Page 1

CAMPUS MORELIA INGENIERÍA DE CONTROL “MEMORIA DEL CURSO”

DR. ROSALINO RODRÍGUEZ CALDERÓN

VÍCTOR MAURICIO CHÁVEZ MENDOZA A01063205

MORELIA, MICHOACÁN A 7 DE JULIO DE 2013


2

ÍNDICE. I

Introducción a los sistemas de control clásico y moderno.

3

II

Modelos matermáticos de sistemas: Función de Transferencia y Espacio de Estados.

5

III

Características y desempeño de los sistemas de control retroalimentados.

9

IV

Estabilidad de los sistemas lineales con retroalimentación.

14

V

Acciones básicas de control regulatorio y servocontrol.

16

VI

Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en el lugar geométrico de las

raíces. VII

20 Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en la respuesta a la frecuencia. 22

VIII

Diseño de la Ley de Control en sistemas diseñados en el espacio de estados.

24

IX

Apéndice de funciones Matlab.

25

X

Referencias.

27


3

I

Introducción a los sistemas de control clásico y control moderno. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx

Resumen. Los sistemas de control juegan un papel muy

Sistemas de control de lazo cerrado. También son conocidos como

importante para el avance de la ingeniería y la ciencia. El

sistemas retroalimentados, ya que utilizan la señal de salida para

control es escencial en las operaciones industriales que

alimentar al controlador y así reducir el error y llevar a la salida del

requieren mantener monitoreadas y vigiladas algunas variables

como

la

temperatura,

presión,

humedad,

viscosidad y flujo. También muchos de los artefactos o

sistema a un valor deseado. Variable de control. Constituye un tipo de variable independiente que se mantiene constante durante un experimento o proceso para neutralizar sus efectos sobre la variable dependiente.

dispositivos electrónicos con los que tenemos contacto día a

Controlador. Dentro de un sistema de control de lazo cerrado, se

día, el diseño de automóviles, la industria aeroespacial,

asocia con los elementos de la trayectoria directa entre la señal de

incluyen sistemas de control que permiten conseguir un

error y la variable de control, pero es también común que inlcuya los

comportamiento óptimo.

elementos de retroalimentación. Entrada (set-point). Es la salida deseada de un proceso que un

I.I

DEFINICIONES.

Antes de comenzar a describir el funcionamiento de los sistemas de control clásico y moderno, es importante encontrar la definición de los términos básicos. Sistema de control. Es aquel que está conformado por elementos y dispositivos que actúan en conjunto para lograr un objetivo de control y funcionamiento predeterminado, regulando su propia conducta o la de otro sistema. Sistema de control de lazo abierto. Es cualquier sistema en el cual la salida no tiene ningún efecto sobre la acción de control. También son conocidos como sistemas no retroalimentados. En estos casos, la salida no se utiliza para hacer retroalimentación al sistema y la

sistema de control automático desea alcanzar. Error. Se conoce como error a la diferencia entre la variable del proceso o salida y la señal de entrada o set point. Planta. Es cualquier objeto físico que se va a controlar. Puede ser parte de un equipo o un conjunto de elementos de una máquina que trabajan para conseguir una operación en particular. Ejemplor de plantas pueden ser un horno de calefacción, una nave aeroespacial y un reactor químico. Transductor. Mide la salida y la retroalimenta. Actuador. Dispositivo que realiza el ajuste en el proceso.

I.II

SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO.

entrada corresponde a un valor fijo independientemente del estado

Como se mencionó en la sección anterior, un sistema de

que esté presente en la salida. La precisión y funcionamiento de estos

control en lazo abierto son aquellos en lo cuales, la salida no tiene

sistemas depende de la calibración del controlador.

efecto sobre la acción de control, es decir, la señal de salida no se compara con la señal de entrada para tomar una u otra acción. Es


4 importante mencionar que ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto, no realiza la tarea deseada.

Dentro de las principales características de un sistema de control en lazo cerrado podemos encontrar:

1.

Dentro de las principales características de un sistema de control en lazo abierto podemos encontrar:

1.

control.

No se compara la salida del sistema con un valor de

2.

referencia.

2.

3.

La respuesta del sistema se vuelve relativamente insensible a las perturbaciones externas.

La exactitud y funcionamiento del sistema depende de la calibración del controlador.

4.

Lleva a cabo una operación ante la presencia de perturbaciones para reducir el error en la salida.

A una entrada de referencia le corresponde una condición de operación fija.

3.

La señal de salida tiene efecto directo sobre la acción de

En presencia de perturbaciones, no cumplen su función

4.

Suelen tener costos y potencias más grandes.

5.

No requieren modelos muy exactos, pero tienen especial cuidado en la estabilidad.

adecuadamente.

6.

Son utilizados en aplicaciones de alta precisión.

7.

Los modelos son más complejos que los sistemas en lazo

5.

Control de tipo secuencial.

6.

Estable.

7.

Se requieren modelos que presentan un rango alto de

Los sistemas de control en lazo cerrado se componen básicamente

exactitud.

por 6 elementos, señal de referencia, controlador, planta, señal de

Se utiliza en aplicaciones de poca precisión.

salida, señal de retroalimentación y las perturbaciones que alteran el

8.

abierto.

Este tipo de sistemas están compuestos por 5 partes

sistema.

básicas, la señal de referencia, el controlador, la planta, la señal de salida y las perturbaciones que alteran el sistema.

Figura 1.2. Sistema de control en lazo cerrado.

Figura 1.1. Sistema de control en lazo abierto.

Un ejemplo práctico de un sistema de control en lazo abierto es una lavadora (planta), en donde el remojo, el lavado y centrifugado operan sobre un tiempo fijo (controlador), y la máquina no mide la señal de salida, que es la limpieza de la ropa.

I.III

SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO.

Se conocen como sistemas de control en lazo cerrado o retroalimentados a aquellos en los que se alimenta al controlador la señal de error de actuación, misma que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de retroalimentación, con la finalidad de reducir el error y llevar la señal de salida del sistema a un valor deseado.

