x + 9

x=

x=

Ecuaciones: descomposición y correspondencia. Uso de propiedades Resuelve aplicando la estrategia indicada. a. 5x + 3 200 = 3 850

182

Propiedades

b. 893 = 4x – 595

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Descomposición


4 Planteamiento de ecuaciones y estudio de soluciones Antonio mide 10 cm más que su hermano Eduardo. Si ambas estaturas suman 340 cm, ¿cuál es la altura de cada hermano? Modela la situación con una ecuación y luego resuélvela.

¿La solución de la ecuación es solución del problema? ¿Por qué?

Secuencias numéricas Completa la secuencia y escribe el patrón que utilizaste. a. 7, 10, 8, 11, 9,

,

,

b. 960, 480, 240,120,

,

,

c. 3, 9, 27, 81, 243,

Patrón:

,

,

,

Patrón:

,

Patrón:

Secuencias en figuras Dada la siguiente secuencia de figuras formadas por flechas, en la cual se mantiene su patrón, completa la figura 4.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Completa la secuencia que se representa con Posición

1

2

3

4

5

Figura 4

en la siguiente tabla. 6

13

45

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Secuencia

Término general ¿Cuál es el término general de la secuencia anterior?

183


COMPRUEBO lo que aprendí 1 Si x representa la edad de Isidora, ¿qué

expresión representa su edad en 15 años más?

5 ¿Qué figura se encuentra en la séptima posición de la secuencia si el patrón es sumar 2?

A. x + 15 B. x – 15

Fig. 1 Fig. 2

C. 15x x D. ___ 15

Fig. 3

A. B.

2 Si a = 2 y b = 7, ¿cuál es el valor de 3b + a? A. 12

C. D.

B. 13 C. 23

6 ¿Qué ecuación se representa en la balanza?

D. 39

A. 2x = 150

3 ¿Qué alternativa muestra un patrón de formación de la secuencia? 3, 6, 5, 10, 9,... A. Sumar 2. B. Multiplicar por 2. C. Multiplicar por 2 y al término siguiente sumar 1. D. Multiplicar por 2 y al término siguiente restar 1.

4 ¿Cuál es el término general de la

B. 2x = 75

150 kg

x

x

C. x = 150 D. x = x + 150

7 Al resolver la ecuación 7w + 21 = 91, ¿cuál es el valor de w? A. 10 B. 16 C. 70 D. 84

secuencia? A. 5n

8 ¿Qué expresión algebraica representa la propiedad conmutativa de la adición?

B. 5n – 2

A. a + b = a + b

C. Sumar 5.

B. a + b = b + a

D. Restar 5.

C. a + b = c + a D. a + (b + c) = (a + b) + c

184

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3, 8, 13, 18,...


Evaluación final

9 Si el perímetro de un rectángulo es P = 2a + 2b, donde a es el largo y b el ancho ¿cuál es el perímetro del rectángulo si a = 5 y b = 3? A. 8

4

13 Lucas guarda 855 autitos en dos cajas

distintas. La primera tiene el doble de la segunda, más cinco autitos. ¿Cuál es la ecuación que representa la situación problema? A. 2x + 5 + x = 855

B. 12

B. 3x = 855 + 5

C. 16

C. 2x + 5 = 855

D. 48

D. 3x – 5 = 855

10 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 4x – 11 = 4 · 16 – 11?

14 ¿Cómo escribirías usando lenguaje

natural la expresión algebraica 5(x + 2)?

A. 4

A. El quíntuple de un número aumentado en dos.

B. 11 C. 16

B. El quíntuple de un número, aumentado en dos.

D. 64

C. Un número aumentado en dos.

11 ¿Cuál es el valor de z en la ecuación representada en la balanza? z z z z z

1 2 2 2

30 10 10

1 2 2 2

D. El quíntuple de un número.

15 En la secuencia 1, 5, 9, 13, 17, 21, ..., cuyo

término general es 4n – 3, ¿cuál es el número que se encuentra en el lugar 14? A. 43 B. 49 C. 53

A. 7

D. 55

B. 10 C. 30 D. 50

12 ¿En qué situación es pertinente obtener como resultado 1,5?

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A. Vacas en un establo. B. Litros de agua en una botella. C. Motos en un estacionamiento. D. Cantidad de sobrinos.

16 Observa la secuencia en la tabla. ¿Cuál es el término general?

Posición

1

2

3

4

5

Secuencia

7

11

15

19

23

A. n + 4 B. n – 4 C. 4n + 3 D. 4n – 3

185


COMPRUEBO lo que aprendí 17 Relaciona cada expresión algebraica con la expresión en lenguaje natural.

x + 20

La cuarta parte de un número.

w __ 4

El quíntuple de un número, disminuido en veinte.

5x – 20

Un número aumentado en veinte.

18 Valoriza cada expresión según los valores dados. z=1

z=3

z=5

z=7

z=9

z+2 3z – 1

A partir de la secuencia de figuras formada por cuadrados, en la cual se mantiene el patrón, resuelve las actividades de la 19 a la 22. Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

19 Representa la secuencia en la siguiente tabla. Figura

1

2

3

4

5

6

7

Cantidad de

20 ¿Cuál es el término general de la secuencia formada por cuadrados?

22 ¿Es posible que exista una figura que tenga 100 cuadrados en la secuencia?, ¿por qué?

186

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21 ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura 170?


Evaluación final

4

23 Resuelve aplicando la estrategia que estimes conveniente. 4m + 1 540 = 6 980

w 4 730 – 650 = __ 3

3 400 = k – 1 148

24 Marca con una ✗ la ecuación que representa la situación problema. a. Si Patricia tiene 16 años y Francisca tiene la mitad de la edad de esta, ¿qué edad tiene Francisca? x = 16 __ 2

x + x = 16

b. Diego y Felipe son dos amigos que coleccionan películas. Felipe tiene el triple de las que tiene Diego, pero disminuido en 15. Si Felipe tiene 150 películas, ¿cuántas tiene Diego? 150 = 3x + 15

3x – 15 = 150

25 Resuelve y determina si la respuesta es pertinente o no. Alonso ordena en columnas las 67 cajas que tiene en su bodega. Si en cada columna pueden apilarse 6 cajas, ¿cuántas columnas se forman?

¿La solución de la ecuación es solución del problema?

No

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¿Por qué?

Reflexiono Si tuvieras que volver a resolver la unidad, ¿qué mejorarías del proceso? ¿Qué conceptos o estrategias crees que mejor aprendiste?

187


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Unidad

5

188

Ángulos


Miro y resuelvo O PAS

1

¿A cuántos grados de los macizos que marca el radar está nuestro barco?

Comprendo el problema ¿Qué información es necesaria para resolver el problema?

O PAS

2

Creo el plan ¿Cómo puedes determinar los grados que separan al barco de cada macizo? Selecciona: Usando transportador. Estimando, considerando las referencias del radar. De otra manera:

O PAS

3

Ejecuto el plan ¡Resuelve y encuentra la respuesta! Respuesta:

O PAS

4

Compruebo el resultado Comprueba con un compañero o compañera si el proceso elegido fue el correcto. ¿Existe otra manera de resolver el problema?

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¿Qué voy a aprender? A describir, medir, clasificar y construir ángulos; además de identificar los ángulos que se forman entre dos rectas que se cortan o entre rectas paralelas cortadas por una transversal. Esto, demostrando una actitud positiva frente a mí mismo y mis capacidades. Lección 1: Ángulos y su construcción. Lección 2: Ángulos entre rectas. 189


ACTIVO lo que sé Identificación de ángulos

1 ¿Cuál es el nombre de cada uno de los elementos del ángulo? D

B

E

2 Remarca dos ángulos en cada imagen.

3 ¿En cuál de las dos imágenes los automóviles están estacionados en 45º respecto a las líneas demarcadas?

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4 Dibuja una figura que tenga por lo menos un ángulo de 90° y dos de 45°.

190


Evaluación inicial

5

Medición de ángulos

5 Marca con un ✓ si las agujas de los relojes representan un ángulo cuya medida es “menor que 90º”, “igual a 90º” o “mayor que 90º”. 12 9

12 3

6

9

12 3

9

6

12 3

6

9

3 6

Menor que 90º

Menor que 90º

Menor que 90º

Menor que 90º

Igual a 90º

Igual a 90º

Igual a 90º

Igual a 90º

Mayor que 90º

Mayor que 90º

Mayor que 90º

Mayor que 90º

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6 ¿Cuál es la medida de cada ángulo?

Reflexiono ¿Qué pregunta te costó más responder? Márcala con una ✗. ¿Por qué te costó responder la pregunta seleccionada? ¿Qué estrategias utilizaste para determinar la medida de los ángulos en la pregunta 6?

191


Le

Cálculo mental

cción

1

Ángulos y su construcción Elementos de un ángulo

1 Observa las situaciones y responde.

11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5

¿Qué tienen en común estas situaciones?, ¿por qué?

Para comprender

Vértice

Rayos

¿En qué otras situaciones se utilizan ángulos? Menciona 2.

Escribe en dos líneas todo lo que recuerdes de lo estudiado en otros años acerca de los ángulos.

192

El rayo tiene un punto de inicio pero no de término, y se representa con una flecha de› la forma __ AB, es decir, el rayo que comienza en A y pasa por B. A B

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En cada imagen identifica los siguientes elementos. Destácalos.


5 Un ángulo puede estar presente en distintas situaciones, por ejemplo: En un giro o una rotación de un rayo en torno a un punto.

En la inclinación de una recta en relación con otra horizontal.

En la abertura de dos rayos o semirrectas.

En la intersección de dos rectas.

En todas estas situaciones, los elementos de un ángulo que se observan son: Vértice

T R

F L

V Rayos

Por lo general, los ángulos se designan con tres letras mayúsculas, nombrándolas en sentido contrario a las manecillas del reloj. El vértice se nombra al centro. Ángulo TVF o ∢TVF Sus son: __› lados __› VT y VF.

Ángulo LVR o ∢LVR Sus son: __› lados __› VL y VR.

¿Cómo representarías con ángulos las situaciones mencionadas al inicio de la página? Aplicar

2 Caracteriza cada ángulo. I B

J

C

A F

H

J

G

Vértice:

Vértice:

Vértice:

Rayos:

Rayos:

Rayos:

Nombre:

Nombre:

Nombre:

Problema

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3 ¿Cómo nombrarías los siguientes ángulos? ¿Hay alguna diferencia? P O

Q

O

P

Q

Respuesta: 193


Cálculo mental

Lección

1 Ángulos y el transportador 1 Analiza cada situación y responde. Se ha utilizado el transportador de dos formas distintas para medir un ángulo y se ha obtenido el mismo resultado.

¿Por qué se obtiene la misma medida? ¿Sabías que...?

¿Cómo se utiliza el transportador para medir ángulos? Explica.

Cuando mides con el transportador un ángulo y el largo de los rayos no es suficiente, puedes prolongarlos de la siguiente forma:

Observa los pasos seguidos para dibujar un ángulo de medida 60°. 1.º

2.º

3.º

4.º

1.º 2.º 3.º 4.º 194

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¿Qué pasos se siguieron para construir el ángulo? Escríbelos.


5 Para medir ángulos se utiliza el transportador, cuya forma de uso es la siguiente: 1.º El centro del transportador debe coincidir con el vértice del ángulo. 2.º Uno de los lados del ángulo debe coincidir con la línea cero del transportador. 3.º La medida del ángulo será la que indica, en el transportador, el otro lado. Para dibujar un ángulo: 1.º Dibuja el vértice del ángulo y uno de sus lados. 2.º Haz coincidir el vértice del ángulo con la marca del centro del transportador y alinea el lado dibujado con el cero del transportador. 3.º Busca en el transportador la medida del ángulo y márcalo con un punto. 4.º Une el punto con el centro del ángulo. Si tuvieras que dibujar un ángulo: ¿cambiarías o agregarías algún paso de los que describiste en la actividad inicial?, ¿por qué? Recuerda que Aplicar

2 Dibuja los ángulos pedidos. m(∢LMN) = 65º

m(∢OPQ) = 120º

La simbología m(∢LMN) representa la medida del ángulo LMN.

Problemas 3 El ángulo de lanzamiento de la jugadora X es

menor que los ángulos de los jugadores A y B. Por eso debe dar un pase.

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a. Mide los ángulos de visión de gol de cada jugador. ¿A quién debería dar el pase?, ¿por qué?

A X

B

b. Si el jugador D está a un ángulo de 30º, ¿dónde podría estar ubicado? Dibuja el ángulo y al jugador.

195


Cálculo mental

Lección

1 Clasificación de ángulos 1 Observa los ángulos y responde. H

D 45º

S

G

F

Z

130º E K

80º

F

H

170º

90º

L

J

T G 90º

R

W

H

V

Si tuvieras que clasificar los ángulos anteriores: ¿cuál sería el criterio que utilizarías?, ¿por qué? Según el criterio que propusiste, ¿cómo se clasificarían los ángulos?

Existen varios sistemas de medición. El que utilizaremos es el sistema sexagesimal, en el cual el giro completo mide 360º. Los ángulos se pueden clasificar en: Extendido o llano

C

A

F

B

Mide un cuarto del giro completo: 90°.

Completo G

Mide la mitad del giro completo: 180°.

Agudo

C A

B

Mide más que 0° y menos que 90°.

T

H

Corresponde al giro completo: 360°. Obtuso

C A

B

Mide más que 90° y menos que 180°.

La clasificación que realizaste de los ángulos, ¿coincide con la mencionada? Escribe al lado de cada ángulo el nombre de su clasificación. 196

R S

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Recto


5 Aplicar

2 Mide los ángulos. Luego, escribe su medida y su clasificación. B

F R

A

C

G

T

W

H

m(∢ABC) =

m(∢HGF) =

m(∢

)=

Clasificación:

Clasificación:

Clasificación:

Problemas 3 ¿De quién es el reloj? Hace 5 minutos, las agujas del reloj de Diego formaban un ángulo recto. En media hora, las agujas del reloj de Aurora formarán un ángulo llano. Dentro de 25 minutos, las agujas del reloj de Sara formarán un ángulo agudo.

4 Otro sistema de medición de ángulos es el sistema centesimal. El

siguiente transportador mide los ángulos de acuerdo a ese sistema.

¿Cuánto mediría cada ángulo? Agudo: Recto: Obtuso:

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Extendido:

¿En qué te fijaste para establecer las relaciones entre las medidas? 197


Cálculo mental

Lección

1 Copiar ángulos con regla y compás 1 Lee la situación y responde. Pedro debe copiar un ángulo de igual medida que el dibujado por Rosa sin usar un transportador. Para ello, cuenta con los siguientes elementos: Ángulo dibujado por Rosa.

Compás.

Regla y lápiz.

Para comprender El compás se utiliza para dibujar circunferencias o arcos. Tiene una punta de metal para fijar el centro y un lápiz para dibujar. Además, con él se pueden copiar medidas.

Compara tu respuesta con la de un compañero o compañera: ¿utilizaron la misma estrategia?, ¿qué podrían mejorar de sus estrategias?

198

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Utilizando todos los elementos, ¿cómo podría Pedro copiar el ángulo de Rosa? Inténtalo y escribe el procedimiento.


5 Para copiar ángulos usando una regla y compás, puedes seguir estos pasos. 2.º

1.º

Traza un segmento de la longitud que estimes conveniente, el cual corresponderá a un rayo del ángulo. Marca el vértice. 3.º

En el ángulo que quieres copiar, traza un arco con la amplitud que estimes. 4.º

Sin cambiar la medida del compás, traza el mismo arco en el segmento dibujado. 6.º

5.º

En el ángulo que estás copiando, traza un arco desde el punto de intersección del segmento y el arco dibujado en el punto 3, sin cambiar la abertura del compás.

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En el ángulo dado, abre el compás, tal como muestra la imagen.

Une el punto de intersección que se forma con el vértice dibujado en el punto 1.

Vuelve a leer los pasos para copiar un ángulo: ¿comprendiste todos los pasos o tienes alguna duda? Asegúrate de haberlos comprendido copiando el ángulo de 40º en tu cuaderno. Luego, explica a un compañero o compañera cómo lo hiciste. 199


Lección

1 Aplicar

2 Copia los ángulos dados, utilizando regla y compás. G

F

K

L

P

N

Comprueba, con un transportador, si tus ángulos tienen la medida correcta. De no estar en lo correcto, ¿qué harías para solucionarlo? Analizar

3 Combina los ángulos dados y dibuja los ángulos pedidos.

100º 40º

Un ángulo de 70º

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Un ángulo extendido

30º

200


5 Problemas 4 Emilio tiene que empujar un armario para subirlo por la rampa de

acceso de un edificio. ¿En qué caso le costará menos? Copia el ángulo de tu elección. Rampa A

Rampa B

¿Por qué crees que la rampa que escogiste requiere de menos esfuerzo?

5 Martina y Luis deben dibujar un ángulo obtuso, pero tienen como

referencia solo los siguientes ángulos, pues no tienen transportador. 40º 60º 70º

20º

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a. ¿Qué ángulos copiarías para dibujar el ángulo obtuso? Dibújalo.

b. Ellos no realizan el mismo dibujo, pero ambos están en lo correcto. ¿Cuáles son todas las posibles combinaciones para formar el ángulo obtuso?

201


Cálculo mental

Lección

1 Construir ángulos con software 1 Utilizando las herramientas

, Circunferencia (centro, punto) y Intersección de Dos Objetos de GeoGebra, Macarena dibujó lo siguiente: Segmento entre Dos Puntos

Para comprender GeoGebra es un software matemático que permite realizar diferentes construcciones geométricas.

A y B son centros de las circunferencias.

Si quiere dibujar un ángulo que mida 60°: ¿qué puntos debería unir?, ¿por qué?

¿Qué puntos debe unir para formar un ángulo recto?, ¿por qué?

En el caso anterior, se construyeron los ángulos a partir del dibujo de dos circunferencias utilizando los botones de GeoGebra: Circunferencia (centro, punto)

Intersección de Dos Objetos

Segmento entre Dos Puntos

Sin embargo, hay dos botones más que permiten construir ángulos:

Para construir un ángulo con esta herramienta, solo tienes que hacer clic en tres partes del plano y automáticamente aparecerá el ángulo. Luego, une los puntos Segmento entre Dos Puntos para con el botón dibujar los lados. La amplitud del ángulo puede ser cualquiera y la puedes modificar moviendo los puntos.

Ángulo dada su Amplitud

Con este botón puedes construir un ángulo con una amplitud determinada. Tienes que hacer clic en dos puntos del plano y luego digitar la amplitud. Al igual que el caso Segmento entre Dos Puntos anterior, con el botón puedes dibujar los lados. Al mover los puntos, solo cambiará la distancia entre ellos y la posición del ángulo, nunca la amplitud.

