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Cap´ıtulo 1 ˜ CONSTRUC ¸ OES FUNDAMENTAIS S˜ao constru¸c˜oes simples que ser˜ao necess´arias em desenhos mais complexos e elaborados. S˜ao exemplos de constru¸c˜oes fundamentais: ponto m´edio, mediatriz, bissetriz de um ˆangulo, tra¸car paralela ou perpendicular, dividir um segmento em partes iguais, desenhar ˆangulos de 30◦ , construir um pol´ıgono regular, etc. ´ • PONTO MEDIO. 1. Problema: Dado um segmento (ou dois pontos distintos) encontrar o ponto m´edio dele (ou um ponto alinhado com os dois e a igual distˆancia deles). 2. Constru¸c˜ao: Se s˜ao dados 2 pontos, ligue-os formando um segmento. Com a ponta seca do compasso em um dos extremos e abertura maior que a metade (por que?) dele, trace um c´ırculo. Repita o procedimento para o outro v´ertice, mantendo a abertura do compasso. Os dois c´ırculos cortam-se em dois pontos. Ligando esses pontos com o uso da r´egua e l´apis obtemos o ponto m´edio procurado. 3. Justificativa: Repare que os extremos do segmento e os dois pontos de interse¸c˜ao dos c´ırculos formam um losango, cujas diagonais cortam-se ao meio ... 4. Figura: O desenho a seguir (Figura 1.1) foi executado no GEOGEBRA. O raio do c´ırculo foi o tamanho do segmento dado, para poder ser reobtido. • MEDIATRIZES 1


Figura 1.1: A mesma constru¸c˜ao acima. A ´unica diferen¸ca ´e que procuramos o segmento (ou a reta) que passa pelo ponto m´edio. • PERPENDICULARES 1. Problema: Levantar uma perpendicular a um segmento ou uma reta, passando por um ponto P dado ou por um ponto qualquer. O ponto pode estar em qualquer lugar. 2. Constru¸c˜ao 1-Ponto na reta: Se P n˜ao for um ponto extremo, com o compasso e abertura apropriada determine dois pontos A e B que tem P como ponto m´edio. Novamente com o compasso e abertura apropriada, ponta seca em A e depois B, determine os dois pontos (C e D) de interse¸c˜ao dos c´ırculos. Os quatro pontos s˜ao v´ertice de um losango e o problema est´a resolvido, bastando tra¸car a reta CD. Se P for um extremo do segmento e for vi´avel estender o segmento, fa¸ca isso e ent˜ao reca´ımos na solu¸c˜ao j´a dada . Se for invi´avel estender o segmento (n˜ao h´a papel ou ´e proibido estender) fa¸ca o que segue: Escolha um ponto Q auxiliar fora do segmento e `a distˆancia razo´avel de P (5 cm!). Com o compasso trace o c´ırculo com centro Q e raio QP ou a parte dele que for poss´ıvel. Esse c´ırculo corta o segmento ou seu prolongamento (*) num ponto R. Trace o diˆametro por R. Se S ´e o extremo desse diˆametro ent˜ao a reta por P e S ´e a perpendicular procurada. Observa¸c˜ao (*) Se n˜ao for poss´ıvel prolongar escolha outro ponto Q para que o c´ırculo corte o segmento. 3. Justificativa: No primeiro caso obtemos um losango e est´a justificado. No segundo caso, veja que o ponto P ´e v´ertice de um ˆangulo inscrito num semi-c´ırculo, logo mede 90◦ . 4. Figura (Figura 1.2) Desenho das situa¸c˜oes:


Figura 1.2: 5. Constru¸c˜ao 2-Ponto P fora da reta: Com o compasso vamos obter dois pontos no segmento (ou prolongamento dele). Com a mesma abertura e ponta seca em cada um destes pontos completamos o losango. 6. Justificativa: J´a feita. 7. Figura: Ver abaixo (Figura 1.3):