Un ejemplo práctico de un sistema de control en lazo cerrado es un sistema de aire acondicionado, en donde el sensor térmico enciende el aparto cuando la temperatura es más alta que la que se programa por el usuario y lo apaga cuando es igual o más baja.

I.IV

DIFERENCIAS ENTRE CONTROL CLÁSICO Y CONTROL MODERNO. Dentro de la teoría de control, existen dos principales

divisiones, el control clásico y el control moderno, cuyas diferencias radican en la dinámica del proceso que se desea controlar. El control clásico se distingue por representarse mediante una función de transferencia, además de que los sistemas deben ser


5 lineales, contando únicamente con una entrada y una salida en el diseño del sistema. El modelado, cuando se utiliza control clásico, debe involucrar solamente sistemas invariantes en el tiempo. Por su parte, el control moderno, siendo un poco más complejo que el control clásico en cuanto a diseño se refiere, involucra una representación en espacio de estados, lo que permite añadir sistemas que cuenten con múltiples entradas y múltiples salidas, además que el mismo sistema puede ser variante o invariante en el tiempo, lineal o no lineal. En muchas ocasiones y debido al grado de complejidad del control moderno, en el diseño de controladores para sistemas no lineales, se prefiere hacer una linealización del modelo para simplificar el diseño y utilizar control clásico que solo permite sistemas lineales.

II Modelos matemáticos de sistemas: Función de Transferencia y Espacio de Estados. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx

Resumen. Al estudiar la ingeniería de control, el estudiante debe ser capaz de modelar sistemas y analizar las características que definen su comportamiento. Un modelo matemático incluye ecuaciones que representan el comportamiento del sistema, pero también es cierto que el modelado de sistemas puede optar distintas formas dependiendo de las especificaciones y circunstancias del

Las funciones de transferencia se utilizan para

sistema que se trate. Un modelado matemático puede ser

caracterizar las relaciones entrada-salida de componentes o de

más conveniente que otros para un sistema en específico.

sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. La función de transferencia

II.I

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA EL MODELADO MATEMÁTICO. Se conoce como función de transferencia al cociente

entre la transformada de Laplace de salida entre la entrada, lo que nos permite describir el comportamiento del sistema y entender la naturaleza del sistema inyectando funciones conocidas.

resulta ser una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación. A partir de la función de transferencia, es posible representar la dinámica y comportamiento de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en el dominio de Laplace.


6 Si se desconoce la función de transferencia de un sistema,

puede establecerse experimentalmente

inyectando

Ejemplo 2.2. Obtener la función de transferencia del siguiente sistema eléctrico.

funciones conocidas y observando el comportamiento que se tiene a la salida, lo que nos estaría proporcionando una descripción completa de las características dinámicas del sistema.

Ejemplo 2.1. Obtener la función de transferencia del siguiente sistema electrónico. Figura 2.2. Sistema electrónico para el ejemplo 2.2.

Para encontrar la función de transferencia del sistema eléctrico descrito en la figura 2.2, existen dos métodos. Uno de ellos es desarrollar las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento, realizar la transformada al dominio S así conocer su función. El método que utilizaremos para dar solución, Figura 2.1. Sistema electrónico para el ejemplo 2.1.

Se conoce que el sistema electrónico presentado en la figura 2.1, corresponde a una topología no inversora de

que resulta un poco más sencillo debido a que el sistema está en serie y se puede aplicar un divisor de voltaje, consiste en transformar los elementos a la frecuencia compleja, es decir: R=R

amplificadores operacionales, en donde la ganancia está dada por

C=

el valor de las resistencias R f y R1, lo que matemáticamente se expresaría como:

(

V o (t) =V i (t ) 1+

Rf R1

)

1 sC

Una vez sustituidos estos valores en el circuito eléctrico, y al aplicar un divisor de voltaje encontramos que:

V o (s) =V i (s)

Ahora bien, si conocemos que la función de

1 ( RCs+1 )

transferencia de un sistema es el cociente del valor de salida entre el valor de entrada, y que su representación requiere hacerse en el dominio de Laplace, comenzamos por hacer la transformada del

Por lo que al hacer el despeje, se tiene que la función de transferencia del sistema eléctrico es:

dominio del tiempo al dominio S.

(

V o (s) =V i (s) 1+

Rf R1

)

Por lo que al hacer un despeje para encontrar el cociente, se obtiene que la función de transferencia del sistema electrónico es:

V o( s) 1 = V i( s) RCs+ 1

II.II

DIAGRAMA A BLOQUES.

Un sistema de control puede tener varios componentes que permiten lograr el resultado para el que fue diseñado. Para

V o( s) V i( s)

=1+

Rf R1

mostrar la función que cumple cada uno de los componentes, en ingeniería de control se utiliza una representación denominada diagrama a bloques. Un diagrama a bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada


7 componente, mostrando también el flujo de señales que se dan entre cada uno de los bloques. Esta representación gráfica, a diferencia de la representación matemática, tiene la ventaja de indicar de una forma más realista el flujo de señales del sistema real.

Figura 2.3. Representación de un diagrama a bloques.

A partir del diagrama a bloques, es posible también conocer y/o calcular la función de transferencia de un sistema realizando sencillas operaciones algebraicas. Pero a simple vista, el cálculo de la función de transferencia de un sistema puede resultar un poco complicado, por lo que en ocasiones resulta más sencillo acomodar los bloques de una forma que nos facilite las operaciones que se deben realizar, para eso se tiene ya una tabla que nos muestra las equivalencias de realizar estas operaciones.

Figura 2.4. Tabla de equivalencias para las transformaciones de diagrama a bloques.

Ejemplo 2.3 Obtener la función de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado para el siguiente sistema.

Figura 2.5. Diagrama a bloques para el ejemplo 2.3.