¿Qué pasos faltarían para formar los ángulos de 60° y 90° en la imagen? 202

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Ángulo


5 Aplicar

2 En GeoGebra construye dos ángulos que ejemplifiquen cada tipo de ángulo. Luego, completa la tabla. Tipo de ángulo

Nombre

Medida

Agudo Recto Obtuso Extendido Completo

¿Qué pasos seguiste para construir los ángulos?

Problema 3 En GeoGebra, utilizando las herramientas: Circunferencia (centro, punto)

Segmento entre Dos Puntos

Intersección de Dos Objetos

Medio o Centro

Se construyó un ángulo de 120°.

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¿Qué pasos se siguieron?

203


INTEGRO lo que aprendí A partir de la imagen, responde las preguntas 1, 2 y 3. Zona Norte

Zona Centro

Zona Sur O

E A

B T

C

D

S Casa 1

M

F R

N

P

V

Casa 2

Casa 3

1 Remarca el ángulo de inclinación de las techumbres y completa con la información pedida.

Casa 1

Casa 2

Casa 3

Nombre:

Nombre:

Nombre:

Rayos:

Rayos:

Rayos:

Vértice:

Vértice:

Vértice:

2 Mide con tu trasportador los ángulos pedidos y clasifícalos. Casa 1

Casa 2

Casa 3

m(∢BTC) =

m(∢VSR) =

m(∢MOP) =

Clasificación:

Clasificación:

Clasificación:

3 Compara las medidas de los ángulos de las pendientes. ¿Qué relación tienen con la PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

zona en las que fueron construidas?

204


Evaluación intermedia

5

4 Eduardo dibujó el plano de la techumbre de una casa en la ciudad de Valdivia, donde las lluvias son muy fuertes. ¿Cuál es el grado de pendiente que debe tener su techumbre? Dibújala con tu transportador.

5 El ángulo de referencia representa el ángulo de la pendiente del techo de una casa en la

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ciudad de Arica. Copia el ángulo con regla y compás, y dibuja la techumbre.

Reflexiono ¿Qué tema te resultó más fácil de comprender? ¿Cuál es tu estrategia para medir y construir ángulos con herramientas geométricas?

205


Le

Cálculo mental

cción

2

Ángulos entre rectas Ángulos complementarios y suplementarios

1 Utiliza el recortable de la página 351 y, con los ángulos que ahí aparecen, forma un ángulo recto y otro extendido.

S

T

B

Y

C

R

En la imagen, pega los ángulos que formen los ángulos pedidos. Pega los ángulos que no utilizaste y forma con ellos un ángulo extendido y uno recto.

Ángulo recto

Ángulo extendido

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. m(∢CBA) + m(∢MLN) = 90° 18° + 72° = 90° Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. ∢KIH y ∢TRS son suplementarios, pues:

72º

C 18º

A

L T R

H

110°

m(∢KIH) + m(∢TRS) = 180° 110° + 70° = 180°

M

N

I

70° K

En la situación inicial, ¿qué par de ángulos son suplementarios? ¿Cuáles son complementarios? 206

S PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

∢CBA y ∢MLN son complementarios, pues:

B


5 Aplicar

2 Completa la tabla. Medida de ángulo complementario

Medida de ángulo

Medida de ángulo suplementario

89º 78º 138º Evaluar

3 Mide cada par de ángulos y verifica si son complementarios o suplementarios o no tienen relación. A

A

G B

H

C

D M L

K

E

F

Problema 4 Lee el acertijo y descubre a qué hora salió Renato. Cuando salí, las agujas del reloj marcaban una hora en punto. Además, las agujas formaban un ángulo suplementario al ángulo de la hora en que llegué.

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Respuesta:

30º

Hora de llegada

¿Es única la respuesta?, ¿por qué?

207


Cálculo mental

Lección

2 Ángulos opuestos por el vértice 1 A partir de la imagen, responde. B

A E

C D

Si mides los ángulos marcados con verde, ¿qué puedes concluir con respecto a sus medidas? Conociendo la medida del ángulo marcado con verde, ¿cómo podrías determinar la medida de uno de los ángulos marcados con amarillo sin medirlos? Explica.

¿Qué relación hay en las medidas de los ángulos marcados con amarillo? En el recuadro de arriba, dibuja dos rectas que se corten. ¿La relación entre los ángulos es la misma que en el caso dado?, ¿por qué?

Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos que tienen en común el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice tienen el vértice en común y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. La medida de dos ángulos opuestos por el vértice es igual. 40º

A 140º

G

F 40º

¿Qué ángulos son consecutivos en el caso inicial?

208

H 55º 70º J

∢HFJ es consecutivo a ∢GFH. El vértice en __› común es F y el lado en común es FH.

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140º

Los ángulos consecutivos tienen el vértice y un lado en común.


5 Identificar

2 En cada caso, identifica 2 pares de ángulos opuestos por el vértice. d f g h k j i

a

b c e

a c

k j m i

d

Para comprender

l

h n g f

y∢

y∢

y∢

y∢

y∢

y∢

En este caso se nombró a los ángulos solo con una letra minúscula para facilitar su identificación, no obstante, lo usual es nombrarlas utilizando tres letras mayúsculas.

¿Los ángulos b y e son opuestos por el vértice?, ¿por qué? Argumentar

3 Descubre la medida de los ángulos señalados con letras y justifica tu respuesta usando los siguientes conceptos: Opuestos por el vértice

Complementarios

Suplementarios

w 51º t

Justificación:

z

90º

60º x

Justificación:

Problema L1

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4 ¿Qué cambios realizarías en las medidas de los ángulos para que el suplemento y el ángulo opuesto por el vértice del ∢a tengan igual medida?, ¿por qué?

90º a 70º L2

Respuesta: L3

209


Cálculo mental

Lección

2 Trazar rectas paralelas: regla y escuadra 1 La siguiente secuencia muestra una propuesta para trazar rectas

paralelas. Escribe, al lado de cada imagen, la descripción de cada paso que hay que seguir.

Recuerda que Las rectas paralelas son aquellas que no se intersecan, es decir, que entre ellas la distancia se mantiene constante.

Existen distintas formas de trazar rectas paralelas: una de ellas requiere de regla y escuadra. Los pasos son los siguientes: 1.° Trazar una línea recta cualquiera. 2.° Ubicar perpendicularmente la regla en un extremo de la línea recta y apoyar el ángulo recto de la escuadra en la regla.

Vuelve a leer los pasos que tú describiste. ¿Hay alguna diferencia con los mencionados anteriormente? ¿Qué mejorarías?

210

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3.° Deslizar la escuadra a lo largo de la regla y trazar una recta. La recta dibujada será paralela a la dibujada inicialmente.


5 Aplicar

2 Traza una recta paralela a cada una de las rectas dadas.

Problemas 3 Los paralelogramos son figuras geométricas de cuatro lados, cuyos

lados opuestos son paralelos y de igual medida. A partir de los lados dados, construye los paralelogramos. Cuadrado

Romboide

4 Piet Mondrian fue un pintor holandés, nacido en 1872, que se inspiró en

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líneas paralelas para crear sus obras. Replica su obra utilizando regla y escuadra.

211


Cálculo mental

Lección

2 Trazar rectas paralelas: regla y compás 1 Observa la imagen y responde. D

A

E

B

F

L1

C

G

L2

Para comprender La simbología // significa rectas paralelas. Así, L1 // L2 quiere decir que las rectas L1 y L2 son paralelas.

L1 // L 2

¿Qué otra recta se puede trazar que sea paralela a L1 y L 2, y que pase por dos puntos marcados en la imagen? Dibújala. ¿Qué instrucciones darías a un compañero o compañera para que dibuje rectas paralelas? 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º

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Siguiendo los pasos que describiste anteriormente, construye dos rectas paralelas.

212


5 Otra forma de trazar rectas paralelas consiste en utilizar regla y compás. Para ello, sigue estos pasos: 1.º Traza una recta y marca un punto B en ella. 2.º Con tu compás, traza una circunferencia con centro en B, de la amplitud que estimes necesaria. 3.º Marca los puntos de intersección entre la recta dibujada en el paso 1 y la circunferencia dibujada en el paso 2. Llámalos A y C. 4.º Pon el centro del compás en C y el lápiz en el punto B. Traza una circunferencia. 5.º Repite el paso anterior, pero esta vez pon el centro en A. 6.º Marca los puntos de intersección de las circunferencias a un mismo lado de la recta y traza otra que pase por ellos. Vuelve a leer los pasos. ¿Hay alguno que no comprendes? ¿Hay alguna relación entre los pasos descritos por ti y los presentados en esta página?

Problema 2 Camila le da por teléfono las indicaciones a su prima Valentina de cómo llegar a su casa.

Camina por la calle Las Violetas hacia el este. Cruzarás la calle Los Tulipanes y por la siguiente calle paralela a Los Tulipanes, dobla a la izquierda. En la segunda calle paralela a Las Violetas está mi casa.

Si Camila realiza un dibujo de lo que escucha, ¿cómo le debería quedar su plano? Dibújalo con regla y compás.

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N O

E S

Calle Las Violetas

213


Cálculo mental

Lección

2 Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal 1 Utiliza el recortable de la página 351, realiza las actividades y responde. Recorta.

Compara los ángulos. Haz calzar los vértices A y B y las rectas L1 y L2.

1 4

L1

L2

L1

1

A 2

4

3

5 B 6 7 8

L2

A 2 3 5

B 6 7 8

L3

L1 // L2

Relaciona los ángulos formados en L1 con los de L 2. ¿Cuáles tienen igual medida? Recta L1

∢1

Recta L2

∢5

Dibuja tres rectas paralelas y una recta transversal. Nombra los ángulos tal como lo están los del ejemplo.

214

Recta L1

Recta L2

Recta L3

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Comprueba con transportador si se repite la relación entre las medidas de los ángulos formados entre las paralelas y la transversal.


5 Al cortar dos rectas paralelas por una transversal, se forman 8 ángulos, los cuales se relacionan de la siguiente forma: Ángulos correspondientes Son aquellos que están bajo o sobre las paralelas y a un mismo lado de la transversal. Tienen igual medida.

Ángulos alternos internos Son aquellos que se encuentran en la región interna de las rectas paralelas y en lados opuestos de la transversal.

Ángulos alternos externos Son aquellos que se encuentran en la región externa de las rectas paralelas y a lados opuestos de la transversal.

¿Cuáles son todos los ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos de los ángulos formados en el recortable? Identificar

2 Responde de acuerdo con la imagen, donde L1 y L2 son paralelas (L1 ⁄⁄ L2). L1

L3

d

a c

L2

b h

e g

f

a. Escribe tres pares de ángulos correspondientes. b. Escribe tres pares de ángulos opuestos por el vértice.

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c. Escribe dos pares de ángulos alternos internos. d. Escribe dos pares de ángulos alternos externos.

215


Lección

2 Argumentar

3 Determina la medida de los ángulos sabiendo que m(∢f) es 110º y que L1 // L2. Justifica tu respuesta usando los siguientes conceptos: Ángulos opuestos por el vértice. Ángulos complementarios.

i

Ángulos suplementarios.

L1

f h

Ángulos correspondientes.

g

Ángulos alternos internos.

L2

j

p

k

n

Ángulos alternos externos. m(∢n) =

m(∢j) =

Porque:

Porque:

m(∢i) =

m(∢k) =

Porque:

Porque:

Aplicar

4 Determina la medida del ángulo incógnito en cada caso. Considera L1 // L2. x

113º

67º L2

L1

L2

L1 y

L2 58º 122º

m(∢y) = f s

84º 96º

m(∢f) =

216

50º

m(∢s) =

L1 40º

L2

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m(∢x) =

L1


5 Evaluar

5 Analiza la figura y escribe V o F según corresponda. Justifica todas tus respuestas.

A

B 128º ___

F

___

AB // DC

128º D

C

a.

Los ángulos ADF y CDA son suplementarios.

b.

El ángulo DAB mide 128° porque es alterno externo del ángulo ADF.

c.

El ángulo BCD mide 52°.

Problemas 6 ¿Quién tiene razón?, ¿por qué? Yo creo que si g es un ángulo agudo, el ángulo r también lo será.

Si g y r son un par de ángulos alternos internos entre paralelas y si g es un ángulo agudo, entonces r es un ángulo obtuso.

Ignacio

Rodrigo

Respuesta:

7 ¿Cuántos grados debe variar la recta AC para que sea paralela a la recta BD? Justifica tu respuesta.

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106º

A C

96º B 101º D

Respuesta: 217


INTEGRO lo que aprendí Dependiendo de hacia donde miramos, el ángulo que se forma entre la línea recta de visión y una línea recta horizontal recibe distintos nombres. El punto de vista se encuentra sobre el eje El punto de vista se encuentra bajo el eje horizontal. horizontal. Eje horizontal Ángulo de depresión

Ángulo de elevación Eje horizontal

1 En la imagen los ejes horizontales de cada observador son paralelos. ¿Cuánto mide el ángulo de visión del observador que mira desde abajo?, ¿por qué? 30º

X

Respuesta:

2 Dos personas, representadas por A y B, miran el campanario de una iglesia,

x B

Respuesta: 218

60º A

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como muestra la imagen. Si están paradas en distintos puntos y la medida de sus ángulos de elevación son complementarias: ¿cuál es la medida del ángulo de elevación de B?, ¿por qué?


Evaluación intermedia

5

3 ¿Son suplementarios los ángulos de visión de elevación y de depresión de la persona?, ¿por qué?

85º Horizontal 60º

4 La línea de visión horizontal del observador es paralela al nivel del mar. Dibújala.

5 Si Jaime gira para mirar el bote, ¿cuánto medirá el ángulo de depresión?

m(∢y) = 45º

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y

Reflexiono ¿Qué preguntas te costaron más responder?, ¿por qué? ¿Qué tema te gustaría profundizar?, ¿por qué?

219


Resuelvo problemas Comprendo

Estrategia: Realizar un dibujo

1 Un arquitecto debe diseñar una escalera con las siguientes condiciones: El pasamano debe ser paralelo a la base de la escalera. En cada peldaño debe haber un soporte que forme un ángulo de 50° al unirse con el pasamano. Si se agrega un segundo pasamanos para niños, justo a la mitad del soporte, el ángulo que se forma entre este pasamano y la baranda es de 75°. ¿Qué modificaciones es necesario realizar en el diseño para que los pasamanos sean paralelos? Justifica tu respuesta.

Plan sugerido: Para resolver el problema realiza un dibujo con la información del enunciado. Esto ayuda a visualizar los datos y, tal vez, a descubrir nuevos datos que no fueron descritos. 1.° Traza con las herramientas geométricas que estimes convenientes la recta paralela a la base, que representa el primer pasamano. 2.° Verifica que en la unión de cada soporte y el pasamano se forme un ángulo de 50°. Soporte Ba

se

de

e

a sc

le

ra

3.° Dibuja el pasamano para niños. ¿Qué característica tiene? Vuelve a leer el enunciado. 4.° Relaciona la información graficada y responde la pregunta del problema.

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Respuesta:

220


5 Resuelvo 2 En una exposición de arte hay un cuadro realizado solo con 5 líneas rectas en dis-

tintas posiciones. Si las líneas forman al menos dos ángulos obtusos, tres ángulos agudos y uno recto, ¿cómo podría ser el cuadro?

3 Eduardo mira su reloj y ve que este marca las 10:10, formándose un ángulo de

110°. Si nuevamente mira el reloj y se da cuenta de que se ha formado un ángulo suplementario: ¿qué hora podría marcar el reloj?, ¿por qué?

12 9

12 3

9

6

3 6

Respuesta:

Creo 4 Dibuja un cometa en el que uno de sus ángulos interiores mida 77°. Inventa un problema y después resuélvelo.

Problema

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Dibujo

221


Matemáticamente Calcular porcentajes: 20 %, 40 % y 80 % a partir del 10 % 120 : 10 = 12

10 % de 120 Calcular el 10 % de un número

0

12

120

0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

El 10 % representa la décima parte de un número, por lo que podemos calcularlo dividiendo el número por 10.

Calcular el 10 % es muy fácil, por lo que se podría considerar ese cálculo como referencia para calcular el 20 %, 40 %, 80 % y cualquier porcentaje múltiplo de 10. Por ejemplo: El 20 % es el doble del 10 %. 20 % de 120.

2 · (120 : 10) 2 · 12 24

El doble del 10 % de 120.

0

24

120

0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

El 40 % es cuatro veces el 10 %. 40 % de 120.

4 · (120 : 10) 4 · 12 48

Cuatro veces el 10 % de 120.

0

48

120

0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

El 80 % es ocho veces el 10 %. Ocho veces el 10 % de 120.

0

96

120

0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

222

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80 % de 120.

8 · (120 : 10) 8 · 12 96


Estrategias de cálculo mental

5

1 Calcula el 10 %, 20 %, 40 % y 80 % de los siguientes números. 10 %

20 %

40 %

80 %

50 14 21

2 Une cada porcentaje con su resultado. 20 % de 52

4,8

80 % de 35

10,4

10 % de 48

28

40 % de 56

48

80 % de 60

22,4

20 % de 92

18,4

3 Calcula cuánto será el descuento en cada caso. Producto

% de descuento

Valor descuento

10 % $ 9 800 20 % $ 15 600

40 % PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

$ 24 000

80 % $ 55 990

223


Organizo mis ideas Elementos de un ángulo Describe cada ángulo escribiendo la información pedida. E

F

E

X

Y

Z

G

G

F

Nombre:

Nombre:

Nombre:

Rayos:

Rayos:

Rayos:

Vértice:

Vértice:

Vértice:

Ángulos y el transportador Mide los ángulos dados.

Construye un ángulo con las medidas indicadas.

Q

O

m(∢RST) = 115°

P C B

A

Clasificación de ángulos

65º 180º

224

140º

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Clasifica los ángulos en agudos, obtusos, rectos, extendidos y completo.


5 Copiar ángulos con regla y compás Copia el ángulo dado. G

H

O

Ángulos complementarios y suplementarios Completa las frases. .

Si un ángulo mide 72°, su complemento mide

.

83° es la medida del suplemento de un ángulo que mide

Ángulos opuestos por el vértice Menciona un par de ángulos opuestos por el vértice y escribe su medida. C A

120º

B

Medida

y∢

E D

Trazar rectas paralelas Traza una recta paralela a la recta dada que pase por el punto A. A L1

Ángulos entre rectas cortadas por una transversal Identifica los ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos. Considera L1 // L2.

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Ángulos correspondientes 1 4 2 3 L1

5 8 6 7 L2

y∢

Ángulos alternos internos ∢ y∢

Ángulos alternos externos ∢ y∢ 225


COMPRUEBO lo que aprendí 1 ¿Cómo se clasifica el ángulo?