Figura 1.3:


ˆ • TRANSPORTE DE ANGULOS 1. Problema: Desenhar um ˆangulo igual a um ˆangulo dado, em outro local. 2. Constru¸c˜ao: Marque o novo v´ertice e trace um dos lados do ˆangulo. Com o compasso trace arcos cortando os dois lados do ˆangulo dado e o primeiro lado do ˆangulo que j´a temos. Com o compasso “copie” o arco compreendido entre os lados do ˆangulo. Transporte essa medida para o novo.(Figura 1.4) ˆangulo. Trace o segundo lado. 3. Justificativa: Os dois ˆangulos ( original e copia) s˜ao ˆangulos centrais e “enxergam” arcos iguais, logo s˜ao iguais. 4. Figura: Figura 1.4

Figura 1.4:

• PARALELAS 1. Problema: Desenhar uma reta paralela `a uma reta r dada, passando por um ponto P dado. 2. Constru¸c˜ao 1 Marque Q na reta r. Desenhe P Q. Com o compasso marque R e S v´ertice de um losango de lado P Q. A justificativa ´e ´obvia. 3. Constru¸c˜ao 2 Marque Q na reta r. Com o compasso e abertura P Q e ponta seca em Q determine R em r. Com a mesma abertura trace o c´ırculo de centro P. Marque o arco QS igual ao arco PR. Trace a reta PR. 4. Figura: Figura 1.5


Figura 1.5: 5. Constru¸c˜ao 3 Marque Q na reta r. Marque R na reta r. Transporte [ com novo v´ertice R. Transporte QP a partir de R o ˆangulo RQP obtendo S. Trace a reta por P e S. 6. Justificativa Na constru¸c˜ao procuramos desenhar um paralelogramo, que tem lados opostos paralelos. 7. Figura:

8. Constru¸c˜ao 4: Trace primeiro a perpendicular s a r por P. Depois trace a perpendicular a s, por P. • BISSETRIZ


1. Problema: Desenhar a bissetriz de um ˆangulo, ou seja, dividir um ˆangulo dado em dois ˆangulos iguais. 2. Constru¸c˜ao: Com a ponta seca do compasso tra¸camos um arco cortando os dois lados do ˆangulo. O problema agora reside em dividir o arco entre os lados em duas partes iguais. Com o compasso (mudando a abertura ou n˜ao) , ponta seca em um extremo do arco e depois no outro, encontramos um ponto. Ligando esse ponto ao v´ertice do ˆangulo teremos tra¸cado a bissetriz.(Fig 1.6) 3. Justificativa: J´a feita na exposi¸c˜ao dos passos para a constru¸c˜ao. 4. Figura:

Figura 1.6: ˜ DE ANGULOS ˆ • CONSTRUC ¸ AO COM MEDIDAS DADAS

S˜ao muitos os ˆangulos que podemos construir. Come¸cando com o ˆangulo de 60◦ podemos obter, tra¸cando bissetrizes, 30◦ , 15◦ , 7, 5◦ = 7◦ 30′ , 3◦ 45′ etc.

Somando ˆangulos podemos obter 67, 5◦, 37, 5◦, 22, 5◦, 45◦ = 30 + 15, 75◦ , 105◦ = 90 + 15, etc... Subtraindo ˆangulos podemos obter, entre outros, 82, 5◦ , 52, 5◦ e assim por diante. Antes de prosseguir, construa todos os ˆangulos αi com medidas αi = i.(3◦ 45‘), com i = 1, 2, 3, ...47, ˜ DE SEGMENTOS EM PARTES IGUAIS • DIVISAO


1. Problema: Temos um segmento fixo e precisamos dividi-lo em 2, 3, 4, etc, partes iguais. 2. Justificativa: A figura a seguir ´e constitu´ıda por um feixe de paralelas cortadas por duas transversais. Numa das transversais ( a que est´a abaixo) marcamos segmentos iguais AC = CC1 = . . . = C5C6. Ligue C6 a B e trace paralelas pelos outros pontos.(Fig 1.7) A teoria diz que na outra transversal os segmentos tamb´em ser˜ao iguais, o que resolve o problema..