Primeramente, al referirnos a la función de transferencia de lazo abierto, se tiene que el diagrama a bloques resultante es el mismo que se muestra en la figura 2.5, únicamente eliminando la


8 señal de retroalimentación, que es la que se toma de C(s) para

incluye un nuevo bloque H(s). Por lo tanto, la función de

introducirse en el punto suma/resta, por lo que se obtendría:

transferencia de lazo abierto resultante es:

C ( s )=G ( s ) R( s)

C ( s )=G ( s ) R(s)

C (s) =G( s) R( s)

C (s ) =G(s) R(s)

De esta forma, observamos que la función de

Ahora bien, para conocer la función de transferencia de

transferencia, cuando se elimina la retroalimentación, únicamente

lazo cerrado de este diagrama a bloques, de igual manera se va

es G(s).

tomando en cuenta todas las señales que entran y salen de cada Para calcular la función de lazo cerrado del sistema que

se muestra en la figura 2.5, se toma en cuenta el flujo de señal que se va teniendo en la entrada y salida de cada uno de los bloques,

uno de los bloques, por lo que se encuentra la ecuación algebraica:

C ( s )=[ R ( s )−H ( s ) C ( s) ] G( s)

es decir:

C ( s )=[ R ( s )−C ( s ) ] G(s)

C ( s ) [ 1+G ( s ) H ( s)] =R ( s ) G( s )

C ( s ) [ 1+G (s) ] =R ( s ) G ( s)

C (s ) G( s) = R(s) 1+G ( s ) H ( s )

C (s ) G( s) = R ( s ) 1+G (s) Si

analizamos

detalladamente

la

función

de

transferencia de lazo cerrado que se obtiene, podemos encontrar la forma genérica que se podría utilizar en otros sistemas cuando se requiere de igual forma calcular la función de transferencia de lazo cerrado.

Ejemplo 2.4. Obtener la función de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado para el siguiente sistema.

Figura 2.6. Diagrama a bloques para el ejemplo 2.4.

De igual forma que en el ejemplo 2.3, para encontrar la función de transferencia de lazo abierto del diagrama a bloques que se muestra en la figura 2.6, únicamente se interrumpe el flujo de la señal de retroalimentación, que en este caso ya también


9

III Características y desempeño de los sistemas de control retroalimentados. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx

Resumen. Dentro de los sistemas de control, existen dos variantes,

aquellos

retroalimentación retroalimentación

y para

que los

no

presentan

que

reducir

si el

tienen efecto

de

Una de las señales de prueba típicas es el impulso

una

unitario, que nos ayuda a entender y analizar el comportamiento

una

de un sistema cuando se someten a una fuerza o a una tensión

las

variaciones de los parámetros, para reducir el error y efecto de las entradas que perturban al sistema, además

externa que solamente actúa durante un tiempo muy corto, además de que nos permite utilizar la función de transferencia por medio de un modelado matemático.

de que mejoran la respuesta transitoria y reducen el error en estado estacionario. Para lograr que el desempeño se un sistema de control que está retroalimentado cumpla con ciertas especificaciones de diseño, se deben de tomar en cuenta algunas características particulares de estos sistemas que se abordarán en esta sección. III.I

SEÑALES DE PRUEBA TÍPICAS.

Dentro de la ingeniería se conocen diferentes tipos de señales que dependiendo de su comportamiento con respecto del tiempo y de algunos otros factores que pueden alterar su estado, es como se utilizan para el desarrollo de otras aplicaciones prácticas. Para el diseño de sistemas de control retroalimentados se utilizan principalmente tres tipos de señales, el impulso unitario, escalón unitario y la rampa unitaria, que como ya conocemos su comportamiento, nos ayudan a entender y analizar la respuesta que se obtendría en un sistema de control que está retroalimentado y se somete ante diferentes tipos de señal de entrada y así lograr un mejor diseño que cumpla con los objetivos planteados.

Figura 3.1. Impulso unitario.

Otra señal de prueba típica es la función escalón unitario, que es básicamente una función matemática que tiene como principal característica, el tener un valor de cero y un valor de uno a partir de un tiempo en específico. Esta función se utiliza normalmente para presentar variables que se presentan en algún instante de tiempo en específico y que no están presentes permanentemente. Este tipo de señales, para los sistemas de control retroalimentados, nos ayudan también a caracterizar el sistema, pues todas las entradas se encuentran inmersas y realizan un cambio de variable.


10

Figura 3.4. Sistema de control con retroalimentación negativa.

Figura 3.2. Escalón unitario.

Al aplicar un escalón unitario como señal de entrada R(s), la función que describe la señal de salida C(s) en el dominio

La tercera y última señal de prueba que utilizaremos para analizar el desempeño se los sistemas de control retroalimentados es la rampa unitaria, cuya señal tiene un valor de

S y en el dominio del tiempo son:

1 T 1 C ( s )= − = − s Ts +1 s

cero y un valor final de uno, presentando una pendiente entre la

1 1 s+( ) T

transición de ambos valores, y que nos ayuda a analizar el error −t

de estado estable y el cambio de variable.

C ( t )=1−e T Así,

al

tener

una

retroalimentación

negativa,

observamos que después de haberse transcurrido un tiempo, la señal de salida se mantiene prácticamente estable sobre un valor.

Figura 3.3. Rampa unitaria.

III.II

SISTEMA DE PRIMER ORDEN.

Los sistemas de control se caracterizan y analizan dependiendo del orden al que pertenezca el denominador de su función de transferencia. Por ejemplo la siguiente función de transferencia corresponde a un sistema de control de primer orden.

F ( s )=

1 s+1

Figura 3.5. Respuesta al escalón de un sistema con retroalimentación negativa.

Además, el tipo de respuesta del sistema de primer orden será diferente dependiendo del tipo de retroalimentación que reciba, es decir, si es positiva o negativa. En la figura 3.4 se muestra un diagrama a bloques que

En la figura 3.6 se muestra el diagrama a bloques que corresponde a la representación de un sistema de control con retroalimentación positiva.

corresponde a la representación de un sistema retroalimentado negativamente.

Figura 3.6. Sistema de control con retroalimentación positiva.