4 ¿En qué caso las rectas L1 y L2 son paralelas? A. 130º

L1 130º L2

A. Agudo. B. Obtuso.

L3 L3

B.

C. Recto.

L1

D. Extendido.

40º

L2

60º

2 ¿Cuánto mide el ángulo BCD si es suplemento del ángulo DCA? D

C.

130º A

C

20º

L1

B

30º

A. 40º

L2

B. 45º

L3 L1

D.

C. 50º D. 230º

L2 L3

90º 89º

3 ¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice al ángulo KFL? G

L

H

5 Si las rectas L1 y L2 son paralelas, ¿cuánto mide el ángulo y, considerando que el ángulo x mide 110º?

F y

J

A. ∢IFH

B. ∢HFI

C. ∢HFG

D. ∢JFK

L3

A. 110º B. 80º C. 70º D. 20º

226

L1 L2

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x

K

I


Evaluación final

6 En la imagen, L1 y L2 son rectas paralelas. ¿Cuál de las siguientes alternativas contiene un par de ángulos de igual medida? L3

2

L1

3

L2

6 7

5

9 ¿Cuánto mide el complemento del ángulo cuya medida es 15º? A. 175º B. 165º C. 85º

1 4

D. 75º

5

10 En el triángulo, el suplemento del ángulo

8

a es 46º. ¿Cuánto mide el ángulo b?

A. ∢ 1 y ∢ 2.

a

B. ∢ 1 y ∢ 8.

b

C. ∢ 1 y ∢ 7.

D. ∢ 4 y ∢ 5.

A. 46º

A partir de la imagen, responde las preguntas 7 y 8. T

R

B. 44º C. 134º D. 144º

11 ¿Cuál de los siguientes ángulos es obtuso?

S

A.

7 ¿Cuánto mide el ángulo de la imagen? Usa tu transportador. A. 75º

B.

B. 85º C. 105º D. 115º

8 ¿Cuál es el nombre del ángulo?

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A. ∢ TSR

C.

D.

B. ∢ RTS

C. ∢ TRS

D. ∢ RST

227


COMPRUEBO lo que aprendí 12 Usando transportador, dibuja el lado que falta para formar el ángulo de la medida indicada. Un ángulo ABC que mida 70º

Un ángulo CDE que mida 130º C C

B

D

13 Copia por lo menos dos ángulos y forma los ángulos pedidos.

35º 20º

70º

15º

Ángulo que mida 120º

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Ángulo agudo cuya medida sea mayor que 50º

228


Evaluación final

5

14 Completa el dibujo del columpio, dibujando dos rectas paralelas que representen las cuerdas desde donde se engancha el asiento del columpio.

15 Describe los pasos que seguiste para dibujar las rectas paralelas.

16 Resuelve. L1 L3

y

73º

x

L4

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L1 // L 2

L1

L2

L2

L3

80º

L1 // L 2; L 3 // L4

m(∢x) =

m(∢y) =

Porque

Porque

Reflexiono ¿Qué preguntas te resultaron más difíciles?, ¿cuáles más fáciles? ¿Qué tema o temas crees que es necesario volver a estudiar?

229


Unidad

6

Figuras 2D y 3D

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Para construir el castillo, necesité bloques cúbicos.

230


Miro y resuelvo O PAS

1

Comprendo el problema Explica con tus palabras de qué se trata el problema.

O PAS

2

Cubos necesarios para construir el castillo

Creo el plan Escoge un plan: Contar los cubos utilizados en la vista. Sumar la cantidad de cubos en cada columna. De otra forma:

O PAS

3

Ejecuto el plan Desarrolla tu plan y resuelve el problema.

O PAS

4

Compruebo el resultado Comprueba con un compañero o compañera si llegaron al mismo resultado.

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¿Qué voy a aprender? A demostrar cuánto suman los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros; a clasificar y construir triángulos con instrumentos geométricos; a realizar teselados y calcular el área y el volumen de cubos y paralelepípedos. Todo, expresando y escuchando ideas en forma respetuosa. Lección 1: Figuras 2D. Lección 2: Teselados. Lección 3: Área y volumen. 231


ACTIVO lo que sé Figuras 2D

1 Mide los ángulos interiores de cada figura, usando transportador. Luego, márcalos siguiendo las instrucciones:

Rojo los ángulos agudos.

Azul los ángulos rectos.

Verde los ángulos obtusos. S

B

T

G

F A

C

V

R

H

W

D

2 Mide los lados usando regla.

Áreas

3 Dibuja dos figuras, distintas entre sí y que tengan un área igual a 12

.

4 Calcula el área (A) de las siguientes figuras.

7 cm 3 cm

3 cm

232

4 cm

7 cm

6 cm

A=

5 cm

cm2

A=

cm2

A=

cm2

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8 cm

3 cm

10 cm


Evaluación inicial

6

Transformaciones isométricas

5 ¿Qué transformación isométrica ejemplifica cada imagen? Escribe la letra en su nombre. b.

a.

Traslación

c.

Rotación

Reflexión

Figuras 3D

6 Cada niño construyó la red geométrica de un cubo, no obstante solo uno de ellos logró hacerla bien. ¿Quién está en lo correcto? Pinta su red.

7 La siguiente torre está construida por cubos de volumen una unidad cúbica (1 u³). ¿Cuál es el volumen de la torre?

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Respuesta:

Reflexiono ¿En qué tema te costó más responder las preguntas?, ¿por qué? ¿Qué temas crees que necesitas reforzar o recordar? Explica.

233


Le

Cálculo mental

cción

1

Figuras 2D Ángulos en triángulos

1 Utiliza el recortable de la página 349 y responde. Marca los ángulos interiores de cada figura. Recorta las piezas y pégalas uniendo sus vértices.

V2 V1

V3

Al unir los vértices, ¿qué ángulo forman los tres ángulos interiores dispuestos de esta manera? Si realizas el mismo proceso con otros triángulos, ¿crees que sucederá lo mismo? Compruébalo. ¿Qué puedes concluir sobre la medida de los ángulos interiores de un triángulo?

En cualquier triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180°. Por ejemplo: 180º 80º

60º

40º

40º 80º

60º

¿Crees que la longitud de los lados del ángulo se relaciona con la medida del ángulo?, ¿por qué?

234

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40° + 80° + 60° = 180°


6 Aplicar

2 Calcula la medida del ángulo que falta en cada figura. b.

a.

c.

100º

30º

30º α

40º

β

α=

80º

δ

β=

δ=

Analizar

3 Analiza y responde. Considera que la recta L y el segmento AB son paralelas. a. ¿Cuánto suman los ángulos 4, 5 y 6? b. ¿Cuál es la relación de las medidas de las siguientes parejas?

6

5 C

4

∢3y∢6

3 L

A

∢2y∢5 ∢1y∢4

1 2 B

c. ¿De qué modo la información anterior permite verificar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°?, ¿por qué?

Problema 4 Macarena está formando un triángulo usando piezas de madera.

40º

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¿Qué pieza necesita para completar su triángulo?, ¿por qué?

60º

80º

70º

60º

Respuesta: 235


Cálculo mental

Lección

1 Clasificación de triángulos según la medida de sus lados 1 Clasifica los triángulos considerando la medida de sus lados. C 4 cm

4 cm

A

B

5 cm

5 cm

F

G

S

P 2 cm

O 2 cm

Q

Grupo A

4 cm

4 cm

3 cm

4 cm

4 cm

R

2 cm

L

H

4 cm

T

Grupo B

M

7 cm 6 cm N

V

6 cm Y

3 cm 6 cm W

Grupo C

Explica qué criterio utilizaste para clasificar los triángulos.

Recuerda que Un triángulo se nombra mencionando sus vértices en orden consecutivo. Los vértices se escriben con mayúscula, por ejemplo: ∆DEF. F

D

¿Qué nombre le pondrías a cada grupo?

E

Grupo A Grupo B Grupo C Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados en: Todos sus lados tienen igual medida.

Isósceles Dos de sus lados tienen igual medida. El lado de distinta medida se denomina base.

Escaleno Todos sus lados tienen distinta medida.

¿Tu clasificación coincide con la presentada? Si es distinta, vuelve a clasificar según los criterios dados. 236

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Equilátero


6 Clasificar

2 Mide con una regla los lados de cada triángulo y clasifícalos según las medidas de sus lados.

cm cm

cm

cm cm

cm

cm cm cm

Conjetura

3 Mide los ángulos interiores de todos los triángulos presentados en la

página 236. ¿Qué frase se relaciona con cada tipo de triángulo? Únela. Escalenos

Todos sus ángulos miden 60°.

Equiláteros

Sus dos ángulos basales miden lo mismo.

Isósceles

Todos su ángulos tienen distinta medida.

Problemas 4 Si el perímetro del triángulo de la imagen es 48 cm, ¿cómo clasificarías el triángulo?

12 cm

x

16 cm

Respuesta:

5 Gonzalo formó un triángulo isósceles con una cuerda de 56 cm de

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largo. Si el lado basal mide 20 cm, ¿cuánto miden los otros lados?

20 cm

Respuesta:

237


Cálculo mental

Lección

1 Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos interiores 1 Mide cada ángulo y escribe cómo se clasifica.

Une los extremos de los rayos de los ángulos y forma un triángulo en cada caso. Pinta del mismo color los triángulos que creas que se clasifican en el mismo grupo. ¿Qué criterios utilizaste para clasificar los triángulos?

Recuerda que Los ángulos se pueden clasificar en: Agudos: miden menos de 90°. Obtusos: miden más de 90°, pero menos que 180°. Rectos: miden 90°.

Los triángulos se pueden clasificar según las medidas de sus ángulos interiores en: Sus tres ángulos interiores son agudos.

Rectángulos

Tienen un ángulo interior recto.

Obtusángulos

Tienen un ángulo interior obtuso.

¿Coincide la clasificación dada con la que realizaste? Si no es así, clasifica los triángulos anteriores según los criterios dados. 238

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Acutángulos


6 Clasificar

2 Clasifica los triángulos señalados, según la medida de sus ángulos.

Clasificar

3 Marca con un ✓ si es posible construir un triángulo con las características señaladas. Justifica todas tus elecciones. a.

Triángulo equilátero con ángulos agudos.

b.

Triángulo isósceles con un ángulo obtuso.

c.

Triángulo rectángulo con un ángulo agudo.

d.

Triángulo obtusángulo equilátero.

Problema 4 Jorge determina el ángulo de elevación del volantín, identificado en la imagen con la letra x. Si el triángulo bajo el volantín es un triángulo rectángulo, ¿cuál es el ángulo de elevación? 75º

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x

Respuesta: 239


Cálculo mental

Lección

1 Construcción de triángulos 1 Observa y responde. Camila y Javier han construido un triángulo considerando distintas características, sin embargo, ambos construyeron el mismo triángulo. Es un triángulo equilátero cuyos lados miden 7 cm.

1.º Coloca la punta del compás en un extremo del segmento, que representa la medida del lado, y la punta del lápiz en el otro extremo.

2.º Sin cambiar la medida del compás, dibuja una circunferencia.

3.º Sin cambiar la abertura del compás, pues es un triángulo equilátero, dibuja otra circunferencia desde el otro extremo del segmento.

Tiene dos ángulos que miden 60° y el lado entre los dos ángulos mide 7 cm. 1.º Dibuja un segmento que mida 7 cm.

2.º Con el transportador dibuja un ángulo que mida 60°, cuyo vértice sea un extremo del segmento.

3.º Dibuja otro ángulo de 60°, cuyo vértice sea el otro extremo del segmento.

4.º Dibuja los rayos de los ángulos y marca el punto de intersección.

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4.º Une los extremos del segmento con una intersección de las circunferencias.

240


6 Para construir cada triángulo, ¿qué herramientas matemáticas necesitó cada uno? Camila

Javier

¿Qué pasos siguieron para construir el triángulo? Camila

Javier

Construye un triángulo que tenga dos lados que midan 4 cm y cuyos ángulos formados desde sus extremos midan 44° y 68°. ¿Seguirás los pasos de Camila o de Javier?

Para construir un triángulo, se pueden utilizar algunos instrumentos geométricos, como transportador, compás y regla. Existen diversas formas de construir un triángulo, las que dependerán de la información que tengas. Por ejemplo: • Puedes construir un triángulo con las medidas de sus tres lados. • Puedes construir un triángulo con la medida de un segmento y la medida de los dos ángulos cuyos vértices son sus extremos.

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• Puedes construir un triángulo con la medida de dos lados y del ángulo entre ellos. • Entre otros. ¿Qué herramientas geométricas necesitarías para construir un triángulo si conoces solo la medida de sus tres lados?, ¿por qué? 241


Lección

1 Aplicar

2 Construye los triángulos según las características dadas. a.

4 cm A

B

C C B

40º

60º

A

A

B

b. A

B 3 cm

A

C 4 cm

B

C 5 cm

c.

C

4 cm A

B A

B

A

242

C

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5 cm


6 d. Problemas

3 Martina y Daniel construyen cada uno un triángulo cuyos ángulos

interiores miden 90°, 70° y 20°; sin embargo, sus lados tienen distintas medidas. a. ¿Es posible que se dé esta situación?, ¿por qué?

Comprueba tu respuesta dibujando los triángulos aquí.

b. ¿Qué característica agregarías para asegurarte de que dibujen lo mismo?

4 Francisca está construyendo banderines para su bicicleta, los

cuales tienen forma triangular. El molde es un triángulo isósceles de perímetro 20 cm cuyo lado basal mide 8 cm. a. ¿Cuál es la medida de cada lado del banderín?

Respuesta:

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b. Construye el molde de los banderines de Francisca.

¿Qué pasos seguiste para construir el molde?

243


Cálculo mental

Lección

1 Desigualdad triangular 1 Utiliza el recortable de la página 349 y construye los triángulos. Triángulo 1

Triángulo 2

Triángulo 3

Triángulo de lados: 7 cm, 7 cm y 7 cm.

Triángulo de lados: 3 cm, 4 cm y 8 cm.

Triángulo de lados: 8 cm, 7 cm y 10 cm.

Completa la tabla. Medida de los lados

¿Pudiste formar el triángulo?

a b c

7 cm 7 cm 7 cm

No

a b c

3 cm 4 cm 8 cm

No

a b c

8 cm 7 cm 10 cm

No

Suma las medidas de los lados y compara el resultado con la medida del tercer lado, escribiendo los signos >, < o = a+b

c

a+c

b

c+b

a

¿Qué relación matemática crees que hay entre los resultados de las adiciones y la posibilidad de construir o no los triángulos?

Para construir un triángulo, se debe cumplir que la suma de las medidas de dos de sus lados siempre debe ser mayor que la medida del tercer lado. Esto se llama desigualdad triangular: a+b>c

b+c>a

c+a>b

c = 3 cm

a = 4 cm

b = 2 cm

Por ejemplo: a+b>c→4+2>3

b+c>a→2+3>4

c+a>b→3+4>2

6>3

5>4

7>2

Los triángulos que sí pudiste formar, ¿cumplen con la desigualdad triangular? ¿Qué otro trío de lados cumplen la desigualdad? 244

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El triángulo de lados a = 4 cm, b = 2 cm y c = 3 cm se puede construir porque:


6 Aplicar

2 Dadas las medidas de los lados, si es posible, construye los triángulos con regla y compás.

a. a = 1 cm, b = 3 cm y c = 5 cm.

b. a = 4 cm, b = 4 cm y c = 4 cm.

Evaluar

3 Verifica, aplicando la desigualdad triangular, si se pueden construir los siguientes triángulos.

a. a = 3 cm, b = 4 cm y c = 6 cm.

No

b. a = 8 cm, b = 8 cm y c = 16 cm.

No

Problema 4 Emilia construye un triángulo con regla y compás. Si puede

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modificar solo la medida de un lado, ¿qué cambios debería hacer para poder construir el triángulo? Comprueba expresando la desigualdad entre la suma de sus lados.

2 cm

1 cm 4 cm

Respuesta: 245


Cálculo mental

Lección

1 Ángulos en cuadriláteros 1 Traza una diagonal en cada cuadrilátero. Luego, responde.

Si la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, ¿cuánto crees que suman los ángulos interiores de un cuadrilátero?, ¿por qué?

Mide con un transportador los ángulos interiores y súmalos. Figura

Suma de ángulos interiores

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y la suma de sus ángulos interiores es 360°. Por ejemplo:

120º

130º

50° + 120° + 130° + 60° = 360°

60º

En la experiencia inicial, ¿descubriste la medida de la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero? ¿Cuánto crees que suman los ángulos interiores de un pentágono?, ¿por qué? 246

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50º


6 2

Calcula la medida del ángulo que falta. a.

100º

c.

98º

105º z 68º 110º

x

80º

z=

x=

b. 101º

d. 75º

101º

80º

a 77º

y

79º

y=

a=

El cuadrilátero de la actividad b. es un trapecio isósceles. ¿Qué podrías concluir sobre sus ángulos interiores?

Problema 3 Aplicando lo que sabes con respecto a la suma de los ángulos

interiores de triángulos y cuadriláteros, ¿cómo podrías descubrir la medida de la suma de los ángulos interiores de las siguientes figuras?

La suma de los ángulos interiores de un

La suma de los ángulos interiores

es de un

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. Porque

es .

Porque .

.

247


Le

Cálculo mental

cción

2

Teselados Transformaciones isométricas

1 Completa las decoraciones utilizando el recortable de la página 349.

¿Qué decoración se relaciona con cada transformación isométrica? Únelas.

Traslación

Reflexión (recta)

Rotación

Reflexión (punto)

¿Qué recuerdas de cada una de las transformaciones isométricas? Reflexión (recta)

Rotación

Reflexión (punto) PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

Traslación

248


6 Las transformaciones isométricas asocian a una figura inicial otra figura, llamada imagen, que es congruente con ella. Las traslaciones desplazan una figura en línea recta según una dirección (horizontal, vertical u oblicua), un sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo) y una distancia dada.

Las rotaciones giran una figura en torno a un punto, denominado centro de rotación, y un ángulo de rotación, que puede ser en sentido horario o en sentido anti horario .

Las reflexiones son movimientos en los que cada punto de la figura original y la figura imagen se encuentran a igual distancia de un eje o de un punto.

Por ejemplo:

Por ejemplo:

Por ejemplo:

A

C F

A

B

Reflexión respecto a un punto.

B

A D

C

B'

A'

E

C' F'

D'

F A'

H

D

E' C

E D'

B' C'

B

E'

F

H

D

D'

E

E'

En este caso la figura se trasladó 2 unidades hacia abajo y 5 a la derecha.

F' C' B' A'

F'

La imagen se reflejó en el punto H.

La imagen se rotó en sentido antihorario, en 45° Reflexión respecto a una recta. alrededor del punto H. A B C F

B'

D

D'

E

A'

C'

E' L1

F'

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La figura se reflejó con respecto al eje L1, de modo que a todo punto de esta figura inicial se le asocia un punto en la figura imagen. El segmento que une cada punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.

