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Homotetia

Algumas figuras semelhantes, como as abaixo (figura 1), s˜ao tais que as retas que passam por v´ertices hom´ ologos s˜ao concorrentes em um ponto O. Dizemos que as figuras s˜ao homot´eticas e que O ´e o centro de homotetia.

Figura 1: Nem todas figuras (figura 2) semelhantes s˜ao homot´eticas, como mostram as duas a seguir, ainda que sejam semelhantes.

Figura 2: Dadas duas figuras homot´eticas, o centro de homotetia pode ficar “entre” elas ou n˜ao. No caso do ponto estar entre as figuras temos uma homotetia inversa e no caso contr´ario, uma homotetia direta. Veja as figuras (figura 3) a seguir:


Figura 3: Dadas duas figuras homot´eticas, chamamos raz˜ao de homotetia `a raz˜ao entre comprimentos hom´ ologos. A partir da figura abaixo (figura 4) onde temos △ABC ´e homot´etico a △A′ B ′ C ′ , temos:

k=

A′ B ′ A′ C ′ B′C ′ = = AB AC BC

(R)

Figura 4: Repare que temos tamb´em, k =

OA′ OA

=

OB ′ OB

=

OC ′ OC

por uma aplica¸c˜ao imediata


do Teorema Linear de Tales. Para diferenciar entre homotetias diretas e inversas, k > 0 para as diretas e k < 0 para as inversas. Se k < 1 ent˜ao, por (R) o triˆangulo △A′ B ′ C ′ ´e menor que o triˆangulo △ABC e houve uma redu¸c˜ao nas dimens˜ oes em rela¸c˜ao a △ABC. Se k > 1 ent˜ao houve uma amplia¸c˜ao em rela¸c˜ao a △ABC. No caso de homotetia inversa a figura homot´etica da figura fixa F fica invertida e ampliada se |k| > 1 ou invertida e reduzida se |k| < 1. Para o Desenho Geom´etrico estas caracter´ısticas podem ser utilizadas para fins pr´aticos. Veremos isso em algumas aplica¸co˜es. Aplica¸c˜ao 1 Dado o △ABC, duplique-o, isto ´e, desenhe outro triˆangulo, semelhante a ele e com as dimens˜ oes todas dobradas. Com a teoria da homotetia em mente, precisamos de k = 2. Escolhendo o centro de homotetia em qualquer lugar, deveremos ter OA′ = 2.OA e assim por diante. Constru¸c˜ao: Vamos tomar o centro de homotetia no lado AB numa primeira solu¸c˜ao e no interior do triˆangulo numa outra, colocadas juntas (figura 5).

Figura 5: Aplica¸c˜ao 2 Considere o hex´agono regular ABCDEF da figura. Desenhe um outro hex´agono regular inscrito num c´ırculo de raio 10 cm. Se o hex´agono ABCDEF ´e regular ent˜ao ´e inscrit´ıvel num c´ırculo de raio igual ao seu lado. Basta portanto tomar o centro do hex´agono como centro de homotetia e levar cada v´ertice `a distˆancia “lado” `a distˆancia 10 cm. Constru¸c˜ao: A figura a seguir (figura 6) ´e o resultado final.


Figura 6: Aplica¸c˜ao 3 Dado o arco abatido de 5 centros ABCDE, desenhar um outro, nas mesmas propor¸co˜es, e com v˜ao igual a 10 cm. Veja a figura dada. Podemos colocar o centro de homotetia no centro M do v˜ao. A homotetia deve levar M B em M B ′ com 10 cm e cada uma das outras dimens˜ oes na mesma propor¸c˜ao. Constru¸c˜ao: A primeira parte (figura 7) mostra o arco dado e os hom´ ologos de A,B, D e E.

Figura 7: MC MA ao, M C ′ pode ser determinado. De Na continua¸c˜ao, como MA ′ = MC ′ e ent˜ modo an´alogo fazemos para todas as outras dimens˜ oes (figura 8).


Figura 8:


1homotetia