Figura 1.7: ˜ DE SEGMENTOS EM PARTES PROPORCIONAIS • DIVISAO 1. Problema: Dividir um segmento dado em partes proporcionais a segmentos dados. 2. Constru¸c˜ao: A partir de um v´ertice qualquer marque o segmento a ser dividido.. A partir do mesmo v´ertice, em outra semi-reta marque sucessivamente os segmentos dados. Ligue a extremidade do u ´ltimo segmento `a extremidade do segmento dado. Pelos pontos obtidos trace paralelas. (Fig 1.8) 3. Figura: Na figura a seguir os pontos est˜ao numerados na ordem em foram obtidos. 4. Justificativa: Teorema Linear de Tales. • SOMA E DIFERENC ¸ A DE SEGMENTOS


Figura 1.8: 1. Problema: Dados dois ou mais segmentos obter a soma deles ou dados dois segmentos obter a diferen¸ca deles. 2. Constru¸c˜ao: No caso da soma, transportar cada um dos segmentos sobre uma reta, de modo consecutivo. No caso da diferen¸ca, transporte o maior sobre uma reta, a partir de algum ponto. Em seguida, transporte o menor segmento, a partir do extremo do primeiro e em sentido contr´ario. Essa constru¸c˜ao ´e extremamente f´acil e a justificativa ´e o´bvia. • QUARTA PROPORCIONAL

Chamamos de quarta proporcional ap´os a, b e c ao n´umero q de modo que a = qc ou seja, q = b.c . Para determinar a quarta proporcional referida fa¸ca b a como acima, marcando a e c numa semi-reta e b na outra, obtendo q.

´ ´ • TERCEIRA PROPORCIONAL ou MEDIA GEOMETRICA

Chamamos de terceira proporcional entre a e b ao n´umero x de modo que a = xb ou seja, x2 = a.b. x 1. Constru¸c˜ao: Sobre uma reta marque consecutivamente os segmentos a e b. Pelo ponto comum deles levante uma perpendicular, Desenhe o c´ırculo de diˆametro a + b. A m´edia geom´etrica ser´a o segmento x = P Q da figura a seguir.(Fig 1.9) 2. Figura:

√ • SEGMENTOS DO TIPO a. n


Figura 1.9: 1. Problema: um segmento de medida a, obter os segmentos √ Dado √ √ a 2, a. 3, . . . a. n onde n ´e um n´umero natural. 2. Justificativa: Se constru´ımos o triˆangulo√ retˆangulo is´osceles de catetos iguais a a ent˜ao sua hipotenusa ser´a a. 2. √ 2 sua hipotenusa Se constru´ ımos o triˆ a ngulo retˆ a ngulo de catetos a e a √ medir´a a. 3. √ √ Se constru´ımos o triˆangulo retˆa√ngulo de catetos a. 2 e a. 3 veremos que sua hipotenusa medir´a a. 5. √ 3. Figura: Como exemplo vamos obter o segmento a 7 a partir do segmento a.(Fig 1.10) ´ ˜ • MEDIA E EXTREMA RAZAO 1. Pesquisa na Internet Este tema ´e muito importante para os arquitetos. Consulte as p´aginas e v´ıdeos a seguir para se inteirar do assunto: desenhodearquitetura.blogspot.com/.../o-numero-de-ourophi-0618034.html www.slideshare.net/.../phi-e-o-mundo-hoje goldennumber.net/architecture.htm Ao final produza um texto de aproximadamente 10 linhas sintetizando o assunto. 2. A Quest˜ao: Para os gregos, um ponto divide um segmento em m´edia e extrema raz˜ao ou na raz˜ao ´aurea quando a raz˜ao entre o segmento todo e a parte maior fosse igual a raz˜ao entre a parte maior e a menor.