Describe las transformaciones isométricas que permiten formar cada decoración de la imagen de la página anterior. A

B C

D

E en cada ejemplo, ¿qué similitudes y diferencias aprecias en cada transforSi observas F mación isométrica aplicada?

249


Lección

2 Aplicar

2 Dibuja cada figura según la traslación descrita. a. Traslada el triángulo 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. ¿Cuál es la figura final?

b. El pentágono es el resultado de trasladar una figura 2 unidades hacia arriba y 4 hacia la izquierda. ¿Cuál es la figura inicial? 1u

1u

A' A

B'

E'

C' B

D'

C

Aplicar

3 Aplica las reflexiones a cada figura con respecto al eje o al punto dado. a. Refleja en el eje L 2 cada figura.

b. Aplica una reflexión con respecto al punto O.

J

F

A

G

B

C

J

N

K

M

L E

D

F

A

G

B

C

N

K

M

L E

O

D

L2 Aplicar

4 Rota cada figura según el ángulo de giro y el centro de rotación dados. a. Rota el pentágono, en torno al punto O, en b. Rota el cuadrilátero, en torno al punto F, en 180° en sentido antihorario. 90° en sentido horario. D C A

B

D A F

O B

250

C

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E


6 Argumentar

5 Identifica cada transformación isométrica aplicada y descríbela. En cada caso, describe y dibuja los siguientes elementos: Traslación: dirección, sentido y distancia. Rotación: centro de rotación y ángulo de rotación. Reflexión con respecto a un punto: centro de simetría. Reflexión con respecto a una recta: eje de simetría. A

D

D C

A'

B

D' B

A A'

C B'

B'

C'

A

B

B'

A B D E H

C' A'

C'

C

D'

F' G' I' J' C' H'

C

J I G F

E' D' B' A'

Problema 6 Mario dibujó el cuadrilátero rojo y realizó dos transformaciones

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isométricas para obtener el cuadrilátero verde. ¿Qué transformaciones isométricas aplicó Mario?

A C

B D

B' D'

A' C'

Respuesta: Compara tus respuestas con un compañero o compañera: ¿hay solo una respuesta correcta para el problema?, ¿por qué?

251


Cálculo mental

Lección

2 Teselaciones regulares 1 Resuelve la situación utilizando el recortable de la página 347. Tenemos que cubrir el interior de cada marco repitiendo solo un polígono regular.

Utiliza los polígonos del recortable y descubre con cuáles no quedan espacios en blanco entre ellos sin que uno esté sobre otro.

Para comprender Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos de igual medida.

Marca con un ✓ los polígonos regulares que te permitieron cubrir el interior de cada marco.

Triángulo

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

¿Cuánto suman los ángulos interiores de las figuras que se unen en un vértice y permiten cubrir el espacio sin dejar espacios en blanco, tal como lo muestra el ejemplo?

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Ejemplo:

252


6 Las teselaciones regulares se construyen con polígonos regulares congruentes. Los únicos polígonos regulares que logran teselar el plano son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Por ejemplo: 60º 60º 60º 60º 60º 60º

120º 120º 120º

90º 90º 90º 90º

En una teselación, la suma de los ángulos que se unen en un vértice siempre es 360°.

¿Por qué los polígonos regulares que no seleccionaste no teselan el plano?, ¿qué relación hay con el resultado de la suma de los ángulos interiores que se unen en un punto? Aplicar

2 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Justifica tu respuesta del modo que estimes conveniente.

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No se puede teselar con pentágonos, pues si utilizo tres pentágonos regulares faltaría cubrir una parte con una figura que tenga un ángulo de 36°.

Para construir una teselación regular, es necesario seleccionar solo un polígono regular y repetirlo. No importa que sean de distinto tamaño.

¿En qué situaciones has visto teselaciones regulares? 253


Lección

2 Las teselaciones se pueden construir aplicando transformaciones isométricas.

Analizar

3 Observa cada teselación regular e identifica qué transformaciones

isométricas permiten obtener las figuras marcadas a partir de la figura inicial (FI). F2

FI

F1

a. De figura inicial (FI) a figura 1 (F1). b. De figura inicial (FI) a figura 2 (F2).

F3

c. De figura inicial (FI) a figura 3 (F3).

d. De figura inicial (FI) a figura 1 (F1).

FI F2

e. De figura inicial (FI) a figura 2 (F2).

F1 F3

f. De figura inicial (FI) a figura 3 (F3).

Problema 4 Emilia y Alexis construyeron

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teselaciones. ¿Crees que sean teselaciones regulares?, ¿por qué?

254


6 Analizar

5 Usa el software GeoGebra para dibujar una teselación regular usando hexágonos. Abre el programa y sigue estos pasos:

Polígono Regular. Marca dos vértices en el 1.º Construye un hexágono regular usando el botón sector de dibujo. Luego, escribe 6 en el recuadro que aparecerá.

Oculta las etiquetas de los vértices con el botón

.

Expone / Oculta etiqueta

2.º Rota el hexágono usando la herramienta Rotar Objeto. Haz clic en el centro del hexágono y luego en uno de sus vértices. El ángulo de rotación debe ser 120°.

3.º Repite el 2.° paso con el resto de los vértices para seguir teselando.

4.º Repite los pasos anteriores tantas veces sea necesario. Cuando hayas cubierto toda la superficie con figuras, puedes:

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Ocultar los puntos de los vértices con el botón

.

Mostrar / Ocultar Objeto

Cambiar su color y crear el diseño que quieras. Para esto, haz clic en la figura con el botón de la derecha del mouse y presiona propiedades. Luego, selecciona la pestaña color. ¿Cómo modificarías los pasos para teselar con triángulos equiláteros o con cuadrados?

255


Cálculo mental

Lección

2 Teselaciones semirregulares 1 Completa la teselación semirregular siguiendo el mismo patrón. Utiliza el recortable de la página 347. Teselación 1

Observa el punto marcado en la teselación: ¿cuál es el patrón de figuras seguido alrededor de este?, ¿se cumple en cualquier vértice de la teselación?

¿Cuánto suman los ángulos interiores de las figuras que tienen un vértice en común?

El nombre de una teselación se forma nombrando la cantidad de lados de los polígonos en cada vértice, en orden, pero partiendo del que tiene menos lados. Por ejemplo: 3.12.12, no 12.3.12.

90º 135º

8 4 8

Esta teselación está formada por cuadrados (4 lados) y octágonos (8 lados). Su nombre es 4.8.8. Los ángulos que rodean un vértice suman 360°: 90° + 135° + 135° = 360°

¿Cuál es el nombre de las teselaciones que construiste con los recortables? 256

135º

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Las teselaciones semirregulares se construyen combinando polígonos regulares, los que deben seguir el mismo patrón en todos los vértices. Los ángulos que rodean un vértice suman 360°.


6 Aplicar

2 Construye una teselación combinando las figuras señaladas. Utiliza el recortable de la página 347.

Figuras

Compara tus teselaciones con tus compañeros o compañeras: ¿siguieron el mismo patrón?, ¿cuál sería el nombre de la teselación? Analizar

3 ¿Cuál es el grupo de figuras que permite construir teselaciones semirregulares? Marca con un ✓ y justifica tu respuesta. 150º 90º

120º

108º

108º

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60º

257


Lección

2 Argumentar

4 Observa cada teselación semirregular e identifica qué transformaciones isométricas permiten construirla.

a. ¿Qué transformación isométrica permite mover la figura inicial hacia la figura 1 y 2?

Figura inicial

b. ¿Qué transformación mueve el triángulo verde alrededor del hexágono?, ¿por qué?

Figura 1 Figura 2

c. ¿Cómo moverías uno de los octágonos para formar los otros tres octágonos que se encuentran en el recuadro destacado?

Figura 1 Figura 2

Figura inicial

d. ¿Qué transformaciones isométricas se aplican al cuadrado inicial para obtener los otros dos cuadrados?

Problema 5 En el teselado de la imagen, se quiere aplicar una transformación isométrica, de modo que la ___ figura C se mueva hasta el lado AB. ¿Qué transformaciones isométricas se pueden aplicar? Menciona 2.

Opción 2

258

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Opción 1


6 Aplicar

6 Usa GeoGebra para dibujar una teselación semirregular usando cuadrados y triángulos equiláteros. Abre el programa y sigue estos pasos: 1.º Con el botón cuadrado.

Polígono Regular

, dibuja un

2.º Dibuja un triángulo a partir de un lado del cuadrado dibujado en el paso anterior. Para esto, selecciona el botón Polígono Regular y haz clic en dos vértices consecutivos del cuadrado en sentido horario.

5.º En la parte inferior del cuadrado, con el Polígono Regular, dibuja un triángulo. botón Haz clic en dos vértices consecutivos de derecha a izquierda.

6.º Repite el 4.° paso para completar la teselación con triángulos. 3.º Refleja el cuadrado hacia la derecha o izquierda utilizando como eje sus lados. Refleja Objeto en Recta y haz Presiona el botón clic en el centro del cuadrado y en uno de sus lados. 4.º Rota el triángulo en torno a uno de sus vértices, en un ángulo de 60°.

7.º Dibuja cuadrados sobre los triángulos Polígono Regular, haciendo clic con el botón en dos vértices de izquierda a derecha. Si quieres que los cuadrados estén bajo los triángulos, haz clic en dos puntos de derecha a izquierda.

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Repite este paso hasta completar con triángulos toda la parte superior de los cuadrados dibujados. 8.º Cuando hayas cubierto toda la superficie con figuras, puedes ocultar los puntos de los vértices con el botón Mostrar / Ocultar Objeto y cambiar el color de las figuras. 259


INTEGRO lo que aprendí En un colegio realizan una exposición solo con obras geométricas. A partir de la siguiente imagen, responde las preguntas de la 1 a la 3.

C

O

47º J

P M

N L 40 cm

K 72º

A

F

B 30 cm

H

1 ¿Cuánto miden los ángulos interiores del ∆ABC? Justifica tu respuesta.

Respuesta:

2 Si el perímetro del ∆FHJ es 120 cm, ¿qué tipo de triángulo es?, ¿por qué?

Respuesta:

4 En el bastidor en blanco crea una obra que tenga, por lo menos, un triángulo cuyos lados midan 2 cm, 3 cm y 4 cm, y otro triángulo que tenga un ángulo que mida 90°.

260

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3 Clasifica los triángulos NPO y LMK según la medida de sus ángulos.


Evaluación intermedia

6

5 Andrés planifica realizar un cuadro con triángulos cuyas medidas se muestran a continuación. ¿Se pueden construir todos los triángulos?, ¿por qué? d = 30 cm f = 40 cm g = 80 cm

h = 70 cm i = 70 cm j = 60 cm

Respuesta:

6 Fernanda decidió realizar una obra solo con cuadriláteros. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de los cuadriláteros que pintó? Escribe sus medidas en la imagen.

90º

119º

90º 90º 50º

67º

70º 50º 130º

7 Determina cuál de estas obras no es un teselado, cuál es un teselado regular y cuál uno

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semirregular.

Reflexiono ¿Qué pasos seguiste para responder la pregunta que más te costó? Si vuelves a realizar las actividades de las lecciones 1 y 2, ¿qué harías de otra forma?, ¿por qué? 261


Le

Cálculo mental

cción

3

Área y volumen Unidades de medida de superficies

1 Mide cada superficie y responde. Para medir la superficie puedes utilizar distintas unidades de medida. En este caso, el cuadrado verde representará 1 m2 y el morado 1 dm2.

1 m2

1 dm2

Mosaico B

Mosaico A

¿Qué unidad de medida seleccionarás para medir la superficie de cada mosaico: m2 o dm2?, ¿por qué?

Mide el mosaico B con las dos unidades de medida: ¿qué relación hay entre las medidas? m2 dm2

262

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Mosaico B


6 La unidad de medida básica es el metro cuadrado (m2), que por convención es el área de un cuadrado cuyos lados miden 1 m. Otras unidades de medida son: Kilómetro cuadrado

Hectómetro cuadrado

Decámetro cuadrado

Metro cuadrado

Decímetro cuadrado

Centímetro cuadrado

Milímetro cuadrado

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

Siguiendo el orden que se muestra en la tabla, la relación que se establece es que la unidad que está inmediatamente a la derecha es 100 veces más pequeña, mientras que la que está a la izquierda es 100 veces más grande. Para realizar la equivalencia entre una unidad y otra, considera lo siguiente: km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

00

00

00

1

00

00

00

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 m2 = 0,01 dam2 = 0,0001 hm2 = 0,000001 km2 Si una superficie mide 255 dam2 y quieres expresar esa medida en cm2, completa la tabla de la siguiente forma: km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

2

55

00

00

00

mm2

La equivalencia será: 255 dam2 = 255 000 000 cm2. ¿Por qué crees que en la tabla cada celda se completa con dos ceros? ¿De qué depende la unidad de medida que escojas para medir una superficie? Aplicar

2 Usando la tabla de conversión, establece las equivalencias. a. 8 km2 =

dam2

d. 5 000 cm2 =

b. 70 hm2 =

m2

e. 800 000 m2 =

c. 23 000 000 cm2 =

dam2

f. 335 hm2 =

dm2 hm2 dam2

Problema

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3 Dibuja un rectángulo de área 4 000 mm². Considera que cada cuadrado de la cuadrícula tiene una superficie de 4 cm².

4 cm2

Compara tu dibujo con un compañero o compañera: ¿tienen la misma respuesta? 263


Cálculo mental

Lección

3 Área del cubo 1 Lee la situación y responde.

¿Cuánto papel, como mínimo, se necesita para construir estas cajas cúbicas? Considera que una no tendrá tapa.

15 cm

15 cm

Pinta del color de cada caja el molde que permite construirla.

¿Cuánto mide la superficie de cada uno de los cuadrados que forman las cajas?

Recuerda que La superficie se mide calculando el área de la figura. En el caso del cuadrado, multiplica las medidas del largo y del ancho.

Sabiendo cuánto mide la superficie de un cuadrado, explica el proceso para calcular cuánto mide la superficie de cada caja.

Para calcular el área de un cubo, puedes calcular el área de una de sus caras y, luego, el resultado multiplicarlo por 6, es decir, por el número de caras cuadradas y congruentes del cubo. Por ejemplo: 5 cm

4.º 1.º

2.º lo abrimos

3.º

obtenemos

2

3

1

5 cm

4

5

El área del cuadrado se calcula: 5 · 5 = 25 Entonces, el área de cada cara es 25 cm2.

25 · 6 = 150 Entonces, el área total del cubo es 150 cm2.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian la forma utilizada por ti para calcular la superficie de las cajas y la forma explicada anteriormente? 264

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6


6 Calcular

2 Calcula el área de cada cubo considerando las medidas dadas.

1 cm

1 cm

Área total

cm2

Área total

cm2

1 cm

Área total

cm2

¿Qué estrategia aplicaste para calcular el área total de cada cubo? Aplicar

3 Calcula el área total (At) de los cubos que representan cada red geométrica. 8 dm

12 cm

At =

At =

At =

10 m Comparar

4 ¿Qué cubo crees que tiene mayor superficie? Expresa el área de cada uno considerando una

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unidad de medida común.

Respuesta: 265


Lección

3 Comparar

5 ¿Cuáles son los cubos cuya área total (At) es mayor que 100 m2? Márcalos con una ✗. 4,5 m 6m 4m 2,5 m

At =

m2

At =

m2

At =

m2

At =

m2

Aplicar

6 En cada caso se conoce el área total de cada cubo. Calcula la medida de cada arista. Área total 150 m2

¿? m

¿? m

Medida de arista

m

Medida de arista

¿Qué pasos seguiste para calcular la medida de la arista de cada cubo?

266

m

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Área total 54 m2


6 Problemas 7 ¿Qué expresión algebraica representa el área total del cubo de la imagen?

a

Respuesta:

8 Si el área total de una caja cúbica es 294 cm2, ¿cuánto mide la arista de la caja?

Respuesta:

9 José quiere envolver una caja cúbica con un papel de regalo. Si el

área de una de las caras de la caja es 81 m2, ¿cuánto papel de regalo necesitará como mínimo para envolverla?

Respuesta:

10 Tamara pintó todas las caras de un cubo. Si el cubo está formado por

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8 cubos pequeños cuyas aristas miden 3,5 cm, ¿cuánta superficie, medida en cm2, pintó?

Respuesta:

267


Cálculo mental

Lección

3 Área del paralelepípedo 1 Escribe las medidas de la pecera en la red geométrica.

A1 = A6 =

A2 =

30 cm

30 cm A5 = 30 cm

50 cm

A3 =

A4 =

Calcula el área de cada una de las caras del paralelepípedo. Escribe su medida en la red geométrica. Considerando las áreas calculadas anteriormente, ¿qué harías para calcular el área total de la pecera? Explica y calcula el área total.

Para calcular el área de un paralelepípedo, puedes sumar el área de cada una de sus caras, tanto basales como laterales. Por ejemplo: Área total:

2 cm

12 cm2

6 cm 4 cm2 2 cm

2 cm

12 cm2

2 cm 4 cm2 2 cm

12 + 12 + 12 + 12 + 4 + 4 = 56 También se podría calcular multiplicando y sumando:

12 cm2

12 · 4 + 4 · 2 = 56

12 cm2

At = 56 cm2

¿Cómo se relaciona la forma de calcular el área de un cubo con la de un paralelepípedo? 268

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6 cm


6 Aplicar

2 Escribe las medidas de cada paralelepípedo en su red y calcula el área total (At).

8 cm 3 cm 5 cm

5 cm

At =

4 cm

10 cm

cm2

At =

cm2

Aplicar

3 Calcula el área total (At) de cada paralelepípedo y exprésala en la unidad de medida indicada.

5 cm

10 dm 5m

4 cm 5 dm

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10 cm

At =

cm2

At =

4 dm

dm2

6m

10 m

At =

m2

269


Lección

3 Aplicar

4 Sigue los pasos y analiza cada situación. O PAS

1 Calcula el área de cada paralelepípedo.

4m

9m 2m

2m

1m

At =

m2

At =

4m

m2

O PAS

2 Duplica la medida de todas las aristas de los paralelepípedos y vuelve a calcular el área total.

m

m m

m

m

m

At =

m2

At =

m2

O PAS

3 Responde. a. ¿Qué sucede con el área de cada paralelepípedo al duplicar la medidas de todas sus aristas? Explica.

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b. ¿Qué crees que sucedería si solo duplicas la medida de una de sus aristas? Escribe tu respuesta y luego compruébala calculando el área del nuevo paralelepípedo.