11 Expresando la función G(s) en forma de productos, se Al aplicar un escalón unitario como señal de entrada R(s), la función que describe el comportamiento de la señal de salida C(s) en el dominio S y en el dominio del tiempo, están

obtiene:

G ( s) =

dadas por:

1 T 1 1 C ( s )= − = − s Ts−1 s 1 s− T t

C ( t )=1−e T

C (s ) ( s−c 1 )( s−c 2 ) … ( s−c M ) = R(s) ( s− p1 ) ( s− p 2 ) …( s− p N )

Los polos pueden representarse normalmente en el plano complejo con un círculo, mientras que los polos se representan mediante cruces.

Ejemplo 3.1. Obtener los polos y ceros del siguiente sistema. Considere T=1 seg.

Así mismo, se puede observar que al contar con una retroalimentación positiva, el comportamiento de la señal de salida decrece exponencialmente, por lo que se dice que el sistema no se podría controlar. Figura 3.8. Diagrama a bloques para el ejemplo 3.1.

Al obtener la función de transferencia del sistema de la figura 3.8 y sustituyendo el valor de T=1 segundo,

1 C (s ) s 1 = = 1 s+1 R(s) 1+ s Se puede observar, que no existe ningún cero en el sistema, puesto que el numerador únicamente contiene el valor de 1. Pero en lo que respecta a los polos, encontramos que se tiene Figura 3.7. Respuesta al escalón de un sistema con retroalimentación positiva.

III.III POLOS Y CEROS. En el tema correspondiente a la transformada de

un polo en s=-1, puesto que -1 es el valor que haría que el denominador fuera cero.

Ejemplo 3.2. Obtener los polos y ceros del siguiente sistema. Considere T=1 seg.

Laplace, el comportamiento de un sistema de control puede interpretarse dependiendo de la ubicación de los polos y ceros en el plano S, en la que G(s) es una función racional, es decir, es el cociente de dos polinomios. Los ceros de la función G(s) son aquellos valores para Figura 3.9. Diagrama a bloques para el ejemplo 3.2.

los cuales la función G(s) es igual a cero, mientras que los polos de la función G(s) son aquellos valores para los cuales la función

Al obtener la función de transferencia del sistema que

G(s) es igual a ∞.

se muestra en la figura 3.9, y sustituyendo el valor de T=1 segundo,


12 1 s

C (s) 1 = = R( s) 1− 1 s−1 s Se puede observar que nuevamente no se tiene ningún cero, puesto que dentro del numerador únicamente se tiene el valor de 1. Pero por el contrario, tenemos un polo en s=1, ya que 1 es el valor que haría que el denominador fuera cero. Figura 3.11. Ubicación de los polos de lazo cerrado de un sistema con

III.IV

retroalimentación negativa.

ESTABILIADAD DE LOS SISTEMAS POR UBICACIÓN DE POLOS Y CEROS. La ubicación de los polos y ceros en el plano complejo

S, nos permiten determinar si un sistema de control es estable o inestable. Se dice que un sistema de lazo cerrado es estable si todos los polos y ceros del sistema se encuentran dentro del semiplano izquierdo de plano complejo S. En la figura 3.10 se muestra la respuesta al escalón unitario de un sistema que cuenta con retroalimentación negativa, y por su parte la figura 3.11 nos muestra la ubicación de los polos

A partir de las figuras 3.10 y 3.11 se puede comprobar la teoría que un sistema con retroalimentación negativa es completamente estable, y que por lo tanto forzosamente todos los polos y ceros de lazo cerrado deben estar ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo S. En la figura 3.12 se muestra la respuesta al escalón unitario de un sistema que cuenta con retroalimentación positiva, y por su parte la figura 3.13 nos muestra la ubicación de los polos de dicho sistema.

de dicho sistema.

Figura 3.12. Respuesta al escalón de un sistema con retroalimentación Figura 3.10. Respuesta al escalón de un sistema con retroalimentación negativa.

positiva.


13 segundo orden, se utiliza la fórmula de la ecuación cuadrática, es decir:

2

−2δω n ∓ ( 2δ ωn ) −4 ωn s1,2 = 2

2

De esta forma, estaríamos conociendo la localización de los polos de lazo cerrado del sistema, y ahí mismo determinando la estabilidad del sistema. Un sistema de segundo orden puede presentar tres

Figura 3.13. Ubicación de los polos de lazo cerrado de un sistema con

diferentes tipos de respuesta, que dependen de la ubicación de los

retroalimentación positiva.

polos de lazo cerrado y también del valor que tome la variable A partir de las figuras 3.12 y 3.13 se puede comprobar que la respuesta de un sistema con retroalimentación positiva que decrece

exponencialmente

y

sin

poderse

controlar,

factor amortiguamiento

δ

.

es

Una respuesta sub-amortiguada es aquella que presenta

completamente inestable y por lo tanto los polos y ceros de lazo

oscilaciones y que los polos de lazo cerrado son complejos

cerrado del sistema deben ubicarse forzosamente dentro del semiplano derecho del plano complejo S.

III.V

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.

Un sistema de segundo orden es aquel en el que el mayor exponente de la variable del denominador está elevado a la segunda potencia. Los sistemas de control de segundo orden presentan diferentes características a los de primer orden, y por lo tanto

s1,2 =−σ ∓ jω

conjugados, es decir

. El factor de

amortiguamiento toma valores mayores a cero pero menores a 1. La respuesta críticamente amortiguada es aquella que tiene un comportamiento exponencial, los polos de lazo cerrado son iguales

s1,2 =σ

y el factor de amortiguamiento es igual

a 1. Una respuesta sobre-amortiguada es aquella que

deben analizarse tomando en cuenta otros parámetros de diseño.

presenta un comportamiento exponencial pero más rápido que el de una respuesta críticamente amortiguada, en donde los polos son reales pero diferentes, y el factor de amortiguamiento es forzosamente mayor a 1. Dentro de la ingeniería de control es preferible tener Figura 3.14. Diagrama a bloques de un sistema de segundo orden.

respuestas transitorias rápidas y amortiguadas, por lo que típicamente se utilizan factores de amortiguamiento entre 0.4 y

Así, la función de transferencia de lazo cerrado de un sistema de segundo orden está dada por:

ωn 2 C (s ) = R(s) s 2 +2δ ω n s +ω n2 Como se explicó en las secciones anteriores, los polos y ceros de lazo cerrado de un sistema, nos ayudarán a comprender el comportamiento de un sistema y determinar si este es estable o inestable. Por lo tanto, para calcular los polos de un sistema de

0.8. Conociendo que

ωn

es la frecuencia natural no

amortiguada, dentro del diseño se utiliza también la frecuencia natural amortiguada

ωd

, y la ecuación matemática que

relaciona ambas frecuencias es:

ω d =ω n √1−δ 2


14 Las características de un sistema de control se

De la imagen de la figura 3.15, tomando como td como

establecen en función de la respuesta a una entrada del tipo

tiempo de retardo, tr como tiempo de subida, tp como tiempo pico,

escalón en el dominio del tiempo, puesto que esta señal es fácil de

ts como tiempo de establecimiento y Mp como máximo sobre-

generar y es lo suficientemente drástica para proporcionar

pico, se tienen algunas ecuaciones matemáticas que nos ayudan a

información sobre la respuesta transitoria y de estado permanente.

conocer los valores que toman cada una de estas variables.

Mp

δ π 2 1−δ

( ) =e √ −

Para encontrar el tiempo de establecimiento, se utilizan dos criterios, del 2% y del 5%, lo que indica la tolerancia que se tiene para considerar como estable una señal de salida.

ts =

4 δ ωn

ts =

3 δ ωn

2

5

Figura 3.15. Caracterización de la respuesta al escalón.

IV Estabilidad de los sistemas lineales con retroalimentación. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx

Resumen. La estabilidad de un sistema de control lineal con retroalimentación resulta muy importante cuando se requiere que un sistema cumpla con ciertas especificaciones de diseño, y que además lo realice de una forma óptima. En esta sección se abordarán los sistemas de control lineal con retroalimentación, explorando sus caracterísitcas y método de diseño.

IV.I

ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL. Como se estudió en la sección anterior, un sistema de

control estable, forzosamente tiene que tener sus polos y ceros de lazo cerrado dentro del semiplano izquierdo del plano complejo S,


15 dentro del diseño en ingeniería de control se cuida que los polos y ceros de lazo cerrado tengan su ubicación dentro de esa posición.

Ejemplo 4.1. Para el siguiente sistema con

ωn

δ

=0.6 y

=5 rad/seg, calcular la función de transferencia, polos y

ceros, indicar si es estable o inestable. Calcular también el sobrepico y el tiempo de establecimiento.

Figura 4.2. Código en Matlab para graficar los polos del sistema.

Al introducir este código en Matlab, corroboramos que Figura 4.1. Diagrama a bloques del sistema del ejemplo 4.1.

la ubicación de los polos corresponde a los obtenidos mediante la ecuación cuadrática.

Al calcular la función de transferencia y sustituir los valores de factor de amortiguamiento y frecuencia natural no amortiguada, se encuentra que: 2

ωn C (s ) = 2 R(s) s +2δ ω n s +ω n2

C (s ) 25 rad / seg = R(s) s 2+ 6s+25 A partir de esta función de transferencia podemos determinar que el sistema no cuenta con algún cero, pero al aplicar la fórmula de la ecuación cuadrática en el denominador para encontrar la ubicación de los polos, tenemos que:

s1 =−3−4j s1 =−3+ 4j Para graficar los polos del sistema, se utiliza el software Matlab, y en particular la función rlocus. El código que se utilizó para graficar los polos se muestra en seguida.

Figura 4.3. Gráfica de los polos del sistema utilizando Matlab.

Al ubicar los polos, y corroborar que estos se encuentran dentro del semiplano izquierdo de plano complejo S, se puede asegurar que es un sistema estable, presentando una respuesta

sub-amortiguada

puesto

que

el

factor

de

amortiguamiento es de 0.6. Para calcular el máximo sobre-pico que tiene la señal del sistema, se utiliza la ecuación matemática:

Mp

δ π 2 1−δ

( ) =e √ −


16

( =e √ −

Mp

0.6 π 2 1−0.6

)

M p =0.09478 Por lo tanto, si la señal de entrada corresponde a un valor unitario, el máximo sobre pico que se puede presentar tomaría un valor de 1.09478. Ahora bien, para calcular el tiempo de establecimiento y tomando el criterio del 5%, se tiene que:

t s=

3 =1 segundo. ( 0.6)(5)

A forma de corroborar los datos obtenidos a partir de los cálculos matemáticos, se utilizó el software Simulink, en donde la señal de respuesta obtenida es: Figura 4.4. Respuesta al escalón por parte del sistema.

V Acciones básicas de control regulatorio y servocontrol. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx

Resumen. Dentro de la ingeniería de control se tiene

El diseño de controladores se basa en el cálculo de las

como principal función el diseño de controladores

constantes, aquellas que nos permitan ubicar los polos y ceros de

empleando modelos matemáticos y métodos prácticos que

lazo cerrado en el lugar correcto para obtener la respuesta deseada

nos permiten encontrar los valores y características particulares

con

las

que

deben

de

contar

del sistema de control.

los

controladores a desarrollar. V.I

DISEÑO DE CONTROLADORES. Figura 5.1. Diseño de controladores.


17 Ejemplo 5.1. Calcular las constantes del controlador PID, El diseño de controladores puede llevarse a cabo

para la siguiente planta, para que la respuesta presente un

empleando métodos heurísticos y métodos matemáticos. El

sobre-pico menor al 25% y tiempo de establecimiento

utilizar uno u otro método depende de las características particulares del sistema a controlar. Dentro de los métodos heurísticos podemos encontrar el

menor a 10 segundos utilizando el método de la curva de reacción.

procedimiento de sintonización, el práctico-teórico, plantas complejas y el de Ziegler-Nichols. Por su parte, dentro de los métodos matemáticos, podemos encontrar métodos analíticos, función de transferencia y el de lugar de las raíces.

V.II

MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN DE ZIEGLER-NICHOLS. El método de la curva de reacción nos permite conocer

Figura 5.4. Planta a utilizar para el ejemplo 5.1.