Figura 1.10: Essa raz˜ao foi denominada Φ. Elegeram como ideal de beleza coisas que estivessem na raz˜ao Φ. 3. Resolu¸c˜ao: Na figura a seguir, suponha a seja a medida do segmento e que x seja o segmento maior. Ent˜ao o segmento menor ter´a medida a − x.(Fig 1.11)

Figura 1.11: x = Φ. Da primeira igualdade A partir da figura teremos: xa = a−x 2 2 tiramos a(a − x) = x ou seja, x + ax − a2 = 0 uma equa¸c˜ao do


segundo grau cujas ra´ızes s˜ao: −1 − x1 = a. 2

5

e

√ −1 + 5 x2 = a. 2 . A primeira ´e negativa e deve ser abandonada por n˜ao convir ao problema. Resta ent˜ao √ −1 + 5 x = a. 2 que d´a x −1 + = a 2

5

ou

√ a 2 1+ 5 ∼ √ = φ= = = 1, 6180339 x 2 −1 + 5 O inverso deste n´umero ´e ∼ = 0, 617917507 que tamb´em ´e chamado Φ por algumas pessoas, como vimos nas p´aginas da internet.

4. Constru¸c˜ao: Desenhe as semi-retas r e s, com a mesma origem A e perpendiculares. Sobre r marque o segmento de medida a de extremos A e B. A seguir determine o ponto m´edio de a , e, com o compasso marque essa medida sobre s, com extremos A e C. Desenhe a hipotenusa BC do triˆangulo e sobre ela, com o compasso, aplique o segmento a2 , com extremos C e D. A raz˜ao entre AB e CD ´e Φ. √

5. Justificativa: A hipotenusa acima referida tem medida igual a a. 25 √ retirando-se a2 resta a. −1+2 5 . Preferimos esta constru¸c˜ao pois a mesma se presta bem a construir o dec´agono e o pent´agono, que ser˜ao vistos a seguir.(Fig 1.12) 6. Figura: • ARCO CAPAZ 1. O Problema: Se α ´e um ˆangulo inscrito num c´ırculo, ent˜ao um arco fica determinado pela seguinte propriedade: qualquer ˆangulo inscrito nesse arco ter´a a medida α. Dizemos tamb´em que o ponto P “enxerga” o segmento AB sob ˆangulo α.(Fig 1.13)


Figura 1.12: 2. Figura: Para tentar encontrar o arco que contem todos os pontos que enxergam AB sob ˆangulo α, tem os uma coisa conhecida: o segmento AB ´e uma corda do circulo, logo o centro dele est´a na mediatriz de AB. Temos ainda dois pontos que est˜ao no c´ırculo: A e B, e o ˆangulo de segmento de v´ertice A (ou B) tamb´em mede α. Um dos lados do ˆangulo de segmento ´e tangente ao c´ırculo em A, logo seu centro est´a na perpendicular a esse lado passando por A. Pronto! Achamos o centro do c´ırculo e consequentemente o “arco capaz“ do ˆangulo α. 3. Constru¸c˜ao: S˜ao dados: o segmento AB e o ˆangulo α. Trace uma semi-reta e sobre ela transporte AB. Trace a mediatriz de AB . Transporte o ˆangulo α de modo que seu v´ertice seja A, que um lado contenha AB e que o outro fique no semi-plano que n˜ao contenha o centro procurado.(Fig 1.14) Como exerc´ıcio, desenhe um triˆangulo no qual a = 12 cm, b = 6 cm e com Aˆ = 30◦ . A figura (Fig 1.15) ´e a solu¸c˜ao.


Figura 1.13:

Figura 1.14:


Figura 1.15:

Construçoes Fundamentais  

Explicamos as construçoes fundamentais, bases para outras mais complexas: perpendiculares, paralelas, bissetrizes, terceira e quarta proporc...

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