270


6 Problemas 5 Daniela dibujó una red geométrica para estimar cuánto género necesita

para forrar su joyero. ¿Cuántos centímetros cuadrados de tela necesita? 30 cm

20 cm 40 cm

Respuesta:

6 La imagen muestra un caballete forrado por completo con cuero. Solo una de sus caras es amarilla.

80 cm 1m

2m

a. ¿Cuántos centímetros cuadrados de cuero amarillo se necesitarán como mínimo?

Respuesta:

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b. ¿Cuántos centímetros cuadrados de cuero azul se necesitarán como mínimo?

Respuesta: 271


Cálculo mental

Lección

3 Concepto de volumen 1 Observa las imágenes y responde. Tenemos que medir el volumen de 5 objetos. Recuerda: el volumen es el espacio que ocupan los objetos.

Si los cuerpos y el están formados por cubos de igual volumen, ¿cuál de los dos tiene mayor volumen?, ¿por qué?

Para medir y comparar el volumen de las esferas, los niños utilizaron probetas con agua. ¿Cuál es la esfera que tiene menor volumen?, ¿por qué?

El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo y se puede medir de distintas formas. Por ejemplo: Midiendo el agua que se desplaza en una probeta.

22 cm3

El volumen del objeto es 5 cubos.

26 cm3

El volumen del objeto es la diferencia entre el nivel inicial de agua y el nivel obtenido luego de sumergir el objeto: 4 cm3.

¿De qué objetos medirías su volumen utilizando cada estrategia planteada? 272

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Contando la cantidad de cubitos que forman el objeto.


6 Aplicar

2 Escribe cuánto mide cada figura y con tus

construye otra que

tenga igual volumen. Dibuja tu construcción.

Mide

Mide ¿Por qué crees que distintas figuras pueden tener el mismo volumen?

Problemas 3 Compara el volumen (u3) de los objetos. a. Marca con una ✗ el que tenga mayor volumen y con un ✓ el que tenga menor volumen. Considera que cada probeta tiene la misma cantidad de líquido.

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A

B

C

b. ¿Cuántas u3 mayor es el volumen del objeto A que el del objeto B? Respuesta:

273


Cálculo mental

Lección

3 Unidades de medida de volumen 1 Analiza la situación y responde. El cubo verde tiene aristas que miden 10 cm, es decir, 1 dm.

Podemos medir el volumen de la caja con esos cubos.

El cubo amarillo tiene aristas que miden 1 cm.

¿Cuál es el volumen de la caja si lo miden con los cubos verdes? Si midieras el volumen de la caja con cubos amarillos, ¿cuántos necesitarías?, ¿por qué?

La unidad de medida básica es el metro cúbico (m3), que por convención es el volumen de un cubo cuyas aristas miden 1 m. Siguiendo el orden que se muestra en la tabla, la relación que se establece entre las unidades de medida es que la unidad que está inmediatamente a la derecha es 1 000 veces más pequeña, mientras que la que está a la izquierda es 1 000 veces más grande. Kilómetro cúbico

Hectómetro cúbico

Decámetro cúbico

Metro cúbico

Decímetro cúbico

Centímetro cúbico

Milímetro cúbico

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

000

000

000

1

000

000

000

1 m3 = 0,001 dam3 = 0,000001 hm3 = 0,000000001 km3 Si una superficie mide 2 569 m3 y quieres expresar esa medida en km3, completa la tabla. hm3

dam3

m3

000

000

2

569

dm3

cm3

mm3

La equivalencia será: 2 569 m3 = 0,000002569 km3. Si comparas los números, notarás que 2 569 es mayor que 0,000002569. ¿Por qué, entonces, al plantear las equivalencias se utilizó el signo igual (=)? 274

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km3


6 Aplicar

2 Establece equivalencias entre las unidades de medida. Puedes usar la siguiente tabla. km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

000

000

000

000

000

000

000

a. 3 km3 =

b. 32 400 hm3 =

km3

c. 23 000 000 cm3 =

dm3

d. 790 000 m3 =

dam³

e. 49 000 000 m3 =

hm3

f. 523 hm3 =

dm3

Problemas 3 Joaquín formó una torre usando bloques cúbicos de volumen 1 000 cm³. a. ¿Cuál es el volumen total de la figura formada?

Respuesta: b. ¿Cuál es el volumen total expresado en m3?

Respuesta:

4 Estefanía formó un cubo usando cubitos. Si el volumen de la figura era 810 cm³, al quitar

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cuatro cubitos, ¿cuál es ahora el volumen de la figura?

Respuesta: 275


Cálculo mental

Lección

3 Volumen del cubo 1 Observa la imagen y responde. Puedes usar tus

.

4 cm 4 cm

4 cm

1 cm 1 cm 1 cm

¿Cuántos cubitos verdes se necesitan para formar un cubo amarillo?, ¿por qué? Comprueba tu respuesta analizando las imágenes y completado las oraciones. Al repetir 4 veces está pieza, se forma el cubo. Por tanto, se necesitan cubitos.

Si multiplicas el alto por el ancho y por el largo, descubrirás que se necesitan cubitos.

¿Obtuviste en las tres ocasiones el mismo resultado?, ¿por qué?

Para calcular el volumen de un cubo, se puede multiplicar el largo por el ancho y por el alto del cubo. Por ejemplo: Alto 2 cm

V = largo · ancho · alto V = 2 · 2 · 2 = 8 cm3 ¿Qué similitudes tienen las estrategias planteadas en las imágenes?

276

Largo 2 cm

Ancho 2 cm

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El volumen de un cubo cuyas aristas miden 2 cm sería:


6 Aplicar

2 Calcula el volumen total del cubo más grande al completarlo con los cubos más pequeños.

1m

1 mm

V=

mm3

V=

m3

1 mm 1 cm

V=

cm3

V=

mm3

Aplicar

3 Calcula el volumen de cada cubo.

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3 cm

V=

6 cm

cm3 V =

10 cm

cm3 V =

cm3

277


Lección

3 Analizar

4 Determina la medida de las aristas de cada cubo. a.

V = 1 331 cm3

b.

V = 1 000 cm3

c.

V = 729 cm3

a

y

x

¿Qué pasos seguiste para descubrir la medida de las aristas? Analizar

5 Conociendo el área de una cara de los cubos, calcula su volumen y la medida de sus aristas.

Aristas V=

Área de una cara 49 cm2

cm Aristas cm3 V =

Área de una cara 144 cm2

cm Aristas cm3 V =

cm cm3

¿Cómo obtuviste la medida de las aristas y del volumen a partir de la información dada?

278

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Área de una cara 100 cm2


6 Analizar

6 Completa la tabla y responde. Duplica la medida de las aristas Cubo

Medida aristas

Cubo 1

1 cm

Cubo 2

2 cm

Cubo 3

4 cm

Volumen (cm3)

Cubo

Medida aristas

1 cm3

Cubo 1

1 cm

8 cm3

Cubo 2

·2 ·2 ·2

Cubo 4

Triplica la medida de las aristas

Cubo 3 Cubo 4

Volumen (cm3) ·3

1 cm3

·3 ·3

a. ¿Qué pasa con el volumen del cubo cada vez que se duplica la medida de su arista?

b. ¿Es correcto afirmar que al triplicar la medida de las aristas de un cubo, el volumen aumenta 27 veces su medida?, ¿por qué?

Problemas 7 La figura de la imagen está compuesta por dos cubos. ¿Cuál es el volumen total de la figura?

2m

100 cm

Respuesta:

8 ¿Cuántas cajas cúbicas rojas se necesitan para igualar el volumen de la caja cúbica grande?,

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¿por qué?

2 cm 8 dm

Respuesta:

279


Cálculo mental

Lección

3 Volumen del paralelepípedo 1 Construye los paralelepípedos solicitados. Puedes usar tus

. Con 16 cubitos construye 4 paralelepípedos distintos.

Registra la medida de las aristas de los paralelepípedos. Considera que cada cubito tiene arista 1 u. Paralelepípedo

Arista a

Arista b

Arista c

Volumen

P1

2u

2u

4u

16 u3

P2 P3 P4 P5

¿Qué relación hay entre la medida de las aristas y el volumen? Explica.

El volumen de un paralelepípedo se puede calcular multiplicando las medidas de su largo, su ancho y su alto. Por ejemplo, el volumen de la caja es: V = largo · ancho · alto V = 40 · 30 · 15 = 18 000 cm

15 cm

40 cm

3

¿Descubriste la relación entre aristas y volumen? La forma de calcular el volumen de un paralelepípedo y de un cubo, ¿están relacionadas?

280

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30 cm


6 Aplicar

2 Calcula el volumen de los siguientes paralelepípedos. Considera que cada cubo mide 1 cm3.

V=

cm3 V =

cm3 V =

cm3

Aplicar

3 Calcula el volumen de los siguientes paralelepípedos.

10 cm

6 cm

8 cm 3 cm

2 cm

V=

6 cm

3 cm

cm3 V =

2 cm

10 cm

cm3 V =

cm3

Aplicar

4 Descubre la medida de cada arista incógnita, conociendo el volumen de los paralelepípedos. V = 24 cm3

V = 36 cm3

V = 80 cm3

8 cm

x

4 cm 2 cm

y

3 cm

5 cm

z

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2 cm

281


Lección

3 Aplicar

5 Calcula el volumen de los siguientes objetos.

5 cm

10 cm

15 cm

3 dm

15 cm

7 cm

V=

V= 25 cm

25 cm

1 dm

2m

100 cm

V=

1m

V=

Analizar

6 Calcula el volumen de los siguientes paralelepípedos y responde.

0,5 m 8m 2m 300 cm 4m

5m

200 cm

100 cm

1m

b. ¿Cuántos paralelepípedos verdes se necesitan para tener la mitad del volumen del paralelepípedo azul?

282

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a. ¿Cuántos paralelepípedos rojos se necesitan para igualar el volumen del paralelepípedo azul?, ¿por qué?


6 Problemas 7 ¿Cuál es el volumen de la figura si se puede descomponer en paralelepípedos?

9m 10 m

5m 6m

13 m

Respuesta:

8 Isabel quiere guardar gomas de borrar en una caja, cuyas dimensiones se muestran en la imagen.

2 cm 30 cm

30 cm

a. ¿Es suficiente saber que cada goma tiene un volumen de 6 cm3 cada una para saber cuántas gomas se pueden guardar?, ¿por qué?

b. ¿Cuántas gomas como las que se muestran en la imagen igualan el volumen de la caja? ¿Cómo las apilarías para imitar las dimensiones de la caja?

1 cm 5 cm PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

2 cm

Respuesta:

283


INTEGRO lo que aprendí En la fábrica de cajas tienen distintos modelos de cajas cúbicas.

1.º

2.º

10 cm 20 cm

3.º

4.º

30 cm

40 cm

5.º

50 cm

6.º

60 cm

1 ¿Cuál es el volumen de la caja más grande?

Respuesta:

2 ¿Cuál es la diferencia entre el volumen de la primera caja y el de la cuarta caja?

Respuesta:

3 ¿Cuánto más cartón se necesita para armar la quinta caja que para armar la tercera? Expresa tu respuesta en m2.

Respuesta:

4 ¿Es correcto afirmar que la cantidad de cartón necesario para armar las tres

Respuesta:

284

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primeras cajas es la misma que se necesita para armar la última caja?


Evaluación intermedia

6

5 ¿Qué caja tiene mayor volumen: la de zapatos o la de pizza? 6 cm

9 cm 23 cm

32 cm

32 cm

29 cm

Respuesta:

6 ¿Cuánto mide la superficie de las cajas que pasan por la cinta? 19 cm

13 cm 25 cm

10 cm 26 cm

Respuesta:

7 Si la arista de cada cubo mide 40 cm, ¿cuál es el volumen total de las cajas transportadas,

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expresado en m3?

Respuesta:

Reflexiono Si vuelves a leer tus respuestas, ¿qué te parecen?, ¿qué correcciones harías? ¿Qué temas crees que necesitas reforzar o profundizar en su estudio?

285


Resuelvo problemas Estrategia: Descartar opciones

Comprendo

1 En una bodega en la que se almacenan cajas, el encargado de ordenarlas señala

que solo podrán guardar una caja más que cumpla las siguientes condiciones: sus aristas pueden medir como máximo 100 cm y su volumen debe ser igual o menor que 250 000 cm3. ¿Cuál de las siguientes cajas se podría guardar en la bodega?

20 cm

A

120 cm

50 cm 70 cm

C 60 cm

D

B 100 cm

40 cm

70 cm 70 cm

80 cm

55 cm

70 cm

Plan sugerido:

1.º En los datos del problema, busca características o información que te permita analizar las opciones y descartarlas.

En este caso se mencionan dos características: Sus aristas pueden medir como máximo 100 cm. Su volumen debe ser igual o menor que 250 000 cm3.

2.º Decide en qué característica o información te basarás para analizar las opciones y descartarlas.

En este caso, la primera característica permite descartar de forma más rápida, pues no implica realizar cálculos.

3.º Descarta la información. Puedes tachar o realizar alguna otra marca.

Tacha todas las cajas que tengan aristas cuya medida sea mayor que 100 cm.

4.º Analiza las opciones que quedan, considerando las otras caracteristicas o información que extrajiste del problema.

Calcula el volumen de las cajas que no descartaste y selecciona la que cumpla con tener volumen igual o menor que 250 000 cm3.

5.º Redacta la respuesta.

286

Respuesta:

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Descartar opciones permite reducir la cantidad de opciones que pueden ser la respuesta correcta. Para eso, sigue estos pasos:


6 Resuelvo 2 La mamá de Alonso está terminando de armar un mosaico y le falta pegar algunas piezas. Si solo le quedan 3 piezas cortadas, ¿cuál es la que debe escoger para que calce perfectamente en la figura 1 (F1)? 2 cm

57º

F1

3 cm

50º

65º

2 cm 65º

50º

65º

Respuesta:

3 Iván necesita completar el espacio disponible en un camión. ¿Qué cajas debería

escoger para llenar el espacio con la menor cantidad posible? Considera que el volumen total debe ser 48 m3 y que el volumen de cada caja que ya está almacenada es 1 m3. 4m

A Espacio en camión

1m

C

D

4m

2m

B 2m

E

3m

1m

Respuesta:

¿Tiene sentido? 4 Se sabe que el volumen de cada uno de estos cubos es 8 m3. ¿Esta información es

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suficiente para saber cuántos m2 de pintura se necesitan para pintar todo el frente de la imagen?, ¿por qué?

Respuesta: 287


Matemáticamente Multiplicar por 1,5, por 2,5 y por 3,5 24 · 1,5

24 ·

Descompón aditivamente el número decimal en parte entera y en parte decimal.

·

1

0,5 Mitad de 24

24 Aplica la propiedad distributiva y multiplica.

Recuerda que multiplicar por 2 es calcular el doble.

12

36

15 · 2,5 Descompón aditivamente el número decimal en parte entera y en parte decimal.

+

Recuerda que multiplicar por 0,5 es calcular la mitad del número.

15 ·

·

2

0,5

Doble de 15

Mitad de 15 30

+

7,5

37,5

21 · 3,5

21 ·

·

3 Triple de 21

Mitad de 21 63

+

73,5

288

10,5

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Recuerda que multiplicar por 3 es calcular el triple.

0,5


Estrategias de cálculo mental

6

1 Resuelve completando los esquemas. 65 · 1,5

·

2,5 · 93

·

·

32 · 3,5

·

+

·

+

·

+

2 Utiliza la estrategia anterior y calcula mentalmente. 52 · 1,5

64 · 2,5

90 · 1,5

23 · 3,5

31 · 1,5

46 · 2,5

41 · 2,5

82 · 2,5

50 · 2,5

50 · 1,5

3 Calcula mentalmente y descubre el mensaje oculto. 16 · 2,5 = E

18 · 1,5 = G

8 · 2,5 = O

12 · 1,5 = M

22 · 1,5 = L

16 · 1,5 = C

4 · 3,5 = A

14 · 3,5 = I

8 · 3,5 = U

14 · 2,5 = R

28

35

24

49

40

33

14

27

20

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18

289


Organizo mis ideas Ángulos en triángulos y cuadriláteros Determina el valor de la incógnita en cada polígono. 100º x

100º

90º

y

30º

x=

y

z

z=

y=

Clasificación de triángulos Clasifica los triángulos según la medida de sus lados y sus ángulos 60º 5 cm

3 cm 70º 70º

5 cm 60º

60º

4 cm

5 cm

110º

30º 6 cm

3 cm 40º

7 cm

7 cm 40º

7 cm

45º 5 cm

45º 90º

5 cm

Construcción de triángulos Construye un triángulo cuyos lados midan: a = 3 cm; b = 4 cm y c = 3 cm.

Desigualdad triangular

290

a = 6 cm; b = 10 cm y c = 8 cm

d = 5 cm; e = 4 cm y f = 12 cm

Respuesta:

Respuesta:

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Determina qué triángulos se pueden construir y explica por qué.


6 Transformaciones isométricas Refleja la figura en el eje h, rótala alrededor del punto J en 90° en sentido horario y trasládala 9 cuadros hacia la derecha y 3 hacia abajo.

B

A F

C D

J

G

h

E

Teselados Observa y clasifica cada teselación en regular o semirregular.

Unidades de medida de superficies y volumen Establece las equivalencias. 2 km2 =

m2

17 cm3 =

94 m2 =

mm2

0,002 dam3 =

hm3 m3

Área y volumen del cubo y el paralelepípedo Determina el área y el volumen del cubo y del paralelepípedo.

10 cm 9 cm

4 cm

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4 cm

291


COMPRUEBO lo que aprendí 1 ¿Cuál de los siguientes tríos de ángulos

podrían ser los ángulos interiores de un triángulo?

5 ¿Cuál es la medida del ángulo x en el cuadrilátero de la imagen? 115º

A. 5°, 40° y 45°.

50º

x

B. 50°, 60° y 70°. C. 35°, 35° y 60°.

115º

D. 65°, 125° y 170°.

A. 120°

2 Si el perímetro de un triángulo equilátero es 120 cm, ¿cuánto miden sus lados? A. 100 cm, 10 cm y 10 cm. B. 60 cm, 30 cm y 30 cm.

B. 80° C. 65° D. 50°

6 ¿Qué teselado es regular?

C. 50 cm, 40 cm y 30 cm.

A.

D. 40 cm, 40 cm y 40 cm.

3 ¿Cómo se clasifica el siguiente triángulo según la medida de sus ángulos? 2 cm

130º

B.

2 cm

25º

A. Obtusángulo. B. Acutángulo.

C.

C. Rectángulo. D. Isósceles.

D.

4 ¿Cuál de las alternativas no muestra las posibles medidas de un triángulo? B. 9 cm, 10 cm y 13 cm. C. 6 cm, 7 cm y 15 cm. D. 2 cm, 2 cm y 2 cm.