Utilizando el software Simulink, se introduce la función de transferencia de lazo abierto de la planta y se aplica un escalón unitario para obtener la respuesta.

los valores con los que debe de contar un controlador cuando la planta corresponde a un sistema de primer orden. El procedimiento que debe seguirse es el siguiente.

1.

Obtener la respuesta al escalón a lazo abierto.

2.

Trazar una línea tangente en el punto de inflexión.

3.

Medir los parámetros L y T.

4.

Utilizar la tabla de Ziegler-Nichols.

Figura 5.5. Diagrama a bloques para el ejemplo 5.1.

Figura 5.2. Caracterización de los parámetros en respuesta a lazo abierto.

Figura 5.6. Respuesta al escalón de la planta del ejemplo 5.1.

A partir del gráfico de la figura 5.6, se toma como valor Figura 5.3. Tablas Ziegler-Nichols para el método curva de reacción.

para L=0.1 y T=2.5. Estos valores se utilizan y se sustituyen en


18 4.

las expresiones algebraicas de las tablas de Ziegler-Nichols, con lo que resulta:

Se utilizan las tablas de Ziegler-Nichols para obtener las constantes.

K p=

1.2T 1.2(2.5) = =30 L 0.1

T i=2L=2 ( 0.1 )=0.2 T d =0.5L=0.5 ( 0.1 ) =0.05

Figura 5.7. Diagrama a bloques para el método de oscilación de ZieglerNichols.

Ya que se conocen los valores Kp, Ti y Td, se procede a

La respuesta que se debe tener a la salida c(t) es de

transformar los valores Ti y Td en Ki y Kd, respectivamente, que

oscilaciones sostenidas, como las que se muestran en la figura

son los valores con los que deben de contar las constantes del

5.8.

controlador, así:

Ki=

K p 30 = =150 T i 0.2

K d =K p T d =30 ( 0.05 )=1.5 Estos últimos valores son los que se deben utilizar para implementar el controlador, una vez que se tiene implementado se mide la señal de respuesta y al ser un método heurístico, se pueden hacer pequeñas variaciones en los valores de las constantes para generar el tiempo de establecimiento y el máximo

Figura 5.8. Oscilación sostenida como respuesta al escalón.

sobre-pico que se requiere.

V.III

MÉTODO DE OSCILACIÓN DE ZIEGLERNICHOLS. El método de oscilación de Ziegler-Nichols nos permite

determinar el valor con el que deben de contar los controladores para generar una respuesta que va de acuerdo al diseño, que al

Figura 5.9. Tablas de Ziegler-Nichols para el método de oscilación.

tratarse de un método heurístico, se permite modificar un poco lo valores finales para lograr la respuesta. El procedimiento que debe seguirse es el siguiente:

1.

Se coloca un bloque proporcional con ganancia pequeña en lazo cerrado, se ve la respuesta al escalón unitario.

2.

Se aumenta la ganancia hasta que se logre una oscilación sostenida.

3.

Se mide el periodo Tu y la ganancia Ku que lo hizo oscilar.

Ejemplo 5.2. Calcular las constantes del controlador, del siguiente sistema de control, para que la respuesta presente un sobre-pico menor al 25% y tiempo de establecimiento menor a 10 segundos, utilizando el método de oscilación.


19 Tomando que el valor de Ku que hace oscilar al sistema es de 30, y que el periodo de la señal es de 3 segundos, se utilizan las tablas de Ziegler-Nichols para encontrar el valor de las constantes, es decir:

K p=0.5 K u= ( 0.6 ) ( 30 )=1.8 Figura 5.7. Diagrama a bloques para el ejemplo 5.2.

T i=0.5T u=( 0.5 ) ( 3 )=1.5

Utilizando el software Simulink, se genera el diagrama a bloques que involucre la planta de la figura 5.7, y el valor de la

T d =0.125T u=0.125 ( 3 )=0.375

ganancia Ku se comienza a modificar hasta obtener una respuesta de oscilación sostenida constante.

Ya que se conocen los valores Kp, Ti y Td, se procede a transformar los valores Ti y Td en Ki y Kd, respectivamente, que son los valores con los que deben de contar las constantes del controlador, así:

Ki=

K p 1.8 = =1.2 T i 1.5

K d =T d K p =( 0.375 ) (1.8 ) =0.675 Figura 5.8. Diagrama a bloques del ejemplo 5.2.

Al aplicar una ganancia de 30, se logró que en la señal de salida se tuvieran oscilaciones sostenidas constantes, es decir:

Estos últimos valores son los que deberían utilizarse en la implementación del controlador. Para generar una respuesta que cumpla con ciertas características se pueden modificar un poco los valores finales de las constantes, ya que se trata de un método heurístico.

Figura 5.9. Respuesta al escalón de la planta del ejemplo 5.2.


20

VI Método para el análisis y diseño de los sistemas de control basados en el lugar geométrico de las raíces. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx

Resumen. El lugar geométrico de las raíces es un método para el diseño de controladores que nos permite predecir el comportamiento del sistema y ubicar los polos de lazo cerrado, paso a paso se van añadiendo controladores, ya sea un proporcional, un proporcional-integral o un proporcional-integrador-derivador, según sea el caso

Figura 6.1. Diagrama a bloques del sistema.

para obtener un tipo de respuesta en específico. Se tiene que la función de transferencia que describe el

VI. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. Mediante el método del lugar geométrico de las raíces, el diseñador puede predecir los efectos que tienen en la localización de los polos de lazo cerrado, el variar la ganancia o añadir polos y/o ceros en lazo abierto. El gráfico que se obtiene nos muestra información sobre cómo cada polo o cero en lazo abierto afectan las posiciones de los polos en lazo cerrado. El método del lugar geométrico de las raíces nos permite determinar el valor de la ganancia K que dará el

comportamiento del sistema es:

G ( s ) G(s) C (s ) = c R(s) 1+G c ( s ) G(s ) La ecuación característica de un sistema, se describe como el polinomio que conforma al denominador de la función de transferencia igualado a cero, por lo tanto para el sistema que se mencionó en el paso anterior, la ecuación característica es:

