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专论茎萃 ・  

数 学 通 讯 —— 2009年 第 l1、12期 (上半 月)  

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三 角板 中 的向 量 问题  张培强  (江 苏 省 徐 州一 中 ,521000)  

2009年 高考湖 南卷第 15题 :   如 图 1, 两 块 斜边 长相 等 的 直 角 三 角 板  拼 在 一 起 ,若  一  +3 ,   ,则  一  ・

设 AB—AC一 1,则 BC— DE=√2,BD  一

 

, 一

BF = B D . c0s 一   COS8,D F = BD ・  

 

 

Y == =  

si n0=   si n .  

从 而  AB+ BF .DF 

.  -

A 

B 

十 

F 

一 1+  c os 叶   si n 

图 1  

解析

l -y 一 —  

作 DF上 AB, 垂 足 为 F, 设 AB—  一

AC= 1, 贝4   Bc—DE一 

在△BDE 中 , 可得 BD- -:   .   又 在 △ BDF 中 , 可 得 DF=BF- -  .  

1 +瓜 i n(  +孚) .  

当 一一 ,  ̄ p . /D B A一詈时, x+y有  最小 值 1一  ;  

当 =手, 即点 E落在BC上时, x4 -y有  tt   x一 

一 +  ,  一  一 

评 注 试题 向我们开 辟 了 向量 分解 的一  块 区域 ,以三 角板 的拼 凑 为实 际 背景 .题 中,   为正 交分解 两方 向上 的 单位 向量 ,寻  找 向量  在 这 两 方 向 上 的分 解 系 数 ,即 解  直角 三角 形.   、 

最 大值 1+ 

所 以 z+ Y的 取 值 范 围是 [1一  ,1   -  4

同 .   另解  以 AB所 在 直 线 为 . 7 C轴 , A 为原  点 建立如 图 3所 示 的平 面 直 角坐 标 系 , 则 点 

D 的坐标 ( z,  )满足 ( z一1)。- l -y。一  ,三角  板 BDE 的边 BE 不 能在 角  ABC内旋转 体  现在 Y≥0时 ,1+  ≤ z≤ 1+  , 作 出可 行 

A 

B 

图 2  

玩 转这 副 三 角 板 ,提 出 问题 :如 图 1,两 

块斜 边 长相 等 的直 角 三 角板 拼 在 一 起.现 固  定 直角 三角 板 BDE 的直 角 顶 点 B 不 动 ,在  同一平 面 内转 动 三 角板 BDE,如 图 2,若A  一

AB 4 -YAe,则  4 - Y 的 取 值 范 围 

 

是  —

 

.  

解析  作 DF上AB, 垂足 为 F,以AB为 正 

方向, 设边B D的旋转角为 , 则 ∈[ 一丌 , 号] .  

域, 是 一 个 不完 整 的 圆 , 考 虑 目标 函数 z= : =   +  中 , z表示 直 线 z—X+y在 y轴 上 的截 

距 ,易 得 X  - Y 的取 值 范 围 是 [1一  ,1 4   -  4

伺 .   于是 , 我 们得 到一 个结论 :   命题 l   如 图 1, 两 块 斜 边 长 相 等 的直  角 三角板 拼在 一起 .现 固定直 角 三角 板 BDE  的直角顶 点 B 不 动 , 在 同一 平 面 内转 动 三角 

板 BDE, 如图 2  若  : = :z   雪+ a - - C, 贝0   z  + 的取值范围是[ 1一  , I+伺 .  


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数 学 通 讯— — 2 OO 9年 第 11、 1 2期 ( 上 半 月)  

・专 论 荟 萃 ・  

。 

D  

^  

(a)  

D  

(b)   图 4  

因 

图 3 

回头一望 , 发 现 试题 向我 们 展示 了一 种 

最 值情 况 , 这 里 的最 值 取 到还 可 用基 本 不 等  式来说 明.   如图 2,设 BF=z, DF=y, 则  十  一 

D  B 

(a)  

r— i—  —— 

B  一导, 厶  所以  +   ≤2 √ Y   _  = r  , 当且仅  一

 

当 z= =  时, 取“=” , 显然此时 DBF一÷.   厶 

‘士 

D 

(b)   图 5 

命题 3   如 图 5(a),两块斜 边 长相 等 的  直 角 三 角 板 拼 在 一 起.现 固定 直 角 三 角 板  ACD 的一 个 顶 点 D 不 动 ,在 同 一 平 面 内转  动 三角板 ACD, 如图 5(b), 若记 BE一1, B 

照此探 索 的模 式 ,我 们还 可 得 到 下 列命  题, 证 明 留给读者 完成 .   一z   + 商 , 则  +  的取值范围是  命题 2   如 图 4( a), 两块 斜边 长相等 的直  角 三角板 拼在一 起 .现 固定 直 角三 角板 BDE  2, J3 - +23.   的一个顶 点 B不 动 , 在 同一 平 面 内转 动三 角  一

板 BDE, 如 图 4(b), 若  一z  则 z+  的取 值范 围是 [O, 2].  

+y  A -g,  

( 收稿 日期 : 2009一O7—24)  

关才恢 复《问题征 解》栏 目的说 明  2 000年 , 本 刊 的传 统栏 目《问题 征解 》因故停 办 , 多年 来 , 经 常有 作者 和读者 来 函或来 电要  求恢 复这一深 受广 大读者 喜爱 的栏 目。   2010年 , 我 刊将 扩大 版面 , 拟 在本 刊上 半 月刊 (高 中学 生 阅读 )的《课 外 园地 》 栏 目中增加  《问题 征解 》子栏 目, 具 体说 明如下 :   1.该栏 目精 选适 合高 中学生 的有趣 、实用 、 新 颖 、灵 巧 、 深 浅适 度 、富有 启发 性 的题 目向广  大 高 中学 生进行 征解 , 使其 成为启迪 思维 、开发智 力的小 智囊 。   2.该 栏 目是大家 公有 的园地 , 面 向广 大 中学 数 学教 研员 、中学 数 学老 师 、高 中学生 和数 学  爱 好者征 集 问题 ,问题 的知 识点可 以涉及 高 中数 学 的方 方面面 (包含数 学竞赛 的内容在 内), 选  题 不做 限制 , 但难度 应适 当控制 , 适宜 高 中学生 解 答 。欢 迎 自编 新 问题 ,也可 以在 现有 问题 基  础 上进行 改编 , 来稿 时请 注明来 源 , 并请 附上解题 思路 分析和详 细解答 。   3.每期 问题征解 时间为 40天 , 隔两期 刊登 答案 和有价值 的推广 , 并 公布前 五名 ( 按 来稿时  间顺序 )提供 正确解 答 的读 者名单 。对 得到读 者热烈应 解 和赞 许 的题 目和解答 , 本刊将 给予适  当奖励 。   4.提供 问题 或 回答 问题 时 , 请在信 封上注 明“学 生阅读 刊《问题征 解 》 ”字样 , 也可 发送 到电  子邮箱 : s huxue t ongxun@ yahoo.c or n.c n。   。   《数 学通讯 》 编 辑部 

三角板中的向量问题  

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