7 ¿Cuánto mide la superficie de un cubo de arista 3 cm? A. 9 cm2 B. 27 cm2 C. 36 cm2 D. 54 cm2

292

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A. 12 cm, 10 cm y 8 cm.


Evaluación final

8 Si cada

tiene un volumen de 1 cm3, ¿cuál es el volumen del cuerpo?

6

11 ¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo cuya altura es 5 cm y su área basal es 18 cm2?

A. 23 cm3 B. 90 cm3 C. 126 cm3 D. 1 620 cm3

A. 12 cm3 B. 22 cm3

12 ¿Qué polígonos permiten construir una

C. 30 cm3 D. 32 cm

teselación semirregular?

3

9 ¿Cuál es el área total del siguiente

A. 3.6.3.6

paralelepípedo?

30 cm

B. 20 cm

3.8.12

25 cm

A. 15 000 cm2 B. 4 000 cm2 C. 3 700 cm2 D. 3 400 cm2

C. 4.5.12

10 ¿Cuál es el volumen al completar el cubo de la imagen con cubitos?

D. 4.7.7

13 El volumen de un cuerpo es 3 245 m3. ¿A

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cuántos cm3 equivale?

A. 27

A. 3 245 000 000 cm3

B. 36

B. 32 450 000 cm3

C. 60 D. 64

C. 3 245 000 cm3 D. 324 500 cm3

293


COMPRUEBO lo que aprendí 14 Describe las transformaciones isométricas aplicadas. A

F

A' A

B

C D E

E' D' C' F'

B'

B

A'

A

F'

F

F B' C D

B

C' D' E

E'

C D E E'

F' A'

D' C' B'

15 Francisco quiere construir un cubo. Si el área total de un cubo es 384 cm2, ¿cuál es la medida de una de sus aristas? Dibújalo.

Respuesta:

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16 Construye un triángulo de vértices ABC. Dos de sus lados deben medir 7 cm y el otro 5 cm.

294


Evaluación final

6

17 Martina quiere cubrir con papel de regalo una caja que tiene forma de paralelepípedo y le falta la tapa superior. ¿Cuántos cm2 de papel necesita como mínimo?

25 cm

15 cm

10 cm

Respuesta:

18 Pamela tiene un mantel triangular. Si lo rodea con 360 cm de cinta por los bordes y sabe que uno de sus lados mide 120 cm, ¿cuáles podrían ser las medidas de los lados del mantel?, ¿por qué?

Respuesta:

19 ¿Qué transformaciones isométricas podrían relacionar las figuras de los teselados?

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Justifica tu respuesta.

Reflexiono ¿Qué temas son los que más te gustaron de la unidad?, ¿por qué? ¿Qué fortaleza reconoces en tu trabajo?, ¿qué mejorarías?

295


Unidad

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7

Datos y probabilidades

296


Miro y resuelvo El teclado más común es el QWERTY, llamado así por las primeras letras de su fila superior izquierda. Fue inventado en 1868 por Christopher Sholes, quien se percató de que las teclas, al estar ordenadas alfabéticamente y ser presionadas seguidamente, chocaban y se trababan al momento de estamparse en la máquina de escribir. Por esta razón, realizó un estudio de la cantidad de veces que se utilizaba cada letra, y cuyo resultado fue ordenar las letras que más se utilizaban en el costado izquierdo del teclado.

O PAS

1

Comprendo el problema ¿De qué se trata el estudio realizado para crear el teclado QWERTY?

O PAS

2

Creo el plan ¿Cómo determinarás cuántas veces se utiliza cada letra?, ¿qué gráfico utilizarás?

O PAS

3

Ejecuto el plan Resuelve y comprueba la investigación.

O PAS

4

Compruebo el resultado ¿Tus compañeros o compañeras llegaron al mismo resultado? Si analizas otro texto con mayor cantidad de palabras, ¿sucede lo mismo?

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Demuestra el estudio de Sholes. Para ello, realiza una representación gráfica que muestre la cantidad de veces que se utiliza cada letra en cada una de las palabras que aparecen en estas páginas.

¿Qué voy a aprender? A construir e interpretar gráficos de barras dobles, diagramas de puntos, gráficos circulares y diagramas de tallo y hojas. Ello, además de identificar el espacio muestral de experimentos aleatorios y determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso, mostrando curiosidad y perseverancia. Lección 1: Datos. Lección 2: Probabilidades. 297


ACTIVO lo que sé Gráficos de barras

1 Martina realizó una encuesta entre sus amigos para determinar dónde celebrar su cumpleaños. Cada uno votó una vez y los resultados fueron los siguientes: a. Construye un gráfico de barras que muestre las preferencias.

Actividad

Cantidad de preferencias

Pista de patinaje en hielo

5

Cine

8

Parque de diversiones

7

Fiesta bailable en la casa

12

b. ¿Dónde debería realizar la celebración del cumpleaños?, ¿por qué?

Gráficos de puntos

2 El siguiente gráfico muestra la cantidad de veces que un grupo de niños y niñas dice ir al cine en un año.

a. ¿Cuántos niños y niñas dicen no ir al cine?

Visitas al cine en un año

c. ¿Cuál crees que es la tendencia de la mayoría de los niños y niñas?

298

0

1

2

3

N.° de visitas

4 o más

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b. ¿Cuál es la opción que menos dijeron los niños y niñas?


Evaluación inicial

7

Diagrama de tallo y hojas

3 Analiza el diagrama y marca con un ✓ las conclusiones correctas y con una ✗ las incorrectas. Edad encuestados 3

1

2

3

3

5

5

6

7

8

6

3

9

7

0

4

7

8

4

9

3|1 31

No se entrevistaron a personas entre 40 y 49 años. La mayoría de las personas encuestadas tienen más de 40 años. Dos personas encuestadas tienen 33 años. No se encuestaron a personas de 70 o más años. La encuesta se enfocó principalmente en la opinión de las personas de entre 3 y 7 años. Azar

4 Escribe cuáles son los posibles resultados de los siguientes experimentos. a. Lanzar una moneda. b. Lanzar un dado numerado del 1 al 6. c. Sacar una bolita de color de una urna que contiene igual cantidad de bolitas rojas, azules y amarillas.

5 Completa las situaciones con las palabras: seguro, posible o imposible. a. Si hoy es sábado, es

que mañana sea lunes.

b. Si lanzo un dado, es

que salga un dos.

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c. Si salto sobre un charco de agua, es d. Si no estudio para una prueba, es

que me moje. que saque un 6,0.

Reflexiono ¿Qué pregunta fue más difícil de responder?, ¿por qué? ¿Qué temas recordabas más?, ¿por qué?

299


Le

Cálculo mental

cción

1

Datos

Construir e interpretar gráficos de barras dobles 1 Analiza los gráficos y responde.

Grupo A 80 60 40 20 0

Dulces

Carnes

Verduras

Lácteos

Cantidad de encuestados

Cantidad de encuestados

Se realizó una encuesta a dos grupos de personas, a los que se les preguntó: ¿qué tipo de alimento consume más? Los siguientes gráficos muestran sus respuestas. Grupo B 100 80 60 40 20 0

Dulces

Carnes

Verduras

Lácteos

Tipo de alimento

Tipo de alimento

Marca con un ✓ las conclusiones correctas. En ambos grupos la misma cantidad de personas respondió comer más verduras. Consumir más lácteos fue escogido por más personas en el grupo A que en el grupo B. En ambos grupos la mayoría de los encuestados dice comer más carne que otros tipos de comida.

100 80 60 40 20 0

Dulces

Carnes

Verduras

Lácteos

Comprueba si las conclusiones que seleccionaste son correctas, analizando el gráfico que construiste. 300

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Cantidad de encuestados

Organiza la información de la encuesta en un solo gráfico. Considera que en el gráfico se deben observar las respuestas de ambos grupos.


7 Un gráfico de barras dobles es una representación gráfica de las frecuencias de dos variables cualitativas o cuantitativas discretas. Permite establecer relaciones entre las variables al facilitar la comparación. La orientación de las barras puede ser horizontal o vertical. Por ejemplo:

Cantidad de matriculadas

Matrícula de mujeres

Escala Variable 2 Categorías

7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0

Título del gráfico

Año 2010

Series

Año 2014

Ing. en Minas

Variable 1

Ing. Civil

Construcción Civil

Barras del mismo ancho

Medicina

Carreras universitarias Fuente: Servicio de Información de Educación superior del MINEDUC (SIES)

Para interpretar el gráfico, puedes: • Comparar las barras de una categoría, en este caso, comparar las barras de la categoría Medicina y concluir que el año 2014 aumentaron en cerca de 1 000 las matrículas, con respecto a lo sucedido el año 2010. ¿En qué otras situaciones escogerías un gráfico de barras dobles para representar información? Identificar

2 ¿Qué gráfico de barras dobles representa la información de la tabla? Márcalo.

Taller

Deporte

Cocina

Baile

Niños

14

7

5

Niñas

12

8

10

Inscritos en talleres

Niños Niñas

Deporte

Cocina

Taller

Baile

Cantidad de inscritos

Cantidad de inscritos

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Inscritos en talleres 16 14 12 10 8 6 4 2 0

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Niños Niñas

Deporte

Cocina

Baile

Taller

301


Lección

1 Interpretar

3 Lee la información. Luego, analiza el gráfico y responde. El siguiente gráfico muestra los resultados de un estudio sobre el uso de bicicletas en Santiago. Viajes en bicicleta por zona 180

Cantidad de viajes (miles)

160 140 120

Año 2001

100

Año 2012

80 60 40 20 0

Zona norte

Zona oriente

Zona poniente

Zona centro

Zona sur

Zona suroriente

Zonas de Santiago Fuente: Sectra

a. ¿Cuántos viajes en bicicleta se realizaron, aproximadamente, en la zona centro cada año? b. ¿Cuál es la zona en la que se realizaron menos viajes durante 2012? c. ¿Cuál es la zona que registró mayor aumento en la cantidad de viajes entre el 2001 y el 2012?, ¿cómo obtienes esta información?

e. ¿Qué otra pregunta se puede responder a partir del gráfico? Escribe 1 y respóndela.

302

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d. ¿Por qué crees que aumentó tanto el uso de bicicleta en Santiago?


7 Interpretar

4 Representa en un gráfico de barras dobles las temperaturas mínimas (Mín.) y máximas (Máx.) de una ciudad, registradas en una semana. Mín.

Máx.

Lunes

12

21

Martes

11

23

Miércoles

10

21

Jueves

9

20

Viernes

15

23

a. Al analizar el gráfico, ¿qué puedes concluir sobre las temperaturas mínimas y máximas?

Problema 5 En un periódico se publicó la siguiente noticia. Sin embargo, la

información escrita y el gráfico que la complementa no coinciden. ¿Qué errores se han cometido? Explica. ¿Cuánta música chilena escuchas?

Según una encuesta realizada a un grupo de personas.

60 50 Mucha/ bastante

40 30

Poca/ Nada

20 10 0

26 a 30

31 a 40

41 a 55

56 y más

Rango de edad

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Un estudio reveló que las personas entre 41 a 55 años son las que más escuchan música chilena. Entre los que tienen entre 31 a 40 años hay más personas que dicen escuchar poca o nada.

70

Cantidad encuestados

La mayoría de los chilenos dice escuchar mucha o bastante música chilena.

303


Cálculo mental

Lección

1 Interpretar gráficos circulares 1 Observa el siguiente gráfico que muestra el nivel de actividad física de los chilenos. Esto, según Adimark.

Nivel de actividad física

10% 20%

Actividad sedentaria Actividad moderada

70%

Actividad intensa

Si la encuesta la respondieron 400 personas, ¿cuántas se identificaron con cada nivel de actividad física? Completa la tabla. Nivel de actividad

Cantidad de encuestados

Intensa Moderada Sedentaria Total

400

En la misma encuesta, se les preguntó cómo consideraban su estado físico. En cada nivel los resultados fueron los siguientes: Sedentarios

Moderados

Intensos

Muy bueno

41

68

74

Ni bueno ni malo

42

32

26

Muy malo

17

0

0

304

Muy malo

Muy malo

Muy malo

Ni bueno ni malo

Ni bueno ni malo

Ni bueno ni malo

Muy bueno

Muy bueno

Muy bueno

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¿Qué gráfico representa los resultados de cada grupo? Escribe su título.


7 Un gráfico circular representa las frecuencias porcentuales de una variable cuantitativa o cualitativa. Se usan para mostrar datos que son parte de un todo. Por ejemplo, en la siguiente tabla se muestra la cantidad de asistentes a clases, agrupándolos en los ausentes y presentes. Título

Asistentes a clases

Sector

Presentes Ausentes

Cantidad de alumnos

Porcentaje

21

70 %

9

30%

Presentes Ausentes

70%

30 %

Series

Porcentaje ¿En qué situaciones has visto utilizar este tipo de gráfico?, ¿qué información entregaban? Interpretar

2 Considerando la información representada en el gráfico, responde las preguntas.

En un curso le preguntaron a un grupo de 50 estudiantes dónde pasarán las vacaciones de invierno.

10% Campo

25%

Playa

a. ¿Qué título le pondrías al gráfico? b. ¿Cuál es el sitio que visitan más los estudiantes?

35% 20% 10%

Extranjero Esquiar No viajará

c. ¿Cuál es el sitio menos visitado? d. ¿Cuántos irán a la playa?

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e. ¿Cuántos estudiantes no viajarán?

305


1

Recuerda que Representar

3 Considerando la información dada. a. Pinta y completa cada gráfico. b. Escribe dos preguntas que se puedan responder a partir del gráfico y respóndelas.

Tipo de película favorita

306

Porcentaje

Ciencia ficción

50 %

Romántica

20 %

Terror

5%

Infantil

25 %

¿

?

¿

?

Idioma que te gustaría hablar

En porcentajes, el total se representa por el 100%; por tanto, en este caso cada uno de los sectores circulares representa el 5%.

Porcentaje

Inglés

75 %

Portugués

15 %

Francés

10 %

¿

?

¿

?

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Lección


7 Problemas A partir del gráfico, realiza las actividades 4 y 5. En un estudio se muestra el consumo de energía en una región. Consumo de energía 4%

10% 22%

Hidroeléctrica Carbón Gas natural

36%

Petróleo

26%

Nuclear Otro

4 Responde. a. ¿Qué porcentaje del consumo corresponde a energía hidroeléctrica? b. ¿Qué tipo de energía corresponde al 22 % del total? c. ¿Qué tipo de energía es la más utilizada? d. ¿Cuál es el segundo tipo de energía más utilizada?

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5 ¿Cuáles de las siguientes conclusiones son falsas? Justifica tu elección. a.

El gas natural es más utilizado que el carbón.

b.

El petróleo y el carbón representan menos del 50 % del consumo.

c.

La energía que más se utiliza es el gas natural.

d.

Un décimo del consumo de energía corresponde a otras energías.

307


Cálculo mental

Lección

1 Construir gráficos circulares 1 Mide los ángulos que forman los sectores circulares en el gráfico. Origen de las principales importaciones enero - septiembre 2015 América

Asia

Oceanía y África

Europa

17% 1% 47%

35%

Adaptado de Servicio Nacional de Aduanas

¿Cuánto suman los ángulos que forman los sectores? Plantea las razones que representan el ángulo que forma el sector circular y el porcentaje de importaciones desde Asia. ¿Son iguales? Ángulo sector

Porcentaje importaciones desde Asia

Ángulo completo

Porcentaje total de importaciones

¿Todos los porcentajes son proporcionales al ángulo del sector circular que representa a cada uno?, ¿por qué?

308

Puedes comprobar la proporcionalidad planteando razones y chequeando que estas sean iguales.

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Recuerda que


7 Para construir gráficos circulares debes considerar que el círculo forma un ángulo completo cuya medida en el sistema sexagesimal es 360°. Para determinar la medida de cada sector circular, debes determinar a cuántos grados corresponde el porcentaje asociado, de modo que puedas dibujar el ángulo proporcionalmente. Por ejemplo, en el caso anterior, las importaciones desde Europa representan el 17 %, por tanto, se establece las siguiente igualdad: x , donde x representa la medida en grados del porcentaje. 17 = _____ ____ 100 360º Al resolver la igualdad, x corresponde a 61,2°. ¿Estableciste bien las igualdades entre las razones en el gráfico?, ¿qué pasos seguiste para hacerlo? Aplicar

2 Utilizando transportador, construye un gráfico circular. Representa los resultados de haber preguntado a un grupo de adultos mayores: ¿qué actividad realiza principalmente en su celular? Actividad

Porcentaje de elecciones 15 %

Revisar correos

5%

Actualizar las redes sociales

30 %

Escuchar música

50 %

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Tomar fotografías y grabar videos

309


Cálculo mental

Lección

1 Construir e interpretar diagramas de puntos 1 Analiza los resultados del 6.° A, obtenidos en una prueba de Matemática y en una prueba de Lenguaje. Prueba de Matemática 5,6 – 5,9 – 6,7 – 6,2 – 6,4 – 6,7 – 7,0 5,6 – 5,9 – 6,2 – 6,4 – 4,9 – 3,8 – 5,9 5,9 – 5,6 – 5,9 – 5,3 – 4,5 – 4,8

Prueba de Lenguaje 7,0 – 5,4 – 7,0 – 3,8 – 4,2 – 6,3 – 6,7 4,4 – 5,9 – 5,9 – 6,3 – 5,4 – 6,1 – 4,8 6,8 – 5,5 – 5,7 – 6,7 – 4,6 – 4,6 – 3,5

Completa los diagramas de puntos con los datos anteriores. Prueba de Matemática

3,0-3,9

4,0-4,9

5,0-5,9

6,0-6,9

7,0

3,0-3,9

4,0-4,9

5,0-5,9

6,0-6,9

7,0

¿Qué significa que, en el gráfico de las calificaciones de la prueba de Matemática, la calificación 7,0 tenga un punto? ¿En qué prueba hubo mejores calificaciones?, ¿por qué?

El diagrama de puntos permite graficar los datos de una sola variable. Para representar las frecuencias asociadas a cada valor de la variable, se escriben estos en el eje horizontal y sobre cada uno se dibujan tantos puntos como sea necesario para representar la frecuencia. Por ejemplo: Puntaje obtenido Título Puntajes obtenidos Cantidad de estudiantes

24

1

25

9

26

8

27

10

28

9

Frecuencia

Variable 24

25

26

27 28 Puntaje

¿Qué pasos seguiste para completar el gráfico de puntos de las calificaciones de Lenguaje? 310

Valor de la variable

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Puntaje


7 Interpretar

2 Observa los gráficos y responde. En la ciudad Fantasía realizan año a año un estudio sobre la nutrición de los niños y niñas de menos de 5 años que viven ahí. Los gráficos muestran los resultados obtenidos con respecto a la cantidad de niños y niñas que presentan desnutrición crónica y sobrepeso. Desnutrición crónica

1990

2000

2010

2015

Años de evaluación

Sobrepeso

1990

2000

2010

2015

Años de evaluación

a. ¿Cuáles son las variables que se muestran en cada gráfico?

b. ¿Cuántos niños y niñas con desnutrición crónica se registraron el 2015?, ¿cuántos con sobrepeso? c. ¿Entre qué años se produjo una menor variación en la cantidad de niños y niñas con desnutrición crónica?, ¿y de los que padecen sobrepeso?

d. ¿Qué podrías decir con respecto a la evolución de la desnutrición crónica y del sobrepeso desde 1990 al 2015 en la ciudad Fantasía?