1+Gc ( s ) G ( s )=0

coeficiente de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado que se desee. Tomando en cuenta el sistema del diagrama a bloques que se muestra en la figura 6.1,

De esta última ecuación se puede observar que

F ( s )=G c ( s ) G ( s ) sistema en lazo abierto.

es la función de transferencia del


21 Todas las raíces de la ecuación característica al variar K de cero a infinito conforman el gráfico del lugar geométrico de las raíces, es decir:

[

X ( s )= K p +

1+ KF ( s ) =0

[

X ( s )= Para el diseño de controladores utilizando el lugar

][

Ki 1 +K d s 2 s 10000( s −1.1772) K p s + K i+ K d s 10000( s 3−1.1772s)

]

]

geométrico de las raíces, y tomando en cuenta que F(s) es una cantidad compleja, se puede obtener una ecuación para conocer la magnitud y el ángulo, por lo que se tienen las ecuaciones:

De la ecuación característica resultante, se obtiene que los polos se localizan en:

∣F (s)∣=1

s1 =1.08499

∠ F ( s )=∓ 180 ° (2k+1)

s 2=−1.08499 s3 =0

Así, mientras se lleva a cabo el diseño del controlador, se debe cuidar que se cumplan estas dos características para que sea posible obtener la respuesta que se espera según las

Según la ubicación de los polos, se tiene que el ángulo existente entre cada polo y el polo deseado son:

especificaciones.

∠ s 1=27.041 °

Ejemplo 6.1. Para la planta dada, construir un controlador

∠ s 2=120 °

PID que permita obtener una respuesta correspondiente a un factor de amortiguamiento de 0.5 y frecuencia natural no amortiguada de 0.5 rad/seg.

G ( s) =

1 10000( s −1.1772) 2

Tomando en cuenta las especificaciones, se genera la función de transferencia deseada, lo que resulta:

0.25 H ( s )= 2 s + 0.5s+0.25 Así, a partir de la función de transferencia se toma la ecuación característica y a esa misma se le aplica la ecuación cuadrática para conocer la ubicación de los polos deseados, de lo que se obtiene:

s1,2 =−0.25 ∓ 0.433013j Ahora bien, si conocemos que el controlador será del

∠ s 3=162.028 ° De la función de transferencia X(s), se puede observar que el sistema con el controlador propuesto, presenta dos ceros, por lo que uno de ellos se propone esté localizado en -2, para posteriormente aplicar el teorema del ángulo y encontrar la posición del otro ángulo.

s 4=−2

∠ s 4=13.8979 ° ∠ s 5+ 13.8979°−120 °−162.028 °−27.041° =∓ 180°

∠ s 5=115.171° s5 =−0.04650

tipo PID, se multiplica la función de las variables del controlador con la función de la planta, es decir:

Una vez que se tienen la ubicación de los polos y ceros del sistema, se formula la nueva función de transferencia:


22 Z ( s) =

K p=1.56604

(s+ 2)(s+ 0.04650) ( s +1.08499 )( s−1.08499 ) s

K i =0.093 Que al igualarse con la función de transferencia X(s), se encuentran los valores del controlador:

K d =0.76523

VII

Método para el análisis y diseño de los

sistemas de control basados en la respuesta a la frecuencia. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx

Resumen. Al mencionar respuesta a la frecuencia, se

Los factores básicos en una función de transferencia

hace referencia a la respuesta de un sistema en estado

arbitraria son la ganancia K, los factores de integral y derivada,

estacionario a una entrada sinusoidal. En los métodos de

los factores de primer orden y los factores cuadráticos.

respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de entrada se varía sobre un cierto rango para conocer y estudiar la respuesta resultante.

La ganancia K tiene una curva representativa, misma que es una recta horizontal cuya magnitud es de 20logK decibelios y donde el ángulo de fase de la ganancia K es igual a cero. El efecto que resulta de variar la ganancia en la función de transferencia, es que sube o baja la curva logarítmica de la

VII.I

DIAGRAMAS DE BODE.

Los diagramas de Bode se conforman por dos gráficas,

función de transferencia, pero la frecuencia no varía, permanece constante.

la gráfica del logaritmo de la magnitud de la función de

El factor integral (1/jw) tiene una magnitud logarítmica

transferencia sinusoidal y la gráfica del ángulo de fase. Para

igual a 20log|1/jw|, que es lo mismo a -20logw dB. La línea recta

lograr el resultado esperado por parte de las gráficas, ambas

pendiente es negativa de -20dB y el ángulo de fase es constante e

deben realizarse en la escala logarítmica.

igual a -90°.

La representación de la magnitud de la función de

El

factor

derivativo

cuenta

con

una

magnitud

transferencia G(jw) es igual a 20log|G(jw)| y la unidad es el

logarítmica de 20log|jw|, cuya línea recta pendiente es positiva de

decibelio (dB). Una de las ventajas que se tienen al utilizar este

20dB y el ángulo de fase es constante e igual a 90°.

tipo de diagramas es que al momento de multiplicar diferentes magnitudes, se convierten en sumas.

Los factores de primer orden cuentan con una magnitud logarítmica del factor de primer orden, es decir:


23

Por lo tanto, el cálculo de las asíntotas está en función de la frecuencia. Así, para frecuencias bajas la curva de magnitud logarítmica es una línea constante en 0dB. Para frecuencias altas, la magnitud logarítmica aproximada cuando w=1/T, es igual a 0dB, pero cuando w=10/T, la magnitud es igual a -20dB. La frecuencia en la cual dos asíntotas se interceptan, se le conoce como frecuencia de corte, por lo que: w < 1/T para frecuencias bajas. w > 1/T para frecuencias altas. La magnitud logarítmica de los factores cuadráticos se calcula mediante:

Ahora bien, para encontrar el valor del ángulo de fase del factor cuadrático, se utiliza la ecuación:

O bien, de una forma más simplificada:

En la figura 7.1 se observa que la magnitud logarítmica, las asíntotas y el ángulo de fase dependen del tipo de amortiguamiento del factor cuadrático.