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e. ¿Por qué crees que ha evolucionado de esa forma la desnutrición crónica y el sobrepeso en la ciudad Fantasía?

311


Lección

1 Representar

3 Representa la información en dos gráficos de puntos distintos y

compara las temperaturas máximas registradas en los primeros 16 días del mes de agosto en los años 2014 y 2015, en Concepción. Agosto 2014 Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes 01

04

05

06

07

Sábado 02 16°Mín 13°

14°Mín 6°

13°Mín 4°

08

09

13°Mín 9°

14°Mín 5°

16°Mín 4°

15°Mín 4°

13°Mín 7°

12°Mín 2°

15°Mín 2°

18°Mín 2°

14°Mín 7°

14°Mín 2°

13°Mín 8°

Viernes

Sábado

12

13

14

03

13°Mín 12°

14°Mín 5°

11

Domingo

15

16

10

Agosto 2015 Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

01 03

04

05

06

07

Domingo 02

14°Mín 10°

14°Mín 8°

08

09

14°Mín 6°

14°Mín 7°

14°Mín 11°

14°Mín 7°

13°Mín 4°

16°Mín 9°

12°Mín 8°

12°Mín 3°

13°Mín 1°

13°Mín 0°

13°Mín 2°

14°Mín 2°

13°Mín 6°

15°Mín 4°

10

11

12

13

14

15

16

Fuente: www.accuweather.com

a. Realiza los gráficos.

c. ¿Qué pregunta sobre la temperatura de agosto en Concepción no se podría responder a partir de los gráficos y su comparación?, ¿por qué?

312

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b. ¿Qué puedes concluir sobre las temperaturas máximas del mes de agosto al comparar los años 2014 y 2015?


7 Problemas 4 En un colegio investigan sobre los hábitos de consumo de agua de sus estudiantes. Los gráficos muestran los resultados de dos grupos. Grupo A: cantidad de vasos de agua que consumen en un día caluroso.

0

1-2

3-4

5-6

7-8

Cantidad de vasos de agua

9 o más

Grupo B: cantidad de vasos de agua que consumen en un día caluroso.

0

1-2

3-4

5-6

7-8

Cantidad de vasos de agua

9 o más

a. En cada grupo, ¿cuántas personas en total dicen no beber agua en el día? b. Si en días calurosos se recomienda tomar más de 8 vasos al día como mínimo, ¿cuál de los dos grupos tiene más personas que beben la cantidad recomendada? Justifica tu respuesta.

c. ¿Cuál de los dos grupos crees que bebe mayor cantidad de vasos de agua al día?, ¿por qué?

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d. Si faltaba registrar los siguientes datos en cada grupo, ¿cambian en algo las respuestas dadas a las preguntas anteriores?, ¿qué cambia? Cantidad de vasos de agua que beben

Grupo A

Grupo B

0

0

1

1-2

3

5

3-4

2

4

5-6

0

3

7-8

4

0

9 o más

1

3

313


Cálculo mental

Lección

1 Construir e interpretar diagramas de tallo y hojas 1 Lee la situación y responde. En una carretera se mide la velocidad de los automóviles que pasan por ella. Los resultados fueron registrados de dos formas distintas: Registro A 55 – 57 – 58 – 60 – 61 – 68 – 105 – 71 – 72 – 85 – 72 – 86 – 74 – 90 – 63 – 79 – 77 – 85 – 88 – 91 – 94 – 97 – 100 – 102 – 60 – 96

Registro B 5 6 7 8 9 10

5 0 1 5 0 0

7 0 2 5 1 2

8 1 2 6 4 5

3 8 4 7 9 8 6 7

Si la velocidad máxima en una carretera con una vía en cada sentido es 100 km/h, ¿cuántos automóviles estarían infringiendo la ley? ¿Cuál de los dos registros utilizaste para responder?

Si la velocidad máxima en una carretera con más de una vía en cada sentido es 120 km/h, ¿cuántos automóviles estarían infringiendo la ley?, ¿por qué?

Un diagrama de tallo y hojas representa los datos cuantitativos de una misma variable, por ejemplo, la edad, la estatura, los puntajes, entre otros, pertenecientes a uno o dos grupos diferentes. Por ejemplo, se representa la edad de un grupo de personas: 0 1 2 3 Tallo

1 2 4 0

1 3 4 2

2 3 3 4 5 5 5 5 5 8 9 6

En esta rama los datos representados son: 12, 13, 13, 13, 14 y 15

Hojas

Para interpretar el diagrama de tallo y hojas puedes observar el largo de las ramas y decir, por ejemplo, que en el caso anterior hay más personas que tienen entre 20 y 29 años. También puedes ver qué dato se repite más veces y determinar la moda: 25 es la edad que más se repite. ¿Qué dificultades enfrentaste al interpretar el diagrama de tallo y hojas? 314

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El tallo representa las decenas, y las hojas las unidades.


7 Representar

2 Completa el siguiente diagrama de tallo y hojas con los datos que

representan la cantidad de minutos que dura la batería de distintos tablets.

504 – 505 – 511 – 511 – 513 – 517 – 532 – 582 – 583 – 584 – 537 – 587 – 598 – 599 – 537 – 538 – 538 – 538 – 539 – 541 – 500 – 501 – 502 – 502 – 549 – 563 – 567 – 568 – 569 – 570 – 570 – 572 – 581 – 581 – 582

50 0 51 1 1 3 7 52 53 7 7 1 9

57 58 1 1 2 59 8 9

8 9

7

Interpretar

3 Responde a partir del diagrama de tallo y hojas construido en la actividad anterior.

a. ¿Cuántos minutos dura la batería que menos tiempo permanece cargada? b. ¿Cuántos minutos dura la batería que tiene el mejor rendimiento? c. ¿Cuántos minutos de duración son los que más se repiten? d. ¿Cuántos datos fueron registrados? e. ¿Cuántas baterías duraron 550 minutos? f. ¿Cuántas baterías duraron más de 560 minutos?

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g. En una fábrica de baterías, estas se clasifican como de alto rendimiento si su duración supera los 580 minutos. ¿Cuántas baterías de las registradas en el diagrama no serían clasificadas en esa categoría?

¿Cuál crees que es la utilidad de representar la información en diagramas de tallo y hojas? 315


Lección

1 Interpretar

4 El siguiente diagrama de tallo y hojas muestra la estatura de un grupo de niñas y niños entre los 9 y 12 años. Compara y responde.

Niñas 2|12 122

9 6

6

6 3

5 1

9

9

8

Niñas 8 2 12 13 3 3 14 1 0 15 7 6 16

Niños 2 3 3 5 2 5 0 1 2 3

4 5 7 7 3

6 7 8 3

9

Niños 12|2 122

8

a. ¿De cuántas niñas se registró la estatura?, ¿y de cuántos niños? b. La persona más alta, ¿cuánto mide?, ¿es niña o niño? c. ¿Cuál es la estatura que más se repite en cada grupo? d. Si calculas la estatura promedio de cada grupo, ¿qué puedes concluir al respecto?

Aplicar

5 Registra la distancia que logran saltar 20 de tus compañeros o

compañeras. Pídeles que salten de frente y de espalda. En ambos casos, mide cuán lejos llegan utilizando una huincha de metro. Salto de frente

Salto de espalda

b. ¿Qué puedes concluir de los resultados obtenidos?

316

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a. Construye un diagrama de tallo y hojas que permita comparar las distancias logradas al saltar de frente o de espalda.


7 Problemas 6 A partir del siguiente diagrama de tallo y hojas, responde. Marcas en segundos de los 200 metros lisos en Juegos Olímpicos desde 1948 a 2012

Mujeres

Hombres

18 19 30 32 32 75 79 80 83 20 00 01 09 19 23 30 50 70 75 88 84 81 81 74 34 21 10 50 40 37 19 12 05 22 70 55 00 23 34|21 21,34 s 40 00 24

Para comprender Una marca es el resultado técnico que obtiene un deportista en una competencia deportiva

19|30 19,30 s

a. ¿De cuántos juegos se tiene registro? b. ¿Cuál es el tiempo récord registrado?, ¿lo marcó una mujer o un hombre?

c. ¿En qué rango de tiempo se registran las marcas de los hombres? d. ¿En qué rango de tiempo se registran las marcas de las mujeres? e. ¿Cuáles son los 5 mejores tiempos en cada categoría?

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f. ¿Qué pasos seguirías para saber quiénes registran mejor tiempo: hombres o mujeres?

g. ¿Cuál debería ser la marca mínima que tendría que registrar un hombre o una mujer para batir el récord en su categoría?, ¿por qué?

317


INTEGRO lo que aprendí En el año 2014, un estudio realizado por la UC, a través de Tren Digital, investigó el uso de las tecnologías en escolares chilenos. Observa los resultados.

1 En la primera parte del estudio se realizó la

encuesta a 1 540 estudiantes. El siguiente gráfico muestra las respuestas a la pregunta ¿Tienes celular?

¿Tienes celular? 7%

19% Sí, con Internet

a. ¿Cuántos estudiantes no tienen celular?

No tengo

74%

Sí, sin Internet

b. ¿Hay más estudiantes con celulares con acceso a Internet o sin Internet?

2 Construye un gráfico circular que represente la siguiente información. ¿Cuándo utilizas el celular en el colegio? Posibles respuestas

Porcentaje elecciones

Cuando me dejan.

37 %

Siempre, aunque sea sin permiso.

35 %

Lo dejo en silencio, no lo uso.

22 %

No lo llevo.

6%

3 El siguiente gráfico muestra las respuestas a la pregunta: ¿Cuánto tiempo utilizas videojuegos?

a. Los que pasan mayor tiempo jugando, ¿utilizan un computador o una consola?

Videojuegos

350

b. La cantidad de tiempo que se juega en la consola y en el computador, ¿es similar?, ¿por qué?

300 250 200 150 100 50 0

318

Consola Computador

400

0-1h

1-2h

2-3h

Horas

3-6h

6 h o más

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Cantidad encuestados

450


Evaluación intermedia

7

4 En el colegio de Ignacia también realizan un estudio sobre el uso de las tecnologías. Observa los resultados obtenidos al preguntar: ¿Cuántos amigos tienes en las redes sociales?

Grupo 2 Grupo 1

0-50

51-200 201-400 401-800 Más de 800

Cantidad de amigos

0-50

51-200 201-400 401-800 Más de 800

Cantidad de amigos

a. ¿Cuántos amigos tiene la mayoría en el grupo 1?, ¿y en el grupo 2?

b. El grupo 1 y el grupo 2, ¿tienen respuestas similares?, ¿por qué?

5 Además, en el colegio de Ignacia les preguntaron cuántas veces al día revisaban las redes sociales. Los resultados fueron los siguientes: Hombres 15, 14, 20, 26, 40, 36, 32, 27, 29, 31, 33, 49, 21, 16, 17, 32, 10, 47, 29.

Mujeres 15, 19, 47, 12, 19, 25, 45, 36, 48, 12, 29, 36, 20, 48, 30, 12, 11, 26, 27.

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a. Construye un diagrama de tallo y hojas con los datos.

Reflexiono Marca con un ✓ la actividad que te resultó más fácil de resolver y con una ✗ la más difícil. ¿Qué estrategia aplicaste en cada una de estas actividades?, ¿se podrían mejorar?

319


Le

Cálculo mental

cción

2

Probabilidades Experimentos aleatorios y determinísticos

1 Observa las siguientes imágenes. Luego, responde. Situación A

Situación B

Situación C

Situación D

¿Cuál crees que será el desenlace en cada una de las situaciones?, ¿por qué? Situación A Situación B Situación C Situación D

¿En qué situaciones no se tiene certeza de lo que pasará?, ¿por qué?

320

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¿En qué situación estás seguro del desenlace?, ¿por qué?


7 Un experimento aleatorio corresponde a cualquier procedimiento o situación que produce un resultado que no es predecible de antemano, es decir, depende del azar. Por ejemplo: Al lanzar un dado, no se tiene certeza de si el resultado será 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

En un experimento determinístico, al realizarlo varias veces considerando las mismas condiciones, el resultado es totalmente predecible, es decir, se tiene certeza de lo que pasará. Por ejemplo: Al lanzar al suelo un huevo crudo desde un metro de altura, el huevo se quebrará.

¿Cómo clasificarías las situaciones iniciales? ¿Qué otros experimentos aleatorios y determinísticos conoces? Clasificar

2 Clasifica los experimentos en aleatorios (A) o determinísticos (D). a.

Registrar la cantidad de camionetas rojas que pasan por una esquina en un día.

b.

Registrar la temperatura a la que hierve el agua a nivel del mar.

c.

Pedir a un compañero que diga un número del 1 al 10.

Problema 3 Margarita le pide a cada uno de sus amigos que piense un número y que luego realice las siguientes operaciones:

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1.º Súmale 3. 2.º Duplica el resultado. 3.º Réstale 4.

4.º Divídelo por la mitad. 5.º Réstale el número que pensaste.

Si ella siempre adivina el resultado, que es 1, ¿qué condiciones deberían cambiar para que el experimento determinístico se transforme en un experimento aleatorio?

321


Cálculo mental

Lección

2 Describir el espacio muestral 1 Dos amigos juegan al cachipún.

¿Cuáles son todas las combinaciones que pueden resultar?

¿Qué estrategia utilizaste para determinar todas las posibles combinaciones? Descríbela.

Completa el siguiente diagrama de árbol y encuentra todas las combinaciones posibles. Jugador 1

Jugador 2

Si comparas las combinaciones planteadas anteriormente y las obtenidas en el diagrama de árbol, ¿te falta alguna o las nombraste todas?

322

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Esta rama la interpretas de la siguiente forma: si el jugador 1 hace papel, el jugador 2 puede hacer papel, piedra o tijera. En esta rama obtienes 3 posibles combinaciones.


7 En un experimento aleatorio, si bien no tienes certeza de cuál será su resultado, puedes identificar los posibles resultados. El espacio muestral (E) es el conjunto de todos los posibles resultados. Por ejemplo: Al lanzar una vez un dado numerado del 1 al 6, no tienes certeza de cuál será su resultado, no obstante puedes conocer todos los posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. La cardinalidad del espacio muestral en este caso es 6 y representa el número total de resultados posibles. Esto lo puedes expresar de la siguiente manera: Experimento Lanzar una vez un dado numerado del 1 al 6. Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Total de casos posibles 6 Para identificar todos los casos posibles, en experimentos donde se combinan opciones, puedes completar tablas de doble entrada o dibujar diagramas de árbol. Por ejemplo: Tabla de doble entrada Lanzar un dado y una moneda Cara (C)

Sello (S)

1

1, C

1, S

2

2, C

2, S

3

3, C

3, S

4

4, C

4, S

5

5, C

5, S

6

6, C

6, S

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E = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, S), (2, S), (3, S), (4, S), (5, S), (6, S)} Total de casos posibles 12

Diagrama de árbol Lanzar tres monedas C C

S

S C S

C S C S C S C S

CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS

E = {(CCC), (CCS), (CSC), (CSS), (SCC), (SCS), (SSC), (SSS)} Total de casos posibles 8

¿En qué casos utilizarías una tabla de doble entrada para determinar el espacio muestral?, ¿y en qué casos utilizarías un diagrama de árbol? ¿Cómo explicarías lo que es el espacio muestral de un experimento aleatorio?

323


Lección

2 Representar

2 Representa el espacio muestral, en un diagrama de árbol o en una

tabla de doble entrada, para cada uno de los siguientes experimentos.

b. Lanzar una vez un

y una vez un

y una vez un

c. Hacer girar una vez una

.

.

y lanzar una

.

¿En qué te fijaste al momento de decidir si realizar un diagrama de árbol o una tabla de doble entrada?

324

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a. Lanzar dos veces una


7 Analizar

3 Considera que se cuenta con los siguientes elementos para realizar un experimento aleatorio.

Analiza el diagrama de árbol y responde. a. ¿Qué experimento se representa en el diagrama?

Naranja

Cara

1 7

Sello

1 7

b. ¿Cuál es el espacio muestral?

Amarillo

Cara

1 7

Sello

1 7

Verde

c. ¿Cuántos son los casos totales posibles?

Cara

1 7

Sello

1 7

Problemas 4 Completa la tabla de doble entrada. Luego, responde. Experimento: Lanzar dos dados y sumar las cantidades que muestran + 1 2 3 4 5 6

1 2

2

5

3

4

5

6

6 7

10

12

a. ¿Cuántos son los casos posibles en el espacio muestral del experimento?

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b. Si un juego consiste en adivinar cuál será la suma de los números que salgan en los dados, ¿qué número elegirías para ganar?, ¿por qué?

Juega a lanzar 2 dados y sumar sus caras. El número que escogiste en la pregunta b. ¿es el que más se repite? 325


Cálculo mental

Lección

2 Repetición de experimentos aleatorios 1 Francisca y Renato lanzan un dado y anotan el número que obtienen. Esto lo repiten en varias oportunidades, obteniendo los siguientes resultados. Número que muestra la cara de un dado Cantidad de lanzamientos

1

2

3

4

5

6

50 veces

4

9

11

10

7

9

100 veces

11

14

21

18

18

18

200 veces

31

33

40

31

34

31

500 veces

85

86

92

73

94

70

¿Crees que hay algún número que tiene más posibilidades de salir?, ¿por qué?

Calcula el cociente entre el número de lanzamientos y el número de casos que representan el espacio muestral. Número de Número total lanzamientos : de casos posibles = 50 : 6 =

:

100 :

=

=

:

=

¿Qué pasa con la cantidad de veces que sale un número a medida que aumenta la cantidad de veces que se repite el experimento?

326

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¿Hay alguna relación con la cantidad de veces que salió cada número?


7 Calcula, hasta la centésima, el cociente entre la cantidad de veces que salió cada cara y 500, que representa las veces que Francisca y Renato lanzaron el dado. 1 85 : 500 = 0,17

4

2 86 : 500 =

3 92 : 500 =

5

6

¿Qué puedes concluir de los resultados? ¿Los resultados se repetirán al calcular el cociente entre la cantidad de veces que sale el número y 200 lanzamientos? Compruébalo. 1

2

3

4

5

6

Mientras más veces se repita un experimento aleatorio, el cociente entre la cantidad de veces que ocurre el suceso y la cantidad de veces que se realiza el experimento tiende a un valor fijo. Este valor se llama probabilidad de ocurrencia del suceso y oscila entre 0 y 1.

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Por ejemplo: En el caso anterior, el cociente debería tender a 0,17 en cada uno de los casos, lo que se puede interpretar como que la probabilidad de que salga cada número es cercana a 0,17 o al 17%. Los cocientes entre la cantidad de veces que se realizó el experimento y las veces que salió cada número, ¿eran cercanos a 0,17? 327


Lección

2 Aplicar

2 Realiza el siguiente experimento aleatorio y las actividades solicitadas.

Recuerda que Debes colocar la flecha en el centro y hacerla girar.

Experimento Hacer girar la flecha de la ruleta y registrar el color hacia el que apunta.

a. Registra la cantidad de veces que salió cada color en la tabla. Cantidad de giros

Amarillo

Naranja

Celeste

Verde

Morado

30 50 100

b. Con calculadora, calcula el cociente entre el número de giros y la cardinalidad del espacio muestral. Cociente 30 giros 50 giros 100 giros

La cantidad de veces que se obtuvo cada color, ¿tiene relación con los cocientes obtenidos? c. Calcula el cociente entre la cantidad de veces que salió cada color y la cantidad de giros. Amarillo

Naranja

Celeste

Verde

Morado

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d. Si la ruleta girara 1 000 veces, ¿cuántas veces estimas que debería salir cada color?

328


7 Problemas 3 Compara los resultados obtenidos al repetir cada experimento 500 veces.

Experimento 2 Lanzar un

Experimento 1 Lanzar un dado de ocho caras

500 lanzamientos

500 lanzamientos

1 51

1 92

.

dado de seis caras

.

Lanzar un dado de ocho caras 2 3 4 5 6 7 62 62 70 66 66 58 Lanzar un dado de seis caras 2 3 4 5 94 82 84 73

8 65

6 75

a. Calcula el cociente entre la cantidad de veces que salió un 5 y la cantidad de repeticiones de cada experimento. Cociente en experimento 1

Cociente en experimento 2

b. ¿En qué experimento crees que obtener un 5 es más probable?, ¿por qué?

c. Si cada experimento se repite 1 800 veces, ¿cuántas veces se espera que salga 5 en cada uno?

Respuesta:

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d. Si se lanzara un dado con 20 caras, numeradas del 1 al 20, ¿cuál crees que es la probabilidad de obtener 5?, ¿por qué?

Respuesta: 329


Cálculo mental

Lección

2 Probabilidad de ocurrencia de un suceso 1 Observa y responde. Como en total hay 9 bolitas y 3 de ellas son verdes, sin hacer el experimento, creo que la probabilidad de que salga verde se calcula “3 : 9 ≈ 0,33”.

Yo realicé el experimento 500 veces y luego calculé la frecuencia relativa.

Rojo Verde Azul 500 158 185 157 extracciones Frecuencia 0,316 0,37 0,314 relativa

Para comprender La frecuencia relativa es el cociente entre el número de veces que aparece un determinado valor y el número total de datos. En este caso, la frecuencia relativa del color rojo se calculó dividiendo 158 en las 500 extracciones de la bolita. 158 : 500 = 0,316

¿Hay alguna relación entre los resultados obtenidos por los dos niños? Considerando el siguiente experimento, calcula la probabilidad de ocurrencia de obtener una bolita de color amarillo, aplicando las estrategias de los dos niños. Experimento Sacar de la tómbola una bolita.

1 Caso

Probabilidad sin hacer el experimento

Espacio muestral {

}

Suceso Que salga una bolita amarilla. Cociente entre número de casos favorables y número de casos totales

330

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Número de casos favorables


7 Probabilidad estimada realizando experimento

2 Caso

500 extracciones

Rojo

Amarillo

Celeste

Morado

123

116

135

126

Frecuencia relativa

¿La probabilidad de ocurrencia obtenida en ambos casos es similar? Justifica tu respuesta.

La probabilidad mide la posibilidad de que un suceso ocurra. Para calcularla sin tener que hacer el experimento en reiteradas ocasiones, tienes que obtener el cociente entre el número de resultados favorables y el número de resultados posibles. Número de resultados favorables al suceso ______________________________________ Número de resultados posibles Por ejemplo: Al lanzar un dado de 6 caras y determinar la probabilidad de que salga un número par. Experimento Lanzar un dado de 6 caras. Espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso Que salga un número par. Casos favorables {2, 4, 6} 3 = 0,5 Número de resultados favorables al suceso __ ______________________________________ 6 Número de resultados posibles

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Probabilidad de que salga un número par.

¿Cómo le enseñarías a un compañero o compañera a calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso? ¿Qué entendiste de cada una de las estrategias presentadas? 331


Lección

2 Aplicar

2 Calcula la probabilidad de que salga verde en cada ruleta.

¿Qué pasos seguiste para determinar la probabilidad de que salga verde? Aplicar

3 En cada uno de los casos, completa con la información solicitada. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al lanzar un dado de seis caras numerado del 1 al 6? Experimento Espacio muestral Suceso Casos favorables Probabilidad de ocurrencia del suceso

b. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras sean iguales? Experimento Espacio muestral Suceso Casos favorables

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Probabilidad de ocurrencia del suceso

332


7 Analizar

4 En cada tómbola hay bolitas azules, verdes y rojas. Asocia cada una de estas con la probabilidad de obtener una bolita roja en la tómbola. a. 0,625

b. 0,2

c. 0,4

Problemas 5 En una rifa se han vendido 100 números, que van del 1 al 100. a. Si Oscar ha comprado 2 números de rifa y Tamara 10, ¿quién tiene mayor probabilidad de ganar?, ¿por qué?

Respuesta:

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b. ¿Cuántos números debería comprar Marcela para que su probabilidad de ganar sea 0,25?

Respuesta: 333


INTEGRO lo que aprendí 1 Clasifica las siguientes situaciones como experimentos determinísticos o experimentos aleatorios.

2 Escribe cuál es el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios. a. Sacar una bola de cada bolsa, sin mirar.

Espacio muestral:

b. Lanzar una moneda y un dado de 12 caras numeradas del 1 al 12.

Espacio muestral:

3 De la siguiente caja con bolas de colores, se sacaba una bola sin mirar y se

Respuesta: 334

100 extracciones

Rojo 73

Verde 27

100 extracciones

Rojo 46

Verde 54

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registraba su color. ¿Cuál crees que es la tabla que muestra los posibles resultados obtenidos al repetir el experimento 100 veces?, ¿por qué?


Evaluación intermedia

7

4 En una feria de diversiones hay un juego que Cada jugador escoge el número de un caballo. Luego, se lanzan dos dados de 6 caras y se suman los puntos que muestran sus caras. El caballo que tiene dicho número avanza un lugar.

META

consiste en lo siguiente:

Gana la persona cuyo caballo llegue primero. a. ¿Cuál es el espacio muestral de los resultados que mostrarán los dados en un lanzamiento?

Respuesta: b. ¿Cuál es la probabilidad de que se mueva el caballo número 8 en un lanzamiento?

Respuesta: c. ¿Qué caballo no tiene posibilidades de ganar?, ¿por qué?

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Respuesta:

Reflexiono ¿Cuál fue la actividad que te costó menos realizar?, ¿por qué? ¿Qué temas de la unidad te resultaron más difíciles de aplicar al realizar las actividades?

335


Resuelvo problemas Comprendo

Estrategia: Realizar un diagrama

1 A una reunión asisten dos mujeres y tres

hombres. Si se saludan dándose un apretón de manos, ¿cuántos saludos de manos se realizarán si no se repite ninguna persona? ¿Cuál es la probabilidad de que el saludo sea entre dos hombres?

Plan sugerido: Para responder este problema, realizaremos un diagrama de todas las posibles combinaciones de apretones de mano. 1.º Dibuja un punto que represente a cada uno de los asistentes a la reunión. En este caso, el punto rojo representará a las mujeres y el punto azul a los hombres. 2.º Representa todos los saludos de mano que puede hacer una persona, dibujando una línea que una cada punto. 3.º Representa el resto de los saludos de mano. No pueden quedar puntos sin unir, ni repetirse uniones entre puntos. 4.º Cuenta la cantidad de saludos dados por cada persona. Para esto, cuenta las líneas dibujadas en el diagrama. 5.º Para determinar cuál es la probabilidad de que el saludo sea entre dos hombres, cuenta todas las líneas que unan dos puntos azules.

Cantidad total de saludos de manos

Cantidad de saludos entre hombres

Respuesta:

336

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6.º Calcula la probabilidad.


7 Resuelvo 2 En la clase de Educación Física hay 5 niñas y 3 niños. Si harán una actividad en pa-

rejas, ¿cuántas parejas distintas se pueden formar? ¿Cuál es la probabilidad de que las parejas formadas sean mixtas?

Respuesta:

3 En un restaurante se ofrece el siguiente menú. Cada persona debe escoger una

entrada, un plato de fondo y un postre. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona esta no haya comido ravioles ni torta helada? Menú Entrada Palta reina Camarones Plato de fondo Ravioles Canelones Postre Volcán de chocolate Torta helada

Respuesta:

Creo 4 A partir de la imagen, crea un problema relacionado con algún tema que aprendis-

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te en la unidad.

337


Matemáticamente

Laberinto loco Durante este año hemos aprendido seis estrategias de cálculo mental. Estas son las siguientes:

1

Sumar en vez de restar.

2

3

Páginas 36 - 37

Sumar y restar descomponiendo números decimales.

El doble y la mitad de un número decimal descomponiendo.

Páginas 130 - 131

4

Páginas 92 - 93

6

Calcular el 50%, 25% y 75% usando medios.

5

Páginas 180 - 181

Calcular porcentajes: 20%, 40% y 80% a partir del 10%.

Multiplicar por 1,5 por 2,5 y por 3,5.

Páginas 222 - 223

Páginas 288 - 289

Instrucciones 1.º Sigue el camino del laberinto respetando el sentido de las flechas, partiendo desde el número 40, que se encuentra en la entrada, hasta llegar a 1,8 en la meta. 2.º Cada flecha muestra una operación matemática. Sigue la que apunte al resultado correcto. 3.º Colorea los círculos para ir marcando el camino que vas siguiendo. 338

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Te invitamos a encontrar el camino correcto de este Laberinto loco desafiando a tu compañero para ver quién descubre más rápido el camino que llega a la meta.


Estrategias de cálculo mental

7

a ad r t En

40 · 3,50

140

· 2,50

· 1,25 50%

– 80

100

50

– 34,4

3,08

:2

37,5 – 31,34

50%

90

10%

18,75 + 42,85

6,16

80%

25%

75% 25%

· 2,25

61,6 10%

– 20,8

·2

30,8

– 20,8

9

25%

– 1,28

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1,8 Meta

339


Organizo mis ideas Gráfico de barras dobles Uso estacionamientos Estacionamiento A

Estacionamiento B

Cantidad de autos

300

¿En qué estacionamiento hubo más automóviles durante la semana?

250 200

¿En qué días hubo más automóviles estacionados?

150 100 50 0

Lunes Martes Miércoles Jueves

Viernes

Días de la semana

Gráfico circular Elecciones de mejor compañero o compañera 13%

¿Cuál es el porcentaje que falta en el gráfico?

Amalia Consuelo Amanda

25%

Tomás

9%

Benjamín

6%

¿Quién debería ser escogido como mejor compañero o compañera?

Andrés

20%

Si votaron 40 personas, ¿cuántos votos obtuvo Amanda?

Gráfico de puntos Tiempo de estudio

¿Hay más personas que estudian menos de 3 horas o que estudian 3 o más horas? 0

340

1

2

Horas

3

4 o más

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¿Cuántas personas estudian 4 horas?


7 Diagrama de tallo y hojas Construye un diagrama de tallo y hojas que represente el tiempo, en segundos, que tarda un grupo de niñas y niños en dar una vuelta alrededor de una cancha. Niñas 64, 80, 110, 115, 90, 96, 84, 106, 112, 86, 84, 75, 77, 82, 109. Niños 78, 67, 83, 96, 102, 104, 75, 89, 91, 65, 77, 102, 106, 84, 88, 84, 67, 67. Escribe dos conclusiones.

Espacio muestral

Probabilidad de ocurrencia de un suceso

Determina el espacio muestral.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1?

Se saca una ficha de una bolsa que contiene fichas numeradas del 1 al 15.

1 2 1

2 2

1

Repetición de experimentos aleatorios Se tienen cuatro cartas inglesas, una de cada pinta. Se revuelven, se saca una carta al azar y se devuelve. La siguiente tabla muestra los resultados de repetir el experimento 700 veces.

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700 extracciones

Corazón 158

Trébol 163

Diamante 172

Pica 207

¿Cuál es la frecuencia relativa de sacar un corazón?

341


COMPRUEBO lo que aprendí

6 1 5 1 4 2 0

Grupo A

1|7 7,1

6 Grupo B 7 2 8 3 7 9 9 9 1 2 7|2 7,2

1 ¿Cuál es el mejor puntaje obtenido? A. 9,2

C. 94

B. 9,4

D. 912

2 ¿Cuántos puntajes se registraron en cada grupo? A. 7

C. 14

B. 12

D. 18

3 ¿Qué grupo obtuvo más puntajes menores que 180?

A partir del siguiente gráfico responde las preguntas de la 5 a la 7. Cantidad de hermanos Número de estudiantes

A partir del diagrama de tallo y hojas, que representa los puntajes obtenidos por dos grupos en una competencias, responde las preguntas de la 1 a la 3.

16 14 12 10 8

5.º A

6

6.º A

4 2 0

1

2

3

4

Número de hermanos

5

5 ¿A cuántas personas encuestaron? A. 5

C. 30

B. 15

D. 60

6 En el 6.° A, ¿cuántas personas tienen 3 hermanos? A. 6

C. 15

B. 7

D. 21

A. Grupo A. B. Grupo B. C. No se puede determinar. D. Ambos obtuvieron los mismos puntajes.

4 ¿Qué alternativa representa el suceso de obtener un número impar al lanzar un dado de seis caras? A. {1, 2, 3, 4, 5, 6} B. {2, 4, 6}

7 En el 5.° A, ¿cuántos más son los

estudiantes que tienen 2 hermanos que los que tienen 5? A. 3

C. 8

B. 4

D. 16

8 Si la pirinola está formada por triángulos congruentes, ¿cuál es la probabilidad de que salga un triángulo amarillo?

D. {1, 3, 5}

342

A. 0,16

C. 0,33

B. 0,25

D. 0,67

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C. {1, 3, 7}


Evaluación final

A partir del siguiente gráfico circular, que muestra el tipo de colación que prefieren en un colegio, responde las preguntas de la 9 a la 11. Tipo de colación

14% 32% 18%

7

En una encuesta se preguntó por la cantidad de celulares que había en cada familia. Los siguientes diagramas de puntos muestran los resultados obtenidos en dos comunas distintas. A partir de los diagramas, responde las preguntas 13 y 14. Comuna A

Frutas Lácteos Galletas Cereales

36%

0

1

2

3

4 o más

Comuna B

9 ¿Qué tipo de colación es la que más prefieren? A. Frutas.

C. Galletas.

B. Lácteos.

D. Cereales.

10 ¿Qué tipo de colación es la que menos prefieren? A. Frutas.

C. Galletas.

B. Lácteos.

D. Cereales.

11 Si el gráfico se construyó a partir de las respuestas dadas por 350 estudiantes, ¿cuántos prefieren cereales?

1

2

3

4 o más

13 ¿Cuántas familias fueron consultadas en la comuna B? A. 0 B. 4 C. 10 D. 15

14 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se

A. 4

C. 49

puede concluir al comparar los datos?

B. 14

D. 63

A. En ambas comunas la mayoría de las familias tiene 3 celulares.

12 ¿Cuál de los siguientes experimentos es aleatorio?

A. Sacar un papel de una bolsa que contiene solo papeles rojos y registrar su color. B. Hacer girar una ruleta de tres colores distintos y registrar su color. PROYECTO SAVIA © EDICIONES SM

0

C. Lanzar un huevo crudo al suelo.

B. En ambas comunas hay familias que no tienen celulares. C. En la comuna B hay más celulares que en la comuna A. D. En la comuna A va en aumento la cantidad de celulares que tiene cada familia, situación que no sucede en la comuna B.

D. Sumergir un papel en agua.

343


COMPRUEBO lo que aprendí 15 En las siguientes tablas se muestran los resultados obtenidos al hacer girar dos ruletas y registrar el color que marca la flecha.

800 giros

800 giros

Rojo 253

Ruleta 1 Amarillo Naranja 120 321

Azul 106

Rojo 198

Ruleta 2 Amarillo Naranja 204 197

Azul 201

a. ¿Cuál es la frecuencia relativa de obtener amarillo en cada una de las ruletas?

Respuesta: b. ¿En cuál de las dos ruletas crees que es más probable que salga el color rojo?, ¿por qué?

Respuesta:

Respuesta:

344

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c. Se calcula la frecuencia relativa de obtener el color naranja en una de las ruletas. Si el resultado es aproximadamente 0,25, ¿en base a qué ruleta se hizo el cálculo?, ¿por qué?


Evaluación final

7

16 Realiza un diagrama de árbol o una tabla de doble entrada para representar el espacio muestral de cada experimento.

a. Lanzar dos dados de seis caras y registrar el producto de sus caras.

b. Lanzar un dado de ocho caras y una moneda.

17 ¿Cuál es la posibilidad de obtener un múltiplo de 4 al lanzar un dado de doce caras, numerado del 1 al 12? Completa los siguientes datos. Experimento Espacio muestral Suceso Casos favorables Probabilidad de ocurrencia del suceso

18 Construye un gráfico circular que represente la información de la tabla.

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Cantidad de palabras que puedes leer en un minuto Cantidad de palabras

Porcentaje de personas

110 – 120

30

121 – 130

25

131 – 140

20

141 – 150

10

151 – 160

15

Reflexiono ¿A qué actividad le dedicaste más tiempo para responder?, ¿por qué? ¿Qué temas son los que te causaron mayor dificultad?, ¿por qué?

345


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Recortables Unidad 6

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Para utilizar en la página 256.

Para utilizar en la página 252.

347


Recortables Unidad 6

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Para utilizar en la página 244. 3 cm

10 cm

4 cm

8 cm 8 cm 7 cm

7 cm 7 cm

7 cm

Para utilizar en la página 234.

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โœ„

Recortables Unidad 5

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5 7

6 8

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64ยบ

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Unidad 2

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La educación es la Savia que alimenta el mundo El estudiante recibe:

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Cuaderno de actividades

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