Figura 7.1. Magnitud logarítmica, asíntotas y ángulo de fase.


24

VIII

Diseño de la Ley de Control en sistemas diseñados en el espacio de estados. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx

Resumen. Un sistema moderno es aquel que involucra

La representación en espacio de estados se lleva a cabo

varias entradas y múltiples salidas que se relacionan

por medio de matrices en donde A, B, C y D son matrices, es

entre sí de una forma complicada y que se dificultaría

decir:

mucho su análisis, por lo que se utiliza el análisis y modelado de sistemas de control desde el enfoque en el espacio de estados. En esta sección se abordarán el análisis y diseño de sistemas de control en espacio de estados, para representar y controlar sistemas que

Figura 8.1. Representación en espacio de estados.

cuentan con varias entradas y múltiples salidas. Ejemplo 8.1. Obtener el modelo en espacio de estados del VIII. ESPACIO DE ESTADOS. Antes de comenzar a desarrollar la explicación sobre

siguiente sistema. Considere R=1Ω, C=0.25F y L=0.5H, y que la salida es IR.

este método, es necesario definir algunos conceptos que se emplearán continuamente. Variable del sistema. Constituye cualquier variable del sistema que responda ante una entrada o condición inicial. Variable de estado. Incluye a todas las variables del sistema, que junto con la excitación o condiciones iniciales determinen por completo el valor de todas las variables del sistema.

Figura 8.2. Sistema a utilizar para el ejemplo 8.1.

El espacio de estados, dentro de la teoría de control

Conociendo que las variables de estado de nuestro

moderno, se utiliza para el diseño de controladores ya que dentro

sistema son IL y VC, se debe encontrar dos ecuaciones

de sus principales ventajas podemos encontrar que se utiliza para

diferenciales que relacionen ambas variables, por lo que se tiene:

sistemas variantes e invariantes en el tiempo, para sistemas que cuentan con N entradas y M salidas y que también involucra a sistemas lineales y no lineales.

d i l (t ) V i (t ) V c(t ) = − dt L L


25 d V c(t ) I L (t ) V c(t ) = − dt C RC Por lo tanto, la ecuación de salida resultante sería:

I R=

VC R

[ ] [ ][ d V C (t ) −1 dt = RC d I L(t) 1 L dt

I R (t )=

1 0 C V C (t) + 1 V i(t ) 0 I L(t ) L

][

]

[ ][ ] [ ] 1 R

0

V C (t ) + 0 V i(t ) I L(t)

IX Apéndice de funciones Matlab. Víctor Mauricio Chávez Mendoza Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Morelia. Morelia, Michoacán, México. A01063205@itesm.mx


26

La función step, en Matlab calcula la respuesta

IX.I FUNCIÓN RLOCUS. La función rlocus en Matlab calcula y dibuja el lugar de

dinámica y el paso de los sistemas dinámicos. El tiempo de paso y

las raíces de la entrada única, salida únida. El diagrama del lugar

tiempo final se escogen de manera automática para entregar una

de las raíces se utiliza para analizar el comportamiento de

señal de salida.

sistemas de control con retroalimentación negativa y muestra las trayectorias de los polos en lazo cerrado cuando la ganancia K varía

de

cero

a

infinito.

La

función

rlocus

Para utilizar esta función en algún código de Matlab, se sigue la secuencia: step(x,y)

genera

automáticamente un conjunto de valores positivos que producen

En donde x, y son los coeficientes de las funciones del numerador y denominador, respectivamente.

el gráfico de nuestro interés. Para utilizar esta función en algún código de Matlab se

Ejemplo 9.2

sigue la secuencia: rlocus(x,y) En donde x, y son las funciones del numerador y del denominador, respectivamente.

Ejemplo 9.1.

Figura 9.3. Código en Matlab para la función step.

Figura 9.1. Código en Matlab para la función rlocus.

Figura 9.4. Gráfica de la señal de salida utilizando la función step.

Figura 9.2. Gráfico de los polos y de la respuesta al escalón.

IX.II FUNCIÓN STEP.


27

REFERENCIAS.

[ «http://prof.usb.ve/mirodriguez/Labcontrol/ 1 Practica%202.pdf,» [En línea]. Available: ] http://prof.usb.ve/mirodriguez/Labcontrol/P ractica%202.pdf. [Último acceso: 4 Julio 2013]. [ «http://www.disa.bi.ehu.es/spanish/ftp/mate 2 rial_asignaturas/Ing_Sistemas_I/Transparenci

] as%20de%20Clase/Tema%2005%20%20Sistemas%20Realimentados.pdf,» [En línea]. Available: http://www.disa.bi.ehu.es/spanish/ftp/materi al_asignaturas/Ing_Sistemas_I/Transparencia s%20de%20Clase/Tema%2005%20%20Sistemas%20Realimentados.pdf. [Último acceso: 4 Julio 2013]. [ «Función impulso unitario,» [En línea]. 3 Available: http://www.tec] digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edocap5-geo/laplace/node9.html. [Último acceso: 4 Julio 2013]. [ «SEDE BOGOTA,» [En línea]. Available: 4 http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingeni ] eria/2001601/cap04/Cap4tem1.html. [Último acceso: 4 Julio 2013]. [ «http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/ 5 ljavier/documentos/Lec02%20-%20Se ] %C3%B1ales%20%20en%20Tiempo %20Discreto.pdf,» [En línea]. Available: http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/lj avier/documentos/Lec02%20-%20Se %C3%B1ales%20%20en%20Tiempo %20Discreto.pdf. [Último acceso: 4 Julio 2013]. [ «http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingen 6 ieria/2001619/lecciones/descargas/transpar ] encias_orden.pdf,» [En línea]. Available: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingeni eria/2001619/lecciones/descargas/transpare ncias_orden.pdf. [Último acceso: 4 Julio 2013]. [ O. Katsuhiko, Ingeniería de Control Moderna, 7 Madrid: Pearson Educación, 2003. ]

Memoriadelcurso_IngenieriaDeControl